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Mechanik

Bewegungen beschreiben: Weg, Zeit und Geschwindigkeit

Warum Bewegung immer relativ ist, wie man die gleichförmige Bewegung berechnet und was s-t- und v-t-Diagramme verraten.

Benötigte Grundlagen

Dieses Vorwissen brauchst du für das Kapitel. Schau kurz nach, wenn dir etwas davon nicht mehr präsent ist, sonst leg direkt los.

Einführung

Du sitzt im ICE und liest. Bewegst du dich? Gegenüber dem Sitz nicht, gegenüber dem Bahndamm mit 250 kmh250\,\frac{\text{km}}{\text{h}}, gegenüber der Sonne mit rund 30 kms30\,\frac{\text{km}}{\text{s}}.

Alle drei Antworten sind richtig, und genau darin liegt die erste Einsicht der Kinematik: Bewegung ist keine Eigenschaft eines Körpers, sondern eine Aussage über zwei Körper. Ohne Angabe, worauf man sich bezieht, ist die Frage „bewegt es sich?" gar nicht beantwortbar. Aus dieser scheinbar spitzfindigen Feststellung wird in Klasse 12 die Relativitätstheorie; hier bildet sie die Grundlage für alles Weitere.

Das kannst du nach diesem Kapitel

  • Bewegung als Ortsveränderung gegenüber einem Bezugskörper definieren.

  • die Geschwindigkeit berechnen und Einheiten sicher umrechnen.

  • zwischen Durchschnitts- und Momentangeschwindigkeit unterscheiden.

  • die gleichförmige Bewegung mit s=v⋅ts = v \cdot t beschreiben.

  • s-t- und v-t-Diagramme zeichnen und deuten.

  • aus Diagrammen Geschwindigkeit und Weg ablesen.

Was Bewegung bedeutet

Ein Körper bewegt sich, wenn er seinen Ort gegenüber einem Bezugskörper ändert.

Der Zusatz ist keine Formalie. Der lesende Fahrgast ruht gegenüber dem Waggon und bewegt sich gegenüber dem Bahndamm. Beides gilt gleichzeitig, weil zwei verschiedene Bezugskörper gemeint sind.

Deshalb gehört zu jeder Bewegungsangabe der Bezug. In der Schulphysik ist er meist die Erdoberfläche, und man sagt es dann nicht jedes Mal dazu; sobald es aber um Bewegungen im Fahrzeug geht, muss man ihn nennen.

Man unterscheidet außerdem nach der Bahnform:

  • geradlinige Bewegung (Auto auf gerader Strecke)
  • krummlinige Bewegung (Kurvenfahrt)
  • Kreisbewegung (Karussell, Uhrzeiger)

und nach dem Ablauf:

  • gleichförmig (Geschwindigkeit bleibt gleich)
  • ungleichförmig (Geschwindigkeit ändert sich)

Dieses Kapitel behandelt die geradlinig gleichförmige Bewegung.

Alle Bilder im selben Zeitabstand aufgenommengleichförmig01234gleiche Zeit, gleicher Wegbeschleunigt01234gleiche Zeit, wachsender WegNicht das Tempo sieht man, sondern die Abstände

Beide Reihen sind im gleichen Zeitabstand aufgenommen. Am Tempo selbst siehst du nichts, was du siehst, sind die Abstände. Oben bleiben sie gleich, unten wachsen sie: Das ist der ganze Unterschied zwischen gleichförmig und .

Die Geschwindigkeit

Die Geschwindigkeit vv gibt an, welcher Weg in welcher Zeit zurückgelegt wird:

v=st\boxed{v = \frac{s}{t}}

Einheit: ms\frac{\text{m}}{\text{s}} (SI) oder kmh\frac{\text{km}}{\text{h}} im Alltag.

Umrechnung. Wegen 1 km=1000 m1\,\text{km} = 1000\,\text{m} und 1 h=3600 s1\,\text{h} = 3600\,\text{s} gilt

1 kmh=1000 m3600 s=13,6 ms1\,\frac{\text{km}}{\text{h}} = \frac{1000\,\text{m}}{3600\,\text{s}} = \frac{1}{3{,}6}\,\frac{\text{m}}{\text{s}}

Also:

kmh→ms: durch 3,6 teilenms→kmh: mit 3,6 malnehmen\frac{\text{km}}{\text{h}} \to \frac{\text{m}}{\text{s}}: \text{ durch } 3{,}6 \text{ teilen} \qquad \frac{\text{m}}{\text{s}} \to \frac{\text{km}}{\text{h}}: \text{ mit } 3{,}6 \text{ malnehmen}

🔴 Merkhilfe gegen Richtungsfehler: ms\frac{\text{m}}{\text{s}} ist die „größere" Einheit, die Zahl davor also kleiner. 36 kmh36\,\frac{\text{km}}{\text{h}} sind 10 ms10\,\frac{\text{m}}{\text{s}}, nicht 130130.

