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Stochastik

Wahrscheinlichkeit und Laplace-Experimente

Vom Bauchgefühl zur Berechnung: Wahrscheinlichkeiten bestimmen und deuten.

Benötigte Grundlagen

Diese Themen kommen in diesem Kapitel vor und wurden vorher schon erklärt. Wenn dir eines davon unsicher vorkommt, frisch es kurz auf, sonst leg direkt los.

Einführung

Wie wahrscheinlich ist eine Sechs? Ein Lottogewinn? Regen am Wochenende? In Klasse 6 hast du durchgeführt und Häufigkeiten gezählt, jetzt kommt der große Schritt: Wahrscheinlichkeiten vorhersagen, ohne einen einzigen Wurf. Das Werkzeug dafür heißt Laplace-Regel und ist verblüffend einfach.

Das kannst du nach diesem Kapitel

  • den Wahrscheinlichkeitsbegriff erklären (Werte zwischen 0 und 1).

  • Laplace-Experimente erkennen (alle Ergebnisse gleichwahrscheinlich).

  • Wahrscheinlichkeiten mit der Laplace-Regel berechnen.

  • mit Ereignis und Gegenereignis arbeiten (P(Eˉ)=1−P(E)P(\bar{E}) = 1 - P(E)).

  • und Wahrscheinlichkeit in Beziehung setzen.

Was Wahrscheinlichkeit bedeutet

Die Wahrscheinlichkeit P(E)P(E) misst die Chance eines Ereignisses auf einer Skala von 00 bis 11:

P=0:unmo¨glichP=0,5:fifty-fiftyP=1:sicherP = 0: \text{unmöglich} \qquad P = 0{,}5: \text{fifty-fifty} \qquad P = 1: \text{sicher}

Angeben kannst du sie als , oder : P=14=0,25=25 %P = \frac{1}{4} = 0{,}25 = 25\,\%.

Laplace-Experimente

Ein heißt Laplace-Experiment, wenn alle Ergebnisse gleichwahrscheinlich sind, wie beim fairen , der Münze oder dem Ziehen aus einer gut gemischten Urne. Dann gilt die Laplace-Regel:

P(E)=Anzahl der gu¨nstigen ErgebnisseAnzahl aller mo¨glichen ErgebnisseP(E) = \frac{\text{Anzahl der günstigen Ergebnisse}}{\text{Anzahl aller möglichen Ergebnisse}}

Im Bild unten ist der Würfel als Glücksrad dargestellt: P(gerade Zahl)=36=12P(\text{gerade Zahl}) = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}, drei günstige (2,4,62, 4, 6) von sechs möglichen. Achtung: Die Regel gilt NUR, wenn wirklich alle Ergebnisse gleichberechtigt sind, eine Reißzwecke ist kein Laplace-Experiment!

Warum man einfach abzählen darf

Die Laplace-Regel sieht fast zu einfach aus. Sie funktioniert aus einem bestimmten Grund, und nur dann.

Stell dir das Glücksrad im Bild vor: sechs gleich große Sektoren. Weil alle gleich groß sind, hat jeder einzelne die Chance 16\frac{1}{6}, zusammen ergibt das 6⋅16=16 \cdot \frac{1}{6} = 1, also 100 %100\,\%.

Fragst du nun nach einer geraden Zahl, zählst du drei dieser Sektoren zusammen:

16+16+16=36=12\frac{1}{6} + \frac{1}{6} + \frac{1}{6} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}

Das Abzählen ist also nichts anderes als das Zusammenlegen gleich großer Anteile. Genau deshalb steht in der Formel ein aus zwei Anzahlen.

Warum die Gleichverteilung Bedingung ist

Jetzt siehst du auch, warum die Regel bei einer Reißzwecke versagt. Sie kann auf dem Rücken oder auf der Seite landen, zwei Ergebnisse. Nach der Laplace-Regel wäre jedes 12\frac{1}{2} wahrscheinlich.

Probiere es aus: In Wirklichkeit fällt sie deutlich häufiger auf eine der beiden Arten. Die „Sektoren" sind eben nicht gleich groß.

Deshalb gilt vor jeder Anwendung die Prüffrage: Sind wirklich alle Ergebnisse gleichberechtigt? Nur dann darfst du abzählen, sonst musst du die Wahrscheinlichkeit durch viele Versuche schätzen ().

Warum PP immer zwischen 0 und 1 liegt

Auch das folgt direkt aus dem Bruch: Oben stehen die günstigen Ergebnisse, unten alle Ergebnisse.

