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Wärmelehre / Thermodynamik

Das ideale Gas und seine Zustandsänderungen

Wie Druck, Volumen und Temperatur zusammenhängen und warum ein Modell aus punktförmigen Teilchen so gut funktioniert.

Benötigte Grundlagen

Dieses Vorwissen brauchst du für das Kapitel. Schau kurz nach, wenn dir etwas davon nicht mehr präsent ist, sonst leg direkt los.

Einführung

Ein Autoreifen wird bei schneller Fahrt wärmer und sein steigt. Eine Spraydose darf man nicht in die Sonne legen. Eine Luftmatratze wird über Nacht schlaff, obwohl sie dicht ist.

Alle drei Beobachtungen folgen aus einer Gleichung, die Druck, Volumen und eines Gases verbindet. Sie beruht auf einem Modell, das absichtlich grob ist: Teilchen ohne Ausdehnung, ohne Anziehungskräfte, die nur elastisch aneinander stoßen.

Dass ein so vereinfachtes Bild reale Gase über weite Bereiche auf wenige Prozent genau beschreibt, ist eine der überraschendsten Erfolgsgeschichten der Physik.

Das kannst du nach diesem Kapitel

  • das Modell des idealen Gases und seine Annahmen beschreiben.

  • die Zustandsgleichung anwenden.

  • isotherme, isobare und isochore Zustandsänderungen unterscheiden.

  • den teilchenmodellhaft deuten.

  • die absolute begründen.

  • die Grenzen des Modells benennen.

Das Modell

Ein ideales Gas ist ein Modellgas mit vier Annahmen:

  1. Die Teilchen sind punktförmig; ihr Eigenvolumen ist vernachlässigbar.
  2. Zwischen ihnen wirken keine Anziehungskräfte (außer beim Stoß).
  3. Alle Stöße sind vollkommen elastisch.
  4. Die Teilchen bewegen sich regellos in alle Richtungen.

🔴 Diese Annahmen sind für reale Gase falsch, aber bei nicht zu hohem und nicht zu tiefer gute Näherungen: Der Abstand der Teilchen ist dann so groß, dass Eigenvolumen und Anziehung kaum ins Gewicht fallen.

Luft bei Zimmerbedingungen wird auf rund ein Prozent genau beschrieben.

Vier Annahmen, und alles Weitere folgt daraus1PunktförmigDie Teilchen sind Punkte, ihr Eigenvolumen zählt nicht.2Keine AnziehungZwischen den Stößen wirkenkeine Kräfte.3Elastische StößeBei jedem Stoß gehtkeine Energie verloren.4RegellosKeine Richtung istvor einer anderen bevorzugt.Keine Annahme stimmt genau, Luft trotzdem auf 1 % genau.Nahe der Verflüssigung versagt es: Annahmen zu grob

Vier Annahmen, von denen keine genau stimmt, und trotzdem beschreibt das Modell Luft bei Zimmerbedingungen auf ein Prozent genau. Je verdünnter und je wärmer ein Gas ist, desto besser passt es; nahe der Verflüssigung versagt es. Das ist der Normalfall in der Physik: Ein Modell muss nicht wahr sein, es muss brauchbar sein.

Was Druck und Temperatur im Modell bedeuten

entsteht durch die Stöße der Teilchen auf die Gefäßwand. Je mehr Teilchen und je heftiger sie stoßen, desto größer der Druck.

ist ein Maß für die mittlere kinetische der Teilchen:

Ekin‾=32kBT\overline{E_{\text{kin}}} = \frac{3}{2} k_B T

mit der Boltzmannkonstante kB=1,381⋅10−23 JKk_B = 1{,}381 \cdot 10^{-23}\,\frac{\text{J}}{\text{K}}.

🔴 Daraus folgt unmittelbar der absolute Nullpunkt. Bei T=0T = 0 wäre die mittlere kinetische Energie null; die Teilchen stünden still. Eine tiefere Temperatur ist deshalb nicht möglich, denn Bewegung lässt sich nicht unter null verringern.

0 K=−273,15 °C0\,\text{K} = -273{,}15\,\text{°C}

Das ist der Grund, warum es eine absolute Temperaturskala gibt. In allen Gasgesetzen muss man in Kelvin rechnen.

(Streng genommen ruhen die Teilchen auch bei 0 K0\,\text{K} nicht ganz, wegen der Nullpunktsenergie aus der Quantenphysik. Für die Gasgesetze spielt das keine Rolle.)

Druck ist die Summe unzähliger StößeGleich viele Teilchen, gleiches Volumen, andere Temperatur.300 K1,0 bar600 K2,0 barDie Striche rechts stehen für den Druck auf die Wand.Nicht mehr Teilchen, sondern schnellere Teilchen

Beide Kästen enthalten dieselben Teilchen an denselben Stellen; nur die Pfeile sind rechts länger, und zwar maßstäblich um den Faktor 1,4. Trotzdem verdoppelt sich der , weil die Teilchen häufiger ankommen und jedes Mal heftiger stoßen.

Die Zustandsgleichung

p⋅V=n⋅R⋅T\boxed{p \cdot V = n \cdot R \cdot T}

mit der allgemeinen Gaskonstante

R=8,314 Jmol⋅KR = 8{,}314\,\frac{\text{J}}{\text{mol}\cdot\text{K}}

Gleichwertig über die Teilchenzahl:

pV=NkBTp V = N k_B T

Für eine feste Gasmenge (geschlossenes Gefäß) folgt daraus die praktische Form:

p1V1T1=p2V2T2\boxed{\frac{p_1 V_1}{T_1} = \frac{p_2 V_2}{T_2}}

Damit lässt sich jede Zustandsänderung berechnen, sofern die Stoffmenge gleich bleibt.

Die drei Sonderfälle

ZustandsänderungkonstantGesetzAnschauung
isothermTTp1V1=p2V2p_1V_1 = p_2V_2halbes Volumen, doppelter
isobarppV1T1=V2T2\frac{V_1}{T_1} = \frac{V_2}{T_2}wärmer bedeutet größer
isochorVVp1T1=p2T2\frac{p_1}{T_1} = \frac{p_2}{T_2}wärmer bedeutet höherer Druck

Isotherm (Boyle-Mariotte). Drückt man ein Gas bei gleicher zusammen, treffen die Teilchen häufiger auf die Wand, der Druck steigt. Beispiel: Fahrradpumpe mit zugehaltener Öffnung.

Isobar (Gay-Lussac). Erwärmt man ein Gas bei konstantem Druck, dehnt es sich aus. Beispiel: Heißluftballon, aufgehender Hefeteig.

Isochor (Amontons). Erwärmt man ein Gas im festen Gefäß, steigt der Druck. Beispiel: Spraydose in der Sonne, Autoreifen bei schneller Fahrt.

🔴 In allen drei Fällen muss TT in Kelvin eingesetzt werden. Rechnet man mit Grad Celsius, kommt Unsinn heraus, denn die Gesetze sind Proportionalitäten, und die gelten nur bei einem echten Nullpunkt.

Halbes Volumen, doppelter DruckTemperatur bleibt bei 300 K, die Gasmenge bleibt gleich.p · V = konstant (Gesetz von Boyle und Mariotte)12340123p in bar2,0 L bei 1,0 bar1,0 L bei 2,0 barV in LiternDie Teilchen treffen dieselbe Wandfläche doppelt so oft

Bei konstanter bleibt das Produkt p · V gleich, die Kurve ist deshalb eine Hyperbel. Die Probe steht unter dem Bild: 1,0 bar · 2,0 L = 2,0 bar · 1,0 L.

Doppelte Temperatur, doppeltes VolumenDruck bleibt bei 1,0 bar, die Gasmenge bleibt gleich.V / T = konstant (Gesetz von Gay-Lussac)0200400600024V in Litern300 K → 2,0 L600 K → 4,0 LT in Kelvin27 °C auf 327 °C ist eine Verdopplung, nicht das Zwölffache

Die Gerade zeigt genau auf den Ursprung und darin steckt der ganze Grund, warum in Kelvin gerechnet werden muss. Von 27 °C auf 327 °C ist eine Verdopplung der absoluten , nicht das Zwölffache.

Doppelte Temperatur, doppelter DruckVolumen bleibt bei 2,0 L, die Gasmenge bleibt gleich.p / T = konstant (Gesetz von Amontons)0200400600012p in bar300 K → 1,0 bar600 K → 2,0 barT in KelvinDeshalb warnt jede Spraydose vor Hitze

Dasselbe Bild für den im festen Gefäß. Genau das ist der Grund für die Warnung auf jeder Spraydose: Im Feuer erreicht ein geschlossener Behälter schnell ein Vielfaches seines Anfangsdrucks.

Das molare Normvolumen

Aus der Zustandsgleichung folgt für 1 mol1\,\text{mol} bei Normbedingungen (0 °C0\,\text{°C}, 1013 hPa1013\,\text{hPa}):

Vm=RTp=8,314⋅273,15101 325 m3≈22,4 LV_m = \frac{RT}{p} = \frac{8{,}314 \cdot 273{,}15}{101\,325}\,\text{m}^3 \approx 22{,}4\,\text{L}

🔴 Bemerkenswert: Dieser Wert gilt für jedes ideale Gas, unabhängig von der Teilchenmasse. Ein Mol Wasserstoff nimmt dasselbe Volumen ein wie ein Mol Kohlendioxid, obwohl die Teilchen zweiundzwanzigmal schwerer sind.

Der Grund: Bei gleicher haben alle Teilchen dieselbe mittlere kinetische . Schwerere Teilchen sind deshalb langsamer und stoßen entsprechend seltener, aber heftiger. Beides gleicht sich aus.

Ein Mol Gas füllt immer 22,4 LiterBei 0 °C und 1013 hPa, gleich, welches Gas darin ist.22,4 L1 molWasserstoff H₂2,0 g22,4 L1 molStickstoff N₂28,0 g22,4 L1 molKohlendioxid CO₂44,0 gGleiche Teilchenzahl, gleiches Volumen: Masse egal.Den Platz macht die Bewegung, nicht die Masse

Drei völlig verschieden schwere Gase, dasselbe Volumen. Im Modell sind die Teilchen Punkte, und wie schwer ein Punkt ist, geht in den Platzbedarf nicht ein, den macht allein die Bewegung.

Grenzen des Modells

Die Näherung versagt

  • bei hohem , weil das Eigenvolumen der Teilchen nicht mehr vernachlässigbar ist,
  • bei tiefer , weil die Anziehungskräfte an Bedeutung gewinnen,
  • in der Nähe der Verflüssigung, denn ein ideales Gas könnte gar nicht flüssig werden.

Genau diese Anziehungskräfte machen die Verflüssigung erst möglich, und das ideale Gasgesetz sagt sie deshalb nicht voraus. Für reale Gase gibt es erweiterte Gleichungen (van der Waals).

Zustandsänderungen berechnen

a) Ein Autoreifen hat bei 10 °C10\,\text{°C} einen von 2,2 bar2{,}2\,\text{bar}. Auf welchen Wert steigt er bei 50 °C50\,\text{°C} (konstantes Volumen)?

b) Ein Gasvolumen von 3,0 L3{,}0\,\text{L} bei 1,0 bar1{,}0\,\text{bar} wird isotherm auf 0,5 L0{,}5\,\text{L} zusammengedrückt. Wie groß ist der Druck?

c) Ein Ballon hat bei 20 °C20\,\text{°C} ein Volumen von 2,0 L2{,}0\,\text{L}. Wie groß ist es bei −10 °C-10\,\text{°C} (konstanter Druck)?

d) Welches Volumen nimmt 1 mol1\,\text{mol} eines Gases bei 25 °C25\,\text{°C} und 1,0 bar1{,}0\,\text{bar} ein?

