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Arithmetik / Zahlen

Potenzen und Quadratzahlen

Die Potenzschreibweise verstehen und Quadratzahlen bis 20² sicher beherrschen.

Benötigte Grundlagen

Diese Themen kommen in diesem Kapitel vor und wurden vorher schon erklärt. Wenn dir eines davon unsicher vorkommt, frisch es kurz auf, sonst leg direkt los.

Einführung

Ein Gerücht verbreitet sich: Eine Person erzählt es zwei anderen, jede davon wieder zweien … Nach 10 wissen es schon über tausend Menschen! Solche Verdopplungen schreibt die Mathematik ganz kurz: 2102^{10}. Die Potenzschreibweise ist die Abkürzung für wiederholtes Multiplizieren, und die Quadratzahlen sind ihre wichtigsten Vertreter.

Das kannst du nach diesem Kapitel

  • die Begriffe Basis, Exponent und Potenz erklären und verwenden.

  • Potenzen mit natürlichen Exponenten berechnen.

  • die Quadratzahlen bis 20220^2 auswendig abrufen.

  • Potenzen und Produkte unterscheiden (23≠2⋅32^3 \neq 2 \cdot 3!).

Potenzen: die Abkürzung fürs Multiplizieren

Manche Multiplikationen bestehen aus immer demselben Faktor. Statt 3⋅3⋅3⋅33 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 zu schreiben, kürzt die Mathematik das ab:

34=3⋅3⋅3⋅3⏟4 Faktoren=813^4 = \underbrace{3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3}_{4 \text{ Faktoren}} = 81

Die untere Zahl (33) heißt Basis. Das ist der Faktor, der wiederholt wird. Die kleine Hochzahl (44) heißt Exponent und zählt, wie oft die Basis als Faktor vorkommt. Den ganzen Ausdruck 343^4 nennt man Potenz.

Vorsicht, häufiger Fehler: 343^4 ist nicht 3⋅4=123 \cdot 4 = 12. Der Exponent bedeutet nicht „mal 44", sondern „vier gleiche Faktoren", deshalb ist 34=813^4 = 81.

Sprechweise: „drei hoch vier". Beim Exponenten 22 sagt man auch „zum ": 525^2 = „fünf zum Quadrat". Und ein paar Fälle merkst du dir schnell: a1=aa^1 = a (nur ein Faktor) und 1n=11^n = 1 (Einsen bleiben Einsen).

Warum Potenzen so schnell wachsen

Vergleiche einmal in Ruhe:

3⋅4=1234=813 \cdot 4 = 12 \qquad 3^4 = 81

Der Unterschied ist gewaltig, und er wird mit jedem Schritt größer. Der Grund: Beim Multiplizieren kommt immer dasselbe dazu, beim Potenzieren wird das Ergebnis jedes Mal wieder verdreifacht.

Bei 2102^{10} aus der Einführung siehst du das deutlich: Jede Runde verdoppelt die Zahl der Mitwisser, 2,4,8,16,32,64,128,256,512,1 0242, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1\,024. Nach zehn sind es über tausend Menschen, obwohl jeder es nur zwei anderen erzählt hat.

Genau deshalb lohnt sich die kurze Schreibweise: Winzige Exponenten stehen für riesige Zahlen.

Zehnerpotenzen kennst du schon

Der wichtigste Sonderfall ist die Basis 1010:

103=10⋅10⋅10=1 00010^3 = 10 \cdot 10 \cdot 10 = 1\,000

Warum der Exponent hier genau die Nullen zählt, hast du im Kapitel darstellen und ordnen hergeleitet. Schau dort noch einmal nach, falls es dir nicht mehr präsent ist. Hier reicht das Ergebnis:

10n=1 mit n Nullen10^n = 1 \text{ mit } n \text{ Nullen}
Denk weiter: Nach 10 Runden wissen rund 1000 Menschen von dem Gerücht. Nach wie vielen Runden wüsste es ungefähr eine Million Menschen?

Schätze erst selbst, du brauchst dafür nichts auszurechnen.

Nach 1010 sind es rund 1 0001\,000 Menschen (210=1 0242^{10} = 1\,024).

