Abbildung an der optischen Bank

Auf der optischen Bank werden Gegenstandsweite $g$, Bildweite $b$ und Brennweite $f$ sauber messbar. Ihre Beziehung ist die Linsengleichung $\frac{1}{f} = \frac{1}{g} + \frac{1}{b}$, und wir prüfen sie über eine ganze Messreihe. Dazu kommen die Bildarten-Landkarte (wann verkleinert, wann vergrößert, wann virtuell?) und der Abbildungsmaßstab $\frac{B}{G} = \frac{b}{g}$: das komplette Regelwerk der Linsenabbildung.

Dies ist das quantitative Herzstück der Optik. Wer die Linsengleichung einmal selbst gemessen hat, kann jedes optische Gerät durchrechnen: Wo muss der Beamer stehen, warum stellt die Kamera „scharf“, wie entwirft das Auge sein Netzhautbild? Und die Kehrwert-Form der Gleichung gibt einen Vorgeschmack darauf, wie die Physik Formeln baut, die auf den ersten Blick unhandlich und auf den zweiten perfekt sind.

Kepler legte 1611 in der „Dioptrice“ die Strahlenkonstruktion der Linsenabbildung vor, die Grundlage für das nach ihm benannte Fernrohr. Die Kehrwert-Form der Linsengleichung stammt von Halley und wurde von Gauß 1841 zur allgemeinen Abbildungstheorie ausgebaut. Bis heute rechnet jede Objektiv-Software mit ihren Nachfahren.

Miss in den vier scharfen Stellungen der Variante 2 zusätzlich die Bildgröße des 2,0-cm-Pfeils und vergleiche B/G mit b/g.

Ein alter Bekannter: Bei der Lochkamera lieferte der Strahlensatz an den sich im Loch kreuzenden Geraden $\frac{B}{G} = \frac{b}{g}$. Die Linse hat denselben Kreuzungspunkt: Der Mittelpunktstrahl läuft ungebrochen durch die Linsenmitte (dort stehen die Flächen fast parallel, der Planplatten-Effekt) und spannt die gleichen ähnlichen Dreiecke auf. Die Lochkamera-Formel muss also wörtlich weitergelten. Die Vorhersagen: Bei $g=15$ ist $B = 2 \cdot 30/15 = 4{,}0$, bei $g=20$ sind es $2{,}0$, bei $g=30$ noch $1{,}0$ und bei $g=50$ nur $0{,}5\ \mathrm{cm}$.

Millimeterpapier auf der Mattscheibe; Pfeilspitzen als Messmarken (klarer als Kerzenflammen-Ränder).

Abbildung mit hervorgehobenem Mittelpunktstrahl und den zwei ähnlichen Dreiecken: links G über g, rechts B über b.

Aufbau: Optische Bank (Schiene mit Zentimeterskala), Kerze oder LED-Leuchtobjekt (Pfeil, Höhe 2,0 cm) auf Reiter, Sammellinse f = 10 cm im Halter, Mattscheibe/Schirm auf Reiter; abgedunkelter Raum.

Je Stellung aus Variante 2: B dreimal ablesen, mitteln; B/G und b/g gegenüberstellen.

Viermal exakte Übereinstimmung: $\frac{B}{G} = \frac{b}{g}$ gilt in jeder Stellung. Der Abbildungsmaßstab ist reiner Strahlensatz am Mittelpunktstrahl, und Lochkamera und Linse teilen sich diese Formel wörtlich. Die Linse fügt der Lochkamera also genau eine Neuerung hinzu, das Sammeln breiter Bündel (Helligkeit und Schärfeebene); die Geometrie des Maßstabs bleibt unangetastet.

Damit ist der Werkzeugkasten komplett: Die Linsengleichung (wo ist das Bild?) und die Maßstabsformel (wie groß ist es?) beantworten zusammen jede Abbildungsfrage. Ein Beispiel aus der Kleinbild-Fotografie: ein 1,8 m großer Mensch in 3,6 m Entfernung, $f = 50\ \mathrm{mm}$. Die Linsengleichung liefert $b \approx 50{,}7\ \mathrm{mm}$, der Maßstab $B = 180 \cdot 5{,}07/360 \approx 2{,}5\ \mathrm{cm}$, und das passt aufs 24-mm-Filmbild. Zwei Formeln, ein kompletter Fotokurs.

Rückblick auf die vier Varianten: f doppelt bestimmt, Gleichung geprüft, Landkarte kartiert, Maßstab bestätigt. Die Sammellinse ist damit vollständig vermessen. Jedes Linsengerät des Alltags ist jetzt eine Rechenaufgabe, kein Geheimnis.

$\frac{B}{G} = \frac{b}{g}$ ist in allen vier Stellungen genau bestätigt. Der Maßstab der Linsenabbildung ist die Lochkamera-Geometrie am Mittelpunktstrahl. Zusammen mit der Linsengleichung ist die Abbildung vollständig berechenbar.

Kleine Bilder, kleine Fehlerbudgets: