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Relativitätstheorie

Spezielle Relativitätstheorie: Zeit und Länge

Warum bewegte Uhren langsamer gehen, bewegte Körper kürzer sind und was daran nachweisbar ist.

Benötigte Grundlagen

Dieses Vorwissen brauchst du für das Kapitel. Schau kurz nach, wenn dir etwas davon nicht mehr präsent ist, sonst leg direkt los.

Einführung

In der Physik ist es normal, dass sich addieren: Wer im fahrenden Zug nach vorn geht, bewegt sich vom Bahndamm aus schneller als der Zug.

Für Licht gilt das nicht. Wie schnell man sich auch bewegt, man misst immer 299 792 458 ms299\,792\,458\,\frac{\text{m}}{\text{s}}. Diese Beobachtung war ab 1887 durch Messungen belegt und schien unerklärlich.

Einstein zog 1905 einen radikalen Schluss: Wenn die Lichtgeschwindigkeit unverrückbar ist, dann müssen Zeit und Länge nachgeben. Was danach folgte, klingt absurd, ist aber millionenfach bestätigt und wird täglich von jedem Navigationsgerät benutzt.

Das kannst du nach diesem Kapitel

  • die beiden Einsteinschen Postulate formulieren.

  • die Zeitdilatation berechnen und deuten.

  • die Längenkontraktion berechnen.

  • den Lorentzfaktor anwenden und abschätzen.

  • die Relativität der Gleichzeitigkeit erklären.

  • experimentelle Belege nennen (Myonen, GPS).

Die beiden Postulate

Einstein stellte 1905 zwei Sätze an den Anfang:

1. Relativitätsprinzip. In allen gleichförmig gegeneinander bewegten Bezugssystemen gelten dieselben Naturgesetze. Kein Versuch kann zeigen, welches System „in Ruhe" ist.

2. Konstanz der Lichtgeschwindigkeit. Die Lichtgeschwindigkeit im Vakuum hat in jedem Bezugssystem denselben Wert cc, unabhängig von der Bewegung der Quelle und des Beobachters.

🔴 Das zweite Postulat widerspricht der Alltagserfahrung. Fährt ein Auto mit 100 kmh100\,\frac{\text{km}}{\text{h}} und wirft jemand daraus einen Ball mit 20 kmh20\,\frac{\text{km}}{\text{h}} nach vorn, misst man vom Straßenrand 120 kmh120\,\frac{\text{km}}{\text{h}}. Schaltet man dagegen den Scheinwerfer ein, misst man nicht c+100 kmhc + 100\,\frac{\text{km}}{\text{h}}, sondern genau cc.

Der Michelson-Morley-Versuch von 1887 zeigte das mit hoher Genauigkeit: Die Erde bewegt sich mit rund 30 kms30\,\frac{\text{km}}{\text{s}} um die Sonne, und trotzdem war kein Unterschied der Lichtgeschwindigkeit in verschiedenen Richtungen messbar.

Warum Zeit und Länge nachgeben müssen

Da c=stc = \frac{s}{t}, kann die Lichtgeschwindigkeit nur dann für alle Beobachter gleich sein, wenn Strecke und Zeit je nach Bezugssystem verschieden ausfallen.

Das ist kein Trick, sondern die einzige logische Möglichkeit: Wenn eine Größe fest ist, müssen die Größen nachgeben, aus denen sie sich zusammensetzt.

Derselbe Blitz, zwei verschiedene Wegeruhende UhrhWeg: 2 hbewegte Uhrv · t/2hc · t/2Bewegung mit vDer schräge Weg ist länger als der senkrechte.c ist in beiden Systemen gleich, also dauert es länger.Pythagoras liefert den Lorentzfaktor

Dieses Bild ist die Herleitung, nicht die Illustration. Links legt das Licht den Weg 2 h zurück, rechts die beiden schrägen Strecken. Die sind länger, das sieht man. Nun kommt das zweite Postulat ins Spiel: Die Lichtgeschwindigkeit ist in beiden Systemen dieselbe. Ein längerer Weg bei gleicher heißt zwangsläufig eine längere Zeit. Mit dem Satz des Pythagoras am rechtwinkligen Dreieck folgt daraus unmittelbar der Lorentzfaktor.

Der Lorentzfaktor

Alle Effekte werden durch einen einzigen Faktor beschrieben:

γ=11−v2c2\boxed{\gamma = \frac{1}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}}}
vvγ\gamma
0011
0,1 c0{,}1\,c1,0051{,}005
0,5 c0{,}5\,c1,1551{,}155
0,9 c0{,}9\,c2,292{,}29
0,99 c0{,}99\,c7,097{,}09
0,999 c0{,}999\,c22,422{,}4

🔴 Bis etwa 0,1 c0{,}1\,c ist γ\gamma praktisch 11, deshalb merkt man im Alltag nichts. Erst nahe cc wächst er dramatisch und geht für v→cv \to c gegen unendlich.

Lange fast eins, dann plötzlich steilγ über der Geschwindigkeit, in Anteilen von c.c1,152,297,0900,5 c0,9 c1Bei 0,1 c ist γ = 1,005, deshalb merkt man im Alltag nichts.Der Effekt ist da, nur meistens winzig

Die Kurve erklärt, warum die Relativitätstheorie so lange unentdeckt blieb: Bis etwa 0,8 c liegt γ dicht bei 1. Selbst bei zehn Prozent der Lichtgeschwindigkeit, 30 000 km/s, beträgt die Abweichung nur ein halbes Promille. Steil wird es erst ganz rechts, und genau dort arbeiten Teilchenbeschleuniger.