  1. 1

    a) Isochor, also p1T1=p2T2\frac{p_1}{T_1} = \frac{p_2}{T_2}.

    In Kelvin umrechnen: T1=283 KT_1 = 283\,\text{K}, T2=323 KT_2 = 323\,\text{K}

    p2=p1⋅T2T1=2,2 bar⋅323283≈2,51 barp_2 = p_1 \cdot \frac{T_2}{T_1} = 2{,}2\,\text{bar} \cdot \frac{323}{283} \approx 2{,}51\,\text{bar}

    🔴 Rechnete man mit Celsius, ergäbe sich 2,2⋅5010=11 bar2{,}2 \cdot \frac{50}{10} = 11\,\text{bar}, also ein völlig falscher Wert. Bei 0 °C0\,\text{°C} wäre die Rechnung sogar undefiniert.

    Praktische Folge: Reifendruck misst man deshalb bei kaltem Reifen. Nach längerer Autobahnfahrt zeigt das Messgerät zu viel an, und wer dann Luft ablässt, hat später zu wenig Druck.

  2. 2

    b) Isotherm, also p1V1=p2V2p_1V_1 = p_2V_2.

    p2=p1⋅V1V2=1,0 bar⋅3,00,5=6,0 barp_2 = p_1 \cdot \frac{V_1}{V_2} = 1{,}0\,\text{bar} \cdot \frac{3{,}0}{0{,}5} = 6{,}0\,\text{bar}

    Sechstel Volumen bedeutet sechsfacher Druck. Hier kürzen sich die Einheiten heraus, sodass Liter und bar direkt eingesetzt werden können.

  3. 3

    c) Isobar, also V1T1=V2T2\frac{V_1}{T_1} = \frac{V_2}{T_2}.

    T1=293 K,T2=263 KT_1 = 293\,\text{K}, \qquad T_2 = 263\,\text{K} V2=V1⋅T2T1=2,0 L⋅263293≈1,80 LV_2 = V_1 \cdot \frac{T_2}{T_1} = 2{,}0\,\text{L} \cdot \frac{263}{293} \approx 1{,}80\,\text{L}

    Der Ballon schrumpft also um rund 10 %10\,\%. Genau das beobachtet man, wenn man einen Luftballon ins Freie bringt.

  4. 4

    d) Zustandsgleichung nach VV auflösen:

    V=nRTp=1 mol⋅8,314 Jmol⋅K⋅298 K1,0⋅105 PaV = \frac{nRT}{p} = \frac{1\,\text{mol} \cdot 8{,}314\,\frac{\text{J}}{\text{mol}\cdot\text{K}} \cdot 298\,\text{K}}{1{,}0 \cdot 10^{5}\,\text{Pa}} V=2477 J105 Pa=2,477⋅10−2 m3≈24,8 LV = \frac{2477\,\text{J}}{10^{5}\,\text{Pa}} = 2{,}477 \cdot 10^{-2}\,\text{m}^3 \approx 24{,}8\,\text{L}

    Einheitenprobe: JPa=NmN/m2=m3\frac{\text{J}}{\text{Pa}} = \frac{\text{Nm}}{\text{N}/\text{m}^2} = \text{m}^3 ✓

    Vergleich mit dem Normvolumen (0 °C0\,\text{°C}, 1013 hPa1013\,\text{hPa}): dort sind es 22,4 L22{,}4\,\text{L}. Der Unterschied entsteht durch die höhere und den etwas geringeren Druck.

    🔴 Bemerkenswert an diesem Ergebnis: Es gilt für jedes ideale Gas. Ein Mol Wasserstoff (2 g2\,\text{g}) nimmt dasselbe Volumen ein wie ein Mol Kohlendioxid (44 g44\,\text{g}).

    Warum das so ist: Bei gleicher Temperatur haben alle Teilchen dieselbe mittlere kinetische 32kBT\frac{3}{2}k_BT. Schwerere Teilchen sind deshalb langsamer, stoßen also seltener gegen die Wand, treffen dafür aber heftiger. Beides gleicht sich exakt aus, und der Druck hängt nur von Teilchenzahl und Temperatur ab.

    Das ist der Inhalt des Satzes von Avogadro und war historisch ein wichtiger Schritt zur Bestimmung von Atommassen.

a) rund 2,51 bar2{,}51\,\text{bar} b) 6,0 bar6{,}0\,\text{bar} c) rund 1,80 L1{,}80\,\text{L} d) rund 24,8 L24{,}8\,\text{L}, für jedes Gas gleich.

Warum ein grobes Modell so gut funktioniert

Das ideale Gasmodell nimmt an, Teilchen seien punktförmig und ohne Anziehungskräfte. Beides ist falsch. Erkläre, warum es reale Gase trotzdem gut beschreibt, und wo es versagt.

  1. 1

    Wie leer ein Gas tatsächlich ist.

    Ein Mol eines Gases nimmt bei Normbedingungen 22,4 L22{,}4\,\text{L} ein und enthält 6⋅10236 \cdot 10^{23} Teilchen. Auf jedes Teilchen entfällt also

    22,4⋅10−3 m36⋅1023≈3,7⋅10−26 m3\frac{22{,}4 \cdot 10^{-3}\,\text{m}^3}{6 \cdot 10^{23}} \approx 3{,}7 \cdot 10^{-26}\,\text{m}^3

    Das entspricht einem Würfel von rund 3,3 nm3{,}3\,\text{nm} Kantenlänge.

    Ein Molekül selbst hat einen Durchmesser von etwa 0,3 nm0{,}3\,\text{nm}. Der mittlere Abstand ist also rund zehnmal so groß wie das Teilchen selbst, und das Eigenvolumen macht nur etwa ein Promille des Gesamtvolumens aus.

    🔴 Deshalb ist die Annahme punktförmiger Teilchen brauchbar: Bei üblichen Bedingungen ist ein Gas fast leer.

