Optik
Linsen und Bildentstehung
Sammel- und Zerstreuungslinse, die drei Hauptstrahlen, reelle und virtuelle Bilder und wie Auge, Lupe und Kamera funktionieren.
Benötigte Grundlagen
Dieses Vorwissen brauchst du für das Kapitel. Schau kurz nach, wenn dir etwas davon nicht mehr präsent ist, sonst leg direkt los.
Einführung
Eine Lupe macht Dinge größer. Dieselbe Lupe, weiter weggehalten, zeigt die Welt plötzlich auf dem Kopf und verkleinert. Dasselbe Stück Glas, zwei völlig verschiedene Bilder.
Was den Unterschied macht, ist allein der Abstand zwischen Linse und Gegenstand. Und wenn man das erst einmal verstanden hat, versteht man in einem Aufwasch auch die Kamera, das Auge, das Mikroskop, das Fernrohr und die Brille. Alle arbeiten mit demselben Prinzip, und dieses Prinzip lässt sich mit drei Linien zeichnen.
Das kannst du nach diesem Kapitel
Sammel- und Zerstreuungslinse an Form und Wirkung unterscheiden.
Brennpunkt und Brennweite erklären und messen.
die drei Hauptstrahlen sicher zeichnen und begründen, warum sie genügen.
reelle Bilder an der Sammellinse konstruieren und ihre Eigenschaften bestimmen.
virtuelle Bilder (Lupenfall) konstruieren und von reellen unterscheiden.
die Wirkungsweise von Auge, Lupe und Fotoapparat erklären.
Zwei Sorten Linsen
Eine Linse ist ein durchsichtiger Körper mit gekrümmten Flächen. Beim Ein- und beim Austritt wird das Licht gebrochen, und weil die Fläche gekrümmt ist, trifft jeder Strahl unter einem anderen Winkel auf. Genau daraus entsteht die Wirkung.
Sammellinse (konvex): in der Mitte dicker als am Rand.
- Ein paralleles Lichtbündel wird in einem Punkt gesammelt, dem Brennpunkt .
- Der Abstand von der Linsenmitte zum Brennpunkt heißt Brennweite .
- Jede Linse hat zwei Brennpunkte, links und rechts im gleichen Abstand.
Zerstreuungslinse (konkav): in der Mitte dünner als am Rand.
- Ein paralleles Bündel wird auseinandergelenkt.
- Die rückwärtigen Verlängerungen treffen sich in einem virtuellen Brennpunkt vor der Linse.
Die Brennweite misst man am einfachsten mit Sonnenlicht: Es kommt praktisch parallel an, also entsteht im Brennpunkt ein winziger heller Fleck. Der Abstand zur Linse ist . (🔴 Nur mit Papier, nie mit dem Auge, und die Brandgefahr ist real.)
Die Sammellinse vereinigt alle achsenparallelen Strahlen in einem Punkt, dem Brennpunkt .
Bei der Zerstreuungslinse laufen dieselben Strahlen auseinander. Erst ihre Rückverlängerungen treffen sich, und zwar vor der Linse. Deshalb ist ihr Brennpunkt virtuell.
Die drei Hauptstrahlen
Von jedem Punkt des Gegenstands gehen unendlich viele Strahlen aus. Zeichnen kann man sie nicht alle, und das muss man auch nicht: Es genügen zwei, denn zwei Geraden legen einen Schnittpunkt fest. Man wählt drei besonders einfache aus, wovon der dritte als Kontrolle dient.
1. Parallelstrahl. Läuft parallel zur optischen Achse auf die Linse zu und wird danach zum Brennpunkt gebrochen. Grund: Genau so ist der Brennpunkt definiert.
2. Brennpunktstrahl. Läuft durch den vorderen Brennpunkt und verlässt die Linse parallel zur Achse. Grund: Das ist der Parallelstrahl in umgekehrter Richtung, und der Lichtweg ist umkehrbar.
3. Mittelpunktstrahl. Geht durch die Linsenmitte und läuft ungeknickt weiter. Grund: In der Mitte sind Vorder- und Rückseite praktisch parallel, die Linse wirkt dort wie eine dünne planparallele Platte, und die versetzt nur seitlich, ohne die Richtung zu ändern. Bei dünnen Linsen ist dieser Versatz vernachlässigbar.
Alle drei sind also nicht willkürlich, sondern jeweils aus einer bereits bekannten Tatsache begründet. Zwei genügen für die Konstruktion, der dritte prüft sie.
Die drei Hauptstrahlen treffen sich in einem Punkt, und zwar nicht ungefähr: Bildweite und Bildgröße folgen hier aus . Zum Konstruieren genügen zwei Strahlen, der dritte ist die Probe.
Die fünf Fälle an der Sammellinse
= Gegenstandsweite (Abstand Gegenstand zur Linse), = Bildweite, = Brennweite.
| Gegenstandsweite | Bild | Lage | Größe | Art |
|---|---|---|---|---|
| umgekehrt | zwischen und | verkleinert | reell | |
| umgekehrt | bei | gleich groß | reell | |
| umgekehrt | jenseits | vergrößert | reell | |
| kein Bild | Strahlen bleiben parallel | |||
| aufrecht | auf der Gegenstandsseite | vergrößert | virtuell |
Das ist die Antwort auf die Frage aus der Einleitung: Die Lupe funktioniert nur im letzten Fall, also innerhalb der Brennweite. Hält man sie weiter weg, landet man in der ersten Zeile und sieht ein umgekehrtes, verkleinertes Bild.
Reell oder virtuell?
Der Unterschied ist keine Wortklauberei, sondern entscheidet darüber, was man mit dem Bild anfangen kann.
Reelles Bild: Die Strahlen treffen sich wirklich. Dort ist tatsächlich Licht.
- auffangbar auf einem Schirm,
- immer umgekehrt,
- auf der anderen Seite der Linse.
- Anwendung: Kamera (Bild auf dem Sensor), Auge (Bild auf der Netzhaut), Beamer.
Virtuelles Bild: Nur die rückwärtigen Verlängerungen treffen sich. Dort ist kein Licht.
- nicht auffangbar,
- immer aufrecht,
- auf derselben Seite wie der Gegenstand.
- Anwendung: Lupe, Spiegelbild, Brille bei Kurzsichtigkeit.
Prüffrage, die immer funktioniert: Könnte man an dieser Stelle einen Schirm aufstellen und das Bild sehen? Ja bedeutet reell, nein bedeutet virtuell.
Optische Geräte
Das Auge. Die Augenlinse erzeugt auf der Netzhaut ein reelles, umgekehrtes, verkleinertes Bild. Dass wir die Welt trotzdem richtig herum sehen, ist eine Leistung des Gehirns, nicht der Optik. Weil der Abstand Linse-Netzhaut fest ist, muss zum Scharfstellen die Brennweite verändert werden: Ein Ringmuskel macht die Linse dicker (nah) oder flacher (fern). Das nennt man Akkommodation.
Sehfehler und ihre Korrektur:
- Kurzsichtigkeit: Das Bild entsteht vor der Netzhaut, meist weil der Augapfel zu lang ist. Korrektur mit einer Zerstreuungslinse, die die Strahlen zunächst auseinanderlenkt und das Bild nach hinten schiebt.
- Weitsichtigkeit: Das Bild entsteht hinter der Netzhaut. Korrektur mit einer Sammellinse.
Die Lupe. Der Gegenstand liegt innerhalb der Brennweite, das Auge sieht ein vergrößertes, aufrechtes, virtuelles Bild. Deshalb muss man mit einer Lupe nah herangehen: Weiter weg als , und die Vergrößerung kippt in ein umgekehrtes Bild um.
Der Fotoapparat. Der Gegenstand liegt weit weg, also : Es entsteht ein reelles, umgekehrtes, verkleinertes Bild auf dem Sensor. Scharfgestellt wird hier nicht über die Brennweite, sondern über die Bildweite: Das Objektiv wird verschoben. Genau umgekehrt zum Auge.