Größenordnungen zum Einordnen:

Bewegungms\frac{\text{m}}{\text{s}}kmh\frac{\text{km}}{\text{h}}
Schnecke0,0010,004
Fußgänger1,45
Radfahrer518
Auto in der Stadt1450
ICE69250
Schall in Luft3431235
Licht3⋅1083 \cdot 10^81,08⋅1091{,}08 \cdot 10^9

Durchschnitt und Momentanwert

Für eine Autofahrt Erfurt-Jena (45 km45\,\text{km} in 40 min40\,\text{min}) ergibt die Formel

v=45 km0,667 h≈67,5 kmhv = \frac{45\,\text{km}}{0{,}667\,\text{h}} \approx 67{,}5\,\frac{\text{km}}{\text{h}}

Das ist die Durchschnittsgeschwindigkeit. Tatsächlich stand das Auto an Ampeln (dort 00) und fuhr auf der Autobahn 130130. Der Durchschnitt sagt nichts darüber, wie schnell man in einem bestimmten Augenblick war.

Die Momentangeschwindigkeit ist die Geschwindigkeit zu einem Zeitpunkt; sie zeigt der Tacho an. Man bekommt sie, indem man den Zeitabschnitt sehr klein wählt.

🔴 Die Unterscheidung ist praktisch bedeutsam: Eine Radarkontrolle misst die Momentangeschwindigkeit, ein Abschnittskontrollsystem den Durchschnitt. Wer zwischendurch rast und dann bummelt, bleibt beim einen auffällig und beim anderen nicht.

Bei der gleichförmigen Bewegung sind beide gleich, denn dort ändert sich die Geschwindigkeit ja nicht.

Die gleichförmige Bewegung

Eine Bewegung heißt gleichförmig, wenn in gleichen Zeitabschnitten gleiche Wege zurückgelegt werden. Die Geschwindigkeit ist dann konstant.

Aus v=stv = \frac{s}{t} folgen durch Umstellen:

s=v⋅tundt=svs = v \cdot t \qquad \text{und} \qquad t = \frac{s}{v}

Beginnt die Messung nicht bei s=0s = 0, kommt der Anfangsweg dazu:

s=s0+v⋅ts = s_0 + v \cdot t

Die beiden Diagramme

Das s-t-Diagramm (Weg über Zeit):

  • Gleichförmige Bewegung ergibt eine Gerade.
  • Ihre Steigung ist die Geschwindigkeit: steiler bedeutet schneller.
  • Eine waagerechte Linie bedeutet Stillstand (der Weg ändert sich nicht).
  • Eine fallende Gerade bedeutet Rückweg zum Startpunkt.

Das v-t-Diagramm (Geschwindigkeit über Zeit):

  • Gleichförmige Bewegung ergibt eine waagerechte Linie.
  • 🔴 Die Fläche unter dem Graphen ist der zurückgelegte Weg.

Der zweite Punkt ist wichtiger, als er aussieht. Bei konstanter Geschwindigkeit ist die Fläche ein Rechteck:

A=v⋅t=sA = v \cdot t = s

Das ist genau die Wegformel. Der Vorteil: Die Flächenregel gilt auch dann, wenn die Geschwindigkeit sich ändert, und genau davon lebt das nächste Kapitel.

Diagramme lesen zu können ist die eigentliche Kompetenz dieses Kapitels. Ein und dieselbe Bewegung sieht in beiden Diagrammen völlig verschieden aus:

Vorgangs-t-Diagrammv-t-Diagramm
Stillstandwaagerechtauf der Nulllinie
gleichförmig schnellsteile Geradehohe waagerechte Linie
gleichförmig langsamflache Geradeniedrige waagerechte Linie
Rückwegfallende GeradeLinie unterhalb der Achse

🔴 Der häufigste Fehler ist, ein s-t-Diagramm wie ein Bild der Landschaft zu lesen. Eine steigende Gerade bedeutet nicht „bergauf", sondern gleichmäßige Bewegung vom Startpunkt weg.

Weg-Zeit-Diagramm: die Steigung ist die Geschwindigkeit1234520406080100t in ss in m20 m/s10 m/ssteht stillWaagerecht heißt hier: Der Weg ändert sich nicht mehr.

Im Weg-Zeit-Diagramm ist die Steigung die Geschwindigkeit: je steiler, desto schneller. Merke dir besonders die grüne Linie, waagerecht heißt hier, dass sich der Weg nicht mehr ändert, der Körper also steht.

Geschwindigkeit-Zeit-Diagramm: die Fläche ist der Weg12345510152025t in sv in m/sv = 15 m/s, unveränderts = v · t = 60 mWaagerecht heißt hier: gleichbleibendes Tempo

Im Geschwindigkeit-Zeit-Diagramm bedeutet dieselbe waagerechte Linie das Gegenteil: gleichbleibendes Tempo. Und die getönte Fläche darunter ist der zurückgelegte Weg, denn 15 m/s mal 4 s ergibt genau 60 m.

Geschwindigkeiten berechnen und umrechnen

a) Ein Radfahrer legt 7,2 km7{,}2\,\text{km} in 24 min24\,\text{min} zurück. Wie groß ist seine Durchschnittsgeschwindigkeit in kmh\frac{\text{km}}{\text{h}} und in ms\frac{\text{m}}{\text{s}}?

b) Wie weit kommt er in 2 h2\,\text{h} bei dieser Geschwindigkeit?

c) Wie lange braucht er für 30 km30\,\text{km}?

  1. 1

    a) Erst die Einheiten passend machen. Für kmh\frac{\text{km}}{\text{h}} muss die Zeit in Stunden stehen:

    t=24 min=2460 h=0,4 ht = 24\,\text{min} = \frac{24}{60}\,\text{h} = 0{,}4\,\text{h}
  2. 2

    Einsetzen:

    v=st=7,2 km0,4 h=18 kmhv = \frac{s}{t} = \frac{7{,}2\,\text{km}}{0{,}4\,\text{h}} = 18\,\frac{\text{km}}{\text{h}}
  3. 3

    In ms\frac{\text{m}}{\text{s}} umrechnen (durch 3,63{,}6 teilen):

    v=183,6 ms=5 msv = \frac{18}{3{,}6}\,\frac{\text{m}}{\text{s}} = 5\,\frac{\text{m}}{\text{s}}

    Plausibilitätsprüfung: 18 kmh18\,\frac{\text{km}}{\text{h}} ist eine typische Radfahrgeschwindigkeit, und 5 ms5\,\frac{\text{m}}{\text{s}} passt zur Tabelle.

  4. 4

    b) Nach ss umstellen:

    s=v⋅t=18 kmh⋅2 h=36 kms = v \cdot t = 18\,\frac{\text{km}}{\text{h}} \cdot 2\,\text{h} = 36\,\text{km}

    Die Einheit h kürzt sich weg, km bleibt übrig.

  5. 5

    c) Nach tt umstellen:

    t=sv=30 km18 kmh≈1,67 ht = \frac{s}{v} = \frac{30\,\text{km}}{18\,\frac{\text{km}}{\text{h}}} \approx 1{,}67\,\text{h}

    In eine lesbare Form bringen: 0,67 h⋅60=40 min0{,}67\,\text{h} \cdot 60 = 40\,\text{min}, also etwa 1 h 40 min1\,\text{h}\ 40\,\text{min}.

    🔴 Nicht „1,671{,}67 Stunden" als „eine Stunde 6767 Minuten" lesen. Die Zeit ist nicht dezimal aufgebaut; der Nachkommateil muss mit 6060 multipliziert werden.

a) 18 kmh=5 ms18\,\frac{\text{km}}{\text{h}} = 5\,\frac{\text{m}}{\text{s}} b) 36 km36\,\text{km} c) rund 1 h 40 min1\,\text{h}\ 40\,\text{min}.

Ein s-t-Diagramm auswerten

Ein s-t-Diagramm zeigt für einen Wanderer: von 00 bis 2 h2\,\text{h} eine Gerade von 00 auf 8 km8\,\text{km}, von 22 bis 3 h3\,\text{h} eine waagerechte Linie bei 8 km8\,\text{km}, von 33 bis 4 h4\,\text{h} eine Gerade von 8 km8\,\text{km} auf 14 km14\,\text{km}.

a) Beschreibe die drei Abschnitte.

b) Berechne die Geschwindigkeit in jedem Abschnitt.

c) Berechne die Durchschnittsgeschwindigkeit der gesamten Wanderung.

d) Warum ist sie nicht der Mittelwert der drei Einzelgeschwindigkeiten?

  1. 1

    a) Abschnitt 1 (00 bis 2 h2\,\text{h}): steigende Gerade, also gleichförmige Bewegung vom Start weg.

    Abschnitt 2 (22 bis 3 h3\,\text{h}): waagerechte Linie. Der Weg ändert sich nicht, der Wanderer rastet.

    Abschnitt 3 (33 bis 4 h4\,\text{h}): wieder steigende Gerade, aber flacher als Abschnitt 1, also langsamer.

  2. 2

    b) Die Steigung ist die Geschwindigkeit.

    v1=8 km−0 km2 h−0 h=4 kmhv_1 = \frac{8\,\text{km} - 0\,\text{km}}{2\,\text{h} - 0\,\text{h}} = 4\,\frac{\text{km}}{\text{h}} v2=8 km−8 km3 h−2 h=0 kmhv_2 = \frac{8\,\text{km} - 8\,\text{km}}{3\,\text{h} - 2\,\text{h}} = 0\,\frac{\text{km}}{\text{h}} v3=14 km−8 km4 h−3 h=6 kmhv_3 = \frac{14\,\text{km} - 8\,\text{km}}{4\,\text{h} - 3\,\text{h}} = 6\,\frac{\text{km}}{\text{h}}

    Halt: Abschnitt 3 ist mit 6 kmh6\,\frac{\text{km}}{\text{h}} schneller als Abschnitt 1. Der Graph steigt dort auf kürzerer Zeitachse stärker; die scheinbar flachere Wirkung täuscht, wenn man die Achsenskalierung nicht beachtet. Genau darum rechnet man nach, statt zu schätzen.

  3. 3

    c) Durchschnitt über die gesamte Wanderung:

    v‾=sgestges=14 km4 h=3,5 kmh\overline{v} = \frac{s_{\text{ges}}}{t_{\text{ges}}} = \frac{14\,\text{km}}{4\,\text{h}} = 3{,}5\,\frac{\text{km}}{\text{h}}
  4. 4

    d) Der Mittelwert der Einzelgeschwindigkeiten wäre

    4+0+63 kmh≈3,33 kmh\frac{4 + 0 + 6}{3}\,\frac{\text{km}}{\text{h}} \approx 3{,}33\,\frac{\text{km}}{\text{h}}

    also nicht dasselbe.

    Der Grund: Die Abschnitte dauern verschieden lang. Abschnitt 1 zählt mit zwei Stunden doppelt so stark wie die anderen. Ein einfacher Mittelwert behandelt sie aber gleich.

    🔴 Die Durchschnittsgeschwindigkeit ist immer GesamtwegGesamtzeit\frac{\text{Gesamtweg}}{\text{Gesamtzeit}}, nie der Mittelwert von Geschwindigkeiten. Nur wenn alle Abschnitte gleich lang dauern, stimmen beide zufällig überein.

v1=4v_1 = 4, v2=0v_2 = 0, v3=6 kmhv_3 = 6\,\frac{\text{km}}{\text{h}}; Durchschnitt 3,5 kmh3{,}5\,\frac{\text{km}}{\text{h}}, berechnet aus Gesamtweg durch Gesamtzeit.

Typischer Fehler

„Die Durchschnittsgeschwindigkeit ist der Mittelwert der einzelnen Geschwindigkeiten."

Nur wenn alle Abschnitte gleich lange dauern. Sonst ist es falsch, und der Fehler kann erheblich sein.

Ein deutliches Beispiel: Jemand fährt 1 km1\,\text{km} mit 10 kmh10\,\frac{\text{km}}{\text{h}} und danach 1 km1\,\text{km} mit 90 kmh90\,\frac{\text{km}}{\text{h}}.

Der naive Mittelwert wäre 10+902=50 kmh\frac{10 + 90}{2} = 50\,\frac{\text{km}}{\text{h}}.

Richtig gerechnet:

t1=1 km10 kmh=0,1 h,t2=1 km90 kmh≈0,011 ht_1 = \frac{1\,\text{km}}{10\,\frac{\text{km}}{\text{h}}} = 0{,}1\,\text{h}, \qquad t_2 = \frac{1\,\text{km}}{90\,\frac{\text{km}}{\text{h}}} \approx 0{,}011\,\text{h} v‾=2 km0,111 h≈18 kmh\overline{v} = \frac{2\,\text{km}}{0{,}111\,\text{h}} \approx 18\,\frac{\text{km}}{\text{h}}

Statt 5050 kommen 1818 heraus. Der Unterschied ist gewaltig.

Warum: Auf dem langsamen Kilometer verbringt man neunmal so viel Zeit wie auf dem schnellen. Die langsame Phase prägt den Durchschnitt deshalb viel stärker. Ein einfacher Mittelwert gewichtet dagegen beide gleich.

Die immer richtige Regel:

v‾=GesamtwegGesamtzeit\overline{v} = \frac{\text{Gesamtweg}}{\text{Gesamtzeit}}

Erst alle Wege addieren, dann alle Zeiten addieren, dann teilen. Nie Geschwindigkeiten mitteln.

Praktische Folge: Wer auf halber Strecke im Stau steht, holt den Zeitverlust auch mit hohem Tempo kaum auf. Genau das rechnet dieses Beispiel vor.

Übung 1

leicht

a) Rechne um: 72 kmh72\,\frac{\text{km}}{\text{h}} in ms\frac{\text{m}}{\text{s}} und 25 ms25\,\frac{\text{m}}{\text{s}} in kmh\frac{\text{km}}{\text{h}}.

b) Ein Zug fährt mit 160 kmh160\,\frac{\text{km}}{\text{h}}. Welche Strecke legt er in 45 min45\,\text{min} zurück?

c) Wie lange braucht Licht (3⋅108 ms3 \cdot 10^8\,\frac{\text{m}}{\text{s}}) für 300 km300\,\text{km}?

Tipp anzeigen

b) 45 min=0,75 h45\,\text{min} = 0{,}75\,\text{h}.

Lösung anzeigen

a) 72:3,6=20 ms25⋅3,6=90 kmh72 : 3{,}6 = 20\,\frac{\text{m}}{\text{s}} \qquad 25 \cdot 3{,}6 = 90\,\frac{\text{km}}{\text{h}}

b) s=v⋅t=160 kmh⋅0,75 h=120 kms = v \cdot t = 160\,\frac{\text{km}}{\text{h}} \cdot 0{,}75\,\text{h} = 120\,\text{km}

c) Erst umrechnen: 300 km=300000 m300\,\text{km} = 300000\,\text{m}.

t=sv=300000 m3⋅108 ms=10−3 s=1 mst = \frac{s}{v} = \frac{300000\,\text{m}}{3 \cdot 10^8\,\frac{\text{m}}{\text{s}}} = 10^{-3}\,\text{s} = 1\,\text{ms}

Licht braucht also eine Tausendstelsekunde für 300 km300\,\text{km}. Deshalb sind Verzögerungen bei Telefonaten innerhalb Europas nicht spürbar, bei Satellitenverbindungen dagegen schon.

Detaillierte Schritterklärung anzeigen

Hier wird jeder Schritt einzeln erklärt, vor allem, warum er gemacht wird.

Erklärungstiefe

✦ Empfohlen: Standard – Die normale Erklärungstiefe passt zum Einstieg.

  1. 1

    Gegeben und Gesucht in drei Teilaufgaben

    a) zwei Geschwindigkeiten umrechnen, b) Zug mit 160 kmh160\,\frac{\text{km}}{\text{h}} für 45 min45\,\text{min}, gesucht der Weg, c) Licht mit 3⋅108 ms3 \cdot 10^8\,\frac{\text{m}}{\text{s}} für 300 km300\,\text{km}, gesucht die Zeit.

  2. 2

    a) Zwischen den beiden Geschwindigkeitseinheiten wechseln

    1 kmh=1000 m3600 s=13,6 ms1\,\frac{\text{km}}{\text{h}} = \frac{1000\,\text{m}}{3600\,\text{s}} = \frac{1}{3{,}6}\,\frac{\text{m}}{\text{s}}. Von kmh\frac{\text{km}}{\text{h}} nach ms\frac{\text{m}}{\text{s}} wird also durch 3,63{,}6 geteilt, in der Gegenrichtung multipliziert.

    72:3,6=20 ms72 : 3{,}6 = 20\,\frac{\text{m}}{\text{s}}; 25⋅3,6=90 kmh25 \cdot 3{,}6 = 90\,\frac{\text{km}}{\text{h}}

    Zwischenergebnis

    20 ms20\,\frac{\text{m}}{\text{s}} und 90 kmh90\,\frac{\text{km}}{\text{h}}

  3. 3

    Die eine Formel und ihre beiden Umstellungen

    Bei gleichförmiger Bewegung gilt v=stv = \frac{s}{t}, umgestellt s=v⋅ts = v \cdot t und t=svt = \frac{s}{v}. Welche Form man braucht, entscheidet allein, welche Größe gesucht ist.

  4. 4

    b) und c) Weg des Zuges, Laufzeit des Lichts

    b) 45 min=0,75 h45\,\text{min} = 0{,}75\,\text{h} passt zur Geschwindigkeit in kmh\frac{\text{km}}{\text{h}}. c) 300 km=300000 m300\,\text{km} = 300000\,\text{m} passt zur Lichtgeschwindigkeit in ms\frac{\text{m}}{\text{s}}.

    s=160 kmh⋅0,75 h=120 kms = 160\,\frac{\text{km}}{\text{h}} \cdot 0{,}75\,\text{h} = 120\,\text{km}; t=300000 m3⋅108 ms=10−3 st = \frac{300000\,\text{m}}{3 \cdot 10^8\,\frac{\text{m}}{\text{s}}} = 10^{-3}\,\text{s}

    Zwischenergebnis

    s=120 kms = 120\,\text{km}; t=1 mst = 1\,\text{ms}

  5. 5

    Ergebnisse deuten: eine Tausendstelsekunde quer durch Deutschland

    Licht braucht für 300 km300\,\text{km} nur eine Tausendstelsekunde. Deshalb sind Verzögerungen bei Telefonaten innerhalb Europas nicht spürbar, bei Satellitenverbindungen dagegen schon.

Übung 2

mittel

Ein Auto fährt 30 km30\,\text{km} auf der Landstraße mit 60 kmh60\,\frac{\text{km}}{\text{h}} und danach 90 km90\,\text{km} auf der Autobahn mit 120 kmh120\,\frac{\text{km}}{\text{h}}.

a) Wie lange dauert jede Teilstrecke?

b) Berechne die Durchschnittsgeschwindigkeit der Gesamtfahrt.

c) Vergleiche mit dem Mittelwert der beiden Geschwindigkeiten und erkläre den Unterschied.

Tipp anzeigen

b) Erst Gesamtweg und Gesamtzeit bestimmen.

Lösung anzeigen

a) t1=30 km60 kmh=0,5 h=30 mint_1 = \frac{30\,\text{km}}{60\,\frac{\text{km}}{\text{h}}} = 0{,}5\,\text{h} = 30\,\text{min}

t2=90 km120 kmh=0,75 h=45 mint_2 = \frac{90\,\text{km}}{120\,\frac{\text{km}}{\text{h}}} = 0{,}75\,\text{h} = 45\,\text{min}

b) sges=30 km+90 km=120 kms_{\text{ges}} = 30\,\text{km} + 90\,\text{km} = 120\,\text{km}

tges=0,5 h+0,75 h=1,25 ht_{\text{ges}} = 0{,}5\,\text{h} + 0{,}75\,\text{h} = 1{,}25\,\text{h} v‾=120 km1,25 h=96 kmh\overline{v} = \frac{120\,\text{km}}{1{,}25\,\text{h}} = 96\,\frac{\text{km}}{\text{h}}

c) Der Mittelwert wäre 60+1202=90 kmh\frac{60 + 120}{2} = 90\,\frac{\text{km}}{\text{h}}, also 6 kmh6\,\frac{\text{km}}{\text{h}} zu wenig.

Grund: Die schnelle Teilstrecke dauert länger (45 min45\,\text{min} gegen 30 min30\,\text{min}) und prägt deshalb den Durchschnitt stärker. Der einfache Mittelwert gewichtet beide Abschnitte gleich, obwohl sie verschieden lange dauern.

Hier liegt der richtige Wert über dem Mittelwert, weil die schnellere Phase länger dauert. Im Gegenbeispiel aus dem Fehlerkasten war es umgekehrt. Nur GesamtwegGesamtzeit\frac{\text{Gesamtweg}}{\text{Gesamtzeit}} liefert in beiden Fällen das Richtige.

Detaillierte Schritterklärung anzeigen

Hier wird jeder Schritt einzeln erklärt, vor allem, warum er gemacht wird.

Erklärungstiefe

✦ Empfohlen: Standard – Die normale Erklärungstiefe passt zum Einstieg.

  1. 1

    Gegeben und Gesucht bei der zweiteiligen Fahrt

    Gegeben: 30 km30\,\text{km} mit 60 kmh60\,\frac{\text{km}}{\text{h}} und danach 90 km90\,\text{km} mit 120 kmh120\,\frac{\text{km}}{\text{h}}. Gesucht: a) beide Teilzeiten, b) die Durchschnittsgeschwindigkeit, c) ein Vergleich mit dem einfachen Mittelwert.

  2. 2

    b) Die Definition der Durchschnittsgeschwindigkeit

    Es gilt v‾=sgestges\overline{v} = \frac{s_{\text{ges}}}{t_{\text{ges}}}: Gesamtweg durch Gesamtzeit, nicht der Mittelwert der Einzelgeschwindigkeiten.

  3. 3

    a) und b) Teilzeiten und Durchschnittsgeschwindigkeit

    Für jede Teilstrecke die Zeit über t=svt = \frac{s}{v}, dann beide Wege und beide Zeiten addieren und teilen.

    t1=30 km60 kmh=0,5 ht_1 = \frac{30\,\text{km}}{60\,\frac{\text{km}}{\text{h}}} = 0{,}5\,\text{h}; t2=90 km120 kmh=0,75 ht_2 = \frac{90\,\text{km}}{120\,\frac{\text{km}}{\text{h}}} = 0{,}75\,\text{h}; v‾=120 km1,25 h=96 kmh\overline{v} = \frac{120\,\text{km}}{1{,}25\,\text{h}} = 96\,\frac{\text{km}}{\text{h}}

    Zwischenergebnis

    v‾=96 kmh\overline{v} = 96\,\frac{\text{km}}{\text{h}}

  4. 4

    c) Ergebnis deuten: warum der Mittelwert danebenliegt

    Der Mittelwert wäre 60+1202=90 kmh\frac{60 + 120}{2} = 90\,\frac{\text{km}}{\text{h}}, also 6 kmh6\,\frac{\text{km}}{\text{h}} zu wenig. Grund: Die schnelle Teilstrecke dauert länger (45 min45\,\text{min} gegen 30 min30\,\text{min}) und prägt den Durchschnitt deshalb stärker.

Übung 3

schwer

a) Erkläre, warum die Aussage „Der Fahrgast im ICE bewegt sich nicht" richtig und falsch sein kann.

b) In einem v-t-Diagramm ist die Geschwindigkeit von 00 bis 10 s10\,\text{s} konstant 8 ms8\,\frac{\text{m}}{\text{s}}, danach bis 20 s20\,\text{s} konstant 2 ms2\,\frac{\text{m}}{\text{s}}. Bestimme den Gesamtweg.

c) Zeichne (beschreibe) das zugehörige s-t-Diagramm.

d) Ein Blitz schlägt 3 km3\,\text{km} entfernt ein. Nach welcher Zeit hörst du den Donner (vSchall=343 msv_{\text{Schall}} = 343\,\frac{\text{m}}{\text{s}})? Warum siehst du den Blitz praktisch sofort?

Tipp anzeigen

b) Die Fläche unter dem v-t-Graphen ist der Weg.

Lösung anzeigen

a) Weil die Aussage ohne Bezugskörper unvollständig ist.

  • Gegenüber dem Waggon ruht er tatsächlich: Sein Abstand zum Sitz ändert sich nicht.
  • Gegenüber dem Bahndamm bewegt er sich mit der Zuggeschwindigkeit.
  • Gegenüber der Sonne kommt noch die Bahnbewegung der Erde hinzu.

Alle drei Aussagen sind gleichzeitig richtig, weil sie sich auf verschiedene Bezugskörper beziehen. Bewegung ist keine Eigenschaft, die ein Körper allein besitzt.

b) Der Weg ist die Fläche unter dem Graphen, hier zwei Rechtecke:

s1=8 ms⋅10 s=80 ms_1 = 8\,\frac{\text{m}}{\text{s}} \cdot 10\,\text{s} = 80\,\text{m} s2=2 ms⋅10 s=20 ms_2 = 2\,\frac{\text{m}}{\text{s}} \cdot 10\,\text{s} = 20\,\text{m} sges=100 ms_{\text{ges}} = 100\,\text{m}

c) Das s-t-Diagramm besteht aus zwei Geraden mit einem Knick:

  • Von 00 bis 10 s10\,\text{s} steigt der Weg gleichmäßig von 0 m0\,\text{m} auf 80 m80\,\text{m} (steile Gerade, Steigung 8 ms8\,\frac{\text{m}}{\text{s}}).
  • Von 1010 bis 20 s20\,\text{s} steigt er weiter von 80 m80\,\text{m} auf 100 m100\,\text{m} (flachere Gerade, Steigung 2 ms2\,\frac{\text{m}}{\text{s}}).

Wichtig: Der Graph fällt nicht und wird auch nicht waagerecht. Der Körper wird nur langsamer, bewegt sich aber weiter vorwärts. Die Sprungstelle liegt im v-t-Diagramm, im s-t-Diagramm ist es nur ein Knick.

d) t=sv=3000 m343 ms≈8,7 st = \frac{s}{v} = \frac{3000\,\text{m}}{343\,\frac{\text{m}}{\text{s}}} \approx 8{,}7\,\text{s}

Den Blitz siehst du praktisch sofort, weil Licht mit 3⋅108 ms3 \cdot 10^8\,\frac{\text{m}}{\text{s}} nur

t=3000 m3⋅108 ms=10−5 s=0,01 mst = \frac{3000\,\text{m}}{3 \cdot 10^8\,\frac{\text{m}}{\text{s}}} = 10^{-5}\,\text{s} = 0{,}01\,\text{ms}

braucht, also rund 870000-mal kürzer. Diese Zeit kann kein Mensch wahrnehmen.

Daraus die bekannte Faustregel: Sekunden zwischen Blitz und Donner zählen und durch 33 teilen ergibt die Entfernung in Kilometern. Hier: 8,7:3≈2,9 km8{,}7 : 3 \approx 2{,}9\,\text{km}, was gut zu den 3 km3\,\text{km} passt.

Detaillierte Schritterklärung anzeigen

Hier wird jeder Schritt einzeln erklärt, vor allem, warum er gemacht wird.

Erklärungstiefe

✦ Empfohlen: Standard – Die normale Erklärungstiefe passt zum Einstieg.

  1. 1

    Gegeben und Gesucht in vier sehr verschiedenen Teilaufgaben

    a) verlangt eine Begründung ohne Zahlen. b) gibt zwei Abschnitte im v-t-Diagramm (8 ms8\,\frac{\text{m}}{\text{s}} für 10 s10\,\text{s}, dann 2 ms2\,\frac{\text{m}}{\text{s}} für 10 s10\,\text{s}), gesucht ist der Gesamtweg. c) verlangt das zugehörige s-t-Diagramm. d) gibt 3 km3\,\text{km} und vSchall=343 msv_{\text{Schall}} = 343\,\frac{\text{m}}{\text{s}}, gesucht ist die Zeit.

  2. 2

    a) Warum die Aussage ohne Bezugskörper unvollständig ist

    Gegenüber dem Waggon ruht der Fahrgast, sein Abstand zum Sitz ändert sich nicht. Gegenüber dem Bahndamm bewegt er sich mit der Zuggeschwindigkeit. Gegenüber der Sonne kommt die Bahnbewegung der Erde hinzu.

  3. 3

    b) Der Weg als Fläche unter dem v-t-Graphen

    Bei gleichförmiger Bewegung ist s=v⋅ts = v \cdot t, und das ist genau die Fläche eines Rechtecks der Höhe vv und der Breite tt. Aus zwei Abschnitten werden zwei Rechtecke.

  4. 4

    b) und c) Gesamtweg und die Gestalt des s-t-Diagramms

    Zwei Rechtecke: s1=8 ms⋅10 s=80 ms_1 = 8\,\frac{\text{m}}{\text{s}} \cdot 10\,\text{s} = 80\,\text{m} und s2=2 ms⋅10 s=20 ms_2 = 2\,\frac{\text{m}}{\text{s}} \cdot 10\,\text{s} = 20\,\text{m}, zusammen 100 m100\,\text{m}.

    s1=8 ms⋅10 s=80 ms_1 = 8\,\frac{\text{m}}{\text{s}} \cdot 10\,\text{s} = 80\,\text{m}; s2=2 ms⋅10 s=20 ms_2 = 2\,\frac{\text{m}}{\text{s}} \cdot 10\,\text{s} = 20\,\text{m}

    Zwischenergebnis

    sges=100 ms_{\text{ges}} = 100\,\text{m}

  5. 5

    d) Die Entfernung in Meter

    Die Schallgeschwindigkeit ist in ms\frac{\text{m}}{\text{s}} gegeben, deshalb muss die Entfernung in Metern stehen: 3 km=3000 m3\,\text{km} = 3000\,\text{m}.

    3 km=3000 m3\,\text{km} = 3000\,\text{m}

    Zwischenergebnis

    s=3000 ms = 3000\,\text{m}

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    d) Ergebnis deuten: die Drei-Sekunden-Regel

    t=3000 m343 ms≈8,7 st = \frac{3000\,\text{m}}{343\,\frac{\text{m}}{\text{s}}} \approx 8{,}7\,\text{s} für den Donner. Der Blitz braucht dagegen nur 3000 m3⋅108 ms=10−5 s\frac{3000\,\text{m}}{3 \cdot 10^8\,\frac{\text{m}}{\text{s}}} = 10^{-5}\,\text{s}, rund 870000-mal kürzer und für keinen Menschen wahrnehmbar.

Zusammenfassung

Bewegung ist die Ortsveränderung gegenüber einem Bezugskörper, und ohne diesen Bezug ist die Frage nach Bewegung gar nicht beantwortbar. Die Geschwindigkeit v=stv = \frac{s}{t} gibt an, welcher Weg in welcher Zeit zurückgelegt wird; zwischen kmh\frac{\text{km}}{\text{h}} und ms\frac{\text{m}}{\text{s}} vermittelt der Faktor 3,63{,}6. Dabei ist streng zwischen dem Durchschnitt über eine Strecke und dem Momentanwert in einem Augenblick zu unterscheiden, und der Durchschnitt ist immer Gesamtweg durch Gesamtzeit, nie der Mittelwert von Geschwindigkeiten. Bei gleichförmiger Bewegung bleibt die Geschwindigkeit konstant, es gilt s=v⋅ts = v \cdot t, und im s-t-Diagramm entsteht eine Gerade, deren Steigung die Geschwindigkeit ist. Im v-t-Diagramm wird daraus eine waagerechte Linie, unter der die Fläche den zurückgelegten Weg angibt.