Abbildung an der optischen Bank

Auf der optischen Bank werden Gegenstandsweite $g$, Bildweite $b$ und Brennweite $f$ sauber messbar. Ihre Beziehung ist die Linsengleichung $\frac{1}{f} = \frac{1}{g} + \frac{1}{b}$, und wir prüfen sie über eine ganze Messreihe. Dazu kommen die Bildarten-Landkarte (wann verkleinert, wann vergrößert, wann virtuell?) und der Abbildungsmaßstab $\frac{B}{G} = \frac{b}{g}$: das komplette Regelwerk der Linsenabbildung.

Dies ist das quantitative Herzstück der Optik. Wer die Linsengleichung einmal selbst gemessen hat, kann jedes optische Gerät durchrechnen: Wo muss der Beamer stehen, warum stellt die Kamera „scharf“, wie entwirft das Auge sein Netzhautbild? Und die Kehrwert-Form der Gleichung gibt einen Vorgeschmack darauf, wie die Physik Formeln baut, die auf den ersten Blick unhandlich und auf den zweiten perfekt sind.

Kepler legte 1611 in der „Dioptrice“ die Strahlenkonstruktion der Linsenabbildung vor, die Grundlage für das nach ihm benannte Fernrohr. Die Kehrwert-Form der Linsengleichung stammt von Halley und wurde von Gauß 1841 zur allgemeinen Abbildungstheorie ausgebaut. Bis heute rechnet jede Objektiv-Software mit ihren Nachfahren.

Stelle die Gegenstandsweiten 15, 20, 30 und 50 cm ein, suche jeweils die scharfe Bildweite und bilde die Prüfsumme 1/g + 1/b; beobachte zusätzlich, was bei g = 10 cm und g = 8 cm geschieht.

Warum Kehrwerte? Ein Plausibilitätsanker: Zwei Grenzfälle kennt die Reihe schon. Bei sehr fernem $g$ ($\tfrac{1}{g} \to 0$) liegt das Bild bei $b = f$ (das Fensterbild!), und bei $g = 2f$ gilt $b = 2f$ (die symmetrische Stellung). Beides erfüllt die Kehrwertform exakt, nämlich $0 + \tfrac{1}{f}$ bzw. $\tfrac{1}{2f} + \tfrac{1}{2f}$. Eine Formel, die beide bekannten Punkte trifft, verdient die Messreihe dazwischen.

Die Vorhersagen für die Reihe (mit $f = 10$): Für $g = 15$ ist $\tfrac{1}{b} = \tfrac{1}{10} - \tfrac{1}{15} = \tfrac{1}{30}$, also $b = 30$. Für $g = 20$ folgt $b = 20$, für $g = 30$ folgt $b = 15$, für $g = 50$ folgt $b = 12{,}5$. Auffällig: Die Paare (15|30) und (30|15) sind gespiegelt. g und b sind vertauschbar, denn der Lichtweg ist umkehrbar, und das prüft die Reihe gleich mit.

Und bei $g \le f$? Die Gleichung liefert für $g = 10$ den Kehrwert null ($b$ unendlich) und für $g = 8$ ein negatives $b$. Was ein negatives $b$ physikalisch bedeutet, soll der Versuch zeigen. Die Vorhersage aus dem Linsen-Experiment lautet: Lupenstellung, kein Schirm-Bild.

Die Schärfe von beiden Seiten anfahren und mitteln. Bei g = 50 cm wird das Bild klein und dunkel, also den Raum gut abdunkeln.

Die Bank mit den vier Stellungen als Positionsdiagramm: g-Werte links, gefundene b-Werte rechts der Linse, die Spiegel-Paare (15|30) und (30|15) hervorgehoben.

Aufbau: Optische Bank (Schiene mit Zentimeterskala), Kerze oder LED-Leuchtobjekt (Pfeil, Höhe 2,0 cm) auf Reiter, Sammellinse f = 10 cm im Halter, Mattscheibe/Schirm auf Reiter; abgedunkelter Raum.

Für jede Stellung: g setzen, den Schirm scharf stellen (zweimal, von beiden Seiten), b notieren und die Prüfsumme sofort berechnen. Danach g = 10 cm und g = 8 cm einstellen und die Schirmsuche protokollieren.

Die Prüfsumme steht wie angenagelt: $\frac{1}{g} + \frac{1}{b} = 0{,}100$ bis $0{,}101\ \mathrm{cm^{-1}}$ über die ganze Reihe, also genau $\frac{1}{f}$. Die Linsengleichung ist quantitativ bestätigt, einschließlich der Spiegelsymmetrie: (15|30) und (30|15) sind beide scharf. Kamera- und Beamer-Stellung sind derselbe Lichtweg in Gegenrichtung.

Die Grenzfälle machen die Gleichung erst richtig stark: Bei $g = f$ entließ die Linse ein Parallelbündel, das Bild lag „im Unendlichen“. Und bei $g < f$ gab es kein Schirmbild, dafür die Lupenansicht. Das negative $b$ der Formel ist genau dieses virtuelle Bild: Es liegt rechnerisch auf der Gegenstandsseite, dort, wo sich die Rückverlängerungen treffen. Eine Gleichung, die an ihrer Definitionsgrenze nicht zusammenbricht, sondern die nächste Bildsorte ankündigt, ist mehr als eine Messregel. Sie trägt die ganze Landkarte der Variante 3 in sich.

Die Alltagsübersetzung heißt Scharfstellen: Die Kamera kann $f$ nicht ändern; sie verschiebt die Linse, bis $b$ zur Gegenstandsweite passt. Der Autofokus löst also die Linsengleichung, viele Male pro Sekunde. Das Auge geht den anderen Weg: $b$ (die Augapfeltiefe) liegt fest, und der Ringmuskel verformt die Linse, um $f$ zu ändern. Zwei Strategien, eine Gleichung.

$\frac{1}{g} + \frac{1}{b} = \frac{1}{f}$, bestätigt über vier Stellungen samt Vertauschungssymmetrie und beiden Grenzfällen (bei $g = f$ ein Parallelbündel, bei $g < f$ Lupe statt Schirmbild). Die Linsengleichung ist das gemessene Grundgesetz der Abbildung.

Kehrwerte verstärken Fehler bei kleinen Weiten, und darauf zielen die Hauptpunkte: