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Relativitätstheorie

Relativistische Masse und die Äquivalenz von Masse und Energie

Warum nichts schneller als Licht werden kann und was hinter der bekanntesten Formel der Physik steckt.

Benötigte Grundlagen

Dieses Vorwissen brauchst du für das Kapitel. Schau kurz nach, wenn dir etwas davon nicht mehr präsent ist, sonst leg direkt los.

Einführung

E=mc2E = m c^2 ist die bekannteste Formel der Physik und zugleich eine der am häufigsten missverstandenen. Sie steht auf T-Shirts, aber was sie eigentlich behauptet, wissen wenige.

Sie besagt nicht, dass „in umgewandelt" wird wie Holz in . Sie besagt etwas viel Radikaleres: Masse und Energie sind dasselbe, nur in verschiedenen Einheiten gemessen. Ein aufgeladener Akku ist tatsächlich schwerer als ein leerer, und eine gespannte Feder wiegt mehr als eine entspannte.

Aus derselben Überlegung folgt auch, warum die Lichtgeschwindigkeit eine unüberwindliche Grenze ist.

Das kannst du nach diesem Kapitel

  • die relativistische Massenzunahme beschreiben.

  • begründen, warum cc eine Grenzgeschwindigkeit ist.

  • die Äquivalenz von und deuten.

  • Ruheenergie und kinetische Energie unterscheiden.

  • den in Kernreaktionen einordnen.

  • typische Fehldeutungen von E=mc2E = mc^2 richtigstellen.

Die relativistische Masse

man ein Teilchen, wird es nicht nur schneller, sondern auch träger:

m=γ⋅m0=m01−v2c2\boxed{m = \gamma \cdot m_0 = \frac{m_0}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}}

m0m_0 heißt Ruhemasse, gemessen im mitbewegten System.

vvmm0\frac{m}{m_0}
0,1 c0{,}1\,c1,0051{,}005
0,5 c0{,}5\,c1,1551{,}155
0,9 c0{,}9\,c2,292{,}29
0,99 c0{,}99\,c7,097{,}09
0,999 c0{,}999\,c22,422{,}4

🔴 Für v→cv \to c geht mm gegen unendlich. Damit ist die Frage beantwortet, warum nichts die Lichtgeschwindigkeit erreichen kann: Je näher man ihr kommt, desto träger wird das Teilchen und desto mehr kostet jeder weitere Zuwachs. Für cc selbst wäre unendlich viel Energie nötig.

Der Nachweis ist Alltag in der Teilchenphysik. Am CERN erreichen Protonen 99,9999991 %99{,}9999991\,\% der Lichtgeschwindigkeit, also γ≈7500\gamma \approx 7500. Die Magnete müssen entsprechend stärker ausgelegt sein, als es die klassische Rechnung verlangte. Ohne relativistische Auslegung funktionierte kein Beschleuniger.

Sprachhinweis: In der modernen Fachsprache spricht man lieber vom relativistischen p=γm0vp = \gamma m_0 v und behält die als unveränderliche Größe bei. Für den Schulgebrauch ist die Vorstellung einer geschwindigkeitsabhängigen Masse anschaulich und liefert dieselben Ergebnisse.

Warum c eine Grenze ist und nicht nur schnellNötige Energie, bezogen auf die Ruheenergie.c00,5 c0,9 cE = m · c²Ruheenergie von 1 g: 9 · 10¹³ J.Unendlich viel Energie gibt es nicht

Die Kurve läuft an der senkrechten Linie ins Unendliche. Das ist der Unterschied zwischen „sehr schnell“ und „unerreichbar“: Um einen Körper mit auf c zu bringen, bräuchte man unendlich viel . Deshalb ist die Lichtgeschwindigkeit keine technische Hürde, die man mit besseren Maschinen überwindet, sondern eine Grenze der Natur.

Die Äquivalenz von Masse und Energie

Aus derselben Rechnung folgt die berühmteste Formel der Physik:

E=mc2=γm0c2\boxed{E = m c^2 = \gamma m_0 c^2}

Zerlegt man das:

E=m0c2⏟Ruheenergie+(γ−1)m0c2⏟kinetische EnergieE = \underbrace{m_0 c^2}_{\text{Ruheenergie}} + \underbrace{(\gamma - 1) m_0 c^2}_{\text{kinetische Energie}}

Jede enthält , und jede Energie hat Masse.

🔴 Das ist die eigentliche Aussage. Masse und Energie sind nicht zwei Dinge, die man ineinander umwandeln kann, sondern zwei Erscheinungsformen derselben Sache. Sie unterscheiden sich nur durch den Umrechnungsfaktor c2c^2.

Die Ruheenergie ist gewaltig. Für 1 kg1\,\text{kg}:

E=1 kg⋅(3⋅108)2 m2s2=9⋅1016 JE = 1\,\text{kg} \cdot (3 \cdot 10^{8})^2\,\frac{\text{m}^2}{\text{s}^2} = 9 \cdot 10^{16}\,\text{J}

Das entspricht dem Jahresstromverbrauch von rund zwei Millionen Haushalten. Der Grund ist der riesige Faktor c2c^2.

Warum man es im Alltag nicht merkt

Auch jede Energiezufuhr erhöht die :

  • Ein geladener Akku ist schwerer als ein leerer.
  • Eine gespannte Feder wiegt mehr als eine entspannte.
  • Eine heiße Tasse Tee ist schwerer als eine kalte.

Die Zunahme ist nur unmessbar klein. Bei einem Akku mit 50 Wh50\,\text{Wh}:

Δm=Ec2=1,8⋅105 J9⋅1016 m2s2=2⋅10−12 kg=2 Nanogramm\Delta m = \frac{E}{c^2} = \frac{1{,}8 \cdot 10^{5}\,\text{J}}{9 \cdot 10^{16}\,\frac{\text{m}^2}{\text{s}^2}} = 2 \cdot 10^{-12}\,\text{kg} = 2\,\text{Nanogramm}

Keine Waage der Welt kann das an einem Akku nachweisen.

Wo man es sehr wohl merkt: Kernreaktionen

In Kernprozessen sind die millionenfach größer, und der Masseunterschied wird messbar.

. Ein ist leichter als die Summe seiner Bausteine. Die fehlende entspricht der Bindungsenergie, die beim Zusammenfügen frei wurde.

ΔE=Δm⋅c2\Delta E = \Delta m \cdot c^2

Bei und wird genau diese Massendifferenz freigesetzt. In der Sonne verliert jede Sekunde rund 44 Millionen Tonnen Masse, die als Strahlung abgegeben werden.

🔴 Wichtig zur Einordnung: Auch bei chemischen Reaktionen ändert sich die Masse, nur rund eine Million Mal weniger. Der Unterschied zwischen Chemie und Kernphysik ist also nicht grundsätzlich, sondern eine Frage der Größenordnung.

Der fertige Kern wiegt weniger als seine BausteineBeispiel Helium-4: 2 Protonen und 2 Neutronen.einzeln4,0319 uals Kern4,0015 uNur 0,75 % Unterschied, maßstäblich, deshalb kaum zu sehen.Derselbe Ausschnitt rund 70-fach gedehnt3,98 u4,04 uΔmΔm = 4,03188 u − 4,00151 u = 0,03037 uE = Δm · 931,5 MeV/u = 0,03037 u · 931,5 MeV/u = 28,3 MeVDie fehlende Masse ist die Bindungsenergie

Hier ist E = m · c² keine Formel mehr, sondern eine Messung: Der fertige Heliumkern wiegt weniger als seine vier Bausteine einzeln. Oben der ehrliche Maßstab. Man sieht fast nichts, denn es fehlen nur 0,75 %. Unten derselbe Ausschnitt gedehnt. Aus diesen 0,03 u werden 28,3 MeV, und genau daher stammt die jeder Kernreaktion.

Der Energie-Impuls-Zusammenhang

E2=(m0c2)2+(pc)2E^2 = (m_0 c^2)^2 + (p c)^2

Für masselose Teilchen (m0=0m_0 = 0), also für , folgt daraus

E=p⋅cE = p \cdot c

🔴 Photonen haben also , obwohl sie keine Ruhemasse haben. Das ist kein Widerspruch, sondern folgt unmittelbar aus dieser Beziehung.

Der Impuls von Licht ist messbar: Er erklärt den Strahlungsdruck, weshalb Kometenschweife von der Sonne weg zeigen, und macht Sonnensegel für Raumsonden möglich. Die japanische Sonde IKAROS flog 2010 auf diese Weise zur Venus.

Aus E=pcE = pc folgt außerdem, dass Photonen sich immer mit cc bewegen und niemals ruhen können.

Ruheenergie und Massendefekt

a) Welche Ruheenergie steckt in 1,0 g1{,}0\,\text{g} Materie?

b) Bei der eines Urankerns werden rund 200 MeV200\,\text{MeV} frei. Welche entspricht das?

c) In der Sonne verschmelzen je Sekunde 600600 Millionen Tonnen Wasserstoff zu 596596 Millionen Tonnen Helium. Welche gibt sie ab?

d) Wie viel Masse gewinnt ein Akku beim Laden mit 50 Wh50\,\text{Wh}?

  1. 1

    a) E=mc2=1,0⋅10−3 kg⋅(3,0⋅108)2 m2s2E = m c^2 = 1{,}0 \cdot 10^{-3}\,\text{kg} \cdot (3{,}0 \cdot 10^{8})^2\,\frac{\text{m}^2}{\text{s}^2}

    E=1,0⋅10−3⋅9⋅1016 J=9⋅1013 JE = 1{,}0 \cdot 10^{-3} \cdot 9 \cdot 10^{16}\,\text{J} = 9 \cdot 10^{13}\,\text{J}

    Zur Einordnung: Das entspricht rund 2525 Millionen Kilowattstunden oder dem Jahresstromverbrauch von etwa 70007000 Haushalten, und zwar aus einem einzigen Gramm.

    🔴 Verantwortlich ist der Faktor c2=9⋅1016c^2 = 9 \cdot 10^{16}. Nicht die Masse ist besonders, sondern der Umrechnungsfaktor.

  2. 2

    b) Erst in Joule umrechnen:

    E=200⋅106 eV⋅1,6⋅10−19 JeV=3,2⋅10−11 JE = 200 \cdot 10^{6}\,\text{eV} \cdot 1{,}6 \cdot 10^{-19}\,\frac{\text{J}}{\text{eV}} = 3{,}2 \cdot 10^{-11}\,\text{J}

    Dann nach mm auflösen:

    Δm=Ec2=3,2⋅10−11 J9⋅1016 m2s2≈3,6⋅10−28 kg\Delta m = \frac{E}{c^2} = \frac{3{,}2 \cdot 10^{-11}\,\text{J}}{9 \cdot 10^{16}\,\frac{\text{m}^2}{\text{s}^2}} \approx 3{,}6 \cdot 10^{-28}\,\text{kg}

    Das sind rund 0,09 %0{,}09\,\% der Masse eines Urankerns (3,95⋅10−25 kg3{,}95 \cdot 10^{-25}\,\text{kg}). Weniger als ein Promille, und doch die Grundlage der gesamten Kerntechnik.

  3. 3

    c) Massenverlust je Sekunde:

    Δm=600−596=4 Millionen Tonnen=4⋅109 kg\Delta m = 600 - 596 = 4\,\text{Millionen Tonnen} = 4 \cdot 10^{9}\,\text{kg} P=Δm⋅c2t=4⋅109 kg⋅9⋅1016 m2s21 s=3,6⋅1026 WP = \frac{\Delta m \cdot c^2}{t} = \frac{4 \cdot 10^{9}\,\text{kg} \cdot 9 \cdot 10^{16}\,\frac{\text{m}^2}{\text{s}^2}}{1\,\text{s}} = 3{,}6 \cdot 10^{26}\,\text{W}

    Der tatsächliche Wert beträgt 3,8⋅1026 W3{,}8 \cdot 10^{26}\,\text{W}, unsere Abschätzung trifft ihn gut.

    Zur Einordnung: Die Sonne verliert je Sekunde vier Millionen Tonnen Masse und tut das seit rund 4,64{,}6 Milliarden Jahren. Insgesamt hat sie dabei nur etwa 0,03 %0{,}03\,\% ihrer Masse verloren, und ihr Wasserstoffvorrat reicht noch rund fünf Milliarden Jahre.

  4. 4

    d) E=50 Wh=50⋅3600 J=1,8⋅105 JE = 50\,\text{Wh} = 50 \cdot 3600\,\text{J} = 1{,}8 \cdot 10^{5}\,\text{J}

    Δm=Ec2=1,8⋅1059⋅1016 kg=2⋅10−12 kg=2 Nanogramm\Delta m = \frac{E}{c^2} = \frac{1{,}8 \cdot 10^{5}}{9 \cdot 10^{16}}\,\text{kg} = 2 \cdot 10^{-12}\,\text{kg} = 2\,\text{Nanogramm}

    🔴 Der Akku wird beim Laden tatsächlich schwerer, und zwar um zwei Nanogramm. Das ist keine bildliche Redeweise, sondern eine physikalisch korrekte Aussage.

    Messbar ist es nicht: Die besten Waagen erreichen bei einem Gegenstand von einigen hundert Gramm bei weitem nicht diese Auflösung.

    Genau deshalb blieb die Äquivalenz so lange unentdeckt. Bei allen Alltagsvorgängen und auch bei chemischen Reaktionen sind die Massenänderungen um Größenordnungen zu klein.

    Erst in Kernprozessen, wo die millionenfach größer sind, wird der Effekt sichtbar. Der Unterschied zwischen Chemie und Kernphysik ist damit nicht grundsätzlich, sondern eine Frage der Größenordnung: Auch beim Verbrennen von Holz wird Masse in Energie überführt, nur eben ein millionstel Teil davon.

a) 9⋅1013 J9 \cdot 10^{13}\,\text{J} b) rund 3,6⋅10−28 kg3{,}6 \cdot 10^{-28}\,\text{kg} (etwa 0,09 %0{,}09\,\%) c) rund 3,6⋅1026 W3{,}6 \cdot 10^{26}\,\text{W} d) 22 Nanogramm.

Warum nichts schneller als Licht sein kann

Begründe, warum kein Körper mit Ruhemasse die Lichtgeschwindigkeit erreichen kann, und erkläre, warum sich trotzdem genau mit cc bewegen.

  1. 1

    Schritt 1: Die Trägheit wächst.

    m=m01−v2c2m = \frac{m_0}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}

    Je näher vv an cc kommt, desto kleiner wird der Nenner und desto größer die :

    vvmm0\frac{m}{m_0}
    0,9 c0{,}9\,c2,32{,}3
    0,99 c0{,}99\,c7,17{,}1
    0,999 c0{,}999\,c22,422{,}4
    0,99999 c0{,}99999\,c224224

    Für v=cv = c wäre der Nenner null, die Masse also unendlich.

  2. 2

    Schritt 2: Was das für die nötige bedeutet.

    Die kinetische Energie beträgt

    Ekin=(γ−1)m0c2E_{\text{kin}} = (\gamma - 1)m_0c^2

    und geht für v→cv \to c ebenfalls gegen unendlich. Um ein Teilchen mit Ruhemasse auf genau cc zu bringen, bräuchte man also unendlich viel Energie.

    Das ist keine technische, sondern eine grundsätzliche Grenze. Kein Beschleuniger der Welt kann sie überwinden, gleich wie viel Energie man aufwendet.

    Was man stattdessen beobachtet: Steckt man mehr Energie hinein, wird das Teilchen kaum noch schneller, aber immer schwerer. Am CERN erreichen Protonen 99,9999991 %99{,}9999991\,\% von cc, also γ≈7500\gamma \approx 7500: siebentausendfache Trägheit, aber immer noch nicht cc.

  3. 3

    Schritt 3: Warum Photonen dennoch mit cc fliegen.

    Für Photonen ist die Ruhemasse null. Setzt man m0=0m_0 = 0 in

    m=m01−v2c2m = \frac{m_0}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}

    ein, so steht für v=cv = c dort 00\frac{0}{0}, ein unbestimmter Ausdruck. Die Formel verbietet also nichts; sie ist auf diesen Fall schlicht nicht anwendbar.

    Stattdessen benutzt man die allgemeinere Beziehung

    E2=(m0c2)2+(pc)2E^2 = (m_0c^2)^2 + (pc)^2

    Mit m0=0m_0 = 0 folgt

    E=p⋅cE = p \cdot c

    Ein Photon hat also Energie und , aber keine Ruhemasse, und aus dieser Beziehung folgt, dass es sich immer mit cc bewegt.

    🔴 Die Kernaussage: Photonen können sich nicht nur mit cc bewegen, sie müssen es. Es gibt kein ruhendes Photon und kein langsames. Bremst man Licht ab (etwa in Glas, wo es scheinbar langsamer ist), so beruht das auf Wechselwirkung mit den Atomen; die einzelnen Photonen laufen weiterhin mit cc.

  4. 4

    Schritt 4: Warum der Impuls von Licht nachweisbar ist.

    Dass Photonen Impuls tragen, ist keine Formelspielerei, sondern messbar:

    • Strahlungsdruck: Licht übt auf eine bestrahlte Fläche eine aus. Kometenschweife zeigen deshalb immer von der Sonne weg, unabhängig von der Flugrichtung des Kometen.
    • Sonnensegel: Die japanische Sonde IKAROS wurde 2010 auf diese Weise angetrieben und erreichte die Venus, ohne Treibstoff für den Antrieb mitzuführen.
    • Optische Pinzette: Mit fokussierten Laserstrahlen lassen sich einzelne Zellen und Nanoteilchen festhalten und bewegen. Dafür gab es 2018 den Nobelpreis für Physik.
    • Compton-Effekt (nächstes Kapitel): Ein Photon stößt mit einem Elektron wie eine Kugel und überträgt Impuls.

    Ein häufiger Einwand: „Ohne Masse kein Impuls, denn p=mvp = mv." Diese Formel ist aber nur die klassische Näherung. Der allgemeine Zusammenhang ist E2=(m0c2)2+(pc)2E^2 = (m_0c^2)^2 + (pc)^2, und der erlaubt Impuls ohne Ruhemasse.

    Merksatz: Masselose Teilchen bewegen sich immer mit cc, massebehaftete nie.

Für v→cv \to c geht die Trägheit und damit die nötige Energie gegen unendlich, deshalb kann kein Körper mit Ruhemasse cc erreichen. Photonen haben m0=0m_0 = 0 und bewegen sich nach E=pcE = pc zwangsläufig genau mit cc.

Typischer Fehler

„E=mc2E = mc^2 bedeutet, dass man in umwandeln kann, so wie Holz in ."

Die Formel sagt etwas Grundsätzlicheres: Masse und Energie sind dasselbe, nur in verschiedenen Einheiten gemessen. Es findet keine Umwandlung von einem Ding in ein anderes statt.

Der Vergleich, der es klarmacht: Man wandelt auch nicht Meter in Kilometer „um". Es ist dieselbe Größe, nur anders ausgedrückt, mit dem Umrechnungsfaktor 10001000. Bei Masse und Energie ist der Faktor c2c^2.

Was daraus folgt und meist überrascht:

  • Ein geladener Akku ist schwerer als ein leerer.
  • Eine gespannte Feder wiegt mehr als eine entspannte.
  • Eine heiße Tasse Tee ist schwerer als eine kalte.
  • Ein zusammengesetzter Kern ist leichter als seine Bausteine, weil beim Zusammenfügen Energie abgegeben wurde.

Alles das ist physikalisch korrekt, nur unmessbar klein (beim Akku rund zwei Nanogramm).

Was bei einer Kernreaktion wirklich geschieht: Ein Teil der Ruheenergie wird in eine andere Energieform überführt, etwa in kinetische Energie der Bruchstücke und in Strahlung. Die Gesamtenergie bleibt dabei streng erhalten, und die Gesamtmasse des abgeschlossenen Systems ebenfalls, denn die abgestrahlte Energie trägt ihre Masse mit sich fort.

Nur wenn man die Strahlung entweichen lässt, wirkt es so, als sei Masse verschwunden.

Warum die Fehlvorstellung so verbreitet ist: Die Formulierung „Masse wird in Energie umgewandelt" ist populär und in vielen Texten zu finden. Sie ist als Kurzform nicht völlig falsch, verstellt aber den Blick auf das Eigentliche.

Die genauere Formulierung: Masse ist eine Form, in der Energie auftritt. Bei einer Kernreaktion ändert sich die Verteilung auf die Energieformen, nicht die Gesamtmenge.

Und noch eine Klarstellung: Es gibt keinen Grund, weshalb Kernprozesse den Energiesatz verletzen würden. Sie erweitern ihn nur: Zur Bilanz gehört auch die Ruheenergie, die man in der klassischen Mechanik nicht kannte, weil sie sich dort nie ändert.

Übung 1

leicht

a) Welche Ruheenergie hat ein Körper von 2,0 kg2{,}0\,\text{kg}?

b) Um welchen Faktor nimmt die bei v=0,8 cv = 0{,}8\,c zu?

c) Warum kann kein Körper die Lichtgeschwindigkeit erreichen?

Tipp anzeigen

b) γ\gamma bei 0,8 c0{,}8\,c ist 1,6671{,}667.

Lösung anzeigen

a) E=m0c2=2,0 kg⋅9⋅1016 m2s2=1,8⋅1017 JE = m_0c^2 = 2{,}0\,\text{kg} \cdot 9 \cdot 10^{16}\,\frac{\text{m}^2}{\text{s}^2} = 1{,}8 \cdot 10^{17}\,\text{J}

b) mm0=γ=11−0,64=10,6≈1,67\frac{m}{m_0} = \gamma = \frac{1}{\sqrt{1-0{,}64}} = \frac{1}{0{,}6} \approx 1{,}67

Die Masse nimmt also um rund 67 %67\,\% zu.

c) Weil die Masse nach m=γm0m = \gamma m_0 für v→cv \to c gegen unendlich geht.

Damit geht auch die nötige Ekin=(γ−1)m0c2E_{\text{kin}} = (\gamma-1)m_0c^2 gegen unendlich. Um ein Teilchen mit Ruhemasse auf genau cc zu bringen, bräuchte man unendlich viel Energie, was unmöglich ist.

Detaillierte Schritterklärung anzeigen

Hier wird jeder Schritt einzeln erklärt, vor allem, warum er gemacht wird.

Erklärungstiefe

✦ Empfohlen: Standard – Die normale Erklärungstiefe passt zum Einstieg.

  1. 1

    Gegeben und Gesucht bei Ruheenergie und Massenzunahme

    a) gibt m0=2,0 kgm_0 = 2{,}0\,\text{kg}; gesucht ist die Ruheenergie. b) fragt nach dem Faktor der Massenzunahme bei v=0,8 cv = 0{,}8\,c. c) verlangt eine Begründung zur Lichtgeschwindigkeit als Grenze.

  2. 2

    Ruheenergie und relativistische Masse

    Es gilt E=m0c2E = m_0 c^2 für die Ruheenergie und m=γm0m = \gamma m_0 für die Masse eines bewegten Körpers. Die kinetische Energie ist Ekin=(γ−1)m0c2E_{\text{kin}} = (\gamma - 1) m_0 c^2.

  3. 3

    a) und b) Ruheenergie und Massenfaktor

    Erst Masse mal Lichtgeschwindigkeitsquadrat, dann der bei 0,8 c0{,}8\,c.

    E=2,0 kg⋅9⋅1016 m2s2=1,8⋅1017 JE = 2{,}0\,\text{kg} \cdot 9 \cdot 10^{16}\,\frac{\text{m}^2}{\text{s}^2} = 1{,}8 \cdot 10^{17}\,\text{J}; γ=11−0,64=10,6≈1,67\gamma = \frac{1}{\sqrt{1-0{,}64}} = \frac{1}{0{,}6} \approx 1{,}67

    Zwischenergebnis

    E=1,8⋅1017 JE = 1{,}8 \cdot 10^{17}\,\text{J}; Massenfaktor ≈1,67\approx 1{,}67

  4. 4

    c) Ergebnis deuten: warum c unerreichbar bleibt

    Weil die Masse nach m=γm0m = \gamma m_0 für v→cv \to c gegen unendlich geht und damit auch die nötige Energie Ekin=(γ−1)m0c2E_{\text{kin}} = (\gamma-1)m_0c^2. Um ein Teilchen mit Ruhemasse auf genau cc zu bringen, bräuchte man unendlich viel Energie.

Übung 2

mittel

a) Bei einer werden 17,6 MeV17{,}6\,\text{MeV} frei. Welchem entspricht das?

b) Warum merkt man die Massenzunahme bei chemischen Reaktionen nicht?

c) Ein Elektron wird auf 0,99 c0{,}99\,c . Wie groß ist seine Gesamtenergie (m0c2=511 keVm_0c^2 = 511\,\text{keV})?

d) Warum haben , obwohl sie keine Ruhemasse haben?

Tipp anzeigen

a) Erst in Joule umrechnen.

Lösung anzeigen

a) E=17,6⋅106 eV⋅1,6⋅10−19 JeV≈2,82⋅10−12 JE = 17{,}6 \cdot 10^{6}\,\text{eV} \cdot 1{,}6 \cdot 10^{-19}\,\frac{\text{J}}{\text{eV}} \approx 2{,}82 \cdot 10^{-12}\,\text{J}

Δm=Ec2=2,82⋅10−129⋅1016 kg≈3,1⋅10−29 kg\Delta m = \frac{E}{c^2} = \frac{2{,}82 \cdot 10^{-12}}{9 \cdot 10^{16}}\,\text{kg} \approx 3{,}1 \cdot 10^{-29}\,\text{kg}

Das entspricht rund 0,4 %0{,}4\,\% der beteiligten und ist die Reaktion, auf der die Sonne und künftige Fusionskraftwerke beruhen.

b) Weil die millionenfach kleiner sind als bei Kernreaktionen.

Eine chemische Bindung liegt im Bereich weniger Elektronenvolt, eine Kernbindung bei einigen Megaelektronenvolt, also rund 10610^{6}-mal mehr.

Zahlenbeispiel: Verbrennt man 1 kg1\,\text{kg} Kohle, werden rund 3⋅107 J3 \cdot 10^{7}\,\text{J} frei. Das entspricht einem Massenverlust von

Δm=3⋅1079⋅1016 kg≈3⋅10−10 kg=0,3 µg\Delta m = \frac{3 \cdot 10^{7}}{9 \cdot 10^{16}}\,\text{kg} \approx 3 \cdot 10^{-10}\,\text{kg} = 0{,}3\,\text{µg}

Ein Drittel Mikrogramm bei einem Kilogramm Ausgangsmasse, also eine relative Änderung von 3⋅10−103 \cdot 10^{-10}. Keine chemische Waage erreicht diese Auflösung.

🔴 Deshalb galt in der Chemie jahrhundertelang der Satz von der Erhaltung der Masse und war für alle praktischen Zwecke richtig. Streng genommen gilt er nicht, aber die Abweichung liegt weit unter jeder Messgenauigkeit.

Der Unterschied zwischen Chemie und Kernphysik ist damit kein grundsätzlicher, sondern einer der Größenordnung.

c) γ=11−0,992≈7,09\gamma = \frac{1}{\sqrt{1-0{,}99^2}} \approx 7{,}09

E=γm0c2=7,09⋅511 keV≈3620 keV≈3,62 MeVE = \gamma m_0c^2 = 7{,}09 \cdot 511\,\text{keV} \approx 3620\,\text{keV} \approx 3{,}62\,\text{MeV}

Davon sind 511 keV511\,\text{keV} Ruheenergie und rund 3,11 MeV3{,}11\,\text{MeV} kinetische Energie. Das Elektron trägt also sechsmal so viel kinetische Energie wie Ruheenergie.

d) Weil der Zusammenhang zwischen Energie, Impuls und Masse allgemeiner ist als p=mvp = mv:

E2=(m0c2)2+(pc)2E^2 = (m_0c^2)^2 + (pc)^2

Setzt man m0=0m_0 = 0 ein, bleibt

E=p⋅c⟹p=EcE = p \cdot c \qquad \Longrightarrow \qquad p = \frac{E}{c}

Ein Photon hat also Impuls, sobald es Energie hat, und das tut es immer.

🔴 p=mvp = mv ist nur die klassische Näherung für langsame, massebehaftete Teilchen. Aus ihr zu schließen, masselose Teilchen hätten keinen Impuls, ist eine unzulässige Übertragung über den Gültigkeitsbereich hinaus.

Der Impuls von Licht ist experimentell gut belegt:

  • Strahlungsdruck: Kometenschweife zeigen stets von der Sonne weg, weil das Sonnenlicht die Staubteilchen fortdrückt.
  • Sonnensegel: Die Sonde IKAROS flog 2010 damit zur Venus, ohne Antriebstreibstoff.
  • Optische Pinzette: Mit Laserlicht lassen sich einzelne Zellen festhalten und verschieben (Nobelpreis 2018).
  • Compton-Effekt: Ein Photon stößt mit einem Elektron wie zwei Billardkugeln und überträgt dabei Impuls (nächstes Kapitel).

Und umgekehrt: Aus E=pcE = pc folgt, dass masselose Teilchen sich immer mit genau cc bewegen müssen. Ein ruhendes Photon gibt es nicht.

Detaillierte Schritterklärung anzeigen

Hier wird jeder Schritt einzeln erklärt, vor allem, warum er gemacht wird.

Erklärungstiefe

✦ Empfohlen: Standard – Die normale Erklärungstiefe passt zum Einstieg.

  1. 1

    Gegeben und Gesucht bei Massendefekt und Elektronenenergie

    a) gibt 17,6 MeV17{,}6\,\text{MeV} Fusionsenergie; gesucht ist der Massendefekt. c) gibt ein Elektron bei 0,99 c0{,}99\,c mit m0c2=511 keVm_0c^2 = 511\,\text{keV}; gesucht ist die Gesamtenergie. b) und d) verlangen Begründungen.

  2. 2

    Die Äquivalenz von Masse und Energie

    Es gilt E=mc2E = m c^2, umgestellt Δm=Ec2\Delta m = \frac{E}{c^2} für den Massendefekt. Für die Gesamtenergie eines bewegten Teilchens gilt E=γm0c2E = \gamma m_0 c^2.

  3. 3

    a) Megaelektronenvolt in Joule

    17,6 MeV=17,6⋅106 eV17{,}6\,\text{MeV} = 17{,}6 \cdot 10^{6}\,\text{eV}, und mit 1 eV=1,6⋅10−19 J1\,\text{eV} = 1{,}6 \cdot 10^{-19}\,\text{J} folgt E≈2,82⋅10−12 JE \approx 2{,}82 \cdot 10^{-12}\,\text{J}.

    E=17,6⋅106 eV⋅1,6⋅10−19 JeV≈2,82⋅10−12 JE = 17{,}6 \cdot 10^{6}\,\text{eV} \cdot 1{,}6 \cdot 10^{-19}\,\frac{\text{J}}{\text{eV}} \approx 2{,}82 \cdot 10^{-12}\,\text{J}

    Zwischenergebnis

    E≈2,82⋅10−12 JE \approx 2{,}82 \cdot 10^{-12}\,\text{J}

  4. 4

    a) und c) Massendefekt und Gesamtenergie des Elektrons

    Energie durch c2c^2 für den Massendefekt; mal Ruheenergie für das Elektron.

    Δm=2,82⋅10−129⋅1016 kg≈3,1⋅10−29 kg\Delta m = \frac{2{,}82 \cdot 10^{-12}}{9 \cdot 10^{16}}\,\text{kg} \approx 3{,}1 \cdot 10^{-29}\,\text{kg}; E=7,09⋅511 keV≈3620 keVE = 7{,}09 \cdot 511\,\text{keV} \approx 3620\,\text{keV}

    Zwischenergebnis

    Δm≈3,1⋅10−29 kg\Delta m \approx 3{,}1 \cdot 10^{-29}\,\text{kg}; E≈3,62 MeVE \approx 3{,}62\,\text{MeV}

  5. 5

    b) und d) Ergebnis deuten: Chemie, Kernphysik und der Photonenimpuls

    b) Chemische Bindungen liegen bei wenigen Elektronenvolt, Kernbindungen bei einigen Megaelektronenvolt, rund 10610^{6}-mal mehr. Verbrennt man 1 kg1\,\text{kg} Kohle, beträgt der Massenverlust nur rund 0,3 µg0{,}3\,\text{µg}. d) Photonen haben Impuls, weil E2=(m0c2)2+(pc)2E^2 = (m_0c^2)^2 + (pc)^2 gilt; mit m0=0m_0 = 0 bleibt p=Ecp = \frac{E}{c}.

