Zum Inhalt springen
Zurück zur Themenübersicht

Funktionen

Direkte Proportionalität und Dreisatz

Doppelt so viel, doppelt so teuer: proportionale Zuordnungen erkennen und mit dem Dreisatz rechnen.

Benötigte Grundlagen

Diese Themen kommen in diesem Kapitel vor und wurden vorher schon erklärt. Wenn dir eines davon unsicher vorkommt, frisch es kurz auf, sonst leg direkt los.

Einführung

5 Brötchen kosten 2 €, was kosten 8? Solche Aufgaben löst du künftig in drei Zeilen: mit dem Dreisatz, dem vielleicht nützlichsten Rechenwerkzeug des Alltags. Er funktioniert aber nur, wenn die direkt proportional ist, und genau das prüfen zu können, unterscheidet den Profi vom Raterei-Rechner.

Das kannst du nach diesem Kapitel

  • direkt proportionale erkennen („je mehr, desto mehr, im gleichen Verhältnis").

  • Proportionalität mit der Quotientengleichheit nachweisen.

  • proportionale Zuordnungen in Tabelle, (y=k⋅xy = k \cdot x) und Graph (Ursprungsgerade) darstellen.

  • fehlende Größen mit dem Dreisatz berechnen.

Was heißt direkt proportional?

Eine ist direkt proportional, wenn zum Doppelten, Dreifachen, Halben der einen Größe das Doppelte, Dreifache, Halbe der anderen gehört.

Brötchen12510
Preis (€)0,400,802,004,00

Der Nachweis: Quotientengleichheit: Dividiere in jeder Spalte „unten durch oben":

0,401=0,802=2,005=4,0010=0,40\frac{0{,}40}{1} = \frac{0{,}80}{2} = \frac{2{,}00}{5} = \frac{4{,}00}{10} = 0{,}40

Ist der Quotient überall gleich, liegt Proportionalität vor. Der gemeinsame Wert heißt Proportionalitätsfaktor kk, und es gilt y=k⋅xy = k \cdot x.

Der Graph ist dann eine Gerade durch den Ursprung (siehe Bild). Beides lässt sich begründen:

  • Warum durch den Ursprung? Weil null Brötchen null Euro kosten, das Wertepaar (0∣0)(0\mid0) gehört immer dazu.
  • Warum eine Gerade? Weil jedes weitere Brötchen denselben Betrag draufschlägt: gleiche Schritte nach rechts, gleiche Schritte nach oben. Genau daran hast du im vorigen Kapitel die Kerze erkannt. Dort war der Abfall immer gleich groß, und deshalb lagen alle Punkte auf einer Geraden.
xy123412345678

Bei direkter Proportionalität liegen alle Punkte auf einer Geraden durch den Ursprung (0∣0)(0\mid0), doppelt so viel xx bedeutet doppelt so viel yy, der Quotient y:xy:x ist konstant (hier 22).

Der Dreisatz

Der Dreisatz rechnet über den Umweg über die 1.

Beispiel: 55 Brötchen kosten 2,00 €. Was kosten 88?

BrötchenPreis
Ausgangslage52,00 €
:5: 5 → auf die 110,40 €
⋅ 8\cdot\, 8 → zum Ziel83,20 €

Beide Spalten werden mit derselben Zahl dividiert bzw. multipliziert.

Vorsicht: nicht alles ist proportional!

Der Dreisatz ist so praktisch, dass man ihn gern auf alles anwendet. Genau davor sei gewarnt: Er gilt nur bei proportionalen .

Drei Gegenbeispiele

Alter und Größe: Ein 1010-jähriges Kind ist nicht doppelt so groß wie ein 55-jähriges. Wachstum verläuft nicht proportional zur Zeit.

Maler und Arbeitszeit: 2020 Maler brauchen für ein Haus nicht die doppelte Zeit von 1010 Malern, sondern die halbe. Hier gilt „je mehr, desto weniger". Man nennt das umgekehrt proportional.

Handytarif mit Grundgebühr: Kostet der Vertrag 1010 Euro Grundgebühr plus 11 Euro pro GB, dann zahlst du bei 11 GB 1111 Euro, bei 22 GB aber nur 1212 Euro und nicht das Doppelte, also nicht 2222 Euro. Der Graph startet nicht im Ursprung, bei 00 GB zahlst du schon 1010 Euro.

Der Test vor dem Rechnen

Frage dich immer zuerst: Ergibt „doppelt so viel xx heißt doppelt so viel yy" hier Sinn?

Und als zweite Probe: Was passiert bei null? Bei echter Proportionalität muss 00 auf 00 führen, null Brötchen kosten null Euro. Führt 00 auf einen anderen Wert (wie bei der Grundgebühr), ist die Zuordnung nicht proportional.

Diese zehn Sekunden Prüfung verhindern die häufigste Fehlerquelle bei Sachaufgaben: einen Dreisatz dort anzuwenden, wo er nicht hingehört.

Erkläre es selbst: Warum musst du beim Dreisatz immer beide Spalten mit derselben Zahl multiplizieren oder dividieren, was ginge schief, wenn du nur eine änderst?

Formuliere es erst selbst, am besten an einem eigenen Beispiel.

Worum es geht: Proportionalität heißt, dass der Quotient y:xy : x überall gleich ist. Er ist der Faktor kk, in Sachaufgaben etwa der Kilopreis oder die Geschwindigkeit. Diese Zahl darfst du beim Rechnen nicht verändern.

Was schiefginge: Nimm 33 kg Äpfel für 5,405{,}40 €. Teilst du nur die linke Spalte durch 33, steht plötzlich

1 kg⟼5,40 €1\,\text{kg} \quad\longmapsto\quad 5{,}40\,€

Das wäre ein Kilopreis von 5,405{,}40 € statt 1,801{,}80 €, du hättest die Äpfel verdreifacht im Preis, ohne es zu merken. Der Quotient hat sich geändert, und damit rechnest du nicht mehr in derselben .

Behandelst du beide Spalten gleich, bleibt der Quotient erhalten:

5,403=1,801=12,607=1,80\frac{5{,}40}{3} = \frac{1{,}80}{1} = \frac{12{,}60}{7} = 1{,}80

Und das kennst du schon. Genau so verhältst du dich beim und von : und mit derselben Zahl. Dann ändert sich der Wert des Bruchs nicht, nur seine Schreibweise. Der Dreisatz macht nichts anderes mit dem Bruch yx\frac{y}{x}.

Deine Erklärung darf anders klingen. Wichtig ist der Kern: Beide Spalten gleich behandeln heißt, den Quotienten unangetastet lassen, und der Quotient ist die Zuordnung.

Klassischer Dreisatz

Für 3 kg Äpfel bezahlt man 5,405{,}40 €. Was kosten 7 kg?

  1. 1

    Zuerst prüfen: Ist die überhaupt proportional? Doppelt so viele Äpfel kosten doppelt so viel. Das ist bei Ware nach Gewicht plausibel ✓

    Und die Null-Probe: 00 kg kosten 00 € ✓

    Der Dreisatz ist also erlaubt.

    Vorüberlegung: 77 kg sind mehr als doppelt so viel wie 33 kg. Der Preis muss also über 10,8010{,}80 € liegen.

  2. 2

    Schritt 1: Die Angaben ordnen. Am übersichtlichsten in einer Tabelle:

    ÄpfelPreis
    gegeben33 kg5,405{,}40 €
    gesucht77 kg??

    Achte darauf, welche Größe in welcher Spalte steht: Verwechslungen hier führen zu völlig falschen Ergebnissen.

  3. 3

    Schritt 2: Der Umweg über die 1. Direkt von 33 auf 77 zu kommen ist umständlich. Der Trick ist die Zwischenstation bei einem Kilogramm.

    Warum die 1? Von der 11 aus erreichst du jede beliebige Menge durch einfaches Multiplizieren.

  4. 4

    Schritt 3: Auf 1 kg herunterrechnen. Teile beide Spalten durch 33:

    3 kg:3=1 kg5,40:3=1,803\,\text{kg} : 3 = 1\,\text{kg} \qquad\qquad 5{,}40 : 3 = 1{,}80

    Ein Kilogramm kostet 1,801{,}80 €. Diese Zahl heißt auch Grundpreis.

    Beide Spalten müssen mit derselben Zahl behandelt werden, nur dann bleibt das Verhältnis erhalten.

  5. 5

    Schritt 4: Auf 7 kg hochrechnen. Jetzt beide Spalten mit 77 multiplizieren:

    1 kg⋅7=7 kg1,80⋅7=12,601\,\text{kg} \cdot 7 = 7\,\text{kg} \qquad\qquad 1{,}80 \cdot 7 = 12{,}60

    Zwischenrechnung: 1,80⋅7=12,601{,}80 \cdot 7 = 12{,}60 (denn 18⋅7=12618 \cdot 7 = 126, dann eine Nachkommastelle).

  6. 6

    Schritt 5: Die Gesamtrechnung im Überblick.

    ÄpfelPreis
    Ausgangslage33 kg5,405{,}40 €
    :3:3 → auf die 111 kg1,801{,}80 €
    ⋅ 7\cdot\,7 → zum Ziel77 kg12,6012{,}60 €
  7. 7

    Schritt 6: Kontrolle. Zwei Prüfungen:

    Passt es zur Vorüberlegung? Wir erwarteten über 10,8010{,}80 €, herausgekommen sind 12,6012{,}60 € ✓

    Die Quotientenprobe: Bei Proportionalität muss „Preis geteilt durch Menge" überall denselben Wert ergeben:

    5,403=1,8012,607=1,80  ✓\frac{5{,}40}{3} = 1{,}80 \qquad \frac{12{,}60}{7} = 1{,}80 \;\checkmark

    Beide Male der Grundpreis 1,801{,}80 € pro kg, das Ergebnis ist stimmig.

  8. 8

    Schritt 7: Antwortsatz. Zu einer vollständigen Lösung gehört ein Satz mit Einheit:

    „7 kg Äpfel kosten 12,60 €."

    Die Einheit nicht vergessen, „12,6012{,}60" allein wäre keine Antwort auf eine Preisfrage.

77 kg Äpfel kosten 12,60 €.

Der Ablauf jedes Dreisatzes: Proportionalität prüfen → Tabelle anlegen → auf 1 herunterrechnen (Grundpreis) → auf die gesuchte Menge hochrechnen → mit der Quotientenprobe kontrollieren.

Proportionalität nachweisen

Ist die proportional?

Zeit (h)246
Weg (km)90180260
  1. 1

    Was ist zu prüfen? Ob „doppelt so viel Zeit heißt doppelt so viel Weg" für alle Wertepaare gilt.

    Das Werkzeug dafür ist die Quotientengleichheit: Bei einer proportionalen Zuordnung ist y:xy : x überall gleich.

    Erster Blick: Von 22 auf 44 Stunden verdoppelt sich der Weg von 9090 auf 180180 km. Das sieht gut aus. Aber ein Wertepaar reicht nicht; wir müssen alle prüfen.

  2. 2

    Schritt 1: Den ersten Quotienten berechnen. Teile „unten durch oben", also Weg durch Zeit:

    902=45\frac{90}{2} = 45

    Was bedeutet die Zahl? 4545 km pro Stunde, die Geschwindigkeit.

  3. 3

    Schritt 2: Den zweiten Quotienten.

    1804=45\frac{180}{4} = 45

    Gleicher Wert ✓ Bis hierhin passt alles.

  4. 4

    Schritt 3: Den dritten Quotienten, hier entscheidet es sich.

    2606=43,3‾\frac{260}{6} = 43{,}\overline{3}

    Dieser Wert weicht ab: 43,3‾≠4543{,}\overline{3} \neq 45.

  5. 5

    Schritt 4: Die Schlussfolgerung. Die Quotienten sind nicht alle gleich, also ist die Zuordnung nicht proportional.

