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Mechanik

Mechanische Energie, Energieerhaltung und Wirkungsgrad

Lageenergie und Bewegungsenergie, warum Energie nie verschwindet und was der Wirkungsgrad wirklich misst.

Benötigte Grundlagen

Dieses Vorwissen brauchst du für das Kapitel. Schau kurz nach, wenn dir etwas davon nicht mehr präsent ist, sonst leg direkt los.

Einführung

Ein Skateboarder rollt in eine Halfpipe. Oben steht er still, unten ist er am schnellsten, auf der anderen Seite kommt er fast genau so hoch wieder heraus. Niemand schiebt ihn, und trotzdem passiert das jedes Mal wieder.

Da wird offensichtlich etwas umgewandelt und dabei nicht verbraucht. Dieses Etwas heißt Energie, und der Satz, dass es niemals verschwindet, ist der bedeutendste Satz der ganzen Physik. Er gilt in der Mechanik, in der Wärmelehre, in der Elektrizität und in der Kernphysik, ohne eine einzige bekannte Ausnahme.

Das kannst du nach diesem Kapitel

  • Energie als Fähigkeit beschreiben, zu verrichten.

  • potentielle und kinetische Energie unterscheiden und die Lageenergie berechnen.

  • den Energieerhaltungssatz der Mechanik formulieren und anwenden.

  • Energieumwandlungen an Beispielen beschreiben (Pendel, Halfpipe, geneigte Ebene).

  • den Wirkungsgrad berechnen und erklären, warum er nie 100 %100\,\% erreicht.

  • begründen, warum Energie „verbraucht" ein irreführendes Wort ist.

Was Energie ist

Wer an einem Körper verrichtet, ändert dessen Zustand: Er liegt höher, bewegt sich schneller oder ist gespannt. In diesem Zustand kann der Körper seinerseits Arbeit verrichten, wenn man ihn lässt.

Diese Fähigkeit heißt Energie EE. Sie wird in derselben Einheit gemessen wie die Arbeit, in Joule, und das ist kein Zufall: Die verrichtete Arbeit ist genau die übertragene Energie.

Arbeit ist der Vorgang, Energie der Vorrat.\text{Arbeit ist der Vorgang, Energie der Vorrat.}

Lageenergie (potentielle Energie)

Ein angehobener Körper kann beim Herunterfallen verrichten: Er kann einen Nagel einschlagen oder ein Mühlrad drehen. Die dafür nötige Energie hat er beim Anheben bekommen, und zwar genau die Hubarbeit:

Epot=m⋅g⋅h\boxed{E_{\text{pot}} = m \cdot g \cdot h}

🔴 hh ist immer eine Höhendifferenz gegenüber einem frei gewählten Nullpunkt. „Die Lageenergie beträgt 500 J500\,\text{J}" ist ohne Angabe des Bezugsniveaus unvollständig. Meist wählt man den Boden oder den tiefsten Punkt der Bewegung, und dann ist die Wahl auch dokumentiert.

Bewegungsenergie (kinetische Energie)

Ein bewegter Körper kann ebenfalls verrichten: Ein rollender Wagen schiebt etwas weg, ein fahrendes Auto verformt beim Aufprall Blech. Die Formel dafür lautet

Ekin=12⋅m⋅v2E_{\text{kin}} = \frac{1}{2} \cdot m \cdot v^2

🔴 Der wichtigste Punkt daran ist das Quadrat. Doppelte Geschwindigkeit bedeutet vierfache Bewegungsenergie, dreifache Geschwindigkeit neunfache. Das ist der physikalische Grund, warum der Bremsweg bei doppeltem Tempo viermal so lang wird und warum Geschwindigkeitsbegrenzungen so wirksam sind. Die genaue Herleitung folgt in Klasse 10 mit den Bewegungsgesetzen; hier zählt der Zusammenhang.

Der Energieerhaltungssatz der Mechanik

Zurück zur Halfpipe. Oben: viel Lageenergie, keine Bewegungsenergie. Unten: keine Lageenergie, viel Bewegungsenergie. Dazwischen: beides gemischt.

Misst man nach, findet man, dass die Summe überall gleich ist:

Epot+Ekin=konstant\boxed{E_{\text{pot}} + E_{\text{kin}} = \text{konstant}}

Das ist der Energieerhaltungssatz der Mechanik. Er gilt genau dann, wenn keine auftritt.

Damit lassen sich Aufgaben lösen, die anders sehr mühsam wären, zum Beispiel die Aufprallgeschwindigkeit eines fallenden Körpers, ohne über die Fallzeit zu gehen.

