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Bruchrechnung

Brüche erweitern, kürzen und ordnen

Gleichwertige Brüche finden, vollständig kürzen und Brüche sicher vergleichen.

Benötigte Grundlagen

Diese Themen kommen in diesem Kapitel vor und wurden vorher schon erklärt. Wenn dir eines davon unsicher vorkommt, frisch es kurz auf, sonst leg direkt los.

Einführung

12\frac{1}{2}, 24\frac{2}{4}, 50100\frac{50}{100}, drei völlig verschieden aussehende , aber alle bedeuten: die Hälfte. Brüche haben viele Gesichter! Wer sie durch Erweitern und Kürzen ineinander umwandeln kann, vergleicht Brüche mühelos und rechnet später viel entspannter. Dieses Kapitel ist der Schlüssel zur ganzen Bruchrechnung.

Das kannst du nach diesem Kapitel

  • erweitern und kürzen, ohne ihren Wert zu verändern.

  • Brüche vollständig kürzen.

  • Brüche gleichnamig machen und der Größe nach ordnen.

  • echte und unechte Brüche unterscheiden und unechte Brüche in gemischte Zahlen umwandeln (und zurück).

Erweitern und Kürzen

Ein halbe Pizza, zwei Viertel, vier Achtel. Das ist jedes Mal gleich viel. Aber die sehen völlig verschieden aus:

12=24=48\frac{1}{2} = \frac{2}{4} = \frac{4}{8}

Wie kann derselbe Anteil so unterschiedlich aussehen? Und wie kommst du von einem zum anderen?

Was beim Erweitern wirklich passiert

Nimm den halben Streifen. Jetzt schneidest du jedes Stück noch einmal in 22 Teile.

Was ändert sich dadurch?

  • Es gibt jetzt doppelt so viele Teile insgesamt: aus 22 werden 44. Der verdoppelt sich.
  • Auch die gefärbten Teile werden doppelt so viele: aus 11 werden 22. Der verdoppelt sich.
  • Aber jedes Teil ist nur noch halb so groß.

Der gefärbte Bereich ist dadurch kein Stück gewachsen, du hast ihn nur feiner unterteilt.

Genau das nennt man Erweitern: Zähler und Nenner werden mit derselben Zahl multipliziert.

23=2⋅43⋅4=812\frac{2}{3} = \frac{2 \cdot 4}{3 \cdot 4} = \frac{8}{12}

Warum der Wert dabei gleich bleibt

Hier steckt der eigentliche Grund, und er ist wichtig für alles Weitere:

Beide Veränderungen heben sich gegenseitig auf. Du bekommst viermal so viele Teile, aber jedes ist nur ein Viertel so groß. Viermal so viel von einem Viertel so großen Stück ist genau gleich viel.

Im Bild unten siehst du es: 12\frac{1}{2}, 24\frac{2}{4} und 48\frac{4}{8} färben denselben Streifen gleich weit ein. Nur die Anzahl der Trennstriche ist verschieden.

Achtung, die häufigste Falle: Du musst wirklich beide Zahlen multiplizieren. Wenn du nur den Zähler vervierfachst, wird der Bruch tatsächlich viermal so groß, dann hast du seinen Wert verändert.

Kürzen ist der Weg zurück

Kürzen macht dasselbe rückwärts: Du fasst kleine Teile wieder zu größeren zusammen. Dabei werden Zähler und Nenner durch dieselbe Zahl geteilt.

1218=12:618:6=23\frac{12}{18} = \frac{12 : 6}{18 : 6} = \frac{2}{3}

Das geht nur mit einer Zahl, die beide teilt: hier die 66. So eine Zahl heißt gemeinsamer .

Ein Bruch ist vollständig gekürzt, wenn Zähler und Nenner keinen gemeinsamen Teiler außer 11 mehr haben. Dann sind die Zahlen so klein wie möglich, und damit rechnet es sich am leichtesten.

1/22/44/8

Alle drei Balken sind gleich weit eingefärbt: 12=24=48\tfrac{1}{2}=\tfrac{2}{4}=\tfrac{4}{8}. Beim Erweitern teilst du jedes Stück feiner ( und mit derselben Zahl multiplizieren), der Anteil bleibt gleich. Kürzen ist der Rückweg.

Erkläre es selbst: Beim Kürzen werden es weniger Teile: warum wird der Bruch dadurch trotzdem nicht kleiner?

