Reelle Zahlen und Quadratwurzeln

Ein Quadrat hat den Flächeninhalt $2\,\text{m}^2$, wie lang ist seine Seite? Gesucht ist die Zahl, deren Quadrat 2 ergibt: $\sqrt{2}$. Vor 2500 Jahren entdeckten die Pythagoreer entsetzt: Diese Zahl ist kein Bruch! Mit den irrationalen Zahlen wird die Zahlengerade endlich lückenlos, willkommen bei den reellen Zahlen.

Zu jeder Rechenart in der Mathematik gehört eine Umkehrung, eine Rechnung, die sie wieder rückgängig macht. Das kennst du längst:

Die Umkehrung brauchst du immer dann, wenn du das Ergebnis kennst und den Ausgangswert suchst. Genau das ist die Situation aus der Einführung: Der Flächeninhalt des Quadrats ist bekannt, gesucht ist die Seitenlänge.

Für die letzte Zeile der Tabelle fehlt bisher ein Zeichen. Deshalb wird es jetzt eingeführt.

Die Schreibweise

Man liest das als „Wurzel aus $a$". Die Zahl unter dem Wurzelzeichen heißt Radikand (von lateinisch radix = Wurzel).

So prüfst du jede Wurzel: Quadriere dein Ergebnis. Kommt der Radikand heraus, stimmt es.

Damit ist Wurzelziehen keine neue geheimnisvolle Rechnung, sondern eine Suchaufgabe, die du mit den Quadratzahlen aus Klasse 5 löst. Deshalb lohnt es sich hier so sehr, die Quadratzahlen bis $20^2 = 400$ im Kopf zu haben.

In der Definition oben steckt ein Wort, das leicht überlesen wird: nichtnegative Zahl. Das ist keine Kleinigkeit, sondern der Grund für den häufigsten Fehler dieses Kapitels. Deshalb schauen wir beide Feinheiten genau an.

Feinheit 1: Warum ist $\sqrt{25}$ nur $5$ und nicht auch $-5$?

Rechnerisch ergeben beide Zahlen quadriert $25$: $\;5^2 = 25$ und $(-5)^2 = 25$. Es gibt also zwei Kandidaten.

Ein mathematisches Zeichen muss aber eindeutig sein. Wenn $\sqrt{25}$ manchmal $5$ und manchmal $-5$ bedeuten dürfte, wüsstest du bei einer Rechnung nie, welcher Wert gemeint ist. Deshalb hat man festgelegt: Das Wurzelzeichen liefert immer den nichtnegativen Wert.

Und trotzdem hat $x^2 = 25$ zwei Lösungen

Hier liegt die Verwechslung. Vergleiche die beiden Zeilen genau:

Das ist kein Widerspruch, weil zwei verschiedene Dinge gefragt sind:

• $\sqrt{25}$ ist ein Rechenausdruck mit genau einem Wert, so wie $3 + 4$ genau einen Wert hat.
• $x^2 = 25$ ist eine Gleichung, und die Frage lautet: Welche Zahlen erfüllen sie? Darauf gibt es zwei richtige Antworten.

Merke dir die Kurzform: Das Zeichen gibt einen Wert. Die Gleichung hat zwei Lösungen. Beim Lösen von $x^2 = a$ schreibst du deshalb $x = \pm\sqrt{a}$, das Plusminus musst du setzen, die Wurzel bringt es nicht mit. (Wenn $x$ eine Länge ist, fällt die negative Lösung anschließend weg, nicht weil die Mathematik das verlangt, sondern weil es keine negativen Längen gibt.)

Feinheit 2: Warum darf unter der Wurzel nichts Negatives stehen?

Frage dich, was $\sqrt{-9}$ bedeuten würde: die Zahl, deren Quadrat $-9$ ergibt. Gibt es die?

• Eine positive Zahl mal sich selbst ergibt etwas Positives.
• Eine negative Zahl mal sich selbst ergibt ebenfalls etwas Positives (die beiden Minuszeichen heben sich auf).
• Und $0 \cdot 0 = 0$.

Es gibt also keine Zahl, deren Quadrat negativ ist. Damit hat $\sqrt{-9}$ keinen Wert, der Ausdruck ist nicht definiert. Das ist keine willkürliche Verbotsregel, sondern liegt daran, dass die gesuchte Zahl nicht existiert.

Praktisch heißt das: Kommt bei einer Aufgabe unter der Wurzel etwas Negatives heraus, ist das ein Ergebnis, meist bedeutet es „keine Lösung". Genau darauf trifft du beim Lösen quadratischer Gleichungen wieder.