Die Summe bleibt, die Aufteilung wandert1231Umkehr2halbe Höhe3untenLageenergieBewegungsenergieUmgewandelt wird nur die Form, nicht der Betrag

Vergleiche die Höhe der drei Balken, nicht ihre Farben: Sie ist überall gleich. Genau das ist der Erhaltungssatz. Was wandert, ist nur die Trennlinie zwischen Lage- und Bewegungsenergie.

Warum der Satz so mächtig ist

Der Energieerhaltungssatz macht Voraussagen, ohne dass man den Weg dazwischen kennen muss. Ob der Skateboarder eine steile oder eine flache Bahn nimmt, ob er kurvt oder geradeaus rollt: Solange keine wirkt, hängt seine Geschwindigkeit unten nur von der Anfangshöhe ab.

Genau das lässt sich prüfen, und genau das bestätigt der Versuch mit verschieden geformten Bahnen gleicher Höhe. Ein Satz, der eine so starke Voraussage macht und sie besteht, ist mehr wert als hundert Beschreibungen.

Reibung: Energie geht nicht verloren

In Wirklichkeit kommt der Skateboarder nicht ganz so hoch wieder heraus. Wo ist die fehlende Energie?

Nicht verschwunden, sondern umgewandelt. wandelt mechanische Energie in thermische Energie () um: Räder, Achse und Bahn werden minimal wärmer. Misst man auch diesen Anteil, stimmt die Bilanz wieder genau.

Damit lautet der Satz allgemein:

Energie kann weder erzeugt noch vernichtet, sondern nur von einer Form in eine andere umgewandelt werden.

Das ist der allgemeine Energieerhaltungssatz, und er gilt ohne bekannte Ausnahme.

Energieformen, die dabei vorkommen: mechanische Energie (Lage-, Bewegungs-, Spannenergie), thermische Energie, elektrische Energie, chemische Energie, Strahlungsenergie, Kernenergie.

Warum „Energieverbrauch“ ein irreführendes Wort ist

Warum „Energieverbrauch" ein irreführendes Wort ist

Wenn Energie nie verschwindet, kann man sie auch nicht verbrauchen. Was tatsächlich passiert, ist eine Entwertung: Aus gut nutzbaren Formen (elektrisch, chemisch) wird am Ende immer bei Umgebungstemperatur, und die lässt sich praktisch nicht mehr nutzen.

Der Strom aus der Steckdose wird also nicht verbraucht, sondern in Licht, Bewegung und Wärme umgewandelt, und alle diese Formen enden früher oder später als Wärme. Wer Energie spart, spart deshalb nicht Energie, sondern hochwertige Energie.

Energie wird umgewandelt, nicht verbrauchtStauseeLageenergieFallrohrBewegungsenergieGeneratorelektrische EnergieLampeLicht und WärmeIn jedem Kasten wird ein Teil Wärme, die Summe bleibt gleich.Entwertet, nicht verschwunden

Verfolge die Energie von links nach rechts: Sie verschwindet an keiner Stelle, sie wechselt nur die Form. Was am Ende als in der Umgebung steckt, ist immer noch dieselbe Energiemenge, nur nicht mehr zu gebrauchen. Genau deshalb ist „Energieverbrauch“ ein irreführendes Wort.

Der Wirkungsgrad

Bei jeder Umwandlung entsteht ungewollt . Wie viel von der eingesetzten Energie wirklich im gewünschten Sinne ankommt, sagt der Wirkungsgrad:

η=EnutzEzu\boxed{\eta = \frac{E_{\text{nutz}}}{E_{\text{zu}}}}

(griechischer Buchstabe „eta"). Er ist ein Verhältnis, hat also keine Einheit, und wird meist in Prozent angegeben.

η=PnutzPzugilt genauso, weil sich die Zeit herausku¨rzt.\eta = \frac{P_{\text{nutz}}}{P_{\text{zu}}} \quad \text{gilt genauso, weil sich die Zeit herauskürzt.}

Der Wirkungsgrad ist immer kleiner als 100 %100\,\%. Das ist keine Frage besserer Technik: und Wärmeabgabe lassen sich verringern, aber nie ganz beseitigen. Ein Gerät mit η=1\eta = 1 wäre ein Perpetuum mobile.

VorgangWirkungsgrad
Elektromotor (groß)bis 95 %95\,\%
Wasserkraftwerketwa 90 %90\,\%
LED-Lampeetwa 40 %40\,\%
Dieselmotoretwa 40 %40\,\%
Ottomotor (Benzin)etwa 30 %30\,\%
Solarzelleetwa 20 %20\,\%
Glühlampe (Licht)etwa 5 %5\,\%

Bei mehreren hintereinandergeschalteten Schritten multiplizieren sich die Wirkungsgrade. Ein Kraftwerk mit η=0,4\eta = 0{,}4, eine Leitung mit 0,950{,}95 und ein Motor mit 0,90{,}9 ergeben zusammen 0,4⋅0,95⋅0,9≈0,340{,}4 \cdot 0{,}95 \cdot 0{,}9 \approx 0{,}34, also nur 34 %34\,\%. Deshalb lohnt es sich, Umwandlungsschritte einzusparen.