  2. 2

    Warum die Anziehungskräfte kaum stören.

    Zwischen Molekülen wirken schwache Anziehungskräfte, die aber mit dem Abstand sehr rasch abnehmen (etwa mit 1r7\frac{1}{r^7}).

    Bei einem mittleren Abstand vom Zehnfachen des Moleküldurchmessers sind sie deshalb praktisch bedeutungslos. Hinzu kommt, dass die Teilchen bei Zimmertemperatur so schnell sind (Luftmoleküle rund 500 ms500\,\frac{\text{m}}{\text{s}}), dass die schwache Anziehung sie kaum ablenkt.

    Kurz gesagt: Die Teilchen sind zu weit auseinander und zu schnell, als dass die vernachlässigten Effekte ins Gewicht fielen.

    Ergebnis: Für Luft bei Zimmerbedingungen beschreibt das Modell die Wirklichkeit auf rund ein Prozent genau.

  3. 3

    Wo das Modell versagt.

    Bei hohem . Presst man das Gas zusammen, rücken die Teilchen näher zusammen. Ihr Eigenvolumen wird dann ein spürbarer Anteil des Gesamtvolumens, und das Gas lässt sich weniger zusammendrücken, als das Modell vorhersagt.

    Bei tiefer . Die Teilchen werden langsamer, und die Anziehungskräfte können sie nun merklich beeinflussen. Der Druck ist dann kleiner als berechnet, weil ein Teilchen kurz vor dem Wandstoß von seinen Nachbarn zurückgehalten wird.

    In der Nähe der Verflüssigung. Hier versagt das Modell grundsätzlich, und zwar aus einem prinzipiellen Grund:

    🔴 Ein ideales Gas könnte gar nicht flüssig werden. Ohne Anziehungskräfte gäbe es nichts, was die Teilchen zusammenhielte. Dass reale Gase sich verflüssigen lassen, ist ein direkter Beweis dafür, dass die Anziehung existiert.

    Die Konsequenz: Das ideale Gasgesetz kann Verflüssigung, Verdampfung und kritische Temperatur nicht beschreiben. Dafür braucht es erweiterte Gleichungen, etwa die van-der-Waals-Gleichung, die genau die beiden vernachlässigten Effekte nachträglich einbaut.

  4. 4

    Was man daraus über Modelle lernt.

    Das ideale Gas ist ein Beispiel für ein bewusst vereinfachtes Modell, das seine Berechtigung nicht daraus bezieht, dass es stimmt, sondern daraus, dass es in einem klar benennbaren Bereich brauchbare Vorhersagen liefert.

    Drei Punkte gehören dazu:

    1. Die Annahmen sind ausdrücklich benannt, nicht versteckt.
    2. Der Gültigkeitsbereich ist bekannt (nicht zu hoher Druck, nicht zu tiefe Temperatur).
    3. Es gibt erweiterte Modelle für die Fälle, in denen es versagt.

    🔴 Ein Modell ist deshalb nicht „richtig" oder „falsch", sondern passend oder unpassend für eine Fragestellung. Dieselbe Denkweise begegnet dir beim Bohrschen Atommodell, beim Massenpunkt in der Mechanik und beim reibungsfreien Pendel.

    Ein häufiger Fehler wäre, das Modell außerhalb seines Bereichs anzuwenden und sich dann über Abweichungen zu wundern. Wer die Annahmen kennt, kann dagegen im Voraus abschätzen, ob eine Rechnung brauchbar sein wird.

Bei üblichen Bedingungen ist der mittlere Teilchenabstand rund zehnmal so groß wie ein Teilchen, sodass Eigenvolumen und Anziehung kaum ins Gewicht fallen. Bei hohem Druck, tiefer Temperatur und nahe der Verflüssigung versagt das Modell, denn ein ideales Gas könnte gar nicht flüssig werden.

Typischer Fehler

„Wenn ich die von 20 °C20\,\text{°C} auf 40 °C40\,\text{°C} verdopple, verdoppelt sich auch der ."

Der Druck steigt nur um rund 7 %7\,\%, nicht auf das Doppelte. Der Fehler liegt darin, mit Grad Celsius statt mit Kelvin zu rechnen.

Richtig gerechnet:

T1=293 K,T2=313 KT_1 = 293\,\text{K}, \qquad T_2 = 313\,\text{K} p2p1=T2T1=313293≈1,068\frac{p_2}{p_1} = \frac{T_2}{T_1} = \frac{313}{293} \approx 1{,}068

Also rund 6,8 %6{,}8\,\% mehr Druck, nicht 100 %100\,\%.

Warum Celsius nicht funktioniert: Die Gasgesetze sind Proportionalitäten. Eine Proportionalität setzt einen echten Nullpunkt voraus: Bei doppelter Temperatur soll die doppelte Teilchenenergie vorliegen.

Die Celsiusskala hat ihren Nullpunkt aber willkürlich beim Gefrierpunkt des Wassers. 40 °C40\,\text{°C} bedeutet nicht doppelt so viel Teilchenenergie wie 20 °C20\,\text{°C}.

Die absolute Skala hat dagegen einen physikalisch begründeten Nullpunkt: Bei 0 K0\,\text{K} ist die mittlere kinetische null. Erst dort ist „doppelte Temperatur" gleichbedeutend mit „doppelter Teilchenenergie".

Ein besonders deutlicher Fall: Bei 0 °C0\,\text{°C} wäre die Celsius-Rechnung völlig sinnlos, denn man müsste durch null teilen. Trotzdem hat Luft bei 0 °C0\,\text{°C} selbstverständlich einen Druck. Schon daran erkennt man, dass die Skala nicht taugen kann.

Und bei negativen Celsiuswerten käme sogar ein negativer Druck heraus, was physikalisch unmöglich ist.

🔴 Die Regel ist einfach und ausnahmslos: In allen Gasgesetzen wird die Temperatur in Kelvin eingesetzt.

T/K=ϑ/°C+273,15T/\text{K} = \vartheta/\text{°C} + 273{,}15

Eine Ausnahme gibt es scheinbar: Bei Differenzen ist es gleichgültig, denn eine Temperaturdifferenz von 20 K20\,\text{K} ist dasselbe wie 20 °C20\,\text{°C} Unterschied. In den Gasgesetzen stehen aber Verhältnisse, keine Differenzen, und dort ist der Nullpunkt entscheidend.

Eine gute Kontrolle: Prüfe, ob dein Ergebnis plausibel ist. Ein Reifendruck, der sich beim Erwärmen um zwanzig Grad verdoppelt, wäre eine Alltagserfahrung, die niemand gemacht hat.

Übung 1

leicht

a) Nenne die vier Annahmen des idealen Gasmodells.

b) Ein Gas hat bei 27 °C27\,\text{°C} einen von 1,5 bar1{,}5\,\text{bar}. Wie groß ist er bei 87 °C87\,\text{°C} (konstantes Volumen)?

c) Warum muss man in Kelvin rechnen?

Tipp anzeigen

b) Erst in Kelvin umrechnen.

Lösung anzeigen

a) 1. Die Teilchen sind punktförmig (Eigenvolumen vernachlässigbar).

2. Zwischen ihnen wirken keine Anziehungskräfte (außer beim Stoß).

3. Alle Stöße sind vollkommen elastisch.

4. Die Teilchen bewegen sich regellos in alle Richtungen.

b) Isochor, also p1T1=p2T2\frac{p_1}{T_1} = \frac{p_2}{T_2} mit T1=300 KT_1 = 300\,\text{K} und T2=360 KT_2 = 360\,\text{K}:

p2=1,5 bar⋅360300=1,8 barp_2 = 1{,}5\,\text{bar} \cdot \frac{360}{300} = 1{,}8\,\text{bar}

c) Weil die Gasgesetze Proportionalitäten sind und deshalb einen echten Nullpunkt voraussetzen.

Die Celsiusskala hat ihren Nullpunkt willkürlich beim Gefrierpunkt des Wassers; 40 °C40\,\text{°C} bedeutet nicht doppelte Teilchenenergie wie 20 °C20\,\text{°C}.

Bei 0 K0\,\text{K} ist dagegen die mittlere kinetische null. Erst auf dieser Skala entspricht doppelte auch doppelter Teilchenenergie.

(Bei 0 °C0\,\text{°C} müsste man mit Celsius sogar durch null teilen, was schon zeigt, dass die Skala nicht taugen kann.)

Detaillierte Schritterklärung anzeigen

Hier wird jeder Schritt einzeln erklärt, vor allem, warum er gemacht wird.

Erklärungstiefe

✦ Empfohlen: Standard – Die normale Erklärungstiefe passt zum Einstieg.

  1. 1

    Gegeben und Gesucht beim isochoren Vorgang

    b) gibt ein Gas mit 1,5 bar1{,}5\,\text{bar} bei 27 °C27\,\text{°C} und fragt nach dem Druck bei 87 °C87\,\text{°C}, bei konstantem Volumen. a) verlangt die vier Modellannahmen, c) die Begründung für die Kelvinskala.

  2. 2

    Das isochore Gasgesetz

    Bei konstantem Volumen sind Druck und absolute Temperatur zueinander proportional: p1T1=p2T2\frac{p_1}{T_1} = \frac{p_2}{T_2}, umgestellt p2=p1⋅T2T1p_2 = p_1 \cdot \frac{T_2}{T_1}.

  3. 3

    b) Celsius in Kelvin umrechnen

    Zur Celsiustemperatur wird 273273 addiert: 27 °C=300 K27\,\text{°C} = 300\,\text{K} und 87 °C=360 K87\,\text{°C} = 360\,\text{K}.

    T1=27+273=300 KT_1 = 27 + 273 = 300\,\text{K}; T2=87+273=360 KT_2 = 87 + 273 = 360\,\text{K}

    Zwischenergebnis

    T1=300 KT_1 = 300\,\text{K}, T2=360 KT_2 = 360\,\text{K}

  4. 4

    b) Der Druck bei 87 Grad Celsius

    Anfangsdruck mal Temperaturverhältnis in Kelvin.

    p2=p1⋅T2T1=1,5 bar⋅360 K300 K=1,8 barp_2 = p_1 \cdot \frac{T_2}{T_1} = 1{,}5\,\text{bar} \cdot \frac{360\,\text{K}}{300\,\text{K}} = 1{,}8\,\text{bar}

    Zwischenergebnis

    p2=1,8 barp_2 = 1{,}8\,\text{bar}

  5. 5

    a) und c) Ergebnis deuten: die Modellannahmen und der echte Nullpunkt

    a) Die vier Annahmen: Die Teilchen sind punktförmig, zwischen ihnen wirken keine Anziehungskräfte (außer beim Stoß), alle Stöße sind vollkommen elastisch, und die Teilchen bewegen sich regellos in alle Richtungen. c) In Kelvin muss man rechnen, weil die Gasgesetze Proportionalitäten sind und deshalb einen echten Nullpunkt voraussetzen.

Übung 2

mittel

a) Warum steigt der Reifendruck bei schneller Fahrt?

b) Warum darf man Spraydosen nicht in die Sonne legen?

c) Ein Gas wird isotherm auf ein Drittel des Volumens komprimiert. Wie ändert sich der ?

d) Warum nimmt ein Mol jedes Gases dasselbe Volumen ein?

Tipp anzeigen

a) Welche Größe bleibt näherungsweise konstant?

Lösung anzeigen

a) Weil sich der Reifen durch Walkarbeit und erwärmt und das Volumen dabei näherungsweise konstant bleibt.

Nach p1T1=p2T2\frac{p_1}{T_1} = \frac{p_2}{T_2} steigt deshalb der Druck.

Teilchenmodellhaft: Höhere bedeutet größere mittlere kinetische . Die Teilchen stoßen häufiger und heftiger gegen die Innenwand, und der Druck steigt.