    Ein einziger abweichender Wert genügt. Die Bedingung muss überall erfüllt sein, nicht nur meistens, so wie eine Kette schon reißt, wenn ein einziges Glied nachgibt.

    Deshalb war es wichtig, alle drei Spalten zu prüfen. Wer nach der zweiten aufhört, kommt zum falschen Ergebnis.

  6. 6

    Schritt 5: Das Ergebnis deuten. Was bedeutet die Abweichung in der Sache?

    Bei gleichbleibendem Tempo von 4545 km/h wären in 66 Stunden 270270 km zu schaffen. Tatsächlich sind es nur 260260 km.

    Das Fahrzeug war im letzten Abschnitt also langsamer, vielleicht wegen einer Pause oder eines Staus.

  7. 7

    Schritt 6: Die Konsequenz für die Praxis. Weil die Zuordnung nicht proportional ist, darfst du hier keinen Dreisatz anwenden.

    Die Frage „Wie weit kommt das Fahrzeug in 1010 Stunden?" lässt sich mit diesen Daten nicht beantworten, das Tempo ist ja nicht konstant.

    Genau dafür ist die Prüfung da: Sie sagt dir nicht nur, ob eine Zuordnung proportional ist, sondern auch, ob du weiterrechnen darfst.

Nein, die Zuordnung ist nicht proportional: Die Quotienten 902=45\frac{90}{2} = 45, 1804=45\frac{180}{4} = 45 und 2606=43,3‾\frac{260}{6} = 43{,}\overline{3} stimmen nicht überein.

Zum Mitnehmen: Prüfe alle Wertepaare, ein einziger abweichender Quotient widerlegt die Proportionalität. Und ohne Proportionalität ist der Dreisatz nicht erlaubt.

Dreisatz rückwärts

Ein Auto verbraucht auf 100 km genau 6 Liter Benzin. Wie weit kommt es mit 45 Litern?

  1. 1

    Was ist hier anders? Bei den bisherigen Aufgaben war die erste Größe gegeben und die zweite gesucht. Hier ist es umgekehrt: Der Verbrauch (4545 Liter) ist gegeben, die Strecke gesucht.

    Das ändert nichts am Verfahren, nur die Richtung, in der du rechnest.

    Vorüberlegung: 4545 Liter sind das 7,57{,}5-fache von 66 Litern. Die Strecke wird also etwa 750750 km betragen.

  2. 2

    Schritt 1: Prüfen, ob der Dreisatz erlaubt ist. Doppelte Strecke bedeutet doppelter Verbrauch, bei gleichmäßiger Fahrt plausibel ✓ Und 00 km verbrauchen 00 Liter ✓

    Die Modellannahme dazu: Der Verbrauch wird als konstant angenommen. In Wirklichkeit hängt er von Tempo und Strecke ab, für die Aufgabe blenden wir das aus.

  3. 3

    Schritt 2: Die Tabelle aufstellen. Weil der Verbrauch gegeben ist, kommt er in die erste Spalte:

    BenzinStrecke
    gegeben66 L100100 km
    gesucht4545 L??
  4. 4

    Schritt 3: Auf 1 Liter herunterrechnen. Teile beide Spalten durch 66:

    6 L:6=1 L100 km:6=16,6‾ km6\,\text{L} : 6 = 1\,\text{L} \qquad\qquad 100\,\text{km} : 6 = 16{,}\overline{6}\,\text{km}

    Mit dem weiterrechnen statt zu : 1006=503\frac{100}{6} = \frac{50}{3} km. Ein gerundeter Zwischenwert würde das Endergebnis verfälschen.

  5. 5

    Schritt 4: Auf 45 Liter hochrechnen. Beide Spalten mit 4545 multiplizieren:

    503⋅45=50⋅453=22503=750 km\frac{50}{3} \cdot 45 = \frac{50 \cdot 45}{3} = \frac{2250}{3} = 750\,\text{km}

    Geschickter Rechenweg: Kürze vor dem Multiplizieren, 45:3=1545 : 3 = 15, dann 50⋅15=75050 \cdot 15 = 750.