Der kann nie größer als der sein, mehr als alle Ergebnisse können nicht günstig sein. Also ist PP höchstens 11. Und weniger als null günstige Fälle gibt es auch nicht, also mindestens 00.

Ein Ergebnis wie P=1,5P = 1{,}5 ist damit immer ein Rechenfehler, eine nützliche Kontrolle.

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Ein als Glücksrad: sechs gleich große Sektoren, einer für jede Augenzahl. Weil alle gleich groß sind, hat jeder die Chance 16\frac{1}{6}. Farbig sind die drei geraden Zahlen, nach Laplace also P(gerade)=gu¨nstigemo¨glichen=36=12P(\text{gerade}) = \frac{\text{günstige}}{\text{möglichen}} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}.

Ereignis und Gegenereignis

Ein Ereignis EE fasst ein oder mehrere Ergebnisse zusammen („gerade Zahl" ={2,4,6}= \{2, 4, 6\}). Das Gegenereignis Eˉ\bar{E} enthält alle anderen Ergebnisse. Da eines von beiden sicher eintritt:

P(E)+P(Eˉ)=1⟹P(Eˉ)=1−P(E)P(E) + P(\bar{E}) = 1 \qquad\Longrightarrow\qquad P(\bar{E}) = 1 - P(E)

Das ist oft die Abkürzung: „mindestens eine …" berechnet man über „keine …".

Wahrscheinlichkeit und relative Häufigkeit

Wirfst du einen sehr oft, pendelt sich die der Sechs bei 16≈16,7 %\frac{1}{6} \approx 16{,}7\,\% ein (empirisches Gesetz der großen Zahlen). Umgekehrt schätzt man unbekannte Wahrscheinlichkeiten (Reißzwecke!) durch lange Versuchsreihen.

Warum erst viele Versuche etwas aussagen

Wirf einen Würfel sechsmal. Kommt genau einmal die Sechs? Meistens nicht, mal zweimal, mal gar nicht. Nach sechs Würfen weißt du also fast nichts.

Der Grund: Bei wenigen Versuchen fällt jeder einzelne stark ins Gewicht. Ein Ausrutscher verschiebt die relative Häufigkeit sofort um viele Prozentpunkte.

Bei 6 0006\,000 Würfen ändert ein einzelner Wurf dagegen kaum noch etwas: Ein Ausreißer ganz am Anfang wird von den vielen späteren Würfen verdünnt, und der Wert pendelt sich ein.

Vorsicht, hier lauert der häufigste Denkfehler der Wahrscheinlichkeitsrechnung: Der Würfel gleicht nichts aus. Er hat kein Gedächtnis, nach fünf Sechsern ist die Wahrscheinlichkeit im sechsten Wurf immer noch 16\frac{1}{6}. Kleiner wird nicht die Abweichung selbst, sondern ihr Gewicht im .

Deshalb gilt: Je mehr Versuche, desto verlässlicher der Schätzwert. Eine Wahrscheinlichkeit aus 2020 Versuchen zu schätzen ist wenig wert.

Zwei Wege zur Wahrscheinlichkeit

Damit hast du zwei ganz verschiedene Zugänge, verwechsle sie nicht:

WegWannBeispiel
Abzählen (Laplace)wenn alle Ergebnisse gleichwahrscheinlich sindWürfel, Münze, Urne
Schätzen (relative Häufigkeit)wenn sie es nicht sind oder man es nicht weißReißzwecke, Fußballspiel, Wetter

Der erste Weg liefert einen exakten Wert aus der Symmetrie, der zweite einen Näherungswert aus Daten.

Erkläre es selbst: Die relative Häufigkeit der Sechs pendelt sich bei einem Sechstel ein, trotzdem hat der Würfel kein Gedächtnis. Wie passt beides zusammen?

Formuliere es erst selbst, am besten mit eigenen Zahlen.

Beide Sätze stimmen, sie widersprechen sich nur scheinbar. Der Schlüssel ist die Frage, was eigentlich kleiner wird.

Rechne es an einem Beispiel durch. Du wirfst 3030-mal und bekommst 1010 Sechsen. Erwartet hättest du 30:6=530 : 6 = 5, du hast also 55 Sechsen zu viel, und die liegt bei

1030=33,3 %statt16≈16,7 %\frac{10}{30} = 33{,}3\,\% \qquad\text{statt}\qquad \frac{1}{6} \approx 16{,}7\,\%

Gleicht der das jetzt aus? Nein. Jeder weitere Wurf ist wieder eine Sechs mit Wahrscheinlichkeit 16\frac{1}{6}, der Würfel weiß nichts von den ersten 3030 Würfen.