Jede weitere Runde verdoppelt die Zahl. Zehn weitere Runden verdoppeln also zehnmal, und zehnmal verdoppeln bedeutet ungefähr mal tausend:

1 000⋅1 000=1 000 0001\,000 \cdot 1\,000 = 1\,000\,000

Antwort: nach etwa 20 Runden. (Genau: 220=1 048 5762^{20} = 1\,048\,576.)

Das Erstaunliche daran: Für das Tausendfache braucht es nur zehn weitere Runden, und jeder erzählt es dabei bloß zwei Leuten. Genau das meint der Satz „Potenzen wachsen rasend schnell".

Falls du deutlich mehr Runden geschätzt hast: Damit bist du in guter Gesellschaft. Menschen unterschätzen solches Wachstum fast immer. Das ist der eigentliche Lerneffekt dieser Aufgabe.

Quadratzahlen, und warum sie so heißen

Ist der Exponent 22, heißt die Potenz Quadratzahl: a2=a⋅aa^2 = a \cdot a. Aber warum ausgerechnet „"?

Das siehst du im Bild unten: Legst du aa Reihen mit je aa Kästchen aus, entsteht ein Quadrat, und die Anzahl der Kästchen ist genau a⋅a=a2a \cdot a = a^2. So ist 52=5⋅5=255^2 = 5 \cdot 5 = 25 die Kästchenzahl eines 5×55 \times 5-Quadrats.

Daher der Name: Eine Quadratzahl ist die eines Quadrats mit ganzzahliger Seitenlänge.

Ein schönes Muster in der Reihe

Schreibe die ersten Quadratzahlen auf und schau dir die Abstände dazwischen an:

1,4,9,16,25(+3,  +5,  +7,  +9)1, \quad 4, \quad 9, \quad 16, \quad 25 \qquad (+3, \; +5, \; +7, \; +9)

Die Abstände sind lauter ungerade Zahlen, und zwar der Reihe nach. Zufall ist das nicht.

Stell dir vor, du vergrößerst ein 4×44 \times 4-Quadrat auf 5×55 \times 5. Was musst du anlegen? Eine neue Spalte mit 44 Kästchen, eine neue Zeile mit 44 Kästchen, und in die Ecke kommt noch ein Kästchen dazu:

4+4+1=94 + 4 + 1 = 9

Deshalb wächst das Quadrat immer um eine ungerade Zahl: zweimal die alte Seitenlänge plus das Eckkästchen.

Das ist mehr als eine Spielerei, mit diesem Muster kannst du die nächste Quadratzahl im Kopf ausrechnen, wenn du die vorherige kennst.

5 Kästchen5 Reihen5² = 5 · 5 = 25

52=5⋅5=255^2 = 5 \cdot 5 = 25: fünf Reihen mit je fünf Kästchen bilden ein aus 2525 Kästchen.

Die wichtigsten Quadratzahlen auswendig

Quadratzahlen tauchen in fast jedem späteren Thema wieder auf, bei Wurzeln, den binomischen Formeln und dem Satz des Pythagoras. Deshalb solltest du die wichtigsten auswendig können:

nn12345678910
n2n^2149162536496481100
nn11121314151617181920
n2n^2121144169196225256289324361400

Tipp: Potenzen wachsen rasend schnell. Beim Verdoppeln bist du nach nur 1010 Schritten schon bei 210=1 0242^{10} = 1\,024, genau das Gerücht aus der Einführung.

Was zuerst? Potenz vor Punkt vor Strich

Sobald Potenzen in einer längeren Rechnung stehen, stellt sich die Frage: Was rechnest du zuerst?

Schau dir an, wie unterschiedlich das ausgeht:

2+32=2+9=11oder(2+3)2=52=252 + 3^2 = 2 + 9 = 11 \qquad \text{oder} \qquad (2+3)^2 = 5^2 = 25

Damit nicht jeder etwas anderes herausbekommt, gibt es eine feste Reihenfolge:

Klammer vor Potenz vor Punkt vor Strich.

Warum ausgerechnet diese Reihenfolge?

