Der Satz des Pythagoras

Wie lang muss eine Leiter sein, um bei 1 m Wandabstand ein 4 m hohes Fenster zu erreichen? Der Satz des Pythagoras, über 2500 Jahre alt, beantwortet solche Fragen. Er ist einer der berühmtesten Sätze der Mathematik und gehört zum absoluten Kernwissen.

Bevor wir rechnen, klären wir die Sprache. In der Leiter-Situation von oben steckt ein Dreieck mit einer besonderen Eigenschaft: Die Wand steht senkrecht auf dem Boden. Ein Dreieck mit einem $90°$-Winkel heißt rechtwinklig, und nur um solche Dreiecke geht es in diesem Kapitel.

In einem rechtwinkligen Dreieck sind die drei Seiten nicht gleichberechtigt, eine hat eine Sonderrolle. Deshalb haben sie eigene Namen:

• Die beiden Seiten, die den rechten Winkel bilden, heißen Katheten. Im Bild unten sind das $a$ (grün) und $b$ (blau). Man erkennt sie daran, dass sie am rechten Winkel anliegen.
• Die Seite gegenüber dem rechten Winkel heißt Hypotenuse, im Bild $c$ (rot).

Warum die Hypotenuse immer die längste Seite ist

Das ist keine Vereinbarung, sondern eine Folge: Die Hypotenuse liegt dem größten Winkel gegenüber. In jedem Dreieck ergeben die drei Winkel zusammen $180°$, der rechte Winkel verbraucht davon allein $90°$, für die beiden anderen bleiben zusammen also auch nur $90°$. Jeder von ihnen ist damit kleiner als $90°$. Und weil in einem Dreieck der größeren Seite immer der größere Winkel gegenüberliegt, ist die Seite gegenüber dem rechten Winkel die längste.

Merke dir diese Reihenfolge, sie verhindert den häufigsten Fehler: Suche in einer Aufgabe zuerst den rechten Winkel. Dann weißt du, welche Seite $c$ ist. Erst danach schreibst du irgendetwas auf. Wer die Buchstaben nach Gefühl verteilt, rechnet mit der falschen Seite als Hypotenuse, und das Ergebnis ist zwangsläufig falsch.

Der Satz des Pythagoras verbindet nicht die Seiten selbst, sondern deren Quadrate. Das ist der Punkt, an dem viele aussteigen, deshalb halten wir hier kurz an.

$a^2$ bedeutet $a \cdot a$. Und $a \cdot a$ ist genau der Flächeninhalt eines Quadrats mit der Seitenlänge $a$ (dieselbe Idee wie beim Flächeninhalt in Klasse 5: Reihen mal Spalten). Deshalb heißt $a^2$ auch „a zum Quadrat".

Das bedeutet: Über jede Seite des Dreiecks können wir ein Quadrat zeichnen. Über die Kathete $a$ ein Quadrat mit der Fläche $a^2$, über die Kathete $b$ eines mit $b^2$ und über die Hypotenuse $c$ eines mit $c^2$. Genau das siehst du im Bild unten.

Und jetzt die eigentliche Behauptung des Satzes:

Die beiden kleinen Quadratflächen zusammen sind genau so groß wie die große.

Das ist eine erstaunliche Aussage, schau dir die Flächen im Bild an und prüfe, ob du das glaubst. Beim $3$-$4$-$5$-Dreieck kannst du sogar nachzählen: $9$ Kästchen plus $16$ Kästchen sind $25$ Kästchen.

Aber ein einzelnes Beispiel beweist nichts. Es könnte Zufall sein. Deshalb schauen wir uns als Nächstes an, warum das bei jedem rechtwinkligen Dreieck funktionieren muss.

Wir brauchen kein kompliziertes Rechnen, nur eine Idee: Wir legen dieselben Teile zweimal unterschiedlich in dasselbe Quadrat.

Der Aufbau

Nimm vier völlig gleiche rechtwinklige Dreiecke mit den Katheten $a$ und $b$ (also vier Kopien unseres Dreiecks). Und nimm ein großes Quadrat mit der Seitenlänge $a + b$. Beide Bilder unten zeigen genau dieses große Quadrat, links und rechts hat es dieselbe Größe.