Formuliere es erst selbst, laut oder aufgeschrieben. Danach vergleichst du.

Beim Kürzen ändern sich zwei Dinge gleichzeitig, und sie heben sich gegenseitig auf:

  • Es werden weniger Teile.
  • Dafür ist jedes einzelne Teil größer.
1218=12:618:6=23\frac{12}{18} = \frac{12 : 6}{18 : 6} = \frac{2}{3}

Aus 1212 Achtzehnteln werden 22 Drittel: Du hast sechsmal weniger Stücke, aber jedes Stück ist sechsmal so groß, denn 13=618\frac{1}{3} = \frac{6}{18}. Zusammen bleibt genau gleich viel übrig.

Im Bild oben siehst du denselben Vorgang rückwärts: von 48\frac{4}{8} über 24\frac{2}{4} zu 12\frac{1}{2} verschwinden Trennstriche, der eingefärbte Bereich bleibt aber gleich weit.

Deine Erklärung darf anders klingen als diese. Wichtig ist nur, dass beide Veränderungen darin vorkommen, wer nur „es werden weniger Teile" sagt, hat erst die Hälfte des Grundes.

Brüche vergleichen und ordnen

Welcher ist größer: 34\frac{3}{4} oder 57\frac{5}{7}? Bei ganzen Zahlen siehst du das sofort. Bei Brüchen musst du genauer hinschauen. Es gibt drei Fälle.

Fall 1: Gleiche Nenner, der Zähler entscheidet

59oder49  ?\frac{5}{9} \quad\text{oder}\quad \frac{4}{9}\;?

Hier sind alle Teile gleich groß (Neuntel). Es kommt also nur darauf an, wie viele du hast. Fünf Stücke sind mehr als vier:

59>49\frac{5}{9} > \frac{4}{9}

Das ist der einfache Fall: und der Grund, warum man Brüche vor dem Vergleichen gleichnamig macht.

Fall 2: Gleiche Zähler, der kleinere Nenner gewinnt

35oder38  ?\frac{3}{5} \quad\text{oder}\quad \frac{3}{8}\;?

Jetzt hast du beide Male 33 Stücke. Der Unterschied liegt in der Größe der Stücke.

Denk an eine Pizza: Teilst du sie in 55 Stücke, ist jedes ziemlich groß. Teilst du sie in 88, wird jedes kleiner. Und 33 große Stücke sind mehr als 33 kleine:

35>38\frac{3}{5} > \frac{3}{8}

Das überrascht viele: Die größere Zahl unten macht den Bruch kleiner. Wenn du dir das merkst, indem du an die Pizzastücke denkst, verwechselst du es nicht mehr.

Fall 3: Alles verschieden, erst gleichnamig machen

34oder57  ?\frac{3}{4} \quad\text{oder}\quad \frac{5}{7}\;?

Hier greifen die beiden Regeln von oben nicht, denn und sind verschieden. Du kannst die Brüche so nicht vergleichen. Es ist, als würdest du Stückzahlen von verschieden großen Pizzen vergleichen.

Die Lösung kennst du schon: Erweitere beide Brüche so, dass sie denselben Nenner haben. Damit bist du wieder in Fall 1, und dort entscheidet einfach der Zähler.

Als gemeinsamen Nenner nimmst du am besten das kleinste gemeinsame der beiden Nenner. Dann bleiben die Zahlen klein.

Die Kontrolle auf der Zahlengeraden

Auf der Zahlengeraden unten liegt der größere Bruch immer weiter rechts. Wenn du unsicher bist, ob dein Vergleich stimmt, zeichne die Brüche ein, die Reihenfolge auf der Zahlengeraden lügt nicht.

So ordnest du auch mehrere Brüche sicher: alle gleichnamig machen, dann nach Zählern sortieren.

011/22/33/4

Zum Ordnen hilft die Zahlengerade: Der größere liegt weiter rechts, also 12<23<34\tfrac{1}{2}<\tfrac{2}{3}<\tfrac{3}{4}. Bei kniffligen Fällen bringst du die Brüche zuerst auf denselben und vergleichst dann die .

Prüfe dich: Zwei Brüche haben denselben Zähler, aber verschiedene Nenner. Warum ist der mit dem größeren Nenner der kleinere?