    Das Ergebnis ist glatt, obwohl der Zwischenwert eine periodische Zahl war. Genau deshalb hat sich das Bruchrechnen gelohnt.

  6. 6

    Schritt 5: Kontrolle über einen zweiten Weg. Rechne ohne den Umweg über die 1:

    45 L:6 L=7,545\,\text{L} : 6\,\text{L} = 7{,}5

    Die Benzinmenge ist also das 7,57{,}5-fache. Dann muss auch die Strecke das 7,57{,}5-fache sein:

    100 km⋅7,5=750 km  ✓100\,\text{km} \cdot 7{,}5 = 750\,\text{km} \;\checkmark

    Dieser Weg ist kürzer, funktioniert aber nur, wenn sich die Zahlen gut teilen lassen. Der Umweg über die 1 klappt immer.

  7. 7

    Schritt 6: Plausibilität und Antwortsatz. Die Vorüberlegung sagte etwa 750750 km. Das passt genau ✓

    „Mit 45 Litern kommt das Auto 750 km weit."

    Ein Blick auf die Größenordnung: 750750 km entsprechen etwa der Strecke Hamburg–München. Für einen vollen Tank ist das realistisch ✓ Käme 7575 km oder 75007500 km heraus, wäre irgendwo ein Faktor 1010 verrutscht.

Mit 4545 Litern kommt das Auto 750 km weit.

Zum Mitnehmen: Der Dreisatz funktioniert in beide Richtungen, entscheidend ist nur, welche Größe gegeben ist. Rechne Zwischenwerte als Bruch weiter, statt zu runden; sonst wird das Endergebnis ungenau.

Typischer Fehler

„Ein 6-jähriges Kind ist 1,20 m groß. Also ist ein 12-jähriges 2,40 m und ein 30-jähriger 6 m groß: Dreisatz!"

Alter und Körpergröße sind nicht proportional, sonst wären Erwachsene Riesen! Der Dreisatz ist kein Universalwerkzeug: Er funktioniert nur, wenn die Quotientengleichheit (doppelt → doppelt) im Sachzusammenhang wirklich gilt. Immer zuerst den Realitäts-Check machen.

Übung 1

leicht

4 Kugeln Eis kosten 66 €. Was kosten a) 1 Kugel, b) 7 Kugeln?

Tipp anzeigen

Dreisatz über die 1.

Lösung anzeigen

a) 6:4=1,506 : 4 = 1{,}50 € pro Kugel

b) 7⋅1,50=10,507 \cdot 1{,}50 = 10{,}50 €

Detaillierte Schritterklärung anzeigen

Hier wird jeder Schritt einzeln erklärt, vor allem, warum er gemacht wird.

Erklärungstiefe

✦ Empfohlen: Standard – Die normale Erklärungstiefe passt zum Einstieg.

  1. 1

    a) Auf eine Kugel herunterrechnen

    Vom Bekannten zum Einzelpreis: 44 Kugeln kosten 66 €, eine Kugel kostet 6:4=1,506 : 4 = 1{,}50 €.

  2. 2

    b) Auf sieben Kugeln hochrechnen

    Sieben Einzelpreise: 7⋅1,50=10,507 \cdot 1{,}50 = 10{,}50 €.

    7⋅1,50=10,507 \cdot 1{,}50 = 10{,}50

    Zwischenergebnis

    10,5010{,}50 €

  3. 3

    Plausibilität prüfen

    77 Kugeln sind knapp das Doppelte von 44, der Preis muss knapp unter dem Doppelten von 66 € liegen. 10,50<1210{,}50 < 12 ✓.

Übung 2

mittel

Prüfe mit der Quotientengleichheit, ob die proportional ist, und gib ggf. kk und die an:

xx358
yy7,512,520
Tipp anzeigen

Bilde y:xy : x für jede Spalte.