Wirf trotzdem weiter, bis 6 0006\,000 Würfe voll sind. In den 5 9705\,970 neuen Würfen erwartest du 5 970:6=9955\,970 : 6 = 995 Sechsen. Zusammen also:

10+9956 000=1 0056 000=16,75 %\frac{10 + 995}{6\,000} = \frac{1\,005}{6\,000} = 16{,}75\,\%

Und jetzt sieh genau hin: Es sind immer noch genau 55 Sechsen zu viel (1 0051\,005 statt 1 0001\,000). Der Überschuss ist nicht verschwunden, niemand hat ihn ausgeglichen. Verschwunden ist nur sein Gewicht: Aus 16,716{,}7 Prozentpunkten Abweichung sind 0,080{,}08 geworden, weil derselbe Überschuss jetzt durch 6 0006\,000 statt durch 3030 geteilt wird.

Der Kern in einem Satz: Die Abweichung wird nicht ausgeglichen, sondern verdünnt.

Wer stattdessen glaubt, nach vielen Sechsern müssten nun weniger kommen, sitzt dem Spielerfehlschluss auf, dem verbreitetsten Denkfehler dieses ganzen Gebiets. Deine Erklärung darf anders klingen; wichtig ist, dass in ihr nicht der Würfel etwas ausgleicht, sondern der wächst.

Laplace-Regel am Würfel

Ein fairer wird einmal geworfen. Berechne: a) P(Sechs)P(\text{Sechs}) b) P(ho¨chstens 2)P(\text{höchstens 2}) c) P(keine Sechs)P(\text{keine Sechs})

  1. 1

    Mögliche Ergebnisse: 6 (die Zahlen 1–6), alle gleichwahrscheinlich → Laplace. ✓

  2. 2

    a) Günstig: {6} → P=16≈16,7 %P = \frac{1}{6} \approx 16{,}7\,\%

  3. 3

    b) Günstig: {1, 2} → P=26=13P = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}

  4. 4

    c) Gegenereignis zu a): P=1−16=56P = 1 - \frac{1}{6} = \frac{5}{6}

a) 16\frac{1}{6} · b) 13\frac{1}{3} · c) 56\frac{5}{6}

Urnen-Aufgabe

In einer Urne liegen 4 rote, 5 blaue und 3 grüne Kugeln. Eine Kugel wird blind gezogen. Berechne P(rot)P(\text{rot}), P(blau oder gru¨n)P(\text{blau oder grün}) und P(nicht gru¨n)P(\text{nicht grün}).

  1. 1

    Alle Möglichkeiten: 4+5+3=124 + 5 + 3 = 12 Kugeln, jede gleichwahrscheinlich.

  2. 2

    P(rot)=412=13P(\text{rot}) = \frac{4}{12} = \frac{1}{3}

  3. 3

    P(blau oder gru¨n)=5+312=812=23P(\text{blau oder grün}) = \frac{5 + 3}{12} = \frac{8}{12} = \frac{2}{3}

  4. 4

    P(nicht gru¨n)=1−312=912=34P(\text{nicht grün}) = 1 - \frac{3}{12} = \frac{9}{12} = \frac{3}{4} (Gegenereignis!)

13\frac{1}{3}, 23\frac{2}{3} und 34\frac{3}{4}: Kugeln zählen, , fertig.

Wahrscheinlichkeit schätzen (kein Laplace)

Eine Reißzwecke landet bei 200 Würfen 128-mal mit der Spitze nach oben. Schätze die Wahrscheinlichkeit für „Spitze oben". Warum darf man hier nicht 12\frac{1}{2} ansetzen?

  1. 1

    Was ist gegeben, was ist gesucht?

    Gegeben: 200200 Würfe, davon 128128 mit der Spitze nach oben. Gesucht: eine Schätzung für P(Spitze oben)P(\text{Spitze oben}), und eine Begründung, warum hier nicht abgezählt werden darf.

  2. 2

    Schritt 1: Prüfen, ob die Laplace-Regel gilt.

    Die Laplace-Regel setzt voraus, dass alle Ergebnisse gleichwahrscheinlich sind.

    Bei der Reißzwecke gibt es zwei Lagen: Spitze oben oder auf der Seite. Aber eine Reißzwecke ist unsymmetrisch, schwerer Kopf, dünne Spitze. Es gibt keinen Grund, warum beide Lagen gleich häufig sein sollten.

    Also darfst du hier nicht abzählen.

  3. 3

    Schritt 2: Die Daten selbst sprechen lassen.

    Wenn du nicht rechnen kannst, musst du messen. Genau dafür sind die 200200 Würfe da.