Legung 1. Es bleiben zwei Quadrate frei

Im ersten Bild sind die vier Dreiecke so hineingelegt, dass zwei quadratische Lücken bleiben: eine mit der Seitenlänge $a$, eine mit der Seitenlänge $b$. Die freie Fläche beträgt also

Legung 2. Es bleibt ein gekipptes Quadrat frei

Im zweiten Bild liegen dieselben vier Dreiecke in den vier Ecken. Jetzt bleibt in der Mitte eine einzige, schräg liegende Lücke. Jede ihrer Seiten ist eine Hypotenuse eines Dreiecks, also $c$ lang. Die freie Fläche beträgt hier

Ist die Lücke wirklich ein Quadrat? Ja, und das darf man nicht einfach glauben. Alle vier Seiten sind gleich lang, denn jede ist die Hypotenuse eines der vier gleichen Dreiecke. Und an jeder Ecke der Lücke treffen die beiden spitzen Winkel zweier Dreiecke zusammen. Diese beiden Winkel ergeben zusammen $90°$ (das haben wir oben schon gesehen: im rechtwinkligen Dreieck bleiben für die beiden spitzen Winkel zusammen genau $90°$). Auf der geraden Seite des großen Quadrats liegen aber $180°$. Es bleiben also $180° - 90° = 90°$ für die Ecke der Lücke. Vier gleiche Seiten und vier rechte Winkel: ein Quadrat.

Der Schluss

Jetzt vergleichen wir. In beiden Bildern gilt:

Das große Quadrat ist beide Male gleich groß. Die vier Dreiecke sind beide Male dieselben, belegen also beide Male gleich viel Fläche. Wenn von derselben Gesamtfläche gleich viel belegt ist, muss der Rest ebenfalls gleich groß sein:

Und das war keine Rechnung mit besonderen Zahlen. Wir haben nur $a$, $b$ und $c$ verwendet. Der Satz gilt deshalb für jedes rechtwinklige Dreieck.

Das ist der Kern dieses Kapitels. Wenn dich später jemand fragt „warum stimmt das?", brauchst du nur diese zwei Bilder: gleiches Quadrat, gleiche Dreiecke, also gleicher Rest.

Der Satz $a^2 + b^2 = c^2$ ist eine Gleichung. Und Gleichungen darfst du umstellen, indem du auf beiden Seiten dasselbe tust, genau wie in Klasse 7. Deshalb musst du dir hier keine zusätzlichen Formeln merken; du erzeugst sie selbst, je nachdem, welche Seite fehlt.

Fall 1: Die Hypotenuse fehlt

Gegeben sind die beiden Katheten, gesucht ist $c$. Die Gleichung liefert direkt $c^2$:

Jetzt steht dort aber $c^2$, gesucht ist $c$. Wir müssen das Quadrieren also rückgängig machen, dafür ist die Quadratwurzel da (sie ist die Umkehrung des Quadrierens):

Warum darf hier die negative Wurzel wegfallen? Rein rechnerisch hat $c^2 = 25$ die beiden Lösungen $+5$ und $-5$. Aber $c$ ist eine Seitenlänge, und Längen sind nie negativ. Deshalb bleibt nur die positive Lösung übrig. Das ist kein Rechentrick, sondern eine Aussage über die Situation.

Fall 2: Eine Kathete fehlt

Gegeben sind die Hypotenuse $c$ und eine Kathete $b$, gesucht ist $a$. Jetzt steht das Gesuchte auf der linken Seite in einer Summe. Also schaffen wir $b^2$ auf die andere Seite, indem wir es auf beiden Seiten abziehen:

Achte auf das Vorzeichen: Wird die Hypotenuse gesucht, wird addiert; wird eine Kathete gesucht, wird subtrahiert. Das ist auch inhaltlich sinnvoll: Die Hypotenuse ist die längste Seite, also muss ihr Quadrat größer sein als jedes Kathetenquadrat. Käme bei dir für eine Kathete ein größerer Wert heraus als für die Hypotenuse, hast du die beiden Rollen vertauscht.

Eine Kontrolle, die immer funktioniert: Prüfe am Ende, ob dein Ergebnis für $c$ wirklich größer ist als $a$ und $b$, aber kleiner als $a + b$ (denn der direkte Weg ist immer kürzer als der Umweg über die Ecke).

Bisher haben wir gewusst, dass ein Dreieck rechtwinklig ist, und damit eine Seite berechnet. Jetzt drehen wir die Richtung: Wir kennen die drei Seiten und wollen wissen, ob das Dreieck rechtwinklig ist.

Das ist tatsächlich eine andere Aussage, keine bloße Umformulierung. Der Satz sagt: rechtwinklig → die Gleichung gilt. Die Umkehrung sagt: die Gleichung gilt → rechtwinklig. Und diese Umkehrung stimmt ebenfalls:

Erfüllen die drei Seiten eines Dreiecks die Gleichung $a^2 + b^2 = c^2$ (mit $c$ als längster Seite), dann ist das Dreieck rechtwinklig, und der rechte Winkel liegt der Seite $c$ gegenüber.