Die Reihenfolge ist eine Vereinbarung, so wie bei den Verkehrsregeln, wo auch festgelegt werden musste, dass alle rechts fahren. Aber sie ist keine willkürliche Vereinbarung: Man hat sich für genau diese entschieden, weil sie das Aufschreiben am einfachsten macht. Denk daran, wie die Rechenarten entstanden sind:

  • Ein Mal ist die Kurzform für mehrere Plus: 3⋅4=4+4+43 \cdot 4 = 4 + 4 + 4.
  • Eine Potenz ist die Kurzform für mehrere Mal: 34=3⋅3⋅3⋅33^4 = 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3.

Jede Stufe fasst also die Stufe darunter zu einem Paket zusammen. In 2+322 + 3^2 steht hinter der 323^2 eigentlich 3⋅33 \cdot 3, und dieses Paket gehört zusammen.

Was die Vereinbarung erspart: Ohne sie müsste man das Paket jedes Mal durch Klammern kenntlich machen und 2+(3⋅3)2 + (3 \cdot 3) schreiben. Mit der Regel „Potenz vor Punkt vor Strich" darf man die Klammern weglassen, ohne dass es zweideutig wird. Genau deshalb hat man sie so und nicht andersherum festgelegt.

Was du daraus mitnehmen sollst: Die Reihenfolge ist nicht aus der Mathematik ableitbar wie eine Formel, man könnte sich anders einigen. Aber irgendeine Einigung muss es geben, sonst bekäme jeder ein anderes Ergebnis. Dasselbe Muster hast du im : Dass erst xx und dann yy genannt wird, ist ebenfalls eine Vereinbarung, aber eine unverzichtbare.

Und wenn du es anders brauchst?

Dann setzt du eine Klammer. Sie ist die Ansage: „Das hier zuerst, egal was die Regel sagt."

(2+3)2=52=25(2+3)^2 = 5^2 = 25

Deshalb steht die Klammer in der Reihenfolge auch ganz vorn.

Eine Falle zum Schluss

3⋅22=3⋅4=12aber(3⋅2)2=62=363 \cdot 2^2 = 3 \cdot 4 = 12 \qquad \text{aber} \qquad (3 \cdot 2)^2 = 6^2 = 36

Ohne Klammer gehört der Exponent nur zur Zahl direkt davor, die 22 wird quadriert, nicht die 66. Schau bei jeder Potenz genau hin, worauf sie sich bezieht.

Potenzen berechnen

Berechne: a) 343^4 b) 262^6 c) 10510^5

  1. 1

    Was ist gesucht? Zu jeder Potenz der ausgerechnete Wert.

    Denk daran, was die Hochzahl bedeutet: Sie sagt, wie oft die Basis als Faktor vorkommt. Sie ist kein zweiter Faktor. Schreibe die Potenz deshalb erst einmal aus.

  2. 2

    Teil a): Schritt 1: Ausschreiben.

    34=3⋅3⋅3⋅33^4 = 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3

    Vier Dreien, denn der Exponent ist 44.

  3. 3

    Teil a): Schritt 2: Schrittweise ausrechnen.

    Rechne immer nur zwei Zahlen auf einmal, dann verrechnest du dich nicht:

    3⋅3=99⋅3=2727⋅3=813 \cdot 3 = 9 \qquad 9 \cdot 3 = 27 \qquad 27 \cdot 3 = 81

    Also 34=813^4 = 81.

    Beachte den Unterschied: 3⋅43 \cdot 4 wäre nur 1212 gewesen.

  4. 4

    Teil b): Schritt 3: Die Verdopplungskette nutzen.

    26=2⋅2⋅2⋅2⋅2⋅22^6 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2

    Bei der Basis 22 musst du nur immer verdoppeln:

    2,  4,  8,  16,  32,  642, \; 4, \; 8, \; 16, \; 32, \; 64

    Zähle die Zahlen der Kette: Es sind sechs, passend zum Exponenten 66. Also 26=642^6 = 64.

  5. 5

    Teil c): Schritt 4: Zehnerpotenz direkt hinschreiben.

    Bei der Basis 1010 brauchst du nicht zu rechnen: Der Exponent zählt die Nullen.

    105=100 000(eine 1 mit fu¨nf Nullen)10^5 = 100\,000 \quad (\text{eine } 1 \text{ mit fünf Nullen})
  6. 6

    Schritt 5: Kontrolle.