Praktische Folge: Reifendruck misst man bei kaltem Reifen. Eine typische Erwärmung von 2020 auf 50 °C50\,\text{°C} erhöht den Druck um rund 10 %10\,\%. Wer nach der Autobahnfahrt Luft ablässt, hat später zu wenig Druck, was den Verbrauch erhöht und die Reifen schädigt.

b) Weil sie ein festes Volumen haben und der Druck mit der Temperatur steigt.

p1T1=p2T2\frac{p_1}{T_1} = \frac{p_2}{T_2}

Zahlenbeispiel: Von 20 °C20\,\text{°C} (293 K293\,\text{K}) auf 60 °C60\,\text{°C} (333 K333\,\text{K}) in einem heißen Auto steigt der Druck um rund 14 %14\,\%. Bei einem Ausgangsdruck von etwa 8 bar8\,\text{bar} sind das gut 1 bar1\,\text{bar} mehr.

Bei stärkerer Erwärmung, etwa in einem Feuer, kann der Druck den Berstdruck überschreiten, und die Dose explodiert.

🔴 Hinzu kommt bei Sprays mit Flüssiggas ein zweiter, stärkerer Effekt: Mehr Flüssigkeit verdampft, wodurch die Gasmenge selbst zunimmt. Der Druckanstieg ist dann erheblich größer als nach dem idealen Gasgesetz allein.

Deshalb steht auf jeder Dose der Hinweis, sie vor Sonneneinstrahlung und Temperaturen über 50 °C50\,\text{°C} zu schützen.

c) Isotherm, also p1V1=p2V2p_1V_1 = p_2V_2:

p2=p1⋅V1V2=p1⋅V1V1/3=3p1p_2 = p_1 \cdot \frac{V_1}{V_2} = p_1 \cdot \frac{V_1}{V_1/3} = 3 p_1

Der Druck verdreifacht sich.

Teilchenmodellhaft: Auf einem Drittel des Volumens treffen dieselben Teilchen dreimal so häufig auf die Wand, weil ihre Wege kürzer sind. Ihre bleibt gleich, da die Temperatur konstant ist.

d) Weil bei gleicher Temperatur alle Teilchen dieselbe mittlere kinetische Energie haben:

Ekin‾=32kBT\overline{E_{\text{kin}}} = \frac{3}{2}k_BT

Diese Größe hängt nicht von der Teilchenmasse ab.

Was das für den Druck bedeutet: Ein schweres Molekül ist bei gleicher Energie langsamer (wegen E=12mv2E = \frac{1}{2}mv^2) und stößt deshalb seltener gegen die Wand. Dafür überträgt es bei jedem Stoß mehr .

Beide Wirkungen gleichen sich exakt aus. Der Druck hängt deshalb nur von der Teilchenzahl und der Temperatur ab, nicht von der Art des Gases:

pV=NkBTpV = Nk_BT

Zahlenbeispiel: 1 mol1\,\text{mol} Wasserstoff (2 g2\,\text{g}) und 1 mol1\,\text{mol} Kohlendioxid (44 g44\,\text{g}) nehmen beide 22,4 L22{,}4\,\text{L} ein, obwohl das Massenverhältnis 1:221 : 22 beträgt.

🔴 Das ist der Satz von Avogadro und war historisch außerordentlich wichtig: Aus Volumenverhältnissen bei chemischen Reaktionen ließen sich damit erstmals Teilchenzahlen und daraus relative Atommassen bestimmen, lange bevor man Atome direkt nachweisen konnte.

Wo es nicht mehr gilt: Bei hohem Druck oder tiefer Temperatur weichen reale Gase voneinander ab, weil dann Eigenvolumen und Anziehungskräfte ins Spiel kommen, und die sind stoffabhängig.

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Hier wird jeder Schritt einzeln erklärt, vor allem, warum er gemacht wird.

Erklärungstiefe

✦ Empfohlen: Standard – Die normale Erklärungstiefe passt zum Einstieg.

  1. 1

    Gegeben und Gesucht, drei Alltagsfälle und ein Verhältnis

    c) gibt eine isotherme Kompression auf ein Drittel des Volumens; gesucht ist die Druckänderung als Faktor. a), b) und d) fragen nach Reifendruck, Spraydosen und dem Molvolumen.

  2. 2

    Die drei Sonderfälle des Gasgesetzes

    Isochor (VV konstant): p1T1=p2T2\frac{p_1}{T_1} = \frac{p_2}{T_2}. Isotherm (TT konstant): p1V1=p2V2p_1V_1 = p_2V_2. Isobar (pp konstant): V1T1=V2T2\frac{V_1}{T_1} = \frac{V_2}{T_2}.

  3. 3

    c) Der Druck bei isothermer Kompression auf ein Drittel

    Volumenverhältnis in das isotherme Gesetz einsetzen.

    p1V1=p2V2p_1V_1 = p_2V_2 mit V2=V13V_2 = \frac{V_1}{3}, also p2=p1⋅V1V1/3=3p1p_2 = p_1 \cdot \frac{V_1}{V_1/3} = 3p_1

    Zwischenergebnis

    Der Druck verdreifacht sich.

  4. 4

    a) und b) Reifendruck und Spraydosen

    a) Der Reifen erwärmt sich durch Walkarbeit und Reibung, während das Volumen näherungsweise konstant bleibt, nach p1T1=p2T2\frac{p_1}{T_1} = \frac{p_2}{T_2} steigt deshalb der Druck. b) Eine Spraydose hat ein festes Volumen; von 20 °C20\,\text{°C} auf 60 °C60\,\text{°C} steigt der Druck um rund 14 %14\,\%, bei einem Ausgangsdruck von etwa 8 bar8\,\text{bar} also gut ein Bar.

