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Vektoren / Analytische Geometrie

Geraden im Raum

Geradengleichungen in Parameterform: Punktprobe und Lagebeziehungen.

Benötigte Grundlagen

Diese Themen kommen in diesem Kapitel vor und wurden vorher schon erklärt. Wenn dir eines davon unsicher vorkommt, frisch es kurz auf, sonst leg direkt los.

Einführung

Eine Flugbahn, ein Laserstrahl, die Kante eines Gebäudes: Geraden im Raum sind überall. Aber im 3D-Raum reicht ein „y=mx+by = mx + b" nicht mehr! Stattdessen beschreibt man Geraden mit einem Stützpunkt und einer Richtung, der Parameterform. Damit lassen sich Schnittpunkte, Parallelität und windschiefe Lagen bestimmen.

Das kannst du nach diesem Kapitel

  • eine Geradengleichung in Parameterform aufstellen.

  • mit der Punktprobe prüfen, ob ein Punkt auf der Geraden liegt.

  • die Lage zweier Geraden untersuchen (parallel, schneidend, windschief, identisch).

  • den Schnittpunkt zweier Geraden berechnen.

Die Parameterform

In der Ebene beschreibst du eine Gerade seit Klasse 8 mit y=mx+ny = mx + n. Im Raum funktioniert das nicht mehr, und der Grund dafür lohnt einen Moment.

Warum die Funktionsgleichung im Raum versagt

Eine wie y=mx+ny = mx + n verknüpft zwei . Im Raum gibt es aber drei Koordinaten, und eine einzelne Gleichung in drei Variablen (etwa 2x1+3x2−x3=52x_1 + 3x_2 - x_3 = 5) legt einen Punkt nicht auf eine Linie fest, sondern lässt ihm noch zwei Freiheiten. Das beschreibt eine Ebene, wie du im nächsten Kapitel sehen wirst.

Wir brauchen also eine andere Idee.

Die Idee: Startpunkt plus Richtung

Was legt eine Gerade eindeutig fest? Zwei Angaben genügen:

  • ein Punkt, durch den sie verläuft, der Stützpunkt AA,
  • eine Richtung, in die sie verläuft, der Richtungsvektor u⃗\vec u.

Wie erreicht man damit einen beliebigen Punkt XX der Geraden? In zwei Etappen:

  1. Vom Ursprung zum Stützpunkt: a⃗\vec{a}.
  2. Von dort aus entlang der Geraden weiter. Jede Bewegung entlang der Geraden ist ein des Richtungsvektors: t⋅u⃗t\cdot\vec u.

Zusammengesetzt entsteht die Parameterform:

g:x⃗=a⃗+t⋅u⃗,t∈Rg: \vec{x} = \vec{a} + t \cdot \vec{u}, \qquad t \in \mathbb{R}

Was der Parameter tt tut

tt ist eine Art Schieberegler: Jeder Wert von tt liefert genau einen Punkt der Geraden, und umgekehrt gehört zu jedem Punkt genau ein tt.

  • t=0t = 0 ergibt den Stützpunkt AA selbst.
  • t=1t = 1 ergibt den Punkt, den man nach einer vollen Länge von u⃗\vec u erreicht.
  • Negative tt führen in die Gegenrichtung.

Weil tt alle durchläuft, entsteht die vollständige, in beide Richtungen unendliche Gerade, nicht nur eine Strecke.

Dieselbe Gerade, viele Gleichungen

Ein Punkt, der oft verunsichert: Die Parameterform ist nicht eindeutig. Zwei Freiheiten stecken darin:

  • Der Stützpunkt darf jeder Punkt der Geraden sein. Es gibt keinen ausgezeichneten „Anfang".
  • Der Richtungsvektor darf durch jedes Vielfache ru⃗r\vec u (r≠0r \neq 0) ersetzt werden. Nur die Richtung zählt, nicht die Länge, ein doppelt so langer Richtungsvektor beschreibt dieselbe Gerade, man erreicht ihre Punkte nur mit anderen tt-Werten.

Praktische Folge: Wenn dein Ergebnis anders aussieht als das Lösungsheft, ist es nicht zwingend falsch. Prüfe stattdessen, ob die Richtungsvektoren Vielfache voneinander sind und ob dein Stützpunkt die andere Gleichung erfüllt.

Gerade durch zwei Punkte

Sind statt Punkt und Richtung zwei Punkte AA und BB gegeben, fehlt nur die Richtung, und die liefert der Verbindungsvektor:

g:x⃗=a⃗+t⋅AB⃗mitAB⃗=B−Ag: \vec{x} = \vec{a} + t \cdot \vec{AB} \qquad\text{mit}\qquad \vec{AB} = B - A

Für t=0t=0 erhält man AA, für t=1t=1 genau BB. Alle Punkte zwischen den beiden gehören zu 0<t<10 < t < 1, nützlich, wenn nach einer Strecke statt einer Geraden gefragt ist.