Zeitdilatation

Eine bewegte Uhr geht langsamer.

Δt=γ⋅Δt0\boxed{\Delta t = \gamma \cdot \Delta t_0}

Dabei ist Δt0\Delta t_0 die Eigenzeit, also die Zeit, die eine im betrachteten System ruhende Uhr anzeigt, und Δt\Delta t die Zeit im dazu bewegten System.

Zwei wichtige Klarstellungen:

  1. Die bewegte Uhr ist nicht defekt. Es ist die Zeit selbst, die verschieden vergeht.
  2. Der Effekt ist wechselseitig. Jeder Beobachter sieht die Uhr des anderen langsamer gehen, denn keiner ist ausgezeichnet.

Der Beleg: Myonen. In rund 10 km10\,\text{km} Höhe entstehen durch kosmische Strahlung Myonen mit einer Lebensdauer von nur 2,2 µs2{,}2\,\text{µs}. Selbst mit Lichtgeschwindigkeit kämen sie klassisch nur rund 660 m660\,\text{m} weit. Trotzdem erreichen sie den Erdboden in großer Zahl.

Die Erklärung: Bei v≈0,998 cv \approx 0{,}998\,c ist γ≈16\gamma \approx 16, ihre Lebensdauer beträgt vom Boden aus gesehen also rund 35 µs35\,\text{µs}, und damit reicht die Strecke.

🔴 Aus Sicht des Myons ist es umgekehrt: Für es vergeht die normale Lebensdauer, aber die Atmosphäre ist verkürzt (Längenkontraktion). Beide Beschreibungen führen zum selben Ergebnis, was sie auch müssen.

Längenkontraktion

Ein bewegter Körper ist in Bewegungsrichtung kürzer.

ℓ=ℓ0γ\boxed{\ell = \frac{\ell_0}{\gamma}}

ℓ0\ell_0 ist die Ruhelänge, gemessen im mitbewegten System.

Nur in Bewegungsrichtung; quer dazu ändert sich nichts.

Relativität der Gleichzeitigkeit

Zwei Ereignisse, die in einem System gleichzeitig sind, sind es in einem dazu bewegten System nicht.

Einsteins Zugbeispiel: In der Mitte eines fahrenden Zuges blitzt eine Lampe auf. Für einen mitfahrenden Beobachter erreicht das Licht beide Wagenenden gleichzeitig, denn es hat in beide Richtungen denselben Weg und dieselbe .

Für einen Beobachter am Bahndamm bewegt sich das hintere Ende dem Licht entgegen und das vordere davon. Da das Licht auch für ihn in beide Richtungen mit cc läuft, erreicht es das hintere Ende früher.

Beide haben recht. „Gleichzeitig" ist keine absolute Eigenschaft zweier Ereignisse.

🔴 Das ist der begrifflich schwierigste Punkt der Theorie und zugleich der Schlüssel: Aus ihm folgen Zeitdilatation und Längenkontraktion.

Was erhalten bleibt: Die kausale Reihenfolge. Ereignisse, die einander verursachen können, behalten in jedem Bezugssystem ihre Reihenfolge. Ursache und Wirkung lassen sich nicht vertauschen.

Ein Blitz, zwei AntwortenLampe genau in der Wagenmitte.im ZugBeide Enden gleich weit weg.gleichzeitigam BahnsteigHinten kommt der Wand entgegen.hinten zuerstBeide haben recht: Gleichzeitigkeit ist keine feste Größe.Wer fragt, gehört zur Antwort dazu

Derselbe Blitz, zwei verschiedene Antworten, und beide sind richtig. Im Zug sind beide Wände gleich weit weg, das Licht trifft sie gleichzeitig. Vom Bahnsteig aus kommt die hintere Wand dem Licht entgegen, während die vordere davonläuft. „Gleichzeitig“ ist damit keine Eigenschaft der Ereignisse, sondern hängt vom Bezugssystem ab.

Wo man es täglich braucht: GPS

Satelliten umkreisen die Erde mit rund 14 000 kmh14\,000\,\frac{\text{km}}{\text{h}} in 20 000 km20\,000\,\text{km} Höhe. Zwei relativistische Effekte wirken auf ihre Uhren:

  • Zeitdilatation durch die Bewegung: rund −7 µsTag-7\,\frac{\text{µs}}{\text{Tag}}
  • Gravitationseffekt (allgemeine Relativitätstheorie, schwächeres Feld oben): rund +45 µsTag+45\,\frac{\text{µs}}{\text{Tag}}

In der Summe gehen die Satellitenuhren rund 38 µs38\,\text{µs} je Tag vor. Das klingt winzig, entspricht aber wegen s=c⋅ts = c \cdot t einem Positionsfehler von

3⋅108 ms⋅38⋅10−6 s≈11 km je Tag3 \cdot 10^{8}\,\frac{\text{m}}{\text{s}} \cdot 38 \cdot 10^{-6}\,\text{s} \approx 11\,\text{km} \ \text{je Tag}

Ohne relativistische Korrektur wäre Satellitennavigation binnen Minuten unbrauchbar. Sie ist damit der alltäglichste Beleg für Einsteins Theorie.

