Runden und Überschlagen

„Beim Konzert waren 47 386 Menschen.": In den Nachrichten heißt es trotzdem: „rund 47 000 Besucher". Warum? Weil gerundete Zahlen viel leichter zu merken und zu vergleichen sind! Und wenn du im Kopf schnell prüfen willst, ob ein Ergebnis stimmen kann, hilft dir der Überschlag. Beides lernst du in diesem Kapitel.

Beim Konzert waren genau $47\,386$ Menschen. Diese Zahl ist unhandlich. Viel leichter merkst du dir „rund $47\,400$". Genau das ist Runden: Du ersetzt eine genaue Zahl durch eine runde Zahl in der Nähe, eine Zahl mit Nullen am Ende.

Warum runde Zahlen leichter sind

Das klingt selbstverständlich, hat aber einen handfesten Grund: Bei einer runden Zahl musst du dir nur wenige Ziffern merken, der Rest sind Nullen.

$47\,386$ besteht aus fünf Ziffern, die alle wichtig sind. Bei $47\,400$ trägt nur noch „47 und 4" Information, den Rest weißt du automatisch.

Genau deshalb steht in den Nachrichten „rund 47 000 Besucher" und nicht die genaue Zahl: Die grobe Größe kann man sich merken, die genaue nicht.

Welche runde Zahl nimmst du?

Zur Auswahl stehen immer zwei: eine kleinere und eine größere. $47\,386$ liegt zum Beispiel zwischen $47\,300$ und $47\,400$.

Beide wären „in der Nähe", aber eine ist näher dran. Und genau die nimmst du, denn dann ist der Fehler, den du machst, so klein wie möglich.

Die Regel lautet also: Du nimmst die runde Zahl, die näher dran ist. Schau dir das im Bild unten an.

Du musst nicht jedes Mal eine Zahlengerade zeichnen. Es gibt eine schnelle Regel. Zuerst legst du fest, worauf du rundest, zum Beispiel auf Hunderter. Die Hunderterstelle ist dann deine Rundungsstelle.

Jetzt schaust du dir nur eine einzige Ziffer an: die direkt rechts neben der Rundungsstelle. Sie heißt Prüfziffer.

• Prüfziffer $0, 1, 2, 3$ oder $4$ → du rundest ab (die Rundungsstelle bleibt gleich).
• Prüfziffer $5, 6, 7, 8$ oder $9$ → du rundest auf (die Rundungsstelle wird um $1$ größer).

Alle Ziffern rechts von der Rundungsstelle werden zu Nullen.

Warum ist genau bei $5$ die Grenze? Weil die $5$ die Mitte zwischen den beiden runden Zahlen markiert, dieselbe gestrichelte Mitte wie im Bild. Ist die Prüfziffer kleiner als $5$, liegt die Zahl in der linken Hälfte, also näher an der kleineren runden Zahl. Ist sie größer als $5$, liegt sie in der rechten Hälfte und damit näher an der größeren.

Und wenn die Zahl genau in der Mitte liegt?

Ein Fall bleibt übrig, und der ist besonders: $47\,350$ liegt exakt in der Mitte zwischen $47\,300$ und $47\,400$. Beide sind gleich weit weg: „die nähere" gibt es hier gar nicht.

Bei diesem einen Fall hilft also keine Überlegung mehr, sondern nur eine Vereinbarung: Man hat sich darauf geeinigt, in der Mitte aufzurunden. Deshalb steht die $5$ in der Regel oben bei „aufrunden".

Warum eine Vereinbarung völlig in Ordnung ist: Irgendeine Festlegung muss es geben, sonst käme bei $47\,350$ mal $47\,300$ und mal $47\,400$ heraus, je nachdem wer rechnet. Und weil beide Nachbarn gleich weit weg sind, ist die Entscheidung für „aufrunden" nicht besser oder schlechter als „abrunden", nur eben einheitlich.

Merke dir den Unterschied: Bei den Prüfziffern $0$ bis $4$ und $6$ bis $9$ entscheidet der Abstand, das ist begründet. Bei der $5$ genau in der Mitte entscheidet die Vereinbarung. Beides zusammen ergibt die eine Regel, die du oben gelernt hast.

Beispiel: $47\,386$ auf Hunderter runden. Rundungsstelle ist die Hunderterstelle (die $3$), die Prüfziffer rechts daneben ist die $8$. Wegen $8 \geq 5$ rundest du auf:

Das Zeichen $\approx$ heißt „ist ungefähr gleich".

Warum rechts nur noch Nullen stehen

Das Ergebnis soll ja eine runde Zahl sein, genau eine der beiden Nachbarn, zwischen denen die Zahl lag. Und die haben hinter der Rundungsstelle nur Nullen.

Würdest du die $86$ aus $47\,386$ stehen lassen, hättest du gar nicht gerundet, sondern die Zahl nur verändert. Die Nullen sind also kein Schmuck, sondern der eigentliche Zweck der Sache.

Nur eine einzige Ziffer entscheidet, wirklich?

Ein häufiger Zweifel: Müsste bei $47\,349$ nicht die $49$ hinten „fast $50$" ergeben und deshalb aufrunden?

Nein. Prüfe nach: $47\,349$ liegt zwischen $47\,300$ und $47\,400$. Die Mitte ist $47\,350$, und $47\,349$ liegt noch darunter, also in der linken Hälfte. Näher dran ist $47\,300$.

Die Prüfziffer allein reicht deshalb wirklich aus: Ist sie $4$ oder kleiner, bist du sicher in der linken Hälfte, was danach kommt, kann dich nicht mehr über die Mitte heben. Ist sie $6$ oder größer, bist du sicher in der rechten.

Und bei der $5$? Dann bist du entweder genau auf der Mitte oder rechts davon, beide Male wird aufgerundet, das eine Mal wegen des Abstands, das andere Mal wegen der Vereinbarung von oben. Deshalb darfst du auch hier allein auf die Prüfziffer schauen.

Manchmal löst das Aufrunden eine kleine Kettenreaktion aus. Das sieht zuerst verwirrend aus, ist aber ganz logisch.

Ein Beispiel, bei dem es klemmt

Runde $3\,971$ auf Hunderter.

Rundungsstelle ist die $9$ (Hunderter), Prüfziffer ist die $7$. Wegen $7 \geq 5$ musst du aufrunden, die Rundungsstelle wird um $1$ größer.

Aber: $9 + 1 = 10$, und eine Ziffer $10$ gibt es nicht. Was nun?

Was wirklich passiert

Denk ans Bündeln zurück: Zehn Hunderter sind ein Tausender. Genau das passiert hier.

$3\,971$ liegt zwischen $3\,900$ und $4\,000$. Der obere Nachbar heißt nicht „$3\,\text{Zehnhundert}$", sondern schlicht $4\,000$:

Die $10$ Hunderter sind also zu einem Tausender geworden, und die Tausenderstelle ist von $3$ auf $4$ gesprungen.

Die einfache Denkweise

Frag dich bei solchen Fällen nicht „welche Ziffer wird um eins größer", sondern:

Zwischen welchen beiden runden Zahlen liegt meine Zahl, und welche ist näher?

Diese Frage funktioniert immer, auch bei $998 \approx 1\,000$ (auf Zehner gerundet) oder $59\,600 \approx 60\,000$ (auf Tausender gerundet).

Manchmal brauchst du gar kein genaues Ergebnis, sondern willst nur prüfen: Kann das ungefähr stimmen? Dafür ist der Überschlag da.

Beim Überschlag rundest du zuerst alle Zahlen so, dass du im Kopf rechnen kannst, und rechnest dann mit den runden Zahlen:

Das genaue Ergebnis ist $4\,752$, der Überschlag $4\,800$ liegt nah dran.

Warum der Überschlag überhaupt nah dran liegt

Das ist keine Glückssache. Beim Runden hast du $396$ um nur $4$ verändert. Das sind winzige $4$ von fast $400$.

Wenn du eine Zahl nur ein bisschen veränderst, verändert sich auch das Ergebnis nur ein bisschen. Deshalb landet der Überschlag in derselben Größenordnung wie das genaue Ergebnis.

Und genau darum geht es: Der Überschlag verrät dir nicht die letzte Ziffer, aber er verrät dir sofort, ob dein Ergebnis grob falsch ist. Wer bei $396 \cdot 12$ auf $480$ oder $48\,000$ kommt, sieht es damit auf einen Blick.

Wann du wie rundest

Beim Runden gilt die strenge Prüfziffer-Regel. Beim Überschlag darfst du dagegen frei wählen, was dir das Kopfrechnen leicht macht:

Hier hast du einmal auf- und einmal abgerundet. Das ist sogar besonders geschickt: Die beiden Fehler gehen in verschiedene Richtungen und gleichen sich teilweise wieder aus. (Genau: $19 \cdot 21 = 399$.)

Wann du nicht runden darfst

Zum Schluss eine Warnung: Ein Überschlag ist eine Kontrolle, kein Ergebnis.

Beim Bezahlen an der Kasse, bei Zeugnisnoten oder bei einer Rechnung zählt der genaue Wert. Runde dort erst am Schluss, und nur, wenn die Aufgabe es verlangt.