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Algebra / Terme & Gleichungen

Lineare Gleichungen lösen

Mit Äquivalenzumformungen jede lineare Gleichung knacken, das Waagemodell macht's klar.

Benötigte Grundlagen

Diese Themen kommen in diesem Kapitel vor und wurden vorher schon erklärt. Wenn dir eines davon unsicher vorkommt, frisch es kurz auf, sonst leg direkt los.

Einführung

„Ich denke mir eine Zahl, nehme sie mal 3, addiere 7 und erhalte 22." In Klasse 5 hast du solche Rätsel durch Probieren gelöst, jetzt bekommst du das Profi-Werkzeug: Äquivalenzumformungen. Damit löst du nicht nur dieses Rätsel, sondern jede lineare , systematisch, sicher und mit eingebauter Erfolgskontrolle.

Das kannst du nach diesem Kapitel

  • das Waagemodell für erklären.

  • Gleichungen mit Äquivalenzumformungen lösen und die Umformungen notieren.

  • Gleichungen mit Klammern und mit der auf beiden Seiten lösen.

  • Lösungen mit der Probe kontrollieren.

  • Sachaufgaben in Gleichungen übersetzen und lösen.

  • Formeln nach einer beliebigen Größe umstellen, mit denselben Äquivalenzumformungen wie beim Lösen einer Gleichung.

Das Waagemodell

Eine ist eine Waage im Gleichgewicht: Links und rechts liegt gleich viel (siehe Bild). Das Gleichgewicht bleibt erhalten, wenn du auf beiden Seiten dasselbe tust:

  • auf beiden Seiten dieselbe Zahl addieren oder subtrahieren,
  • beide Seiten mit derselben Zahl (≠0\neq 0) multiplizieren oder durch sie dividieren.

Solche Umformungen heißen Äquivalenzumformungen, sie ändern die Lösungsmenge nicht. Notiert werden sie mit einem senkrechten Strich:   ∣  −7\;|\; -7.

3x + 722=

Die 3x+7=223x + 7 = 22 als Waage im Gleichgewicht: Links liegt genau so viel wie rechts. Tust du auf beiden Seiten dasselbe (z. B. −7-7, dann :3:3), bleibt das Gleichgewicht, so isolierst du xx.

Denk weiter: Warum darfst du beide Seiten einer Gleichung mit jeder Zahl multiplizieren, nur nicht mit null?

Probier es erst selbst an einem Beispiel aus, bevor du aufklappst.

Erinnere dich, was eine Äquivalenzumformung leisten muss: Die Lösungsmenge darf sich nicht ändern. Genau daran entscheidet sich, was erlaubt ist.

Nimm die denkbar einfachste :

x=5L={5}x = 5 \qquad L = \{5\}

Erlaubt, mal 22:

2x=102x = 10

Immer noch löst nur die 55 diese Gleichung ✓ Und du kommst jederzeit zurück, indem du durch 22 teilst.

Nicht erlaubt, mal 00:

0=00 = 0

Diese Aussage ist wahr, egal was xx ist. Aus der Lösungsmenge {5}\{5\} sind plötzlich alle Zahlen geworden, die Information, worum es ging, ist weg.

Und du kommst nicht zurück. Um die Multiplikation rückgängig zu machen, müsstest du durch 00 teilen, und das ist nicht definiert. Damit hast du ein gutes Erkennungsmerkmal:

Eine Äquivalenzumformung muss sich rückgängig machen lassen. +7+7 und −7-7, ⋅3\cdot 3 und :3: 3, zu jeder erlaubten Umformung gibt es eine Gegenumformung. Zu „mal null" gibt es keine.

Wo dir das später wieder begegnet: Ab Klasse 9 löst du Gleichungen, in denen du durch einen ganzen teilen möchtest, etwa durch xx. Dann musst du dir genau dieselbe Frage stellen: Könnte dieser Term null sein? Wer das übersieht, verliert Lösungen.

Die Strategie: x isolieren

Ziel ist immer x=…x = \ldots Dafür räumst du Schritt für Schritt alles andere weg: in der umgekehrten Rechenreihenfolge (erst Strich-, dann Punktrechnung rückgängig machen):

3x+7=22∣  −73x=15∣  :3x=5\begin{aligned} 3x + 7 &= 22 &&|\; -7 \\ 3x &= 15 &&|\; :3 \\ x &= 5 \end{aligned}

Probe: 3⋅5+7=223 \cdot 5 + 7 = 22 ✓

Variable auf beiden Seiten

Sammle zuerst alle xx-Glieder auf einer Seite (subtrahiere das kleinere xx-Glied), dann die Zahlen auf der anderen:

5x−4=2x+11∣  −2x3x−4=11∣  +43x=15∣  :3x=5\begin{aligned} 5x - 4 &= 2x + 11 &&|\; -2x \\ 3x - 4 &= 11 &&|\; +4 \\ 3x &= 15 &&|\; :3 \\ x &= 5 \end{aligned}

Mit Klammern und Sachaufgaben

Bei Klammern erst ausmultiplizieren, dann wie gewohnt lösen:

4(x−3)=2x+6  ⇒  4x−12=2x+6  ⇒  2x=18  ⇒  x=94(x - 3) = 2x + 6 \;\Rightarrow\; 4x - 12 = 2x + 6 \;\Rightarrow\; 2x = 18 \;\Rightarrow\; x = 9

Sachaufgaben übersetzt du in drei Schritten: (1) Unbekannte festlegen („x=x = gedachte Zahl"), (2) den Text Stück für Stück in übersetzen, (3) lösen, Probe am Text, Antwortsatz.

Formeln umstellen, dieselbe Technik, nur mit Buchstaben

Formeln kennst du längst: u=2⋅(a+b)u = 2 \cdot (a + b) für den , A=a⋅bA = a \cdot b für die , v=stv = \frac{s}{t} für die Geschwindigkeit. Sie sind immer so geschrieben, dass eine Größe allein links steht, die, die man üblicherweise sucht.

Aber was, wenn du etwas anderes suchst? Ein Zaun ist 30 m30\,\text{m} lang und das Grundstück 6 m6\,\text{m} breit, wie lang ist es? Jetzt ist uu bekannt und aa gesucht. Genau dafür stellst du die Formel um.

Der entscheidende Gedanke

Eine Formel ist nichts anderes als eine . Und Gleichungen kannst du bereits lösen: mit Äquivalenzumformungen, also „auf beiden Seiten dasselbe tun", genau die Waage von weiter oben.

Der einzige Unterschied: Statt Zahlen stehen dort Buchstaben. Deshalb kannst du zwischendurch nichts ausrechnen, und am Ende steht kein Zahlenwert, sondern wieder ein . Das fühlt sich zunächst ungewohnt an, ändert aber nichts am Vorgehen:

Behandle die gesuchte Größe wie dein xx und schaffe alles andere auf die andere Seite.

Schritt für Schritt: v=stv = \dfrac{s}{t} nach tt umstellen

Gesucht ist tt. Das tt steht im . Dort kommt es nicht weg, solange es unten steht. Also holen wir es zuerst nach oben, indem wir beide Seiten mit tt multiplizieren:

v=st∣  ⋅tv⋅t=s∣  :vt=sv\begin{aligned} v &= \frac{s}{t} &&|\; \cdot t \\ v \cdot t &= s &&|\; : v \\ t &= \frac{s}{v} \end{aligned}

Warum durften wir das? Weil eine Zeit tt nie 00 ist und eine Geschwindigkeit vv hier ebenfalls nicht, und nur durch 00 darf man nicht teilen. Diese Frage solltest du dir bei jedem Umstellen kurz stellen.

Zwei Wege führen zum Ziel: u=2⋅(a+b)u = 2 \cdot (a + b) nach aa

Weg 1: Klammer stehen lassen. Die Klammer ist von der 22 umgeben, also machst du zuerst die Multiplikation rückgängig:

u=2⋅(a+b)∣  :2u2=a+b∣  −ba=u2−b\begin{aligned} u &= 2 \cdot (a + b) &&|\; : 2 \\ \frac{u}{2} &= a + b &&|\; - b \\ a &= \frac{u}{2} - b \end{aligned}

Weg 2: zuerst ausmultiplizieren.

u=2a+2b∣  −2bu−2b=2a∣  :2a=u−2b2\begin{aligned} u &= 2a + 2b &&|\; - 2b \\ u - 2b &= 2a &&|\; : 2 \\ a &= \frac{u - 2b}{2} \end{aligned}

Sind das zwei verschiedene Ergebnisse? Nein, dieselbe Formel in zwei Schreibweisen. Zerlegst du den aus Weg 2, erhältst du u2−2b2=u2−b\frac{u}{2} - \frac{2b}{2} = \frac{u}{2} - b, also genau Weg 1. Für Anfänger ist Weg 1 meist bequemer, weil weniger Schritte nötig sind.

Probe mit dem Zaun: u=30 mu = 30\,\text{m}, b=6 mb = 6\,\text{m} ergibt a=302−6=15−6=9 ma = \frac{30}{2} - 6 = 15 - 6 = 9\,\text{m}. Und zur Kontrolle rückwärts: 2⋅(9+6)=302 \cdot (9 + 6) = 30 ✓

Warum sich das lohnt

Genau so gehst du auch mit Formeln aus Physik und Chemie um, s=v⋅ts = v \cdot t, F=m⋅aF = m \cdot a, ϱ=mV\varrho = \frac{m}{V}. Du musst dir nie mehrere Fassungen einer Formel merken: Eine Formel reicht, den Rest stellst du dir selbst um.

Grundtyp mit Dokumentation

Löse die 7x−9=267x - 9 = 26 und mache die Probe.

  1. 1

    Was ist gesucht? Die Zahl, die für xx eingesetzt eine wahre Aussage ergibt.

    Das Ziel jeder Gleichung lautet: xx allein auf einer Seite. Alles andere muss weg, und zwar durch Umformungen, die das Gleichgewicht der Waage erhalten.

  2. 2

    Schritt 1: Den Weg planen.

    Was steht dem xx im Weg? Zweierlei: Es wird mit 77 multipliziert und davon 99 subtrahiert.

    Beides machst du rückgängig, und zwar in umgekehrter Rechenreihenfolge: erst die Strichrechnung, dann die Punktrechnung.

    Warum umgekehrt? Weil beim Aufbauen zuerst multipliziert und dann subtrahiert wurde. Beim Abbauen gehst du denselben Weg rückwärts, wie beim Ausziehen: Jacke zuerst, dann Pullover.

  3. 3

    Schritt 2: Die −9-9 beseitigen.

    Das Gegenteil von −9-9 ist +9+9, und das musst du auf beiden Seiten tun, sonst kippt die Waage:

    7x−9=26∣  +97x=35\begin{aligned} 7x - 9 &= 26 &&|\; +9 \\ 7x &= 35 \end{aligned}
  4. 4

    Schritt 3: Die ⋅ 7\cdot\,7 beseitigen.

    Das Gegenteil von „mal 77" ist „geteilt durch 77", wieder auf beiden Seiten:

    7x=35∣  :7x=5\begin{aligned} 7x &= 35 &&|\; :7 \\ x &= 5 \end{aligned}
  5. 5

    Schritt 4: Probe machen.

    Setze x=5x = 5 in die ursprüngliche Gleichung ein, nicht in eine Zwischenzeile, sonst würdest du einen Fehler von dort mitschleppen:

    7⋅5−9=35−9=26  ✓7 \cdot 5 - 9 = 35 - 9 = 26 \; ✓
  6. 6

    Schritt 5: Das Ergebnis richtig aufschreiben.

    x=5L={5}x = 5 \qquad L = \{5\}

    LL ist die Lösungsmenge, die Sammlung aller Zahlen, die die Gleichung erfüllen. Hier ist es genau eine.