    Berechne die , den Anteil der günstigen Fälle an allen Versuchen:

    h=128200h = \frac{128}{200}
  4. 4

    Schritt 3: Ausrechnen und umwandeln.

    128200=0,64=64 %\frac{128}{200} = 0{,}64 = 64\,\%

    Als Schätzwert gilt also P(Spitze oben)≈0,64P(\text{Spitze oben}) \approx 0{,}64.

    Beachte das Zeichen ≈\approx: Es ist eine Schätzung, kein exakter Wert.

  5. 5

    Schritt 4: Die Gegenprobe mit dem Gegenereignis.

    P(Seite)≈1−0,64=0,36P(\text{Seite}) \approx 1 - 0{,}64 = 0{,}36

    In Zahlen: 200−128=72200 - 128 = 72 Würfe, und 72200=0,36\frac{72}{200} = 0{,}36 ✓ Beide Wege stimmen überein.

  6. 6

    Schritt 5: Das Ergebnis richtig einordnen.

    Der Wert 0,640{,}64 liegt deutlich neben 0,50{,}5, die Annahme „fifty-fifty" wäre also klar falsch gewesen.

    Und wie sicher ist die Schätzung? 200200 Würfe sind ordentlich, aber nicht perfekt. Bei 2 0002\,000 Würfen käme vermutlich ein etwas anderer Wert heraus, der aber nahe bei 0,640{,}64 läge.

    Merke dir die Faustregel: Symmetrie erlaubt Rechnen, fehlende Symmetrie zwingt zum Zählen.

P(Spitze oben)≈128200=0,64=64 %P(\text{Spitze oben}) \approx \frac{128}{200} = 0{,}64 = 64\,\%, geschätzt aus Daten, weil die beiden Lagen nicht gleichwahrscheinlich sind.

Typischer Fehler

„Entweder gewinne ich im Lotto oder nicht, zwei Möglichkeiten, also ist die Chance 50 %."

Die Laplace-Regel setzt Gleichwahrscheinlichkeit voraus! „Gewinnen" und „Nicht gewinnen" sind zwar zwei Ereignisse, aber himmelweit unterschiedlich wahrscheinlich. Richtig zählt man die gleichwahrscheinlichen Elementarergebnisse (alle möglichen Tippkombinationen), und davon sind fast alle Nieten. Erst prüfen, ob Laplace gilt, dann zählen!

Übung 1

leicht

Ein Glücksrad hat 8 gleich große Felder: 3 rote, 4 blaue, 1 gelbes. Berechne P(rot)P(\text{rot}), P(blau)P(\text{blau}) und P(gelb)P(\text{gelb}). Kontrolliere über die Summe.

Tipp anzeigen

Alle Felder gleich groß → Laplace.

Lösung anzeigen

P(rot)=38P(\text{rot}) = \frac{3}{8}, P(blau)=48=12P(\text{blau}) = \frac{4}{8} = \frac{1}{2}, P(gelb)=18P(\text{gelb}) = \frac{1}{8}

Kontrolle: 38+48+18=1\frac{3}{8} + \frac{4}{8} + \frac{1}{8} = 1 ✓

Detaillierte Schritterklärung anzeigen

Hier wird jeder Schritt einzeln erklärt, vor allem, warum er gemacht wird.

Erklärungstiefe

✦ Empfohlen: Standard – Die normale Erklärungstiefe passt zum Einstieg.

  1. 1

    Das Laplace-Modell erkennen

    Alle 88 Felder sind GLEICH groß, jedes ist gleich wahrscheinlich. Dann gilt: P=gu¨nstige Felderalle FelderP = \frac{\text{günstige Felder}}{\text{alle Felder}}.

  2. 2

    Die drei Wahrscheinlichkeiten berechnen

    P(rot)=38P(\text{rot}) = \frac{3}{8}, P(blau)=48=12P(\text{blau}) = \frac{4}{8} = \frac{1}{2}, P(gelb)=18P(\text{gelb}) = \frac{1}{8}.

    P(rot)=38,  P(blau)=12,  P(gelb)=18P(\text{rot}) = \frac{3}{8}, \; P(\text{blau}) = \frac{1}{2}, \; P(\text{gelb}) = \frac{1}{8}

  3. 3

    Summenkontrolle

    38+48+18=88=1\frac{3}{8} + \frac{4}{8} + \frac{1}{8} = \frac{8}{8} = 1 ✓, irgendeine Farbe kommt sicher.

