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Geometrie

Oberflächeninhalt und Volumen von Würfel und Quader

Wie viel Verpackung, wie viel Inhalt? Oberfläche und Rauminhalt berechnen.

Benötigte Grundlagen

Diese Themen kommen in diesem Kapitel vor und wurden vorher schon erklärt. Wenn dir eines davon unsicher vorkommt, frisch es kurz auf, sonst leg direkt los.

Einführung

Wie viel Geschenkpapier brauchst du für einen Karton, und wie viel passt hinein? Das sind zwei völlig verschiedene Fragen: Die erste fragt nach dem Oberflächeninhalt (der „Haut"), die zweite nach dem Volumen (dem Rauminhalt). Für Würfel und Quader kannst du beides nach diesem Kapitel im Schlaf berechnen.

Das kannst du nach diesem Kapitel

  • erklären, was Oberflächeninhalt und Volumen bedeuten, und die Formeln ohne Hilfsmittel angeben.

  • Oberflächeninhalt und Volumen von Würfel und Quader berechnen.

  • mit den Volumeneinheiten mm³, cm³, dm³, m³ sowie Liter und Milliliter umgehen.

  • Sachaufgaben zu Verpackungen, Aquarien und Räumen lösen.

Der Oberflächeninhalt

Der Oberflächeninhalt OO ist die Gesamtfläche aller Begrenzungsflächen zusammen, also genau die des Netzes, das du gerade kennengelernt hast. Man misst ihn in Flächeneinheiten wie cm2\text{cm}^2.

Schau dir den Quader unten an: Er hat drei verschiedene Flächenpaare (vorne/hinten, links/rechts, oben/unten). Jedes Paar kommt zweimal vor, deshalb die 22 vor der Klammer:

OQuader=2⋅(a⋅b+a⋅c+b⋅c)O_{\text{Quader}} = 2 \cdot (a \cdot b + a \cdot c + b \cdot c)

Beim Würfel sind alle 66 Flächen gleich große (a⋅a=a2a \cdot a = a^2):

OWu¨rfel=6⋅a2O_{\text{Würfel}} = 6 \cdot a^2

Wie die Formel entsteht

Die Formel musst du nicht auswendig lernen, du kannst sie jederzeit selbst aufbauen. Nimm dazu das Netz des Quaders und zähle die .

Ein Quader hat sechs Flächen. Aber je zwei gegenüberliegende sind deckungsgleich: Vorder- und Rückseite sind gleich groß, ebenso links/rechts und oben/unten.

Es gibt also nur drei verschiedene Rechtecke, jedes zweimal:

O=a⋅b+a⋅b⏟oben und unten+a⋅c+a⋅c⏟vorn und hinten+b⋅c+b⋅c⏟links und rechtsO = \underbrace{a \cdot b + a \cdot b}_{\text{oben und unten}} + \underbrace{a \cdot c + a \cdot c}_{\text{vorn und hinten}} + \underbrace{b \cdot c + b \cdot c}_{\text{links und rechts}}

Und weil jeder Summand doppelt vorkommt, darfst du die 22 ausklammern (Distributivgesetz, wie beim Rechteck-Umfang):

O=2⋅(a⋅b+a⋅c+b⋅c)O = 2 \cdot (a \cdot b + a \cdot c + b \cdot c)

Der häufigste Fehler dabei: die 22 nur auf den ersten Summanden anzuwenden. Denk an das Netz, dann siehst du sofort, dass alle drei Paare doppelt zählen.

Warum der Würfel eine einfachere Formel hat

Beim Würfel sind alle Kanten gleich lang. Damit werden aus den drei verschiedenen Rechtecken drei gleiche Quadrate, und statt drei Paaren hast du schlicht sechsmal dieselbe Fläche:

O=6⋅a2O = 6 \cdot a^2

Der Würfel ist also kein Sonderfall mit eigener Regel, sondern nur der einfachste Quader.

acb

Der Quader mit Länge aa, Breite bb (im Schrägbild die schräg gezeichnete Tiefe) und Höhe cc. Aus diesen drei Kanten ergeben sich sowohl die Oberfläche als auch das Volumen.