Bildkonstruktion Schritt für Schritt
Eine Sammellinse hat die Brennweite . Ein hoher Gegenstand steht vor der Linse. Konstruiere das Bild und bestimme seine Eigenschaften.
- 1
Vorher einordnen, was herauskommen muss. Es ist und , also liegt zwischen und . Nach der Tabelle erwarten wir ein umgekehrtes, vergrößertes, reelles Bild jenseits von .
Diese Vorüberlegung kostet zehn Sekunden und deckt jeden Konstruktionsfehler auf.
- 2
Grundgerüst zeichnen. Optische Achse waagerecht, Linse senkrecht dazu (als Doppelpfeil-Linie), Linsenmitte . Auf der Achse links und rechts jeweils bei und bei eintragen.
Gegenstand als Pfeil der Höhe bei links auf die Achse setzen.
- 3
Parallelstrahl. Von der Pfeilspitze waagerecht bis zur Linse, dort abknicken und durch den rechten Brennpunkt weiterzeichnen.
- 4
Mittelpunktstrahl. Von der Pfeilspitze geradlinig durch die Linsenmitte und ungeknickt weiter.
- 5
Schnittpunkt finden. Wo sich beide Strahlen rechts der Linse treffen, liegt die Bildspitze. Das Lot von dort auf die Achse gibt die Bildposition, seine Länge die Bildgröße.
Rechnerisch (Linsengleichung, Klasse 11): , Bildhöhe .
- 6
Mit dem Brennpunktstrahl kontrollieren. Von der Pfeilspitze durch den linken Brennpunkt zur Linse, danach parallel zur Achse. Er muss durch denselben Schnittpunkt laufen. Tut er es nicht, steckt ein Zeichenfehler in der Konstruktion.
- 7
Eigenschaften ablesen und mit der Vorüberlegung vergleichen: Das Bild liegt bei , also jenseits von . Es ist umgekehrt, doppelt so groß wie der Gegenstand und reell. Genau wie vorhergesagt.
Bildweite , Bildhöhe , umgekehrt, vergrößert, reell. Das ist der Fall, den ein Beamer nutzt, und deshalb hängen Beamer-Bilder ohne Korrektur kopfüber.
Die Lupe: warum sie nur nah funktioniert
Eine Lupe hat . Ein Käfer wird einmal aus und einmal aus Abstand betrachtet. Beschreibe und erkläre beide Bilder.
- 1
Fall 1: . Der Gegenstand liegt innerhalb der Brennweite.
Konstruktion: Parallelstrahl und Mittelpunktstrahl laufen hinter der Linse auseinander statt zusammen. Sie schneiden sich also nie. Verlängert man beide rückwärts, treffen sie sich auf der Gegenstandsseite.
- 2
Bild in Fall 1 beschreiben: Weil sich nur die Verlängerungen schneiden, ist das Bild virtuell, also nicht auffangbar. Es ist aufrecht, vergrößert und liegt auf derselben Seite wie der Käfer, weiter von der Linse entfernt als er selbst.
Das ist die gewohnte Lupenwirkung.
- 3
Fall 2: . Jetzt liegt der Gegenstand außerhalb der doppelten Brennweite.
Die Strahlen schneiden sich hinter der Linse wirklich, das Bild ist reell, umgekehrt und verkleinert.
- 4
Was man dabei tatsächlich sieht: Beim Blick durch die Lupe erscheint die Umgebung auf dem Kopf und kleiner. Genau das kann man mit jeder Lupe in zwei Sekunden nachprüfen, indem man sie langsam vom Auge wegbewegt: Das Bild wird größer, springt bei um und ist danach umgekehrt.
- 5
Der Umschlagpunkt. Bei verlassen alle Strahlen die Linse parallel und schneiden sich weder vorn noch hinten. Es entsteht kein Bild; man sieht nur eine unscharfe Helligkeit. Dieser Fall trennt die beiden Bereiche.
Bei : vergrößert, aufrecht, virtuell (Lupe). Bei : verkleinert, umgekehrt, reell. Eine Lupe vergrößert nur innerhalb ihrer Brennweite, und genau deshalb hält man sie dicht an den Gegenstand.
