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Wärmelehre / Thermodynamik

Die Hauptsätze der Thermodynamik

Warum Energie nie verlorengeht, Wärme trotzdem nie vollständig nutzbar ist und wieso Zeit eine Richtung hat.

Benötigte Grundlagen

Dieses Vorwissen brauchst du für das Kapitel. Schau kurz nach, wenn dir etwas davon nicht mehr präsent ist, sonst leg direkt los.

Einführung

Eine zerbrochene Tasse setzt sich nie von selbst wieder zusammen. Kaffee wird nie von allein wieder heiß. Ein Film, der rückwärts läuft, ist sofort als solcher zu erkennen.

Bemerkenswert daran ist: Kein einziges Grundgesetz der Mechanik verbietet das. Alle Bewegungsgleichungen funktionieren vorwärts wie rückwärts. Rein mechanisch dürften die Scherben zurückspringen.

Trotzdem geschieht es nie. Der Grund steckt in einem Satz, der keine und keine Bewegung beschreibt, sondern Wahrscheinlichkeit. Aus ihm folgt, warum kein Kraftwerk mehr als etwa sechzig Prozent der nutzen kann, warum jede Maschine warm wird und warum die Zeit eine Richtung hat.

Das kannst du nach diesem Kapitel

  • den ersten Hauptsatz formulieren und anwenden.

  • die innere beschreiben.

  • den zweiten Hauptsatz in mehreren Formulierungen angeben.

  • den einer Wärmekraftmaschine berechnen.

  • den Carnot-Wirkungsgrad als obere Grenze begründen.

  • beide Arten des Perpetuum mobile ausschließen.

Die innere Energie

Die innere UU eines Systems ist die Summe aller Energien seiner Teilchen: ihrer Bewegung, ihrer Rotation, ihrer und ihrer Bindungen.

Sie lässt sich auf zwei Weisen ändern:

  • durch QQ (Energieübertrag wegen eines Temperaturunterschieds),
  • durch WW (etwa Kompression eines Gases).

Der erste Hauptsatz

ΔU=Q+W\boxed{\Delta U = Q + W}

Die innere eines Systems ändert sich genau um die zugeführte und die zugeführte .

Das ist der Energieerhaltungssatz, erweitert um die Wärme. Vorzeichen: zugeführt positiv, abgegeben negativ.

🔴 Die wichtigste Folgerung: Es gibt kein Perpetuum mobile erster Art, also keine Maschine, die dauernd Arbeit verrichtet, ohne dass Energie zugeführt wird. Energie entsteht nicht aus dem Nichts.

Anwendung auf die Zustandsänderungen des Gases:

ÄnderungBesonderheit
isochor (VV fest)keine Arbeit, also ΔU=Q\Delta U = Q
isotherm (TT fest)ΔU=0\Delta U = 0, also Q=−WQ = -W
isobar (pp fest)W=−pΔVW = -p\Delta V
adiabatisch (kein Wärmeaustausch)ΔU=W\Delta U = W

Adiabatisch heißt: so schnell, dass keine Wärme entweicht. Deshalb erwärmt sich eine Fahrradpumpe beim Aufpumpen, und deshalb zündet ein Dieselmotor ohne Zündkerze.

Ein Konto, zwei EinzahlungswegeInnere Energie = Konto, Wärme und Arbeit = Buchungen.innere EnergieUWärme QArbeit Woder wieder herausΔU = Q + WZugeführt zählt positiv, abgegeben negativ.Energie geht nie verloren, sie wechselt nur die Form

Die innere ist der Kontostand, und sind die beiden Buchungswege. Daraus folgt unmittelbar, dass keine Maschine mehr abgeben kann, als sie bekommt. Mehr sagt der erste Hauptsatz aber nicht, und genau deshalb kann er nicht erklären, warum manche Vorgänge nur in einer Richtung ablaufen.

Der zweite Hauptsatz

Der erste Hauptsatz sagt, wie viel beteiligt ist, aber nicht, in welche Richtung ein Vorgang abläuft. Beides erlaubt er:

  • Kaffee wird kalt und die Luft etwas wärmer.
  • Kaffee wird von selbst heiß und die Luft etwas kälter.

Beobachtet wird nur das Erste. Der zweite Hauptsatz erklärt warum.

Formulierungen (alle gleichwertig):

Clausius: geht von selbst nie von einem kälteren auf einen wärmeren Körper über.

Kelvin und Planck: Es ist unmöglich, Wärme vollständig in umzuwandeln.

Statistisch: In einem abgeschlossenen System nimmt die Entropie nie ab.

Von selbst nur bergabläuft von selbst80 °C20 °C✓läuft nicht von selbst80 °C20 °C✗Der erste Hauptsatz erlaubt beides, der zweite nur eines

Achte auf die zwei Wörter „von selbst". Der untere Weg ist nicht verboten, ein Kühlschrank geht ihn jeden Tag. Er braucht dafür nur elektrische , und die kommt von außen.

Was Entropie bedeutet

Die Entropie SS ist ein Maß für die Zahl der Möglichkeiten, wie sich die Teilchen anordnen können, ohne dass sich der beobachtbare Zustand ändert.

Ein Bild dazu: Ein Zimmer kann auf sehr viele Weisen unordentlich sein, aber nur auf wenige Weisen ordentlich. Deshalb wird es von selbst unordentlich, nie umgekehrt.

Warum Vorgänge eine Richtung haben: Sie laufen in die Richtung, die wahrscheinlicher ist, also zu mehr Möglichkeiten führt.

🔴 Der zweite Hauptsatz verbietet nichts absolut, er macht es nur unvorstellbar unwahrscheinlich. Dass sich die Luft in einem Zimmer von selbst in einer Hälfte sammelt, ist mechanisch möglich. Die Wahrscheinlichkeit ist aber so klein, dass es im Alter des Universums nicht einmal geschähe.

Warum ein Kühlschrank trotzdem funktioniert: Er befördert von kalt nach warm, aber nicht von selbst. Er braucht elektrische , und im Gesamtsystem (Kühlschrank plus Küche) steigt die Entropie. Der zweite Hauptsatz gilt für abgeschlossene Systeme.

Warum die Unordnung von selbst wächstDieselben 20 Teilchen: links gesammelt, rechts verteilt.am Anfangkurz danachvon selbstpraktisch nieDer Rückweg ist möglich, aber unvorstellbar unwahrscheinlich.Nicht verboten, sondern unwahrscheinlich

Entropie misst, auf wie viele Arten sich ein Zustand herstellen lässt. Für „alle links“ gibt es sehr wenige Anordnungen, für „gleichmäßig verteilt“ unvorstellbar viele. Deshalb läuft der Vorgang nur in eine Richtung, nicht weil die andere verboten wäre, sondern weil sie so unwahrscheinlich ist, dass sie nie eintritt.

Wärmekraftmaschinen

Eine Wärmekraftmaschine nimmt Q1Q_1 bei hoher T1T_1 auf, verrichtet WW und gibt Abwärme Q2Q_2 bei niedriger Temperatur T2T_2 ab.

η=WQ1=Q1−Q2Q1\eta = \frac{W}{Q_1} = \frac{Q_1 - Q_2}{Q_1}

🔴 Abwärme ist unvermeidlich. Nach dem zweiten Hauptsatz kann Q2Q_2 nicht null werden; sonst wäre Wärme vollständig in Arbeit umgewandelt.

Es gibt kein Perpetuum mobile zweiter Art, also keine Maschine, die Wärme aus einem einzigen Reservoir vollständig in Arbeit verwandelt. Ein Schiff könnte demnach nicht mit der Wärme des Meerwassers fahren, obwohl der Energiesatz das erlauben würde.

Ein Teil muss abfließen, sonst läuft nichtsZahlen eines modernen Kohlekraftwerks.Dampf, 600 °CQ₁ = 100 %TurbineW = 45 %Q₂ = 55 %Kühlwasser, 30 °CgenutztabgeführtDer größere Teil verlässt das Kraftwerk als Abwärme

Der Balken unten zeigt das Verhältnis maßstäblich: 45 % werden zu , 55 % fließen als Abwärme ab. Diese Abwärme ist kein technischer Mangel, sondern nach dem zweiten Hauptsatz unvermeidlich.

Der Carnot-Wirkungsgrad

Die theoretisch höchstmögliche Ausbeute hängt nur von den beiden ab:

ηC=1−T2T1\boxed{\eta_{\text{C}} = 1 - \frac{T_2}{T_1}}

(Temperaturen in Kelvin.)

T1T_1T2T_2ηC\eta_C
600 K600\,\text{K}300 K300\,\text{K}50 %50\,\%
800 K800\,\text{K}300 K300\,\text{K}62,5 %62{,}5\,\%
1500 K1500\,\text{K}300 K300\,\text{K}80 %80\,\%

Reale Werte liegen deutlich darunter, weil , Wärmeleitung und unvollständige Verbrennung hinzukommen:

Maschine
Ottomotor2525 bis 35 %35\,\%
Dieselmotor3535 bis 45 %45\,\%
Kohlekraftwerk4040 bis 45 %45\,\%
Gas- und Dampfkraftwerkbis 62 %62\,\%

🔴 Der niedrige Wirkungsgrad ist kein technisches Versäumnis. Er folgt aus dem zweiten Hauptsatz. Genau deshalb hat ein über 90 %90\,\%: Er wandelt nicht um, sondern elektrische , und für die gilt diese Grenze nicht.

Dieselbe Einsicht erklärt, warum Kraft-Wärme-Kopplung sinnvoll ist: Die unvermeidliche Abwärme lässt sich zum Heizen nutzen, statt sie wegzukühlen.

Die Obergrenze steht schon vor dem Bau festη = 1 − T₂ / T₁T₁ warm, T₂ kalt, beide in Kelvin, sonst kommt Unsinn heraus.Kohlekraftwerk600 °C Dampf873 K und 303 K65 % möglich45 % erreichtGeothermie150 °C Wasser423 K und 293 K31 % möglich12 % erreichtBlass: theoretische Grenze. Voll: echter Wert.100 % gäbe es nur bei T₂ = 0 K

Zwei Maschinen, zwei Temperaturpaare, zwei völlig verschiedene Obergrenzen, und beide Male liegt der erreichte Wert deutlich darunter. Die Grenze steht fest, bevor die Maschine gebaut ist; sie folgt allein aus den beiden . Verbessern lässt sich in der Praxis vor allem die warme Seite: Die kalte ist die Umgebung, und Luft gibt es nur nach oben.

Der Zeitpfeil

Die Grundgleichungen der Mechanik sind zeitsymmetrisch: Sie funktionieren vorwärts wie rückwärts. Trotzdem erkennt man einen rückwärts laufenden Film sofort.

🔴 Der zweite Hauptsatz ist das einzige Grundgesetz der Physik, das eine Richtung der Zeit auszeichnet. Vorgänge laufen so ab, dass die Entropie zunimmt, und das definiert, was „später" bedeutet.

Ein einzelner elastischer Stoß zweier Kugeln sieht rückwärts völlig normal aus. Erst bei sehr vielen Teilchen wird die Richtung erkennbar, denn nur dann ist der Rückweg unvorstellbar unwahrscheinlich.

Wirkungsgrade berechnen

Ein Kraftwerk arbeitet mit Dampf von 540 °C540\,\text{°C} und kühlt gegen Flusswasser von 20 °C20\,\text{°C}.

a) Wie groß ist der Carnot-Wirkungsgrad?

b) Tatsächlich erreicht es 43 %43\,\%. Wie erklärt sich der Unterschied?

c) Es liefert 600 MW600\,\text{MW} elektrisch. Wie viel Abwärme fällt an?

d) Warum erreicht ein über 90 %90\,\%, ein Verbrennungsmotor aber nicht?

  1. 1

    a) In Kelvin umrechnen:

    T1=813 K,T2=293 KT_1 = 813\,\text{K}, \qquad T_2 = 293\,\text{K} ηC=1−T2T1=1−293813=1−0,360=0,640\eta_C = 1 - \frac{T_2}{T_1} = 1 - \frac{293}{813} = 1 - 0{,}360 = 0{,}640

    Also rund 64 %64\,\% als theoretische Obergrenze.