Der sagt, in wie viele Teile das Ganze zerlegt ist. Je mehr Teile, desto kleiner ist jedes einzelne davon.

Der sagt nur, wie viele dieser Teile du nimmst. Ist er bei beiden gleich, nimmst du beide Male gleich viele Stücke, nur sind sie einmal größer und einmal kleiner.

35>38\frac{3}{5} > \frac{3}{8}

Drei große Pizzastücke sind mehr als drei kleine.

Zur Kontrolle ein Extremfall: Vergleiche 12\frac{1}{2} mit 1100\frac{1}{100}. Einmal die halbe Pizza, einmal ein winziges Stückchen, an diesem Größenunterschied wird es besonders deutlich: Die größere Zahl unten macht den Bruch kleiner.

Echte und unechte Brüche, gemischte Zahlen

wie 175\frac{17}{5} sehen ungewohnt aus, oben steht eine größere Zahl als unten. Ist das erlaubt?

Ja. Es bedeutet nur, dass du mehr als ein Ganzes hast. Nach ihrer Größe unterscheidet man zwei Sorten:

SorteBedingungWertBeispiel
echter Bruch << kleiner als 1134\frac{3}{4}
unechter BruchZähler ≥\geq Nennermindestens 11175\frac{17}{5}

Warum man unechte Brüche umschreibt

175\frac{17}{5} ist richtig, aber kannst du dir vorstellen, wie viel das ist? Die meisten können es nicht auf Anhieb.

Deshalb schreibt man solche Brüche oft anders auf: erst die ganzen Stücke, dann der Rest.

175=325\frac{17}{5} = 3\frac{2}{5}

Das liest sich sofort: drei Ganze und noch zwei Fünftel. Diese Schreibweise heißt gemischte Zahl, weil sie ganze Zahlen und Brüche mischt.

So rechnest du um: Bruch → gemischte Zahl

Du fragst dich: Wie oft passt ein Ganzes in den Bruch hinein?

Ein Ganzes sind hier 55\frac{5}{5}. Also teilst du mit Rest:

17:5=3 Rest 217 : 5 = 3 \text{ Rest } 2
  • Die 33 ist die Anzahl der ganzen Stücke.
  • Der Rest 22 wird der neue Zähler.
  • Der Nenner bleibt 55, die Stückgröße hat sich ja nicht geändert.
175=325\frac{17}{5} = 3\frac{2}{5}

Und zurück: gemischte Zahl → Bruch

Manchmal brauchst du die andere Richtung, zum Beispiel, bevor du zwei gemischte Zahlen multiplizierst.

Überlege: Wie viele Fünftel stecken in 3253\frac{2}{5}?

In jedem Ganzen stecken 55 Fünftel, in 33 Ganzen also 3⋅5=153 \cdot 5 = 15. Dazu kommen die 22 aus dem Bruchteil:

325=3⋅5+25=1753\frac{2}{5} = \frac{3 \cdot 5 + 2}{5} = \frac{17}{5}

Als Merksatz: Ganze mal Nenner, plus Zähler, der Nenner bleibt.

Und eine Warnung: In 3253\frac{2}{5} steht kein Malzeichen. Die gemischte Zahl bedeutet 3+253 + \frac{2}{5}, nicht 3⋅253 \cdot \frac{2}{5}. Das ist eine der häufigsten Verwechslungen bei Brüchen.

17 Fünftel abzählen: drei Ganze und zwei Fünftel

5/55/55/52/5

Jeder Streifen ist ein Ganzes aus fünf Fünfteln. Färbe 1717 Fünftel ein: Drei Streifen werden voll (1515 Fünftel), im vierten bleiben zwei übrig, du siehst direkt 175=325\tfrac{17}{5} = 3\tfrac{2}{5}.

Vollständig kürzen

Kürze 3648\frac{36}{48} vollständig.

  1. 1

    Was heißt „vollständig kürzen"? Du sollst und so weit verkleinern, wie es geht, ohne den Wert des zu ändern.

    Am Ende dürfen die beiden Zahlen keinen gemeinsamen außer 11 mehr haben.

    Der Plan: Du suchst dir eine Zahl, durch die beide teilbar sind, und teilst beide dadurch. Das wiederholst du, bis nichts mehr geht.

  2. 2

    Schritt 1: Eine erste Kürzungszahl finden. Schau dir 3636 und 4848 an. Beide sind gerade, also sind beide durch 22 teilbar.