Das Netz zeigt die 2 vor der Klammer

a · ba · cb · ca · cb · ca · b

Derselbe Quader wie oben, aufgeklappt zum Netz. Jedes der drei Flächenpaare hat seine eigene Farbe, und jede Farbe kommt genau zweimal vor: a⋅ba \cdot b oben und unten, a⋅ca \cdot c vorn und hinten, b⋅cb \cdot c links und rechts. Genau deshalb steht in der Formel die 22 vor der Klammer: O=2⋅(a⋅b+a⋅c+b⋅c)O = 2 \cdot (a \cdot b + a \cdot c + b \cdot c).

Das Volumen

Das Volumen VV misst den Rauminhalt: Wie viele Einheitswürfel (z. B. kleine 1-cm31\text{-cm}^3-Würfel) passen in den Körper hinein?

Beim Quader legst du den Boden mit a⋅ba \cdot b Würfeln aus und stapelst diese Schicht cc-mal übereinander:

VQuader=a⋅b⋅cVWu¨rfel=a3V_{\text{Quader}} = a \cdot b \cdot c \qquad\qquad V_{\text{Würfel}} = a^3

Das Volumen wird in Raumeinheiten wie cm3\text{cm}^3 gemessen, gesprochen „Kubikzentimeter".

Volumeneinheiten und Hohlmaße

1 m3=1 000 dm31 dm3=1 000 cm31 cm3=1 000 mm31\,\text{m}^3 = 1\,000\,\text{dm}^3 \qquad 1\,\text{dm}^3 = 1\,000\,\text{cm}^3 \qquad 1\,\text{cm}^3 = 1\,000\,\text{mm}^3

Der Umrechnungsfaktor ist 1000, nicht 10 wie bei Längen, nicht 100 wie bei . Warum? Weil ein Würfel drei Richtungen hat: Verzehnfachst du die Kante, wächst das Volumen um 10⋅10⋅10=1 00010 \cdot 10 \cdot 10 = 1\,000.

Hohlmaße verbinden das mit dem Alltag: 1 Liter=1 dm31\,\text{Liter} = 1\,\text{dm}^3 und 1 ml=1 cm31\,\text{ml} = 1\,\text{cm}^3. Ein Milchkarton (1 l) ist also genau ein Kubikdezimeter!

Oberfläche oder Volumen? Die Einheit verrät es

Verwechsle die beiden nie, die Einheit verrät dir sofort, was gemeint ist:

misst …EinheitFormel (Quader)
Oberfläche OOdie Außenhautcm2\text{cm}^2 (!)2(ab+ac+bc)2(ab + ac + bc)
Volumen VVden Innenraumcm3\text{cm}^3 (Raum!)a⋅b⋅ca \cdot b \cdot c

Kommt bei deiner Rechnung cm2\text{cm}^2 heraus, hast du eine Fläche berechnet (Oberfläche). Kommt cm3\text{cm}^3 heraus, einen Rauminhalt (Volumen). Passt die Einheit nicht zur Frage, hast du die falsche Formel benutzt.

Denk weiter: Du verdoppelst die Kantenlänge eines Würfels. Wird dann auch die Oberfläche doppelt so groß, und das Volumen?

Schätze erst, dann rechne nach. Die meisten tippen bei beidem auf „doppelt", und liegen zweimal daneben.

Nimm einen kleinen Würfel mit a=1 cma = 1\,\text{cm} und einen doppelt so großen mit a=2 cma = 2\,\text{cm}:

a=1 cma = 1\,\text{cm}a=2 cma = 2\,\text{cm}Faktor
Oberfläche O=6a2O = 6a^26 cm26\,\text{cm}^224 cm224\,\text{cm}^2mal 4
Volumen V=a3V = a^31 cm31\,\text{cm}^38 cm38\,\text{cm}^3mal 8

Die Oberfläche wird viermal so groß, das Volumen achtmal, und keins von beidem doppelt.

