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Arithmetik / Zahlen

Teiler, Vielfache und Teilbarkeit

Teiler und Vielfache bestimmen, Teilbarkeitsregeln anwenden, Primzahlen erkennen.

Benötigte Grundlagen

Diese Themen kommen in diesem Kapitel vor und wurden vorher schon erklärt. Wenn dir eines davon unsicher vorkommt, frisch es kurz auf, sonst leg direkt los.

Einführung

Können 36 Kinder ohne Rest in Vierergruppen aufgeteilt werden? In Sechsergruppen? In Fünfergruppen? Solche Fragen beantwortet die Teilbarkeit, und mit ein paar cleveren Regeln siehst du einer Zahl sofort an, wodurch sie teilbar ist, ganz ohne zu dividieren. Nebenbei triffst du die geheimnisvollsten Zahlen der Mathematik: die Primzahlen.

Das kannst du nach diesem Kapitel

  • alle Teiler und beliebig viele Vielfache einer Zahl bestimmen.

  • die Teilbarkeitsregeln für 2, 3, 4, 5 und 10 anwenden und begründen.

  • Primzahlen erkennen und von zusammengesetzten Zahlen unterscheiden.

  • Teilbarkeits-Überlegungen bei Sachproblemen (Gruppen bilden, verteilen) einsetzen.

Teiler und Vielfache

Eine Zahl tt ist ein Teiler von aa, wenn die Division a:ta : t ohne Rest aufgeht. Alle Teiler einer Zahl fasst man in der Teilermenge zusammen:

T(12)={1, 2, 3, 4, 6, 12}T(12) = \{1,\, 2,\, 3,\, 4,\, 6,\, 12\}

Umgekehrt sind 12,24,36,48,…12, 24, 36, 48, \ldots die Vielfachen von 1212, die Zahlen, die beim Malnehmen von 1212 entstehen:

V(12)={12, 24, 36, 48, …}V(12) = \{12,\, 24,\, 36,\, 48,\, \ldots\}

Ein wichtiger Unterschied: Jede Zahl hat nur endlich viele Teiler, aber unendlich viele Vielfache.

Teiler findest du am sichersten in Paaren. Zu jedem Teiler gehört ein „Partner": 12=1⋅12=2⋅6=3⋅412 = 1 \cdot 12 = 2 \cdot 6 = 3 \cdot 4. Suchst du paarweise, übersiehst du keinen. Das Bild unten zeigt, was dahintersteckt.

4 Kästchen3 Reihen12 = 3 · 4, kein Rest

1212 Kästchen bilden ein volles mit 33 Reihen und 44 Spalten, ohne Rest. Deshalb sind 33 und 44 Teiler von 1212. Genauso passt 12=1⋅12=2⋅612 = 1 \cdot 12 = 2 \cdot 6. Mit 55 Reihen ginge es dagegen nicht auf.

Die Teilbarkeitsregeln

Ob eine Zahl teilbar ist, musst du oft gar nicht ausrechnen, dafür gibt es schnelle Regeln:

teilbar durchRegelBeispiel
2letzte Ziffer gerade (0, 2, 4, 6, 8)7 346‾7\,34\underline{6} ✓
5letzte Ziffer 0 oder 58 415‾8\,41\underline{5} ✓
10letzte Ziffer 06 200‾6\,20\underline{0} ✓
4die letzten zwei Ziffern durch 4 teilbar7 344‾7\,3\underline{44} ✓ (44:4=1144 : 4 = 11)
3Quersumme durch 3 teilbar7 3447\,344: 7+3+4+4=187+3+4+4 = 18 ✓

Die Quersumme ist einfach die Summe aller Ziffern.

Warum die Endziffer-Regeln funktionieren

Nimm die Zahl 7 3467\,346 und zerlege sie in zwei Teile:

7 346=7 340⏟volle Zehner+6⏟Einer7\,346 = \underbrace{7\,340}_{\text{volle Zehner}} + \underbrace{6}_{\text{Einer}}

Der erste Teil ist ein Vielfaches von 1010, und damit automatisch durch 22, durch 55 und durch 1010 teilbar. Er kann also nie stören.

Übrig bleibt allein der Einer. Deshalb entscheidet bei 22, 55 und 1010 nur die letzte Ziffer.

Bei der 44 reicht das nicht: 1010 ist nicht durch 44 teilbar. Aber 100100 ist es (100=25⋅4100 = 25 \cdot 4). Also zerlegst du eine Stelle weiter:

7 344=7 300⏟volle Hunderter+44⏟Rest7\,344 = \underbrace{7\,300}_{\text{volle Hunderter}} + \underbrace{44}_{\text{Rest}}

Die vollen Hunderter sind durch 44 teilbar, also entscheiden die letzten zwei Ziffern.

Warum bei der 3 die Quersumme entscheidet

Diese Regel wirkt am rätselhaftesten, was haben die Ziffern einzeln mit der Teilbarkeit zu tun? Der Trick steckt in einer kleinen Beobachtung:

10=9+1100=99+11 000=999+110 = 9 + 1 \qquad 100 = 99 + 1 \qquad 1\,000 = 999 + 1

Jede Stufe des Stellenwertsystems ist also ein Vielfaches von neun plus eins, und 99, 9999, 999999 sind alle durch 33 teilbar.

Rechne damit die Zahl 342342 auseinander:

342=3⋅100+4⋅10+2=3⋅(99+1)+4⋅(9+1)+2342 = 3 \cdot 100 + 4 \cdot 10 + 2 = 3 \cdot (99 + 1) + 4 \cdot (9 + 1) + 2

Multipliziere aus und sortiere:

342=3⋅99+4⋅9⏟sicher durch 3 teilbar+3+4+2⏟Quersumme342 = \underbrace{3 \cdot 99 + 4 \cdot 9}_{\text{sicher durch } 3 \text{ teilbar}} + \underbrace{3 + 4 + 2}_{\text{Quersumme}}

Der linke Teil ist immer durch 33 teilbar, egal welche Ziffern die Zahl hat. Ob die ganze Zahl durch 33 teilbar ist, hängt deshalb nur noch vom rechten Teil ab: und der ist genau die Quersumme.

Bei 342342 ist sie 99, also durch 33 teilbar. Damit ist auch 342342 durch 33 teilbar. ✓

Nebenbei: Weil 99, 9999, 999999 auch durch 9 teilbar sind, funktioniert dieselbe Überlegung für die 99. Deshalb gibt es die Quersummenregel dort ebenfalls.

Denk weiter: Es gibt eine Quersummenregel für die 3 und für die 9. Gibt es auch eine für die 7?

Überlege erst selbst, schau dir dazu an, warum die Regel bei der 33 funktioniert.

Antwort: Nein.

Die Quersummenregel bei der 33 beruht darauf, dass 99, 9999, 999999 … alle durch 3 teilbar sind. Nur deshalb bleibt beim Zerlegen einer Zahl genau die Quersumme übrig.

Bei der 99 klappt es aus demselben Grund: 99, 9999, 999999 sind auch durch 99 teilbar.

Bei der 77 ist das nicht so: 9:79 : 7, 99:799 : 7 und 999:7999 : 7 gehen alle nicht auf. Damit bricht die ganze Überlegung zusammen.

Der Gegenbeweis in einer Zeile

Nimm zwei Zahlen mit derselben Quersumme 33:

21  (durch 7 teilbar)12  (nicht durch 7 teilbar)21 \;(\text{durch } 7 \text{ teilbar}) \qquad 12 \;(\text{nicht durch } 7 \text{ teilbar})

Gleiche Quersumme, verschiedene Antwort, also kann die Quersumme über die Teilbarkeit durch 77 gar nicht entscheiden.

(Es gibt durchaus Regeln für die 77, sie sehen nur ganz anders aus und sind umständlicher als einfach zu dividieren.)

Primzahlen: die unzerlegbaren Bausteine

Manche Zahlen lassen sich gar nicht in ein „echtes" legen, nur als eine einzige lange Reihe. Solche Zahlen heißen Primzahlen: Sie haben genau zwei Teiler, die 11 und sich selbst.