Bisher warst du mit den rationalen Zahlen $\mathbb{Q}$ ausgekommen. Das sind alle Zahlen, die man als Bruch ganzer Zahlen schreiben kann. Dazu gehören mehr Zahlen, als man zunächst denkt: $\tfrac{3}{4}$, aber auch $0{,}75$ (das ist $\tfrac{3}{4}$), ebenso $-7$ (das ist $\tfrac{-7}{1}$) und sogar die periodische Dezimalzahl $0{,}\overline{3}$ (das ist $\tfrac{1}{3}$).

Und jetzt die Richtung, auf die es gleich ankommt: Jeder Bruch ergibt eine Dezimalzahl, die entweder abbricht oder periodisch wird, etwas Drittes kann gar nicht passieren.

Warum? Das hast du in Klasse 6 bereits begründet. Beim schriftlichen Dividieren $a : b$ bleibt in jedem Schritt ein Rest, und dieser Rest ist immer kleiner als $b$. Es gibt also nur endlich viele mögliche Reste. Entweder wird der Rest irgendwann null, dann bricht die Zahl ab. Oder er wird nie null, dann muss sich nach spätestens $b$ Schritten ein Rest wiederholen. Ab da wiederholt sich die ganze Rechnung, also auch die Ziffernfolge: Die Zahl ist periodisch.

Und nun $\sqrt{2}$

Hier passiert etwas Neues: Die Dezimalstellen brechen nie ab, und sie wiederholen sich auch nie in einem Muster.

Und genau dafür brauchst du den Satz von oben. Er sagt: Jeder Bruch bricht ab oder wird periodisch. $\sqrt{2}$ tut weder das eine noch das andere, also kann $\sqrt{2}$ kein Bruch sein.

Achte auf die Richtung des Schlusses. Es genügt nicht, sich zu merken „abbrechend oder periodisch $\Rightarrow$ Bruch". Daraus allein folgt über eine Zahl, die weder noch ist, gar nichts. Gebraucht wird die Aussage über alle Brüche, und die haben wir oben nachgewiesen.

(Dass die Dezimalstellen wirklich nie in ein Muster fallen, kann man an keiner endlichen Ziffernfolge ablesen. Man kann es aber beweisen. Der Beweis, dass es keine zwei ganzen Zahlen gibt, deren Bruch genau $\sqrt{2}$ ergibt, gehört zu den berühmtesten der Mathematik; im Unterricht der Klasse 9 wird er nicht geführt.)

Solche Zahlen heißen irrational („nicht als Verhältnis darstellbar"). Dazu gehören $\sqrt{2}$, $\sqrt{3}$, $\sqrt{5}$, die Wurzel aus jeder Zahl, die keine Quadratzahl ist, und auch $\pi$.

Für die Pythagoreer vor $2500$ Jahren war das ein Schock: Sie waren überzeugt, dass sich jede Größe als Verhältnis ganzer Zahlen ausdrücken lässt. $\sqrt{2}$ hat diese Überzeugung zerstört.

Aber existiert diese Zahl überhaupt?

Das ist eine berechtigte Frage, eine Zahl, die man nicht vollständig hinschreiben kann, wirkt verdächtig. Die Antwort liefert die Geometrie, und du kannst sie sehen: In einem Quadrat mit der Seitenlänge $1$ ist die Diagonale nach Pythagoras $\sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}$ lang. Diese Diagonale ist eine ganz normale Strecke, die man zeichnen und abmessen kann. Die Zahl existiert also als Länge, auch wenn ihre Dezimaldarstellung nie endet.

Die Wurzelspirale unten macht das für viele Wurzeln gleichzeitig sichtbar: Jedes neue Dreieck erzeugt die nächste Wurzel als echte Strecke.

Damit ist die Zahlengerade endlich vollständig

Nimmt man die rationalen und die irrationalen Zahlen zusammen, entstehen die reellen Zahlen $\mathbb{R}$. Erst jetzt gehört zu jedem Punkt der Zahlengeraden eine Zahl, vorher waren dort noch Lücken, etwa genau an der Stelle $\sqrt{2}$.

Diese Kette liest sich wie die Geschichte deines Matheunterrichts: Mit $\mathbb{N}$ konntest du zählen. Für $3 - 5$ brauchtest du $\mathbb{Z}$. Für $3 : 5$ brauchtest du $\mathbb{Q}$. Und für $\sqrt{2}$ brauchst du jetzt $\mathbb{R}$. Jedes Mal wurde der Zahlenbereich erweitert, weil eine Rechnung sonst keine Lösung hatte.

$\sqrt{49}$ konntest du exakt angeben, weil $49$ eine Quadratzahl ist. Was aber machst du bei $\sqrt{40}$? Diese Zahl hat unendlich viele Dezimalstellen, du kannst sie also gar nicht vollständig hinschreiben. Trotzdem lässt sich sehr gut sagen, wo sie liegt, und das reicht in den meisten Fällen.