Gerade: Stütz- und Richtungsvektor

x₁x₂x₃a⃗u⃗A (t=0)t=1t=2

Stützvektor a⃗\vec{a} (zum Punkt AA) und Richtungsvektor u⃗\vec{u} farblich unterschieden. Der Parameter tt erzeugt jeden Punkt der Geraden: t=0t{=}0 ist AA selbst, größere tt-Werte wandern in Richtung u⃗\vec{u} weiter.

Die Punktprobe

Liegt ein bestimmter Punkt PP auf der Geraden gg oder nicht? Diese Frage taucht in fast jeder Aufgabe auf, beim Prüfen von Ergebnissen ebenso wie beim Unterscheiden von Lagebeziehungen.

Der Ansatz

„PP liegt auf gg" bedeutet: Es gibt einen Parameterwert tt, der genau diesen Punkt erzeugt. Also setzen wir den von PP in die Geradengleichung ein und fragen, ob sich ein passendes tt finden lässt:

p⃗=a⃗+t u⃗\vec{p} = \vec{a} + t\,\vec{u}

Warum ein einheitliches tt nötig ist

Diese eine Vektorgleichung steht wieder für drei Zeilengleichungen mit nur einer Unbekannten tt, dieselbe überbestimmte Situation wie bei der Kollinearitätsprüfung.

Der Punkt liegt nur dann auf der Geraden, wenn ein und derselbe Wert von tt alle drei Zeilen erfüllt. Anschaulich: Die Gerade erreicht in einem einzigen Moment eine bestimmte Stelle. Sie kann nicht in der ersten Koordinate „schon da" und in der dritten „noch unterwegs" sein.

Das Vorgehen ist deshalb immer gleich:

  1. tt aus einer Zeile berechnen (am besten aus der mit den einfachsten Zahlen).
  2. Diesen Wert in die beiden anderen Zeilen einsetzen.
  3. Gehen beide auf, liegt PP auf gg. Widerspricht eine Zeile, liegt PP nicht auf gg. Dann ist man fertig und muss nichts weiter prüfen.

Ein Sonderfall, der Zeit spart

Ist eine Koordinate des Richtungsvektors 00, so ändert sich die zugehörige Koordinate auf der ganzen Geraden nie. Sie muss bei PP also exakt mit der des Stützpunkts übereinstimmen.

Stimmt sie nicht überein, liegt PP garantiert nicht auf gg, ohne dass man tt überhaupt berechnen müsste. Solche Zeilen liefern umgekehrt aber auch keinen Wert für tt; dafür braucht man eine Zeile, in der der Richtungsvektor nicht null ist.

Lagebeziehungen zweier Geraden

Zwei Geraden im Raum, wie können sie zueinander liegen? Statt vier Fälle auswendig zu lernen, entwickeln wir sie systematisch aus zwei Fragen.

Die zwei Leitfragen

Frage 1: Zeigen sie in dieselbe Richtung? Das entscheidet der Vergleich der Richtungsvektoren: Sind sie kollinear ( voneinander) oder nicht?

Frage 2: Haben sie einen gemeinsamen Punkt?

Zwei Fragen mit je zwei Antworten ergeben genau vier Kombinationen, und das sind die vier möglichen Lagen:

gemeinsame Punktekeine gemeinsamen Punkte
Richtungen parallelidentisch (alle Punkte gemeinsam)echt parallel
Richtungen nicht parallelschneidend (genau ein Punkt)windschief

Warum bei parallelen Richtungen „alle oder keiner"? Haben zwei gleichgerichtete Geraden einen Punkt gemeinsam, so laufen sie von dort aus in dieselbe Richtung weiter und bleiben deckungsgleich. Ein einzelner gemeinsamer Punkt ist bei paralleler Richtung unmöglich.

Das Prüfschema

Schritt 1: Richtungsvektoren vergleichen. Gibt es ein rr mit u⃗2=r u⃗1\vec u_2 = r\,\vec u_1 (alle drei Koordinaten!)?

Fall A: kollinear. Dann steht nur noch identisch oder echt parallel zur Wahl. Die Punktprobe entscheidet: Liegt der Stützpunkt der einen Geraden auf der anderen?

  • Ja → identisch
  • Nein → echt parallel

Fall B, nicht kollinear. Dann bleiben schneidend oder windschief. Jetzt werden beide gleichgesetzt:

a⃗1+t u⃗1=a⃗2+s u⃗2\vec{a}_1 + t\,\vec{u}_1 = \vec{a}_2 + s\,\vec{u}_2

Das ergibt ein mit drei Gleichungen und zwei Unbekannten tt und ss, erneut überbestimmt.

  • Gibt es eine Lösung → schneidend. Einsetzen von tt liefert den Schnittpunkt.
  • Entsteht ein Widerspruch → windschief.

Warum die Reihenfolge wichtig ist

Prüfe immer zuerst die Richtungsvektoren. Bei parallelen Geraden führt das Gleichsetzen nämlich ebenfalls zu einem Widerspruch, man könnte sie fälschlich für windschief halten.

Der Unterschied ist wesentlich: Windschiefe Geraden zeigen in verschiedene Richtungen und verfehlen sich; parallele zeigen in dieselbe Richtung. Die Richtungsprüfung trennt diese Fälle sauber, bevor gerechnet wird.

Die typische Falle beim Gleichsetzen

Die beiden Geraden brauchen verschiedene Parameternamen, tt für die eine, ss für die andere. Verwendet man zweimal tt, erzwingt man, dass beide Geraden ihren gemeinsamen Punkt „zur selben Zeit" erreichen. Das ist eine zusätzliche, sachlich unbegründete Bedingung, und echte Schnittpunkte würden dabei übersehen.

Schneidende Geraden

x₁x₂x₃ghS(3|1|2)

Die Geraden gg und hh haben nicht-parallele Richtungsvektoren und einen gemeinsamen Punkt: den Schnittpunkt S(3∣1∣2)S(3|1|2). Rechnerisch erkennt man diesen Fall daran, dass das Gleichsetzen beider Geradengleichungen ein mit einer eindeutigen Lösung für tt und ss liefert, anders als bei windschiefen Geraden, wo ein Widerspruch entsteht.

Zwei Geraden: echt parallel

x₁x₂x₃gh

gg und hh haben kollineare Richtungsvektoren ((1∣1∣0)(1|1|0) und (2∣2∣0)(2|2|0)). Sie sind parallel. Da die Punktprobe keinen gemeinsamen Punkt liefert, sind sie echt parallel (nicht identisch).

Windschief, die Raum-Besonderheit

Der vierte Fall verdient einen eigenen Abschnitt, denn er hat in der Ebene kein Gegenstück und widerspricht der Anschauung, die du aus zwei Dimensionen mitbringst.

In der Ebene gibt es nur zwei Möglichkeiten

Zeichne zwei Geraden auf ein Blatt. Entweder sind sie parallel, dann treffen sie sich nie. Oder sie sind es nicht, dann treffen sie sich mit Sicherheit irgendwo, notfalls weit außerhalb des Blattes. Eine dritte Möglichkeit gibt es nicht.

Im Raum kommt eine Ausweichmöglichkeit hinzu

Im Raum können sich zwei Geraden aus dem Weg gehen, ohne parallel zu sein. Sie laufen einfach in verschiedenen Höhen aneinander vorbei. Solche Geraden heißen windschief.

Ein Alltagsbild: Eine Straße und eine Autobahnbrücke darüber. Von oben betrachtet kreuzen sie sich; tatsächlich berühren sie sich nie, weil die Brücke höher liegt. Ebenso zwei Flugzeuge, deren Kurse sich auf der Karte schneiden, die aber in verschiedenen Flughöhen unterwegs sind.

Warum das Schrägbild hier täuschen kann

In der Zeichnung eines Schrägbilds scheinen sich windschiefe Geraden oft zu kreuzen, weil die Projektion die Tiefe zusammendrückt, die dritte Dimension geht beim Zeichnen verloren.

Deshalb entscheidet hier die Rechnung, nicht das Bild. Der Widerspruch im ist der Nachweis: Es gibt kein Wertepaar tt, ss, das alle drei Zeilen erfüllt, die Geraden haben nachweislich keinen gemeinsamen Punkt, egal wie die Zeichnung aussieht.

Ein sicheres Erkennungsmerkmal: Zwei Zeilen liefern eindeutige Werte für tt und ss, aber die dritte Zeile geht mit diesen Werten nicht auf. Genau dieser Widerspruch bedeutet windschief.

Zwei windschiefe Geraden

x₁x₂x₃gh

gg und hh sind nicht parallel und haben trotzdem keinen gemeinsamen Punkt, windschief. Im Schrägbild können sich die Linien scheinbar kreuzen; das täuscht: die Projektion verzerrt Abstände, im echten Raum verfehlen sie sich.

Geradenscharen

Bisher war eine Gerade fest vorgegeben. Manche Aufgaben lassen zusätzlich den Stützpunkt variieren und erzeugen so nicht eine Gerade, sondern eine ganze Familie.

Was eine Schar ist

Lässt man in x⃗=a⃗+t u⃗\vec{x} = \vec{a} + t\,\vec{u} den Stützpunkt a⃗\vec a über einen weiteren Parameter wandern, während die Richtung u⃗\vec u gleich bleibt, entsteht eine Geradenschar: unendlich viele Geraden mit derselben Richtung, aber verschiedenen Lagen, alle zueinander parallel.

Die beiden Parameter auseinanderhalten

Hier stehen zwei Parameter in derselben , und sie haben verschiedene Aufgaben:

  • Der Scharparameter wählt aus, welche Gerade der Familie gemeint ist. Für jeden festen Wert erhält man eine konkrete Gerade.
  • Der Geradenparameter tt läuft dann innerhalb dieser einen Geraden und erzeugt ihre Punkte.

Die Denkweise: Erst den Scharparameter festhalten, damit hat man eine gewöhnliche Gerade, mit der man wie gewohnt rechnet. Diese Trennung löst die meisten Verständnisprobleme bei Scharaufgaben.

Schar paralleler Geraden

x₁x₂x₃

Alle drei Geraden haben denselben Richtungsvektor, aber verschiedene Stützpunkte, eine Geradenschar paralleler Geraden, hier übereinander „gestapelt".

Prüfe dich: In einer Schargleichung stehen zwei Parameter nebeneinander. Welche verschiedenen Aufgaben haben die beiden, und was ist der erste Schritt bei jeder Scharaufgabe?

Der Scharparameter wählt die Gerade aus, der Geradenparameter tt läuft in ihr. Für jeden festen Wert des Scharparameters erhältst du eine konkrete Gerade der Familie; tt erzeugt dann deren Punkte. Die beiden Parameter arbeiten also auf verschiedenen Ebenen: Einer sortiert die Familie, einer bewegt sich auf der einzelnen Geraden.

Der erste Schritt jeder Scharaufgabe: den Scharparameter festhalten, also als feste Zahl denken. Dann steht eine gewöhnliche Gerade da, und alle Werkzeuge dieses Kapitels, Punktprobe, Richtungsvergleich, Gleichsetzen, funktionieren wie gewohnt.

Gerade aufstellen und Punktprobe

Stelle die Gerade durch A(1∣2∣3)A(1|2|3) und B(4∣8∣9)B(4|8|9) auf. Liegt P(7∣14∣15)P(7|14|15) auf ihr?

  1. 1

    Was ist gegeben, was gesucht? Gegeben sind zwei Punkte, gesucht sind zwei Dinge: die Geradengleichung und die Antwort auf eine Ja/Nein-Frage.

    Der Plan: Für die Parameterform brauchen wir einen Stützpunkt (den nehmen wir aus den gegebenen Punkten) und einen Richtungsvektor (den liefert der Verbindungsvektor).

  2. 2

    Schritt 1: Den Richtungsvektor bestimmen. Die Gerade verläuft von AA nach BB, also gibt AB⃗\vec{AB} ihre Richtung an:

    u⃗=AB⃗=(4−18−29−3)=(366)\vec{u} = \vec{AB} = \begin{pmatrix} 4-1 \\ 8-2 \\ 9-3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \\ 6 \\ 6 \end{pmatrix}
  3. 3

    Schritt 2: Die Geradengleichung aufstellen. Als Stützpunkt wählen wir AA, BB wäre genauso richtig:

    g:x⃗=(123)+t(366),t∈Rg: \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} + t\begin{pmatrix} 3 \\ 6 \\ 6 \end{pmatrix}, \qquad t \in \mathbb{R}

    Hinweis zu anderen Schreibweisen: Man dürfte den Richtungsvektor auch durch (122)\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 2 \end{pmatrix} ersetzen (durch 33 ), dieselbe Gerade, nur mit anderen tt-Werten. Beide Fassungen sind korrekt.

  4. 4

    Schritt 3: Die Punktprobe ansetzen. Für die zweite Frage setzen wir PP in die ein und suchen ein passendes tt:

    (71415)=(123)+t(366)\begin{pmatrix} 7 \\ 14 \\ 15 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} + t\begin{pmatrix} 3 \\ 6 \\ 6 \end{pmatrix}

    Zeilenweise ausgeschrieben:

    Zeile 1:7=1+3tZeile 2:14=2+6tZeile 3:15=3+6t\begin{aligned} \text{Zeile 1:}&\quad 7 = 1 + 3t\\ \text{Zeile 2:}&\quad 14 = 2 + 6t\\ \text{Zeile 3:}&\quad 15 = 3 + 6t \end{aligned}
  5. 5

    Schritt 4: tt aus der ersten Zeile bestimmen.

    7=1+3t∣  −17 = 1 + 3t \quad\Big|\; -1 6=3t∣  :36 = 3t \quad\Big|\; : 3 t=2t = 2

    Das ist erst eine Vermutung. Ob PP wirklich auf gg liegt, entscheiden die beiden anderen Zeilen.

  6. 6

    Schritt 5: Die zweite Zeile prüfen. Wert einsetzen, nicht neu ausrechnen:

    2+6⋅2=2+12=14  ✓2 + 6 \cdot 2 = 2 + 12 = 14 \;\checkmark

    Die Zeile fordert 1414. Sie geht auf.

  7. 7

    Schritt 6: Die dritte Zeile prüfen.

    3+6⋅2=3+12=15  ✓3 + 6 \cdot 2 = 3 + 12 = 15 \;\checkmark

    Auch diese Zeile stimmt. Alle drei Zeilen werden von t=2t = 2 erfüllt, PP liegt auf gg.

  8. 8

    Schritt 7: Das Ergebnis deuten und kontrollieren. Der Wert t=2t = 2 sagt zusätzlich, wo der Punkt liegt: bei t=0t=0 steht man in AA, bei t=1t=1 in BB, also liegt PP hinter BB, und zwar so weit von AA entfernt wie zweimal die Strecke AB‾\overline{AB}.