  2. 2

    b) Die Differenz von rund 2121 Prozentpunkten entsteht durch reale Verluste:

    • Reibung in Turbine, Lagern und ,
    • Wärmeverluste über Rohrleitungen und Kesselwände,
    • unvollständige Verbrennung und Abgasverluste im Kessel,
    • Eigenverbrauch für Pumpen, Gebläse und Rauchgasreinigung,
    • der Carnot-Prozess ist ein idealisierter Kreisprozess, den keine reale Maschine exakt durchläuft.

    🔴 Entscheidend zur Einordnung: Die 64 %64\,\% sind eine prinzipielle Grenze aus dem zweiten Hauptsatz, die 43 %43\,\% eine technische Wirklichkeit. Kein noch so guter Ingenieur könnte die 64 %64\,\% überschreiten.

    Verbesserungen der Technik nähern den realen Wert der Grenze an, mehr nicht.

  3. 3

    c) Zugeführte :

    Pzu=Pabη=600 MW0,43≈1395 MWP_{\text{zu}} = \frac{P_{\text{ab}}}{\eta} = \frac{600\,\text{MW}}{0{,}43} \approx 1395\,\text{MW}

    Abwärme:

    Pab,Wa¨rme=1395−600=795 MWP_{\text{ab,Wärme}} = 1395 - 600 = 795\,\text{MW}

    Es fallen also rund 795795 Megawatt Abwärme an, mehr als die .

    Praktische Bedeutung: Diese muss abgeführt werden, meist über Kühltürme oder Flusswasser. Bei geringer Wasserführung im Sommer müssen Kraftwerke deshalb ihre Leistung drosseln, um Flüsse nicht zu stark zu erwärmen.

    🔴 Genau hier setzt die Kraft-Wärme-Kopplung an: Nutzt man die Abwärme zum Heizen, statt sie wegzukühlen, steigt der Gesamtnutzungsgrad auf über 80 %80\,\%. Der zweite Hauptsatz wird dabei nicht umgangen; man verwendet nur die unvermeidliche Abwärme sinnvoll.

    Voraussetzung ist ein Abnehmer in der Nähe, denn Wärme lässt sich nicht weit transportieren.

  4. 4

    d) Weil der zweite Hauptsatz nur für die Umwandlung von Wärme gilt.

    Ein Verbrennungsmotor ist eine Wärmekraftmaschine: Er erzeugt zuerst Wärme und wandelt einen Teil davon in . Für diesen Schritt gilt

    η≤1−T2T1\eta \le 1 - \frac{T_2}{T_1}

    Bei realistischen (rund 2000 K2000\,\text{K} Verbrennung, 400 K400\,\text{K} Abgas) liegt die Grenze bei etwa 80 %80\,\%; nach Abzug der realen Verluste bleiben 2525 bis 45 %45\,\%.

    Ein Elektromotor wandelt dagegen elektrische Energie unmittelbar in mechanische um, ohne den Umweg über Wärme. Für diese Umwandlung gibt es keine solche prinzipielle Grenze. Verluste entstehen nur durch Reibung und ohmsche Erwärmung, und die lassen sich technisch klein halten.

    🔴 Der Vergleich ist allerdings nur teilweise fair. Man muss fragen, woher der Strom kommt:

    KetteGesamtwirkungsgrad
    Kohlekraftwerk plus Elektromotorrund 0,43⋅0,9≈39 %0{,}43 \cdot 0{,}9 \approx 39\,\%
    Dieselmotor direktrund 40 %40\,\%
    Windkraft plus Elektromotorrund 85 %85\,\%

    Die Einsicht daraus: Der Vorteil des Elektroantriebs liegt nicht allein im Motor, sondern darin, dass sich elektrische Energie aus Quellen gewinnen lässt, die keine Wärmekraftmaschine durchlaufen, also aus Wind, Wasser und Sonne.

    Bei der Bewertung von Antrieben muss man deshalb immer die gesamte Kette betrachten, nicht nur das letzte Glied.

a) rund 64 %64\,\% b) reale Verluste durch , Wärmeabfluss und Eigenverbrauch c) rund 795 MW795\,\text{MW} Abwärme d) für elektrische gilt die Carnot-Grenze nicht.

Warum Vorgänge eine Richtung haben

Ein Tropfen Tinte verteilt sich in Wasser, sammelt sich aber nie wieder von selbst. Kein mechanisches Gesetz verbietet die Umkehrung. Erkläre, warum sie trotzdem nie geschieht, und was das mit dem zweiten Hauptsatz zu tun hat.

  1. 1

    Schritt 1: Die Mechanik erlaubt beides.

    Jedes einzelne Tintenteilchen bewegt sich nach den Gesetzen der Mechanik und stößt elastisch mit Wassermolekülen. Diese Gesetze sind zeitsymmetrisch: Kehrt man alle um, ergibt sich eine ebenso gültige Lösung.

    Rein mechanisch könnten sich also alle Tintenteilchen wieder in einem Punkt sammeln. Es gibt kein Gesetz, das es verbietet.

  2. 2

    Schritt 2: Aber es gibt sehr verschieden viele Möglichkeiten.

    Betrachte, auf wie viele Weisen sich ein Zustand verwirklichen lässt:

    • Tinte konzentriert: Alle Teilchen müssen in einem winzigen Bereich sein. Das gelingt nur auf sehr wenige Weisen.
    • Tinte verteilt: Die Teilchen dürfen praktisch überall sein. Das gelingt auf unvorstellbar viele Weisen.

    Da sich die Teilchen zufällig bewegen, ist jede einzelne Anordnung gleich wahrscheinlich. Es gibt aber so viel mehr verteilte Anordnungen, dass man praktisch immer eine solche antrifft.

    🔴 Genau das ist die Entropie: ein Maß für die Zahl der Möglichkeiten.

  3. 3

    Schritt 3: Wie groß der Unterschied ist.

    Schon bei 100100 Teilchen und der Frage, ob alle in derselben Gefäßhälfte sind, beträgt die Wahrscheinlichkeit

    (12)100≈10−30\left(\frac{1}{2}\right)^{100} \approx 10^{-30}

    In einem Tintentropfen sind aber rund 102010^{20} Teilchen. Die Wahrscheinlichkeit einer spontanen Entmischung ist dann von der Größenordnung

    10−101910^{-10^{19}}

    Diese Zahl ist so klein, dass jeder Vergleich versagt. Sie ist unvergleichlich kleiner als die Wahrscheinlichkeit, im Alter des Universums bei jedem Sekundenversuch zu gewinnen.

    Die richtige Formulierung lautet deshalb: Der zweite Hauptsatz verbietet die Umkehrung nicht absolut, sondern macht sie so unwahrscheinlich, dass sie nie beobachtet wird.

  4. 4

    Schritt 4: Warum das eine Zeitrichtung erzeugt.

    Die Grundgleichungen der Physik unterscheiden nicht zwischen vorwärts und rückwärts. Trotzdem erkennt jeder sofort, ob ein Film rückwärts läuft.

    Der Grund: Wir erkennen die Richtung an der Entropie. Vorgänge laufen von unwahrscheinlichen zu wahrscheinlichen Zuständen, und diese Richtung nennen wir „später".

    🔴 Der zweite Hauptsatz ist das einzige Grundgesetz der Physik, das eine Zeitrichtung auszeichnet. Alle anderen sind zeitsymmetrisch.

    Ein aufschlussreicher Gegentest: Filmt man zwei elastisch stoßende Billardkugeln und lässt den Film rückwärts laufen, sieht niemand etwas Ungewöhnliches. Bei zwei Teilchen gibt es keine erkennbare Richtung.

    Erst bei sehr vielen Teilchen wird sie sichtbar, und dann sofort und unübersehbar: Scherben, die zusammenspringen, Rauch, der in den Schornstein zurückkehrt, Kaffee, der sich erwärmt.

    Die Zeitrichtung ist damit keine Eigenschaft einzelner Teilchen, sondern entsteht erst aus dem Zusammenwirken sehr vieler. Das ist eine der bemerkenswertesten Einsichten der Physik.

  5. 5

    Schritt 5: Warum lokale Ordnung dennoch möglich ist.

    Ein häufiger Einwand lautet: Ein Lebewesen wächst, ein Kristall bildet sich, ein Zimmer wird aufgeräumt. Alles das erzeugt Ordnung. Widerspricht das dem zweiten Hauptsatz?

    Nein, denn er gilt für abgeschlossene Systeme. Alle genannten Beispiele sind offen:

    • Ein Lebewesen nimmt energiereiche Nahrung auf und gibt und Abfallstoffe ab. Die Entropie außen steigt stärker, als sie innen sinkt.
    • Ein Kühlschrank kühlt innen, heizt aber die Küche stärker auf.
    • Wer aufräumt, verbraucht und erzeugt Wärme.

    Die Bilanz stimmt immer: Lokale Ordnung ist möglich, wenn anderswo entsprechend mehr Unordnung entsteht.

    🔴 Für die Erde ist die Quelle die Sonne: Sie liefert energiereiche, geordnete Strahlung, und die Erde gibt energieärmere Wärmestrahlung ab. Diese Bilanz erlaubt alle Ordnungsbildung auf der Erde, vom Kristall bis zum Ökosystem.

    Der zweite Hauptsatz verbietet Ordnung also nicht; er verlangt nur, dass sie bezahlt wird.

Mechanisch ist die Umkehrung erlaubt, aber es gibt unvergleichlich mehr verteilte als konzentrierte Anordnungen. Die Entropie misst diese Zahl, und ihre Zunahme definiert die Zeitrichtung; lokale Ordnung bleibt möglich, wenn anderswo mehr Unordnung entsteht.

Typischer Fehler

„Ein Kühlschrank widerspricht dem zweiten Hauptsatz, weil er von kalt nach warm transportiert."

Er widerspricht ihm nicht, denn der zweite Hauptsatz enthält zwei entscheidende Einschränkungen, die oft überlesen werden.

Erstens: „von selbst". Die Formulierung von Clausius lautet: Wärme geht von selbst nie von kalt nach warm. Ein Kühlschrank tut es nicht von selbst, sondern mit Hilfe elektrischer . Zieht man den Stecker, hört der Vorgang sofort auf, und die Wärme fließt wieder in die übliche Richtung.

Zweitens: „abgeschlossenes System". Betrachtet man nur den Innenraum, sinkt dort tatsächlich die Entropie. Das System ist aber nicht abgeschlossen. Bilanziert man Kühlschrank plus Küche, so gibt der Kühlschrank hinten mehr Wärme ab, als er innen entzieht, nämlich zusätzlich die aufgewendete elektrische .

Qab=Qauf+WelektrischQ_{\text{ab}} = Q_{\text{auf}} + W_{\text{elektrisch}}

Die Entropie des Gesamtsystems steigt.

Ein einfacher Beleg: Ein offener Kühlschrank heizt den Raum, statt ihn zu kühlen. Er entzieht der Luft vorn Wärme und gibt sie hinten wieder ab, zuzüglich der Antriebsenergie. Wer damit im Sommer die Küche kühlen will, erreicht das Gegenteil.

Dieselbe Klarstellung gilt für viele scheinbare Widersprüche:

BeispielWarum kein Widerspruch
Lebewesen wächstnimmt energiereiche Nahrung auf, gibt Wärme ab
Kristall bildet sichgibt beim Wachsen Wärme an die Umgebung ab
Zimmer wird aufgeräumtdie aufräumende Person verbraucht Energie
Wärmepumpe heiztwird elektrisch angetrieben

🔴 Die richtige Kurzfassung: Lokale Ordnung ist immer möglich, sofern anderswo entsprechend mehr Unordnung entsteht. Der zweite Hauptsatz verbietet Ordnung nicht, er verlangt nur, dass sie bezahlt wird.