    36:248:2=1824\frac{36 : 2}{48 : 2} = \frac{18}{24}

    Wichtig: Du teilst beide Zahlen. Würdest du nur oben teilen, wäre der Bruch nur noch halb so groß.

  3. 3

    Schritt 2: Weiter kürzen. 1818 und 2424 sind immer noch beide gerade:

    18:224:2=912\frac{18 : 2}{24 : 2} = \frac{9}{12}
  4. 4

    Schritt 3: Eine neue Kürzungszahl suchen. Jetzt ist 99 ungerade, mit 22 geht es nicht mehr weiter. Aber es gibt ja noch andere Teiler.

    Nutze die Teilbarkeitsregeln aus Klasse 5: Bei der 33 schaust du auf die Quersumme.

    • 99: Quersumme 99, durch 33 teilbar ✓
    • 1212: Quersumme 1+2=31 + 2 = 3, durch 33 teilbar ✓
    9:312:3=34\frac{9 : 3}{12 : 3} = \frac{3}{4}
  5. 5

    Schritt 4: Prüfen, ob du fertig bist. Haben 33 und 44 noch einen gemeinsamen Teiler?

    33 ist nur durch 11 und 33 teilbar, 44 nur durch 11, 22 und 44. Gemeinsam haben sie nur die 11.

    Damit ist 34\frac{3}{4} vollständig gekürzt.

  6. 6

    Schritt 5: Der schnellere Weg. Du hast drei Schritte gebraucht. Das geht auch in einem, wenn du gleich die größte Zahl findest, durch die beide teilbar sind.

    Hier ist das die 1212:

    36:1248:12=34\frac{36 : 12}{48 : 12} = \frac{3}{4}

    Beide Wege sind richtig. In kleinen Schritten zu kürzen ist sicherer, weil du nur einfache Teiler brauchst. Wenn du die große Zahl sofort siehst, sparst du Zeit.

  7. 7

    Schritt 6: Die Probe. Ist 34\frac{3}{4} wirklich genauso groß wie 3648\frac{36}{48}?

    Rechne rückwärts, erweitere 34\frac{3}{4} wieder mit 1212:

    3⋅124⋅12=3648  ✓\frac{3 \cdot 12}{4 \cdot 12} = \frac{36}{48} \;\checkmark

    Du landest genau beim Ausgangsbruch. Das Kürzen war also richtig.

3648=34\frac{36}{48} = \frac{3}{4}

Zum Mitnehmen: Kürze so lange, bis Zähler und Nenner nur noch die 11 gemeinsam haben. Die Teilbarkeitsregeln aus Klasse 5 (gerade Zahl, Quersumme, Endziffer) helfen dir beim Finden der Kürzungszahlen. Die Probe ist das Erweitern zurück.

Brüche vergleichen

Welcher ist größer: 34\frac{3}{4} oder 57\frac{5}{7}?

  1. 1

    Welcher Fall liegt vor? Schau dir die beiden Brüche an:

    • Die sind verschieden (44 und 77).
    • Die sind auch verschieden (33 und 55).

    Also kein einfacher Fall. Du kannst die Brüche so nicht vergleichen: Viertel und Siebtel sind unterschiedlich große Stücke.

    Der Plan: Beide Brüche gleichnamig machen, dann entscheiden die Zähler.

  2. 2

    Schritt 1: Einen gemeinsamen Nenner finden. Gesucht ist eine Zahl, die sowohl durch 44 als auch durch 77 ist.

    Zähle die auf:

    • Vielfache von 44: 4,8,12,16,20,24,28,…4, 8, 12, 16, 20, 24, \boldsymbol{28}, \ldots
    • Vielfache von 77: 7,14,21,28,…7, 14, 21, \boldsymbol{28}, \ldots

    Die kleinste gemeinsame Zahl ist 2828.

    Ein Trick für den Notfall: Die beiden Nenner multiplizieren (4⋅7=284 \cdot 7 = 28) klappt immer. Manchmal bekommt man damit unnötig große Zahlen. Hier ist es genau richtig.

  3. 3

    Schritt 2: Den ersten Bruch erweitern. Von 44 auf 2828 kommst du mit dem Faktor 77, denn 4⋅7=284 \cdot 7 = 28.