Typischer Fehler
„Eine Lupe vergrößert immer, egal wie weit man sie weghält."
Nur innerhalb der Brennweite. Das lässt sich in wenigen Sekunden selbst prüfen: Nimm eine Lupe, halte sie dicht über einen Text (vergrößert, aufrecht) und zieh sie langsam hoch. Das Bild wird immer größer, wird bei einem bestimmten Abstand unscharf und verschwindet, und danach erscheint die Umgebung auf dem Kopf und verkleinert.
Der Umschlagpunkt liegt genau bei . Dort verlassen die Strahlen die Linse parallel und schneiden sich nirgends, weder vorn noch hinten.
Die dahinterstehende Regel: Nicht die Linse entscheidet über Art und Größe des Bildes, sondern das Verhältnis von Gegenstandsweite zur Brennweite. Dieselbe Linse liefert je nach Abstand fünf verschiedene Ergebnisse, und genau deshalb steht in der Tabelle oben nicht „die Lupe", sondern eine Bedingung an .
Deshalb lohnt es sich, bei jeder Aufgabe zuerst mit und zu vergleichen. Danach weiß man bereits, was herauskommen muss, und die Konstruktion ist nur noch die Ausführung.
Übung 1
leicht
Eine Sammellinse hat . Gib für jede Gegenstandsweite an, ob das Bild vergrößert oder verkleinert, aufrecht oder umgekehrt, reell oder virtuell ist:
a) b) c) d)
Tipp anzeigen
Bestimme zuerst und vergleiche jedes damit.
Lösung anzeigen
Es ist und .
a) : verkleinert, umgekehrt, reell (Kamera-Fall)
b) : gleich groß, umgekehrt, reell (Sonderfall, Bild ebenfalls bei )
c) : vergrößert, umgekehrt, reell (Beamer-Fall)
d) : vergrößert, aufrecht, virtuell (Lupen-Fall)
Detaillierte Schritterklärung anzeigen
Hier wird jeder Schritt einzeln erklärt, vor allem, warum er gemacht wird.
✦ Empfohlen: Standard – Die normale Erklärungstiefe passt zum Einstieg.
- 1
Gegeben und Gesucht und der Bezugswert der doppelten Brennweite
Gegeben: und vier Gegenstandsweiten. Gesucht: für jede die Bildart. Entscheidend ist der Vergleich mit zwei Marken, nämlich und .
- 2
Die vier Bereiche und was in ihnen entsteht
Bei entsteht ein verkleinertes, umgekehrtes, reelles Bild (Kamera). Bei ein gleich großes, umgekehrtes, reelles. Bei ein vergrößertes, umgekehrtes, reelles (Beamer). Bei ein vergrößertes, aufrechtes, virtuelles (Lupe).
- 3
Die beiden Marken berechnen und einordnen
Aus folgt . Damit lässt sich jede Gegenstandsweite einordnen.
Zwischenergebnis
Marken: ,
- 4
Ergebnisse deuten: vier Geräte in einer Tabelle
a) verkleinert, umgekehrt, reell, der Kamera-Fall. b) gleich groß, umgekehrt, reell. c) vergrößert, umgekehrt, reell, der Beamer-Fall. d) vergrößert, aufrecht, virtuell, der Lupen-Fall.
Übung 2
mittela) Beschreibe, wie das Auge scharfstellt, und wie es der Fotoapparat macht.
b) Warum sehen wir die Welt richtig herum, obwohl das Netzhautbild umgekehrt ist?
c) Welche Linse braucht ein Kurzsichtiger, welche ein Weitsichtiger? Begründe jeweils.
Tipp anzeigen
a) Welche Größe ist beim Auge fest, welche beim Fotoapparat?
Lösung anzeigen
a) Beim Auge ist der Abstand zwischen Linse und Netzhaut fest, die Bildweite lässt sich also nicht ändern. Deshalb muss die Brennweite verändert werden: Ein Ringmuskel wölbt die elastische Linse stärker (kleine Brennweite, Nahsehen) oder lässt sie abflachen (große Brennweite, Fernsehen). Das heißt Akkommodation.