Primzahlen bis 20:2,  3,  5,  7,  11,  13,  17,  19\text{Primzahlen bis 20:} \quad 2,\; 3,\; 5,\; 7,\; 11,\; 13,\; 17,\; 19

Zwei Dinge solltest du dir merken:

  • Die 11 ist keine Primzahl. Sie hat nur einen einzigen Teiler (sich selbst).
  • Die 22 ist die einzige gerade Primzahl (jede andere gerade Zahl ist ja schon durch 22 teilbar).

Zahlen mit mehr als zwei Teilern heißen zusammengesetzt, sie lassen sich aus kleineren Faktoren „zusammensetzen".

Wie weit musst du suchen?

Um zu prüfen, ob 9191 eine Primzahl ist, könntest du alle Zahlen von 22 bis 9090 durchprobieren. Das wäre mühsam, und ist zum Glück unnötig.

Erste Abkürzung: nur Primzahlen testen. Wäre 9191 zum Beispiel durch 66 teilbar, dann wäre sie auch durch 22 teilbar (denn 6=2⋅36 = 2 \cdot 3). Bei den Vielfachen fällt die Entscheidung also schon bei den kleinen Primzahlen 2,3,5,7,…2, 3, 5, 7, \ldots

Zweite Abkürzung: früh aufhören. Denk an die Teilerpaare: Jeder Teiler hat einen Partner, und zusammen ergeben sie die Zahl.

91=7⋅1391 = 7 \cdot 13

Von den beiden Partnern ist einer immer klein und einer groß. Wenn du also bis zur „Mitte" gesucht und nichts gefunden hast, kann auch darüber nichts mehr kommen, sonst hätte dessen kleinerer Partner dir schon auffallen müssen.

Diese Mitte ist erreicht, wenn deine Testzahl mal sich selbst größer wird als die untersuchte Zahl:

7⋅7=49<9111⋅11=121>917 \cdot 7 = 49 < 91 \qquad 11 \cdot 11 = 121 > 91

Bei 9191 musst du also nur bis 77 testen, und dort wirst du auch fündig: 91=7⋅1391 = 7 \cdot 13 ist keine Primzahl.

Alle Teiler finden

Bestimme die Teilermenge von 3636.

  1. 1

    Was ist gesucht? Alle Zahlen, durch die 3636 ohne Rest teilbar ist.

    Das Wort „alle" ist hier das Entscheidende: Du brauchst ein Verfahren, bei dem dir garantiert keiner durchrutscht. Wildes Ausprobieren reicht nicht.

  2. 2

    Schritt 1: In Paaren denken.

    Zu jedem Teiler gehört ein Partner, zusammen ergeben sie 3636. Findest du einen, hast du automatisch zwei.

    Deshalb suchst du systematisch von unten: 1,2,3,4,…1, 2, 3, 4, \ldots und notierst jedes Mal den Partner.

  3. 3

    Schritt 2: Die Paare der Reihe nach durchgehen.

    1⋅362⋅183⋅124⋅91 \cdot 36 \qquad 2 \cdot 18 \qquad 3 \cdot 12 \qquad 4 \cdot 9

    Die 55 passt nicht (36:536 : 5 geht nicht auf: Endziffer ist weder 00 noch 55).

    6⋅66 \cdot 6
  4. 4

    Schritt 3: Erkennen, wann du fertig bist.

    Bei 6⋅66 \cdot 6 sind beide Partner gleich, die Paare haben sich in der Mitte getroffen.

    Alles, was jetzt noch käme, wäre nur eine Wiederholung: Der nächste Teiler wäre 99, aber der steht als Partner von 44 längst auf der Liste. Deshalb kannst du hier aufhören.

  5. 5

    Schritt 4: Die Teilermenge aufschreiben.

    Sortiere der Größe nach und notiere jeden Teiler nur einmal (die 66 kommt trotz 6⋅66 \cdot 6 nur einmal vor):

    T(36)={1,  2,  3,  4,  6,  9,  12,  18,  36}T(36) = \{1,\; 2,\; 3,\; 4,\; 6,\; 9,\; 12,\; 18,\; 36\}

    Das sind 99 Teiler.

  6. 6

    Schritt 5: Die Antwort auf die Ausgangsfrage.

    Aus der Teilermenge liest du direkt ab, welche Gruppengrößen aufgehen: 3636 Kinder lassen sich in 44er- oder 66er-Gruppen aufteilen, in 55er-Gruppen dagegen nicht, die 55 steht nicht in der Liste.

T(36)={1,2,3,4,6,9,12,18,36}T(36) = \{1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36\}, insgesamt 99 Teiler.

Teilbarkeit ohne Division prüfen

Prüfe mit den Teilbarkeitsregeln: Ist 7 3447\,344 durch 2, 3, 4, 5 und 10 teilbar?

  1. 1

    Was ist gesucht? Fünf Ja/Nein-Antworten, und zwar ohne zu dividieren.

    Jede Regel hat ihren eigenen Zuständigkeitsbereich: mal die letzte Ziffer, mal die letzten zwei, mal die Quersumme. Gehe sie einzeln durch und verwechsle sie nicht.

  2. 2

    Schritt 1: Durch 2?

    Zuständig ist die letzte Ziffer: 7 344‾7\,34\underline{4}.

    Die 44 ist gerade → ja, 7 3447\,344 ist durch 22 teilbar.

    (Grund: Die vollen Zehner 7 3407\,340 sind ohnehin durch 22 teilbar, nur der Einer konnte noch stören.)

  3. 3

    Schritt 2: Durch 3?

    Zuständig ist die Quersumme:

    7+3+4+4=187 + 3 + 4 + 4 = 18

    Ist 1818 durch 33 teilbar? Ja, 18:3=618 : 3 = 6 → ja.

  4. 4

    Schritt 3: Durch 4?

    Zuständig sind die letzten zwei Ziffern: 7 344‾7\,3\underline{44}.

    44:4=1144 : 4 = 11

    Geht auf → ja.

    Achtung: Hier wäre es falsch, nur auf die letzte Ziffer zu schauen. Bei 1 3341\,334 etwa endet die Zahl auch auf 44, aber 34:434 : 4 geht nicht auf.

  5. 5

    Schritt 4: Durch 5 und durch 10?

    Zuständig ist wieder die letzte Ziffer. Für 55 müsste dort 00 oder 55 stehen, für 1010 eine 00.

    Dort steht aber eine 44 → beides nein.

  6. 6

    Schritt 5: Ergebnisse ordnen und gegenprüfen.

    Teilbar durch 22, 33 und 44, nicht durch 55 und 1010.

    Eine schnelle Plausibilitätsprobe: Durch 22 und 33 teilbar bedeutet, dass die Zahl auch durch 66 teilbar sein muss. Tatsächlich: 7 344:6=1 2247\,344 : 6 = 1\,224 ✓

7 3447\,344 ist durch 22, 33 und 44 teilbar, nicht durch 55 und nicht durch 1010.

Primzahl oder nicht?

Ist 9191 eine Primzahl?

  1. 1

    Was ist gesucht? Die Entscheidung: hat 9191 genau zwei Teiler (dann Primzahl) oder mehr?

    Du musst also nach einem Teiler suchen, der weder 11 noch 9191 ist. Findest du einen, ist die Sache entschieden, findest du keinen, ist es eine Primzahl.

  2. 2

    Schritt 1: Festlegen, wie weit du suchen musst.

    Teiler treten paarweise auf, einer klein, einer groß. Du musst deshalb nur bis zur „Mitte" testen, bis die Testzahl mal sich selbst größer als 9191 wird:

    7⋅7=49<9111⋅11=121>917 \cdot 7 = 49 < 91 \qquad 11 \cdot 11 = 121 > 91

    Also reicht es, bis 1010 zu prüfen. Und dabei genügen die Primzahlen 2,3,5,72, 3, 5, 7.

  3. 3

    Schritt 2: Durch 2?

    9191 endet auf 11, ist also ungerade → nein.

  4. 4

    Schritt 3: Durch 3?

    Quersumme: 9+1=109 + 1 = 10. Ist 1010 durch 33 teilbar? Nein → nein.

  5. 5

    Schritt 4: Durch 5?

    Letzte Ziffer ist 11, weder 00 noch 55 → nein.

  6. 6

    Schritt 5: Durch 7?

    Hier gibt es keine Endziffer-Regel, also rechnest du:

    91:7=1391 : 7 = 13

    Geht auf! Damit ist ein dritter Teiler gefunden.