    Prüfe bei jeder Teilaufgabe, ob die Anzahl der Faktoren zum Exponenten passt: vier Dreien ✓, sechs Zweien ✓, fünf Nullen ✓.

    Genau dieser Abgleich verhindert den häufigsten Fehler, einen Faktor zu viel oder zu wenig.

a) 34=813^4 = 81 · b) 26=642^6 = 64 · c) 105=100 00010^5 = 100\,000

Potenz oder Produkt? Der Unterschied

Vergleiche 535^3 und 5⋅35 \cdot 3. Wie groß ist der Unterschied?

  1. 1

    Worum geht es? Beide enthalten nur die Zahlen 55 und 33. Sie sehen sich also zum Verwechseln ähnlich.

    Genau das ist der häufigste Fehler bei Potenzen. Deshalb rechnest du hier beide Wege sauber getrennt aus und schaust dir das Ergebnis an.

  2. 2

    Schritt 1: Was sagt die Potenz?

    Der Exponent 33 zählt, wie oft die Basis als Faktor vorkommt:

    53=5⋅5⋅55^3 = 5 \cdot 5 \cdot 5

    Drei Fünfen, verbunden mit Mal.

  3. 3

    Schritt 2: Die Potenz ausrechnen.

    5⋅5=2525⋅5=1255 \cdot 5 = 25 \qquad 25 \cdot 5 = 125

    Also 53=1255^3 = 125.

  4. 4

    Schritt 3: Was sagt das Produkt?

    5⋅35 \cdot 3 heißt: dreimal die 55, aber verbunden mit Plus:

    5⋅3=5+5+5=155 \cdot 3 = 5 + 5 + 5 = 15
  5. 5

    Schritt 4: Den Unterschied bestimmen.

    125−15=110125 - 15 = 110

    Aus denselben zwei Zahlen entstehen also Ergebnisse, die um 110110 auseinanderliegen.

  6. 6

    Schritt 5: Verstehen, woher der Riesenunterschied kommt.

    Beim Produkt werden Fünfen zusammengezählt, bei der Potenz werden sie multipliziert. Und Multiplizieren wächst viel schneller als Addieren.

    Merke dir die Sprechweise: „55 hoch 33" bedeutet drei Fünfen mal, „55 mal 33" bedeutet drei Fünfen plus. Lies die Hochzahl nie als weiteren Faktor.

53=1255^3 = 125, aber 5⋅3=155 \cdot 3 = 15, der Unterschied beträgt 110110.

Rechenreihenfolge mit Potenzen

Berechne: a) 5+2⋅325 + 2 \cdot 3^2 b) (5+2)⋅32(5 + 2) \cdot 3^2

  1. 1

    Was ist gesucht? Zwei Ergebnisse, und die Aufgabe will dir zeigen, dass die Klammer alles verändert.

    Beide enthalten dieselben Zahlen. Nur die Reihenfolge der Schritte ist verschieden.

  2. 2

    Teil a): Schritt 1: Die Reihenfolge festlegen.

    Regel: Klammer vor Potenz vor Punkt vor Strich.

    In 5+2⋅325 + 2 \cdot 3^2 gibt es keine Klammer. Also kommt zuerst die Potenz 323^2 an die Reihe, dann das Mal, ganz zuletzt das Plus.

  3. 3

    Teil a): Schritt 2: Potenz ausrechnen.

    32=3⋅3=93^2 = 3 \cdot 3 = 9

    Der Term lautet jetzt: 5+2⋅95 + 2 \cdot 9.

    Achtung: Die Potenz gehört nur zur 33, nicht zur 22 davor.

  4. 4

    Teil a): Schritt 3: Punkt vor Strich.

    2⋅9=182 \cdot 9 = 18

    Der Term lautet jetzt: 5+185 + 18.

  5. 5

    Teil a): Schritt 4: Zum Schluss die Addition.

    5+18=235 + 18 = 23
  6. 6

    Teil b): Schritt 5: Jetzt zuerst die Klammer.

    (5+2)=7(5 + 2) = 7

    Die Klammer hat Vorrang vor allem anderen. Sie ist die ausdrückliche Anweisung, dieses Stück zuerst zu rechnen.