Warum Wärmepumpen trotzdem sinnvoll sind: Sie liefern mehr Heizwärme, als sie an elektrischer Energie aufnehmen, typisch das Drei- bis Vierfache. Das ist kein Verstoß, denn die zusätzliche Wärme wird nicht erzeugt, sondern aus der Umgebung herbeigeschafft. Der erste Hauptsatz bleibt gewahrt, weil die Bilanz Umgebungswärme plus elektrische Arbeit ergibt.

Übung 1

leicht

a) Formuliere den ersten Hauptsatz.

b) Ein Gas nimmt 500 J500\,\text{J} auf und verrichtet 200 J200\,\text{J} nach außen. Wie ändert sich die innere ?

c) Wie groß ist der Carnot-Wirkungsgrad zwischen 500 K500\,\text{K} und 300 K300\,\text{K}?

Tipp anzeigen

b) Nach außen verrichtete Arbeit ist negativ.

Lösung anzeigen

a) Die innere Energie eines Systems ändert sich genau um die zugeführte Wärme und die zugeführte Arbeit:

ΔU=Q+W\Delta U = Q + W

Das ist der Energieerhaltungssatz, erweitert um die Wärme.

b) Die Wärme wird zugeführt (Q=+500 JQ = +500\,\text{J}), die Arbeit wird nach außen abgegeben (W=−200 JW = -200\,\text{J}):

ΔU=500 J−200 J=+300 J\Delta U = 500\,\text{J} - 200\,\text{J} = +300\,\text{J}

Die innere Energie steigt also um 300 J300\,\text{J}.

c) ηC=1−T2T1=1−300500=1−0,6=0,4=40 %\eta_C = 1 - \frac{T_2}{T_1} = 1 - \frac{300}{500} = 1 - 0{,}6 = 0{,}4 = 40\,\%

Detaillierte Schritterklärung anzeigen

Hier wird jeder Schritt einzeln erklärt, vor allem, warum er gemacht wird.

Erklärungstiefe

✦ Empfohlen: Standard – Die normale Erklärungstiefe passt zum Einstieg.

  1. 1

    Gegeben und Gesucht bei erstem Hauptsatz und Carnot-Grenze

    b) gibt ein Gas, das 500 J500\,\text{J} Wärme aufnimmt und 200 J200\,\text{J} Arbeit nach außen verrichtet; gesucht ist die Änderung der inneren Energie. c) gibt zwei (500 K500\,\text{K} und 300 K300\,\text{K}); gesucht ist der Carnot-Wirkungsgrad.

  2. 2

    Erster Hauptsatz und Carnot-Wirkungsgrad

    Erster Hauptsatz: Die innere Energie ändert sich um die zugeführte Wärme und die zugeführte Arbeit: ΔU=Q+W\Delta U = Q + W. Carnot-Wirkungsgrad: ηC=1−T2T1\eta_C = 1 - \frac{T_2}{T_1}, mit beiden Temperaturen in Kelvin.

  3. 3

    b) und c) Innere Energie und Carnot-Wirkungsgrad

    Erst Wärme plus Arbeit mit den richtigen Vorzeichen, dann eins minus Temperaturverhältnis.

    ΔU=Q+W=+500 J+(−200 J)=+300 J\Delta U = Q + W = +500\,\text{J} + (-200\,\text{J}) = +300\,\text{J}; ηC=1−300 K500 K=1−0,6=0,4\eta_C = 1 - \frac{300\,\text{K}}{500\,\text{K}} = 1 - 0{,}6 = 0{,}4

    Zwischenergebnis

    ΔU=+300 J\Delta U = +300\,\text{J}; ηC=40 %\eta_C = 40\,\%

  4. 4

    a) Ergebnis deuten: was der erste Hauptsatz aussagt

    Die innere Energie eines Systems ändert sich genau um die zugeführte Wärme und die zugeführte Arbeit: ΔU=Q+W\Delta U = Q + W. Es ist der Energieerhaltungssatz, erweitert um die Wärme.

Übung 2

mittel

a) Warum wird eine Fahrradpumpe beim Aufpumpen warm?

b) Warum kann ein Kraftwerk nicht 100 %100\,\% erreichen?

c) Warum widerspricht ein Lebewesen nicht dem zweiten Hauptsatz?

d) Was unterscheidet ein Perpetuum mobile erster von einem zweiter Art?

Tipp anzeigen

a) Was passiert mit der Verdichtungsarbeit?

Lösung anzeigen

a) Weil die Verdichtung so schnell abläuft, dass praktisch keine entweichen kann. Der Vorgang ist näherungsweise adiabatisch, also Q=0Q = 0.

Nach dem ersten Hauptsatz gilt dann

ΔU=W\Delta U = W

Die gesamte hineingesteckte Verdichtungsarbeit erhöht die innere des Gases, also die mittlere kinetische Energie seiner Teilchen. Das bedeutet: Die steigt.

Teilchenmodellhaft: Der Kolben bewegt sich auf die Teilchen zu. Beim Stoß mit einer entgegenkommenden Wand werden sie schneller, ähnlich wie ein Tennisball, der von einem vorwärts geschlagenen Schläger zurückprallt.

🔴 Dasselbe Prinzip nutzt der Dieselmotor: Er verdichtet Luft so stark, dass ihre Temperatur über 600 °C600\,\text{°C} erreicht. Der eingespritzte Kraftstoff entzündet sich dann von selbst, ohne Zündkerze.

Und umgekehrt: Lässt man Gas aus einer Spraydose ausströmen, wird sie kalt, weil das Gas gegen den Außendruck verrichtet und dabei innere Energie verliert.

b) Weil der zweite Hauptsatz eine Abwärme erzwingt.

Nach Kelvin und Planck lässt sich Wärme niemals vollständig in Arbeit umwandeln. Eine Wärmekraftmaschine muss immer einen Teil der aufgenommenen Wärme bei niedrigerer Temperatur wieder abgeben:

η=Q1−Q2Q1<1\eta = \frac{Q_1 - Q_2}{Q_1} < 1

Die obere Grenze hängt nur von den Temperaturen ab:

ηC=1−T2T1\eta_C = 1 - \frac{T_2}{T_1}

Sie wäre nur dann eins, wenn T2=0 KT_2 = 0\,\text{K} wäre, also die Abwärme bei absolutem Nullpunkt abgegeben würde. Das ist unmöglich.