Energieflussbild einer LED-Lampe100 J elektrisch25 J Licht75 J Wärmeentwertet, aber noch daη = 25 J / 100 J = 0,25 = 25 %Der Wirkungsgrad ist nie größer als 1

Die beiden Ausgänge sind zusammen genauso hoch wie der Eingang, und das ist kein Zufall: Der Erhaltungssatz lässt gar nichts anderes zu. Der Wirkungsgrad vergleicht den Nutzen mit dem Eingang und kann deshalb nie größer als 1 werden.

Energieerhaltung beim freien Fall

Ein Ball (m=0,4 kgm = 0{,}4\,\text{kg}) fällt aus 5 m5\,\text{m} Höhe. (g=10 Nkgg = 10\,\frac{\text{N}}{\text{kg}}, Luftwiderstand vernachlässigt)

a) Wie groß ist seine Lageenergie oben?

b) Wie schnell ist er beim Aufprall?

c) Wie groß sind beide Energien auf halber Höhe?

d) Wie ändert sich die Aufprallgeschwindigkeit, wenn der Ball doppelt so schwer ist?

  1. 1

    Nullniveau festlegen. Wir wählen den Boden als h=0h = 0. Damit sind alle Angaben eindeutig.

    a) Epot=m⋅g⋅h=0,4 kg⋅10 Nkg⋅5 m=20 JE_{\text{pot}} = m \cdot g \cdot h = 0{,}4\,\text{kg} \cdot 10\,\frac{\text{N}}{\text{kg}} \cdot 5\,\text{m} = 20\,\text{J}

  2. 2

    b) Energieerhaltung ansetzen. Am Boden ist h=0h = 0, also ist die gesamte Lageenergie in Bewegungsenergie übergegangen:

    Ekin=Epot=20 JE_{\text{kin}} = E_{\text{pot}} = 20\,\text{J} 12mv2=20 J\frac{1}{2} m v^2 = 20\,\text{J}
  3. 3

    Nach vv auflösen:

    v2=2⋅20 J0,4 kg=100 m2s2⇒v=10 ms=36 kmhv^2 = \frac{2 \cdot 20\,\text{J}}{0{,}4\,\text{kg}} = 100\,\frac{\text{m}^2}{\text{s}^2} \quad \Rightarrow \quad v = 10\,\frac{\text{m}}{\text{s}} = 36\,\frac{\text{km}}{\text{h}}
  4. 4

    c) Auf halber Höhe (h=2,5 mh = 2{,}5\,\text{m}):

    Epot=0,4⋅10⋅2,5 J=10 JE_{\text{pot}} = 0{,}4 \cdot 10 \cdot 2{,}5\,\text{J} = 10\,\text{J}

    Die Summe muss 20 J20\,\text{J} bleiben, also

    Ekin=20 J−10 J=10 JE_{\text{kin}} = 20\,\text{J} - 10\,\text{J} = 10\,\text{J}

    Auf halber Höhe ist die Energie also genau halbe-halbe verteilt. (Die Geschwindigkeit ist dort allerdings nicht die halbe, sondern v=50≈7,1 msv = \sqrt{50} \approx 7{,}1\,\frac{\text{m}}{\text{s}}, wegen des Quadrats.)

  5. 5

    d) Bei doppelter Masse ändert sich die Geschwindigkeit nicht. In der Gleichung

    m⋅g⋅h=12mv2m \cdot g \cdot h = \frac{1}{2} m v^2

    steht mm auf beiden Seiten und kürzt sich heraus:

    v=2ghv = \sqrt{2 g h}

    Die Aufprallgeschwindigkeit hängt also nur von der Fallhöhe ab, nicht von der Masse. Das ist genau das Ergebnis aus dem allerersten Kapitel, wo Lena vermutete, schwere Körper fielen schneller. Jetzt ist es nicht mehr nur gemessen, sondern begründet.

a) 20 J20\,\text{J} b) 10 ms10\,\frac{\text{m}}{\text{s}} c) je 10 J10\,\text{J} d) unverändert, weil sich die herauskürzt.