    Kontrolle über den Verbindungsvektor:

    AP⃗=(7−114−215−3)=(61212)=2⋅(366)=2 AB⃗  ✓\vec{AP} = \begin{pmatrix} 7-1 \\ 14-2 \\ 15-3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 6 \\ 12 \\ 12 \end{pmatrix} = 2 \cdot \begin{pmatrix} 3 \\ 6 \\ 6 \end{pmatrix} = 2\,\vec{AB} \;\checkmark

    AP⃗\vec{AP} ist tatsächlich das Doppelte von AB⃗\vec{AB}, die Punkte AA, BB, PP sind kollinear, wie es sein muss.

g:x⃗=(123)+t(366)g: \vec{x} = \begin{pmatrix}1\\2\\3\end{pmatrix} + t\begin{pmatrix}3\\6\\6\end{pmatrix}, und ja, PP liegt auf gg (für t=2t = 2, also doppelt so weit von AA entfernt wie BB).

Der Ablauf: Richtungsvektor als Verbindungsvektor → Stützpunkt frei wählen → für die Punktprobe tt aus einer Zeile bestimmen und in beide anderen einsetzen. Nur wenn alle drei mit demselben tt aufgehen, liegt der Punkt auf der Geraden.

Lagebeziehung bestimmen

Untersuche die Lage von g:x⃗=(100)+t(110)g: \vec{x} = \begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix} + t\begin{pmatrix}1\\1\\0\end{pmatrix} und h:x⃗=(001)+s(220)h: \vec{x} = \begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix} + s\begin{pmatrix}2\\2\\0\end{pmatrix}.

  1. 1

    Der Fahrplan steht vor der Rechnung fest. Es gibt vier mögliche Lagen, und die erste Frage entscheidet, welche zwei überhaupt noch infrage kommen:

    1. Sind die Richtungsvektoren kollinear? → identisch oder echt parallel
    2. Sind sie es nicht? → schneidend oder windschief

    Immer mit den Richtungsvektoren beginnen, sonst kann man parallele Geraden fälschlich für windschief halten.

  2. 2

    Schritt 1: Die Richtungsvektoren vergleichen. Gibt es ein rr mit u⃗h=r u⃗g\vec u_h = r\,\vec u_g?

    (220)=r⋅(110)\begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix} = r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}

    Zeile 1: 2=r⋅1⇒r=22 = r \cdot 1 \Rightarrow r = 2. Zeile 2: 2=2⋅1=22 = 2 \cdot 1 = 2 ✓. Zeile 3: 0=2⋅0=00 = 2 \cdot 0 = 0 ✓

    Dasselbe r=2r = 2 erfüllt alle drei Zeilen, die Richtungsvektoren sind kollinear.

  3. 3

    Schritt 2: Zwischenstand festhalten. Beide Geraden zeigen in dieselbe Richtung. Damit sind schneidend und windschief ausgeschlossen. Es bleiben nur noch zwei Möglichkeiten:

    • identisch (die Geraden liegen aufeinander) oder
    • echt parallel (sie laufen nebeneinander her).

    Welcher Fall vorliegt, entscheidet eine einzige Punktprobe.

  4. 4

    Schritt 3: Die Punktprobe ansetzen. Wir prüfen, ob der Stützpunkt von hh, also Q(0∣0∣1)Q(0|0|1), auf gg liegt:

    (001)=(100)+t(110)\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + t\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}

    Zeilenweise:

    Zeile 1:0=1+tZeile 2:0=0+tZeile 3:1=0+0\begin{aligned} \text{Zeile 1:}&\quad 0 = 1 + t\\ \text{Zeile 2:}&\quad 0 = 0 + t\\ \text{Zeile 3:}&\quad 1 = 0 + 0 \end{aligned}
  5. 5

    Schritt 4: Die dritte Zeile genügt bereits. Sie enthält gar kein tt mehr, weil die dritte Koordinate des Richtungsvektors 00 ist:

    1=01 = 0

    Das ist ein Widerspruch, und zwar unabhängig von jedem tt.

    Anschaulich: Die Gerade gg hat in der dritten Koordinate durchgehend den Wert 00; sie verläuft also vollständig in der x1x2x_1x_2-Ebene. Der Punkt QQ liegt aber auf der Höhe 11. Er kann deshalb unmöglich auf gg liegen.

  6. 6

    Schritt 5: Kontrolle über die beiden anderen Zeilen. Auch sie zeigen den Widerspruch, hier auf andere Weise:

    Zeile 1 fordert t=−1t = -1, Zeile 2 fordert t=0t = 0. Zwei verschiedene Werte für dieselbe Unbekannte sind nicht gleichzeitig erfüllbar.

    Ein einziger Widerspruch reicht bereits als Nachweis; dass hier gleich mehrere auftreten, bestätigt das Ergebnis zusätzlich.

  7. 7

    Schritt 6: Die Lage benennen. Richtungen parallel, aber kein gemeinsamer Punkt:

    Die Geraden sind echt parallel.

    Der Zusatz „echt" grenzt gegen den identischen Fall ab: beide sind „parallel" im weiteren Sinne, aber nur bei „echt parallel" gibt es keine gemeinsamen Punkte.

