Winkel: messen, zeichnen, schätzen

Wie weit muss sich eine Skateboard-Rampe neigen? Wie öffnet sich eine Tür? Um wie viel dreht sich der Uhrzeiger in einer Viertelstunde? Überall, wo sich etwas dreht oder neigt, sind Winkel im Spiel. In diesem Kapitel lernst du, Winkel zu benennen, zu messen, zu zeichnen, und richtig gut zu schätzen.

Öffne eine Tür einen Spalt weit, dann ganz. Beide Male ist es dieselbe Tür, aber sie steht verschieden weit offen. Genau diese Öffnung beschreibt ein Winkel.

Woraus ein Winkel besteht

Zwei Strahlen mit gemeinsamem Anfangspunkt bilden einen Winkel:

• Der gemeinsame Punkt heißt Scheitel (oder Scheitelpunkt).
• Die beiden Strahlen heißen Schenkel.

Winkel bekommen kleine griechische Buchstaben als Namen: $\alpha$ (alpha), $\beta$ (beta), $\gamma$ (gamma), $\delta$ (delta).

Was ein Winkel nicht ist

Hier steckt eine häufige Fehlvorstellung: Die Länge der Schenkel spielt keine Rolle.

Zeichnest du die Schenkel doppelt so lang, wird der Winkel dadurch nicht größer, die Tür steht ja nicht weiter offen, nur weil sie breiter ist. Entscheidend ist allein, wie weit die Schenkel auseinanderklaffen.

Deshalb kannst du zwei Winkel auch dann vergleichen, wenn sie ganz unterschiedlich groß gezeichnet sind.

Warum ausgerechnet 360 Grad?

Die Größe eines Winkels misst man in Grad, geschrieben mit einem kleinen Kreis: $45°$. Eine volle Drehung sind $360°$.

Diese Zahl wirkt willkürlich. Sie hat aber einen praktischen Grund: $360$ lässt sich durch sehr viele Zahlen teilen ($2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 12, \ldots$). Dadurch ergeben die wichtigsten Bruchteile einer Drehung glatte Zahlen:

Mit $100$ statt $360$ wäre ein Drittel einer Drehung $33{,}\overline{3}$, deutlich unhandlicher.

Nach ihrer Größe teilt man Winkel in Arten ein. In den Bildern unten siehst du jede Art einzeln, in derselben Reihenfolge wie in der Tabelle, mit Scheitel, beiden Schenkeln und dem farbigen Bogen, der die Öffnung markiert:

Den rechten Winkel markiert man in Zeichnungen mit einem kleinen Quadrat statt einer Gradzahl.

Ein Winkel wird gemessen, indem man ihn mit der Gradskala des Geodreiecks vergleicht. Drei Schritte genügen:

1. Scheitel an den Nullpunkt legen. Das ist die Markierung in der Mitte der langen Kante.
2. Einen Schenkel genau entlang der Grundlinie ausrichten.
3. Am zweiten Schenkel die Gradzahl ablesen.

Die Sache mit den zwei Skalen

Auf dem Geodreieck stehen zwei Zahlenreihen, eine von links nach rechts und eine von rechts nach links. Das ist kein Fehler: Es erlaubt dir, den Winkel von beiden Seiten aus zu messen, ohne das Dreieck umdrehen zu müssen.

Die Regel lautet: Nimm die Skala, die am angelegten Schenkel bei $0°$ beginnt. Nur sie zählt von deinem Schenkel aus.

Der Standardfehler: Wer die falsche Skala erwischt, liest statt $125°$ eben $55°$ ab, die beiden Zahlen ergänzen sich immer zu $180°$.

Warum immer $180°$? Beide Skalen laufen über denselben Halbkreis, nur von entgegengesetzten Enden aus. Was die eine von links her zählt, zählt die andere von rechts her, zusammen ergeben sie deshalb stets den ganzen halben Kreis, also einen gestreckten Winkel: $55° + 125° = 180°$. Das ist gleich zweimal nützlich: Es erklärt, warum sich die falsche Ablesung so leicht einschleicht, und du kannst damit deine eigene Zeichnung kontrollieren.

Der Schutz davor: erst schätzen, dann messen

Sieh dir den Winkel an und entscheide vorher, ob er spitz oder stumpf ist. Ein sichtbar stumpfer Winkel kann niemals $55°$ haben.

Diese Sekunde Nachdenken fängt den häufigsten Messfehler ab, noch bevor er passiert.

Winkel über 180° messen

Das Geodreieck reicht nur bis $180°$. Bei einem überstumpfen Winkel misst du deshalb den Rest, also den kleineren Winkel auf der anderen Seite, und rechnest:

Misst du zum Beispiel $50°$, so ist der überstumpfe Winkel $360° - 50° = 310°$.

Zeichnen ist Messen rückwärts: Diesmal ist die Gradzahl gegeben und der zweite Schenkel gesucht.

1. Ersten Schenkel zeichnen und den Scheitel markieren. Am einfachsten waagerecht. Dann liegt die Grundlinie des Geodreiecks bequem darauf.
2. Geodreieck anlegen: Nullpunkt exakt auf den Scheitel, Grundlinie auf den Schenkel.
3. Gradzahl markieren, wieder auf der Skala, die am gezeichneten Schenkel bei $0°$ beginnt.
4. Zweiten Schenkel vom Scheitel durch die Markierung ziehen, Winkelbogen einzeichnen und beschriften.

Warum sauberes Arbeiten hier besonders zählt

Verrutscht der Nullpunkt nur um einen Millimeter vom Scheitel weg, stimmt der ganze Winkel nicht mehr, die Gradstriche auf dem Geodreieck liegen ja selbst kaum weiter auseinander. Und je länger du den zweiten Schenkel dann ziehst, desto weiter läuft er von der richtigen Linie weg: Am Ende einer langen Linie ist die Abweichung deutlich zu sehen, auch wenn sie am Scheitel winzig anfing.

Deshalb: spitzer Bleistift, Nullpunkt genau treffen, und am Ende mit einem Blick prüfen, ob die Zeichnung zur Winkelart passt (ein $125°$-Winkel muss deutlich „über die Senkrechte hinaus" gehen).