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Mechanik

Körper, Stoffe und die Dichte

Warum ein Kilogramm Eisen und ein Kilogramm Holz verschieden groß sind, und wie man Dichte misst und berechnet.

Benötigte Grundlagen

Dieses Vorwissen brauchst du für das Kapitel. Schau kurz nach, wenn dir etwas davon nicht mehr präsent ist, sonst leg direkt los.

Einführung

Was ist schwerer, ein Kilogramm Eisen oder ein Kilogramm Federn? Der alte Scherzfrage-Klassiker, und die Antwort ist natürlich: gleich schwer, ein Kilogramm ist ein Kilogramm.

Und trotzdem steckt hinter dem Gefühl, Eisen sei „schwerer", etwas Richtiges. Nur meint man dabei nicht die Masse, sondern etwas anderes: Ein gleich großes Stück Eisen ist deutlich schwerer als ein gleich großes Stück Federn. Diese Eigenschaft eines Stoffes hat einen Namen und lässt sich messen. Sie heißt Dichte, und mit ihr lässt sich unter anderem beantworten, warum Schiffe aus Stahl nicht untergehen.

Das kannst du nach diesem Kapitel

  • zwischen Körper und Stoff unterscheiden und Beispiele zuordnen.

  • Masse und Volumen als beschreiben und messen.

  • den Zusammenhang zwischen Masse und Volumen im Diagramm darstellen und deuten.

  • die Dichte als Quotient aus Masse und Volumen berechnen.

  • die Dichte eines Körpers experimentell bestimmen, auch bei unregelmäßiger Form.

  • mit der Dichtegleichung alle drei Größen berechnen und Stoffe identifizieren.

Körper und Stoff sind nicht dasselbe

In der Umgangssprache sagt man „ein Glas" und meint mal das Trinkgefäß, mal das Material. Die Physik trennt das sauber:

  • Ein Körper ist ein einzelnes Ding mit einer bestimmten Gestalt und einem bestimmten Volumen: dieser Löffel, jener Nagel, ein Wassertropfen.
  • Ein Stoff ist das Material, aus dem der Körper besteht: Edelstahl, Eisen, Wasser.

Derselbe Stoff kann unendlich viele Körper bilden (aus Eisen wird ein Nagel, ein Hufeisen, ein Träger), und derselbe Körper kann aus mehreren Stoffen bestehen (ein Bleistift aus Holz, Graphit und Lack).

Der Unterschied ist mehr als Wortklauberei: Stoffeigenschaften hängen nur vom Material ab und nicht davon, wie viel man davon hat. Ob du ein Gramm Eisen untersuchst oder eine Tonne, es schmilzt bei derselben Temperatur. Körpereigenschaften wie Masse oder Volumen hängen dagegen davon ab, wie groß das Stück ist.

Masse und Volumen

Die Masse mm gibt an, wie viel Stoff in einem Körper steckt. Sie wird mit einer Waage gemessen, die Basiseinheit ist das Kilogramm (kg). Die Masse eines Körpers ändert sich nicht, wenn man ihn woanders hinbringt: Ein Kilogramm Mehl ist auf dem Mond genauso ein Kilogramm Mehl (dass es sich dort leichter anfühlt, ist eine Aussage über die , nicht über die Masse, und darum geht es im Kraft-Kapitel).

Das Volumen VV gibt an, wie viel Raum ein Körper einnimmt. Einheiten sind m3\text{m}^3, cm3\text{cm}^3 und Liter. Man bestimmt es je nach Körper unterschiedlich:

  • Regelmäßige Form: ausmessen und rechnen, beim Quader etwa V=l⋅b⋅hV = l \cdot b \cdot h.
  • Unregelmäßige Form: in einen Messzylinder mit Wasser tauchen. Der Wasserstand steigt genau um das Volumen des Körpers, weil der Körper das Wasser verdrängt. Man liest vorher und nachher ab und bildet die Differenz.
Volumen messen, ohne zu rechnenvorher50 mlnachher80 ml30 mlV = 80 ml − 50 ml = 30 cm³ (1 ml = 1 cm³)

Das Volumen eines krummen Körpers musst du nicht ausrechnen, du kannst es ablesen: Der Wasserstand steigt genau um sein Volumen. Weil 1 ml und 1 cm³ dasselbe Volumen sind, ist die Differenz der beiden Ablesungen bereits das Ergebnis.

Die Entdeckung: Masse und Volumen wachsen im gleichen Verhältnis

Jetzt kommt der eigentliche Kern. Man nimmt mehrere Aluminiumklötze verschiedener Größe, misst bei jedem Volumen und Masse und trägt die Werte in eine Tabelle ein:

VV in cm3\text{cm}^310203050
mm in g275481135

Zwei Dinge fallen sofort auf:

  1. Doppeltes Volumen bedeutet doppelte Masse. Im Diagramm liegen alle Punkte auf einer Ursprungsgeraden.
  2. Teilt man in jeder Spalte die Masse durch das Volumen, kommt immer dieselbe Zahl heraus:
27 g10 cm3=2,7 gcm3,54 g20 cm3=2,7 gcm3,135 g50 cm3=2,7 gcm3\frac{27\,\text{g}}{10\,\text{cm}^3} = 2{,}7\,\frac{\text{g}}{\text{cm}^3}, \qquad \frac{54\,\text{g}}{20\,\text{cm}^3} = 2{,}7\,\frac{\text{g}}{\text{cm}^3}, \qquad \frac{135\,\text{g}}{50\,\text{cm}^3} = 2{,}7\,\frac{\text{g}}{\text{cm}^3}

Wiederholt man dasselbe mit Eisenklötzen, sind die Zahlen andere, aber wieder untereinander gleich: immer 7,9 gcm37{,}9\,\frac{\text{g}}{\text{cm}^3}.

Dieser Quotient hängt also nicht von der Größe des Stücks ab, sondern nur vom Stoff. Er ist damit eine Stoffeigenschaft, und genau das macht ihn nützlich. Man nennt ihn die Dichte ρ\rho (griechischer Buchstabe „rho"):

ρ=mV\rho = \frac{m}{V}

Was die Dichte anschaulich bedeutet

ρAlu=2,7 gcm3\rho_{\text{Alu}} = 2{,}7\,\frac{\text{g}}{\text{cm}^3} heißt wörtlich: Jeder Kubikzentimeter Aluminium hat eine Masse von 2,7 g2{,}7\,\text{g}. Die Dichte ist also die Masse einer Portion von genau einer Volumeneinheit. Wer den Bruch so liest, muss die Formel nicht auswendig lernen, sie steht in der Einheit.

Der Grund für die Unterschiede liegt im Aufbau der Stoffe: Die Teilchen verschiedener Stoffe haben verschiedene Masse und liegen verschieden dicht beieinander. Wo schwere Teilchen eng gepackt sind, ist die Dichte hoch.

Gleiches Volumen, verschiedener Stoffbeide V = 100 cm³Aluminiumρ = 2,7 g/cm³270 gEisenρ = 7,9 g/cm³790 gDie Dichte sagt, wie viel Masse in 1 cm³ steckt

Beide Würfel sind exakt gleich groß, trotzdem zeigt die Waage beim Eisenwürfel fast das Dreifache an. Der Unterschied kann also nicht an der Größe liegen, sondern nur am Stoff, und genau diese Stoffeigenschaft heißt Dichte.

Gleiche Masse, verschiedenes VolumenAluminiumV ≈ 293 cm³EisenV = 100 cm³beide 790 gρ = m / V: kleinere Dichte, mehr Platz bei gleicher Masse

Umgekehrt gelesen: Damit Aluminium dieselbe Masse erreicht wie Eisen, braucht es fast das dreifache Volumen. Achte auf die Kantenlängen. Sie stehen im Verhältnis der dritten Wurzeln, weil das Volumen mit der dritten Potenz wächst.

Dichten einiger Stoffe

Stoffρ\rho in gcm3\frac{\text{g}}{\text{cm}^3}Stoffρ\rho in gcm3\frac{\text{g}}{\text{cm}^3}
Kork0,2Eisen7,9
Fichtenholz0,5Kupfer8,9
Eis0,92Blei11,3
Wasser1,0Gold19,3
Aluminium2,7Luft0,0013

Zwei Werte lohnen sich zum Merken, weil man mit ihnen viel abschätzen kann: Wasser hat genau 1 gcm31\,\frac{\text{g}}{\text{cm}^3}, und Luft ist etwa 800-mal dünner als Wasser.

Aus der Tabelle liest man außerdem eine Regel ab, die im Kapitel über den Auftrieb (Klasse 8) begründet wird: Stoffe mit kleinerer Dichte als Wasser schwimmen oben, Stoffe mit größerer gehen unter. Eis mit 0,92 gcm30{,}92\,\frac{\text{g}}{\text{cm}^3} schwimmt knapp, und deshalb ragt ein Eisberg nur zu etwa einem Zehntel aus dem Wasser.

Umstellen der Gleichung

Aus ρ=mV\rho = \frac{m}{V} folgen durch Umstellen die beiden anderen Formen. Beide bekommt man, ohne etwas zusätzlich zu lernen:

Beide Seiten mit VV multiplizieren:

m=ρ⋅Vm = \rho \cdot V

Diese Gleichung dann durch ρ\rho teilen:

V=mρV = \frac{m}{\rho}

Nützlich ist noch die Umrechnung der Einheiten. Wegen 1 kg=1000 g1\,\text{kg} = 1000\,\text{g} und 1 dm3=1000 cm31\,\text{dm}^3 = 1000\,\text{cm}^3 heben sich die beiden Tausender genau auf:

1 gcm3=1 kgdm3=1000 kgm31\,\frac{\text{g}}{\text{cm}^3} = 1\,\frac{\text{kg}}{\text{dm}^3} = 1000\,\frac{\text{kg}}{\text{m}^3}

Dichte experimentell bestimmen

Ein unregelmäßig geformter Metallkörper hat die Masse 237 g237\,\text{g}. Im Messzylinder steht das Wasser zunächst bei 50 ml50\,\text{ml}, nach dem Eintauchen bei 80 ml80\,\text{ml}. Um welchen Stoff handelt es sich?

  1. 1

    Volumen über die Verdrängung bestimmen. Der Körper schiebt genau so viel Wasser zur Seite, wie er selbst Raum einnimmt. Der Anstieg des Wasserspiegels ist deshalb das Körpervolumen:

    V=80 ml−50 ml=30 ml=30 cm3V = 80\,\text{ml} - 50\,\text{ml} = 30\,\text{ml} = 30\,\text{cm}^3

    (Es gilt 1 ml=1 cm31\,\text{ml} = 1\,\text{cm}^3.)

  2. 2

    Dichte berechnen. Jetzt sind Masse und Volumen bekannt, also einsetzen:

    ρ=mV=237 g30 cm3=7,9 gcm3\rho = \frac{m}{V} = \frac{237\,\text{g}}{30\,\text{cm}^3} = 7{,}9\,\frac{\text{g}}{\text{cm}^3}
  3. 3

    Mit der Tabelle vergleichen. 7,9 gcm37{,}9\,\frac{\text{g}}{\text{cm}^3} steht dort bei Eisen. Kupfer hätte 8,98{,}9, Aluminium nur 2,72{,}7, beides liegt weit daneben.

  4. 4

    Ergebnis kritisch prüfen. Die Messung ist auf etwa 1 ml1\,\text{ml} genau ablesbar, das sind gut 3 %3\,\% des Volumens. Damit ist die Dichte auf ungefähr ±0,3 gcm3\pm 0{,}3\,\frac{\text{g}}{\text{cm}^3} genau. Eisen (7,97{,}9) und Kupfer (8,98{,}9) lassen sich damit sicher unterscheiden, Eisen und Stahl (etwa 7,87{,}8) nicht.

ρ=7,9 gcm3\rho = 7{,}9\,\frac{\text{g}}{\text{cm}^3}, der Körper besteht aus Eisen. Genau so identifiziert man Stoffe über die Dichte, ganz ohne den Körper zu zerstören.

Masse aus Dichte und Volumen

Ein Fenstersturz aus Beton (ρ=2,4 gcm3\rho = 2{,}4\,\frac{\text{g}}{\text{cm}^3}) ist 2,0 m2{,}0\,\text{m} lang, 25 cm25\,\text{cm} breit und 20 cm20\,\text{cm} hoch. Welche Masse hat er? Können zwei Personen ihn tragen?

  1. 1

    Alle Längen in dieselbe Einheit bringen. Die Dichte ist in gcm3\frac{\text{g}}{\text{cm}^3} gegeben, also rechnen wir in Zentimetern:

    l=200 cm,b=25 cm,h=20 cml = 200\,\text{cm}, \qquad b = 25\,\text{cm}, \qquad h = 20\,\text{cm}
  2. 2

    Volumen des Quaders berechnen:

    V=l⋅b⋅h=200 cm⋅25 cm⋅20 cm=100000 cm3V = l \cdot b \cdot h = 200\,\text{cm} \cdot 25\,\text{cm} \cdot 20\,\text{cm} = 100000\,\text{cm}^3
  3. 3

    Gleichung umstellen und einsetzen. Gesucht ist die Masse, also die Form m=ρ⋅Vm = \rho \cdot V:

    m=2,4 gcm3⋅100000 cm3=240000 gm = 2{,}4\,\frac{\text{g}}{\text{cm}^3} \cdot 100000\,\text{cm}^3 = 240000\,\text{g}

    Die Einheit cm3\text{cm}^3 kürzt sich weg, übrig bleibt g. Das ist die eingebaute Kontrolle: Wäre die Einheit am Ende nicht g, hätte man falsch eingesetzt.

  4. 4

    In eine sinnvolle Einheit umrechnen und beurteilen:

    m=240000 g=240 kgm = 240000\,\text{g} = 240\,\text{kg}

    240 kg240\,\text{kg} auf zwei Personen sind 120 kg120\,\text{kg} pro Person. Das ist weit jenseits dessen, was ein Mensch heben darf; auf dem Bau nimmt man dafür einen Kran.

m=240 kgm = 240\,\text{kg}. Zwei Personen können den Sturz nicht tragen. Die Rechnung ersetzt hier ein gefährliches Ausprobieren.

Typischer Fehler

„Blei hat eine größere Dichte als Holz, also ist Blei schwerer als Holz."

Der Satz klingt vernünftig, vergleicht aber zwei verschiedene Dinge. „Schwer" ist eine Eigenschaft eines Körpers (dieses Stück hier), „Dichte" eine Eigenschaft des Stoffes.

Ein Bleischrot mit 1 cm31\,\text{cm}^3 hat 11,3 g11{,}3\,\text{g}. Ein Holzbalken mit 50000 cm350000\,\text{cm}^3 hat bei ρ=0,5 gcm3\rho = 0{,}5\,\frac{\text{g}}{\text{cm}^3} eine Masse von 25 kg25\,\text{kg}. Das Holz ist hier über zweitausendmal schwerer als das Blei, und die Dichteangabe war trotzdem richtig.

Richtig formuliert: „Blei hat eine größere Dichte als Holz, also ist ein Bleistück schwerer als ein gleich großes Holzstück." Der Zusatz „gleich groß" ist nicht schmückendes Beiwerk, er ist die eigentliche Aussage. Ohne ihn ist der Satz nicht belegt.

Übung 1

leicht

Ein Würfel aus Aluminium hat die Kantenlänge 4 cm4\,\text{cm}. Die Dichte von Aluminium beträgt 2,7 gcm32{,}7\,\frac{\text{g}}{\text{cm}^3}.

a) Berechne das Volumen des Würfels.

b) Berechne seine Masse.

Tipp anzeigen

Beim Würfel ist V=a3V = a^3.

Lösung anzeigen

a) V=a3=(4 cm)3=64 cm3V = a^3 = (4\,\text{cm})^3 = 64\,\text{cm}^3

b) m=ρ⋅V=2,7 gcm3⋅64 cm3=172,8 g≈173 gm = \rho \cdot V = 2{,}7\,\frac{\text{g}}{\text{cm}^3} \cdot 64\,\text{cm}^3 = 172{,}8\,\text{g} \approx 173\,\text{g}

Zur Kontrolle: Der Würfel ist etwa faustgroß und wiegt knapp 200 g200\,\text{g}. Das passt zu dem Gefühl, dass Aluminium ein leichtes Metall ist.

Detaillierte Schritterklärung anzeigen

Hier wird jeder Schritt einzeln erklärt, vor allem, warum er gemacht wird.

Erklärungstiefe

✦ Empfohlen: Standard – Die normale Erklärungstiefe passt zum Einstieg.

  1. 1

    Gegeben und Gesucht mit Formelzeichen aufschreiben

    Gegeben: Kantenlänge a=4 cma = 4\,\text{cm} und Dichte ρ=2,7 gcm3\rho = 2{,}7\,\frac{\text{g}}{\text{cm}^3}. Gesucht: a) das Volumen VV, b) die Masse mm.