    Also erweiterst du beide Zahlen mit 77:

    34=3⋅74⋅7=2128\frac{3}{4} = \frac{3 \cdot 7}{4 \cdot 7} = \frac{21}{28}
  4. 4

    Schritt 3: Den zweiten Bruch erweitern. Von 77 auf 2828 kommst du mit dem Faktor 44:

    57=5⋅47⋅4=2028\frac{5}{7} = \frac{5 \cdot 4}{7 \cdot 4} = \frac{20}{28}

    Achte darauf: Jeder Bruch bekommt seinen eigenen Faktor. Der eine wird mit 77 erweitert, der andere mit 44.

  5. 5

    Schritt 4: Jetzt vergleichen. Beide Brüche haben denselben Nenner, die Stücke sind also gleich groß. Es zählt nur noch die Anzahl:

    21>20⟹2128>202821 > 20 \qquad\Longrightarrow\qquad \frac{21}{28} > \frac{20}{28}

    Und weil die erweiterten Brüche genauso groß sind wie die ursprünglichen:

    34>57\frac{3}{4} > \frac{5}{7}
  6. 6

    Schritt 5: Das Ergebnis einordnen. Der Unterschied beträgt nur 128\frac{1}{28}. Das ist winzig.

    Deshalb war das Rechnen hier nötig. Ohne gleichnamig zu machen, hätte man den Unterschied nicht sehen können; beide Brüche liegen dicht beieinander, etwas über 0,70{,}7.

  7. 7

    Schritt 6: Eine Kontrolle mit einem anderen Trick. Es gibt einen zweiten Weg: Schau, wie viel jedem Bruch zum Ganzen fehlt.

    • Zu 34\frac{3}{4} fehlt 14\frac{1}{4}.
    • Zu 57\frac{5}{7} fehlen 27\frac{2}{7}.

    Was ist weniger, 14\frac{1}{4} oder 27\frac{2}{7}? Gleichnamig gemacht: 728\frac{7}{28} gegen 828\frac{8}{28}, also fehlt bei 34\frac{3}{4} weniger zum Ganzen.

    Wem weniger fehlt, der ist näher an der 11 und damit größer ✓ Dasselbe Ergebnis wie oben.

34>57\frac{3}{4} > \frac{5}{7}, der Unterschied beträgt nur 128\frac{1}{28}.

Zum Mitnehmen: Sind Zähler und Nenner beide verschieden, hilft nur gleichnamig machen. Danach entscheidet der Zähler. Zur Kontrolle kannst du vergleichen, welchem Bruch weniger zum Ganzen fehlt.

Gemischte Zahl und unechter Bruch

a) Wandle 236\frac{23}{6} in eine gemischte Zahl um. b) Wandle 4384\frac{3}{8} in einen unechten um.

  1. 1

    Worum geht es? Beide Schreibweisen bedeuten dasselbe, sie sehen nur verschieden aus. In dieser Aufgabe übst du beide Richtungen.

    Teil a) geht vom unechten Bruch zur gemischten Zahl, Teil b) wieder zurück.

    Vorüberlegung zu a): In 236\frac{23}{6} ist der viel größer als der . Das Ergebnis wird also deutlich über 11 liegen.

  2. 2

    Teil a): Schritt 1: Die richtige Frage stellen. Du willst wissen: Wie viele ganze stecken in 236\frac{23}{6}?

    Ein Ganzes sind 66\frac{6}{6}, also 66 Sechstel. Die Frage lautet damit: Wie oft passt 66 in 2323?

  3. 3

    Schritt 2: Division mit Rest.

    23:6=3 Rest 523 : 6 = 3 \text{ Rest } 5

    Zur Kontrolle: 3⋅6=183 \cdot 6 = 18, und 23−18=523 - 18 = 5 ✓

  4. 4

    Schritt 3: Das Ergebnis zusammensetzen. Die drei Teile der Division haben jeweils eine Bedeutung:

    • Das Ergebnis 33 sind die ganzen Stücke.
    • Der Rest 55 wird der neue Zähler.
    • Der Nenner bleibt 66, die Stücke sind ja weiterhin Sechstel.
    236=356\frac{23}{6} = 3\frac{5}{6}

    Der Nenner ändert sich nie bei dieser Umwandlung. Das ist ein häufiger Fehler.