    Danach wie gehabt: Potenz, dann Mal.

    7⋅32=7⋅9=637 \cdot 3^2 = 7 \cdot 9 = 63
  7. 7

    Schritt 6: Vergleichen und einordnen.

    23gegen6323 \quad \text{gegen} \quad 63

    Dieselben Zahlen, völlig verschiedene Ergebnisse. Deshalb ist die Rechenreihenfolge keine Formsache, ohne sie wäre ein Term gar nicht eindeutig lesbar.

a) 5+2⋅32=235 + 2 \cdot 3^2 = 23 · b) (5+2)⋅32=63(5 + 2) \cdot 3^2 = 63

Quadratzahlen im Kopf weiterbauen

Du weißt: 142=19614^2 = 196. Bestimme daraus 15215^2, ohne schriftlich zu multiplizieren.

  1. 1

    Was ist gegeben, was ist gesucht?

    Gegeben ist die Quadratzahl 142=19614^2 = 196. Gesucht ist die nächste Quadratzahl 15215^2.

    Du sollst also das Muster aus der Theorie nutzen statt neu zu rechnen.

  2. 2

    Schritt 1: Sich das Bild vorstellen.

    14214^2 ist ein aus 1414 Reihen zu je 1414 Kästchen. Für 15215^2 musst du es auf 15×1515 \times 15 vergrößern.

  3. 3

    Schritt 2: Überlegen, was dazukommt.

    Du legst an:

    • eine neue Spalte rechts: 1414 Kästchen
    • eine neue Zeile unten: 1414 Kästchen
    • ein einzelnes Kästchen in die Ecke: 11
  4. 4

    Schritt 3: Den Zuwachs ausrechnen.

    14+14+1=2914 + 14 + 1 = 29

    Der Zuwachs ist eine ungerade Zahl, wie immer bei Quadratzahlen.

  5. 5

    Schritt 4: Addieren.

    152=196+29=22515^2 = 196 + 29 = 225
  6. 6

    Schritt 5: Probe.

    Rechne zur Sicherheit direkt nach: 15⋅15=15⋅10+15⋅5=150+75=22515 \cdot 15 = 15 \cdot 10 + 15 \cdot 5 = 150 + 75 = 225 ✓

    Das Muster funktioniert also wirklich, und es geht schneller als jede schriftliche Multiplikation.

152=196+29=22515^2 = 196 + 29 = 225

Typischer Fehler

210=202^{10} = 20, „zwei hoch zehn ist zwei mal zehn".

Der Exponent zählt Faktoren, keine Malzahl: 210=2⋅2⋅2⋅2⋅2⋅2⋅2⋅2⋅2⋅2=1 0242^{10} = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 1\,024. Merke dir das Gegenbeispiel 210=1 024≠202^{10} = 1\,024 \neq 20, wer es einmal nachgerechnet hat, verwechselt es nie wieder.

Übung 1

leicht

Berechne: a) 434^3 b) 727^2 c) 1251^{25}

Tipp anzeigen

c) Was ergibt 1⋅1⋅1⋅…1 \cdot 1 \cdot 1 \cdot \ldots?

Lösung anzeigen

a) 43=4⋅4⋅4=644^3 = 4 \cdot 4 \cdot 4 = 64

b) 72=497^2 = 49

c) 125=11^{25} = 1, egal wie oft man 1 mit sich multipliziert.

Detaillierte Schritterklärung anzeigen

Hier wird jeder Schritt einzeln erklärt, vor allem, warum er gemacht wird.

Erklärungstiefe

✦ Empfohlen: Standard – Die normale Erklärungstiefe passt zum Einstieg.

  1. 1

    Die Potenzschreibweise lesen

    434^3 heißt: die 44 dreimal als Faktor, 4⋅4⋅44 \cdot 4 \cdot 4. Die kleine Hochzahl zählt die Faktoren, sie ist KEIN Malnehmen.

  2. 2

    a) und b) schrittweise ausrechnen

    434^3: erst 4⋅4=164 \cdot 4 = 16, dann 16⋅4=6416 \cdot 4 = 64. Und 72=7⋅7=497^2 = 7 \cdot 7 = 49.