  5. 5

    d) Ergebnis deuten: warum ein Mol immer dasselbe Volumen einnimmt

    Weil bei gleicher Temperatur alle Teilchen dieselbe mittlere kinetische Energie Ekin‾=32kBT\overline{E_{\text{kin}}} = \frac{3}{2}k_BT haben, und diese Größe hängt nicht von der Teilchenmasse ab. Ein schweres Molekül ist bei gleicher Energie langsamer und stößt seltener gegen die Wand, überträgt dafür aber bei jedem Stoß mehr Impuls. Beide Wirkungen gleichen sich exakt aus.

Übung 3

schwer

a) Erkläre und im .

b) Begründe, warum es einen absoluten Nullpunkt gibt.

c) Warum funktioniert das ideale Gasmodell trotz falscher Annahmen so gut, und wo versagt es?

d) Ein Gas (5,0 L5{,}0\,\text{L}, 2,0 bar2{,}0\,\text{bar}, 300 K300\,\text{K}) wird auf 2,0 L2{,}0\,\text{L} komprimiert und dabei auf 400 K400\,\text{K} erwärmt. Wie groß ist der Druck?

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d) Allgemeine Form p1V1T1=p2V2T2\frac{p_1V_1}{T_1} = \frac{p_2V_2}{T_2}.

Lösung anzeigen

a) Druck entsteht durch die Stöße der Gasteilchen auf die Gefäßwand.

Jedes Teilchen überträgt beim Aufprall auf die Wand. Die Summe vieler solcher Stöße ergibt eine gleichmäßig verteilte , und Kraft je Fläche ist der Druck.

Der Druck ist deshalb umso größer, je mehr Teilchen vorhanden sind, je häufiger sie stoßen (kleines Volumen) und je heftiger (hohe Temperatur).

Temperatur ist ein Maß für die mittlere kinetische der Teilchen:

Ekin‾=32kBT\overline{E_{\text{kin}}} = \frac{3}{2}k_BT

🔴 Wichtig: Temperatur ist eine Eigenschaft vieler Teilchen, nicht eines einzelnen. Ein einzelnes Molekül hat eine , aber keine Temperatur. Auch bewegen sich nicht alle Teilchen gleich schnell; es liegt eine Geschwindigkeitsverteilung vor, und die Temperatur beschreibt deren Mittelwert.

b) Weil die kinetische Energie nicht negativ werden kann.

Aus Ekin‾=32kBT\overline{E_{\text{kin}}} = \frac{3}{2}k_BT folgt: Sinkt die Temperatur, sinkt die mittlere Teilchenenergie. Bei T=0T = 0 wäre sie null, die Teilchen stünden still.

Eine tiefere Temperatur würde eine negative kinetische Energie bedeuten, und 12mv2\frac{1}{2}mv^2 kann nicht negativ sein. Also gibt es eine unterste Grenze:

T=0 K=−273,15 °CT = 0\,\text{K} = -273{,}15\,\text{°C}

Der experimentelle Zugang, historisch: Man misst den Druck eines Gases bei konstantem Volumen für verschiedene Temperaturen und trägt ihn auf. Es ergibt sich eine Gerade. Verlängert man sie rückwärts bis zum Druck null, schneidet sie die Temperaturachse bei −273,15 °C-273{,}15\,\text{°C}, und zwar für jedes Gas.

Genau so wurde der absolute Nullpunkt gefunden, lange bevor man ihn erreichen konnte.

🔴 Zwei Präzisierungen, ehrlich benannt:

  • Der Nullpunkt ist nicht erreichbar, sondern nur beliebig annäherbar (dritter Hauptsatz). Der Rekord liegt bei wenigen Milliardstel Kelvin.
  • Quantenmechanisch ruhen die Teilchen auch bei 0 K0\,\text{K} nicht völlig; es bleibt die Nullpunktsenergie aus der Unbestimmtheitsrelation. Für die Gasgesetze spielt das keine Rolle.

c) Warum es funktioniert. Bei üblichen Bedingungen ist ein Gas fast leer:

  • Der mittlere Teilchenabstand beträgt rund 3,3 nm3{,}3\,\text{nm}, der Teilchendurchmesser nur etwa 0,3 nm0{,}3\,\text{nm}.
  • Das Eigenvolumen macht damit nur etwa ein Promille des Gesamtvolumens aus.
  • Die Anziehungskräfte nehmen sehr rasch mit dem Abstand ab und sind bei diesem Abstand bedeutungslos.
  • Die Teilchen sind mit rund 500 ms500\,\frac{\text{m}}{\text{s}} so schnell, dass die schwache Anziehung sie kaum ablenkt.

Für Luft bei Zimmerbedingungen liegt der Fehler deshalb bei rund einem Prozent.

Wo es versagt:

BedingungUrsacheFolge
hoher DruckEigenvolumen zähltGas weniger komprimierbar als berechnet
tiefe TemperaturAnziehung wirktDruck kleiner als berechnet
nahe Verflüssigungbeides zugleichModell prinzipiell ungeeignet

🔴 Der prinzipielle Punkt: Ein ideales Gas könnte sich gar nicht verflüssigen, denn ohne Anziehungskräfte gäbe es nichts, was die Teilchen zusammenhielte. Dass sich reale Gase verflüssigen lassen, beweist unmittelbar die Existenz dieser Kräfte.

Was man daraus über Modelle lernt: Ein Modell ist nicht „richtig" oder „falsch", sondern passend oder unpassend für eine Fragestellung. Entscheidend ist, dass man seine Annahmen kennt und seinen Gültigkeitsbereich benennen kann. Für die Fälle außerhalb gibt es erweiterte Modelle (van der Waals).