  8. 8

    Schritt 7: Plausibilität. Beide Geraden zeigen in die Richtung (110)\begin{pmatrix}1\\1\\0\end{pmatrix}, laufen also diagonal durch den Raum, ohne die Höhe zu ändern.

    gg verläuft dabei durchgehend auf der Höhe x3=0x_3 = 0, hh durchgehend auf der Höhe x3=1x_3 = 1. Sie liegen sozusagen in zwei parallelen Stockwerken und können sich deshalb nie treffen ✓

    Der Vergleich zum windschiefen Fall: Auch dort treffen sich die Geraden nie, aber dort zeigen sie in verschiedene Richtungen. Hier ist die Richtung dieselbe, deshalb parallel und nicht windschief.

Die Geraden sind echt parallel: gleiche Richtung (u⃗h=2 u⃗g\vec u_h = 2\,\vec u_g), aber keine gemeinsamen Punkte, gg verläuft auf der Höhe x3=0x_3 = 0, hh auf der Höhe x3=1x_3 = 1.

Zum Mitnehmen: Immer zuerst die Richtungsvektoren prüfen. Sind sie kollinear, entscheidet eine Punktprobe zwischen identisch und echt parallel: Gleichsetzen ist dann überflüssig.

Schnittpunkt zweier Geraden

Untersuche die Lage von g:x⃗=(102)+t(210)g: \vec{x} = \begin{pmatrix}1\\0\\2\end{pmatrix} + t\begin{pmatrix}2\\1\\0\end{pmatrix} und h:x⃗=(301)+s(011)h: \vec{x} = \begin{pmatrix}3\\0\\1\end{pmatrix} + s\begin{pmatrix}0\\1\\1\end{pmatrix}. Bestimme gegebenenfalls den Schnittpunkt.

  1. 1

    Der Fahrplan. Wie immer beginnen wir mit den Richtungsvektoren, sie entscheiden, welche zwei der vier Lagen noch möglich sind.

    Beachte die verschiedenen Parameternamen: gg nutzt tt, hh nutzt ss. Das ist keine Kosmetik: Die beiden Geraden dürfen ihren gemeinsamen Punkt bei verschiedenen Parameterwerten erreichen.

  2. 2

    Schritt 1: Richtungsvektoren vergleichen.

    u⃗g=(210),u⃗h=(011)\vec u_g = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}, \qquad \vec u_h = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}

    Für Kollinearität müsste in Zeile 1 gelten: 0=r⋅20 = r \cdot 2, also r=0r = 0. Dann wäre u⃗h\vec u_h aber der Nullvektor, im Widerspruch zu u⃗h≠0⃗\vec u_h \neq \vec 0.

    Die Richtungsvektoren sind nicht kollinear. Damit bleiben nur schneidend oder windschief; identisch und parallel sind ausgeschlossen.

  3. 3

    Schritt 2: Beide gleichsetzen. Ein gemeinsamer Punkt läge auf beiden Geraden, müsste also von beiden Gleichungen erzeugt werden:

    (102)+t(210)=(301)+s(011)\begin{pmatrix}1\\0\\2\end{pmatrix} + t\begin{pmatrix}2\\1\\0\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}3\\0\\1\end{pmatrix} + s\begin{pmatrix}0\\1\\1\end{pmatrix}

    Zeilenweise ausgeschrieben:

    Zeile 1:1+2t=3Zeile 2:0+t=0+sZeile 3:2+0=1+s\begin{aligned} \text{Zeile 1:}&\quad 1 + 2t = 3\\ \text{Zeile 2:}&\quad 0 + t = 0 + s\\ \text{Zeile 3:}&\quad 2 + 0 = 1 + s \end{aligned}

    Drei Gleichungen, zwei Unbekannte, überbestimmt. Genau das macht die Entscheidung möglich.

  4. 4

    Schritt 3: Die einfachsten Zeilen zuerst. Zeile 1 enthält nur tt, Zeile 3 nur ss, beide lassen sich sofort lösen:

    Zeile 1:1+2t=3  ∣  −1  ⟹  2t=2  ⟹  t=1\text{Zeile 1:}\quad 1 + 2t = 3 \;\Big|\; -1 \;\Longrightarrow\; 2t = 2 \;\Longrightarrow\; t = 1 Zeile 3:2=1+s  ∣  −1  ⟹  s=1\text{Zeile 3:}\quad 2 = 1 + s \;\Big|\; -1 \;\Longrightarrow\; s = 1

    Diese Reihenfolge ist eine bewusste Wahl: Zeile 2 enthält beide Unbekannten und wäre allein nicht lösbar. Ein Blick auf die Nullen im Richtungsvektor spart hier das Einsetzungsverfahren.

  5. 5

    Schritt 4: Die verbleibende Zeile entscheidet. Beide Werte in die noch unbenutzte Zeile 2 einsetzen:

    t=s⟹1=1  ✓t = s \quad\Longrightarrow\quad 1 = 1 \;\checkmark

    Kein Widerspruch, die Gleichung geht auf. Damit gibt es tatsächlich einen gemeinsamen Punkt: Die Geraden schneiden sich.

    Wäre hier ein Widerspruch entstanden (etwa 1=21 = 2), so wären die Geraden windschief gewesen. Diese eine Zeile trennt die beiden Fälle.