  7. 7

    Schritt 6: Schlussfolgern und einordnen.

    91=7⋅13⇒T(91)={1,  7,  13,  91}91 = 7 \cdot 13 \quad \Rightarrow \quad T(91) = \{1,\; 7,\; 13,\; 91\}

    Vier Teiler statt zwei, 9191 ist keine Primzahl, sondern zusammengesetzt.

    Merke dir dieses Beispiel: 9191 ist ungerade, hat keine passende Quersumme und endet nicht auf 00 oder 55. Sie sieht aus wie eine Primzahl. Genau deshalb musst du bis zur Mitte weitersuchen und nicht nach drei Fehlversuchen aufgeben.

Nein, 91=7⋅1391 = 7 \cdot 13 hat vier Teiler und ist damit keine Primzahl.

Typischer Fehler

„Die 1 ist eine Primzahl. Sie ist ja nur durch 1 und sich selbst teilbar."

Bei der 1 sind „1" und „sich selbst" dieselbe Zahl. Sie hat also nur einen Teiler, nicht zwei. Eine Primzahl braucht per Definition genau zwei verschiedene Teiler. Deshalb beginnen die Primzahlen erst bei der 2.

Typischer Fehler

„1 3341\,334 ist durch 4 teilbar, denn die Quersumme 1+3+3+4=111+3+3+4 = 11… äh… die letzte Ziffer 4 ist doch durch 4 teilbar!"

Für die 4 zählt nicht die letzte Ziffer und auch nicht die Quersumme, sondern die letzten zwei Ziffern: 34:4=8,534 : 4 = 8{,}5, geht nicht auf, also ist 1 3341\,334 nicht durch 4 teilbar. Jede Regel hat ihren eigenen „Zuständigkeitsbereich", nicht mischen!

Übung 1

leicht

Bestimme T(20)T(20) und die ersten fünf Vielfachen von 20.

Tipp anzeigen

Teilerpaare: 1⋅201 \cdot 20, 2⋅102 \cdot 10, 4⋅54 \cdot 5.

Lösung anzeigen

T(20)={1,2,4,5,10,20}T(20) = \{1, 2, 4, 5, 10, 20\}

V(20)={20,40,60,80,100,…}V(20) = \{20, 40, 60, 80, 100, \ldots\}

Detaillierte Schritterklärung anzeigen

Hier wird jeder Schritt einzeln erklärt, vor allem, warum er gemacht wird.

Erklärungstiefe

✦ Empfohlen: Standard – Die normale Erklärungstiefe passt zum Einstieg.

  1. 1

    Teiler in Paaren suchen

    Ein Teiler von 2020 ist jede Zahl, die 2020 ohne Rest teilt. Teiler treten in Paaren auf: 1⋅201 \cdot 20, 2⋅102 \cdot 10, 4⋅54 \cdot 5. Also T(20)={1,2,4,5,10,20}T(20) = \{1, 2, 4, 5, 10, 20\}.

  2. 2

    Vielfache durch Weiterzählen

    Vielfache von 2020 entstehen durch Multiplizieren mit 1,2,3,…1, 2, 3, \ldots: V(20)={20,40,60,80,100,…}V(20) = \{20, 40, 60, 80, 100, \ldots\}.

  3. 3

    Ergebnisse gegenprüfen

    Jeder gefundene Teiler muss 2020 wirklich ohne Rest teilen und 2020 selbst ist immer zugleich kleinster Wert der Vielfachen und größter Teiler.

Übung 2

mittel

Prüfe ohne zu dividieren: Ist 5 3165\,316 durch 2, 3, 4 und 5 teilbar?

Tipp anzeigen

Endziffer, Quersumme, letzte zwei Ziffern.

Lösung anzeigen

Durch 2: Endziffer 6 gerade → ja

Durch 3: Quersumme 5+3+1+6=155+3+1+6 = 15, durch 3 teilbar → ja

Durch 4: letzte zwei Ziffern 1616, 16:4=416:4 = 4 → ja

Durch 5: Endziffer 6 → nein

Detaillierte Schritterklärung anzeigen

Hier wird jeder Schritt einzeln erklärt, vor allem, warum er gemacht wird.