Der Gedanke: einklemmen

Größere Zahlen haben größere Wurzeln. Deshalb kannst du $40$ zwischen die beiden benachbarten Quadratzahlen legen:

Und wenn $40$ zwischen $36$ und $49$ liegt, dann liegt auch die Wurzel dazwischen:

Damit weißt du schon: Das Ergebnis beginnt mit einer $6$. Genau das zeigt die Zahlengerade unten.

Eine Stelle genauer

Jetzt schaust du, wo genau zwischen den Nachbarn die Zahl liegt. Von $36$ bis $49$ sind es $13$ Schritte; $40$ liegt $4$ Schritte hinter $36$, also im ersten Drittel. Die Wurzel liegt daher näher an $6$ als an $7$, eine gute Schätzung ist $6{,}3$.

Und so prüfst du deine Schätzung, durch Quadrieren:

Also liegt $\sqrt{40}$ zwischen $6{,}3$ und $6{,}4$, und $6{,}3$ ist die bessere Schätzung. Dieses Verfahren funktioniert immer: schätzen, quadrieren, vergleichen, nachbessern. Du brauchst dafür nichts als das Einmaleins.

Warum das wichtig ist: Auch wenn du einen Taschenrechner hast, solltest du grob wissen, was herauskommen muss. Zeigt das Display plötzlich $63{,}2$ statt $6{,}32$, erkennst du den Tippfehler sofort.

Darf man Wurzeln auseinanderziehen? Also gilt zum Beispiel $\sqrt{4 \cdot 9} = \sqrt{4} \cdot \sqrt{9}$? Probieren wir es aus:

Beide Wege liefern $6$. Aber ein Beispiel könnte Zufall sein, deshalb überlegen wir, warum das immer funktioniert.

Die Begründung

Erinnere dich, was $\sqrt{a \cdot b}$ bedeutet: die nichtnegative Zahl, deren Quadrat $a \cdot b$ ergibt. Wenn wir also zeigen können, dass $\sqrt{a} \cdot \sqrt{b}$ genau diese Eigenschaft hat, dann müssen beide gleich sein.

Quadrieren wir dazu $\sqrt{a} \cdot \sqrt{b}$ und sortieren die Faktoren um (das Vertauschen ist erlaubt, Kommutativgesetz):

Im letzten Schritt haben wir benutzt, was eine Wurzel überhaupt ist: $\sqrt{a} \cdot \sqrt{a} = a$.

Das Ergebnis ist also: $\sqrt{a} \cdot \sqrt{b}$ ist nichtnegativ (ein Produkt zweier nichtnegativer Zahlen) und ergibt quadriert $a \cdot b$. Damit ist es genau die Zahl, die $\sqrt{a \cdot b}$ meint. So entstehen die beiden Wurzelgesetze (das zweite begründet man genauso mit dem Bruch):

Wofür man das braucht: teilweise Wurzelziehen

Die Gesetze sind kein Selbstzweck. Von rechts nach links gelesen erlauben sie, eine Wurzel exakt zu vereinfachen: Du suchst im Radikanden einen Faktor, der eine Quadratzahl ist, und ziehst nur aus ihm die Wurzel.

Warum ist $5\sqrt{2}$ besser als $7{,}07$? Weil $5\sqrt{2}$ exakt ist. $7{,}07$ ist gerundet, und Rundungsfehler wachsen bei weiteren Rechnungen an. Nimm für den Radikanden immer die größte enthaltene Quadratzahl, sonst bist du nicht fertig: $\sqrt{72} = \sqrt{4 \cdot 18} = 2\sqrt{18}$ ist noch nicht vereinfacht, denn in $18$ steckt noch die $9$. Richtig ist $\sqrt{72} = \sqrt{36 \cdot 2} = 6\sqrt{2}$.

Die wichtigste Warnung: für Plus und Minus gilt das NICHT

Rechne selbst nach: $\sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$, aber $\sqrt{9} + \sqrt{16} = 3 + 4 = 7$. Fünf ist nicht sieben, die Regel ist also falsch.

Warum machen so viele diesen Fehler? Weil er nach dem Muster der erlaubten Regel aussieht. Aber unsere Begründung oben funktioniert nur, weil man Faktoren beim Quadrieren umsortieren kann. Bei einer Summe geht das nicht: Quadriere $\sqrt{a} + \sqrt{b}$, und du erhältst nach der binomischen Formel $a + 2\sqrt{a}\sqrt{b} + b$, das lästige Mittelglied bleibt übrig. Es ist dieselbe Falle wie bei $(a+b)^2 \neq a^2 + b^2$: Wurzeln und Quadrate verteilen sich auf Produkte, nie auf Summen.