Wirkungsgrad einer Anlage

Ein Elektromotor nimmt 2000 W2000\,\text{W} auf und hebt über einen Flaschenzug eine Last von 600 kg600\,\text{kg} mit 0,25 ms0{,}25\,\frac{\text{m}}{\text{s}}. (g=10 Nkgg = 10\,\frac{\text{N}}{\text{kg}})

a) Berechne die Nutzleistung.

b) Berechne den Wirkungsgrad.

c) Wohin geht die restliche Energie?

d) Der Flaschenzug allein hat η1=0,85\eta_1 = 0{,}85. Wie groß ist der Wirkungsgrad des Motors?

  1. 1

    a) Nutzleistung ist die Hubleistung. In einer Sekunde wird die Last um 0,25 m0{,}25\,\text{m} gehoben:

    F=m⋅g=600 kg⋅10 Nkg=6000 NF = m \cdot g = 600\,\text{kg} \cdot 10\,\frac{\text{N}}{\text{kg}} = 6000\,\text{N} Pnutz=F⋅v=6000 N⋅0,25 ms=1500 WP_{\text{nutz}} = F \cdot v = 6000\,\text{N} \cdot 0{,}25\,\frac{\text{m}}{\text{s}} = 1500\,\text{W}

    (Die Umformung P=Wt=F⋅st=F⋅vP = \frac{W}{t} = \frac{F \cdot s}{t} = F \cdot v spart hier einen Rechenschritt.)

  2. 2

    b) η=PnutzPzu=1500 W2000 W=0,75=75 %\eta = \frac{P_{\text{nutz}}}{P_{\text{zu}}} = \frac{1500\,\text{W}}{2000\,\text{W}} = 0{,}75 = 75\,\%

  3. 3

    c) Die fehlenden 500 W500\,\text{W} sind nicht verschwunden, sondern in thermische Energie übergegangen:

    • Reibung in den Rollen und Lagern des Flaschenzugs,
    • Reibung im Seil, das über jede Rolle gebogen wird,
    • Wärme in den Wicklungen des Motors (),
    • ein kleiner Anteil als Schall.

    Die Energiebilanz stimmt also weiterhin genau, nur ist ein Teil in eine Form übergegangen, die für das Heben nutzlos ist.

  4. 4

    d) Bei hintereinandergeschalteten Schritten multiplizieren sich die Wirkungsgrade:

    ηges=ηMotor⋅ηFlaschenzug\eta_{\text{ges}} = \eta_{\text{Motor}} \cdot \eta_{\text{Flaschenzug}} 0,75=ηMotor⋅0,85⇒ηMotor=0,750,85≈0,88=88 %0{,}75 = \eta_{\text{Motor}} \cdot 0{,}85 \quad \Rightarrow \quad \eta_{\text{Motor}} = \frac{0{,}75}{0{,}85} \approx 0{,}88 = 88\,\%

    Der Motor arbeitet also deutlich besser als die Gesamtanlage. Das ist typisch: Der schwächste Schritt bestimmt maßgeblich das Ergebnis.

a) 1500 W1500\,\text{W} b) 75 %75\,\% c) als durch und im Motor d) etwa 88 %88\,\%.

Typischer Fehler

„Beim Bremsen geht die Bewegungsenergie des Autos verloren."

Sie geht nicht verloren, sie wird umgewandelt. Beim Bremsen entsteht durch zwischen Belag und Scheibe thermische Energie. Bremsscheiben können dabei über 500 °C500\,\text{°C} heiß werden und glühen bei einer Vollbremsung sichtbar rot.

Die Energiebilanz stimmt exakt: Die kinetische Energie vorher ist genauso groß wie die entstandene (plus etwas Schall und Abrieb). Der Energieerhaltungssatz kennt keine Ausnahme.

Warum die Formulierung trotzdem so verbreitet ist: Weil die Wärme in der Umgebung verschwindet und praktisch nicht mehr nutzbar ist. Umgangssprachlich nennt man das „verloren", physikalisch heißt es entwertet.

Dass es wirklich nur eine Umwandlung ist, beweist die Technik: Ein Elektroauto rekuperiert, es lässt beim Bremsen den Motor als Generator laufen und wandelt einen Teil der Bewegungsenergie in elektrische Energie zurück in die Batterie. Wäre die Energie verloren, ginge das nicht.

Sprachregel: In der Physik gibt es kein Verschwinden von Energie, nur Umwandlung. Wenn du eine Energie „vermisst", frag nach der Wärme.

Übung 1

leicht

Ein Sack Zement (m=25 kgm = 25\,\text{kg}) liegt auf einem 4 m4\,\text{m} hohen Gerüst. (g=10 Nkgg = 10\,\frac{\text{N}}{\text{kg}})

a) Wie groß ist seine Lageenergie bezogen auf den Boden?

b) Wie groß ist sie bezogen auf eine 2 m2\,\text{m} hohe Plattform?

c) Was lernst du aus dem Vergleich?