Übung 3

schwer

a) Erkläre, was E=mc2E = mc^2 wirklich aussagt, und warum die Formulierung „ wird in umgewandelt" ungenau ist.

b) Begründe, warum ein leichter ist als die Summe seiner Bausteine.

c) Warum ist cc eine absolute Grenzgeschwindigkeit und nicht nur eine technische Hürde?

d) Die Sonne strahlt 3,8⋅1026 W3{,}8 \cdot 10^{26}\,\text{W} ab. Wie viel Masse verliert sie je Sekunde und wie viel in einem Jahr?

Tipp anzeigen

d) Δm=Ec2\Delta m = \frac{E}{c^2}.

Lösung anzeigen

a) Was die Formel aussagt: Masse und Energie sind zwei Erscheinungsformen derselben , verbunden durch den Umrechnungsfaktor c2c^2.

Jede Masse enthält Energie (E=m0c2E = m_0c^2), und jede Energiezufuhr erhöht die Masse. Das gilt für alle Energieformen, nicht nur für Kernenergie.

Warum die übliche Formulierung ungenau ist: „Umwandeln" legt nahe, dass zwei verschiedene Dinge ineinander übergehen, wie Holz in . Tatsächlich handelt es sich um dieselbe Größe in verschiedenen Einheiten, ähnlich wie Meter und Kilometer.

Was bei einer Kernreaktion wirklich passiert: Ein Teil der Ruheenergie geht in andere Energieformen über (kinetische Energie, Strahlung). Die Gesamtenergie bleibt streng erhalten, und in einem abgeschlossenen System auch die Gesamtmasse, denn die abgestrahlte Energie trägt ihre Masse mit fort.

Nur weil man die Strahlung entweichen lässt, wirkt es so, als sei Masse verschwunden.

Überraschende Alltagsfolgen: Ein geladener Akku ist schwerer als ein leerer, eine gespannte Feder schwerer als eine entspannte, heißer Tee schwerer als kalter. Alles korrekt, nur um Größenordnungen zu klein, um es zu messen.

b) Wegen der .

Fügt man Nukleonen zu einem Kern zusammen, wird Energie frei, nämlich die Bindungsenergie. Diese Energie verlässt das System (als Strahlung oder Bewegungsenergie).

Da Energie Masse hat, nimmt mit ihr auch die Masse des Systems ab. Der fertige Kern ist deshalb leichter als die Summe der einzelnen Bausteine:

Δm=∑mBausteine−mKern,EB=Δm⋅c2\Delta m = \sum m_{\text{Bausteine}} - m_{\text{Kern}}, \qquad E_B = \Delta m \cdot c^2

Diese Differenz heißt Massendefekt.

Ein Bild dazu: Um den Kern wieder zu zerlegen, müsste man genau diese Bindungsenergie aufwenden. Sie ist gewissermaßen die „Schuld", die das System beim Zusammenbau abgegeben hat.

🔴 Dasselbe gilt im Kleinen auch für Atome und Moleküle: Ein Wassermolekül ist leichter als die Summe seiner Atome. Die Differenz ist nur rund eine Million Mal kleiner und deshalb unmessbar.

Praktische Bedeutung: Aus dem Verlauf der Bindungsenergie je Nukleon über die Massenzahl folgt unmittelbar, dass sowohl die Spaltung sehr schwerer Kerne als auch die Fusion sehr leichter Kerne Energie liefert. Das behandelt das Kapitel Massendefekt und Kernbindungsenergie genauer.

c) Weil die nötige Energie gegen unendlich geht, nicht weil die Technik nicht ausreicht.

Nach m=γm0m = \gamma m_0 wächst die Trägheit ohne Grenze, wenn vv sich cc nähert. Die kinetische Energie

Ekin=(γ−1)m0c2E_{\text{kin}} = (\gamma-1)m_0c^2

geht dabei ebenfalls gegen unendlich. Für v=cv = c genau wäre unendlich viel Energie nötig, und das ist keine praktische, sondern eine grundsätzliche Unmöglichkeit.

Ein zweites, unabhängiges Argument aus der Kausalität: Könnte sich ein Signal schneller als mit cc ausbreiten, dann gäbe es Bezugssysteme, in denen die Wirkung vor der Ursache einträte. Damit ließen sich logische Widersprüche konstruieren.

Die Lichtgeschwindigkeit ist also nicht nur die des Lichts, sondern die Grenzgeschwindigkeit jeder Wirkungsübertragung. Dass ausgerechnet Licht sie erreicht, liegt daran, dass keine Ruhemasse haben.

Experimentelle Bestätigung: Am CERN werden Protonen auf 99,9999991 %99{,}9999991\,\% von cc gebracht. Verdoppelt man die Beschleunigungsenergie, kommt man der Lichtgeschwindigkeit nur noch in weiteren Nachkommastellen näher. Die Grenze ist unerreichbar, aber beliebig genau annäherbar.

d) Massenverlust je Sekunde:

Δm=Ec2=3,8⋅1026 J9⋅1016 m2s2≈4,2⋅109 kg\Delta m = \frac{E}{c^2} = \frac{3{,}8 \cdot 10^{26}\,\text{J}}{9 \cdot 10^{16}\,\frac{\text{m}^2}{\text{s}^2}} \approx 4{,}2 \cdot 10^{9}\,\text{kg}

Also rund 4,2 Millionen Tonnen je Sekunde.

In einem Jahr (1 a≈3,15⋅107 s1\,\text{a} \approx 3{,}15 \cdot 10^{7}\,\text{s}):

ΔmJahr=4,2⋅109⋅3,15⋅107 kg≈1,3⋅1017 kg\Delta m_{\text{Jahr}} = 4{,}2 \cdot 10^{9} \cdot 3{,}15 \cdot 10^{7}\,\text{kg} \approx 1{,}3 \cdot 10^{17}\,\text{kg}

Das sind rund 130130 Billionen Tonnen je Jahr.