  2. 2

    a) Die Volumenformel des Würfels

    Beim Würfel sind alle drei Kanten gleich lang. Aus V=a⋅b⋅cV = a \cdot b \cdot c des Quaders wird deshalb V=a⋅a⋅a=a3V = a \cdot a \cdot a = a^3.

  3. 3

    a) Volumen berechnen: Einheit mit potenzieren

    Sowohl die Zahl als auch die Einheit werden hoch drei genommen: 43=644^3 = 64 und cm3\text{cm}^3.

    V=a3=(4 cm)3=64 cm3V = a^3 = (4\,\text{cm})^3 = 64\,\text{cm}^3

    Zwischenergebnis

    V=64 cm3V = 64\,\text{cm}^3

  4. 4

    b) Die Dichte als Verbindung von Masse und Volumen

    Die Dichte gibt an, wie viel Masse in einem Kubikzentimeter steckt. Bei 6464 Kubikzentimetern ist es entsprechend das 6464-Fache: m=ρ⋅Vm = \rho \cdot V.

  5. 5

    b) Masse berechnen

    Die Einheiten cm3\text{cm}^3 kürzen sich weg, übrig bleibt Gramm.

    m=ρ⋅V=2,7 gcm3⋅64 cm3=172,8 gm = \rho \cdot V = 2{,}7\,\frac{\text{g}}{\text{cm}^3} \cdot 64\,\text{cm}^3 = 172{,}8\,\text{g}

    Zwischenergebnis

    m≈173 gm \approx 173\,\text{g}

  6. 6

    Ergebnis prüfen und deuten

    Ein Würfel mit 44 cm Kante ist etwa faustgroß, und 173173 Gramm sind knapp so viel wie eine große Tafel Schokolade. Das passt zu dem, was man beim Anfassen von Aluminium erwartet: ein Metall, das erstaunlich leicht ist.

Übung 2

mittel

Eine Goldkette hat die Masse 38,6 g38{,}6\,\text{g}. Beim Eintauchen in einen Messzylinder steigt der Wasserstand von 25,0 ml25{,}0\,\text{ml} auf 27,0 ml27{,}0\,\text{ml}.

a) Bestimme die Dichte.

b) Handelt es sich um reines Gold (ρ=19,3 gcm3\rho = 19{,}3\,\frac{\text{g}}{\text{cm}^3})?

c) Nenne eine mögliche Fehlerquelle bei dieser Messung.

Tipp anzeigen

c) Wie genau lässt sich ein Messzylinder ablesen, und wie viel Prozent des Volumens sind das hier?

Lösung anzeigen

a) V=27,0 ml−25,0 ml=2,0 ml=2,0 cm3V = 27{,}0\,\text{ml} - 25{,}0\,\text{ml} = 2{,}0\,\text{ml} = 2{,}0\,\text{cm}^3

ρ=38,6 g2,0 cm3=19,3 gcm3\rho = \frac{38{,}6\,\text{g}}{2{,}0\,\text{cm}^3} = 19{,}3\,\frac{\text{g}}{\text{cm}^3}

b) Der Wert stimmt mit der Tabelle überein, es spricht also alles für reines Gold.

c) Das Volumen ist mit 2,0 ml2{,}0\,\text{ml} sehr klein. Ein Messzylinder lässt sich bestenfalls auf 0,5 ml0{,}5\,\text{ml} genau ablesen, das sind hier schon 25 %25\,\%. Damit könnte die tatsächliche Dichte zwischen etwa 15,415{,}4 und 25,7 gcm325{,}7\,\frac{\text{g}}{\text{cm}^3} liegen, und in diesem Bereich liegt auch Blei (11,311{,}3) nicht weit entfernt. Das Ergebnis ist also viel unsicherer, als die schöne Zahl vermuten lässt. Besser wäre ein Überlaufgefäß oder eine deutlich größere Probe.

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Hier wird jeder Schritt einzeln erklärt, vor allem, warum er gemacht wird.

Erklärungstiefe

✦ Empfohlen: Standard – Die normale Erklärungstiefe passt zum Einstieg.

  1. 1

    Gegeben und Gesucht: Vorsicht bei der Volumenangabe

    Gegeben: m=38,6 gm = 38{,}6\,\text{g} sowie zwei Wasserstände, 25,0 ml25{,}0\,\text{ml} vorher und 27,0 ml27{,}0\,\text{ml} nachher. Gesucht: die Dichte ρ\rho. Das Volumen der Kette steht nicht direkt da. Es ist die Differenz.