Erklärungstiefe

✦ Empfohlen: Standard – Die normale Erklärungstiefe passt zum Einstieg.

  1. 1

    Endstellenregeln für 2 und 5

    Für 22 und 55 genügt die letzte Ziffer: 5 3165\,316 endet auf 66, gerade, also durch 22 teilbar. Durch 55 nur bei Endziffer 00 oder 55, die 66 ist keins von beidem: nicht teilbar.

  2. 2

    Quersummenregel für 3

    Für die 33 zählt die Quersumme: 5+3+1+6=155 + 3 + 1 + 6 = 15. 1515 ist durch 33 teilbar (15=3⋅515 = 3 \cdot 5), also ist auch 5 3165\,316 durch 33 teilbar.

  3. 3

    Regel der letzten zwei Ziffern für 4

    Für die 44 entscheiden die letzten ZWEI Ziffern: 1616. Da 16:4=416 : 4 = 4 glatt aufgeht, ist 5 3165\,316 durch 44 teilbar. Fazit: teilbar durch 22, 33 und 44, nicht durch 55.

Übung 3

schwer

Frau Weber will ihre 84 Schülerinnen und Schüler in gleich große Gruppen aufteilen. Welche Gruppengrößen zwischen 5 und 15 sind möglich? Und: Wie heißt die kleinste Zahl über 100, die durch 3 und durch 4 teilbar ist?

Tipp anzeigen

Teil 1: Teiler von 84 suchen. Teil 2: Durch 3 und 4 teilbar = durch 12 teilbar.

Lösung anzeigen

T(84)={1,2,3,4,6,7,12,14,21,28,42,84}T(84) = \{1, 2, 3, 4, 6, 7, 12, 14, 21, 28, 42, 84\}

Zwischen 5 und 15 sind möglich: 6er-, 7er-, 12er- und 14er-Gruppen.

Teil 2: Durch 3 und 4 teilbar heißt durch 12 teilbar. 12⋅9=10812 \cdot 9 = 108, die 108 ist die kleinste solche Zahl über 100 (12⋅8=9612 \cdot 8 = 96 ist zu klein).

Detaillierte Schritterklärung anzeigen

Hier wird jeder Schritt einzeln erklärt, vor allem, warum er gemacht wird.

Erklärungstiefe

✦ Empfohlen: Standard – Die normale Erklärungstiefe passt zum Einstieg.

  1. 1

    Die Sachfrage in Mathematik übersetzen

    „84 Kinder in gleich große Gruppen" heißt: Die Gruppengröße muss ein TEILER von 8484 sein, nur dann geht die Aufteilung ohne Rest auf.

  2. 2

    Alle Teiler von 84 sammeln

    Teilerpaare: 1⋅841 \cdot 84, 2⋅422 \cdot 42, 3⋅283 \cdot 28, 4⋅214 \cdot 21, 6⋅146 \cdot 14, 7⋅127 \cdot 12. Also T(84)={1,2,3,4,6,7,12,14,21,28,42,84}T(84) = \{1, 2, 3, 4, 6, 7, 12, 14, 21, 28, 42, 84\}.

    Zwischenergebnis

    12 Teiler gefunden

  3. 3

    Auf den Bereich 5 bis 15 filtern

    Aus der Teilerliste liegen 66, 77, 1212 und 1414 zwischen 55 und 1515. Möglich sind also 6er-, 7er-, 12er- und 14er-Gruppen.

  4. 4

    Teil 2: Durch 3 UND 4 teilbar

    Durch 33 und durch 44 teilbar heißt: durch 1212 teilbar (denn 3⋅4=123 \cdot 4 = 12 und 33, 44 haben keinen gemeinsamen Teiler). Vielfache von 1212: 96,108,…96, 108, \ldots, die kleinste über 100100 ist 108108.

Zusammenfassung

Teiler gehen ohne Rest auf, Vielfache entstehen durch Malnehmen: Teiler findest du sicher über Teilerpaare. Die Teilbarkeitsregeln (Endziffer für 2/5/10, letzte zwei Ziffern für 4, Quersumme für 3) ersparen dir das Dividieren. Und Primzahlen sind die „unzerlegbaren" Bausteine der Zahlen: genau zwei Teiler, die 1 gehört nicht dazu.