Zum Inhalt springen
Zurück zur Themenübersicht

Funktionen

Potenzgesetze und Potenzfunktionen

Rechnen mit Hochzahlen aller Art, und die Funktionenfamilie y = xⁿ.

Benötigte Grundlagen

Diese Themen kommen in diesem Kapitel vor und wurden vorher schon erklärt. Wenn dir eines davon unsicher vorkommt, frisch es kurz auf, sonst leg direkt los.

Einführung

210⋅2202^{10} \cdot 2^{20}, musst du das wirklich ausrechnen? Zum Glück nicht: Die Potenzgesetze verwandeln Mal in Plus und Hoch in Mal. Und sie öffnen die Tür zu ganz neuen Exponenten: negativen, gebrochenen, bis aus a1/2a^{1/2} plötzlich die wird. Das Fundament für und die ganze Oberstufe.

Das kannst du nach diesem Kapitel

  • die fünf Potenzgesetze sicher anwenden.

  • mit Exponent 0, negativen und rationalen Exponenten rechnen (a−na^{-n}, a1/na^{1/n}).

  • Potenzfunktionen y=xny = x^n unterscheiden (gerade/ungerade Exponenten).

  • mit vereinfachen.

Die Potenzgesetze entstehen durch Abzählen

Eine ist nichts anderes als eine Abkürzung für wiederholtes Multiplizieren:

23=2⋅2⋅2an=a⋅a⋅…⋅a⏟n Faktoren2^3 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \qquad\qquad a^n = \underbrace{a \cdot a \cdot \ldots \cdot a}_{n \text{ Faktoren}}

Genau daraus folgen alle Potenzgesetze. Du musst sie nicht auswendig lernen, du kannst sie jederzeit durch Abzählen der Faktoren wiederfinden. Machen wir das für jedes Gesetz einmal.

1. Gleiche Basis, multipliziert

23⋅24=(2⋅2⋅2)⏟3 Faktoren⋅(2⋅2⋅2⋅2)⏟4 Faktoren=2⋅2⋅…⋅2⏟7 Faktoren=272^3 \cdot 2^4 = \underbrace{(2 \cdot 2 \cdot 2)}_{3 \text{ Faktoren}} \cdot \underbrace{(2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2)}_{4 \text{ Faktoren}} = \underbrace{2 \cdot 2 \cdot \ldots \cdot 2}_{7 \text{ Faktoren}} = 2^7

Die Klammern kann man weglassen, weil beim reinen Multiplizieren die Reihenfolge egal ist. Übrig bleibt: Die Anzahlen werden addiert.

am⋅an=am+na^m \cdot a^n = a^{m+n}

2. Gleiche Basis, dividiert

2523=2⋅2⋅2⋅2⋅22⋅2⋅2\frac{2^5}{2^3} = \frac{2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2}{2 \cdot 2 \cdot 2}

Drei Faktoren oben und drei unten sich weg. Übrig bleiben zwei:

=2⋅2=22= 2 \cdot 2 = 2^2

Es wird also gezählt, wie viele Faktoren übrig bleiben, die Anzahlen werden subtrahiert:

am:an=am−na^m : a^n = a^{m-n}

3. Potenz einer Potenz

(32)4=32⋅32⋅32⋅32⏟4-mal=32+2+2+2=38(3^2)^4 = \underbrace{3^2 \cdot 3^2 \cdot 3^2 \cdot 3^2}_{4\text{-mal}} = 3^{2+2+2+2} = 3^8

Viermal die Zahl 22 zu addieren ist dasselbe wie 4⋅24 \cdot 2. Deshalb werden hier die Exponenten multipliziert:

(am)n=am⋅n(a^m)^n = a^{m \cdot n}

4. und 5. Gleicher Exponent, verschiedene Basen

23⋅53=(2⋅2⋅2)⋅(5⋅5⋅5)=(2⋅5)⋅(2⋅5)⋅(2⋅5)=1032^3 \cdot 5^3 = (2 \cdot 2 \cdot 2) \cdot (5 \cdot 5 \cdot 5) = (2 \cdot 5) \cdot (2 \cdot 5) \cdot (2 \cdot 5) = 10^3

Man darf die Faktoren paarweise zusammenfassen. Genauso funktioniert es beim Teilen:

an⋅bn=(a⋅b)nan:bn=(ab)na^n \cdot b^n = (a \cdot b)^n \qquad\qquad a^n : b^n = \left(\frac{a}{b}\right)^n

Alles auf einen Blick

GesetzRegelBeispiel
gleiche Basis, malam⋅an=am+na^m \cdot a^n = a^{m+n}23⋅24=272^3 \cdot 2^4 = 2^7
gleiche Basis, geteiltam:an=am−na^m : a^n = a^{m-n}56:52=545^6 : 5^2 = 5^4
Potenz der Potenz(am)n=am⋅n(a^m)^n = a^{m \cdot n}(32)4=38(3^2)^4 = 3^8
gleicher Exponent, malan⋅bn=(ab)na^n \cdot b^n = (ab)^n23⋅53=1032^3 \cdot 5^3 = 10^3
gleicher Exponent, geteiltan:bn=(ab)na^n : b^n = \left(\frac{a}{b}\right)^n6232=22\frac{6^2}{3^2} = 2^2

Die Merkstruktur: Mal wird Plus, Geteilt wird Minus, Hoch wird Mal, jedes Gesetz schaltet eine Rechenstufe tiefer. Das ist kein Zufall, sondern folgt genau aus dem Abzählen oben.

Und was NICHT geht: Für am+ana^m + a^n gibt es kein Gesetz. 23+24=8+16=242^3 + 2^4 = 8 + 16 = 24, und das ist keine Zweierpotenz. Die Gesetze gelten nur fürs Multiplizieren und Dividieren, genauso wie bei den Wurzelgesetzen in Klasse 9.

Neue Exponenten, und warum sie so definiert sind

Bisher war der Exponent eine Anzahl: a3a^3 heißt „drei Faktoren". Damit ergibt a0a^0 zunächst keinen Sinn (null Faktoren?), und a−2a^{-2} oder a1/2a^{1/2} erst recht nicht.

Trotzdem gibt es diese Schreibweisen, und sie sind nicht willkürlich festgelegt. Sie sind so gewählt, dass die Potenzgesetze von oben weiter gelten. Das ist der Leitgedanke dieses Abschnitts: Man eine Schreibweise immer so, dass die bekannten Regeln erhalten bleiben.

Warum a0=1a^0 = 1 gilt

Nimm das Divisionsgesetz und teile eine durch sich selbst:

a3a3=a3−3=a0\frac{a^3}{a^3} = a^{3-3} = a^0

Andererseits weißt du: Etwas durch sich selbst geteilt ergibt 11 (solange es nicht null ist):

a3a3=1\frac{a^3}{a^3} = 1

Beide Wege müssen dasselbe liefern, also muss a0=1a^0 = 1 sein. Das ist keine Vereinbarung aus Bequemlichkeit, sondern die einzige Möglichkeit, damit das Gesetz weiter stimmt.

(Die Einschränkung a≠0a \neq 0 ist nötig, weil man sonst durch null teilen würde.)

Warum negative Exponenten Kehrwerte sind

Dieselbe Idee, nur einen Schritt weiter:

a2a5=a2−5=a−3\frac{a^2}{a^5} = a^{2-5} = a^{-3}

Und durch :

a2a5=a⋅aa⋅a⋅a⋅a⋅a=1a3\frac{a^2}{a^5} = \frac{a \cdot a}{a \cdot a \cdot a \cdot a \cdot a} = \frac{1}{a^3}

Wieder müssen beide Wege übereinstimmen:

a−n=1anz. B.2−3=18a^{-n} = \frac{1}{a^n} \qquad\text{z. B.}\qquad 2^{-3} = \frac{1}{8}

Das Minuszeichen im Exponenten bedeutet also nicht „negatives Ergebnis", sondern „". 2−32^{-3} ist 18\frac{1}{8}, eine positive Zahl. Das ist die häufigste Fehlvorstellung an dieser Stelle.

Warum gebrochene Exponenten Wurzeln sind

Jetzt wird es spannend. Was müsste a1/2a^{1/2} bedeuten? Wende das Gesetz „Potenz der Potenz" an:

(a12)2=a12⋅2=a1=a\left(a^{\frac{1}{2}}\right)^2 = a^{\frac{1}{2} \cdot 2} = a^1 = a

Da steht: a1/2a^{1/2} mit sich selbst multipliziert ergibt aa. Und genau das ist die Definition der aus Klasse 9. Also muss gelten:

a12=aa^{\frac{1}{2}} = \sqrt{a}

Dasselbe mit 13\frac{1}{3}: (a1/3)3=a\left(a^{1/3}\right)^3 = a, also ist a1/3a^{1/3} die Kubikwurzel. Allgemein ist a1n=ana^{\frac{1}{n}} = \sqrt[n]{a}.

Und ein mit , etwa amna^{\frac{m}{n}}? Den zerlegst du mit „Potenz der Potenz", denn mn=1n⋅m\frac{m}{n} = \frac{1}{n} \cdot m:

amn=(a1n)m=(an)ma^{\frac{m}{n}} = \left(a^{\frac{1}{n}}\right)^m = \left(\sqrt[n]{a}\right)^m

Und weil man im Exponenten genauso gut m⋅1nm \cdot \frac{1}{n} lesen kann, geht es auch andersherum, erst potenzieren, dann Wurzel ziehen:

amn=(am)1n=amna^{\frac{m}{n}} = \left(a^m\right)^{\frac{1}{n}} = \sqrt[n]{a^m}

Dass beide Reihenfolgen dasselbe liefern, ist also kein Zufall: Es ist zweimal dasselbe Produkt im Exponenten, nur anders gelesen.

Damit schließt sich ein : Wurzeln sind keine eigene Rechenart mehr, sondern Potenzen mit gebrochenem Exponenten. Alles, was du über Potenzen weißt, gilt ab jetzt auch für Wurzeln, und umgekehrt.

823=(83)2=22=48^{\frac{2}{3}} = \left(\sqrt[3]{8}\right)^2 = 2^2 = 4

Tipp zur Reihenfolge: Zieh erst die Wurzel (der des Exponenten), dann potenziere (der Zähler). Beides ist erlaubt, aber die Zahlen bleiben so kleiner: 823=643=4\sqrt[3]{8^2} = \sqrt[3]{64} = 4 ergibt dasselbe, ist aber mühsamer.

Denk weiter: Negative und gebrochene Exponenten kamen bisher nur getrennt vor. Was bedeutet dann 9 hoch minus einhalb, und wie begründest du das mit den Gesetzen?

Versuch es erst selbst, kombiniere die beiden Erweiterungen aus dem Abschnitt oben.

Der Exponent −12-\frac{1}{2} trägt zwei Anweisungen auf einmal: Das Minus heißt , der 12\frac{1}{2} heißt . Also nacheinander abarbeiten:

9−12=1912=19=139^{-\frac{1}{2}} = \frac{1}{9^{\frac{1}{2}}} = \frac{1}{\sqrt{9}} = \frac{1}{3}

Auch die andere Reihenfolge ist erlaubt, erst die Wurzel als lesen, dann den Kehrwert bilden, und liefert dasselbe. Das ist kein Glück, sondern das Potenz-Potenz-Gesetz: −12=(−1)⋅12=12⋅(−1)-\frac{1}{2} = (-1) \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{2} \cdot (-1), und in welcher Reihenfolge du die beiden Faktoren des Exponenten abarbeitest, ist egal.

Die Kontrolle mit dem Divisionsgesetz (so wie bei a0a^0 im Theorietext):

9−12⋅912=9−12+12=90=1und tatsa¨chlich:13⋅3=1  ✓9^{-\frac{1}{2}} \cdot 9^{\frac{1}{2}} = 9^{-\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} = 9^0 = 1 \qquad\text{und tatsächlich:}\qquad \frac{1}{3} \cdot 3 = 1 \;\checkmark

Warum das mehr ist als eine Rechenübung: Die drei Erweiterungen (a0a^0, negative, gebrochene Exponenten) wurden alle nach demselben Leitgedanken gebaut, die alten Gesetze sollen weiter gelten. Deshalb vertragen sie sich auch untereinander, ohne dass man dafür etwas Neues festlegen müsste. Genau diese Verlässlichkeit macht die Potenzschreibweise zum Standardwerkzeug der Oberstufe: 1x\frac{1}{\sqrt{x}} schreibt man dort als x−12x^{-\frac{1}{2}}. Dann gelten beim Ableiten und dieselben Regeln wie für jede andere Potenz.

Potenzfunktionen: warum der Exponent die Form bestimmt

Setzt du für den Exponenten eine feste Zahl und lässt xx laufen, entsteht eine Potenzfunktion:

y=xny = x^n

Ihr Graph sieht je nach nn völlig verschieden aus. Und du kannst dir jede dieser Formen erschließen, statt sie auswendig zu lernen. Es genügt, auf negative xx-Werte zu schauen.

Gerade Exponenten: das Vorzeichen verschwindet

Bei y=x2y = x^2 oder y=x4y = x^4 wird xx eine gerade Anzahl Male mit sich selbst multipliziert. Setzt du eine negative Zahl ein, heben sich die Minuszeichen paarweise auf:

(−2)2=4(−2)4=16(-2)^2 = 4 \qquad (-2)^4 = 16

Das Ergebnis ist immer positiv, und −x-x liefert dasselbe wie +x+x. Deshalb liegt der Graph nie unter der xx-Achse und ist achsensymmetrisch zur yy-Achse. Er sieht aus wie eine .

Ungerade Exponenten: ein Minuszeichen bleibt übrig

Bei y=x3y = x^3 oder y=x5y = x^5 bleibt bei negativem xx ein Minus übrig:

(−2)3=−8(−2)5=−32(-2)^3 = -8 \qquad (-2)^5 = -32

Negative xx liefern also negative yy. Der Graph läuft links unten und rechts oben. Er ist punktsymmetrisch zum Ursprung und hat die typische S-Form.

Negative Exponenten: eine Lücke entsteht

y=x−1y = x^{-1} bedeutet nach dem Abschnitt oben nichts anderes als y=1xy = \frac{1}{x}. Und hier passiert etwas Neues: Für x=0x = 0 müsste man durch null teilen: das ist nicht erlaubt. An dieser Stelle hat der Graph eine Definitionslücke, die Kurve zerfällt in zwei getrennte Äste (eine Hyperbel).

Je näher xx an null kommt, desto größer werden die Werte, die yy-Achse wird zur Asymptote, der sich die Kurve annähert, ohne sie je zu erreichen.

Zwei Gemeinsamkeiten aller Potenzfunktionen

  • Alle Graphen gehen durch den Punkt (1∣1)(1 \mid 1), denn 1n=11^n = 1 für jedes nn.
  • Für x>1x > 1 gilt: je größer nn, desto steiler steigt die Kurve. Denn dort wird das Ergebnis bei jeder weiteren Multiplikation größer.

Achtung, häufige Verwechslung: Für 0<x<10 < x < 1 ist es genau umgekehrt. Dort wird ein größerer Exponent kleiner: 0,52=0,250{,}5^2 = 0{,}25, aber 0,53=0,1250{,}5^3 = 0{,}125. Der Grund ist derselbe wie beim Wurzelziehen aus Zahlen unter 11: Multiplizieren mit einer Zahl kleiner als 11 verkleinert.

Die Bilder unten zeigen die drei Typen im Vergleich.

gerade vs. ungerade Exponenten

xy-2-112-6-4-224x²x³

Gerade Exponenten (x2x^2, grün) ergeben achsensymmetrische Graphen (nie negativ); ungerade (x3x^3, blau) sind punktsymmetrisch zum Ursprung. Beide laufen durch (1∣1)(1\mid1).

negativer Exponent

xy-4-3-2-1123-4-3-2-1123x⁻¹ = 1/x

Der negative Exponent x−1=1xx^{-1} = \tfrac{1}{x} ergibt eine Hyperbel mit einer Definitionslücke bei x=0x = 0, beide Achsen sind Asymptoten.

Potenzgesetze kombinieren

Vereinfache: a) x5⋅x3x^5 \cdot x^3 b) a7a4\dfrac{a^7}{a^4} c) (2y2)3(2y^2)^3 d) 65⋅6366\dfrac{6^5 \cdot 6^3}{6^6}

  1. 1

    Vor dem Rechnen: welches Gesetz passt wo? Bei Potenzaufgaben entscheidet immer dieselbe Frage, sind die Basen gleich oder die Exponenten?

    • a) und b): gleiche Basis → Exponenten addieren bzw. subtrahieren
    • c): eine wird potenziert, und in der Klammer steht ein Produkt
    • d): gleiche Basis, aber Multiplikation und Division gemischt
  2. 2

    a) Gleiche Basis, multipliziert. Die Faktoren werden zusammengeschoben, also die Anzahlen addiert:

    x5⋅x3=x5+3=x8x^5 \cdot x^3 = x^{5+3} = x^8

    Kontrolle durch Abzählen: fünf xx plus drei xx ergeben acht xx ✓ Ein häufiger Fehler ist, hier die Exponenten zu multiplizieren (x15x^{15}), das wäre die Regel für (x5)3(x^5)^3.

  3. 3

    b) Gleiche Basis, dividiert. Es sich vier Faktoren weg:

    a7a4=a7−4=a3\frac{a^7}{a^4} = a^{7-4} = a^3
  4. 4

    c) Potenz eines Produkts. Hier stecken zwei Gesetze drin. Zuerst: In der Klammer steht ein Produkt, und jeder Faktor wird potenziert.

    (2y2)3=23⋅(y2)3(2y^2)^3 = 2^3 \cdot (y^2)^3

    Das ist der Schritt, der oft vergessen wird, die 22 wird ebenfalls hoch 33 genommen, nicht nur das yy.

  5. 5

    c) Weiterrechnen. Nun die beiden Teile einzeln: 23=82^3 = 8, und beim zweiten wird „Potenz der Potenz" angewendet (Exponenten multiplizieren):

    (y2)3=y2⋅3=y6(y^2)^3 = y^{2 \cdot 3} = y^6 (2y2)3=8y6(2y^2)^3 = 8y^6
  6. 6

    d) Erst oben zusammenfassen, dann teilen. Im stehen gleiche Basen, also addieren wir zuerst:

    65⋅63=65+3=686^5 \cdot 6^3 = 6^{5+3} = 6^8

    Jetzt die Division:

    6866=68−6=62=36\frac{6^8}{6^6} = 6^{8-6} = 6^2 = 36

    Weil die Basis eine Zahl ist, kann man am Ende ausrechnen, bei bliebe die Potenzschreibweise stehen.

a) x8x^8 · b) a3a^3 · c) 8y68y^6 · d) 3636

Die Leitfrage bei jeder Aufgabe: Gleiche Basis? → Exponenten addieren/subtrahieren. Potenz einer Potenz? → Exponenten multiplizieren. Produkt in der Klammer? → jeden Faktor potenzieren.

Negative und gebrochene Exponenten

Berechne bzw. schreibe um: a) 5−25^{-2} b) 161216^{\frac{1}{2}} c) 272327^{\frac{2}{3}} d) 1x3\dfrac{1}{x^3} als

  1. 1

    Woran erkennst du, was zu tun ist? Zwei Signale:

    • Ein Minus im Exponenten bedeutet (nicht negatives Ergebnis!).
    • Ein im Exponenten bedeutet , der sagt, welche.
  2. 2

    a) Negativer Exponent. Das Minus wandelt die Potenz in ihren Kehrwert um:

    5−2=152=1255^{-2} = \frac{1}{5^2} = \frac{1}{25}

    Beachte: Das Ergebnis ist positiv. Wer hier −25-25 schreibt, hat das Minus als Vorzeichen gedeutet statt als Kehrwert-Anweisung.

  3. 3

    b) Exponent 12\frac{1}{2}. Der Nenner 22 steht für die zweite Wurzel, also die Quadratwurzel:

    1612=16=416^{\frac{1}{2}} = \sqrt{16} = 4

    Probe über das Potenzgesetz: (161/2)2=161=16\left(16^{1/2}\right)^2 = 16^{1} = 16, und tatsächlich ist 42=164^2 = 16 ✓

  4. 4

    c) Exponent 23\frac{2}{3}, hier stecken zwei Schritte drin. Der Nenner 33 bedeutet dritte Wurzel, der Zähler 22 bedeutet quadrieren:

    2723=(273)227^{\frac{2}{3}} = \left(\sqrt[3]{27}\right)^2

    Zuerst die Wurzel, weil die Zahlen dann kleiner bleiben:

    273=3⇒32=9\sqrt[3]{27} = 3 \qquad\Rightarrow\qquad 3^2 = 9

    (Der andere Weg 2723=7293=9\sqrt[3]{27^2} = \sqrt[3]{729} = 9 liefert dasselbe, ist aber unhandlicher.)

  5. 5

    d) Vom Bruch zur Potenz. Hier gehen wir den Weg von a) rückwärts: Ein Kehrwert wird zu einem negativen Exponenten:

    1x3=x−3\frac{1}{x^3} = x^{-3}

    Wozu ist das gut? In dieser Schreibweise lassen sich die Potenzgesetze anwenden. Man kann x−3x^{-3} mit anderen xx-Potenzen verrechnen, mit dem Bruch ginge das nicht so bequem. Genau deshalb schreibt man in der Oberstufe fast alles als Potenz.

a) 125\frac{1}{25} · b) 44 · c) 99 · d) x−3x^{-3}

Merke: Minus im Exponenten → Kehrwert. Bruch im Exponenten → Wurzel (Nenner = Wurzelexponent, = Hochzahl).

Typischer Fehler

23⋅24=2122^3 \cdot 2^4 = 2^{12}, „mal heißt multiplizieren, also 3⋅43 \cdot 4."

Beim Multiplizieren gleicher Basen werden die Exponenten addiert: 23⋅24=27=1282^3 \cdot 2^4 = 2^7 = 128 (nachzählen: 3 + 4 = 7 Faktoren!). Multipliziert werden die Exponenten nur beim Potenzieren einer : (23)4=212(2^3)^4 = 2^{12}. Merksatz: „Eine Stufe tiefer", aus Mal wird Plus.

Typischer Fehler

3−2=−93^{-2} = -9, „negativer Exponent macht das Ergebnis negativ."

Der negative Exponent bedeutet , nicht Minus: 3−2=132=193^{-2} = \frac{1}{3^2} = \frac{1}{9}, eine positive kleine Zahl! mit positiver Basis sind immer positiv, egal welcher Exponent. Denke an die Zehnerpotenzen: 10−2=0,0110^{-2} = 0{,}01, nicht −100-100.

Übung 1

leicht

Vereinfache: a) a4⋅a6a^4 \cdot a^6 b) x9x3\frac{x^9}{x^3} c) (b5)2(b^5)^2 d) 707^0

Tipp anzeigen

Mal→Plus, Geteilt→Minus, Hoch→Mal.

Lösung anzeigen

a) a10a^{10} · b) x6x^6 · c) b10b^{10} · d) 11

Detaillierte Schritterklärung anzeigen

Hier wird jeder Schritt einzeln erklärt, vor allem, warum er gemacht wird.

Erklärungstiefe

✦ Empfohlen: Standard – Die normale Erklärungstiefe passt zum Einstieg.

  1. 1

    a) Gleiche Basis, mal: Exponenten addieren

    Beide haben dieselbe Basis aa, beim Multiplizieren zählen die Faktoren zusammen: a4⋅a6=a4+6=a10a^4 \cdot a^6 = a^{4+6} = a^{10}.

  2. 2

    b) Gleiche Basis, geteilt: Exponenten subtrahieren

    Beim Teilen sich Faktoren weg, die Exponenten werden subtrahiert: x9x3=x9−3=x6\frac{x^9}{x^3} = x^{9-3} = x^6.

    x9x3=x6\frac{x^9}{x^3} = x^6

  3. 3

    c) Potenz einer Potenz: Exponenten multiplizieren

    Das Paket b5b^5 steht zweimal als Faktor, die Exponenten werden multipliziert: (b5)2=b5⋅2=b10(b^5)^2 = b^{5 \cdot 2} = b^{10}.

  4. 4

    d) Hoch null

    70=17^0 = 1, jede Potenz mit Exponent null hat den Wert 11, damit die Potenzgesetze lückenlos gelten.

Übung 2

mittel

Berechne ohne Taschenrechner: a) 4−14^{-1} b) 10012100^{\frac{1}{2}} c) 8238^{\frac{2}{3}} d) 2−3⋅252^{-3} \cdot 2^5

Tipp anzeigen

d) Erst Exponenten addieren.

Lösung anzeigen

a) 14\frac{1}{4}

b) 100=10\sqrt{100} = 10

c) (83)2=22=4(\sqrt[3]{8})^2 = 2^2 = 4

d) 22=42^{2} = 4

Detaillierte Schritterklärung anzeigen

Hier wird jeder Schritt einzeln erklärt, vor allem, warum er gemacht wird.

Erklärungstiefe

✦ Empfohlen: Standard – Die normale Erklärungstiefe passt zum Einstieg.

  1. 1

    a) Negativer Exponent: der Kehrwert

    Das Minus im Exponenten bedeutet , nicht negative Zahl: 4−1=141=144^{-1} = \frac{1}{4^1} = \frac{1}{4}.

  2. 2

    b) Exponent ½: die Wurzel

    Der Exponent 12\frac{1}{2} steht für die : 10012=100=10100^{\frac{1}{2}} = \sqrt{100} = 10.

  3. 3

    c) Exponent ⅔: Wurzel und Quadrat kombiniert

    823=(83)2=22=48^{\frac{2}{3}} = \left(\sqrt[3]{8}\right)^2 = 2^2 = 4.

    82/3=(81/3)2=22=48^{2/3} = (8^{1/3})^2 = 2^2 = 4

  4. 4

    d) Gesetze kombinieren

    2−3⋅25=2−3+5=22=42^{-3} \cdot 2^5 = 2^{-3+5} = 2^2 = 4.

    2−3+5=22=42^{-3+5} = 2^2 = 4

Übung 3

schwer

a) Vereinfache: (2x3)2⋅x−42x\frac{(2x^3)^2 \cdot x^{-4}}{2x} b) Welche Symmetrie hat y=x6y = x^6, welche y=x7y = x^7? Begründe über f(−x)f(-x).

Tipp anzeigen

a) zuerst ausrechnen. b) (−x)6=?(-x)^6 = ?

Lösung anzeigen

a) Zähler: 4x6⋅x−4=4x24x^6 \cdot x^{-4} = 4x^2; geteilt durch 2x2x: 4x22x=2x\frac{4x^2}{2x} = 2x

b) (−x)6=x6(-x)^6 = x^6 → achsensymmetrisch (gerader Exponent). (−x)7=−x7(-x)^7 = -x^7 → punktsymmetrisch zum Ursprung (ungerader Exponent).

Detaillierte Schritterklärung anzeigen

Hier wird jeder Schritt einzeln erklärt, vor allem, warum er gemacht wird.

Erklärungstiefe

✦ Empfohlen: Standard – Die normale Erklärungstiefe passt zum Einstieg.

  1. 1

    a) Die äußere Potenz auflösen

    (2x3)2=22⋅(x3)2=4x6(2x^3)^2 = 2^2 \cdot (x^3)^2 = 4x^6: JEDER Faktor der Klammer wird quadriert.

  2. 2

    a) Zähler zusammenfassen und dividieren

    Zähler: 4x6⋅x−4=4x6−4=4x24x^6 \cdot x^{-4} = 4x^{6-4} = 4x^2. Dann 4x22x=2x2−1=2x\frac{4x^2}{2x} = 2x^{2-1} = 2x.

    4x6⋅x−42x=4x22x=2x\frac{4x^6 \cdot x^{-4}}{2x} = \frac{4x^2}{2x} = 2x

    Zwischenergebnis

    2x2x

  3. 3

    b) Symmetrie der Potenzfunktionen

    (−x)6=x6(-x)^6 = x^6 → y=x6y = x^6 achsensymmetrisch; (−x)7=−x7(-x)^7 = -x^7 → y=x7y = x^7 punktsymmetrisch zum Ursprung.

Zusammenfassung

Fünf Gesetze regeln alle : Bei gleicher Basis wandern die Exponenten eine Rechenstufe tiefer (mal→plus, geteilt→minus, hoch→mal). a0=1a^0 = 1, negative Exponenten bilden , gebrochene Exponenten sind , und die Potenzfunktionen zeigen mit geraden Exponenten Parabel-Symmetrie, mit ungeraden S-Kurven durch den Ursprung.