Zeitdilatation und Längenkontraktion berechnen

Ein Raumschiff fliegt mit v=0,8 cv = 0{,}8\,c.

a) Wie groß ist der Lorentzfaktor?

b) An Bord vergeht ein Jahr. Wie viel Zeit vergeht auf der Erde?

c) Das Raumschiff ist in Ruhe 120 m120\,\text{m} lang. Wie lang erscheint es von der Erde aus?

d) Wie lang erscheint es der Besatzung?

  1. 1

    a) γ=11−v2c2=11−0,82=11−0,64=10,36=10,6\gamma = \frac{1}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}} = \frac{1}{\sqrt{1 - 0{,}8^2}} = \frac{1}{\sqrt{1 - 0{,}64}} = \frac{1}{\sqrt{0{,}36}} = \frac{1}{0{,}6}

    γ≈1,667\gamma \approx 1{,}667
  2. 2

    b) Die Zeit an Bord ist die Eigenzeit Δt0=1\Delta t_0 = 1 Jahr, denn dort ruht die Uhr relativ zur Besatzung:

    Δt=γ⋅Δt0=1,667⋅1 Jahr≈1,67 Jahre\Delta t = \gamma \cdot \Delta t_0 = 1{,}667 \cdot 1\,\text{Jahr} \approx 1{,}67\,\text{Jahre}

    Auf der Erde vergehen also rund ein Jahr und acht Monate, während an Bord ein Jahr vergeht.

  3. 3

    c) Von der Erde aus bewegt sich das Schiff, es erscheint deshalb verkürzt:

    ℓ=ℓ0γ=120 m1,667=72 m\ell = \frac{\ell_0}{\gamma} = \frac{120\,\text{m}}{1{,}667} = 72\,\text{m}

    Beachte, dass sich nur die Länge in Flugrichtung ändert. Der Durchmesser bleibt unverändert.

  4. 4

    d) Der Besatzung erscheint es unverändert 120 m120\,\text{m} lang.

    Begründung: Für die Besatzung ruht das Schiff. Man misst dort also die Ruhelänge ℓ0\ell_0, und alle Maßstäbe an Bord sind ebenfalls „mitverkürzt", sodass niemand etwas bemerkt.

    🔴 Das ist der Kern der Theorie: In seinem eigenen Bezugssystem misst jeder ganz normale Werte. Die Effekte treten nur beim Vergleich zweier gegeneinander bewegter Systeme auf.

    Und es gilt wechselseitig: Für die Besatzung ist es die Erde, die sich mit 0,8 c0{,}8\,c bewegt. Sie sieht deshalb die Erde abgeplattet und die Uhren auf der Erde langsamer gehen.

    Das ist kein Widerspruch, weil beide verschiedene Ereignispaare vergleichen; wegen der Relativität der Gleichzeitigkeit sind ihre Messungen nicht direkt gegeneinander aufzurechnen.

    Ein echter Vergleich wird erst möglich, wenn einer der beiden umkehrt und zurückkommt. Dann ist er nicht mehr gleichförmig bewegt, das Relativitätsprinzip greift für ihn nicht mehr, und er ist tatsächlich weniger gealtert. Das ist das sogenannte Zwillingsparadoxon, das damit gerade kein Paradoxon ist.

a) γ≈1,67\gamma \approx 1{,}67 b) rund 1,671{,}67 Jahre c) 72 m72\,\text{m} d) unverändert 120 m120\,\text{m}, denn im eigenen System misst man die Ruhelänge.

Myonen erreichen den Erdboden

Myonen entstehen in rund 10 km10\,\text{km} Höhe und haben eine mittlere Lebensdauer von τ0=2,2 µs\tau_0 = 2{,}2\,\text{µs}. Sie bewegen sich mit v=0,998 cv = 0{,}998\,c.

a) Wie weit kämen sie ohne relativistische Effekte?

b) Wie groß ist der Lorentzfaktor?

c) Erkläre aus Sicht der Erde, warum sie den Boden erreichen.

d) Erkläre denselben Sachverhalt aus Sicht des Myons.

  1. 1

    a) Klassische Rechnung:

    s=v⋅τ0≈3⋅108 ms⋅2,2⋅10−6 s≈660 ms = v \cdot \tau_0 \approx 3 \cdot 10^{8}\,\frac{\text{m}}{\text{s}} \cdot 2{,}2 \cdot 10^{-6}\,\text{s} \approx 660\,\text{m}

    Nur rund 660 m660\,\text{m}, also weniger als ein Zehntel der Strecke. Klassisch dürfte praktisch kein Myon den Boden erreichen.

    Gemessen wird aber eine große Zahl. Das war einer der ersten direkten Belege für die Zeitdilatation (Rossi und Hall, 1941).

  2. 2

    b) γ=11−0,9982=11−0,996004=10,003996\gamma = \frac{1}{\sqrt{1 - 0{,}998^2}} = \frac{1}{\sqrt{1 - 0{,}996004}} = \frac{1}{\sqrt{0{,}003996}}

    γ≈10,0632≈15,8\gamma \approx \frac{1}{0{,}0632} \approx 15{,}8
  3. 3

    c) Aus Sicht der Erde: Die Uhr des Myons geht langsamer.