Beim Fotoapparat ist die Brennweite des Objektivs fest. Deshalb wird die Bildweite verändert: Das Objektiv wird vor- oder zurückgeschoben, bis das Bild genau auf dem Sensor liegt. Genau die umgekehrte Lösung für dasselbe Problem.
b) Weil das Sehen im Gehirn stattfindet, nicht im Auge. Es hat von Geburt an gelernt, dass „oben auf der Netzhaut" der Realität unten entspricht. Optisch ist das Netzhautbild tatsächlich umgekehrt; es gibt keinen Vorgang im Auge, der es umdreht.
(Berühmte Versuche mit Umkehrbrillen zeigen, dass sich das Gehirn nach wenigen Tagen an eine erneute Umkehrung gewöhnt und die Welt wieder richtig herum wahrnimmt.)
c) Kurzsichtig: Der Augapfel ist meist zu lang, das Bild entsteht vor der Netzhaut. Man braucht eine Zerstreuungslinse, die die Strahlen zunächst auseinanderlenkt; dadurch wandert der Schnittpunkt nach hinten auf die Netzhaut.
Weitsichtig: Das Bild entsteht hinter der Netzhaut. Eine Sammellinse führt die Strahlen früher zusammen und holt das Bild nach vorn.
Merkhilfe: Die Korrekturlinse muss das Bild dorthin schieben, wo es fehlt, nach hinten beim Kurzsichtigen, nach vorn beim Weitsichtigen.
Detaillierte Schritterklärung anzeigen
Hier wird jeder Schritt einzeln erklärt, vor allem, warum er gemacht wird.
✦ Empfohlen: Standard – Die normale Erklärungstiefe passt zum Einstieg.
- 1
a) Was beim Auge fest ist und was beim Fotoapparat
Beim Auge ist der Abstand zwischen Linse und Netzhaut fest, die Bildweite lässt sich also nicht ändern. Deshalb wird die Brennweite verändert: Ein Ringmuskel wölbt die elastische Linse stärker (Nahsehen) oder lässt sie abflachen (Fernsehen). Das heißt Akkommodation.
- 2
a) Die umgekehrte Lösung beim Fotoapparat
Beim Fotoapparat ist die Brennweite des Objektivs fest. Deshalb wird die Bildweite verändert: Das Objektiv wird vor- oder zurückgeschoben, bis das Bild genau auf dem Sensor liegt.
- 3
b) Warum wir die Welt richtig herum sehen
Weil das Sehen im Gehirn stattfindet, nicht im Auge. Es hat von Geburt an gelernt, dass „oben auf der Netzhaut" der Realität unten entspricht. Optisch ist das Netzhautbild tatsächlich umgekehrt; im Auge gibt es keinen Vorgang, der es umdrehte.
- 4
c) Ergebnis deuten: welche Brille wohin schiebt
Kurzsichtig: Der Augapfel ist meist zu lang, das Bild entsteht vor der Netzhaut. Eine Zerstreuungslinse lenkt die Strahlen zunächst auseinander, dadurch wandert der Schnittpunkt nach hinten. Weitsichtig: Das Bild entsteht hinter der Netzhaut; eine Sammellinse führt die Strahlen früher zusammen und holt es nach vorn.
Übung 3
schwerEin Beamer soll ein hohes Bild an eine entfernte Wand werfen. Sein Bildchip ist hoch.
a) Welche Bildart liegt vor, und in welchem Bereich muss liegen?
b) Wie groß ist die Vergrößerung?
c) Warum muss man das Bild im Beamer auf dem Kopf erzeugen?
d) Was passiert mit dem Bild, wenn man die untere Hälfte der Linse abdeckt?
Tipp anzeigen
d) Denke daran, dass von jedem Gegenstandspunkt viele Strahlen ausgehen, nicht nur die drei Hauptstrahlen.