Tipp anzeigen

In beiden Fällen ist hh die Höhendifferenz zum gewählten Nullniveau.

Lösung anzeigen

a) Epot=25 kg⋅10 Nkg⋅4 m=1000 JE_{\text{pot}} = 25\,\text{kg} \cdot 10\,\frac{\text{N}}{\text{kg}} \cdot 4\,\text{m} = 1000\,\text{J}

b) Jetzt ist die Höhendifferenz nur 4 m−2 m=2 m4\,\text{m} - 2\,\text{m} = 2\,\text{m}:

Epot=25⋅10⋅2 J=500 JE_{\text{pot}} = 25 \cdot 10 \cdot 2\,\text{J} = 500\,\text{J}

c) Die Lageenergie hat keinen absoluten Wert. Sie hängt vom gewählten Nullniveau ab, und beide Angaben sind richtig, solange man das Bezugsniveau nennt.

Physikalisch bedeutsam sind ohnehin nur Differenzen: Fällt der Sack aufs Gerüst-Fundament, sind 1000 J1000\,\text{J} frei; fällt er nur auf die Plattform, sind es 500 J500\,\text{J}. Genau diese Differenz spürt man beim Aufprall, und deshalb genügt es, sie zu kennen.

Detaillierte Schritterklärung anzeigen

Hier wird jeder Schritt einzeln erklärt, vor allem, warum er gemacht wird.

Erklärungstiefe

✦ Empfohlen: Standard – Die normale Erklärungstiefe passt zum Einstieg.

  1. 1

    Gegeben und Gesucht, zweimal dieselbe Lage, zwei Bezugsniveaus

    Gegeben: m=25 kgm = 25\,\text{kg}, Gerüsthöhe 4 m4\,\text{m}, g=10 Nkgg = 10\,\frac{\text{N}}{\text{kg}}. Gesucht ist die Lageenergie einmal bezogen auf den Boden, einmal auf eine 2 m2\,\text{m} hohe Plattform. Der Sack liegt beide Male an derselben Stelle.

  2. 2

    Lageenergie als gespeicherte Hubarbeit

    Die Lageenergie ist genau die , die man aufwenden musste, um den Körper auf diese Höhe zu bringen: Epot=m⋅g⋅hE_{\text{pot}} = m \cdot g \cdot h, wobei hh die Höhendifferenz zum gewählten Nullniveau ist.

  3. 3

    a) und b) Beide Lageenergien berechnen

    Bezogen auf den Boden ist h=4 mh = 4\,\text{m}, bezogen auf die Plattform nur h=4 m−2 m=2 mh = 4\,\text{m} - 2\,\text{m} = 2\,\text{m}.

    Ea=25 kg⋅10 Nkg⋅4 m=1000 JE_a = 25\,\text{kg} \cdot 10\,\frac{\text{N}}{\text{kg}} \cdot 4\,\text{m} = 1000\,\text{J}; Eb=25⋅10⋅2 J=500 JE_b = 25 \cdot 10 \cdot 2\,\text{J} = 500\,\text{J}

    Zwischenergebnis

    Ea=1000 JE_a = 1000\,\text{J}, Eb=500 JE_b = 500\,\text{J}

  4. 4

    c) Ergebnis deuten: Lageenergie hat keinen absoluten Wert

    Beide Antworten sind richtig, solange man das Bezugsniveau nennt. Die Lageenergie hat keinen absoluten Wert; sie hängt davon ab, was man als Nullpunkt wählt.

Übung 2

mittel

Ein Pendel wird um 20 cm20\,\text{cm} angehoben und losgelassen (m=500 gm = 500\,\text{g}, g=10 Nkgg = 10\,\frac{\text{N}}{\text{kg}}).

a) Beschreibe die Energieumwandlungen während einer vollen Schwingung.

b) Wie schnell ist das Pendel im tiefsten Punkt (ohne )?

c) In Wirklichkeit erreicht es nach der ersten Schwingung nur noch 18 cm18\,\text{cm}. Wie viel Energie wurde umgewandelt, und wohin?

Tipp anzeigen

b) Die gesamte Lageenergie ist unten zu Bewegungsenergie geworden.

Lösung anzeigen

a) Am Umkehrpunkt: maximale Lageenergie, keine Bewegungsenergie (das Pendel steht kurz still).

Auf dem Weg nach unten: Lageenergie wird zunehmend in Bewegungsenergie umgewandelt.

Im tiefsten Punkt: keine Lageenergie (bezogen auf diesen Punkt), maximale Bewegungsenergie, größte Geschwindigkeit.