  6. 6

    Schritt 5: Den Schnittpunkt berechnen. Wir setzen t=1t = 1 in die Gleichung von gg ein:

    x⃗=(102)+1⋅(210)=(312)\vec{x} = \begin{pmatrix}1\\0\\2\end{pmatrix} + 1 \cdot \begin{pmatrix}2\\1\\0\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}3\\1\\2\end{pmatrix}

    Der Schnittpunkt ist S(3∣1∣2)S(3 \mid 1 \mid 2).

  7. 7

    Schritt 6: Die Probe mit der anderen Geraden. Ein echter Schnittpunkt muss auf beiden Geraden liegen. Deshalb setzen wir s=1s = 1 in hh ein. Das ist eine unabhängige Kontrolle:

    x⃗=(301)+1⋅(011)=(312)  ✓\vec{x} = \begin{pmatrix}3\\0\\1\end{pmatrix} + 1 \cdot \begin{pmatrix}0\\1\\1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}3\\1\\2\end{pmatrix} \;\checkmark

    Beide Wege führen zum selben Punkt. Diese Probe niemals auslassen, sie deckt Rechenfehler in den Parametern zuverlässig auf.

  8. 8

    Schritt 7: Der Schnittwinkel als Zugabe. Weil sich die Geraden schneiden, lässt sich auch der zwischen ihnen bestimmen, mit dem der Richtungsvektoren:

    u⃗g⋅u⃗h=2⋅0+1⋅1+0⋅1=1\vec u_g \cdot \vec u_h = 2\cdot 0 + 1 \cdot 1 + 0 \cdot 1 = 1 ∣u⃗g∣=4+1+0=5,∣u⃗h∣=0+1+1=2\left|\vec u_g\right| = \sqrt{4+1+0} = \sqrt5, \qquad \left|\vec u_h\right| = \sqrt{0+1+1} = \sqrt2 cos⁡φ=∣1∣5⋅2=110≈0,316⟹φ≈71,6°\cos\varphi = \frac{\left|1\right|}{\sqrt5 \cdot \sqrt2} = \frac{1}{\sqrt{10}} \approx 0{,}316 \quad\Longrightarrow\quad \varphi \approx 71{,}6°

    Warum hier der Betrag im steht: Ein Richtungsvektor darf durch sein Negatives ersetzt werden, ohne dass sich die Gerade ändert, das würde das Vorzeichen kippen. Als Schnittwinkel gibt man deshalb stets den spitzen der beiden Winkel an.

Die Geraden schneiden sich im Punkt S(3∣1∣2)S(3 \mid 1 \mid 2); der Schnittwinkel beträgt etwa 71,6°71{,}6°.

Der Ablauf: Richtungsvektoren prüfen (nicht kollinear → schneidend oder windschief) → gleichsetzen mit verschiedenen Parametern → tt und ss aus den zwei einfachsten Zeilen → die dritte Zeile entscheidet → Schnittpunkt einsetzen und mit der anderen Geraden gegenprüfen.

Typischer Fehler

Beim Gleichsetzen zweier Geraden wird für beide derselbe Parameter tt verwendet.

Jede Gerade braucht ihren eigenen Parameter! Setze a⃗1+tu⃗1=a⃗2+su⃗2\vec{a}_1 + t\vec{u}_1 = \vec{a}_2 + s\vec{u}_2 mit verschiedenen Parametern tt und ss. Mit demselben Buchstaben erzwingst du zusätzlich, dass beide Geraden den gemeinsamen Punkt beim selben Parameterwert erreichen, ein echter Schnittpunkt, den gg etwa bei t=1t = 1, aber hh bei s=3s = 3 erreicht, fällt dann durchs Raster: Es entsteht ein Widerspruch, und du hältst schneidende Geraden fälschlich für windschief. Zwei Unbekannte (tt, ss), drei : Löse zwei, prüfe die dritte.

Übung 1

leicht

Stelle die Gerade durch A(0∣1∣2)A(0|1|2) und B(3∣1∣8)B(3|1|8) auf.

Tipp anzeigen

Richtungsvektor AB⃗\vec{AB}.

Lösung anzeigen

AB⃗=(3∣0∣6)\vec{AB} = (3|0|6)

g:x⃗=(012)+t(306)g: \vec{x} = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix} + t\begin{pmatrix} 3 \\ 0 \\ 6 \end{pmatrix}

Detaillierte Schritterklärung anzeigen

Hier wird jeder Schritt einzeln erklärt, vor allem, warum er gemacht wird.

Erklärungstiefe

✦ Empfohlen: Standard – Die normale Erklärungstiefe passt zum Einstieg.

  1. 1

    Richtungsvektor aus den zwei Punkten

    AB⃗=OB⃗−OA⃗=(3−0∣1−1∣8−2)=(3∣0∣6)\vec{AB} = \vec{OB} - \vec{OA} = (3 - 0 \mid 1 - 1 \mid 8 - 2) = (3 \mid 0 \mid 6).