Lösung anzeigen
a) Das Bild wird auf einer Wand aufgefangen, ist also reell. Es ist außerdem vergrößert. Nach der Tabelle gehört beides zusammen zum Fall
Der Chip liegt also zwischen einfacher und doppelter Brennweite vor der Linse.
b)
Das Bild ist 50-mal so hoch wie der Chip.
c) Weil die Sammellinse im reellen Fall immer ein umgekehrtes Bild erzeugt. Würde der Chip das Bild aufrecht anzeigen, stünde es an der Wand auf dem Kopf. Deshalb stellt die Elektronik das Bild auf dem Chip von vornherein verkehrt herum dar; die Linse dreht es dann wieder richtig.
Dasselbe gilt für jeden Diaprojektor, weshalb man Dias verkehrt herum einlegt.
d) Das Bild bleibt vollständig, wird aber dunkler. Das ist der Punkt, an dem die Drei-Strahlen-Konstruktion in die Irre führen kann: Sie zeichnet nur drei Strahlen, in Wirklichkeit gehen von jedem Punkt des Gegenstands unzählige Strahlen aus, die die ganze Linsenfläche treffen.
Deckt man die halbe Linse ab, fehlt die Hälfte dieser Strahlen. Der Schnittpunkt der übrigen liegt aber an derselben Stelle, also entsteht dasselbe Bild, nur mit etwa der halben Lichtmenge.
Man kann das leicht prüfen: Hält man einen Finger vor die halbe Linse, verschwindet kein Bildteil. Das wäre nur der Fall, wenn man den Gegenstand selbst abdeckte.
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Hier wird jeder Schritt einzeln erklärt, vor allem, warum er gemacht wird.
✦ Empfohlen: Standard – Die normale Erklärungstiefe passt zum Einstieg.
- 1
Gegeben und Gesucht am Beamer
Gegeben: Bildhöhe , Wandabstand , Chiphöhe . Gesucht: a) Bildart und Bereich für , b) die Vergrößerung, c) und d) zwei Begründungen.
- 2
a) Bildart bestimmt den Bereich
Das Bild wird auf einer Wand aufgefangen, ist also reell, und es ist vergrößert. Nach der Bereichstabelle gehört beides zusammen zum Fall .
- 3
b) Die Vergrößerung als Verhältnis
Vergrößerung ist Bildhöhe geteilt durch Gegenstandshöhe. Weil Zentimeter durch Zentimeter geteilt wird, kürzt sich die Einheit vollständig weg.
Zwischenergebnis
-fache Vergrößerung
- 4
c) Warum das Bild im Beamer auf dem Kopf steht
Weil die Sammellinse im reellen Fall immer ein umgekehrtes Bild erzeugt. Zeigte der Chip das Bild aufrecht, stünde es an der Wand auf dem Kopf. Deshalb stellt die Elektronik es von vornherein verkehrt herum dar; die Linse dreht es dann wieder richtig.
- 5
d) Ergebnis deuten: die halbe Linse abdecken
Das Bild bleibt vollständig, wird aber dunkler. Von jedem Punkt des Gegenstands gehen unzählige Strahlen aus, die die ganze Linsenfläche treffen. Fehlt die Hälfte davon, liegt der Schnittpunkt der übrigen an derselben Stelle, dasselbe Bild mit etwa halber Lichtmenge.
Zusammenfassung
Eine Sammellinse ist in der Mitte dicker und bündelt achsenparalleles Licht im Brennpunkt; die Zerstreuungslinse ist in der Mitte dünner und lenkt es auseinander. Für die Bildkonstruktion genügen drei Hauptstrahlen, von denen jeder aus einer bekannten Tatsache folgt: der Parallelstrahl aus der Definition des Brennpunkts, der Brennpunktstrahl aus der Umkehrbarkeit des Lichtwegs, der Mittelpunktstrahl aus der planparallelen Wirkung in der Linsenmitte. Welches Bild entsteht, entscheidet allein das Verhältnis der Gegenstandsweite zu Brennweite und doppelter Brennweite: Außerhalb von ist das Bild reell und umgekehrt, innerhalb von virtuell, aufrecht und vergrößert. Reelle Bilder lassen sich auffangen und arbeiten in Kamera, Auge und Beamer; virtuelle nicht, und genau davon lebt die Lupe.