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Grundlagen / Größen & Messen

Physikalische Größen und Einheiten

Zahlenwert mal Einheit: warum eine Angabe ohne Einheit in der Physik nichts bedeutet, und wie man sicher umrechnet.

Benötigte Grundlagen

Dieses Vorwissen brauchst du für das Kapitel. Schau kurz nach, wenn dir etwas davon nicht mehr präsent ist, sonst leg direkt los.

Einführung

„Ich bin 165." Groß? Schwer? Alt? Reich? Erst die Einheit macht aus einer Zahl eine Aussage: 165 cm165\,\text{cm} ist eine Körpergröße, 165 kg165\,\text{kg} wäre etwas ganz anderes.

Genau deshalb schreibt man in der Physik nie eine nackte Zahl hin. Und das ist keine Formsache: Die NASA hat 1999 eine Marssonde verloren, weil ein Team in Pfund und das andere in Newton rechnete. Die Zahlen stimmten, die Einheiten nicht, die Sonde ist verglüht.

Das kannst du nach diesem Kapitel

  • erklären, woraus eine physikalische Größe besteht (Zahlenwert und Einheit).

  • Formelzeichen und Einheitenzeichen der Grundgrößen zuordnen.

  • die Vorsätze von Mikro bis Mega sicher benutzen.

  • Einheiten umrechnen, auch bei Flächen und Volumen.

  • Ergebnisse mit einer Überschlagsrechnung auf Plausibilität prüfen.

Der Aufbau jeder physikalischen Größe

Eine physikalische Größe ist eine messbare Eigenschaft. Sie wird immer nach demselben Muster angegeben:

Gro¨ße=Zahlenwert⋅Einheit\text{Größe} = \text{Zahlenwert} \cdot \text{Einheit}

Zum Beispiel l=2,5 ml = 2{,}5\,\text{m}. Das ist wörtlich zu nehmen: Die Länge ist zweieinhalb mal die Einheit Meter. Der Meter ist ein festgelegtes Vergleichsstück, und die Zahl sagt, wie oft es hineinpasst.

Aus dieser Lesart folgt sofort etwas Praktisches: Man darf mit Einheiten rechnen wie mit Faktoren. 100 km2 h=50 kmh\frac{100\,\text{km}}{2\,\text{h}} = 50\,\frac{\text{km}}{\text{h}} funktioniert genau deshalb.

Jede Größe hat außerdem ein Formelzeichen (ein kursiver Buchstabe) und ein Einheitenzeichen:

GrößeFormelzeichenBasiseinheitEinheitenzeichen
LängellMeterm
mmKilogrammkg
ZeitttSekundes
TemperaturTTKelvinK
StromstärkeIIAmpereA

Diese fünf gehören zu den sieben Basisgrößen des Internationalen Einheitensystems (SI). Alle anderen Einheiten lassen sich aus ihnen zusammensetzen, zum Beispiel die Geschwindigkeit als ms\frac{\text{m}}{\text{s}}.

Achtung bei mm: Dasselbe Zeichen steht kursiv für die Größe Masse (mm) und aufrecht für die Einheit Meter (m). Aus m=3 kgm = 3\,\text{kg} und l=3 ml = 3\,\text{m} wird das im Zusammenhang immer klar.

Jede Größe besteht aus zwei Teilenl = 2,5 mZahlenwertwie viele davonEinheitwovon überhaupt2,5 allein wäre 2,5 cm oder 2,5 km oder gar nichts.Eine Zahl ohne Einheit ist keine Größe

Die Zerlegung sieht selbstverständlich aus, und genau darin liegt die Falle: In der Klassenarbeit verschwindet die Einheit als Erstes. Der Zahlenwert sagt wie viele, die Einheit sagt wovon, ohne sie ist 2,5 keine Länge, sondern gar nichts.

Vorsätze: Zehnerpotenzen mit Namen

Ein Bakterium ist 0,000002 m0{,}000002\,\text{m} groß, die Strecke Erfurt-Berlin 300000 m300000\,\text{m}. Solche Zahlen sind unlesbar. Deshalb setzt man Vorsätze vor die Einheit, die für einen Faktor stehen:

VorsatzZeichenFaktorBeispiel
MegaM106=100000010^{6} = 10000001 MW=1000000 W1\,\text{MW} = 1000000\,\text{W}
Kilok103=100010^{3} = 10001 km=1000 m1\,\text{km} = 1000\,\text{m}
Hektoh102=10010^{2} = 1001 hl=100 l1\,\text{hl} = 100\,\text{l}
Dezid10−1=0,110^{-1} = 0{,}11 dm=0,1 m1\,\text{dm} = 0{,}1\,\text{m}
Zentic10−2=0,0110^{-2} = 0{,}011 cm=0,01 m1\,\text{cm} = 0{,}01\,\text{m}
Millim10−3=0,00110^{-3} = 0{,}0011 mm=0,001 m1\,\text{mm} = 0{,}001\,\text{m}
Mikroµ10−610^{-6}1 µm=0,000001 m1\,\text{µm} = 0{,}000001\,\text{m}

Ein Vorsatz ersetzt keine Einheit, er multipliziert sie. „5 km5\,\text{km}" heißt wörtlich „5⋅1000⋅m5 \cdot 1000 \cdot \text{m}".

Vorsätze sind Stellen auf einer SkalaJe drei Zehnerpotenzen weiter.nnano10⁻⁹µmikro10⁻⁶mmilli10⁻³–Einheit1kkilo10³Mmega10⁶Ggiga10⁹3 km = 3 · 10³ m = 3000 m.Ein Schritt weiter heißt tausendmal so viel

Auf der Skala sieht man, was eine Tabelle verbirgt: Die gebräuchlichen Vorsätze sitzen in gleichmäßigen Abständen von je drei Zehnerpotenzen. Ein Schritt nach rechts ist deshalb immer derselbe Sprung, mal tausend. Wer sich diese Ordnung merkt, muss die Vorsätze nicht einzeln lernen.

Umrechnen ohne Ratespiel

Wer sich fragt „mal tausend oder geteilt durch tausend?", hat meist keine Regel, sondern ein Gefühl. Die sichere Methode ist das Ersetzen:

Schreibe den Vorsatz als Faktor hin und rechne aus.

3,5 km=3,5⋅1000 m=3500 m3{,}5\,\text{km} = 3{,}5 \cdot 1000\,\text{m} = 3500\,\text{m} 250 mm=250⋅0,001 m=0,25 m250\,\text{mm} = 250 \cdot 0{,}001\,\text{m} = 0{,}25\,\text{m}

Das funktioniert immer und in beide Richtungen, ohne dass man sich merken muss, wo das Komma hinwandert.

Zur Kontrolle gibt es noch eine zweite Sicherung, die Plausibilitätsprüfung: Eine kleinere Einheit braucht eine größere Zahl für dieselbe Länge. 3,5 km3{,}5\,\text{km} in Metern muss also eine größere Zahl als 3,53{,}5 ergeben. Kommt 0,00350{,}0035 heraus, war es die falsche Richtung.

Flächen und Volumen: die Falle mit dem Quadrat

Beim Umrechnen von Flächen und Volumen tut sich der häufigste Fehler des ganzen Kapitels auf. Denn 1 m21\,\text{m}^2 bedeutet 1 m⋅1 m1\,\text{m} \cdot 1\,\text{m}, und wenn man jede Seite umrechnet, wirkt der Faktor zweimal:

1 m2=1 m⋅1 m=100 cm⋅100 cm=10000 cm21\,\text{m}^2 = 1\,\text{m} \cdot 1\,\text{m} = 100\,\text{cm} \cdot 100\,\text{cm} = 10000\,\text{cm}^2

Beim Volumen entsprechend dreimal:

1 m3=100 cm⋅100 cm⋅100 cm=1000000 cm31\,\text{m}^3 = 100\,\text{cm} \cdot 100\,\text{cm} \cdot 100\,\text{cm} = 1000000\,\text{cm}^3

Der Umrechnungsfaktor ist also nicht 100100, sondern 1002=10000100^2 = 10000 beziehungsweise 1003=1000000100^3 = 1000000. Wer sich das Bild eines Quadratmeters vorstellt, das in 100⋅100100 \cdot 100 Zentimeterkästchen zerfällt, muss diese Zahlen nie auswendig lernen.

Praktisch wichtig ist außerdem: 1 l=1 dm31\,\text{l} = 1\,\text{dm}^3 und 1 ml=1 cm31\,\text{ml} = 1\,\text{cm}^3. Ein Liter ist also genau ein Würfel mit 10 cm10\,\text{cm} Kantenlänge.

Zehnmal so lang heißt hundertmal so großZähl die Felder nach: Es sind hundert.1 dm²1 m = 10 dm1 m1 m² = 10 · 10 dm² = 100 dm²Mit Zentimetern: 100 · 100 = 10 000 cm².Bei Flächen zählt der Faktor zweimal

Zähl die Felder nach, bevor du weiterliest: Es sind hundert, obwohl die Kante nur zehnmal so lang ist wie ein Dezimeter. Daraus folgt die Regel, nicht umgekehrt. Beim Volumen zählt der Faktor entsprechend dreimal: 1 m³ sind 1000 dm³.

Umrechnen mit der Ersetzungsmethode

Rechne um: a) 4,2 km4{,}2\,\text{km} in m b) 75 cm75\,\text{cm} in m c) 0,35 m0{,}35\,\text{m} in mm d) 2500 mg2500\,\text{mg} in g

  1. 1

    a) k durch 10001000 ersetzen: 4,2 km=4,2⋅1000 m=4200 m4{,}2\,\text{km} = 4{,}2 \cdot 1000\,\text{m} = 4200\,\text{m}

    Kontrolle: Meter ist kleiner als Kilometer, also muss die Zahl größer werden. 4200>4,24200 > 4{,}2, passt.

  2. 2

    b) c durch 0,010{,}01 ersetzen: 75 cm=75⋅0,01 m=0,75 m75\,\text{cm} = 75 \cdot 0{,}01\,\text{m} = 0{,}75\,\text{m}

    Kontrolle: Meter ist größer als Zentimeter, also muss die Zahl kleiner werden. Passt.

  3. 3

    c) Hier geht es andersherum. Gesucht ist die Zahl xx mit x⋅0,001 m=0,35 mx \cdot 0{,}001\,\text{m} = 0{,}35\,\text{m}, also x=0,350,001=350x = \dfrac{0{,}35}{0{,}001} = 350.

    0,35 m=350 mm0{,}35\,\text{m} = 350\,\text{mm}
  4. 4

    d) 2500 mg=2500⋅0,001 g=2,5 g2500\,\text{mg} = 2500 \cdot 0{,}001\,\text{g} = 2{,}5\,\text{g}

a) 4200 m4200\,\text{m} b) 0,75 m0{,}75\,\text{m} c) 350 mm350\,\text{mm} d) 2,5 g2{,}5\,\text{g}. In allen vier Fällen dieselbe Methode, kein einziges Mal geraten.

Eine Fläche und ein Volumen umrechnen

Ein Zimmer ist 4,5 m4{,}5\,\text{m} lang, 3,2 m3{,}2\,\text{m} breit und 2,5 m2{,}5\,\text{m} hoch. Gib die Grundfläche in cm2\text{cm}^2 und das Raumvolumen in Litern an.

  1. 1

    Grundfläche in m2\text{m}^2 berechnen:

    A=l⋅b=4,5 m⋅3,2 m=14,4 m2A = l \cdot b = 4{,}5\,\text{m} \cdot 3{,}2\,\text{m} = 14{,}4\,\text{m}^2
  2. 2

    In cm2\text{cm}^2 umrechnen. Der Umrechnungsfaktor ist 100100 zum Quadrat, weil beide Seitenlängen umgerechnet werden:

    1 m2=100 cm⋅100 cm=10000 cm21\,\text{m}^2 = 100\,\text{cm} \cdot 100\,\text{cm} = 10000\,\text{cm}^2 A=14,4⋅10000 cm2=144000 cm2A = 14{,}4 \cdot 10000\,\text{cm}^2 = 144000\,\text{cm}^2
  3. 3

    Volumen in m3\text{m}^3 berechnen:

    V=A⋅h=14,4 m2⋅2,5 m=36 m3V = A \cdot h = 14{,}4\,\text{m}^2 \cdot 2{,}5\,\text{m} = 36\,\text{m}^3
  4. 4

    In Liter umrechnen. Ein Liter ist ein Kubikdezimeter, und in einen Kubikmeter passen 10⋅10⋅10=100010 \cdot 10 \cdot 10 = 1000 Kubikdezimeter:

    1 m3=1000 dm3=1000 l1\,\text{m}^3 = 1000\,\text{dm}^3 = 1000\,\text{l} V=36⋅1000 l=36000 lV = 36 \cdot 1000\,\text{l} = 36000\,\text{l}

Grundfläche 144000 cm2144000\,\text{cm}^2, Raumvolumen 36 m3=36000 l36\,\text{m}^3 = 36000\,\text{l}. Die 3600036000 Liter Luft wiegen übrigens etwa 43 kg43\,\text{kg}, was man mit der im nächsten Kapitel selbst nachrechnen kann.

Typischer Fehler

„1 m2=100 cm21\,\text{m}^2 = 100\,\text{cm}^2, weil 1 m=100 cm1\,\text{m} = 100\,\text{cm} ist."

Der häufigste Fehler beim Umrechnen, und er lässt sich mit einem Bild ein für alle Mal ausräumen.

Ein Quadratmeter ist ein Quadrat mit 1 m1\,\text{m} Kantenlänge. Zeichne es und teile jede Kante in 100100 Zentimeter. Dann liegen darin 100100 Reihen zu je 100100 Kästchen von einem Quadratzentimeter, also

100⋅100=10000 Ka¨stchen.100 \cdot 100 = 10000 \text{ Kästchen.}

100 cm2100\,\text{cm}^2 wären dagegen nur ein Streifen von zehn mal zehn Zentimetern, also etwa eine Postkarte. Dass eine Postkarte kein Quadratmeter ist, sieht man sofort.

Die Regel dahinter: Beim Umrechnen wirkt der Faktor so oft, wie die Einheit Dimensionen hat. Länge einmal, Fläche zweimal, Volumen dreimal.

Übung 1

leicht

Rechne um:

a) 2,5 km2{,}5\,\text{km} in m b) 340 cm340\,\text{cm} in m c) 0,75 kg0{,}75\,\text{kg} in g d) 1500 ms1500\,\text{ms} in s e) 2,5 h2{,}5\,\text{h} in min

Tipp anzeigen

Vorsatz durch seinen Faktor ersetzen. Bei e) beachte, dass die Zeit nicht dezimal aufgebaut ist.

Lösung anzeigen

a) 2,5⋅1000 m=2500 m2{,}5 \cdot 1000\,\text{m} = 2500\,\text{m}

b) 340⋅0,01 m=3,4 m340 \cdot 0{,}01\,\text{m} = 3{,}4\,\text{m}

c) 0,75⋅1000 g=750 g0{,}75 \cdot 1000\,\text{g} = 750\,\text{g}

d) 1500⋅0,001 s=1,5 s1500 \cdot 0{,}001\,\text{s} = 1{,}5\,\text{s}

e) Die Zeit ist die Ausnahme ohne Zehnerpotenzen: 1 h=60 min1\,\text{h} = 60\,\text{min}, also 2,5⋅60 min=150 min2{,}5 \cdot 60\,\text{min} = 150\,\text{min}.

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Hier wird jeder Schritt einzeln erklärt, vor allem, warum er gemacht wird.

Erklärungstiefe

✦ Empfohlen: Standard – Die normale Erklärungstiefe passt zum Einstieg.

  1. 1

    Gegeben und Gesucht: fünf Größen, fünf Zieleinheiten

    Gegeben sind fünf Werte mit Vorsatz-Einheit, gesucht ist derselbe Wert in einer anderen Einheit. Es ändert sich also nur die Schreibweise, nicht die Größe selbst, der Schulweg wird durch das Umrechnen nicht länger.