Auf dem Weg nach oben: Bewegungsenergie wird zurück in Lageenergie umgewandelt, bis am anderen Umkehrpunkt wieder alles Lageenergie ist. Danach läuft dasselbe rückwärts.

b) Epot=0,5 kg⋅10 Nkg⋅0,2 m=1 JE_{\text{pot}} = 0{,}5\,\text{kg} \cdot 10\,\frac{\text{N}}{\text{kg}} \cdot 0{,}2\,\text{m} = 1\,\text{J}

Unten ist diese Energie vollständig kinetisch:

12mv2=1 J⇒v2=2⋅1 J0,5 kg=4 m2s2⇒v=2 ms\frac{1}{2} m v^2 = 1\,\text{J} \quad \Rightarrow \quad v^2 = \frac{2 \cdot 1\,\text{J}}{0{,}5\,\text{kg}} = 4\,\frac{\text{m}^2}{\text{s}^2} \quad \Rightarrow \quad v = 2\,\frac{\text{m}}{\text{s}}

c) Neue Lageenergie: E=0,5⋅10⋅0,18 J=0,9 JE = 0{,}5 \cdot 10 \cdot 0{,}18\,\text{J} = 0{,}9\,\text{J}

Umgewandelt wurden also 1 J−0,9 J=0,1 J1\,\text{J} - 0{,}9\,\text{J} = 0{,}1\,\text{J}, das sind 10 %10\,\%.

Wohin: in thermische Energie, durch Luftwiderstand entlang der Bahn und durch Reibung in der Aufhängung. Ein kleiner Teil wird als Schall abgegeben. Verloren ist nichts; die Luft und die Aufhängung sind ein winziges bisschen wärmer geworden.

Detaillierte Schritterklärung anzeigen

Hier wird jeder Schritt einzeln erklärt, vor allem, warum er gemacht wird.

Erklärungstiefe

✦ Empfohlen: Standard – Die normale Erklärungstiefe passt zum Einstieg.

  1. 1

    Gegeben und Gesucht am Pendel

    Gegeben: Hubhöhe 20 cm20\,\text{cm}, m=500 gm = 500\,\text{g}, g=10 Nkgg = 10\,\frac{\text{N}}{\text{kg}}; in c) zusätzlich die erreichte Höhe von 18 cm18\,\text{cm} nach einer Schwingung. Gesucht: die Energieumwandlungen, die Geschwindigkeit unten und die Verlustenergie.

  2. 2

    Zentimeter in Meter, Gramm in Kilogramm

    Für die Energieformeln werden Grundeinheiten gebraucht: 20 cm=0,2 m20\,\text{cm} = 0{,}2\,\text{m}, 18 cm=0,18 m18\,\text{cm} = 0{,}18\,\text{m} und 500 g=0,5 kg500\,\text{g} = 0{,}5\,\text{kg}.

    20 cm=0,2 m20\,\text{cm} = 0{,}2\,\text{m}; 18 cm=0,18 m18\,\text{cm} = 0{,}18\,\text{m}; 500 g=0,5 kg500\,\text{g} = 0{,}5\,\text{kg}

    Zwischenergebnis

    h1=0,2 mh_1 = 0{,}2\,\text{m}, h2=0,18 mh_2 = 0{,}18\,\text{m}, m=0,5 kgm = 0{,}5\,\text{kg}

  3. 3

    a) Die Umwandlungen im Verlauf einer Schwingung

    Am Umkehrpunkt: maximale Lageenergie, keine Bewegungsenergie, das Pendel steht kurz still. Nach unten: Lageenergie wird zunehmend zu Bewegungsenergie. Im tiefsten Punkt: keine Lageenergie mehr, maximale Bewegungsenergie, größte Geschwindigkeit. Nach oben läuft alles rückwärts.

  4. 4

    b) Energieerhaltung als Rechenwerkzeug

    Ohne Reibung gilt: Die gesamte Lageenergie oben ist unten vollständig Bewegungsenergie. Also m⋅g⋅h=12mv2m \cdot g \cdot h = \frac{1}{2} m v^2, und daraus lässt sich vv bestimmen.

  5. 5

    b) Die Geschwindigkeit im tiefsten Punkt

    Erst die Lageenergie berechnen, dann nach vv auflösen. Die Einheit m2s2\frac{\text{m}^2}{\text{s}^2} unter der Wurzel ergibt ms\frac{\text{m}}{\text{s}}.