Lösung anzeigen

7,53=2,5\frac{7{,}5}{3} = 2{,}5 · 12,55=2,5\frac{12{,}5}{5} = 2{,}5 · 208=2,5\frac{20}{8} = 2{,}5

Alle Quotienten gleich → proportional mit k=2,5k = 2{,}5 und y=2,5⋅xy = 2{,}5 \cdot x.

Detaillierte Schritterklärung anzeigen

Hier wird jeder Schritt einzeln erklärt, vor allem, warum er gemacht wird.

Erklärungstiefe

✦ Empfohlen: Standard – Die normale Erklärungstiefe passt zum Einstieg.

  1. 1

    Das Prüfkriterium verstehen

    Proportional heißt: yy entsteht aus xx immer durch MAL dieselbe Zahl. Diese Zahl ist der Quotient yx\frac{y}{x}, er muss in jeder Spalte gleich sein.

  2. 2

    Alle drei Quotienten berechnen

    7,53=2,5\frac{7{,}5}{3} = 2{,}5 · 12,55=2,5\frac{12{,}5}{5} = 2{,}5 · 208=2,5\frac{20}{8} = 2{,}5, dreimal derselbe Wert.

    7,53=12,55=208=2,5\frac{7{,}5}{3} = \frac{12{,}5}{5} = \frac{20}{8} = 2{,}5

    Zwischenergebnis

    k=2,5k = 2{,}5

  3. 3

    Ergebnis formulieren

    Die Zuordnung ist proportional mit Proportionalitätsfaktor k=2,5k = 2{,}5; die Gleichung lautet y=2,5⋅xy = 2{,}5 \cdot x.

Übung 3

schwer

Ein Drucker schafft 12 Seiten pro Minute. a) Wie lange braucht er für 300 Seiten? b) Die Klasse druckt 25 Hefte à 36 Seiten. Reicht eine Stunde? c) Warum wäre „doppelt so viele Drucker → doppelt so lange" falsch, und welcher Zusammenhang gilt stattdessen?

Tipp anzeigen

c) Mehr Drucker = weniger Zeit!

Lösung anzeigen

a) 300:12=25300 : 12 = 25 Minuten.

b) 25⋅36=90025 \cdot 36 = 900 Seiten → 900:12=75900 : 12 = 75 Minuten. Eine Stunde reicht nicht (15 Minuten fehlen).

c) Mehr Drucker verkürzen die Zeit, „je mehr, desto weniger". Das ist indirekte (umgekehrte) Proportionalität; sie kommt in Klasse 7 dran. Der Dreisatz in dieser Form gilt nur für direkte Proportionalität.

Detaillierte Schritterklärung anzeigen

Hier wird jeder Schritt einzeln erklärt, vor allem, warum er gemacht wird.

Erklärungstiefe

✦ Empfohlen: Standard – Die normale Erklärungstiefe passt zum Einstieg.

  1. 1

    a) Zeit für 300 Seiten

    1212 Seiten je Minute: 300:12=25300 : 12 = 25 Minuten.

  2. 2

    b) Gesamtseiten und Stundenfrage

    2525 Hefte à 3636 Seiten sind 25⋅36=90025 \cdot 36 = 900 Seiten; dafür braucht der Drucker 900:12=75900 : 12 = 75 Minuten. Eine Stunde (6060 min) reicht NICHT, es fehlen 1515 Minuten.

    25⋅36=900,900:12=7525 \cdot 36 = 900, \quad 900 : 12 = 75

    Zwischenergebnis

    7575 Minuten

  3. 3

    c) Warum mehr Drucker NICHT länger brauchen

    Mehr Drucker verkürzen die Zeit, je mehr Geräte, desto WENIGER Minuten. Das ist das Gegenteil von proportional: eine indirekte (umgekehrte) Proportionalität.

Zusammenfassung

Direkt proportional heißt: gleiche Quotienten yx=k\frac{y}{x} = k, y=k⋅xy = k \cdot x, Graph durch den Ursprung. Der Dreisatz rechnet über die 1 zum Ziel, in beiden Spalten dieselbe Operation. Und die wichtigste Regel: Erst prüfen, ob Proportionalität überhaupt plausibel ist, dann rechnen.