Zur Einordnung: Die Sonnenmasse beträgt 2⋅1030 kg2 \cdot 10^{30}\,\text{kg}. Der jährliche Verlust macht also nur

1,3⋅10172⋅1030≈6,5⋅10−14\frac{1{,}3 \cdot 10^{17}}{2 \cdot 10^{30}} \approx 6{,}5 \cdot 10^{-14}

des Ganzen aus. In den bisherigen 4,64{,}6 Milliarden Jahren hat die Sonne dadurch nur etwa 0,03 %0{,}03\,\% ihrer Masse verloren.

🔴 Der Vorrat ist dennoch begrenzt. Nicht die Masse geht aus, sondern der Wasserstoff im Kern, der für die Fusion zur Verfügung steht. Er reicht noch rund fünf Milliarden Jahre. Danach wird die Sonne zum Roten Riesen und schließlich zum Weißen Zwerg.

Bemerkenswert an dieser Rechnung: Sie verbindet eine Formel, die aus Überlegungen zur Lichtgeschwindigkeit stammt, mit der Frage, warum die Sonne scheint. Vor Einstein konnte niemand erklären, woher ihre Energie kommt; jede chemische Verbrennung hätte nach wenigen tausend Jahren geendet.

Detaillierte Schritterklärung anzeigen

Hier wird jeder Schritt einzeln erklärt, vor allem, warum er gemacht wird.

Erklärungstiefe

✦ Empfohlen: Standard – Die normale Erklärungstiefe passt zum Einstieg.

  1. 1

    Gegeben und Gesucht, drei Deutungen und der Massenverlust der Sonne

    d) gibt die Strahlungsleistung der Sonne mit 3,8⋅1026 W3{,}8 \cdot 10^{26}\,\text{W}; gesucht ist der Massenverlust je Sekunde und je Jahr. a) bis c) verlangen Deutungen zu E=mc2E = mc^2, zum Massendefekt und zur Grenzgeschwindigkeit.

  2. 2

    a) Was die Äquivalenz von Masse und Energie wirklich aussagt

    Masse und Energie sind zwei Erscheinungsformen derselben physikalischen Größe, verbunden durch den Umrechnungsfaktor c2c^2. Jede Masse enthält Energie, und jede Energiezufuhr erhöht die Masse, für alle Energieformen, nicht nur für Kernenergie. Umgestellt liefert dasselbe Gesetz die in d) gebrauchte Form Δm=Ec2\Delta m = \frac{E}{c^2}.

  3. 3

    b) und c) Massendefekt und die absolute Grenzgeschwindigkeit

    b) Beim Zusammenfügen von Nukleonen wird Bindungsenergie frei und verlässt das System, da Energie Masse hat, nimmt mit ihr die Masse ab: Δm=∑mBausteine−mKern\Delta m = \sum m_{\text{Bausteine}} - m_{\text{Kern}}. c) cc ist die Grenze, weil die nötige Energie gegen unendlich geht und weil überlichtschnelle Signale die Reihenfolge von Ursache und Wirkung umkehren könnten.

  4. 4

    d) Der Massenverlust der Sonne

    Leistung durch c2c^2 ergibt die Masse je Sekunde; mal Sekundenzahl des Jahres ergibt den Jahreswert.

    Δm=3,8⋅1026 J9⋅1016 m2s2≈4,2⋅109 kg\Delta m = \frac{3{,}8 \cdot 10^{26}\,\text{J}}{9 \cdot 10^{16}\,\frac{\text{m}^2}{\text{s}^2}} \approx 4{,}2 \cdot 10^{9}\,\text{kg}; je Jahr 4,2⋅109⋅3,15⋅107 kg≈1,3⋅1017 kg4{,}2 \cdot 10^{9} \cdot 3{,}15 \cdot 10^{7}\,\text{kg} \approx 1{,}3 \cdot 10^{17}\,\text{kg}

    Zwischenergebnis

    4,2⋅109 kg4{,}2 \cdot 10^{9}\,\text{kg} je Sekunde; 1,3⋅1017 kg1{,}3 \cdot 10^{17}\,\text{kg} je Jahr

  5. 5

    d) Ergebnis deuten: warum die Sonne trotzdem endlich brennt

    🔴 Der Vorrat ist begrenzt, aber nicht die Masse geht aus, sondern der Wasserstoff im Kern, der für die Fusion zur Verfügung steht. Er reicht noch rund fünf Milliarden Jahre; danach wird die Sonne zum Roten Riesen und schließlich zum Weißen Zwerg.

Zusammenfassung

Mit wachsender nimmt die Trägheit eines Körpers zu, und da sie für Annäherung an die Lichtgeschwindigkeit gegen unendlich geht, wäre unendlich viel nötig, um sie zu erreichen; deshalb ist die Lichtgeschwindigkeit keine technische Hürde, sondern eine grundsätzliche Grenze. Aus derselben Rechnung folgt die Äquivalenz von und Energie, die nicht besagt, dass sich das eine in das andere umwandeln lässt, sondern dass beide dieselbe Größe in verschiedenen Einheiten sind. Deshalb enthält jede Masse eine gewaltige Ruheenergie und erhöht jede Energiezufuhr die Masse, was sogar für einen geladenen Akku gilt, dort aber unmessbar klein bleibt. Erst in Kernprozessen mit millionenfach größeren Energien wird der Effekt sichtbar, etwa im der und im Massenverlust der Sonne. Masselose Teilchen wie tragen nach dem allgemeinen Energie-Impuls-Zusammenhang Impuls ohne Ruhemasse und bewegen sich zwangsläufig immer mit Lichtgeschwindigkeit.