    Epot=0,5 kg⋅10 Nkg⋅0,2 m=1 JE_{\text{pot}} = 0{,}5\,\text{kg} \cdot 10\,\frac{\text{N}}{\text{kg}} \cdot 0{,}2\,\text{m} = 1\,\text{J}; v2=2⋅1 J0,5 kg=4 m2s2v^2 = \frac{2 \cdot 1\,\text{J}}{0{,}5\,\text{kg}} = 4\,\frac{\text{m}^2}{\text{s}^2}

    Zwischenergebnis

    v=2 msv = 2\,\frac{\text{m}}{\text{s}}

  6. 6

    c) Ergebnis deuten: wohin die fehlende Energie ging

    Die neue Lageenergie beträgt 0,5⋅10⋅0,18 J=0,9 J0{,}5 \cdot 10 \cdot 0{,}18\,\text{J} = 0{,}9\,\text{J}. Umgewandelt wurden also 1 J−0,9 J=0,1 J1\,\text{J} - 0{,}9\,\text{J} = 0{,}1\,\text{J}, das sind 10 %10\,\% und zwar in thermische Energie durch Luftwiderstand und Reibung in der Aufhängung, ein kleiner Teil als Schall.

Übung 3

schwer

Ein Auto (m=1200 kgm = 1200\,\text{kg}) fährt mit 50 kmh50\,\frac{\text{km}}{\text{h}}.

a) Berechne seine Bewegungsenergie.

b) Berechne sie für 100 kmh100\,\frac{\text{km}}{\text{h}} und vergleiche.

c) Welche Folge hat das für den Bremsweg?

d) Ein Kraftwerk liefert η1=0,38\eta_1 = 0{,}38, die Leitung η2=0,94\eta_2 = 0{,}94, der Elektromotor η3=0,90\eta_3 = 0{,}90. Berechne den Gesamtwirkungsgrad und beurteile ihn.

Tipp anzeigen

Rechne die Geschwindigkeiten zuerst in ms\frac{\text{m}}{\text{s}} um: geteilt durch 3,63{,}6.

Lösung anzeigen

a) v=50 kmh=503,6 ms≈13,9 msv = 50\,\frac{\text{km}}{\text{h}} = \frac{50}{3{,}6}\,\frac{\text{m}}{\text{s}} \approx 13{,}9\,\frac{\text{m}}{\text{s}}

Ekin=12⋅1200 kg⋅(13,9 ms)2≈116000 J≈116 kJE_{\text{kin}} = \frac{1}{2} \cdot 1200\,\text{kg} \cdot \left(13{,}9\,\frac{\text{m}}{\text{s}}\right)^2 \approx 116000\,\text{J} \approx 116\,\text{kJ}

b) v=100 kmh≈27,8 msv = 100\,\frac{\text{km}}{\text{h}} \approx 27{,}8\,\frac{\text{m}}{\text{s}}

Ekin=12⋅1200⋅27,82 J≈464000 J≈464 kJE_{\text{kin}} = \frac{1}{2} \cdot 1200 \cdot 27{,}8^2\,\text{J} \approx 464000\,\text{J} \approx 464\,\text{kJ}

Das ist viermal so viel bei doppelter Geschwindigkeit, genau wie das Quadrat es vorhersagt.

c) Beim Bremsen muss die gesamte Bewegungsenergie in umgewandelt werden. Die Bremskraft ist ungefähr konstant, also gilt W=F⋅sW = F \cdot s und damit

s=EkinFs = \frac{E_{\text{kin}}}{F}

Vierfache Energie bedeutet bei gleicher Bremskraft vierfachen Bremsweg. Aus etwa 15 m15\,\text{m} werden rund 60 m60\,\text{m}, und das ist noch ohne die Reaktionszeit gerechnet.

Genau das ist der Grund für Tempolimits in der Stadt: Der Unterschied zwischen 3030 und 50 kmh50\,\frac{\text{km}}{\text{h}} ist beim Bremsweg nicht das Verhältnis 5030\frac{50}{30}, sondern (5030)2≈2,8\left(\frac{50}{30}\right)^2 \approx 2{,}8.

d) ηges=0,38⋅0,94⋅0,90≈0,32=32 %\eta_{\text{ges}} = 0{,}38 \cdot 0{,}94 \cdot 0{,}90 \approx 0{,}32 = 32\,\%

Von der im Brennstoff steckenden Energie kommen also nur rund ein Drittel als Bewegung an; zwei Drittel werden unterwegs zu Wärme.

Beurteilung: Der schwächste Schritt (das Kraftwerk mit 38 %38\,\%) bestimmt das Ergebnis maßgeblich. Eine Verbesserung des Motors von 9090 auf 95 %95\,\% brächte nur gut 1,51{,}5 Prozentpunkte, eine Verbesserung des Kraftwerks um zehn Punkte dagegen deutlich mehr. Deshalb setzt man bei Effizienzfragen zuerst am schwächsten Glied an, und deshalb ist die direkte Nutzung ohne Umwandlungsschritte (etwa Wasserkraft) so viel günstiger.