    Die 2,2 µs2{,}2\,\text{µs} sind die Eigenzeit, gemessen im mitbewegten System des Myons. Von der Erde aus beträgt seine Lebensdauer

    τ=γ⋅τ0=15,8⋅2,2 µs≈34,8 µs\tau = \gamma \cdot \tau_0 = 15{,}8 \cdot 2{,}2\,\text{µs} \approx 34{,}8\,\text{µs}

    In dieser Zeit legt es zurück:

    s=v⋅τ≈3⋅108⋅34,8⋅10−6 m≈10 400 ms = v \cdot \tau \approx 3 \cdot 10^{8} \cdot 34{,}8 \cdot 10^{-6}\,\text{m} \approx 10\,400\,\text{m}

    Das reicht für die 10 km10\,\text{km}. ✓

  4. 4

    d) Aus Sicht des Myons: Die Atmosphäre ist verkürzt.

    Für das Myon vergeht seine normale Lebensdauer von 2,2 µs2{,}2\,\text{µs}; es merkt nichts Besonderes. In seinem System ruht es, und die Erde kommt ihm mit 0,998 c0{,}998\,c entgegen.

    Deshalb ist die Strecke längenkontrahiert:

    ℓ=ℓ0γ=10 000 m15,8≈633 m\ell = \frac{\ell_0}{\gamma} = \frac{10\,000\,\text{m}}{15{,}8} \approx 633\,\text{m}

    Und diese 633 m633\,\text{m} schafft es in 2,2 µs2{,}2\,\text{µs} bequem:

    s=3⋅108⋅2,2⋅10−6 m≈660 m>633 ms = 3 \cdot 10^{8} \cdot 2{,}2 \cdot 10^{-6}\,\text{m} \approx 660\,\text{m} > 633\,\text{m} ✓

    🔴 Beide Beschreibungen führen zum selben Ergebnis, benutzen aber verschiedene Effekte:

    ErdeMyon
    Lebensdauerverlängert (35 µs35\,\text{µs})normal (2,2 µs2{,}2\,\text{µs})
    Streckenormal (10 km10\,\text{km})verkürzt (633 m633\,\text{m})
    ErgebnisBoden erreichtBoden erreicht

    Das muss auch so sein. Ob ein Myon am Detektor ankommt, ist ein Ereignis und kann nicht vom Bezugssystem abhängen. Die Theorie wäre widersprüchlich, wenn die beiden Rechnungen verschiedene Antworten lieferten.

    Der allgemeine Grundsatz: Verschiedene Beobachter können sich über Zeiten und Längen uneinig sein, nie aber darüber, ob ein Ereignis stattgefunden hat.

    Genau daran erkennt man, dass Zeitdilatation und Längenkontraktion zusammengehören: Sie sind zwei Seiten derselben Sache, gesehen aus verschiedenen Systemen.

a) rund 660 m660\,\text{m}, viel zu wenig b) γ≈15,8\gamma \approx 15{,}8 c) Lebensdauer verlängert auf 35 µs35\,\text{µs} d) Strecke verkürzt auf 633 m633\,\text{m}; beide Rechnungen stimmen überein.

Typischer Fehler

„Bei hoher gehen Uhren wegen der Belastung tatsächlich falsch, und Körper werden durch den Fahrtwind zusammengedrückt."

Weder das eine noch das andere. Es handelt sich nicht um eine mechanische Wirkung auf Gegenstände, sondern um Eigenschaften von Raum und Zeit selbst.

Drei Gründe, warum es keine mechanische Ursache sein kann:

Erstens: Der Effekt ist unabhängig vom Material. Eine Quarzuhr, eine Atomuhr, ein Zerfall und der Alterungsprozess eines Lebewesens werden alle um genau denselben Faktor verlangsamt. Eine mechanische Belastung würde verschiedene Uhrentypen verschieden beeinflussen.

Zweitens: Der Effekt ist wechselseitig. Jeder der beiden Beobachter sieht die Uhr des anderen langsamer gehen. Bei einer mechanischen Ursache müsste sich eindeutig sagen lassen, welche Uhr wirklich betroffen ist.

Drittens: Im eigenen System merkt niemand etwas. Die Besatzung eines Raumschiffs misst ganz normale Zeiten und Längen. Es gibt keinen Versuch an Bord, mit dem sich die eigene Geschwindigkeit feststellen ließe. Genau das besagt das erste Postulat.

Was tatsächlich vorliegt: Zeit und Länge sind keine absoluten Größen, sondern hängen vom Bezugssystem ab. Zwei Beobachter, die sich gegeneinander bewegen, messen für dieselben Vorgänge verschiedene Werte, und beide messen richtig.

Woher stammt diese Einsicht? Nicht aus einer Spekulation, sondern aus der Konstanz der Lichtgeschwindigkeit. Ist c=stc = \frac{s}{t} für alle gleich, müssen ss und tt verschieden ausfallen. Es ist die einzige logisch mögliche Konsequenz.

Und sie ist millionenfach bestätigt: durch Myonen aus der kosmischen Strahlung, durch Atomuhren in Flugzeugen (Hafele-Keating 1971), durch Teilchenbeschleuniger, in denen die Lebensdauer instabiler Teilchen genau um den berechneten Faktor steigt, und durch GPS, das ohne diese Korrektur binnen Minuten unbrauchbar wäre.

Übung 1

leicht

a) Berechne γ\gamma für v=0,6 cv = 0{,}6\,c.

b) An Bord vergehen 1010 Jahre. Wie viel vergeht im ruhenden System?

c) Nenne die beiden Einsteinschen Postulate.

Tipp anzeigen

a) γ=11−0,36\gamma = \frac{1}{\sqrt{1-0{,}36}}.

Lösung anzeigen

a) γ=11−0,62=10,64=10,8=1,25\gamma = \frac{1}{\sqrt{1 - 0{,}6^2}} = \frac{1}{\sqrt{0{,}64}} = \frac{1}{0{,}8} = 1{,}25

b) Δt=γ⋅Δt0=1,25⋅10 Jahre=12,5 Jahre\Delta t = \gamma \cdot \Delta t_0 = 1{,}25 \cdot 10\,\text{Jahre} = 12{,}5\,\text{Jahre}

c) 1. Relativitätsprinzip: In allen gleichförmig gegeneinander bewegten Bezugssystemen gelten dieselben Naturgesetze.

2. Konstanz der Lichtgeschwindigkeit: Die Lichtgeschwindigkeit im Vakuum hat in jedem Bezugssystem denselben Wert, unabhängig von der Bewegung der Quelle und des Beobachters.

Detaillierte Schritterklärung anzeigen

Hier wird jeder Schritt einzeln erklärt, vor allem, warum er gemacht wird.

Erklärungstiefe

✦ Empfohlen: Standard – Die normale Erklärungstiefe passt zum Einstieg.

  1. 1

    Gegeben und Gesucht bei der Zeitdilatation

    a) v=0,6 cv = 0{,}6\,c; gesucht der Lorentzfaktor. b) an Bord vergehen 1010 Jahre; gesucht die Zeit im ruhenden System. c) die beiden Einsteinschen Postulate.

  2. 2

    Der Lorentzfaktor und die Zeitdilatation

    Es gilt γ=11−(vc)2\gamma = \frac{1}{\sqrt{1 - \left(\frac{v}{c}\right)^2}}, und für die Zeit Δt=γ⋅Δt0\Delta t = \gamma \cdot \Delta t_0, wobei Δt0\Delta t_0 die im mitbewegten System gemessene Eigenzeit ist.

  3. 3

    a) und b) Lorentzfaktor und verstrichene Zeit

    Erst γ\gamma aus dem Geschwindigkeitsverhältnis, dann die Zeit im ruhenden System.

    γ=11−0,62=10,8=1,25\gamma = \frac{1}{\sqrt{1 - 0{,}6^2}} = \frac{1}{0{,}8} = 1{,}25; Δt=1,25⋅10 Jahre=12,5 Jahre\Delta t = 1{,}25 \cdot 10\,\text{Jahre} = 12{,}5\,\text{Jahre}

    Zwischenergebnis

    γ=1,25\gamma = 1{,}25, Δt=12,5 Jahre\Delta t = 12{,}5\,\text{Jahre}

  4. 4

    c) Ergebnis deuten: die beiden Postulate als Ausgangspunkt

    1. Relativitätsprinzip: In allen gleichförmig gegeneinander bewegten Bezugssystemen gelten dieselben Naturgesetze. 2. Konstanz der Lichtgeschwindigkeit: Sie hat im Vakuum in jedem Bezugssystem denselben Wert, unabhängig von der Bewegung von Quelle und Beobachter.

Übung 2

mittel

a) Ein Stab von 2,0 m2{,}0\,\text{m} Ruhelänge fliegt mit 0,9 c0{,}9\,c. Wie lang erscheint er?

b) Warum merkt man im Alltag nichts von diesen Effekten?

c) Warum müssen GPS-Satelliten relativistisch korrigiert werden?

d) Warum ist der Effekt wechselseitig, und ist das kein Widerspruch?

Tipp anzeigen

a) Erst γ\gamma berechnen.

Lösung anzeigen

a) γ=11−0,81=10,19≈10,4359≈2,294\gamma = \frac{1}{\sqrt{1 - 0{,}81}} = \frac{1}{\sqrt{0{,}19}} \approx \frac{1}{0{,}4359} \approx 2{,}294

ℓ=ℓ0γ=2,0 m2,294≈0,87 m\ell = \frac{\ell_0}{\gamma} = \frac{2{,}0\,\text{m}}{2{,}294} \approx 0{,}87\,\text{m}

b) Weil bei Alltagsgeschwindigkeiten γ\gamma praktisch gleich 11 ist.

Ein Verkehrsflugzeug fliegt mit rund 250 ms250\,\frac{\text{m}}{\text{s}}, also vc≈8⋅10−7\frac{v}{c} \approx 8 \cdot 10^{-7}. Damit ist

γ≈1+12(vc)2≈1+3⋅10−13\gamma \approx 1 + \frac{1}{2}\left(\frac{v}{c}\right)^2 \approx 1 + 3 \cdot 10^{-13}

Die Abweichung liegt in der dreizehnten Nachkommastelle. Auf einem zehnstündigen Flug macht das rund 10 ns10\,\text{ns} aus, weniger als jede Alltagsuhr auflösen kann.

🔴 Messbar ist es dennoch. Genau das taten Hafele und Keating 1971: Sie flogen Atomuhren um die Welt und maßen Abweichungen im Bereich von hundert Nanosekunden, in guter Übereinstimmung mit der Rechnung.

c) Weil ihre Uhren sonst falsch gehen und die Positionsbestimmung auf Laufzeitmessung beruht.

Zwei Effekte wirken gegeneinander:

  • Zeitdilatation durch die Bahngeschwindigkeit von rund 3,9 kms3{,}9\,\frac{\text{km}}{\text{s}}: Die Uhr geht rund 7 µs7\,\text{µs} je Tag nach.
  • Gravitationseffekt (allgemeine Relativitätstheorie): In 20 000 km20\,000\,\text{km} Höhe ist das Schwerefeld schwächer, dort geht die Uhr rund 45 µs45\,\text{µs} je Tag vor.