    Notiere immer die Umformung am Rand (∣  +9|\;+9, ∣  :7|\;:7). So kannst du deinen Weg nachvollziehen, und Lehrkräfte sehen, dass du systematisch vorgegangen bist.

x=5x = 5 · Lösungsmenge L={5}L = \{5\}

Variable beidseitig + Klammer

Löse: 3(2x+1)=4x+113(2x + 1) = 4x + 11

  1. 1

    Was ist gesucht? Wieder der Wert von xx, diesmal steht die aber auf beiden Seiten, und links ist zusätzlich eine Klammer.

    Die Reihenfolge ist entscheidend: erst aufräumen (Klammern auflösen), dann sortieren (xx auf eine Seite), dann isolieren.

  2. 2

    Schritt 1: Aufräumen, die Klammer auflösen.

    Der Faktor 33 wird auf beide Glieder verteilt (Distributivgesetz):

    3⋅2x+3⋅1=6x+33 \cdot 2x + 3 \cdot 1 = 6x + 3

    Die lautet jetzt:

    6x+3=4x+116x + 3 = 4x + 11
  3. 3

    Schritt 2: Sortieren, alle xx auf eine Seite.

    Ziehe auf beiden Seiten 4x4x ab. Dadurch verschwindet das xx rechts:

    6x+3=4x+11∣  −4x2x+3=11\begin{aligned} 6x + 3 &= 4x + 11 &&|\; -4x \\ 2x + 3 &= 11 \end{aligned}

    Welche Seite du wählst, ist egal, nimm die, bei der vorn eine positive Zahl übrig bleibt. Das erspart dir Vorzeichenfehler.

  4. 4

    Schritt 3: Die Zahlen auf die andere Seite.

    2x+3=11∣  −32x=8\begin{aligned} 2x + 3 &= 11 &&|\; -3 \\ 2x &= 8 \end{aligned}
  5. 5

    Schritt 4: Den Faktor beseitigen.

    2x=8∣  :2x=4\begin{aligned} 2x &= 8 &&|\; :2 \\ x &= 4 \end{aligned}
  6. 6

    Schritt 5: Probe, hier besonders wichtig.

    Weil beide Seiten Variablen enthielten, rechnest du beide Seiten getrennt aus:

    • links: 3⋅(2⋅4+1)=3⋅9=273 \cdot (2 \cdot 4 + 1) = 3 \cdot 9 = 27
    • rechts: 4⋅4+11=16+11=274 \cdot 4 + 11 = 16 + 11 = 27 ✓

    Beide Seiten sind gleich, die Waage ist im Gleichgewicht.

x=4x = 4

Sachaufgabe als Gleichung

Lisa und Ben haben zusammen 51 Sticker. Lisa hat doppelt so viele wie Ben. Wie viele hat jeder?

  1. 1

    Was ist gegeben, was ist gesucht?

    Gegeben: die Gesamtzahl 5151 und die Beziehung „Lisa hat doppelt so viele wie Ben". Gesucht: beide Anzahlen.

    Der schwierigste Teil einer Sachaufgabe ist nicht das Rechnen, sondern das Übersetzen. Nimm dir dafür Zeit.

  2. 2

    Schritt 1: Die Unbekannte festlegen, und zwar geschickt.

    Setze xx immer für die Größe an, von der die andere abhängt. Hier hängt Lisas Anzahl von Bens ab („doppelt so viele wie Ben"), also:

    x=Anzahl von Bens Stickernx = \text{Anzahl von Bens Stickern}

    Wählst du es andersherum, bekommst du , richtig wäre es trotzdem, nur unbequemer.

  3. 3

    Schritt 2: Die zweite Größe durch xx ausdrücken.

    Lisa hat doppelt so viele wie Ben:

    Lisa=2x\text{Lisa} = 2x

    Jetzt sind beide Personen durch dieselbe Unbekannte beschrieben. Das ist der Trick.

  4. 4

    Schritt 3: Die aufstellen.

    Welche Information hast du noch nicht benutzt? Die Gesamtzahl:

    x⏟Ben+2x⏟Lisa=51\underbrace{x}_{\text{Ben}} + \underbrace{2x}_{\text{Lisa}} = 51 3x=513x = 51
  5. 5

    Schritt 4: Lösen.

    3x=51∣  :3x=17\begin{aligned} 3x &= 51 &&|\; :3 \\ x &= 17 \end{aligned}
  6. 6

    Schritt 5: Zurückübersetzen, nicht vergessen!

    x=17x = 17 ist noch nicht die vollständige Antwort. Gefragt war nach beiden Anzahlen:

    • Ben: x=17x = 17 Sticker
    • Lisa: 2x=342x = 34 Sticker
  7. 7

    Schritt 6: Probe am Text, nicht an der Gleichung.

    Prüfe beide Bedingungen der Aufgabe:

    • Zusammen: 17+34=5117 + 34 = 51 ✓
    • Doppelt so viele: 34=2⋅1734 = 2 \cdot 17 ✓

    Diese Probe ist wichtiger als die an der Gleichung. Sie zeigt, ob du den Text richtig übersetzt hast. Eine falsch aufgestellte Gleichung lässt sich nämlich fehlerfrei lösen und liefert trotzdem Unsinn.

Ben hat 17 Sticker, Lisa 34.

Eine Formel umstellen

Die eines berechnet man mit A=12⋅g⋅hA = \frac{1}{2} \cdot g \cdot h. Stelle die Formel nach der Höhe hh um und berechne damit die Höhe eines Dreiecks mit A=24 cm2A = 24\,\text{cm}^2 und g=8 cmg = 8\,\text{cm}.

  1. 1

    Was ist gesucht? Am Ende soll hh allein auf einer Seite stehen. Alles andere muss auf die andere Seite, genau wie bei einer mit xx.

  2. 2

    Was steht hh im Weg? Es wird mit 12\frac{1}{2} und mit gg multipliziert. Beides musst du rückgängig machen, also durch beides teilen. Bequemer ist es, zuerst den zu beseitigen: Multipliziere beide Seiten mit 22.

    A=12⋅g⋅h∣  ⋅22A=g⋅h\begin{aligned} A &= \frac{1}{2} \cdot g \cdot h &&|\; \cdot 2 \\ 2A &= g \cdot h \end{aligned}
  3. 3

    Nun das gg wegschaffen. Es steht als Faktor bei hh, also teilst du beide Seiten durch gg:

    2A=g⋅h∣  :g2Ag=h\begin{aligned} 2A &= g \cdot h &&|\; : g \\ \frac{2A}{g} &= h \end{aligned}

    Erlaubt ist das, weil eine Grundseite gg niemals 00 ist, durch 00 dürfte man nicht teilen.

  4. 4

    Ergebnis der Umstellung:

    h=2Agh = \frac{2A}{g}
  5. 5

    Werte einsetzen. Erst jetzt kommen Zahlen ins Spiel:

    h=2⋅24 cm28 cm=48 cm28 cm=6 cmh = \frac{2 \cdot 24\,\text{cm}^2}{8\,\text{cm}} = \frac{48\,\text{cm}^2}{8\,\text{cm}} = 6\,\text{cm}

    Die Einheit stimmt: cm2\text{cm}^2 geteilt durch cm\text{cm} ergibt cm\text{cm}, und eine Höhe muss eine Länge sein.

  6. 6

    Probe mit der Ausgangsformel: A=12⋅8 cm⋅6 cm=24 cm2A = \frac{1}{2} \cdot 8\,\text{cm} \cdot 6\,\text{cm} = 24\,\text{cm}^2 ✓

Umgestellt lautet die Formel h=2Agh = \dfrac{2A}{g}. Das Dreieck hat die Höhe h=6 cmh = 6\,\text{cm}.

Typischer Fehler

3x+7=22  ⇒  3x=22+7=293x + 7 = 22 \;\Rightarrow\; 3x = 22 + 7 = 29, „die 7 wandert rüber und bleibt plus."

Beim „Rüberbringen" wechselt das Vorzeichen, denn in Wahrheit subtrahierst du auf beiden Seiten: 3x+7−7=22−73x + 7 - 7 = 22 - 7, also 3x=153x = 15. Wer sich das Waagemodell vorstellt (links 7 wegnehmen → rechts auch 7 wegnehmen), macht diesen Fehler nie. Die Probe hätte ihn sofort entlarvt: 3⋅293+7=36≠223 \cdot \frac{29}{3} + 7 = 36 \neq 22.

Übung 1

leicht

Löse: a) x+13=40x + 13 = 40 b) 5x=455x = 45 c) 4x−6=184x - 6 = 18

Tipp anzeigen

Erst Strich-, dann Punktrechnung rückgängig machen.

Lösung anzeigen

a) x=27x = 27

b) x=9x = 9

c) 4x=24⇒x=64x = 24 \Rightarrow x = 6

Detaillierte Schritterklärung anzeigen

Hier wird jeder Schritt einzeln erklärt, vor allem, warum er gemacht wird.

Erklärungstiefe

✦ Empfohlen: Standard – Die normale Erklärungstiefe passt zum Einstieg.

  1. 1

    a) Plus rückgängig machen

    x+13=40x + 13 = 40: Auf beiden Seiten 1313 abziehen, x=40−13=27x = 40 - 13 = 27.

  2. 2

    b) Mal rückgängig machen

    5x=455x = 45: Beide Seiten durch 55 teilen, x=9x = 9.

  3. 3

    c) Zwei Schritte in der richtigen Reihenfolge

    4x−6=184x - 6 = 18: Erst ∣+6\vert +6 → 4x=244x = 24, dann ∣:4\vert :4 → x=6x = 6.

    4x=24⇒x=64x = 24 \Rightarrow x = 6

Übung 2

mittel

Löse: a) 7x+5=3x+297x + 5 = 3x + 29 b) 2(3x−4)=5x+12(3x - 4) = 5x + 1

Tipp anzeigen

a) Erst −3x-3x. b) Erst ausmultiplizieren.

Lösung anzeigen

a) 4x+5=29⇒4x=24⇒x=64x + 5 = 29 \Rightarrow 4x = 24 \Rightarrow x = 6: Probe: 47=4747 = 47 ✓

b) 6x−8=5x+1⇒x=96x - 8 = 5x + 1 \Rightarrow x = 9: Probe: 2⋅23=462 \cdot 23 = 46 und 45+1=4645 + 1 = 46 ✓

Detaillierte Schritterklärung anzeigen

Hier wird jeder Schritt einzeln erklärt, vor allem, warum er gemacht wird.

Erklärungstiefe

✦ Empfohlen: Standard – Die normale Erklärungstiefe passt zum Einstieg.

  1. 1

    Die Gleichung verstehen

    Eine ist wie eine Waage im Gleichgewicht: Links und rechts vom Gleichheitszeichen steht derselbe Wert, nur verschieden geschrieben. xx ist die noch unbekannte Zahl. Unser Ziel: xx allein auf eine Seite bringen. Damit die Waage im Gleichgewicht bleibt, machen wir jede Änderung immer auf beiden Seiten gleichzeitig.

  2. 2

    Teil a): Alle x-Terme auf eine Seite bringen

    xx kommt auf beiden Seiten vor: 7x7x links, 3x3x rechts. Wir ziehen auf beiden Seiten 3x3x ab, und zwar den kleineren der beiden x-Terme. So bleibt links eine positive Anzahl xx übrig, und rechts steht gar kein xx mehr.