Warum das so sein muss, steht in den Formeln. Schau auf die Hochzahlen:

  • In O=6a2O = 6a^2 werden zwei Kanten multipliziert. Verdoppelst du die Kante, verdoppelt sich jede davon: 2⋅2=42 \cdot 2 = 4.
  • In V=a3V = a^3 sind es drei Kanten: 2⋅2⋅2=82 \cdot 2 \cdot 2 = 8.

Die Hochzahl sagt dir also, wie oft der Faktor wirkt. Das ist genau derselbe Gedanke wie bei den Volumeneinheiten: Dort wird die Kante mal zehn genommen, und das Volumen wächst um 10⋅10⋅10=1 00010 \cdot 10 \cdot 10 = 1\,000.

Und was heißt das im Alltag? In eine Umzugskiste mit doppelten Kantenlängen passt nicht doppelt so viel, sondern achtmal so viel: Pappe brauchst du dafür aber nur viermal so viel. Größere Kisten sind deshalb, aufs Volumen gerechnet, sparsamer.

(In Klasse 9 bekommt dieser Zusammenhang einen Namen und gilt dann für alle Körper, nicht nur für Würfel.)

Quader: Oberfläche und Volumen

Ein Karton ist 5 cm5\,\text{cm} lang, 3 cm3\,\text{cm} breit und 2 cm2\,\text{cm} hoch. Berechne Oberflächeninhalt und Volumen.

  1. 1

    Was ist gegeben, was ist gesucht?

    Gegeben: a=5 cma = 5\,\text{cm}, b=3 cmb = 3\,\text{cm}, c=2 cmc = 2\,\text{cm}. Gesucht: zwei verschiedene Größen, die Oberfläche OO und das Volumen VV.

    Mach dir zuerst klar, was das jeweils bedeutet: OO ist die Pappe außen herum (eine , in cm2\text{cm}^2), VV ist der Platz innen drin (ein Rauminhalt, in cm3\text{cm}^3).

  2. 2

    Schritt 1: Die drei Flächenpaare des Quaders bestimmen.

    Ein Quader hat sechs Flächen, aber immer zwei gleiche gegenüber. Es gibt also nur drei verschiedene :

    a⋅b=5⋅3=15a⋅c=5⋅2=10b⋅c=3⋅2=6a \cdot b = 5 \cdot 3 = 15 \qquad a \cdot c = 5 \cdot 2 = 10 \qquad b \cdot c = 3 \cdot 2 = 6

    (jeweils in cm2\text{cm}^2)

  3. 3

    Schritt 2: Die Oberfläche berechnen.

    Jedes Paar kommt zweimal vor, deshalb steht die 22 vor der Klammer:

    O=2⋅(15+10+6)=2⋅31=62 cm2O = 2 \cdot (15 + 10 + 6) = 2 \cdot 31 = 62\,\text{cm}^2

    Rechne zuerst die Klammer, dann verdopple. Wer die 22 nur auf den ersten Summanden anwendet, verliert zwei Drittel der Oberfläche.

  4. 4

    Schritt 3: Das Volumen berechnen.

    Denk an die Schichten: Der Boden fasst 5⋅3=155 \cdot 3 = 15 kleine Würfel, und davon liegen 22 Schichten übereinander.

    V=5⋅3⋅2=30 cm3V = 5 \cdot 3 \cdot 2 = 30\,\text{cm}^3
  5. 5

    Schritt 4: Die Einheiten prüfen.

    O=62 cm2V=30 cm3O = 62\,\text{cm}^2 \qquad V = 30\,\text{cm}^3

    Bei der Oberfläche wurden zwei Längen multipliziert → Quadratzentimeter. Beim Volumen drei → Kubikzentimeter.

    Das ist deine beste Kontrolle: Passt die Einheit nicht zur Frage, hast du die falsche Formel benutzt.