In der Summe gehen die Satellitenuhren also rund 38 µs38\,\text{µs} je Tag vor.

Die Auswirkung auf die Position: Da die Entfernung aus der Laufzeit berechnet wird,

Δs=c⋅Δt=3⋅108 ms⋅38⋅10−6 s≈11 km\Delta s = c \cdot \Delta t = 3 \cdot 10^{8}\,\frac{\text{m}}{\text{s}} \cdot 38 \cdot 10^{-6}\,\text{s} \approx 11\,\text{km}

wäre der Fehler nach einem Tag über zehn Kilometer, nach einer Stunde bereits rund 500 m500\,\text{m}.

🔴 Die Uhren werden deshalb bereits vor dem Start entsprechend verstimmt, sodass sie im Orbit richtig gehen. GPS ist damit der alltäglichste Beleg für Einsteins Theorie: Ohne sie funktionierte kein Navigationsgerät.

d) Warum wechselseitig: Nach dem ersten Postulat ist kein Bezugssystem ausgezeichnet. Es gibt keinen Versuch, mit dem sich feststellen ließe, wer „wirklich" ruht.

Für einen Beobachter auf der Erde bewegt sich das Raumschiff, also geht dessen Uhr langsamer. Für die Besatzung bewegt sich die Erde, also geht deren Uhr langsamer. Beide Aussagen sind gleichberechtigt richtig.

Warum das kein Widerspruch ist: Weil beide verschiedene Ereignispaare vergleichen. Um zwei entfernte Uhren zu vergleichen, muss man festlegen, welche Zeitpunkte man gegenüberstellt, und genau das ist wegen der Relativität der Gleichzeitigkeit in beiden Systemen verschieden.

Die beiden Messungen lassen sich deshalb nicht einfach gegeneinander aufrechnen. Ein Widerspruch entstünde nur, wenn beide dieselben Ereignisse verglichen und verschiedene Ergebnisse erhielten. Das geschieht nie.

Ein echter Vergleich wird erst möglich, wenn die beiden wieder zusammenkommen. Dazu muss aber einer umkehren, und dabei wird er . Damit ist sein System nicht mehr gleichförmig bewegt, die Symmetrie ist gebrochen, und er ist tatsächlich weniger gealtert.

Das ist das Zwillingsparadoxon, und es ist gerade kein Paradoxon: Die Situation der beiden Zwillinge ist nicht symmetrisch, weil nur einer von ihnen die Beschleunigung erfährt.

Detaillierte Schritterklärung anzeigen

Hier wird jeder Schritt einzeln erklärt, vor allem, warum er gemacht wird.

Erklärungstiefe

✦ Empfohlen: Standard – Die normale Erklärungstiefe passt zum Einstieg.

  1. 1

    Gegeben und Gesucht bei der Längenkontraktion

    a) gibt einen Stab von ℓ0=2,0 m\ell_0 = 2{,}0\,\text{m} Ruhelänge bei v=0,9 cv = 0{,}9\,c; gesucht ist die beobachtete Länge. b) bis d) fragen nach dem Alltag, nach GPS und nach der Wechselseitigkeit.

  2. 2

    Die Längenkontraktion, der Lorentzfaktor steht hier im Nenner

    Es gilt ℓ=ℓ0γ\ell = \frac{\ell_0}{\gamma}, anders als bei der Zeit, wo γ\gamma im Zähler steht. Eine bewegte Länge erscheint kürzer, eine bewegte Zeitspanne länger.

  3. 3

    a) Die beobachtete Länge des Stabes

    Erst γ\gamma berechnen, dann die Ruhelänge durch γ\gamma teilen.

    γ=11−0,81≈2,294\gamma = \frac{1}{\sqrt{1 - 0{,}81}} \approx 2{,}294; ℓ=2,0 m2,294≈0,87 m\ell = \frac{2{,}0\,\text{m}}{2{,}294} \approx 0{,}87\,\text{m}

    Zwischenergebnis

    ℓ≈0,87 m\ell \approx 0{,}87\,\text{m}

  4. 4

    b) und c) Warum man nichts merkt und warum GPS es trotzdem muss

    b) Bei Alltagsgeschwindigkeiten ist γ\gamma praktisch gleich 11: Ein Verkehrsflugzeug hat vc≈8⋅10−7\frac{v}{c} \approx 8 \cdot 10^{-7}, die Abweichung liegt in der dreizehnten Nachkommastelle. c) Bei GPS wirken zwei Effekte gegeneinander: Zeitdilatation (7 µs7\,\text{µs} je Tag nach) und der Gravitationseffekt (45 µs45\,\text{µs} je Tag vor), zusammen rund 38 µs38\,\text{µs} je Tag vor.

  5. 5

    d) Ergebnis deuten: wechselseitig und trotzdem widerspruchsfrei

    Nach dem ersten Postulat ist kein Bezugssystem ausgezeichnet: Für die Erde geht die Schiffsuhr langsamer, für die Besatzung die Erduhr, beide Aussagen sind gleichberechtigt richtig. Kein Widerspruch, weil beide verschiedene Ereignispaare vergleichen; wegen der Relativität der Gleichzeitigkeit ist die Zuordnung in beiden Systemen verschieden.

Übung 3

schwer

a) Begründe, warum aus der Konstanz von cc zwingend folgt, dass Zeit und Länge relativ sind.

b) Erkläre die Relativität der Gleichzeitigkeit an Einsteins Zugbeispiel.

c) Warum bleibt trotzdem die Reihenfolge von Ursache und Wirkung erhalten?

d) Ein Myon fliegt mit 0,99 c0{,}99\,c. Um welchen Faktor verlängert sich seine Lebensdauer, und wie weit kommt es?

Tipp anzeigen

d) τ0=2,2 µs\tau_0 = 2{,}2\,\text{µs}.

Lösung anzeigen

a) Die ist definiert als

c=stc = \frac{s}{t}

Das zweite Postulat verlangt, dass derselbe Zahlenwert cc in jedem Bezugssystem herauskommt, gleich wie schnell sich der Messende bewegt.

Nun bewegt sich aber ein Beobachter, der dem Licht nacheilt, relativ zu einem ruhenden. Klassisch müsste er eine kleinere Geschwindigkeit messen, denn die Strecke, die das Licht relativ zu ihm zurücklegt, ist kleiner.

Damit trotzdem cc herauskommt, müssen ss und tt in den beiden Systemen verschiedene Werte haben. Es gibt keine andere Möglichkeit: Wenn ein Quotient fest ist, aber die Umstände sich ändern, müssen Zähler und Nenner nachgeben.

🔴 Der gedankliche Bruch liegt darin, was man aufgibt. Bis 1905 galten Zeit und Länge als absolut, während Geschwindigkeiten sich addierten. Einstein kehrte das um: Die Lichtgeschwindigkeit ist absolut, Zeit und Länge sind relativ.

Das war keine Willkür, sondern durch den Michelson-Morley-Versuch erzwungen, der keinerlei Richtungsabhängigkeit der Lichtgeschwindigkeit fand, obwohl sich die Erde mit 30 kms30\,\frac{\text{km}}{\text{s}} bewegt.

b) Der Aufbau: In der Mitte eines fahrenden Eisenbahnwagens blitzt eine Lampe auf. Die Frage lautet: Erreicht das Licht beide Wagenenden gleichzeitig?

Für den mitfahrenden Beobachter: ja. Der Wagen ruht in seinem System, beide Wege sind gleich lang, das Licht läuft in beide Richtungen mit cc. Es kommt also gleichzeitig an.

Für den Beobachter am Bahndamm: nein. Auch für ihn läuft das Licht in beide Richtungen mit cc (zweites Postulat). Während das Licht unterwegs ist, bewegt sich aber

  • das hintere Wagenende dem Licht entgegen,
  • das vordere Wagenende vom Licht weg.

Das Licht hat also nach hinten einen kürzeren Weg und kommt dort früher an.

Beide haben recht. Es gibt keinen Versuch, der einen von beiden widerlegen könnte, denn nach dem ersten Postulat ist keines der Systeme ausgezeichnet.

🔴 Die Folgerung ist tiefgreifend: „Gleichzeitig" ist keine Eigenschaft zweier Ereignisse allein, sondern nur bezogen auf ein Bezugssystem sinnvoll. Es gibt kein universelles „Jetzt" im ganzen Universum.

Aus dieser Einsicht folgen Zeitdilatation und Längenkontraktion, denn jede Längenmessung eines bewegten Körpers verlangt, beide Enden gleichzeitig zu markieren, und genau darüber sind sich die Beobachter uneinig.

c) Weil sich keine Wirkung schneller als mit cc ausbreiten kann.

Damit ein Ereignis A ein Ereignis B verursachen kann, muss ein Signal von A nach B gelangen, und das geht höchstens mit Lichtgeschwindigkeit. Man sagt, B liegt im Lichtkegel von A.

Für solche kausal verbundenen Ereignisse lässt sich zeigen, dass jedes Bezugssystem dieselbe Reihenfolge misst. Die Relativität der Gleichzeitigkeit betrifft nur Ereignisse, die zu weit auseinanderliegen, um einander beeinflussen zu können.

Beispiel: Ein Schuss und der Einschlag der Kugel sind kausal verbunden; kein Beobachter sieht die Kugel vor dem Schuss einschlagen. Zwei Blitze an weit entfernten Orten sind dagegen nicht kausal verbunden, und über ihre Reihenfolge können sich Beobachter uneinig sein.

🔴 Warum das wesentlich ist: Könnte man die Reihenfolge von Ursache und Wirkung umkehren, ließen sich logische Widersprüche konstruieren, etwa Botschaften in die eigene Vergangenheit. Die Relativitätstheorie erlaubt das nicht.

Genau daraus folgt auch, warum cc eine absolute Grenzgeschwindigkeit ist: Eine überlichtschnelle Signalübertragung würde in manchen Bezugssystemen bedeuten, dass die Wirkung vor der Ursache eintritt.

d) γ=11−0,992=11−0,9801=10,0199≈10,1411≈7,09\gamma = \frac{1}{\sqrt{1 - 0{,}99^2}} = \frac{1}{\sqrt{1 - 0{,}9801}} = \frac{1}{\sqrt{0{,}0199}} \approx \frac{1}{0{,}1411} \approx 7{,}09

Die Lebensdauer verlängert sich also um den Faktor rund 7,1:

τ=γτ0=7,09⋅2,2 µs≈15,6 µs\tau = \gamma\tau_0 = 7{,}09 \cdot 2{,}2\,\text{µs} \approx 15{,}6\,\text{µs}

Zurückgelegte Strecke:

s=v⋅τ=0,99⋅3⋅108 ms⋅15,6⋅10−6 s≈4630 ms = v \cdot \tau = 0{,}99 \cdot 3 \cdot 10^{8}\,\frac{\text{m}}{\text{s}} \cdot 15{,}6 \cdot 10^{-6}\,\text{s} \approx 4630\,\text{m}

Also rund 4,6 km4{,}6\,\text{km} statt der klassischen 660 m660\,\text{m}, ein Faktor von rund 77.