Detaillierte Schritterklärung anzeigen

Hier wird jeder Schritt einzeln erklärt, vor allem, warum er gemacht wird.

Erklärungstiefe

✦ Empfohlen: Standard – Die normale Erklärungstiefe passt zum Einstieg.

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    Gegeben und Gesucht, zwei Geschwindigkeiten, eine Wirkungsgradkette

    Gegeben: m=1200 kgm = 1200\,\text{kg} und die Geschwindigkeiten 5050 und 100 kmh100\,\frac{\text{km}}{\text{h}}; in d) drei Wirkungsgrade 0,380{,}38, 0,940{,}94 und 0,900{,}90. Gesucht: beide Bewegungsenergien, die Folge für den Bremsweg und der Gesamtwirkungsgrad.

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    Von Kilometern je Stunde auf Meter je Sekunde

    1 kmh1\,\frac{\text{km}}{\text{h}} sind 1000 m3600 s\frac{1000\,\text{m}}{3600\,\text{s}}, also 13,6 ms\frac{1}{3{,}6}\,\frac{\text{m}}{\text{s}}. Man teilt deshalb durch 3,63{,}6: 50:3,6≈13,950 : 3{,}6 \approx 13{,}9 und 100:3,6≈27,8100 : 3{,}6 \approx 27{,}8.

    50 kmh=503,6 ms≈13,9 ms50\,\frac{\text{km}}{\text{h}} = \frac{50}{3{,}6}\,\frac{\text{m}}{\text{s}} \approx 13{,}9\,\frac{\text{m}}{\text{s}}

    Zwischenergebnis

    v1≈13,9 msv_1 \approx 13{,}9\,\frac{\text{m}}{\text{s}}, v2≈27,8 msv_2 \approx 27{,}8\,\frac{\text{m}}{\text{s}}

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    a) Bewegungsenergie, mit dem Quadrat der Geschwindigkeit

    Es gilt Ekin=12mv2E_{\text{kin}} = \frac{1}{2} m v^2. Entscheidend ist das Quadrat: Die Geschwindigkeit geht doppelt ein, die nur einfach.

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    a) und b) Beide Bewegungsenergien

    Halbe Masse mal Geschwindigkeitsquadrat, für beide Geschwindigkeiten getrennt.

    E1=12⋅1200 kg⋅(13,9 ms)2≈116000 JE_1 = \frac{1}{2} \cdot 1200\,\text{kg} \cdot (13{,}9\,\frac{\text{m}}{\text{s}})^2 \approx 116000\,\text{J}; E2≈464000 JE_2 \approx 464000\,\text{J}

    Zwischenergebnis

    E1≈116 kJE_1 \approx 116\,\text{kJ}, E2≈464 kJE_2 \approx 464\,\text{kJ}

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    c) Was das für den Bremsweg bedeutet

    Beim Bremsen muss die gesamte Bewegungsenergie in Wärme umgewandelt werden. Die Bremskraft ist ungefähr konstant, also gilt W=F⋅sW = F \cdot s und damit s=EkinFs = \frac{E_{\text{kin}}}{F}: Vierfache Energie heißt vierfacher Bremsweg.

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    d) Ergebnis deuten: die Wirkungsgradkette und ihr schwächstes Glied

    Wirkungsgrade hintereinandergeschalteter Stufen werden multipliziert: ηges=0,38⋅0,94⋅0,90≈0,32=32 %\eta_{\text{ges}} = 0{,}38 \cdot 0{,}94 \cdot 0{,}90 \approx 0{,}32 = 32\,\%. Von der im Brennstoff steckenden Energie kommt also nur rund ein Drittel als Bewegung an.

Zusammenfassung

Energie ist die Fähigkeit, zu verrichten, und wird deshalb in derselben Einheit gemessen: Arbeit ist der Vorgang, Energie der Vorrat. Die Lageenergie m⋅g⋅hm \cdot g \cdot h steckt in der Höhe, die Bewegungsenergie 12mv2\frac{1}{2} m v^2 in der Geschwindigkeit, und das Quadrat dort ist der Grund, warum doppeltes Tempo vierfache Energie und vierfachen Bremsweg bedeutet. Ohne bleibt die Summe beider konstant, und dieser Erhaltungssatz erlaubt Voraussagen, ohne den Weg dazwischen zu kennen. Mit Reibung geht nichts verloren, es entsteht thermische Energie; deshalb ist „Energieverbrauch" irreführend und „Entwertung" der richtige Begriff. Wie viel einer Umwandlung im gewünschten Sinne ankommt, sagt der Wirkungsgrad, der stets unter hundert Prozent bleibt und sich bei mehreren Schritten multipliziert.