🔴 Wichtig: Das ist keine technische Unzulänglichkeit. Auch eine ideale Maschine ohne jede bliebe unter dieser Grenze. Bessere Technik nähert den realen Wert nur an die Grenze an.

Praktische Folge: Man erhöht T1T_1 so weit, wie es die Werkstoffe zulassen. Moderne Gas- und Dampfkraftwerke arbeiten mit über 1500 °C1500\,\text{°C} und erreichen dadurch bis zu 62 %62\,\%.

c) Weil der zweite Hauptsatz nur für abgeschlossene Systeme gilt und ein Lebewesen ein offenes System ist.

Ein Organismus baut geordnete Strukturen auf und senkt damit lokal seine Entropie. Dafür

  • nimmt er energiereiche, geordnete Nahrung auf,
  • gibt Wärme und energieärmere Abfallstoffe ab.

Die Entropiezunahme in der Umgebung ist dabei größer als die Abnahme im Organismus. Die Gesamtbilanz stimmt.

Die eigentliche Energiequelle ist die Sonne: Sie liefert der Erde hochwertige, kurzwellige Strahlung, die Erde gibt langwellige Wärmestrahlung ab. In dieser Bilanz steckt der Spielraum für alle Ordnungsbildung auf der Erde.

🔴 Häufige Fehlargumentation: Manchmal wird der zweite Hauptsatz gegen die Evolution angeführt. Das Argument ist physikalisch falsch, weil es die Bedingung „abgeschlossenes System" unterschlägt. Die Erde ist offen und empfängt ständig Energie von der Sonne.

Dieselbe Klarstellung gilt für: Kristallbildung, Wolkenbildung, das Gefrieren von Wasser und jede Form von Ordnung, die man beobachtet.

d) Beide sind unmöglich, verletzen aber verschiedene Sätze:

Perpetuum mobile erster Art: Eine Maschine, die dauernd Arbeit verrichtet, ohne dass Energie zugeführt wird. Sie würde Energie aus dem Nichts erzeugen und verletzt damit den ersten Hauptsatz.

Beispiel: ein Rad, das sich ewig weiterdreht und dabei Arbeit leistet.

Perpetuum mobile zweiter Art: Eine Maschine, die Wärme aus einem einzigen Reservoir vollständig in Arbeit umwandelt. Sie verletzt den ersten Hauptsatz nicht, denn die Energie kommt ja aus der Wärme. Sie verletzt aber den zweiten Hauptsatz, weil sie keine Abwärme abgäbe.

Beispiel: ein Schiff, das mit der Wärme des Meerwassers fährt und das Wasser dabei etwas abkühlt.

🔴 Das zweite ist besonders lehrreich, weil es auf den ersten Blick völlig harmlos wirkt. Der Energiesatz ist erfüllt, das Meer enthält unvorstellbare Wärmemengen, und niemand würde etwas vermissen.

Trotzdem ist es unmöglich, und man braucht dafür den zweiten Hauptsatz. Genau deshalb ist er ein eigenständiges Naturgesetz und nicht aus dem ersten ableitbar.

Beide Arten sind trotz jahrhundertelanger Versuche nie verwirklicht worden. Patentämter weisen entsprechende Anmeldungen inzwischen ohne inhaltliche Prüfung zurück.

Detaillierte Schritterklärung anzeigen

Hier wird jeder Schritt einzeln erklärt, vor allem, warum er gemacht wird.

Erklärungstiefe

✦ Empfohlen: Standard – Die normale Erklärungstiefe passt zum Einstieg.

  1. 1

    Gegeben und Gesucht, vier Fragen zu den Hauptsätzen

    Diese Aufgabe rechnet nicht: Sie fragt nach der warmen Fahrradpumpe, nach der Wirkungsgradgrenze von Kraftwerken, nach dem scheinbaren Widerspruch zwischen Leben und zweitem Hauptsatz und nach den beiden Arten des Perpetuum mobile.

  2. 2

    a) Warum die Fahrradpumpe warm wird

    Weil die Verdichtung so schnell abläuft, dass praktisch keine Wärme entweichen kann, der Vorgang ist näherungsweise adiabatisch, also Q=0Q = 0. Nach dem ersten Hauptsatz gilt dann ΔU=W\Delta U = W: Die gesamte Verdichtungsarbeit erhöht die innere Energie des Gases und damit die Temperatur.

  3. 3

    b) Warum kein Kraftwerk 100 Prozent erreicht

    Weil der zweite Hauptsatz eine Abwärme erzwingt: Nach Kelvin und Planck lässt sich Wärme niemals vollständig in Arbeit umwandeln, eine Wärmekraftmaschine muss immer einen Teil bei niedrigerer Temperatur wieder abgeben. Die obere Grenze ηC=1−T2T1\eta_C = 1 - \frac{T_2}{T_1} wäre nur dann eins, wenn T2=0 KT_2 = 0\,\text{K} wäre, und das ist unmöglich.

  4. 4

    c) Warum ein Lebewesen dem zweiten Hauptsatz nicht widerspricht

    Weil der zweite Hauptsatz nur für abgeschlossene Systeme gilt und ein Lebewesen ein offenes System ist. Ein Organismus baut geordnete Strukturen auf und senkt lokal seine Entropie, dafür nimmt er energiereiche, geordnete Nahrung auf und gibt Wärme sowie energieärmere Abfallstoffe ab. Die Entropiezunahme in der Umgebung ist dabei größer als die Abnahme im Organismus.

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    d) Ergebnis deuten: zwei Arten des Perpetuum mobile

    Erster Art: Eine Maschine, die dauernd Arbeit verrichtet, ohne dass Energie zugeführt wird, sie erzeugte Energie aus dem Nichts und verletzt den ersten Hauptsatz. Zweiter Art: Eine Maschine, die Wärme aus einem einzigen Reservoir vollständig in Arbeit umwandelt, sie verletzt den ersten Hauptsatz nicht, wohl aber den zweiten, weil sie keine Abwärme abgäbe.