  2. 2

    a) Das Verdrängungsprinzip: warum der Anstieg das Volumen ist

    Wasser lässt sich praktisch nicht zusammendrücken. Die eingetauchte Kette muss deshalb genau so viel Wasser zur Seite schieben, wie sie selbst Raum einnimmt, der Anstieg des Wasserstands ist ihr Volumen. Zusätzlich gilt 1 ml=1 cm31\,\text{ml} = 1\,\text{cm}^3.

  3. 3

    a) Das Volumen als Differenz bestimmen

    Der Wasserstand nachher minus der Wasserstand vorher ergibt das verdrängte Volumen und damit das Volumen der Kette.

    V=27,0 ml−25,0 ml=2,0 cm3V = 27{,}0\,\text{ml} - 25{,}0\,\text{ml} = 2{,}0\,\text{cm}^3

    Zwischenergebnis

    V=2,0 cm3V = 2{,}0\,\text{cm}^3

  4. 4

    a) Die Dichte als Masse je Volumen

    Die Dichte beantwortet die Frage „wie viel Masse steckt in einem Kubikzentimeter?". Man teilt deshalb die Masse durch das Volumen: ρ=mV\rho = \frac{m}{V}.

  5. 5

    a) Dichte ausrechnen

    Masse durch Volumen, die Einheiten liefern dabei von selbst gcm3\frac{\text{g}}{\text{cm}^3}.

    ρ=38,6 g2,0 cm3=19,3 gcm3\rho = \frac{38{,}6\,\text{g}}{2{,}0\,\text{cm}^3} = 19{,}3\,\frac{\text{g}}{\text{cm}^3}

    Zwischenergebnis

    ρ=19,3 gcm3\rho = 19{,}3\,\frac{\text{g}}{\text{cm}^3}

  6. 6

    b) Mit dem Tabellenwert vergleichen

    Der berechnete Wert stimmt mit dem Tabellenwert für Gold (19,3 gcm319{,}3\,\frac{\text{g}}{\text{cm}^3}) überein. Es spricht damit alles für reines Gold.

  7. 7

    c) Ergebnis deuten: die schöne Zahl täuscht

    Das Volumen ist mit 2,0 ml2{,}0\,\text{ml} sehr klein. Ein Messzylinder lässt sich bestenfalls auf 0,5 ml0{,}5\,\text{ml} genau ablesen. Das sind hier schon 25 %25\,\%. Die tatsächliche Dichte könnte deshalb etwa zwischen 15,415{,}4 und 25,7 gcm325{,}7\,\frac{\text{g}}{\text{cm}^3} liegen.

Übung 3

schwer

Ein Schmuckstück wiegt 105 g105\,\text{g} und hat ein Volumen von 10 cm310\,\text{cm}^3. Es soll aus Gold (19,3 gcm319{,}3\,\frac{\text{g}}{\text{cm}^3}) bestehen, könnte aber mit Silber (10,5 gcm310{,}5\,\frac{\text{g}}{\text{cm}^3}) gestreckt sein.

a) Berechne die Dichte des Schmuckstücks.

b) Was folgt daraus?

c) Zusatz: Wie groß müsste das Volumen sein, wenn die 105 g105\,\text{g} reines Gold wären?

Tipp anzeigen

b) Vergleiche mit beiden Tabellenwerten.

Lösung anzeigen

a) ρ=105 g10 cm3=10,5 gcm3\rho = \dfrac{105\,\text{g}}{10\,\text{cm}^3} = 10{,}5\,\frac{\text{g}}{\text{cm}^3}

b) Der Wert stimmt exakt mit Silber überein und liegt weit unter dem von Gold. Das Schmuckstück ist also nicht aus Gold, sondern (soweit die Dichte das entscheiden kann) aus Silber. Vorsicht bei der Formulierung: Die Dichte allein beweist nicht, welcher Stoff vorliegt, sondern nur, welcher es nicht sein kann. Auch eine Mischung mit zufällig passender Dichte wäre denkbar. Sicher ausgeschlossen ist reines Gold.

c) Bei reinem Gold wäre

V=mρ=105 g19,3 gcm3≈5,44 cm3V = \frac{m}{\rho} = \frac{105\,\text{g}}{19{,}3\,\frac{\text{g}}{\text{cm}^3}} \approx 5{,}44\,\text{cm}^3

also nur ungefähr halb so groß. Ein echtes Goldstück derselben Masse wäre auffallend kleiner, und genau daran erkennt ein geübter Händler eine Fälschung oft schon beim Anfassen.

