Abbildung an der optischen Bank

Auf der optischen Bank werden Gegenstandsweite $g$, Bildweite $b$ und Brennweite $f$ sauber messbar. Ihre Beziehung ist die Linsengleichung $\frac{1}{f} = \frac{1}{g} + \frac{1}{b}$, und wir prüfen sie über eine ganze Messreihe. Dazu kommen die Bildarten-Landkarte (wann verkleinert, wann vergrößert, wann virtuell?) und der Abbildungsmaßstab $\frac{B}{G} = \frac{b}{g}$: das komplette Regelwerk der Linsenabbildung.

Dies ist das quantitative Herzstück der Optik. Wer die Linsengleichung einmal selbst gemessen hat, kann jedes optische Gerät durchrechnen: Wo muss der Beamer stehen, warum stellt die Kamera „scharf“, wie entwirft das Auge sein Netzhautbild? Und die Kehrwert-Form der Gleichung gibt einen Vorgeschmack darauf, wie die Physik Formeln baut, die auf den ersten Blick unhandlich und auf den zweiten perfekt sind.

Kepler legte 1611 in der „Dioptrice“ die Strahlenkonstruktion der Linsenabbildung vor, die Grundlage für das nach ihm benannte Fernrohr. Die Kehrwert-Form der Linsengleichung stammt von Halley und wurde von Gauß 1841 zur allgemeinen Abbildungstheorie ausgebaut. Bis heute rechnet jede Objektiv-Software mit ihren Nachfahren.

Fahre den Gegenstand von g = 50 cm schrittweise bis g = 5 cm an die Linse heran und protokolliere in jeder Zone (g > 2f, g = 2f, f < g < 2f, g ≤ f) Bildort, Größe und Orientierung.

Die Landkarte vorab aus der Gleichung: Mit $f = 10$ cm heißen die Grenzen $g = 20$ cm ($= 2f$) und $g = 10$ cm ($= f$). Die Vorhersagen je Zone: Für $g > 2f$ liegt $b$ zwischen $f$ und $2f$, also ist $b < g$ und das Bild verkleinert. Bei $g = 2f$ ist es gleich groß. Für $f < g < 2f$ gilt $b > 2f$, also $b > g$: Das Bild ist vergrößert und rückt schnell hinaus. Bei $g \le f$ gibt es kein reelles Bild mehr, sondern die Lupe. Alle reellen Bilder stehen kopf, weil sich die Hauptstrahlen in der Linse kreuzen. Die Messfahrt prüft die komplette Karte in einem Durchgang.

Die Zonenübergänge langsam anfahren, denn die spannenden Beobachtungen (das Bild rast hinaus, der Umschlag zur Lupe) liegen an den Grenzen.

Zahlenstrahl der Gegenstandsweite mit den Marken f und 2f, darüber je Zone eine Miniatur des Bildtyps.

Aufbau: Optische Bank (Schiene mit Zentimeterskala), Kerze oder LED-Leuchtobjekt (Pfeil, Höhe 2,0 cm) auf Reiter, Sammellinse f = 10 cm im Halter, Mattscheibe/Schirm auf Reiter; abgedunkelter Raum.

Die Stationen sind 50, 30, 25, 20, 15, 12, 10, 8 und 5 cm. An jeder Station den Schirm nachführen und die Bildart notieren; an den Grenzen bei 20 und 10 cm besonders fein vorgehen.

Die Karte stimmt Zone für Zone: Verkleinerung jenseits $2f$, Gleichstand bei $2f$, Vergrößerung zwischen den Brennmarken, Parallelbündel bei $f$, Lupe darunter. Jede Grenze liegt genau bei den vorhergesagten Marken. Die Linsengleichung ist also nicht nur eine Zahlenprüfung (Variante 2), sondern eine Gebietskarte: Wer $f$ kennt, weiß ohne Rechnung, welches Gerät er vor sich hat.

Die Geräte-Zuordnung: Bei $g > 2f$ arbeiten Kamera und Auge (großes Motiv auf kleinem Sensor). Bei $g = 2f$ liegt die 1:1-Abbildung (Makrofotografie, Kopiergeräte alter Bauart). Zwischen $f$ und $2f$ arbeiten Beamer und Diaprojektor (kleines Panel auf großer Wand, darum sitzt das Panel knapp über der Brennweite). Und bei $g < f$ ist es die Lupe. Vier optische Geräteklassen sind vier Parkplätze auf einer einzigen Geraden, sortiert allein durch die Gegenstandsweite.

Der Preis der Vergrößerung: Bei $g = 12$ cm war das Bild groß, aber dunkel, denn dieselbe Lichtmenge verteilt sich auf die vielfache Fläche. Beamer brauchen deshalb starke Lampen. Die Landkarte enthält also auch die Energie-Seite der Abbildung.

Vier Zonen, geordnet durch f und 2f: verkleinert, gleich groß, vergrößert, Lupe, mit genau getroffenen Grenzen. Die Landkarte der Bildarten macht aus der Linsengleichung eine Gerätekunde: Kamera, Kopierer, Beamer und Lupe sind Orte auf einer Schiene.

Kartierungsfehler entstehen an den Grenzen: