Das Koordinatensystem

Was ist gesucht? Zu jedem Punkt die Lage im Koordinatensystem und der zugehörige Quadrant.

Gehe immer gleich vor: erste Zahl waagerecht, zweite Zahl senkrecht, vom Ursprung aus. Und achte auf die Vorzeichen: Minus heißt Gegenrichtung.

Schritt 1: Punkt $A(2 \mid 3)$.

$x = 2$ → zwei Schritte nach rechts. $y = 3$ → drei Schritte nach oben.

Beide Koordinaten sind positiv → rechts oben → Quadrant I.

Schritt 2: Punkt $B(-4 \mid 1)$.

$x = -4$ → vier Schritte nach links (Minus kehrt die Richtung um). $y = 1$ → einer nach oben.

Links oben bedeutet $x$ negativ, $y$ positiv → Quadrant II.

Schritt 3: Punkt $C(-2 \mid -3)$.

Zwei nach links, drei nach unten. Beide Koordinaten negativ → links unten → Quadrant III.

Schritt 4: Punkt $D(0 \mid -2)$, der Sonderfall.

$x = 0$ heißt: kein Schritt zur Seite. Der Punkt bleibt auf der senkrechten Achse und geht nur zwei nach unten.

Damit liegt $D$ auf der y-Achse, und die gehört zu keinem Quadranten, sie ist ja die Grenze zwischen zweien.

Schritt 5: Kontrolle über die Vorzeichen.

Du kannst den Quadranten auch ohne Zeichnung bestimmen, allein aus den Vorzeichen:

Prüfe damit deine Zeichnung gegen, beide Wege müssen dasselbe ergeben.

Was ist gegeben, was ist gesucht?

Gegeben sind drei Eckpunkte, gesucht ist der vierte. Ohne die Eigenschaften eines Rechtecks wäre die Aufgabe nicht lösbar, genau die musst du also nutzen.

Zeichne die drei Punkte zuerst auf. Oft sieht man den vierten dann schon.

Schritt 1: Die Struktur erkennen.

Vergleiche die Koordinaten miteinander:

• $A(1 \mid 1)$ und $B(5 \mid 1)$ haben dieselbe $y$-Koordinate → sie liegen auf gleicher Höhe, bilden also die untere Seite.
• $B(5 \mid 1)$ und $C(5 \mid 4)$ haben dieselbe $x$-Koordinate → sie liegen übereinander, bilden die rechte Seite.

Schritt 2: Überlegen, wo $D$ liegen muss.

Im Rechteck liegt $D$ gegenüber von $B$, also links oben.

Die Seite $\overline{AD}$ muss parallel zu $\overline{BC}$ verlaufen (beide senkrecht), und $\overline{DC}$ parallel zu $\overline{AB}$ (beide waagerecht).

Schritt 3: Die Koordinaten von $D$ ablesen.

• $D$ liegt über $A$ → gleiche $x$-Koordinate wie $A$, also $x = 1$.
• $D$ liegt neben $C$ auf gleicher Höhe → gleiche $y$-Koordinate wie $C$, also $y = 4$.

Schritt 4: Die Seitenlängen prüfen.

Gegenüberliegende Seiten eines Rechtecks müssen gleich lang sein:

• $\overline{AB}$: von $x=1$ bis $x=5$ → $4$ Einheiten. $\overline{DC}$: ebenfalls von $1$ bis $5$ → $4$ ✓
• $\overline{AD}$: von $y=1$ bis $y=4$ → $3$ Einheiten. $\overline{BC}$: ebenfalls $3$ ✓

Schritt 5: Auch die Winkel prüfen.

Alle Seiten verlaufen entweder waagerecht oder senkrecht, und waagerecht trifft senkrecht immer im rechten Winkel.

Damit sind alle vier Winkel $90°$, und die Figur ist wirklich ein Rechteck ✓

Was ist gesucht? Zwei Bildpunkte. Ein Spiegelpunkt liegt immer gleich weit von der Spiegelachse entfernt wie das Original, nur auf der anderen Seite.

Statt eine Regel auswendig anzuwenden, überlege bei jeder Teilaufgabe: Welche Koordinate misst hier den Abstand zur Achse?

Teil a): Schritt 1: Den Abstand zur x-Achse bestimmen.

$P(3 \mid -2)$ liegt $2$ Einheiten unter der x-Achse. Das sagt die $y$-Koordinate.

Teil a): Schritt 2: Auf die andere Seite klappen.

Gleich weit entfernt, aber oberhalb: das ist $y = +2$.

Die $x$-Koordinate bleibt, denn beim Umklappen nach oben bewegt sich der Punkt nur senkrecht:

Teil b): Schritt 3: Den Abstand zur y-Achse bestimmen.

Jetzt ist die andere Achse der Spiegel. Der Abstand dorthin wird von der $x$-Koordinate angegeben: $3$ Einheiten rechts von der y-Achse.

Teil b): Schritt 4: Umklappen.

Gleich weit, aber links: $x = -3$. Die $y$-Koordinate bleibt diesmal unverändert:

Schritt 5: Kontrolle.

Prüfe bei beiden Ergebnissen: Hat sich genau eine Koordinate geändert? ✓

Und stimmt die Richtung? $P$ lag unten rechts (Quadrant IV). Nach der Spiegelung an der x-Achse liegt $P'$ oben rechts (I), nach der an der y-Achse liegt $P''$ unten links (III). Beides passt zum Umklappen.