  6. 6

    Schritt 5: Das Ergebnis in Worte fassen.

    62 cm262\,\text{cm}^2 Pappe braucht man mindestens für den Karton (Klebefalze noch nicht mitgerechnet), und 30 cm330\,\text{cm}^3 passen hinein.

    Beachte: Die größere Zahl gehört hier zur Oberfläche, daraus darfst du nichts schließen. Die beiden Größen messen Verschiedenes und lassen sich gar nicht vergleichen.

O=62 cm2O = 62\,\text{cm}^2 und V=30 cm3V = 30\,\text{cm}^3

Aquarium in Litern

Ein Aquarium ist innen 60 cm60\,\text{cm} lang, 30 cm30\,\text{cm} breit und 40 cm40\,\text{cm} hoch. Wie viele Liter Wasser fasst es (bis zum Rand)?

  1. 1

    Was ist gegeben, was ist gesucht?

    Gegeben sind die drei Innenmaße. Gesucht ist, wie viel hineinpasst, also das Volumen, und zwar am Ende in Litern.

    Der Weg hat deshalb zwei Teile: erst das Volumen ausrechnen, dann in die richtige Einheit übersetzen.

  2. 2

    Schritt 1: Das Volumen in cm3\text{cm}^3 berechnen.

    V=60⋅30⋅40=72 000 cm3V = 60 \cdot 30 \cdot 40 = 72\,000\,\text{cm}^3

    (Zwischenschritt: 60⋅30=1 80060 \cdot 30 = 1\,800, dann 1 800⋅40=72 0001\,800 \cdot 40 = 72\,000.)

  3. 3

    Schritt 2: Die Brücke zum Liter finden.

    Liter ist keine „normale" Volumeneinheit. Sie hat aber eine feste Entsprechung:

    1 Liter=1 dm31\,\text{Liter} = 1\,\text{dm}^3

    Du musst deine cm3\text{cm}^3 also zuerst in dm3\text{dm}^3 umwandeln.

  4. 4

    Schritt 3: Umrechnen, mit dem richtigen Faktor.

    1 dm3=1 000 cm31\,\text{dm}^3 = 1\,000\,\text{cm}^3

    Warum 1000 und nicht 10? Weil ein Kubikdezimeter in drei Richtungen zehnmal so groß ist: 10⋅10⋅10=1 00010 \cdot 10 \cdot 10 = 1\,000.

    72 000 cm3:1 000=72 dm372\,000\,\text{cm}^3 : 1\,000 = 72\,\text{dm}^3
  5. 5

    Schritt 4: In Liter übersetzen.

    72 dm3=72 Liter72\,\text{dm}^3 = 72\,\text{Liter}
  6. 6

    Schritt 5: Der schnellere Weg: und die Kontrolle.

    Rechne die Maße gleich zu Beginn in Dezimeter um:

    6 dm⋅3 dm⋅4 dm=72 dm3=72 Liter6\,\text{dm} \cdot 3\,\text{dm} \cdot 4\,\text{dm} = 72\,\text{dm}^3 = 72\,\text{Liter}

    Dasselbe Ergebnis, ohne große Zahlen ✓

    Plausibilitätscheck: Ein Eimer fasst etwa 1010 Liter. 7272 Liter sind also rund sieben Eimer, für ein Aquarium dieser Größe realistisch.

Das Aquarium fasst 72 Liter.

Typischer Fehler

„Würfel mit a=3 cma = 3\,\text{cm}: Volumen =33=9 cm3= 3^3 = 9\,\text{cm}^3… oder war es 2727? Und die Oberfläche ist 27 cm227\,\text{cm}^2… irgendwie so."

Zwei klassische Verwechslungen auf einmal! Volumen: a3=3⋅3⋅3=27 cm3a^3 = 3 \cdot 3 \cdot 3 = 27\,\text{cm}^3 (nicht 3⋅3=93 \cdot 3 = 9, das wäre a2a^2). Oberfläche: 6⋅a2=6⋅9=54 cm26 \cdot a^2 = 6 \cdot 9 = 54\,\text{cm}^2. Merkhilfe über die Einheiten: ↔ cm² ↔ a2a^2 und Volumen ↔ cm³ ↔ a3a^3, die Hochzahl der Einheit passt zur Hochzahl der Formel.