  5. 5

    Teil b): Schritt 4: Die umgekehrte Frage. Jetzt ist 4384\frac{3}{8} gegeben. Du willst wissen: Wie viele Achtel sind das insgesamt?

    Die gemischte Zahl bedeutet 4+384 + \frac{3}{8}, also musst du die 44 Ganzen in Achtel umrechnen und die 33 dazuzählen.

  6. 6

    Schritt 5: Die Ganzen umrechnen. In einem Ganzen stecken 88 Achtel. In 44 Ganzen also:

    4⋅8=32 Achtel4 \cdot 8 = 32 \text{ Achtel}
  7. 7

    Schritt 6: Den Bruchteil dazuzählen.

    32+3=35 Achtel32 + 3 = 35 \text{ Achtel} 438=3584\frac{3}{8} = \frac{35}{8}

    Als Merksatz: Ganze mal Nenner, plus Zähler, und der Nenner bleibt.

  8. 8

    Schritt 7: Die Probe. Rechne bei b) zurück in eine gemischte Zahl. Kommt wieder 4384\frac{3}{8} heraus?

    35:8=4 Rest 3⟹358=438  ✓35 : 8 = 4 \text{ Rest } 3 \qquad\Longrightarrow\qquad \frac{35}{8} = 4\frac{3}{8} \;\checkmark

    Und eine Größenkontrolle für a): 3563\frac{5}{6} liegt knapp unter 44. Passt das? 44 Ganze wären 246\frac{24}{6}, und 236\frac{23}{6} ist genau ein Sechstel weniger ✓

a) 236=356\frac{23}{6} = 3\frac{5}{6} · b) 438=3584\frac{3}{8} = \frac{35}{8}

Zum Mitnehmen: Vom Bruch zur gemischten Zahl rechnest du Division mit Rest (Ergebnis = Ganze, Rest = neuer Zähler). Zurück gilt: Ganze mal Nenner, plus Zähler. Der Nenner bleibt in beiden Richtungen unverändert.

Typischer Fehler

23\frac{2}{3} mit 4 erweitert: 83\frac{8}{3}, „ich multipliziere den mit 4".

Beim Erweitern müssen Zähler und multipliziert werden: 23=812\frac{2}{3} = \frac{8}{12}. Wer nur den Zähler vervierfacht, macht den viermal so groß (83=223\frac{8}{3} = 2\frac{2}{3} statt 23\frac{2}{3})! Kontrolle: Erweitern darf den Wert nie verändern, 812\frac{8}{12} und 23\frac{2}{3} sind gleich, 83\frac{8}{3} ist es nicht.

Übung 1

leicht

a) Erweitere 35\frac{3}{5} mit 6. b) Kürze 1520\frac{15}{20} vollständig. c) Erweitere 79\frac{7}{9} auf den 36.

Tipp anzeigen

c) Mit welcher Zahl wird 9 zu 36?

Lösung anzeigen

a) 3⋅65⋅6=1830\frac{3 \cdot 6}{5 \cdot 6} = \frac{18}{30}

b) 15:520:5=34\frac{15:5}{20:5} = \frac{3}{4}

c) 9⋅4=369 \cdot 4 = 36, also mit 4 erweitern: 2836\frac{28}{36}

Detaillierte Schritterklärung anzeigen

Hier wird jeder Schritt einzeln erklärt, vor allem, warum er gemacht wird.

Erklärungstiefe

✦ Empfohlen: Standard – Die normale Erklärungstiefe passt zum Einstieg.

  1. 1

    a) Erweitern mit 6

    Erweitern heißt: UND Nenner mit derselben Zahl multiplizieren: 35=3⋅65⋅6=1830\frac{3}{5} = \frac{3 \cdot 6}{5 \cdot 6} = \frac{18}{30}.

  2. 2

    b) Vollständig kürzen

    1520\frac{15}{20}: Der größte gemeinsame von 1515 und 2020 ist 55: 15:520:5=34\frac{15:5}{20:5} = \frac{3}{4}.

  3. 3

    c) Auf einen Ziel-Nenner erweitern

    Ziel-Nenner 3636: Aus 99 wird 3636 durch mal 44 (36:9=436 : 9 = 4). Also auch den Zähler mal 44: 79=2836\frac{7}{9} = \frac{28}{36}.