Warum auch die Umkehrung gilt

Weil es eben nicht dieselbe Aussage ist, reicht der Beweis von oben dafür nicht. Man kann sie aber zeigen, ohne etwas Neues zu lernen, es genügen der eben bewiesene Satz und die Kongruenzsätze aus Klasse 7.

Gegeben sei ein Dreieck mit den Seiten $a$, $b$, $c$, für das $a^2 + b^2 = c^2$ gilt. Über den Winkel wissen wir noch nichts.

Zeichne nun daneben ein zweites Dreieck: zwei Seiten der Längen $a$ und $b$, dazwischen ein rechter Winkel. Dieses zweite Dreieck ist rechtwinklig, nicht weil wir es bewiesen hätten, sondern weil wir es so gezeichnet haben.

Wie lang ist dessen Hypotenuse? Für das zweite Dreieck dürfen wir den Satz benutzen, es ist ja rechtwinklig. Seine Hypotenuse ist also $\sqrt{a^2 + b^2}$ lang, und weil nach Voraussetzung $a^2 + b^2 = c^2$ ist, ist sie genau $c$ lang.

Jetzt vergleiche: Beide Dreiecke haben dieselben drei Seitenlängen $a$, $b$ und $c$. Nach dem Kongruenzsatz SSS sind sie deckungsgleich. Was im zweiten ein rechter Winkel ist, muss es damit auch im ersten sein.

Also ist auch das erste Dreieck rechtwinklig, und zwar an der Ecke gegenüber der Seite $c$.

So prüfst du es

1. Suche die längste Seite. Nur sie kann Hypotenuse sein.
2. Quadriere alle drei Seiten.
3. Vergleiche: Ergeben die beiden kleineren Quadrate zusammen das größte?

Beispiel: Seiten $5$, $12$, $13$. Längste Seite ist $13$. Nun rechne beide Seiten der Gleichung getrennt aus: $5^2 + 12^2 = 25 + 144 = 169$ und $13^2 = 169$. Beide Zahlen sind gleich, das Dreieck ist rechtwinklig.

Gegenbeispiel: Seiten $4$, $5$, $6$. Es ist $4^2 + 5^2 = 16 + 25 = 41$, aber $6^2 = 36$. Die Zahlen sind verschieden, das Dreieck ist nicht rechtwinklig.

Wozu das gut ist

Genau so arbeiten Handwerker auf der Baustelle. Wer einen rechten Winkel abstecken will, hat oft kein Geodreieck, das groß genug ist. Also nimmt man eine Schnur mit $12$ Knoten in gleichem Abstand und legt ein Dreieck mit den Seiten $3$, $4$ und $5$ Knotenabständen. Weil $3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25 = 5^2$ gilt, muss der Winkel zwischen den Seiten $3$ und $4$ ein rechter sein. Diese Methode ist über $4000$ Jahre alt.

Solche Zahlentripel, die die Gleichung erfüllen, heißen pythagoreische Tripel. Die drei häufigsten in Aufgaben: $3$-$4$-$5$, $5$-$12$-$13$ und $8$-$15$-$17$, dazu alle Vielfachen davon, etwa $6$-$8$-$10$.

Der Satz sieht zunächst wie ein Spezialfall aus: Er braucht ja einen rechten Winkel. Tatsächlich ist er eines der Werkzeuge, die dich am längsten begleiten, weil rechte Winkel überall stecken.

Der Trick ist fast immer derselbe: Wenn eine Länge fehlt, suche (oder erzeuge) ein rechtwinkliges Dreieck, in dem sie vorkommt.

• In Figuren: Die Diagonale eines Rechtecks zerlegt es in zwei rechtwinklige Dreiecke, damit wird die Diagonale berechenbar. Bei einem gleichseitigen Dreieck macht die Höhe genau dasselbe.
• In Körpern: Bei der Pyramide und beim Kegel (später in diesem Schuljahr) bilden Höhe, Grundkante und Seitenkante ein rechtwinkliges Dreieck. Genau darüber bekommst du die Seitenhöhe $h_s$ und die Mantellinie $s$.
• Im Koordinatensystem: Der Abstand zweier Punkte ist die Hypotenuse eines Dreiecks aus dem Unterschied der $x$-Werte und dem Unterschied der $y$-Werte. Diese Idee wird in Klasse 12 zur Länge eines Vektors.
• In der Trigonometrie (Klasse 10): Sinus, Kosinus und Tangens beschreiben dasselbe rechtwinklige Dreieck, nur über Winkel statt über Flächen.

Wenn du also in einer Aufgabe nicht weiterkommst und irgendwo ein rechter Winkel auftaucht: Das ist fast immer der Einstieg.