Übung 2

mittel

Aus einem Skatspiel (32 Karten, davon 4 Asse, 8 Karo-Karten) wird eine Karte gezogen. Berechne: a) P(Ass)P(\text{Ass}) b) P(Karo)P(\text{Karo}) c) P(kein Ass)P(\text{kein Ass})

Tipp anzeigen

c) Gegenereignis.

Lösung anzeigen

a) 432=18\frac{4}{32} = \frac{1}{8}

b) 832=14\frac{8}{32} = \frac{1}{4}

c) 1−18=781 - \frac{1}{8} = \frac{7}{8}

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Hier wird jeder Schritt einzeln erklärt, vor allem, warum er gemacht wird.

Erklärungstiefe

✦ Empfohlen: Standard – Die normale Erklärungstiefe passt zum Einstieg.

  1. 1

    a) und b): Günstige durch alle

    3232 Karten insgesamt. a) P(Ass)=432=18P(\text{Ass}) = \frac{4}{32} = \frac{1}{8}. b) P(Karo)=832=14P(\text{Karo}) = \frac{8}{32} = \frac{1}{4}.

  2. 2

    c) Über das Gegenereignis

    „Kein Ass" ist das GEGENEREIGNIS von „Ass": P(kein Ass)=1−P(Ass)=1−18=78P(\text{kein Ass}) = 1 - P(\text{Ass}) = 1 - \frac{1}{8} = \frac{7}{8}.

  3. 3

    Ergebnisse einordnen

    Plausibilität: P(kein Ass)=78P(\text{kein Ass}) = \frac{7}{8} ist groß, logisch, nur 44 von 3232 Karten sind Asse. Alle drei Werte liegen zwischen 00 und 11 ✓.

Übung 3

schwer

In einer Urne liegen nur rote und blaue Kugeln, insgesamt 20. Die Wahrscheinlichkeit, blau zu ziehen, beträgt 25\frac{2}{5}. a) Wie viele blaue Kugeln sind es? b) Wie viele blaue Kugeln muss man hinzufügen, damit P(blau)=12P(\text{blau}) = \frac{1}{2} wird?

Tipp anzeigen

b) Mit xx zusätzlichen blauen: 8+x20+x=12\frac{8+x}{20+x} = \frac{1}{2}.

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a) 25⋅20=8\frac{2}{5} \cdot 20 = 8 blaue (und 12 rote).

b) : 8+x20+x=12⇒2(8+x)=20+x⇒16+2x=20+x⇒x=4\frac{8+x}{20+x} = \frac{1}{2} \Rightarrow 2(8+x) = 20+x \Rightarrow 16 + 2x = 20 + x \Rightarrow x = 4

4 blaue Kugeln hinzufügen (dann 12 blaue von 24, die Hälfte ✓).

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Hier wird jeder Schritt einzeln erklärt, vor allem, warum er gemacht wird.

Erklärungstiefe

✦ Empfohlen: Standard – Die normale Erklärungstiefe passt zum Einstieg.

  1. 1

    a) Anzahl aus der Wahrscheinlichkeit

    P(blau)=25P(\text{blau}) = \frac{2}{5} bei 2020 Kugeln: blaue Anzahl =25⋅20=8= \frac{2}{5} \cdot 20 = 8 (und damit 1212 rote).

    25⋅20=8\frac{2}{5} \cdot 20 = 8

  2. 2

    b) Die Veränderung als Gleichung

    xx blaue Kugeln kommen DAZU, blau wird 8+x8 + x, gesamt wird 20+x20 + x. Ziel P=12P = \frac{1}{2}: 8+x20+x=12\frac{8+x}{20+x} = \frac{1}{2}.

  3. 3

    Gleichung lösen und prüfen

    Über Kreuz: 2(8+x)=20+x2(8+x) = 20+x → 16+2x=20+x16 + 2x = 20 + x → x=4x = 4. Probe: 8+420+4=1224=12\frac{8+4}{20+4} = \frac{12}{24} = \frac{1}{2} ✓, vier blaue Kugeln hinzufügen.

    16+2x=20+x⇒x=416 + 2x = 20 + x \Rightarrow x = 4

Alternative Lösungswege

Zusammenfassung

Wahrscheinlichkeiten leben zwischen 0 und 1. Bei Laplace-Experimenten (alle Ergebnisse gleichwahrscheinlich) genügt Zählen: günstig durch möglich. Das Gegenereignis (1−P1 - P) ist deine Abkürzung für „mindestens"-Fragen, und wo keine Symmetrie herrscht, schätzt die aus vielen Versuchen die Wahrscheinlichkeit, das Gesetz der großen Zahlen macht die Schätzung verlässlich.