Übung 2

mittel

Ordne der Größe nach (kleinster zuerst): 23,  34,  712,  56\frac{2}{3}, \;\frac{3}{4}, \;\frac{7}{12}, \;\frac{5}{6}

Tipp anzeigen

Der aller vier ist 12.

Lösung anzeigen

Auf 12: 23=812\frac{2}{3} = \frac{8}{12},   34=912\;\frac{3}{4} = \frac{9}{12},   712\;\frac{7}{12},   56=1012\;\frac{5}{6} = \frac{10}{12}

Reihenfolge: 712<23<34<56\frac{7}{12} < \frac{2}{3} < \frac{3}{4} < \frac{5}{6}

Detaillierte Schritterklärung anzeigen

Hier wird jeder Schritt einzeln erklärt, vor allem, warum er gemacht wird.

Erklärungstiefe

✦ Empfohlen: Standard – Die normale Erklärungstiefe passt zum Einstieg.

  1. 1

    Hauptnenner finden

    Die Nenner sind 3,4,12,63, 4, 12, 6. Das kleinste gemeinsame ist 1212, denn 1212 ist durch alle vier .

  2. 2

    Alle Brüche auf Zwölftel erweitern

    23=812\frac{2}{3} = \frac{8}{12} (mal 44) · 34=912\frac{3}{4} = \frac{9}{12} (mal 33) · 712\frac{7}{12} bleibt · 56=1012\frac{5}{6} = \frac{10}{12} (mal 22).

    Zwischenergebnis

    Zähler: 8,9,7,108, 9, 7, 10

  3. 3

    Ordnen und rückübersetzen

    Zähler sortiert: 7<8<9<107 < 8 < 9 < 10. In Originalform: 712<23<34<56\frac{7}{12} < \frac{2}{3} < \frac{3}{4} < \frac{5}{6}.

Alternative Lösungswege

Übung 3

schwer

a) Wandle um: 478\frac{47}{8} in eine gemischte Zahl und 5495\frac{4}{9} in einen unechten . b) Finde alle Brüche mit 12, die zwischen 13\frac{1}{3} und 23\frac{2}{3} liegen.

Tipp anzeigen

b) Schreibe 13\frac{1}{3} und 23\frac{2}{3} mit Nenner 12.

Lösung anzeigen

a) 47:8=547 : 8 = 5 Rest 77 → 5785\frac{7}{8}; und 5⋅9+4=495 \cdot 9 + 4 = 49 → 499\frac{49}{9}

b) 13=412\frac{1}{3} = \frac{4}{12} und 23=812\frac{2}{3} = \frac{8}{12} → dazwischen liegen 512,612,712\frac{5}{12}, \frac{6}{12}, \frac{7}{12}

Detaillierte Schritterklärung anzeigen

Hier wird jeder Schritt einzeln erklärt, vor allem, warum er gemacht wird.

Erklärungstiefe

✦ Empfohlen: Standard – Die normale Erklärungstiefe passt zum Einstieg.

  1. 1

    a) Unechter Bruch → gemischte Zahl

    478\frac{47}{8}: Division mit Rest: 47:8=547 : 8 = 5 Rest 77, also 55 Ganze und 78\frac{7}{8}: 5785\frac{7}{8}.

  2. 2

    a) Gemischte Zahl → unechter Bruch

    5495\frac{4}{9}: Die 55 Ganzen sind 5⋅9=455 \cdot 9 = 45 Neuntel, plus die 44: 499\frac{49}{9}.

    549=5⋅9+49=4995\frac{4}{9} = \frac{5 \cdot 9 + 4}{9} = \frac{49}{9}

  3. 3

    b) Brüche mit Nenner 12 im Intervall finden

    Grenzen in Zwölftel übersetzen: 13=412\frac{1}{3} = \frac{4}{12} und 23=812\frac{2}{3} = \frac{8}{12}. Dazwischen (echt dazwischen!) liegen 512\frac{5}{12}, 612\frac{6}{12} und 712\frac{7}{12}.

Zusammenfassung

Erweitern und Kürzen verändern das Aussehen eines , nie seinen Wert, solange und gemeinsam behandelt werden. Vergleichen läuft über gleiche Nenner (oder clever über gleiche Zähler bzw. den Abstand zu 1). Unechte Brüche und gemischte Zahlen sind zwei Schreibweisen derselben Zahl, die Division mit Rest übersetzt zwischen ihnen.