Brüche verstehen und darstellen

Drei Freunde teilen sich zwei Pizzen gerecht, wie viel bekommt jeder? Mit natürlichen Zahlen kommst du hier nicht weiter: Das Ergebnis liegt zwischen 0 und 1. Dafür gibt es Brüche. Sie beschreiben Anteile, Teilungsergebnisse und Verhältnisse, und sind der Einstieg in eine neue Zahlenwelt.

Ein Bruch kann dir in ganz verschiedenen Aufgaben begegnen. Das liegt daran, dass man ihn auf drei Arten lesen kann. Alle drei meinen dasselbe, du wählst die, die zur Aufgabe passt.

1. Ein Anteil von einem Ganzen

So hast du den Bruch oben kennengelernt: $\frac{3}{4}$ der Pizza, $\frac{1}{2}$ Stunde, $\frac{3}{4}$ der Klasse.

Hier gibt es immer ein „Ganzes", von dem du einen Teil nimmst.

2. Das Ergebnis einer Division

Jetzt kommt etwas Neues. Schau dir diese Aufgabe an: $3$ Schokoriegel sollen gerecht auf $4$ Kinder verteilt werden.

Du rechnest $3 : 4$. In den Zahlen, die du bisher kennst, geht das nicht auf. Aber du kannst es trotzdem lösen: Schneide jeden Riegel in $4$ Teile. Dann gibt es $12$ Viertel-Stücke, und jedes Kind bekommt $3$ davon, also $\frac{3}{4}$ Riegel.

Deshalb gilt:

Ein Bruchstrich ist also nichts anderes als ein Geteiltzeichen. Das wirst du noch oft brauchen, zum Beispiel, wenn du einen Bruch in eine Kommazahl umwandelst.

Damit ist auch die Frage vom Kapitelanfang beantwortet: Drei Freunde teilen sich zwei Pizzen. Geteilt wird das, was verteilt wird, also die Pizzen:

Jeder bekommt $\frac{2}{3}$ einer Pizza. Und das passt zur Vorüberlegung von oben: mehr als nichts, aber weniger als eine ganze.

3. Eine Zahl auf dem Zahlenstrahl

Brüche sind nicht nur Anteile, sondern echte Zahlen. Jeder Bruch hat einen festen Platz auf dem Zahlenstrahl, genau wie $3$ oder $17$.

$\frac{3}{4}$ liegt zwischen $0$ und $1$. Wie du diesen Platz findest, siehst du im nächsten Abschnitt.

Auf dem Zahlenstrahl hat jeder Bruch einen festen Platz. Du findest ihn immer mit denselben zwei Schritten: und die stehen bereits im Bruch selbst.

Die zwei Schritte

Nimm $\frac{3}{4}$:

1. Der Nenner teilt. Er ist $4$, also teilst du den Abschnitt von $0$ bis $1$ in $4$ gleiche Teile. Jeder Teilstrich ist jetzt $\frac{1}{4}$ weit.
2. Der Zähler zählt. Er ist $3$, also gehst du vom Nullpunkt aus $3$ solche Schritte.

Dort liegt $\frac{3}{4}$, kurz vor der $1$.

Wenn der Zähler größer ist als der Nenner

Was machst du bei $\frac{5}{3}$? Der Zähler ist größer als der Nenner. Das ist kein Fehler.

Es ändert sich nur eine Kleinigkeit: Du teilst jetzt jede Einheit in $3$ Teile, also auch den Abschnitt von $1$ bis $2$. Dann gehst du $5$ Schritte.

Nach $3$ Schritten bist du bei der $1$ angekommen, denn $\frac{3}{3} = 1$. Zwei Schritte gehst du noch weiter. Also liegt $\frac{5}{3}$ zwischen $1$ und $2$.

Woran du das sofort erkennst

Du musst nicht jedes Mal zeichnen. Vergleiche einfach Zähler und Nenner:

So merkst du dir die Rollen: Der Nenner teilt, der Zähler zählt die Schritte.

In jeder Merkregel zu Brüchen steht: Der Nenner darf nicht $0$ sein. Aber warum eigentlich?

Denk an die Bedeutung des Nenners

Der Nenner sagt dir, in wie viele Teile das Ganze zerlegt wird. Setz dort einmal die $0$ ein:

Das kannst du nicht machen. Wenn du in $0$ Stücke teilst, gibt es überhaupt keine Stücke, du kannst dir also auch keine nehmen.

Und über die Division

Es geht auch mit der zweiten Sichtweise. Ein Bruchstrich ist ein Geteiltzeichen, $\frac{3}{0}$ bedeutet also $3 : 0$.

Eine Division kannst du immer rückwärts prüfen. Bei $12 : 4 = 3$ gilt die Probe $3 \cdot 4 = 12$. Für $3 : 0$ müsstest du eine Zahl finden, die mal $0$ genau $3$ ergibt:

Diese Zahl gibt es nicht, jede Zahl mal $0$ ergibt $0$, niemals $3$.

Deshalb ist der Nenner $0$ verboten. Es ist keine willkürliche Regel, sondern es gibt schlicht kein Ergebnis. Der Zähler darf dagegen ruhig $0$ sein: $\frac{0}{4}$ heißt „null von vier Teilen", also nichts, und das ist $0$.

Zum Schluss ein Blick zurück auf die Pizza vom Anfang. Sie zeigt, warum Brüche in der Mathematik überhaupt eingeführt wurden.

Eine Aufgabe ohne Lösung

Mit den natürlichen Zahlen $\mathbb{N}$ ($0, 1, 2, 3, \ldots$) kannst du viel rechnen. Aber $3 : 4$ kannst du nicht lösen. Es gibt keine natürliche Zahl, die mal $4$ genau $3$ ergibt, $0 \cdot 4 = 0$ ist zu klein, $1 \cdot 4 = 4$ ist schon zu groß.

Die Zahlen dazwischen fehlen einfach.

Die Lösung: neue Zahlen dazunehmen

Genau deshalb hat man den Zahlenbereich erweitert. Zu den natürlichen Zahlen kommen alle Brüche dazu. Diese neue, größere Menge heißt Bruchzahlen.

Jetzt hat jede Division ein Ergebnis, außer der Division durch $0$, die aus dem Grund des vorigen Abschnitts verboten bleibt.

Die alten Zahlen sind alle noch da

Ein wichtiger Punkt: Beim Erweitern geht nichts verloren. Jede natürliche Zahl ist selbst ein Bruch:

Das ergibt auch inhaltlich Sinn: $\frac{5}{1}$ heißt „teile in $1$ Stück und nimm $5$ davon", also $5$ ganze Stücke.

Dieses Muster wird dir wieder begegnen. Später kommen die negativen Zahlen dazu, dann die Wurzeln. Jedes Mal ist der Grund derselbe: Eine Rechnung soll ein Ergebnis bekommen, das es vorher nicht gab.