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Mechanik

Mechanische Arbeit und Leistung

Wann in der Physik Arbeit verrichtet wird, warum Halten keine ist, und was Leistung mit der Zeit zu tun hat.

Benötigte Grundlagen

Dieses Vorwissen brauchst du für das Kapitel. Schau kurz nach, wenn dir etwas davon nicht mehr präsent ist, sonst leg direkt los.

Einführung

Ein Kellner trägt ein volles Tablett zwanzig Meter durch den Saal. Anstrengend, kein Zweifel. Physikalisch hat er dabei am Tablett keine Arbeit verrichtet.

Das klingt wie Wortklauberei, ist aber der Kern der Sache: Die Physik hat sich das Wort „Arbeit" ausgeliehen und ihm eine sehr enge, sehr nützliche Bedeutung gegeben. Diese Bedeutung ist nicht willkürlich, sondern der Schlüssel zu einem der wichtigsten Begriffe überhaupt, der .

Das kannst du nach diesem Kapitel

  • die mechanische Arbeit als W=F⋅sW = F \cdot s berechnen und die Einheit Joule deuten.

  • begründen, warum Halten und waagerechtes Tragen keine Arbeit im physikalischen Sinn sind.

  • Hubarbeit, Reibungsarbeit und Spannarbeit unterscheiden.

  • die Leistung als P=WtP = \dfrac{W}{t} berechnen und die Einheit Watt deuten.

  • Arbeit und Leistung im Alltag abschätzen und einordnen.

  • erklären, warum eine kraftumformende Einrichtung spart, aber keine Arbeit.

Wann Arbeit verrichtet wird

Die Goldene Regel der Mechanik lieferte das Produkt F⋅sF \cdot s als die Größe, die keine Maschine verringert. Genau dieses Produkt bekommt jetzt seinen Namen:

W=F⋅s\boxed{W = F \cdot s}

Dabei ist FF die in Wegrichtung und ss der zurückgelegte Weg.

Die Einheit heißt Joule:

1 J=1 N⋅1 m=1 Nm1\,\text{J} = 1\,\text{N} \cdot 1\,\text{m} = 1\,\text{Nm}

Ein Joule ist ungefähr die Arbeit, die man verrichtet, wenn man eine Tafel Schokolade einen Meter hoch hebt. Größere Einheiten: 1 kJ=1000 J1\,\text{kJ} = 1000\,\text{J}, 1 MJ=1000000 J1\,\text{MJ} = 1000000\,\text{J}.

Die beiden Bedingungen

Aus der Formel folgen zwei Bedingungen, und beide müssen erfüllt sein:

  1. Es muss eine wirken.
  2. Der Körper muss sich in Richtung dieser Kraft bewegen.

Fehlt eines von beiden, ist W=0W = 0. Das erklärt die drei Fälle, die im Alltag so verwirrend sind:

SituationKraft?Weg in Kraftrichtung?Arbeit
Koffer hochhebenja, nach obenja, nach obenja
Koffer nur haltenja, nach obennein (s=0s = 0)nein
Koffer waagerecht tragenja, nach obenWeg quer dazunein
Schlitten ziehenja, nach vornja, nach vornja

Warum ist Halten keine Arbeit, obwohl es anstrengt? Weil die Anstrengung im Muskel stattfindet, nicht am Koffer. Muskeln arbeiten durch ständiges An- und Entspannen einzelner Fasern und verbrauchen dabei , auch wenn sich nichts bewegt. Am Koffer ändert sich in dieser Zeit nichts: Er ist danach genauso hoch wie vorher, genauso schnell, genauso warm. Und genau darum geht es der Physik: Arbeit ist die Größe, die den Zustand des Körpers ändert.

Ein Tisch hält denselben Koffer stundenlang und verbraucht dabei gar nichts. Das zeigt, dass die Anstrengung eine Eigenschaft unserer Muskeln ist und nicht der Situation.

Zwei Bedingungen: eine Kraft und ein Weg in ihre RichtungArbeit wird verrichtetFs in KraftrichtungW = F · skeine ArbeitFs quer zur KraftW = 0Anstrengend ist beides. Arbeit im Sinn der Physik nur links.

Links wirkt die längs des Weges, rechts quer dazu. Nur links wird Arbeit im Sinn der Physik verrichtet. Anstrengend sind beide Fälle, aber Anstrengung ist keine .

Drei wichtige Arbeitsarten

Hubarbeit. Ein Körper wird gegen die gehoben. Die nötige ist F=m⋅gF = m \cdot g, der Weg ist die Höhe hh:

WHub=m⋅g⋅hW_{\text{Hub}} = m \cdot g \cdot h

Reibungsarbeit. Ein Körper wird gegen die verschoben:

WReib=FR⋅sW_{\text{Reib}} = F_R \cdot s

Diese Arbeit steckt hinterher nicht im Körper, sondern ist vollständig in übergegangen. Deshalb werden Bremsscheiben heiß.

Spannarbeit. Eine Feder wird gespannt. Hier ist die Kraft nicht konstant, sondern wächst nach F=D⋅sF = D \cdot s von null bis zum Endwert. Man rechnet deshalb mit der mittleren Kraft 12D⋅s\frac{1}{2} D \cdot s:

WSpann=12⋅D⋅s2W_{\text{Spann}} = \frac{1}{2} \cdot D \cdot s^2

🔴 Der Faktor 12\frac{1}{2} ist kein Trick, sondern folgt daraus, dass die Kraft am Anfang null ist. Im FF-ss-Diagramm ist die Arbeit die Fläche unter dem Graphen, und unter einer Ursprungsgeraden liegt ein Dreieck, nicht ein Rechteck.

Dieselbe Rechnung, drei AnlässeHubarbeitgegen F(G)W = m · g · hBeschleunigungs-arbeitmacht schnellerW = ½ · m · v²Reibungsarbeitgegen F(R)W = F(R) · sImmer W = F · s, nur die Kraft heißt jedes Mal anders.

Drei Namen, eine Rechnung. In allen drei Fällen gilt W = F · s; verschieden ist nur, gegen was oder wofür die aufgebracht wird. Wenn du das siehst, musst du dir keine drei Formeln merken.

Leistung: Arbeit pro Zeit

Zwei Personen tragen dieselben zehn Kisten in den ersten Stock. Die eine braucht zehn Minuten, die andere zwanzig. Die Arbeit ist in beiden Fällen gleich, denn und Weg sind gleich. Verschieden ist, wie schnell sie verrichtet wurde.

Dafür gibt es die Leistung:

P=Wt\boxed{P = \frac{W}{t}}

Einheit Watt:

1 W=1 Js1\,\text{W} = 1\,\frac{\text{J}}{\text{s}}

Größenordnungen zum Einordnen:

Leistung
LED-Lampe8 W8\,\text{W}
Mensch, dauerhaftetwa 100 W100\,\text{W}
Mensch, kurzzeitig maximaletwa 1000 W1000\,\text{W}
Wasserkocher2000 W2000\,\text{W}
Kleinwagenetwa 60 kW60\,\text{kW}
Windradetwa 3 MW3\,\text{MW}

Die alte Einheit Pferdestärke ist gesetzlich nicht mehr zulässig, steht aber noch in vielen Texten: 1 PS=735,5 W1\,\text{PS} = 735{,}5\,\text{W}.

Gleiche Arbeit, verschiedene ZeitBeide heben dieselbe Last: W = 600 J.langsam10 s60 Wschnell5 s120 WP = W / t1 W = 1 J/s

Beide heben dieselbe Last, verrichten also dieselbe Arbeit. Verschieden ist nur die Zeit und damit die Leistung. Halbe Zeit bedeutet doppelte Leistung, nicht doppelte Arbeit.

