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Vektoren / Analytische Geometrie

Das Skalarprodukt

Winkel und Orthogonalität von Vektoren berechnen, mit dem Skalarprodukt.

Benötigte Grundlagen

Diese Themen kommen in diesem Kapitel vor und wurden vorher schon erklärt. Wenn dir eines davon unsicher vorkommt, frisch es kurz auf, sonst leg direkt los.

Einführung

Stehen zwei senkrecht aufeinander? Welchen schließen sie ein? Diese geometrischen Fragen beantwortet eine einzige elegante Rechnung: das Skalarprodukt. Es verwandelt zwei Vektoren in eine Zahl, die Winkel und Orthogonalität verrät, ein unverzichtbares Werkzeug für Geraden, Ebenen und Abstände.

Das kannst du nach diesem Kapitel

  • das Skalarprodukt zweier berechnen.

  • mit dem Skalarprodukt Orthogonalität prüfen (a⃗⋅b⃗=0\vec{a} \cdot \vec{b} = 0).

  • den zwischen zwei Vektoren bestimmen.

  • das Skalarprodukt in geometrischen Aufgaben anwenden.

Wie kommt man an den Winkel zwischen zwei Vektoren?

Mit dem Betrag kannst du Längen berechnen. Für fehlt bislang jedes Werkzeug, dabei sind gerade sie in der Geometrie entscheidend: Stehen zwei Kanten senkrecht aufeinander? Wie steil trifft eine Gerade auf eine Ebene?

Diese Lücke schließen wir jetzt. Und zwar nicht, indem eine Formel behauptet wird, sondern indem wir sie herleiten.

Die Idee: ein Dreieck aus den Vektoren bauen

Über Winkel in weißt du bereits etwas, den aus Klasse 10. Der Plan ist deshalb, die Situation in ein Dreieck zu verwandeln.

Zeichne a⃗\vec a und b⃗\vec b beide vom Ursprung aus. Verbindet man ihre Spitzen, entsteht ein Dreieck. Welcher ist diese Verbindung? Es ist der Weg von der Spitze von a⃗\vec a zur Spitze von b⃗\vec b, also nach „Spitze minus Fuß":

b⃗−a⃗\vec b - \vec a

Damit hat das Dreieck die Seitenlängen ∣a⃗∣|\vec a|, ∣b⃗∣|\vec b| und ∣b⃗−a⃗∣|\vec b - \vec a|, und zwischen den ersten beiden liegt genau der gesuchte Winkel φ\varphi.

Den Kosinussatz ansetzen

Der Kosinussatz verknüpft in jedem Dreieck drei Seiten mit einem Winkel, die dem Winkel gegenüberliegende Seite steht links:

∣b⃗−a⃗∣2=∣a⃗∣2+∣b⃗∣2−2 ∣a⃗∣∣b⃗∣cos⁡φ\left|\vec b - \vec a\right|^2 = \left|\vec a\right|^2 + \left|\vec b\right|^2 - 2\,\left|\vec a\right|\left|\vec b\right|\cos\varphi

Auf der rechten Seite steht das Gesuchte, cos⁡φ\cos\varphi. Die linke Seite können wir dagegen in Koordinaten ausrechnen, und genau dieser Vergleich bringt uns weiter.

Die linke Seite ausrechnen

Der Vektor b⃗−a⃗\vec b - \vec a hat die Koordinaten bi−aib_i - a_i. Sein Betragsquadrat ist die Summe der (die entfällt durch das Quadrieren):

∣b⃗−a⃗∣2=(b1−a1)2+(b2−a2)2+(b3−a3)2\left|\vec b - \vec a\right|^2 = (b_1-a_1)^2 + (b_2-a_2)^2 + (b_3-a_3)^2

Jede Klammer wird mit der (x−y)2=x2−2xy+y2(x-y)^2 = x^2 - 2xy + y^2 aufgelöst:

=(b12−2a1b1+a12)+(b22−2a2b2+a22)+(b32−2a3b3+a32)= \big(b_1^2 - 2a_1b_1 + a_1^2\big) + \big(b_2^2 - 2a_2b_2 + a_2^2\big) + \big(b_3^2 - 2a_3b_3 + a_3^2\big)

Jetzt sortieren wir nach Art der , erst alle aa-Quadrate, dann alle bb-Quadrate, dann die gemischten:

=(a12+a22+a32)⏟=  ∣a⃗∣2+(b12+b22+b32)⏟=  ∣b⃗∣2−2(a1b1+a2b2+a3b3)= \underbrace{\big(a_1^2+a_2^2+a_3^2\big)}_{=\;|\vec a|^2} + \underbrace{\big(b_1^2+b_2^2+b_3^2\big)}_{=\;|\vec b|^2} - 2\big(a_1b_1+a_2b_2+a_3b_3\big)

Die ersten beiden Klammern sind nach der Betragsformel genau ∣a⃗∣2|\vec a|^2 und ∣b⃗∣2|\vec b|^2.

Der Vergleich, und die Formel entsteht

Jetzt stehen zwei Ausdrücke für dieselbe Größe ∣b⃗−a⃗∣2|\vec b - \vec a|^2 nebeneinander:

∣a⃗∣2+∣b⃗∣2−2(a1b1+a2b2+a3b3)  =  ∣a⃗∣2+∣b⃗∣2−2∣a⃗∣∣b⃗∣cos⁡φ|\vec a|^2 + |\vec b|^2 - 2\big(a_1b_1+a_2b_2+a_3b_3\big) \;=\; |\vec a|^2 + |\vec b|^2 - 2|\vec a||\vec b|\cos\varphi

Auf beiden Seiten steht ∣a⃗∣2+∣b⃗∣2|\vec a|^2 + |\vec b|^2, das lässt sich subtrahieren. Ebenso der gemeinsame Faktor −2-2:

  a1b1+a2b2+a3b3  =  ∣a⃗∣ ∣b⃗∣ cos⁡φ  \boxed{\;a_1b_1+a_2b_2+a_3b_3 \;=\; |\vec a|\,|\vec b|\,\cos\varphi\;}

Das ist das Ergebnis, um das es geht. Links steht eine Rechenvorschrift, die nur die Koordinaten braucht. Rechts stehen die Längen und der Winkel. Beide Seiten sind gleich, die Koordinatenrechnung enthält also die Winkelinformation, ohne dass ein Winkel darin vorkommt.

Weil dieser Ausdruck so nützlich ist, bekommt er einen eigenen Namen: Skalarprodukt, geschrieben a⃗⋅b⃗\vec a \cdot \vec b. Alles Weitere in diesem Kapitel folgt aus dieser einen .

Das Dreieck hinter dem Skalarprodukt

x₁x₂x₃abb−aφ

Die beiden a⃗\vec a und b⃗\vec b spannen ein auf: Die Verbindung ihrer Spitzen ist b⃗−a⃗\vec b - \vec a. Die drei Seitenlängen sind ∣a⃗∣|\vec a|, ∣b⃗∣|\vec b| und ∣b⃗−a⃗∣|\vec b - \vec a|, der eingeschlossene ist φ\varphi. Damit sind alle Größen beisammen, die der aus Klasse 10 verknüpft, und aus diesem Vergleich entsteht das Skalarprodukt.

Berechnung des Skalarprodukts

Aus der Herleitung übernehmen wir die linke Seite als Definition und geben ihr den Namen:

a⃗⋅b⃗=a1b1+a2b2+a3b3\vec{a} \cdot \vec{b} = a_1 b_1 + a_2 b_2 + a_3 b_3

Man multipliziert die Koordinaten paarweise (erste mit erster, zweite mit zweiter, dritte mit dritter) und addiert die drei Produkte:

(123)⋅(456)=1⋅4+2⋅5+3⋅6=4+10+18=32\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 4 \\ 5 \\ 6 \end{pmatrix} = 1\cdot 4 + 2\cdot 5 + 3\cdot 6 = 4 + 10 + 18 = 32

Warum „Skalar"produkt?

Das Ergebnis ist keine Spalte, sondern eine einzelne Zahl, und Zahlen ohne Richtung heißen Skalare. Der Name warnt also vor dem häufigsten Fehler in diesem Kapitel: Wer als Ergebnis einen notiert, hat die Additionen vergessen.

Zum Vergleich: Es gibt auch ein Produkt zweier Vektoren, das einen Vektor liefert, das im nächsten Kapitel. Die Namen unterscheiden die beiden genau danach, was hinten herauskommt.

Drei Eigenschaften, die man kennen sollte

Die Reihenfolge ist gleichgültig. In jedem Summanden steht ein gewöhnliches Produkt zweier Zahlen, und für die gilt das Kommutativgesetz:

a⃗⋅b⃗=b⃗⋅a⃗\vec a \cdot \vec b = \vec b \cdot \vec a

Ein Vektor mit sich selbst ergibt das Betragsquadrat. Setzt man b⃗=a⃗\vec b = \vec a, so steht dort:

a⃗⋅a⃗=a12+a22+a32=∣a⃗∣2\vec a \cdot \vec a = a_1^2 + a_2^2 + a_3^2 = |\vec a|^2

Das ist kein Zufall, sondern die Betragsformel ohne , und erklärt sich auch über die Herleitung: Ein Vektor schließt mit sich selbst den 0°0° ein, und cos⁡0°=1\cos 0° = 1 liefert ∣a⃗∣∣a⃗∣⋅1=∣a⃗∣2|\vec a||\vec a| \cdot 1 = |\vec a|^2.

Faktoren dürfen herausgezogen werden: (ra⃗)⋅b⃗=r (a⃗⋅b⃗)(r\vec a) \cdot \vec b = r\,(\vec a \cdot \vec b). Der Grund steht wieder in den Koordinaten: In jedem Summanden steht (r ai) bi=r (aibi)(r\,a_i)\,b_i = r\,(a_i b_i), und das gemeinsame rr lässt sich aus der Summe . Anschaulich für positives rr: Verdoppelt man einen Vektor, verdoppelt sich auch das Skalarprodukt, denn Richtung und Winkel ändern sich nicht. Ein negatives rr dreht die Richtung um, auch das passt zur Formel, denn das Minus steckt dann im Faktor rr selbst.

Der Winkel zwischen Vektoren

Die hergeleitete enthält den bereits. Es fehlt nur noch das Umstellen.

Die Formel entsteht durch Division

a⃗⋅b⃗=∣a⃗∣ ∣b⃗∣cos⁡φ∣  :(∣a⃗∣ ∣b⃗∣)\vec a \cdot \vec b = |\vec a|\,|\vec b|\cos\varphi \qquad\Big|\; : \big(|\vec a|\,|\vec b|\big) cos⁡φ=a⃗⋅b⃗∣a⃗∣⋅∣b⃗∣\cos\varphi = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| \cdot |\vec{b}|}

Den Winkel selbst erhält man mit der Umkehrfunktion des , auf dem Taschenrechner cos⁡−1\cos^{-1} oder arccos⁡\arccos:

φ=cos⁡−1 ⁣(a⃗⋅b⃗∣a⃗∣ ∣b⃗∣)\varphi = \cos^{-1}\!\left(\frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}|\,|\vec{b}|}\right)

Die Division ist immer erlaubt, solange keiner der beiden der Nullvektor ist, ein Vektor der Länge 00 hat keine Richtung, mit ihm lässt sich kein Winkel bilden.

Warum das Vorzeichen schon alles verrät

Im steht das Skalarprodukt, im ein Produkt zweier Längen, und Längen sind immer positiv. Das Vorzeichen von cos⁡φ\cos\varphi hängt also allein vom Skalarprodukt ab.

Damit lässt sich die Art des Winkels ablesen, noch bevor man rechnet:

Skalarproduktcos⁡φ\cos\varphiWinkel
a⃗⋅b⃗>0\vec{a}\cdot\vec{b} > 0positivspitz (φ<90°\varphi < 90°)
a⃗⋅b⃗=0\vec{a}\cdot\vec{b} = 0nullrechter Winkel (φ=90°\varphi = 90°)
a⃗⋅b⃗<0\vec{a}\cdot\vec{b} < 0negativstumpf (φ>90°\varphi > 90°)

Das ist eine wertvolle Kontrolle: Kommt bei dir ein stumpfer Winkel heraus, obwohl das Skalarprodukt positiv war, steckt irgendwo ein Fehler.

Der Wertebereich als zweite Kontrolle

Der Kosinus liefert für Winkel zwischen 0°0° und 180°180° stets Werte zwischen −1-1 und 11. Erhältst du also einen wie 75\frac{7}{5}, ist die Rechnung falsch, meist wurde ein Betrag vergessen oder ein Vorzeichen verschluckt.

Weil der Winkel zwischen zwei Vektoren nie größer als 180°180° wird, ist er durch den Kosinuswert eindeutig bestimmt. Anders als bei der Sinusfunktion gibt es hier keine zweite Lösung, die man diskutieren müsste.

Winkel zwischen zwei Vektoren

x₁x₂x₃abφ=45°

cos⁡φ=a⃗⋅b⃗∣a⃗∣∣b⃗∣=12⇒φ=45°\cos\varphi = \frac{\vec{a}\cdot\vec{b}}{|\vec{a}||\vec{b}|} = \frac{1}{\sqrt2} \Rightarrow \varphi = 45°, der markierte Bogen zeigt genau diesen eingeschlossenen .

Denk weiter: Alle berechneten Winkel dieses Kapitels sind spitz oder recht. Kippe im 45-Grad-Beispiel die erste Koordinate von b ins Minus: Welcher Winkel entsteht jetzt?

Ein stumpfer , und zum ersten Mal wird das Skalarprodukt negativ. Mit a⃗=(100)\vec a = \begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix} und dem gekippten b⃗=(−110)\vec b = \begin{pmatrix}-1\\1\\0\end{pmatrix}:

a⃗⋅b⃗=1⋅(−1)+0⋅1+0⋅0=−1\vec a \cdot \vec b = 1 \cdot (-1) + 0 \cdot 1 + 0 \cdot 0 = -1

Die Beträge ändern sich durch das Kippen nicht: ∣a⃗∣=1|\vec a| = 1, ∣b⃗∣=2|\vec b| = \sqrt2. Also

cos⁡φ=−12⟹φ=cos⁡−1 ⁣(−12)=135°\cos\varphi = \frac{-1}{\sqrt2} \qquad\Longrightarrow\qquad \varphi = \cos^{-1}\!\left(-\tfrac{1}{\sqrt2}\right) = 135°

Schon vor dem Rechnen stand fest, dass etwas Stumpfes herauskommt: Das Skalarprodukt ist negativ, und nach der Vorzeichentabelle heißt negativ „stumpf". Auch die Anschauung passt: Der gekippte zeigt nach hinten, sein Schatten auf a⃗\vec a fällt auf die negative Seite. Es entsteht genau der 180°−45°=135°180° - 45° = 135° des ursprünglichen Beispiels.

Orthogonalität (Senkrechtstehen)

Der wichtigste Sonderfall der Winkelformel verdient einen eigenen Abschnitt. Er wird dir in fast jeder weiteren Aufgabe begegnen.

Die Bedingung folgt aus der Formel

Setze φ=90°\varphi = 90° in die hergeleitete ein. Der von 90°90° ist null (am Einheitskreis: Bei einer Vierteldrehung ist die xx-Koordinate 00):

a⃗⋅b⃗=∣a⃗∣ ∣b⃗∣⋅cos⁡90°⏟=  0=0\vec a \cdot \vec b = |\vec a|\,|\vec b| \cdot \underbrace{\cos 90°}_{=\;0} = 0

Stehen zwei senkrecht, ist ihr Skalarprodukt null.

Und auch die Umkehrung gilt

Für ein sicheres Kriterium muss man auch die andere Richtung prüfen: Folgt aus einem Skalarprodukt von null zwingend ein rechter ?

Sei a⃗⋅b⃗=0\vec a \cdot \vec b = 0 und seien beide Vektoren vom Nullvektor verschieden. Dann ist

∣a⃗∣ ∣b⃗∣cos⁡φ=0.|\vec a|\,|\vec b|\cos\varphi = 0.

Ein Produkt ist genau dann null, wenn einer der Faktoren null ist. ∣a⃗∣|\vec a| und ∣b⃗∣|\vec b| sind aber nach Voraussetzung positiv, also muss cos⁡φ=0\cos\varphi = 0 sein. Zwischen 0°0° und 180°180° trifft das nur auf φ=90°\varphi = 90° zu.

Damit gilt die Aussage in beide Richtungen:

a⃗⊥b⃗⟺a⃗⋅b⃗=0(a⃗,b⃗≠0⃗)\vec{a} \perp \vec{b} \quad\Longleftrightarrow\quad \vec{a} \cdot \vec{b} = 0 \qquad (\vec a, \vec b \neq \vec 0)

Warum dieses Kriterium so praktisch ist

Um Senkrechtstehen nachzuweisen, musst du keinen Winkel berechnen, keine Beträge, keine , kein cos⁡−1\cos^{-1}. Es genügen drei Multiplikationen und zwei Additionen, und das Ergebnis ist eindeutig: null oder nicht null.

Die Bedingung mit dem Nullvektor ist kein Formalismus. Für a⃗=0⃗\vec a = \vec 0 ergibt das Skalarprodukt mit jedem Vektor null, ohne dass ein Winkel im Spiel wäre. Der Nullvektor hat keine Richtung und steht deshalb auf nichts senkrecht.

Skalarprodukt: orthogonale Vektoren

x₁x₂x₃ab

a⃗⋅b⃗=2⋅1+(−1)⋅5+3⋅1=0\vec{a}\cdot\vec{b} = 2\cdot1+(-1)\cdot5+3\cdot1 = 0, die stehen senkrecht aufeinander, markiert durch den rechten bei OO.

Geometrischer Hintergrund: die Projektion

Zum Abschluss die Frage, was das Skalarprodukt anschaulich misst. Die Antwort macht die Vorzeichenregel von oben unmittelbar einsichtig.

Der Schattenwurf

Stell dir vor, Licht fällt senkrecht von oben auf b⃗\vec b. Der Schatten von a⃗\vec a auf b⃗\vec b hat die Länge ∣a⃗∣cos⁡φ|\vec a| \cos\varphi, genau die Ankathete im rechtwinkligen , das durch das Lot von der Spitze von a⃗\vec a auf b⃗\vec b entsteht. Diesen Schatten nennt man die Projektion von a⃗\vec a auf b⃗\vec b.

Damit lässt sich die hergeleitete neu lesen:

a⃗⋅b⃗=∣a⃗∣cos⁡φ⏟Projektion von a⃗⋅  ∣b⃗∣\vec a \cdot \vec b = \underbrace{|\vec a| \cos\varphi}_{\text{Projektion von } \vec a} \cdot\; |\vec b|

Das Skalarprodukt ist also die Länge des Schattens, multipliziert mit der Länge von b⃗\vec b. Es misst, „wie viel" von a⃗\vec a in Richtung von b⃗\vec b zeigt, mit der Länge von b⃗\vec b gewichtet.

Damit werden die drei Fälle anschaulich

  • Gleiche Richtung (φ=0°\varphi = 0°): Der Schatten ist so lang wie a⃗\vec a selbst. Das Skalarprodukt erreicht seinen größtmöglichen Wert ∣a⃗∣∣b⃗∣|\vec a||\vec b|.
  • Senkrecht (φ=90°\varphi = 90°): Der Schatten schrumpft auf einen Punkt, von a⃗\vec a zeigt nichts in Richtung b⃗\vec b. Das Skalarprodukt ist null. Jetzt ist auch klar, warum ausgerechnet die Null das Kriterium für Senkrechtstehen ist.
  • Entgegengesetzt (φ=180°\varphi = 180°): Der Schatten fällt auf die andere Seite, zählt also negativ. Das Skalarprodukt erreicht den kleinstmöglichen Wert −∣a⃗∣∣b⃗∣-|\vec a||\vec b|.

Wo dir das wieder begegnet

Diese Sichtweise ist der Grund, warum das Skalarprodukt in der Physik die Arbeit beschreibt: Nur der Anteil der Kraft, der in Bewegungsrichtung zeigt, verrichtet Arbeit. Schiebt man senkrecht zur Bewegung, ist die Arbeit null, genau wie das Skalarprodukt.

In der Geometrie ist die Projektion das Herzstück von Abstandsberechnungen, wie sie dir in Abituraufgaben begegnen: Der Abstand eines Punktes von einer Geraden oder Ebene ist im Kern die Frage, wie viel von einem Verbindungsvektor in die senkrechte Richtung zeigt.

Projektion eines Vektors

x₁x₂x₃baF

Das Lot von der Spitze von a⃗\vec{a} auf b⃗\vec{b} trifft im Punkt FF, die Strecke OF‾\overline{OF} ist die Projektion von a⃗\vec{a} auf b⃗\vec{b}: „wie viel von a⃗\vec{a} zeigt in Richtung b⃗\vec{b}".

Orthogonalität prüfen

Stehen a⃗=(2−13)\vec{a} = \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 3 \end{pmatrix} und b⃗=(151)\vec{b} = \begin{pmatrix} 1 \\ 5 \\ 1 \end{pmatrix} senkrecht aufeinander?

  1. 1

    Was ist zu prüfen, und mit welchem Werkzeug? Gefragt ist nach einem rechten . Dafür gibt es zwei Wege:

    1. den Winkel über cos⁡−1\cos^{-1} vollständig ausrechnen und schauen, ob 90°90° herauskommt,
    2. nur das Skalarprodukt bestimmen und prüfen, ob es null ist.

    Der zweite Weg ist deutlich kürzer und liefert ein eindeutiges Ergebnis, weil keine Rundung nötig ist. Wir nutzen das Kriterium

    a⃗⊥b⃗⟺a⃗⋅b⃗=0\vec{a} \perp \vec{b} \quad\Longleftrightarrow\quad \vec{a}\cdot\vec{b} = 0
  2. 2

    Schritt 1: Die Voraussetzung sicherstellen. Das Kriterium gilt nur, wenn beide vom Nullvektor verschieden sind.

    Hier ist das erfüllt: Beide Vektoren haben Koordinaten, die nicht alle null sind. Damit hat jeder von ihnen eine Richtung, und die Frage nach einem Winkel ist sinnvoll gestellt.

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    Schritt 2: Die Formel notieren. Koordinaten paarweise multiplizieren und addieren:

    a⃗⋅b⃗=a1b1+a2b2+a3b3\vec{a}\cdot\vec{b} = a_1b_1 + a_2b_2 + a_3b_3

    Paarweise heißt: erste mit erster, zweite mit zweiter, dritte mit dritter. Nicht über Kreuz, das wäre ein anderer Rechenweg (und gehört zum ).

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    Schritt 3: Die drei Produkte einzeln bilden. Getrennt hingeschrieben, damit die Vorzeichen sichtbar bleiben:

    a1b1=2⋅1=2a2b2=(−1)⋅5=−5a3b3=3⋅1=3\begin{aligned} a_1b_1 &= 2 \cdot 1 = 2\\ a_2b_2 &= (-1) \cdot 5 = -5\\ a_3b_3 &= 3 \cdot 1 = 3 \end{aligned}

    Das mittlere Produkt ist negativ. Hier entsteht der häufigste Fehler, wenn man die Vorzeichen im Kopf zusammenzieht.

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    Schritt 4: Die drei Produkte addieren.

    a⃗⋅b⃗=2+(−5)+3=2−5+3=0\vec{a}\cdot\vec{b} = 2 + (-5) + 3 = 2 - 5 + 3 = 0

    Das Ergebnis ist eine Zahl, kein Vektor, wie es beim Skalarprodukt sein muss.

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    Schritt 5: Das Kriterium anwenden. Das Skalarprodukt ist 00, und beide Vektoren sind vom Nullvektor verschieden. Nach dem Kriterium folgt daraus:

    Die Vektoren stehen senkrecht aufeinander, also a⃗⊥b⃗\vec a \perp \vec b mit φ=90°\varphi = 90°.

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    Schritt 6: Gegenprobe über die Winkelformel. Wer sicher gehen will, kann den Weg über den gehen. Er muss zum selben Ergebnis führen:

    ∣a⃗∣=4+1+9=14,∣b⃗∣=1+25+1=27|\vec a| = \sqrt{4+1+9} = \sqrt{14}, \qquad |\vec b| = \sqrt{1+25+1} = \sqrt{27} cos⁡φ=014⋅27=0⟹φ=cos⁡−1(0)=90°  ✓\cos\varphi = \frac{0}{\sqrt{14}\cdot\sqrt{27}} = 0 \qquad\Longrightarrow\qquad \varphi = \cos^{-1}(0) = 90° \;\checkmark

    Und genau hier sieht man den Vorteil des kurzen Wegs: Die Beträge 14\sqrt{14} und 27\sqrt{27} wurden gar nicht gebraucht, der entscheidet allein.

Ja, a⃗\vec{a} und b⃗\vec{b} stehen senkrecht aufeinander, denn a⃗⋅b⃗=2−5+3=0\vec{a}\cdot\vec{b} = 2 - 5 + 3 = 0.

Zum Mitnehmen: Für einen Orthogonalitätsnachweis genügt das Skalarprodukt: Beträge und cos⁡−1\cos^{-1} sind unnötig. Entscheidend ist nur, ob die Summe der drei Produkte null ergibt.

Winkel berechnen

Berechne den zwischen a⃗=(100)\vec{a} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} und b⃗=(110)\vec{b} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}.

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    Vorüberlegung, was ist zu erwarten? Beide haben die dritte Koordinate 00, liegen also in der x1x2x_1x_2-Ebene. a⃗\vec a zeigt genau entlang der x1x_1-Achse, b⃗\vec b gleich weit in x1x_1- und x2x_2-Richtung, also diagonal.

    Der Winkel sollte demnach zwischen 0°0° und 90°90° liegen, vermutlich genau in der Mitte. Diese Vermutung prüfen wir am Ende.

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    Schritt 1: Welche Formel, und warum? Gefragt ist der Winkel selbst, nicht nur seine Art. Dafür brauchen wir die vollständige Formel:

    cos⁡φ=a⃗⋅b⃗∣a⃗∣⋅∣b⃗∣\cos\varphi = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| \cdot |\vec{b}|}

    Es sind also drei Größen zu bestimmen: das Skalarprodukt im Zähler und die beiden Beträge im Nenner.

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    Schritt 2: Das Skalarprodukt (Zähler).

    a⃗⋅b⃗=1⋅1+0⋅1+0⋅0=1+0+0=1\vec{a}\cdot\vec{b} = 1\cdot 1 + 0 \cdot 1 + 0 \cdot 0 = 1 + 0 + 0 = 1

    Das Vorzeichen ist positiv, nach der Vorzeichenregel ist der Winkel also spitz. Das passt zur Vorüberlegung ✓

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    Schritt 3: Der erste Betrag.

    ∣a⃗∣=12+02+02=1=1|\vec{a}| = \sqrt{1^2 + 0^2 + 0^2} = \sqrt{1} = 1

    Ein Vektor der Länge 11 heißt Einheitsvektor. Hier ist es der Vektor, der genau eine Einheit entlang der x1x_1-Achse zeigt.

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    Schritt 4: Der zweite Betrag.

    ∣b⃗∣=12+12+02=2≈1,414|\vec{b}| = \sqrt{1^2 + 1^2 + 0^2} = \sqrt{2} \approx 1{,}414

    2\sqrt2 stehen lassen, nicht , die Zahl wird gleich weiterverwendet, und gerundete Zwischenwerte verfälschen das Endergebnis.

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    Schritt 5: Einsetzen.

    cos⁡φ=11⋅2=12≈0,7071\cos\varphi = \frac{1}{1 \cdot \sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} \approx 0{,}7071

    Kontrolle des Wertebereichs: Der Wert liegt zwischen −1-1 und 11 ✓, die Rechnung kann bis hierhin stimmen.

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    Schritt 6: Den Winkel bestimmen. Mit der Umkehrfunktion des :

    φ=cos⁡−1 ⁣(12)=45°\varphi = \cos^{-1}\!\left(\frac{1}{\sqrt2}\right) = 45°

    Der Taschenrechner muss dafür im Gradmodus (DEG) stehen. Im Bogenmaß erschiene stattdessen 0,7850{,}785, dieselbe Größe in anderer Einheit, aber nicht die erwartete Antwort.

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    Schritt 7: Kontrolle gegen die Vorüberlegung. b⃗\vec b geht gleich weit in x1x_1- und in x2x_2-Richtung und liegt damit genau auf der zwischen den beiden Achsen.

    Die beiden Achsen schließen 90°90° ein, die Hälfte davon ist 45°45° ✓: Rechnung und Anschauung stimmen überein.

    Ein bekannter Wert zum Merken: cos⁡45°=12=22≈0,707\cos 45° = \frac{1}{\sqrt2} = \frac{\sqrt2}{2} \approx 0{,}707. Er taucht in Aufgaben immer wieder auf.

Der Winkel beträgt φ=45°\varphi = 45°.

Der Ablauf jeder Winkelberechnung: Skalarprodukt () → beide Beträge () → einsetzen und Wertebereich prüfen → cos⁡−1\cos^{-1} im Gradmodus → Ergebnis gegen die Anschauung halten.

Innenwinkel eines Dreiecks

Gegeben ist das mit A(2∣1∣3)A(2|1|3), B(6∣4∣3)B(6|4|3) und C(2∣4∣7)C(2|4|7). Berechne den Innenwinkel bei AA.

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    Was ist anders als bei den bisherigen Aufgaben? Gegeben sind Punkte, keine . Die Winkelformel arbeitet aber mit Vektoren. Wir müssen also zuerst übersetzen.

    Welche Vektoren? Der Innenwinkel bei AA wird von den beiden Seiten eingeschlossen, die in AA zusammentreffen: AB‾\overline{AB} und AC‾\overline{AC}.

    Beide Vektoren müssen von AA wegzeigen. Nähme man etwa BA⃗\vec{BA} statt AB⃗\vec{AB}, erhielte man den , also 180°180° minus den gesuchten Wert. Diese Vorzeichenfalle ist bei Dreiecksaufgaben die häufigste Fehlerquelle.

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    Schritt 1: Die beiden Vektoren bilden, jeweils von AA aus („Spitze minus Fuß"):

    AB⃗=(6−24−13−3)=(430),AC⃗=(2−24−17−3)=(034)\vec{AB} = \begin{pmatrix} 6-2 \\ 4-1 \\ 3-3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 \\ 3 \\ 0 \end{pmatrix}, \qquad \vec{AC} = \begin{pmatrix} 2-2 \\ 4-1 \\ 7-3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 3 \\ 4 \end{pmatrix}
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    Schritt 2: Das Skalarprodukt.

    AB⃗⋅AC⃗=4⋅0+3⋅3+0⋅4=0+9+0=9\vec{AB}\cdot\vec{AC} = 4\cdot 0 + 3 \cdot 3 + 0 \cdot 4 = 0 + 9 + 0 = 9

    Erste Erkenntnis, noch vor der eigentlichen Rechnung: Das Skalarprodukt ist positiv, der Winkel bei AA also spitz (<90°< 90°). Wäre er ein rechter Winkel, müsste hier 00 stehen.

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    Schritt 3: Die beiden Beträge.

    ∣AB⃗∣=16+9+0=25=5\left|\vec{AB}\right| = \sqrt{16+9+0} = \sqrt{25} = 5 ∣AC⃗∣=0+9+16=25=5\left|\vec{AC}\right| = \sqrt{0+9+16} = \sqrt{25} = 5

    Beide Seiten sind gleich lang, das Dreieck ist bei AA gleichschenklig. Für die Winkelrechnung ist das nicht nötig, aber es macht den angenehm.

  5. 5

    Schritt 4: Einsetzen.

    cos⁡φ=AB⃗⋅AC⃗∣AB⃗∣∣AC⃗∣=95⋅5=925=0,36\cos\varphi = \frac{\vec{AB}\cdot\vec{AC}}{\left|\vec{AB}\right|\left|\vec{AC}\right|} = \frac{9}{5 \cdot 5} = \frac{9}{25} = 0{,}36

    Wertebereich prüfen: 0,360{,}36 liegt zwischen −1-1 und 11 ✓

  6. 6

    Schritt 5: Den Winkel berechnen.

    φ=cos⁡−1(0,36)≈68,9°\varphi = \cos^{-1}(0{,}36) \approx 68{,}9°

    Auf eine Nachkommastelle ist bei Winkeln üblich, sofern die Aufgabe nichts anderes verlangt.

  7. 7

    Schritt 6: Kontrolle über den Satz des Pythagoras. Es gibt eine unabhängige Prüfung, ob der Winkel wirklich spitz ist. Dafür brauchen wir die dritte Seite:

    BC⃗=(−404),∣BC⃗∣=32≈5,66\vec{BC} = \begin{pmatrix} -4 \\ 0 \\ 4 \end{pmatrix}, \qquad \left|\vec{BC}\right| = \sqrt{32} \approx 5{,}66

    Bei einem rechten Winkel in AA müsste gelten ∣AB⃗∣2+∣AC⃗∣2=∣BC⃗∣2|\vec{AB}|^2 + |\vec{AC}|^2 = |\vec{BC}|^2, also 25+25=5025 + 25 = 50. Tatsächlich ist ∣BC⃗∣2=32<50|\vec{BC}|^2 = 32 < 50.

    Die Gegenseite ist kürzer als beim rechten Winkel, der Winkel ist also spitz ✓ Das deckt sich mit dem berechneten Wert von 68,9°<90°68{,}9° < 90°.

  8. 8

    Schritt 7: Plausibilität über die Winkelsumme. Weil das Dreieck bei AA gleichschenklig ist (∣AB⃗∣=∣AC⃗∣=5|\vec{AB}| = |\vec{AC}| = 5), sind die beiden Basiswinkel bei BB und CC gleich groß. Mit der Winkelsumme von 180°180°:

    β=γ=180°−68,9°2≈55,6°\beta = \gamma = \frac{180° - 68{,}9°}{2} \approx 55{,}6°

    Alle drei Winkel sind positiv und kleiner als 90°90°, ihre Summe ergibt 180°180° ✓, ein widerspruchsfreies, spitzwinkliges Dreieck.

Der Innenwinkel bei AA beträgt φ≈68,9°\varphi \approx 68{,}9°.

Der Ablauf bei in Figuren: beide Vektoren vom weg bilden (sonst erhält man den Nebenwinkel) → Skalarprodukt (das Vorzeichen sagt schon, ob spitz oder stumpf) → Beträge → cos⁡−1\cos^{-1} → mit oder gegenprüfen.

Typischer Fehler

(123)⋅(456)=(41018)\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 4 \\ 5 \\ 6 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 \\ 10 \\ 18 \end{pmatrix}

Das Skalarprodukt ergibt eine Zahl, keinen ! Nach dem koordinatenweisen Multiplizieren muss noch addiert werden: 4+10+18=324 + 10 + 18 = 32. Wer die Summe vergisst, verwechselt das Skalarprodukt mit einer komponentenweisen Multiplikation. Merke: „Skalar"produkt → Ergebnis ist ein Skalar (eine einzelne Zahl).

Übung 1

leicht

Berechne das Skalarprodukt von a⃗=(231)\vec{a} = \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ 1 \end{pmatrix} und b⃗=(405)\vec{b} = \begin{pmatrix} 4 \\ 0 \\ 5 \end{pmatrix}.

Tipp anzeigen

Koordinatenweise multiplizieren, dann addieren.

Lösung anzeigen

2⋅4+3⋅0+1⋅5=8+0+5=132\cdot 4 + 3\cdot 0 + 1\cdot 5 = 8 + 0 + 5 = 13

Detaillierte Schritterklärung anzeigen

Hier wird jeder Schritt einzeln erklärt, vor allem, warum er gemacht wird.

Erklärungstiefe

✦ Empfohlen: Standard – Die normale Erklärungstiefe passt zum Einstieg.

  1. 1

    Die Rechenvorschrift

    Skalarprodukt: Koordinaten paarweise multiplizieren, dann alles addieren: a⃗⋅b⃗=a1b1+a2b2+a3b3\vec{a} \cdot \vec{b} = a_1 b_1 + a_2 b_2 + a_3 b_3.

  2. 2

    Ausrechnen

    a⃗⋅b⃗=2⋅4+3⋅0+1⋅5=8+0+5=13\vec{a} \cdot \vec{b} = 2 \cdot 4 + 3 \cdot 0 + 1 \cdot 5 = 8 + 0 + 5 = 13.

    2⋅4+3⋅0+1⋅5=132 \cdot 4 + 3 \cdot 0 + 1 \cdot 5 = 13

    Zwischenergebnis

    a⃗⋅b⃗=13\vec{a} \cdot \vec{b} = 13

  3. 3

    Das Vorzeichen deuten

    13>013 > 0: Die Vektoren schließen einen SPITZEN ein, sie zeigen „grob in dieselbe Richtung".

Übung 2

mittel

Für welchen Wert von tt stehen a⃗=(3t2)\vec{a} = \begin{pmatrix} 3 \\ t \\ 2 \end{pmatrix} und b⃗=(41−6)\vec{b} = \begin{pmatrix} 4 \\ 1 \\ -6 \end{pmatrix} senkrecht?

Tipp anzeigen

Skalarprodukt =0= 0 setzen.

Lösung anzeigen

a⃗⋅b⃗=12+t−12=t=0\vec{a}\cdot\vec{b} = 12 + t - 12 = t = 0

Für t=0t = 0 stehen die senkrecht.

Detaillierte Schritterklärung anzeigen

Hier wird jeder Schritt einzeln erklärt, vor allem, warum er gemacht wird.

Erklärungstiefe

✦ Empfohlen: Standard – Die normale Erklärungstiefe passt zum Einstieg.

  1. 1

    Senkrecht heißt Skalarprodukt null

    a⃗⊥b⃗  ⟺  a⃗⋅b⃗=0\vec{a} \perp \vec{b} \iff \vec{a} \cdot \vec{b} = 0, die Orthogonalitätsbedingung liefert die .

  2. 2

    Skalarprodukt mit Parameter aufstellen

    a⃗⋅b⃗=3⋅4+t⋅1+2⋅(−6)=12+t−12=t\vec{a} \cdot \vec{b} = 3 \cdot 4 + t \cdot 1 + 2 \cdot (-6) = 12 + t - 12 = t.

    3⋅4+t⋅1+2⋅(−6)=t3 \cdot 4 + t \cdot 1 + 2 \cdot (-6) = t

  3. 3

    Gleichung lösen und deuten

    t=0t = 0: Genau für t=0t = 0 stehen die Vektoren senkrecht.

Übung 3

schwer

Ein hat die Ecken A(1∣0∣0)A(1|0|0), B(0∣1∣0)B(0|1|0), C(0∣0∣1)C(0|0|1). Berechne den Innenwinkel bei AA.

Tipp anzeigen

zwischen AB⃗\vec{AB} und AC⃗\vec{AC}.

Lösung anzeigen

AB⃗=(−1∣1∣0)\vec{AB} = (-1|1|0), AC⃗=(−1∣0∣1)\vec{AC} = (-1|0|1).

AB⃗⋅AC⃗=1+0+0=1\vec{AB}\cdot\vec{AC} = 1 + 0 + 0 = 1; ∣AB⃗∣=∣AC⃗∣=2|\vec{AB}| = |\vec{AC}| = \sqrt{2}.

cos⁡φ=12⋅2=12⇒φ=60°\cos\varphi = \frac{1}{\sqrt{2}\cdot\sqrt{2}} = \frac{1}{2} \Rightarrow \varphi = 60°.

(Das Dreieck ist gleichseitig, alle Innenwinkel 60°.)

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Hier wird jeder Schritt einzeln erklärt, vor allem, warum er gemacht wird.

Erklärungstiefe

✦ Empfohlen: Standard – Die normale Erklärungstiefe passt zum Einstieg.

  1. 1

    Die zwei Schenkelvektoren von A aus

    Der Winkel bei AA liegt zwischen den Schenkeln AB⃗\vec{AB} und AC⃗\vec{AC}: AB⃗=(−1∣1∣0)\vec{AB} = (-1 \mid 1 \mid 0), AC⃗=(−1∣0∣1)\vec{AC} = (-1 \mid 0 \mid 1).

  2. 2

    Zutaten: Skalarprodukt und Beträge

    AB⃗⋅AC⃗=(−1)(−1)+1⋅0+0⋅1=1\vec{AB} \cdot \vec{AC} = (-1)(-1) + 1 \cdot 0 + 0 \cdot 1 = 1; ∣AB⃗∣=∣AC⃗∣=1+1+0=2|\vec{AB}| = |\vec{AC}| = \sqrt{1 + 1 + 0} = \sqrt{2}.

    (−1)(−1)+0+0=1,∣AB⃗∣=2(-1)(-1) + 0 + 0 = 1, \quad |\vec{AB}| = \sqrt{2}

  3. 3

    Winkel aus dem Kosinus

    cos⁡φ=12⋅2=12⇒φ=60°\cos\varphi = \frac{1}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}} = \frac{1}{2} \Rightarrow \varphi = 60°.

    cos⁡φ=12⇒φ=60°\cos\varphi = \tfrac{1}{2} \Rightarrow \varphi = 60°

    Zwischenergebnis

    φ=60°\varphi = 60°

Zusammenfassung

Das Skalarprodukt a⃗⋅b⃗=a1b1+a2b2+a3b3\vec{a}\cdot\vec{b} = a_1b_1 + a_2b_2 + a_3b_3 ist eine Zahl (nicht vergessen zu addieren!). Sein wichtigstes Kriterium: null bedeutet senkrecht. Über cos⁡φ=a⃗⋅b⃗∣a⃗∣ ∣b⃗∣\cos\varphi = \frac{\vec{a}\cdot\vec{b}}{|\vec{a}|\,|\vec{b}|} liefert es jeden zwischen , und sein Vorzeichen verrät spitz, recht oder stumpf. Damit werden Orthogonalität und Winkel im Raum berechenbar.