  2. 2

    Das Werkzeug: Vorsatz durch seinen Faktor ersetzen

    Jeder Vorsatz ist eine Abkürzung für einen Faktor: k\text{k} steht für 10001000, c\text{c} für 0,010{,}01, m\text{m} für 0,0010{,}001. Man ersetzt den Vorsatz durch seinen Faktor und rechnet ganz normal weiter.

  3. 3

    a) bis d): die vier Zehnerpotenz-Fälle

    Bei jedem Fall wird der Vorsatz durch seinen Faktor ersetzt und dann multipliziert.

    2,5⋅1000 m=2500 m2{,}5 \cdot 1000\,\text{m} = 2500\,\text{m} · 340⋅0,01 m=3,4 m340 \cdot 0{,}01\,\text{m} = 3{,}4\,\text{m} · 0,75⋅1000 g=750 g0{,}75 \cdot 1000\,\text{g} = 750\,\text{g} · 1500⋅0,001 s=1,5 s1500 \cdot 0{,}001\,\text{s} = 1{,}5\,\text{s}

  4. 4

    e) Die Zeit ist die Ausnahme

    Bei der Zeit gibt es keine Zehnerpotenzen: 1 h1\,\text{h} sind 60 min60\,\text{min}, nicht 100100. Deshalb wird hier mit 6060 multipliziert.

    2,5 h=2,5⋅60 min=150 min2{,}5\,\text{h} = 2{,}5 \cdot 60\,\text{min} = 150\,\text{min}

    Zwischenergebnis

    2,5 h=150 min2{,}5\,\text{h} = 150\,\text{min}

  5. 5

    Ergebnisse prüfen: passen die Größenordnungen?

    2500 m2500\,\text{m} Schulweg, ein 3,4 m3{,}4\,\text{m} langer Raum, 750 g750\,\text{g} Mehl, 1,5 s1{,}5\,\text{s} und 150 min150\,\text{min}, alle fünf Werte sind Größen, die man sich vorstellen kann. Genau das ist die Kontrolle.

Übung 2

mittel

a) Ein Blatt Papier misst 21 cm×29,7 cm21\,\text{cm} \times 29{,}7\,\text{cm}. Wie groß ist seine Fläche in cm2\text{cm}^2 und in m2\text{m}^2?

b) Ein Aquarium ist 80 cm80\,\text{cm} lang, 35 cm35\,\text{cm} breit und 40 cm40\,\text{cm} hoch. Wie viele Liter Wasser fasst es?

Tipp anzeigen

b) 1 l=1 dm31\,\text{l} = 1\,\text{dm}^3. Es lohnt sich, vorher in Dezimeter umzurechnen.

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a) A=21 cm⋅29,7 cm=623,7 cm2A = 21\,\text{cm} \cdot 29{,}7\,\text{cm} = 623{,}7\,\text{cm}^2

Umrechnung in m2\text{m}^2: 1 m2=10000 cm21\,\text{m}^2 = 10000\,\text{cm}^2, also

A=623,710000 m2=0,06237 m2≈0,062 m2A = \frac{623{,}7}{10000}\,\text{m}^2 = 0{,}06237\,\text{m}^2 \approx 0{,}062\,\text{m}^2

b) Zuerst alles in Dezimeter, dann ist das Ergebnis direkt in Litern:

80 cm=8 dm,35 cm=3,5 dm,40 cm=4 dm80\,\text{cm} = 8\,\text{dm}, \qquad 35\,\text{cm} = 3{,}5\,\text{dm}, \qquad 40\,\text{cm} = 4\,\text{dm} V=8 dm⋅3,5 dm⋅4 dm=112 dm3=112 lV = 8\,\text{dm} \cdot 3{,}5\,\text{dm} \cdot 4\,\text{dm} = 112\,\text{dm}^3 = 112\,\text{l}

Der Umweg über Dezimeter spart die Umrechnung von cm3\text{cm}^3 in Liter, bei der man leicht um den Faktor 10001000 danebenliegt.

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Erklärungstiefe

✦ Empfohlen: Standard – Die normale Erklärungstiefe passt zum Einstieg.

  1. 1

    Gegeben und Gesucht sortieren

    a) Gegeben sind zwei Längen (2121 cm und 29,729{,}7 cm), gesucht ist eine Fläche, einmal in cm2\text{cm}^2, einmal in m2\text{m}^2. b) Gegeben sind drei Längen, gesucht ist ein Volumen in Litern.

  2. 2

    Die passenden Formeln, und warum sie hier gelten

    Blatt und Aquarium sind Rechteck und Quader; für sie gilt A=a⋅bA = a \cdot b und V=a⋅b⋅cV = a \cdot b \cdot c. Beide Formeln setzen rechte Winkel voraus, und die sind hier gegeben.

  3. 3

    a) Die Fläche in Quadratzentimetern

    Die beiden Längen werden multipliziert, die Einheit cm\text{cm} dabei ebenfalls, aus cm⋅cm\text{cm} \cdot \text{cm} wird cm2\text{cm}^2.

    A=21 cm⋅29,7 cm=623,7 cm2A = 21\,\text{cm} \cdot 29{,}7\,\text{cm} = 623{,}7\,\text{cm}^2

    Zwischenergebnis

    A=623,7 cm2A = 623{,}7\,\text{cm}^2

  4. 4

    a) Von Quadratzentimetern nach Quadratmetern: der Faktor steckt zweimal drin

    1 m=100 cm1\,\text{m} = 100\,\text{cm}, und weil eine Fläche aus zwei Längen besteht, gilt 1 m2=100⋅100 cm2=10000 cm21\,\text{m}^2 = 100 \cdot 100\,\text{cm}^2 = 10000\,\text{cm}^2. Also wird durch 1000010000 geteilt.

    A=623,710000 m2=0,06237 m2≈0,062 m2A = \frac{623{,}7}{10000}\,\text{m}^2 = 0{,}06237\,\text{m}^2 \approx 0{,}062\,\text{m}^2

    Zwischenergebnis

    A≈0,062 m2A \approx 0{,}062\,\text{m}^2

  5. 5

    b) Der Umweg über Dezimeter

    Weil 1 l=1 dm31\,\text{l} = 1\,\text{dm}^3 gilt, rechnet man zuerst alle Kanten in Dezimeter um. Dann steht das Ergebnis unmittelbar in Litern, ohne eine zweite Umrechnung.

    V=8 dm⋅3,5 dm⋅4 dm=112 dm3=112 lV = 8\,\text{dm} \cdot 3{,}5\,\text{dm} \cdot 4\,\text{dm} = 112\,\text{dm}^3 = 112\,\text{l}

    Zwischenergebnis

    V=112 lV = 112\,\text{l}

  6. 6

    Ergebnisse prüfen und deuten

    0,062 m20{,}062\,\text{m}^2 sind rund sechs Hundertstel Quadratmeter, für ein DIN-A4-Blatt passt das, denn 1616 solcher Blätter ergeben etwa einen Quadratmeter. Und 112112 Liter sind für ein Aquarium dieser Größe eine glaubwürdige Menge.

Übung 3

schwer

In einem Protokoll stehen vier Ergebnisse. Prüfe jedes auf Plausibilität, finde den Fehler und gib den richtigen Wert an.

a) Schulweg: 1,2 km=12 m1{,}2\,\text{km} = 12\,\text{m}

b) Klassenzimmerfläche: 8 m⋅6 m=4800 cm28\,\text{m} \cdot 6\,\text{m} = 4800\,\text{cm}^2

c) eines Apfels: 150 g=0,15 mg150\,\text{g} = 0{,}15\,\text{mg}

d) Trinkmenge pro Tag: 2 l=2000 cm32\,\text{l} = 2000\,\text{cm}^3

Tipp anzeigen

Prüfe zuerst mit dem gesunden Menschenverstand, dann mit der Ersetzungsmethode.

Lösung anzeigen

a) Falsch. 12 m12\,\text{m} wäre die Länge eines Klassenzimmers, kein Schulweg. Richtig: 1,2⋅1000 m=1200 m1{,}2 \cdot 1000\,\text{m} = 1200\,\text{m}. Der Fehler war ein um zwei Stellen verschobenes Komma.

b) Falsch. 4800 cm24800\,\text{cm}^2 sind etwa 70 cm×70 cm70\,\text{cm} \times 70\,\text{cm}, also eine Tischplatte. Richtig: 48 m2=48⋅10000 cm2=480000 cm248\,\text{m}^2 = 48 \cdot 10000\,\text{cm}^2 = 480000\,\text{cm}^2. Der Fehler war der Faktor 100100 statt 1000010000, also die Quadrat-Falle.

c) Falsch. 0,15 mg0{,}15\,\text{mg} ist weniger als ein Sandkorn. Richtig: 150 g=0,15 kg150\,\text{g} = 0{,}15\,\text{kg} oder 150000 mg150000\,\text{mg}. Hier wurde kg mit mg verwechselt.

d) Richtig. 1 l=1 dm3=1000 cm31\,\text{l} = 1\,\text{dm}^3 = 1000\,\text{cm}^3, also sind 2 l=2000 cm32\,\text{l} = 2000\,\text{cm}^3. Das entspricht einem Würfel von etwa 12,6 cm12{,}6\,\text{cm} Kantenlänge, was für zwei Liter gut hinkommt.

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Hier wird jeder Schritt einzeln erklärt, vor allem, warum er gemacht wird.

Erklärungstiefe

✦ Empfohlen: Standard – Die normale Erklärungstiefe passt zum Einstieg.

  1. 1

    Zwei Prüfungen, in dieser Reihenfolge

    Zuerst der Plausibilitätsblick: Passt der Wert zu etwas, das man kennt? Danach erst die Ersetzungsmethode, die den Fehler genau benennt. Die erste Prüfung findet den Verdacht, die zweite liefert den Beweis.

  2. 2

    a) und c): verschobenes Komma, verwechselter Vorsatz

    a) 12 m12\,\text{m} wäre die Länge eines Klassenzimmers, kein Schulweg. Richtig ist 1,2⋅1000 m=1200 m1{,}2 \cdot 1000\,\text{m} = 1200\,\text{m}. c) 0,15 mg0{,}15\,\text{mg} ist weniger als ein Sandkorn; richtig sind 0,15 kg0{,}15\,\text{kg} oder 150000 mg150000\,\text{mg}.

  3. 3

    b) Die Quadrat-Falle

    8 m⋅6 m=48 m28\,\text{m} \cdot 6\,\text{m} = 48\,\text{m}^2. Beim Umrechnen in cm2\text{cm}^2 gilt aber 1 m2=10000 cm21\,\text{m}^2 = 10000\,\text{cm}^2, also 48⋅10000 cm2=480000 cm248 \cdot 10000\,\text{cm}^2 = 480000\,\text{cm}^2. Im Protokoll stand der Faktor 100100.

    48 m2=48⋅10000 cm2=480000 cm248\,\text{m}^2 = 48 \cdot 10000\,\text{cm}^2 = 480000\,\text{cm}^2

    Zwischenergebnis

    48 m2=480000 cm248\,\text{m}^2 = 480000\,\text{cm}^2

  4. 4

    d) prüfen und deuten: drei falsch, eine richtig

    d) stimmt: 1 l=1 dm3=1000 cm31\,\text{l} = 1\,\text{dm}^3 = 1000\,\text{cm}^3, also sind 2 l=2000 cm32\,\text{l} = 2000\,\text{cm}^3. Das entspricht einem Würfel von etwa 12,6 cm12{,}6\,\text{cm} Kantenlänge, für zwei Liter eine glaubwürdige Größe.

Zusammenfassung

Eine physikalische Größe ist immer Zahlenwert mal Einheit, und genau deshalb darf man mit Einheiten rechnen wie mit Faktoren. Vorsätze wie Kilo, Zenti oder Milli sind nichts anderes als Zehnerpotenzen mit Namen; wer sie beim Umrechnen durch ihren Faktor ersetzt, muss nie raten, in welche Richtung das Komma wandert. Bei Flächen wirkt dieser Faktor zweimal, bei Volumen dreimal, weshalb ein Quadratmeter zehntausend und nicht hundert Quadratzentimeter hat. Zwei Kontrollen begleiten jede Rechnung: Kleinere Einheit bedeutet größere Zahl, und das Ergebnis muss zu den Vergleichsgrößen des Alltags passen.