Exponentialfunktionen und Logarithmus

Ein Blatt Papier 42-mal falten, wie dick? Bis zum Mond! Exponentielles Wachstum sprengt jede Intuition: Es wächst nicht um feste Beträge, sondern um feste Faktoren. Von Zinseszinsen über Bakterienkulturen bis zur Halbwertszeit: Hier lernst du die Funktion, die die Welt verdoppelt, und den Logarithmus, der sie wieder einfängt.

Zwei Angebote für dein Sparschwein:

• Angebot A: Jedes Jahr kommen $50$ € dazu.
• Angebot B: Jedes Jahr wird der Betrag um die Hälfte größer (also mal $1{,}5$).

Bei $100$ € Startguthaben, welches ist besser? Rechnen wir beide Jahr für Jahr aus:

Nach einem Jahr sind beide gleich. Nach zehn Jahren ist B fast zehnmal so groß. Das ist kein Rechenfehler. Es ist der Unterschied zwischen den beiden Wachstumsarten.

Woran du sie unterscheidest

• Lineares Wachstum: In jedem Schritt kommt derselbe Summand dazu. Man addiert. Der Graph ist eine Gerade (das war die lineare Funktion aus Klasse 8, der Summand war die Steigung $m$).
• Exponentielles Wachstum: In jedem Schritt wird mit demselben Faktor multipliziert. Man multipliziert. Der Graph ist eine immer steiler werdende Kurve.

Die Prüffrage bei jeder Aufgabe: Steht im Text „pro Jahr $50$ € mehr" (fester Betrag) oder „pro Jahr $15\,\%$ mehr" (fester Anteil)? Prozentangaben bedeuten fast immer exponentielles Wachstum, denn $15\,\%$ von einem größeren Bestand sind ja auch absolut mehr.

Warum unsere Intuition hier versagt

Menschen schätzen exponentielles Wachstum systematisch zu klein ein, unser Gehirn denkt in Summen, nicht in Produkten. Das Papierfalten aus der Einführung zeigt es: Nach $42$ Faltungen wäre das Blatt rechnerisch über $400\,000\,\text{km}$ dick und damit dicker als die Entfernung zum Mond. Man kann es kaum glauben, aber es sind nur $42$ Verdopplungen: $0{,}1\,\text{mm} \cdot 2^{42}$.

Genau deshalb lohnt es sich, hier zu rechnen statt zu schätzen.

Schauen wir uns Angebot B aus der Tabelle genauer an. Was passiert dort eigentlich?

Der Exponent zählt einfach ab, wie oft der Faktor angewendet wurde. Damit steht die Formel schon da. Man muss nur noch die beiden Zahlen durch Buchstaben ersetzen:

• $a$ ist der Startwert, der Bestand zu Beginn, bei $x = 0$.
• $b$ ist der Wachstumsfaktor, die Zahl, mit der in jedem Schritt multipliziert wird.

Der entscheidende Unterschied zu allem bisherigen: Bei den Potenzfunktionen $y = x^n$ stand das $x$ unten und der Exponent war fest. Jetzt ist es umgekehrt, die Basis ist fest und das $x$ steht im Exponenten. Daher der Name Exponentialfunktion. Diese Vertauschung ändert das Verhalten vollständig.

Was der Faktor $b$ bewirkt

• $b > 1$ → Wachstum. Bei $b = 2$ verdoppelt sich der Bestand in jedem Schritt.
• $0 < b < 1$ → Zerfall. Bei $b = 0{,}5$ halbiert er sich; multiplizieren mit einer Zahl unter $1$ verkleinert.
• $b = 1$ wäre langweilig: Der Bestand bliebe konstant.

Drei Eigenschaften des Graphen, und ihre Gründe

1. Er startet bei $a$. Für $x = 0$ ist $b^0 = 1$ (das hast du im Potenzkapitel hergeleitet), also $f(0) = a \cdot 1 = a$. Der Graph geht immer durch $(0 \mid a)$.

2. Er wird nie null und nie negativ. Ein positiver Faktor bleibt beim Multiplizieren positiv, egal wie oft. Der Bestand kann beliebig klein werden, aber nie null erreichen. Deshalb nähert sich die Kurve der $x$-Achse an, ohne sie je zu berühren, die $x$-Achse ist eine Asymptote.

3. Er wird immer steiler (bei $b > 1$). Weil in jedem Schritt vom bereits gewachsenen Bestand aus multipliziert wird, sind die Zuwächse absolut immer größer. Beim linearen Wachstum bleibt der Zuwachs dagegen konstant. Das ist genau der Unterschied aus der Tabelle oben.

Das Bild unten zeigt Wachstum und Zerfall im Vergleich.

Fast alle Aufgaben zu diesem Thema sind in Prozent formuliert: „$3\,\%$ Zinsen", „$15\,\%$ Wertverlust pro Jahr". Die Exponentialfunktion braucht aber einen Faktor $b$. Der Übersetzungsschritt dazwischen entscheidet über die halbe Aufgabe.

Wie man von Prozent zum Faktor kommt

Nimm ein Guthaben von $100$ € mit $3\,\%$ Zinsen. Nach einem Jahr hast du das ursprüngliche Kapital plus die Zinsen:

Rechne das in einem Schritt: Aus $100\,\%$ werden $103\,\%$, also das $1{,}03$-fache. Allgemein, und das ist derselbe Gedanke wie beim vermehrten Grundwert in Klasse 7:

Die Faustregel: Bei Wachstum ist $b > 1$, bei Zerfall liegt $b$ zwischen 0 und 1. Kommt bei dir für einen Wertverlust ein negatives $b$ heraus (etwa $-0{,}15$), hast du den Zuwachs mit dem Faktor verwechselt.

Warum das exponentiell ist, und nicht linear

Hier liegt der eigentliche Unterschied zur Zinsrechnung aus Klasse 7. Damals wurden die Zinsen jedes Jahr vom gleichbleibenden Startkapital berechnet. Jetzt verzinst sich das Guthaben inklusive der bereits gutgeschriebenen Zinsen. Das ist der Zinseszins.

Der Exponent zählt also einfach, wie oft der Faktor angewendet wurde. Genau daraus entsteht die Potenz in der Formel. Sie fällt nicht vom Himmel, sondern ist die Kurzschreibweise für „$n$-mal denselben Faktor".

Ein Zahlenbeispiel, das den Unterschied zeigt: $2\,000$ € zu $4\,\%$ über $10$ Jahre. Ohne Zinseszins gäbe es $10 \cdot 80 = 800$ € Zinsen. Mit Zinseszins sind es rund $960$ €, die zusätzlichen $160$ € sind Zinsen auf Zinsen.

Bisher war der Exponent gegeben und das Ergebnis gesucht: „Wie viel ist nach $10$ Jahren da?" Oft ist die Frage aber umgekehrt: „Nach wie vielen Jahren ist das Kapital verdoppelt?" Dann steht die Unbekannte im Exponenten:

Und hier versagen alle bisherigen Werkzeuge. Du kannst nicht die Wurzel ziehen (die holt die Basis heraus, nicht den Exponenten), und Umstellen hilft nicht, das $x$ sitzt oben fest.

Was fehlt, ist eine neue Umkehrung

Erinnere dich an das Muster aus Klasse 9: Zu jeder Rechenart gehört eine Umkehrung. Beim Potenzieren $b^x = c$ gibt es aber zwei verschiedene Rückfragen:

• „Welche Basis?" → das beantwortet die Wurzel.
• „Welcher Exponent?" → das beantwortet der Logarithmus.

Gelesen: „$x$ ist der Logarithmus von $c$ zur Basis $b$". Oder ganz praktisch: Der Logarithmus ist die Antwort auf die Frage „hoch wie viel?"

Wie du ihn mit dem Taschenrechner ausrechnest

Die meisten Taschenrechner haben nur zwei Logarithmus-Tasten: log (Basis $10$) und ln (Basis $e$, kommt in Klasse 11). Für beliebige Basen gibt es deshalb die Umrechnung:

(Warum diese Umrechnung stimmt, begründen wir hier nicht, dafür braucht man Rechenregeln für Logarithmen, die erst in der Oberstufe drankommen. Nimm sie in diesem Kapitel als Taschenrechner-Werkzeug, und prüfe jedes Ergebnis mit der Probe: Basis hoch Ergebnis muss die Ausgangszahl liefern.)

Für unser Beispiel:

Probe: $2^{6{,}64} \approx 99{,}7$, passt ✓

Häufiger Fehler: $\frac{\log 100}{\log 2}$ ist nicht $\log(100 : 2) = \log 50$. Es wird wirklich ein Bruch aus zwei Logarithmuswerten gebildet, nicht der Logarithmus eines Bruchs.

Der Zusammenhang im Bild

Weil der Logarithmus die Umkehrfunktion der Exponentialfunktion ist, entsteht sein Graph durch Spiegelung an der Geraden $y = x$ (siehe Bild). Das gilt für jede Umkehrfunktion: Vertauschen von $x$ und $y$ ist geometrisch genau diese Spiegelung.

Daran erkennst du auch die Definitionsmenge: Die Exponentialfunktion liefert nur positive Werte, also kann man den Logarithmus auch nur aus positiven Zahlen ziehen. $\log(0)$ und $\log(-5)$ gibt es nicht.

Bei exponentiellen Vorgängen gibt es eine erstaunliche Eigenschaft:

Die Zeit, in der sich ein Bestand verdoppelt (oder halbiert), ist immer gleich lang, egal, wie groß der Bestand gerade ist.

Warum ist das so?

Bei linearem Wachstum wäre das anders: Wer jährlich $50$ € dazubekommt, braucht von $100$ € auf $200$ € zwei Jahre, von $200$ € auf $400$ € aber vier.

Beim exponentiellen Wachstum wird dagegen jedes Mal mit demselben Faktor multipliziert. Und Multiplizieren interessiert sich nicht dafür, wie groß der Ausgangswert ist: Aus $100$ wird nach $n$ Schritten $100 \cdot b^n$, aus $1\,000$ wird $1\,000 \cdot b^n$. Damit sich der Bestand verdoppelt, muss in beiden Fällen $b^n = 2$ gelten, dieselbe Bedingung, also dieselbe Zeit.

Wie man sie berechnet

Setze den Faktor hoch $n$ gleich $2$ (Verdopplung) bzw. $0{,}5$ (Halbierung) und löse mit dem Logarithmus:

Beispiel Zinsen: Bei $4\,\%$ ($b = 1{,}04$) dauert die Verdopplung $n = \frac{\log 2}{\log 1{,}04} \approx 17{,}7$ Jahre, unabhängig davon, ob $500$ € oder $50\,000$ € angelegt sind.

Wo dir das begegnet: Der radioaktive Zerfall arbeitet mit Halbwertszeiten: Kohlenstoff-14 halbiert sich alle $5\,730$ Jahre, immer gleichmäßig. Genau darauf beruht die Altersbestimmung von Fossilien: Aus dem verbliebenen Anteil rechnet man rückwärts auf die verstrichene Zeit.