  2. 2

    Parametergleichung zusammensetzen

    g:x⃗=(012)+t(306)g: \vec{x} = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix} + t \begin{pmatrix} 3 \\ 0 \\ 6 \end{pmatrix}: Aufpunkt AA, Richtung AB⃗\vec{AB}, Parameter tt.

  3. 3

    Mit dem zweiten Punkt proben

    t=1t = 1: x⃗=(0+3∣1+0∣2+6)=(3∣1∣8)=B\vec{x} = (0 + 3 \mid 1 + 0 \mid 2 + 6) = (3 \mid 1 \mid 8) = B ✓.

Übung 2

mittel

Liegt P(5∣7∣1)P(5|7|1) auf g:x⃗=(111)+t(230)g: \vec{x} = \begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix} + t\begin{pmatrix}2\\3\\0\end{pmatrix}?

Tipp anzeigen

Punktprobe: einheitliches tt?

Lösung anzeigen

5=1+2t⇒t=25 = 1 + 2t \Rightarrow t = 2; Kontrolle: 1+3⋅2=71 + 3\cdot2 = 7 ✓, dritte: 1=11 = 1 ✓.

Einheitliches t=2t = 2 → PP liegt auf gg.

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Hier wird jeder Schritt einzeln erklärt, vor allem, warum er gemacht wird.

Erklärungstiefe

✦ Empfohlen: Standard – Die normale Erklärungstiefe passt zum Einstieg.

  1. 1

    Punktprobe: Gleichungssystem aufstellen

    PP liegt auf gg, wenn EIN tt alle drei Koordinatengleichungen erfüllt: 5=1+2t5 = 1 + 2t, 7=1+3t7 = 1 + 3t, 1=1+0t1 = 1 + 0t.

  2. 2

    t bestimmen und doppelt kontrollieren

    Aus der ersten: 5=1+2t⇒t=25 = 1 + 2t \Rightarrow t = 2. Kontrolle zweite: 1+3⋅2=71 + 3 \cdot 2 = 7 ✓. Kontrolle dritte: 1+0=11 + 0 = 1 ✓.

    5=1+2t⇒t=25 = 1 + 2t \Rightarrow t = 2

  3. 3

    Schlussfolgern

    Einheitliches t=2t = 2 für alle drei Zeilen → PP liegt auf gg (es ist der Geradenpunkt zum Parameterwert 2).

Übung 3

schwer

Untersuche die Lage von g:x⃗=(100)+t(111)g: \vec{x} = \begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix} + t\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix} und h:x⃗=(012)+s(101)h: \vec{x} = \begin{pmatrix}0\\1\\2\end{pmatrix} + s\begin{pmatrix}1\\0\\1\end{pmatrix}. Bestimme ggf. den Schnittpunkt.

Tipp anzeigen

Richtungen nicht kollinear → gleichsetzen mit tt und ss.

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Richtungen (1∣1∣1)(1|1|1), (1∣0∣1)(1|0|1) nicht kollinear.

Gleichsetzen: 1+t=s1 + t = s (I), t=1t = 1 (II), t=2+st = 2 + s (III).

Aus (II): t=1t = 1; in (I): s=2s = 2; Kontrolle (III): 1=2+2=41 = 2 + 2 = 4? Nein (1≠41 \neq 4).

Kein gemeinsames (t,s)(t,s) → die Geraden sind windschief.

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Hier wird jeder Schritt einzeln erklärt, vor allem, warum er gemacht wird.

Erklärungstiefe

✦ Empfohlen: Standard – Die normale Erklärungstiefe passt zum Einstieg.

  1. 1

    Erst die Richtungen vergleichen

    (1∣1∣1)(1 \mid 1 \mid 1) und (1∣0∣1)(1 \mid 0 \mid 1): Kein gemeinsames (Zeile 2 verlangte r=0r = 0, Zeile 1 dann 1=01 = 0), nicht kollinear, also NICHT parallel und nicht identisch. Bleiben: schneidend oder windschief.

  2. 2

    Schnittversuch: Gleichsetzen

    x⃗g=x⃗h\vec{x}_g = \vec{x}_h koordinatenweise: I: 1+t=s1 + t = s · II: t=1t = 1 · III: t=2+st = 2 + s.

  3. 3

    Widerspruch finden und deuten

    Aus II: t=1t = 1; in I: s=2s = 2. Kontrolle in III: 1=?2+2=41 \stackrel{?}{=} 2 + 2 = 4: Widerspruch. Kein gemeinsamer Punkt → die Geraden sind WINDSCHIEF.

    t=1,  s=2,  t = 1, \; s = 2, \; III: 1≠41 \ne 4

Zusammenfassung

Geraden im Raum beschreibt die Parameterform x⃗=a⃗+tu⃗\vec{x} = \vec{a} + t\vec{u} mit Stützpunkt und Richtungsvektor. Die Punktprobe (einheitliches tt?) klärt, ob ein Punkt auf der Geraden liegt. Für zwei Geraden entscheidet zuerst die Kollinearität der Richtungsvektoren (parallel/identisch), sonst das Gleichsetzen mit zwei Parametern, mit Lösung schneidend, ohne windschief. Windschief ist die Besonderheit des Raums.