Dieselbe Denkweise begegnet dir beim Massenpunkt, beim reibungsfreien Pendel und beim Bohrschen Atommodell.

d) Allgemeine Form der Zustandsgleichung für feste Gasmenge:

p1V1T1=p2V2T2\frac{p_1V_1}{T_1} = \frac{p_2V_2}{T_2}

Nach p2p_2 auflösen:

p2=p1⋅V1V2⋅T2T1p_2 = p_1 \cdot \frac{V_1}{V_2} \cdot \frac{T_2}{T_1} p2=2,0 bar⋅5,02,0⋅400300p_2 = 2{,}0\,\text{bar} \cdot \frac{5{,}0}{2{,}0} \cdot \frac{400}{300} p2=2,0⋅2,5⋅1,333 bar≈6,67 barp_2 = 2{,}0 \cdot 2{,}5 \cdot 1{,}333\,\text{bar} \approx 6{,}67\,\text{bar}

Die beiden Anteile getrennt betrachtet:

  • Die Kompression auf zwei Fünftel des Volumens erhöht den Druck um den Faktor 2,52{,}5.
  • Die Erwärmung von 300300 auf 400 K400\,\text{K} um den Faktor 1,331{,}33.

Zusammen ergibt das den Faktor 3,333{,}33.

🔴 Beachte, dass hier keiner der drei Sonderfälle vorliegt, weil sich alle drei Größen ändern. Man braucht deshalb die allgemeine Form. Wer versucht, mit p1V1=p2V2p_1V_1 = p_2V_2 zu rechnen, übersieht die Temperaturänderung und erhält 5,05{,}0 statt 6,67 bar6{,}67\,\text{bar}.

Praktische Bedeutung: Genau dieser Fall tritt beim Verdichten in einer Fahrradpumpe oder im Zylinder eines Dieselmotors auf. Dort wird die Luft so stark komprimiert, dass sie sich auf über 600 °C600\,\text{°C} erwärmt, und der eingespritzte Kraftstoff entzündet sich von selbst, ohne Zündkerze.

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Hier wird jeder Schritt einzeln erklärt, vor allem, warum er gemacht wird.

Erklärungstiefe

✦ Empfohlen: Standard – Die normale Erklärungstiefe passt zum Einstieg.

  1. 1

    Gegeben und Gesucht: Teilchenmodell, Nullpunkt und eine allgemeine Zustandsänderung

    d) gibt ein Gas mit 5,0 L5{,}0\,\text{L}, 2,0 bar2{,}0\,\text{bar} und 300 K300\,\text{K}, das auf 2,0 L2{,}0\,\text{L} komprimiert und auf 400 K400\,\text{K} erwärmt wird; gesucht ist der Druck. a) bis c) verlangen Deutungen zu Druck, Temperatur, Nullpunkt und Modellgrenzen.

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    d) Die allgemeine Zustandsgleichung für feste Gasmenge

    Für eine feste Gasmenge gilt p1V1T1=p2V2T2\frac{p_1V_1}{T_1} = \frac{p_2V_2}{T_2}. Nach p2p_2 aufgelöst: p2=p1⋅V1V2⋅T2T1p_2 = p_1 \cdot \frac{V_1}{V_2} \cdot \frac{T_2}{T_1}.

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    d) Der Druck nach Kompression und Erwärmung

    Beide Verhältnisse einzeln bilden und mit dem Anfangsdruck multiplizieren.

    p2=2,0 bar⋅5,02,0⋅400300=2,0⋅2,5⋅1,333 barp_2 = 2{,}0\,\text{bar} \cdot \frac{5{,}0}{2{,}0} \cdot \frac{400}{300} = 2{,}0 \cdot 2{,}5 \cdot 1{,}333\,\text{bar}

    Zwischenergebnis

    p2≈6,67 barp_2 \approx 6{,}67\,\text{bar}

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    a) und b) Druck, Temperatur und der absolute Nullpunkt

    a) Druck entsteht durch die Stöße der Teilchen auf die Wand, jedes überträgt Impuls, die Summe ergibt eine Kraft je Fläche. Temperatur ist ein Maß für die mittlere kinetische Energie: Ekin‾=32kBT\overline{E_{\text{kin}}} = \frac{3}{2}k_BT. b) Einen absoluten Nullpunkt gibt es, weil die kinetische Energie nicht negativ werden kann, bei T=0 K=−273,15 °CT = 0\,\text{K} = -273{,}15\,\text{°C} wäre sie null.

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    c) Ergebnis deuten: warum ein falsches Modell so gut funktioniert

    Warum es funktioniert: Bei üblichen Bedingungen ist ein Gas fast leer, der mittlere Teilchenabstand beträgt rund 3,3 nm3{,}3\,\text{nm}, der Teilchendurchmesser nur etwa 0,3 nm0{,}3\,\text{nm}; das Eigenvolumen macht damit nur etwa ein Promille aus, und die Anziehungskräfte sind bei diesem Abstand bedeutungslos. Für Luft bei Zimmerbedingungen liegt der Fehler bei rund einem Prozent. Wo es versagt: bei hohem Druck (Eigenvolumen zählt), tiefer Temperatur (Anziehung wirkt) und nahe der Verflüssigung.

Zusammenfassung

Das ideale Gas ist ein bewusst vereinfachtes Modell aus punktförmigen Teilchen ohne Anziehungskräfte, die sich regellos bewegen und elastisch stoßen. In ihm entsteht durch die Stöße auf die Gefäßwand, während die die mittlere kinetische der Teilchen misst; daraus folgt zwingend ein absoluter Nullpunkt, weil kinetische Energie nicht negativ werden kann. Die Zustandsgleichung verbindet Druck, Volumen und Temperatur, und für eine feste Gasmenge ergeben sich daraus die drei Sonderfälle der isothermen, isobaren und isochoren Zustandsänderung, bei denen die Temperatur stets in Kelvin einzusetzen ist. Da alle Teilchen bei gleicher Temperatur dieselbe mittlere Energie besitzen, nimmt ein Mol jedes Gases dasselbe Volumen ein, unabhängig von der Teilchenmasse. Obwohl die Annahmen des Modells streng genommen falsch sind, beschreibt es reale Gase bei üblichen Bedingungen auf etwa ein Prozent genau und versagt erst bei hohem Druck, tiefer Temperatur und in der Nähe der Verflüssigung.