Übung 1

leicht

Ein Würfel hat die Kantenlänge a=4 cma = 4\,\text{cm}. Berechne Oberflächeninhalt und Volumen.

Tipp anzeigen

O=6a2O = 6a^2, V=a3V = a^3.

Lösung anzeigen

O=6⋅42=6⋅16=96 cm2O = 6 \cdot 4^2 = 6 \cdot 16 = 96\,\text{cm}^2

V=43=64 cm3V = 4^3 = 64\,\text{cm}^3

Detaillierte Schritterklärung anzeigen

Hier wird jeder Schritt einzeln erklärt, vor allem, warum er gemacht wird.

Erklärungstiefe

✦ Empfohlen: Standard – Die normale Erklärungstiefe passt zum Einstieg.

  1. 1

    Die zwei Größen auseinanderhalten

    Gesucht sind ZWEI verschiedene Dinge: die Oberfläche (alle sechs Außenflächen zusammen, in cm2\text{cm}^2) und das Volumen (der Rauminhalt, in cm3\text{cm}^3).

  2. 2

    Oberfläche: sechs gleiche Quadrate

    Jede Würfelfläche ist ein Quadrat mit a2=4⋅4=16 cm2a^2 = 4 \cdot 4 = 16\,\text{cm}^2; sechs davon: O=6⋅16=96 cm2O = 6 \cdot 16 = 96\,\text{cm}^2.

    O=6⋅42=6⋅16=96 cm2O = 6 \cdot 4^2 = 6 \cdot 16 = 96\,\text{cm}^2

    Zwischenergebnis

    96 cm296\,\text{cm}^2

  3. 3

    Volumen: dritte Potenz der Kante

    V=a3=4⋅4⋅4=64 cm3V = a^3 = 4 \cdot 4 \cdot 4 = 64\,\text{cm}^3.

Übung 2

mittel

Wandle um: a) 5 dm35\,\text{dm}^3 in cm³ b) 2 500 ml2\,500\,\text{ml} in Liter c) 0,4 m30{,}4\,\text{m}^3 in dm³

Tipp anzeigen

Pro Stufe drei Nullen; 1 ml=1 cm31\,\text{ml} = 1\,\text{cm}^3.

Lösung anzeigen

a) 5⋅1 000=5 000 cm35 \cdot 1\,000 = 5\,000\,\text{cm}^3

b) 2 500 ml=2 500 cm3=2,5 dm3=2,5 l2\,500\,\text{ml} = 2\,500\,\text{cm}^3 = 2{,}5\,\text{dm}^3 = 2{,}5\,\text{l}

c) 0,4⋅1 000=400 dm30{,}4 \cdot 1\,000 = 400\,\text{dm}^3

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Hier wird jeder Schritt einzeln erklärt, vor allem, warum er gemacht wird.

Erklärungstiefe

✦ Empfohlen: Standard – Die normale Erklärungstiefe passt zum Einstieg.

  1. 1

    Die 1000er-Treppe der Raumeinheiten

    Bei Raumeinheiten gilt zwischen Nachbarn der Faktor 1 0001\,000: 1 m3=1 000 dm31\,\text{m}^3 = 1\,000\,\text{dm}^3,   1 dm3=1 000 cm3\;1\,\text{dm}^3 = 1\,000\,\text{cm}^3.

  2. 2

    a) und c) mit der Treppe rechnen

    a) 5 dm3=5⋅1 000=5 000 cm35\,\text{dm}^3 = 5 \cdot 1\,000 = 5\,000\,\text{cm}^3. c) 0,4 m3=0,4⋅1 000=400 dm30{,}4\,\text{m}^3 = 0{,}4 \cdot 1\,000 = 400\,\text{dm}^3.