Übung 3

schwer

a) Erkläre den zweiten Hauptsatz statistisch und begründe, warum er nichts absolut verbietet.

b) Warum zeichnet er als einziges Grundgesetz eine Zeitrichtung aus?

c) Ein Motor arbeitet zwischen 1800 K1800\,\text{K} und 500 K500\,\text{K} und erreicht 38 %38\,\%. Wie groß ist die theoretische Grenze und wie gut nutzt er sie aus?

d) Warum liefert eine Wärmepumpe mehr Heizwärme, als sie elektrische aufnimmt, ohne einen Hauptsatz zu verletzen?

Tipp anzeigen

c) Erst ηC\eta_C, dann das Verhältnis bilden.

Lösung anzeigen

a) Die statistische Deutung. Die Entropie misst die Zahl der Möglichkeiten, wie sich die Teilchen anordnen können, ohne dass sich der beobachtbare Zustand ändert.

Ein geordneter Zustand (Tinte konzentriert, alle Luftmoleküle in einer Hälfte) lässt sich nur auf sehr wenige Weisen verwirklichen. Ein ungeordneter auf unvorstellbar viele.

Da sich die Teilchen zufällig bewegen und jede einzelne Anordnung gleich wahrscheinlich ist, trifft man praktisch immer eine der vielen ungeordneten an.

Warum das nichts absolut verbietet. Rein mechanisch ist die Umkehrung erlaubt; die Bewegungsgleichungen sind zeitsymmetrisch. Sie ist nur unvorstellbar unwahrscheinlich.

Zahlenbeispiel: Dass alle NN Luftmoleküle eines Zimmers zufällig in einer Hälfte sind, hat die Wahrscheinlichkeit (12)N\left(\frac{1}{2}\right)^N. Bei N≈1027N \approx 10^{27} ist das

10−3⋅102610^{-3 \cdot 10^{26}}

Diese Zahl ist so klein, dass es im Alter des Universums nicht einmal geschähe, selbst wenn man jede Nanosekunde neu würfelte.

🔴 Die genaue Formulierung lautet deshalb: Die Entropie eines abgeschlossenen Systems nimmt mit überwältigender Wahrscheinlichkeit nicht ab. Bei sehr wenigen Teilchen sind kurzzeitige Abnahmen tatsächlich beobachtbar und wurden gemessen.

Der zweite Hauptsatz ist damit ein statistisches Gesetz und unterscheidet sich grundsätzlich von der Energieerhaltung, die ausnahmslos gilt.

b) Weil alle anderen Grundgesetze zeitsymmetrisch sind.

Die , die Maxwellgleichungen und die Schrödingergleichung funktionieren vorwärts wie rückwärts. Kehrt man alle um, ergibt sich stets eine ebenso gültige Lösung.

Wenn diese Gesetze keine Richtung auszeichnen, woher kommt dann der offensichtliche Unterschied zwischen Vergangenheit und Zukunft?

Antwort: aus der Entropie. Vorgänge laufen von unwahrscheinlichen zu wahrscheinlichen Zuständen, und genau diese Richtung nennen wir „später".

Der aufschlussreiche Gegentest: Filmt man zwei elastisch stoßende Kugeln und lässt den Film rückwärts laufen, bemerkt niemand etwas. Bei zwei Teilchen gibt es keine erkennbare Zeitrichtung.

Erst bei vielen Teilchen wird sie sichtbar, und dann sofort: Scherben, die zusammenspringen, Rauch, der zurückkehrt, Kaffee, der sich erwärmt.

🔴 Die Zeitrichtung ist damit keine Eigenschaft einzelner Teilchen, sondern entsteht erst aus dem Zusammenwirken sehr vieler. Sie ist eine sogenannte emergente Eigenschaft.

Eine offene Frage bleibt: Warum war die Entropie des frühen Universums so niedrig? Denn nur weil sie einmal klein war, kann sie seither zunehmen. Diese Frage ist bis heute nicht abschließend geklärt und gehört zu den offenen Problemen der Kosmologie.

c) Carnot-Grenze:

ηC=1−T2T1=1−5001800=1−0,278=0,722=72,2 %\eta_C = 1 - \frac{T_2}{T_1} = 1 - \frac{500}{1800} = 1 - 0{,}278 = 0{,}722 = 72{,}2\,\%

Ausnutzungsgrad (Gütegrad):

ηrealηC=0,380,722≈0,53=53 %\frac{\eta_{\text{real}}}{\eta_C} = \frac{0{,}38}{0{,}722} \approx 0{,}53 = 53\,\%

Der Motor nutzt also rund die Hälfte des theoretisch Möglichen.

Einordnung: Das ist für einen Verbrennungsmotor ein typischer, guter Wert. Die verbleibenden Verluste entstehen durch , Wärmeabfluss über Zylinderwände, unvollständige Verbrennung, Ladungswechsel und die Tatsache, dass der reale Kreisprozess vom idealen Carnot-Prozess abweicht.

🔴 Zwei getrennte Fragen, die man nicht verwechseln darf:

  • Wie hoch ist die prinzipielle Grenze? Das entscheidet allein die Thermodynamik über die .
  • Wie gut wird sie ausgenutzt? Das ist eine Frage der Technik.

Wo man ansetzen kann: Eine höhere Verbrennungstemperatur T1T_1 hebt die Grenze, ist aber durch die Werkstoffe begrenzt. Eine niedrigere Abgastemperatur T2T_2 ebenfalls, doch das Abgas muss noch strömen können.

Deshalb erreichen moderne Gas- und Dampfkraftwerke bis zu 62 %62\,\%: Sie nutzen die Abgaswärme der Gasturbine in einem nachgeschalteten Dampfprozess und arbeiten damit über einen größeren Temperaturbereich.

d) Weil sie nicht erzeugt, sondern von außen herbeischafft.

Eine Wärmepumpe entzieht der Umgebung (Erdreich, Grundwasser, Außenluft) die Wärme Q2Q_2 und gibt im Haus die Wärme Q1Q_1 ab. Dazwischen steckt sie die elektrische WW hinein:

Q1=Q2+WQ_1 = Q_2 + W

Der erste Hauptsatz ist erfüllt, denn die abgegebene Wärme ist genau die Summe aus aufgenommener Umgebungswärme und elektrischer Arbeit. Nichts entsteht aus dem Nichts.