    7x+5=3x+29∣  −3x7x + 5 = 3x + 29 \quad \vert\; -3x

    Zwischenergebnis

    4x+5=294x + 5 = 29

    Nur gleichartige lassen sich zusammenfassen: 7x−3x=4x7x - 3x = 4x. Aber 4x+54x + 5 ist fertig, das ist nicht 9x9x.

  3. 3

    Die Zahl ohne x auf die andere Seite bringen

    Links soll nur noch der x-Term stehen. Die +5+5 stört, also machen wir sie rückgängig: Wir ziehen auf beiden Seiten 55 ab.

    4x+5=29∣  −54x + 5 = 29 \quad \vert\; -5

    Zwischenergebnis

    4x=244x = 24

  4. 4

    Durch die Zahl vor dem x teilen

    4x4x bedeutet 4⋅x4 \cdot x. Multiplizieren mit 44 machen wir durch Teilen durch 44 rückgängig, natürlich wieder auf beiden Seiten.

    4x=24∣  :44x = 24 \quad \vert\; :4

    Zwischenergebnis

    x=6x = 6

  5. 5

    Probe machen

    Ob x=6x = 6 wirklich stimmt, prüfen wir in der ursprünglichen Gleichung: links 7⋅6+5=477 \cdot 6 + 5 = 47, rechts 3⋅6+29=473 \cdot 6 + 29 = 47. Beide Seiten haben denselben Wert, die Lösung stimmt.

  6. 6

    Teil b) mit demselben Plan lösen

    Bei 2⋅(3x−4)=5x+12 \cdot (3x - 4) = 5x + 1 kommt nur ein Schritt dazu: Zuerst lösen wir die Klammer mit dem Distributivgesetz auf. Die 22 wird mit beiden Gliedern in der Klammer multipliziert: 2⋅3x−2⋅4=6x−82 \cdot 3x - 2 \cdot 4 = 6x - 8. Ab da läuft alles wie in Teil a): x-Terme auf eine Seite, Zahlen auf die andere.

    6x−8=5x+1∣  −5xx−8=1∣  +86x - 8 = 5x + 1 \quad \vert\; -5x \qquad x - 8 = 1 \quad \vert\; +8

    Zwischenergebnis

    x=9x = 9

    Häufigster Fehler beim Klammer-Auflösen: die 22 nur mit dem ersten Glied multiplizieren (6x−46x - 4 statt 6x−86x - 8). Die 22 gehört zu beiden Gliedern.

Übung 3

schwer

Drei aufeinanderfolgende haben die Summe 114. a) Stelle eine auf und löse sie. b) Warum kann die Summe dreier aufeinanderfolgender Zahlen nie 100 sein?

Tipp anzeigen

Die Zahlen: xx, x+1x+1, x+2x+2.

Lösung anzeigen

a) x+(x+1)+(x+2)=114⇒3x+3=114⇒3x=111⇒x=37x + (x+1) + (x+2) = 114 \Rightarrow 3x + 3 = 114 \Rightarrow 3x = 111 \Rightarrow x = 37

Die Zahlen sind 37, 38, 39. (Probe: Summe 114 ✓)

b) Die Summe ist immer 3x+3=3(x+1)3x + 3 = 3(x+1), ein von 3. 100 ist nicht durch 3 (Quersumme 1), also unmöglich.

Detaillierte Schritterklärung anzeigen

Hier wird jeder Schritt einzeln erklärt, vor allem, warum er gemacht wird.

Erklärungstiefe

✦ Empfohlen: Standard – Die normale Erklärungstiefe passt zum Einstieg.

  1. 1

    a) Die Zahlen mit x beschreiben

    Drei AUFEINANDERFOLGENDE Zahlen: die kleinste heißt xx, dann folgen x+1x + 1 und x+2x + 2. Die Summenbedingung wird zur Gleichung: x+(x+1)+(x+2)=114x + (x+1) + (x+2) = 114.