Vergleich mit dem schnelleren Myon aus dem Beispiel (v=0,998 cv = 0{,}998\,c, γ≈15,8\gamma \approx 15{,}8, s≈10,4 kms \approx 10{,}4\,\text{km}):

Ein Geschwindigkeitsunterschied von nur 0,8 %0{,}8\,\% verdoppelt die Reichweite. Das zeigt, wie steil γ\gamma nahe der Lichtgeschwindigkeit anwächst.

🔴 Praktische Bedeutung: Genau deshalb misst man in Teilchenbeschleunigern die Lebensdauer instabiler Teilchen deutlich verlängert, und zwar exakt um den berechneten Faktor. Das ist eine tägliche, hochgenaue Bestätigung der Zeitdilatation.

Ohne sie ließen sich viele kurzlebige Teilchen gar nicht untersuchen, weil sie zerfielen, bevor sie den Detektor erreichten.

Detaillierte Schritterklärung anzeigen

Hier wird jeder Schritt einzeln erklärt, vor allem, warum er gemacht wird.

Erklärungstiefe

✦ Empfohlen: Standard – Die normale Erklärungstiefe passt zum Einstieg.

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    Gegeben und Gesucht, drei Begründungen und ein Myon

    d) gibt ein Myon mit v=0,99 cv = 0{,}99\,c und der Ruhelebensdauer τ0=2,2 µs\tau_0 = 2{,}2\,\text{µs}; gesucht sind Verlängerungsfaktor und Reichweite. a) bis c) verlangen Begründungen zu Postulaten, Gleichzeitigkeit und Kausalität.

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    a) Warum aus der Konstanz von c die Relativität von Zeit und Länge folgt

    Die Geschwindigkeit ist c=stc = \frac{s}{t}. Das zweite Postulat verlangt denselben Zahlenwert in jedem Bezugssystem. Ein dem Licht nacheilender Beobachter müsste klassisch weniger messen, damit trotzdem cc herauskommt, müssen ss und tt in den Systemen verschiedene Werte haben.

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    b) und c) Gleichzeitigkeit im Zug und die Reihenfolge von Ursache und Wirkung

    b) Für den mitfahrenden Beobachter erreicht der Blitz beide Wagenenden gleichzeitig; für den am Bahndamm nicht, weil ihm das hintere Ende entgegenkommt und das vordere davonläuft. c) Trotzdem bleibt die Reihenfolge kausal verbundener Ereignisse in jedem System gleich, weil sich keine Wirkung schneller als mit cc ausbreiten kann.

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    d) Lebensdauer und Reichweite des Myons

    Erst γ\gamma, dann die verlängerte Lebensdauer, dann die zurückgelegte Strecke.

    γ=11−0,9801≈7,09\gamma = \frac{1}{\sqrt{1 - 0{,}9801}} \approx 7{,}09; τ=7,09⋅2,2 µs≈15,6 µs\tau = 7{,}09 \cdot 2{,}2\,\text{µs} \approx 15{,}6\,\text{µs}; s=0,99⋅3⋅108⋅15,6⋅10−6 m≈4630 ms = 0{,}99 \cdot 3 \cdot 10^{8} \cdot 15{,}6 \cdot 10^{-6}\,\text{m} \approx 4630\,\text{m}

    Zwischenergebnis

    τ≈15,6 µs\tau \approx 15{,}6\,\text{µs}, s≈4,6 kms \approx 4{,}6\,\text{km}

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    d) Ergebnis deuten: Zeitdilatation als tägliche Messgröße

    In Teilchenbeschleunigern misst man die Lebensdauer instabiler Teilchen tatsächlich verlängert und zwar exakt um den berechneten Faktor. Das ist eine tägliche, hochgenaue Bestätigung der Zeitdilatation.

Zusammenfassung

Einstein stellte 1905 zwei Postulate an den Anfang: dass in allen gleichförmig bewegten Systemen dieselben Naturgesetze gelten und dass die Lichtgeschwindigkeit für jeden Beobachter denselben Wert hat. Da die ein Quotient aus Strecke und Zeit ist, folgt daraus zwingend, dass Zeit und Länge vom Bezugssystem abhängen müssen. Beschrieben werden alle Effekte durch den Lorentzfaktor, der bis etwa einem Zehntel der Lichtgeschwindigkeit praktisch eins ist und erst in ihrer Nähe stark anwächst. Eine bewegte Uhr geht deshalb langsamer und ein bewegter Körper ist in Bewegungsrichtung kürzer, wobei beide Effekte wechselseitig sind, weil kein Bezugssystem ausgezeichnet ist. Dass Myonen aus der kosmischen Strahlung den Erdboden erreichen und dass Satellitennavigation ohne relativistische Korrektur binnen Minuten unbrauchbar wäre, sind zwei alltägliche Bestätigungen dieser zunächst befremdlichen Aussagen.