    4⋅4=16,16⋅4=644 \cdot 4 = 16, \quad 16 \cdot 4 = 64

  3. 3

    c) Die Eins als Basis

    125=1⋅1⋅…⋅1=11^{25} = 1 \cdot 1 \cdot \ldots \cdot 1 = 1: Egal wie oft man 11 mit sich multipliziert, es bleibt 11.

Übung 2

mittel

Welche Zahl ist größer: 262^6 oder 626^2? Begründe durch Rechnung.

Tipp anzeigen

Berechne beide Potenzen einzeln.

Lösung anzeigen

26=642^6 = 64 und 62=366^2 = 36

64>3664 > 36, also ist 26>622^6 > 6^2. Basis und Exponent vertauschen ändert den Wert!

Detaillierte Schritterklärung anzeigen

Hier wird jeder Schritt einzeln erklärt, vor allem, warum er gemacht wird.

Erklärungstiefe

✦ Empfohlen: Standard – Die normale Erklärungstiefe passt zum Einstieg.

  1. 1

    Beide Potenzen ausschreiben

    26=2⋅2⋅2⋅2⋅2⋅22^6 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 (sechs Zweien) und 62=6⋅66^2 = 6 \cdot 6 (zwei Sechsen), schon die Bauart ist völlig verschieden.

  2. 2

    Werte berechnen

    262^6: 2,4,8,16,32,642, 4, 8, 16, 32, 64. Und 62=366^2 = 36.

    26=64,62=362^6 = 64, \quad 6^2 = 36

    Zwischenergebnis

    6464 und 3636

  3. 3

    Vergleichen und begründen

    64>3664 > 36, also ist 26>622^6 > 6^2. Begründet durch Rechnung: Basis und Hochzahl vertauschen ändert den Wert.

Übung 3

schwer

Berechne: 34−43+5⋅233^4 - 4^3 + 5 \cdot 2^3

Tipp anzeigen

Erst alle Potenzen, dann Punktrechnung, dann Strichrechnung.

Lösung anzeigen

Potenzen: 34=813^4 = 81,   43=64\;4^3 = 64,   23=8\;2^3 = 8

Punktrechnung: 5⋅8=405 \cdot 8 = 40

Strichrechnung: 81−64+40=17+40=5781 - 64 + 40 = 17 + 40 = 57

Detaillierte Schritterklärung anzeigen

Hier wird jeder Schritt einzeln erklärt, vor allem, warum er gemacht wird.

Erklärungstiefe

✦ Empfohlen: Standard – Die normale Erklärungstiefe passt zum Einstieg.

  1. 1

    Rechenreihenfolge festlegen

    Es gilt: Potenzen zuerst, dann Punktrechnung (·, :), zuletzt Strichrechnung (+, −). Plan: erst 343^4, 434^3, 232^3 berechnen, dann 5⋅…5 \cdot \ldots, dann von links addieren/subtrahieren.

  2. 2

    Alle Potenzen berechnen

    34=3⋅3⋅3⋅3=813^4 = 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 = 81,   43=64\;4^3 = 64,   23=8\;2^3 = 8.

    34=81,43=64,23=83^4 = 81, \quad 4^3 = 64, \quad 2^3 = 8

    Zwischenergebnis

    81−64+5⋅881 - 64 + 5 \cdot 8

  3. 3

    Punktrechnung ausführen

    Jetzt die Multiplikation: 5⋅8=405 \cdot 8 = 40. Der Term ist nun 81−64+4081 - 64 + 40.

    Zwischenergebnis

    81−64+4081 - 64 + 40

  4. 4

    Strichrechnung von links nach rechts

    81−64=1781 - 64 = 17, dann 17+40=5717 + 40 = 57. Ergebnis: 5757.

Zusammenfassung

Die Potenz ana^n fasst nn gleiche Faktoren zusammen: Basis unten, Exponent oben, und niemals mit a⋅na \cdot n verwechseln. Quadratzahlen sind die Potenzen mit Hochzahl 2; die Werte bis 202=40020^2 = 400 gehören in dein Langzeitgedächtnis, denn sie tauchen in fast jedem künftigen Schuljahr wieder auf.