Die Leistungszahl beträgt

ε=Q1W\varepsilon = \frac{Q_1}{W}

und liegt typisch bei 33 bis 55. Aus einer Kilowattstunde Strom werden also drei bis fünf Kilowattstunden Heizwärme, die restlichen zwei bis vier stammen aus der Umgebung.

Der zweite Hauptsatz ist ebenfalls erfüllt, denn die Wärme fließt hier nicht von selbst von kalt nach warm. Es wird Arbeit aufgewendet, und in der Gesamtbilanz steigt die Entropie.

Auch für die Wärmepumpe gibt es eine theoretische Obergrenze:

εmax⁡=T1T1−T2\varepsilon_{\max} = \frac{T_1}{T_1 - T_2}

🔴 Daraus folgt eine praktische Regel: Je kleiner der Temperaturunterschied, desto besser arbeitet die Wärmepumpe.

Deshalb kombiniert man sie mit Fußbodenheizung (rund 35 °C35\,\text{°C} statt 70 °C70\,\text{°C} bei Heizkörpern) und nutzt möglichst warme Quellen (Erdreich statt Außenluft). Bei sehr kalter Außenluft sinkt die Leistungszahl deutlich, weshalb Luft-Wärmepumpen im Winter am wenigsten effizient sind, also gerade dann, wenn man sie am meisten braucht.

Der Vergleich mit direkter Elektroheizung: Ein Heizlüfter erreicht bestenfalls ε=1\varepsilon = 1. Eine Wärmepumpe ist also drei- bis fünfmal so wirksam, und genau deshalb ist sie ein zentraler Baustein der Wärmewende.

Und der Zusammenhang zum Kühlschrank: Eine Wärmepumpe ist technisch dasselbe Gerät, nur mit umgekehrter Blickrichtung. Der Kühlschrank soll innen kühlen, die Wärmepumpe soll außen heizen; die Physik ist identisch.

Detaillierte Schritterklärung anzeigen

Hier wird jeder Schritt einzeln erklärt, vor allem, warum er gemacht wird.

Erklärungstiefe

✦ Empfohlen: Standard – Die normale Erklärungstiefe passt zum Einstieg.

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    Gegeben und Gesucht: Statistik, Zeitrichtung, ein Motor und die Wärmepumpe

    c) gibt einen Motor zwischen 1800 K1800\,\text{K} und 500 K500\,\text{K}, der 38 %38\,\% erreicht; gesucht sind die theoretische Grenze und der Ausnutzungsgrad. a), b) und d) verlangen Deutungen zur Statistik, zur Zeitrichtung und zur Wärmepumpe.

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    c) Carnot-Grenze und Gütegrad

    Die theoretische Grenze ist ηC=1−T2T1\eta_C = 1 - \frac{T_2}{T_1}. Der Ausnutzungsgrad (Gütegrad) ist das Verhältnis ηrealηC\frac{\eta_{\text{real}}}{\eta_C}. Er sagt, welchen Anteil des prinzipiell Möglichen die Maschine erreicht.

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    c) Theoretische Grenze und Ausnutzungsgrad des Motors

    Erst die Carnot-Grenze aus den Temperaturen, dann das Verhältnis zum tatsächlichen Wirkungsgrad.

    ηC=1−500 K1800 K=1−0,278=0,722\eta_C = 1 - \frac{500\,\text{K}}{1800\,\text{K}} = 1 - 0{,}278 = 0{,}722; ηrealηC=0,380,722≈0,53\frac{\eta_{\text{real}}}{\eta_C} = \frac{0{,}38}{0{,}722} \approx 0{,}53

    Zwischenergebnis

    ηC=72,2 %\eta_C = 72{,}2\,\%; Ausnutzungsgrad 53 %53\,\%

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    a) und b) Die statistische Deutung und die Zeitrichtung

    a) Die Entropie misst die Zahl der Möglichkeiten, wie sich die Teilchen anordnen können, ohne dass sich der beobachtbare Zustand ändert, ein geordneter Zustand lässt sich nur auf sehr wenige Weisen verwirklichen, ein ungeordneter auf unvorstellbar viele. b) Alle anderen Grundgesetze sind zeitsymmetrisch; Newton, Maxwell und Schrödinger funktionieren vorwärts wie rückwärts.

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    d) Ergebnis deuten: warum die Wärmepumpe keinen Hauptsatz verletzt

    Weil sie Wärme nicht erzeugt, sondern von außen herbeischafft. Sie entzieht der Umgebung die Wärme Q2Q_2, steckt die elektrische Arbeit WW hinein und gibt im Haus Q1=Q2+WQ_1 = Q_2 + W ab. Der erste Hauptsatz ist erfüllt, denn nichts entsteht aus dem Nichts; der zweite ebenfalls, denn die Wärme fließt hier nicht von selbst von kalt nach warm.

Zusammenfassung

Der erste Hauptsatz erweitert die Energieerhaltung um die und besagt, dass sich die innere eines Systems nur durch zugeführte Wärme und ändert; daraus folgt die Unmöglichkeit eines Perpetuum mobile erster Art. Er legt aber nicht fest, in welche Richtung ein Vorgang abläuft, und genau das leistet der zweite Hauptsatz, nach dem Wärme von selbst nie von kalt nach warm fließt und sich nie vollständig in Arbeit umwandeln lässt. Statistisch gedeutet nimmt die Entropie als Maß für die Zahl der möglichen Anordnungen in einem abgeschlossenen System nicht ab, wobei nichts absolut verboten, sondern nur unvorstellbar unwahrscheinlich gemacht wird. Daraus folgt, dass jede Wärmekraftmaschine Abwärme abgeben muss und ihr durch den nur von den abhängigen Carnot-Wert begrenzt ist, was keine technische Unzulänglichkeit darstellt. Weil alle anderen Grundgesetze zeitsymmetrisch sind, zeichnet allein der zweite Hauptsatz eine Richtung der Zeit aus, während lokale Ordnung in offenen Systemen weiterhin möglich bleibt.