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Hier wird jeder Schritt einzeln erklärt, vor allem, warum er gemacht wird.

Erklärungstiefe

✦ Empfohlen: Standard – Die normale Erklärungstiefe passt zum Einstieg.

  1. 1

    Gegeben und Gesucht

    Gegeben: m=105 gm = 105\,\text{g}, V=10 cm3V = 10\,\text{cm}^3 sowie zwei Tabellenwerte, Gold mit 19,3 gcm319{,}3\,\frac{\text{g}}{\text{cm}^3} und Silber mit 10,5 gcm310{,}5\,\frac{\text{g}}{\text{cm}^3}. Gesucht: a) die Dichte, b) die Schlussfolgerung, c) das Volumen bei reinem Gold.

  2. 2

    a) Dichte als Masse je Volumen

    Wieder gilt ρ=mV\rho = \frac{m}{V}: Wie viel Masse steckt in einem Kubikzentimeter des Stücks?

  3. 3

    a) Dichte des Schmuckstücks

    Masse durch Volumen teilen: das Ergebnis sagt, wie viel Gramm in einem Kubikzentimeter dieses Schmuckstücks stecken.

    ρ=105 g10 cm3=10,5 gcm3\rho = \frac{105\,\text{g}}{10\,\text{cm}^3} = 10{,}5\,\frac{\text{g}}{\text{cm}^3}

    Zwischenergebnis

    ρ=10,5 gcm3\rho = 10{,}5\,\frac{\text{g}}{\text{cm}^3}

  4. 4

    b) Was daraus folgt und was nicht

    Der Wert liegt weit unter dem von Gold und stimmt genau mit Silber überein. Sicher ausgeschlossen ist damit reines Gold. Dass es Silber ist, ist naheliegend, aber nicht bewiesen: Auch eine Mischung mit zufällig passender Dichte wäre denkbar.

  5. 5

    c) Die Formel nach dem Volumen umstellen

    Gesucht ist jetzt VV, gegeben sind mm und ρ\rho. Aus ρ=mV\rho = \frac{m}{V} wird durch Umstellen V=mρV = \frac{m}{\rho}.

  6. 6

    c) Volumen bei reinem Gold

    Masse durch die Golddichte teilen: Wenn in jedem Kubikzentimeter 19,3 g19{,}3\,\text{g} stecken, sagt die Division, wie viele Kubikzentimeter für 105 g105\,\text{g} nötig wären.

    V=mρ=105 g19,3 gcm3≈5,44 cm3V = \frac{m}{\rho} = \frac{105\,\text{g}}{19{,}3\,\frac{\text{g}}{\text{cm}^3}} \approx 5{,}44\,\text{cm}^3

    Zwischenergebnis

    V≈5,44 cm3V \approx 5{,}44\,\text{cm}^3

  7. 7

    Ergebnis deuten: warum Händler Fälschungen erfühlen

    Ein echtes Goldstück derselben Masse wäre nur etwa halb so groß. Bei gleicher Größe fühlt sich Gold entsprechend deutlich schwerer an, daran erkennen geübte Händler eine Fälschung oft schon beim Anfassen.

Zusammenfassung

Ein Körper ist ein einzelnes Ding, ein Stoff das Material dahinter. Misst man an mehreren Stücken desselben Stoffes Masse und Volumen, zeigt sich: Beide wachsen im gleichen Verhältnis, und ihr Quotient ist für den Stoff immer derselbe. Dieser Quotient ist die Dichte ρ=mV\rho = \frac{m}{V}, und weil sie nicht von der Größe des Stücks abhängt, verrät sie, aus welchem Material ein Körper besteht. Aus der Gleichung folgen durch Umstellen m=ρ⋅Vm = \rho \cdot V und V=mρV = \frac{m}{\rho}; das Volumen unregelmäßiger Körper bekommt man über die Wasserverdrängung. Wichtig bleibt die saubere Sprache: Dichte ist eine Stoffeigenschaft, schwer und leicht sind Eigenschaften eines bestimmten Körpers.