    5⋅1 000=5 000,0,4⋅1 000=4005 \cdot 1\,000 = 5\,000, \quad 0{,}4 \cdot 1\,000 = 400

  3. 3

    b) Über die Liter-Brücke

    Hohlmaße und Raummaße hängen zusammen: 1 ml=1 cm31\,\text{ml} = 1\,\text{cm}^3 und 1 l=1 dm31\,\text{l} = 1\,\text{dm}^3. Also: 2 500 ml=2 500 cm3=2,5 dm3=2,5 l2\,500\,\text{ml} = 2\,500\,\text{cm}^3 = 2{,}5\,\text{dm}^3 = 2{,}5\,\text{l}.

Übung 3

schwer

Aus einem Würfel mit Kantenlänge 6 cm6\,\text{cm} werden kleine Würfel mit Kantenlänge 2 cm2\,\text{cm} gesägt. a) Wie viele kleine Würfel entstehen? b) Vergleiche die Gesamtoberfläche aller kleinen Würfel mit der des großen.

Tipp anzeigen

a) Wie viele passen pro Richtung? b) Erst OO eines kleinen Würfels berechnen.

Lösung anzeigen

a) Pro Richtung passen 6:2=36 : 2 = 3 Würfel → 3⋅3⋅3=273 \cdot 3 \cdot 3 = 27 kleine Würfel.

b) Großer Würfel: O=6⋅36=216 cm2O = 6 \cdot 36 = 216\,\text{cm}^2.

Kleiner Würfel: O=6⋅4=24 cm2O = 6 \cdot 4 = 24\,\text{cm}^2; alle zusammen: 27⋅24=648 cm227 \cdot 24 = 648\,\text{cm}^2.

Die Gesamtoberfläche verdreifacht sich (648=3⋅216648 = 3 \cdot 216), durch das Zersägen entstehen viele neue Schnittflächen!

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Hier wird jeder Schritt einzeln erklärt, vor allem, warum er gemacht wird.

Erklärungstiefe

✦ Empfohlen: Standard – Die normale Erklärungstiefe passt zum Einstieg.

  1. 1

    a) Kleine Würfel zählen

    Entlang jeder Kante passen 6:2=36 : 2 = 3 kleine Würfel, in Länge, Breite UND Höhe. Insgesamt: 3⋅3⋅3=273 \cdot 3 \cdot 3 = 27 Stück.

    6:2=3,3⋅3⋅3=276:2 = 3, \quad 3 \cdot 3 \cdot 3 = 27

    Zwischenergebnis

    2727 kleine Würfel

  2. 2

    b) Beide Oberflächen berechnen

    Großer Würfel: O=6⋅62=216 cm2O = 6 \cdot 6^2 = 216\,\text{cm}^2. Ein kleiner: O=6⋅22=24 cm2O = 6 \cdot 2^2 = 24\,\text{cm}^2; alle 2727 zusammen: 27⋅24=648 cm227 \cdot 24 = 648\,\text{cm}^2.

    Zwischenergebnis

    216 cm2216\,\text{cm}^2 vs. 648 cm2648\,\text{cm}^2

  3. 3

    Vergleichen und das Warum verstehen

    648=3⋅216648 = 3 \cdot 216: Die Gesamtoberfläche VERDREIFACHT sich. Grund: Jeder Sägeschnitt legt zwei neue frei, die vorher im Inneren verborgen waren.

Zusammenfassung

Die Oberfläche ist die Außenhaut (Netz-Fläche, Einheit cm²), das Volumen der Innenraum (Einheitswürfel zählen, Einheit cm³). Für den Quader gilt O=2(ab+ac+bc)O = 2(ab+ac+bc) und V=abcV = abc, beim Würfel 6a26a^2 und a3a^3. Volumeneinheiten springen in Tausenderschritten, und über 1 l=1 dm31\,\text{l} = 1\,\text{dm}^3 verbindest du Geometrie mit dem Alltag.