  2. 2

    a) Zusammenfassen und lösen

    3x+3=114  ∣−33x + 3 = 114 \;\vert -3 → 3x=111  ∣:33x = 111 \;\vert :3 → x=37x = 37. Die Zahlen: 37,38,3937, 38, 39. Probe: 37+38+39=11437+38+39 = 114 ✓.

    3x+3=114⇒x=373x + 3 = 114 \Rightarrow x = 37

    Zwischenergebnis

    37,38,3937, 38, 39

  3. 3

    b) Die Unmöglichkeit von 100 begründen

    Die Summe ist IMMER 3x+3=3(x+1)3x + 3 = 3(x + 1), ein Vielfaches von 33. 100100 ist nicht durch 33 teilbar (Quersumme 11), also unerreichbar.

Alternative Lösungswege

Übung: Formeln umstellen

mittel

Stelle jeweils nach der angegebenen Größe um: a) u=4au = 4a nach aa b) V=a⋅b⋅cV = a \cdot b \cdot c nach cc c) s=v⋅ts = v \cdot t nach vv d) u=2⋅(a+b)u = 2 \cdot (a + b) nach bb e) A=a+c2⋅hA = \frac{a + c}{2} \cdot h nach hh

Tipp anzeigen

Frage dich bei jeder Zeile: Was steht der gesuchten Größe gerade im Weg: und wie mache ich genau das rückgängig?

Lösung anzeigen

a) a=u4a = \frac{u}{4}

b) c=Va⋅bc = \frac{V}{a \cdot b}

c) v=stv = \frac{s}{t}

d)   u=2(a+b)  ∣  :2  →  u2=a+b  ∣  −a  →  b=u2−a\;u = 2(a+b) \;|\; :2 \;\to\; \frac{u}{2} = a + b \;|\; -a \;\to\; b = \frac{u}{2} - a

e)   A=a+c2⋅h  ∣  ⋅2  →  2A=(a+c)⋅h  ∣  :(a+c)  →  h=2Aa+c\;A = \frac{a+c}{2} \cdot h \;|\; \cdot 2 \;\to\; 2A = (a+c) \cdot h \;|\; :(a+c) \;\to\; h = \frac{2A}{a+c}

Detaillierte Schritterklärung anzeigen

Hier wird jeder Schritt einzeln erklärt, vor allem, warum er gemacht wird.

Erklärungstiefe

✦ Empfohlen: Standard – Die normale Erklärungstiefe passt zum Einstieg.

  1. 1

    Das Prinzip: Formeln sind Gleichungen

    Umstellen heißt: die gesuchte Größe freistellen, mit denselben Äquivalenzumformungen wie beim Gleichungslösen. Frage je Formel: Was „stört" bei der gesuchten Größe, und wie kommt es weg?

    a=u4,c=Va⋅b,v=sta = \frac{u}{4}, \quad c = \frac{V}{a \cdot b}, \quad v = \frac{s}{t}

  2. 2

    d) Zweischritter mit Klammer

    u=2(a+b)u = 2(a+b): erst ∣:2\vert :2 → u2=a+b\frac{u}{2} = a + b, dann ∣−a\vert -a → b=u2−ab = \frac{u}{2} - a.

  3. 3

    e) Bruch und Klammer kombiniert

    A=a+c2⋅hA = \frac{a+c}{2} \cdot h: erst ∣⋅2\vert \cdot 2 → 2A=(a+c)⋅h2A = (a+c) \cdot h, dann ∣:(a+c)\vert :(a+c) → h=2Aa+ch = \frac{2A}{a+c}.

    h=2Aa+ch = \frac{2A}{a+c}

Zusammenfassung

sind Waagen: Äquivalenzumformungen halten das Gleichgewicht, während du xx Schritt für Schritt isolierst, erst Strichglieder, dann Faktoren wegräumen, bei Klammern vorher ausmultiplizieren, bei xx auf beiden Seiten zuerst sammeln. Die Probe macht jede Lösung wasserdicht, und Sachaufgaben werden durch saubere Übersetzung zu Routineaufgaben.