Warum eine Maschine Kraft spart, aber keine Arbeit

Jetzt lässt sich die Goldene Regel exakt formulieren. Bei einer losen Rolle ist die halbiert und der Weg verdoppelt:

W=F2⋅2s=F⋅sW = \frac{F}{2} \cdot 2s = F \cdot s

Die Arbeit bleibt gleich. Dasselbe gilt für Hebel, Flaschenzug und Hydraulik. Eine kraftumformende Einrichtung verteilt die Arbeit anders auf Kraft und Weg, aber sie verringert sie nicht.

Das ist keine Beobachtung mehr, sondern folgt zwingend aus der Definition W=F⋅sW = F \cdot s. Genau deshalb kann es kein Perpetuum mobile geben.

Ein Hinweis auf das nächste Kapitel

Wer Arbeit an einem Körper verrichtet, ändert dessen Zustand: Er ist danach höher, schneller oder gespannt. Diese Fähigkeit, ihrerseits wieder Arbeit zu verrichten, heißt . Arbeit ist also der Vorgang der Übertragung, Energie der Vorrat. Beide werden in Joule gemessen, und das ist kein Zufall.

Arbeit auf drei Wegen

Eine Kiste (m=40 kgm = 40\,\text{kg}) soll 2 m2\,\text{m} hoch auf eine Laderampe gebracht werden (g=10 Nkgg = 10\,\frac{\text{N}}{\text{kg}}).

a) Wie groß ist die Hubarbeit beim senkrechten Heben?

b) Über eine 5 m5\,\text{m} lange, reibungsfreie Rampe: welche und welche Arbeit?

c) Mit (FR=40 NF_R = 40\,\text{N}) über dieselbe Rampe: welche Arbeit?

  1. 1

    a) Hubarbeit direkt berechnen. Die nötige Kraft ist die :

    FG=m⋅g=40 kg⋅10 Nkg=400 NF_G = m \cdot g = 40\,\text{kg} \cdot 10\,\frac{\text{N}}{\text{kg}} = 400\,\text{N} W=FG⋅h=400 N⋅2 m=800 JW = F_G \cdot h = 400\,\text{N} \cdot 2\,\text{m} = 800\,\text{J}
  2. 2

    b) Über die Goldene Regel. Die Hubarbeit ist dieselbe, denn die Kiste landet auf derselben Höhe. Nur verteilt sie sich anders auf Kraft und Weg:

    W=800 J(unvera¨ndert)W = 800\,\text{J} \quad \text{(unverändert)} F=Ws=800 J5 m=160 NF = \frac{W}{s} = \frac{800\,\text{J}}{5\,\text{m}} = 160\,\text{N}

    Statt 400 N400\,\text{N} genügen 160 N160\,\text{N}, dafür ist der Weg 5 m5\,\text{m} statt 2 m2\,\text{m}. Die geneigte Ebene ist also ebenfalls eine kraftumformende Einrichtung.

  3. 3

    c) Mit Reibung kommt eine zweite Arbeit dazu. Sie muss über die ganzen 5 m5\,\text{m} überwunden werden:

    WReib=FR⋅s=40 N⋅5 m=200 JW_{\text{Reib}} = F_R \cdot s = 40\,\text{N} \cdot 5\,\text{m} = 200\,\text{J} Wges=800 J+200 J=1000 JW_{\text{ges}} = 800\,\text{J} + 200\,\text{J} = 1000\,\text{J}
  4. 4

    Wo die Zusatzarbeit bleibt. Die 800 J800\,\text{J} stecken danach in der Kiste (sie ist höher). Die 200 J200\,\text{J} Reibungsarbeit sind vollständig in Wärme übergegangen und lassen sich nicht zurückholen.

    Genau dieses Verhältnis beschreibt der : 800 J1000 J=80 %\frac{800\,\text{J}}{1000\,\text{J}} = 80\,\%.

a) 800 J800\,\text{J} b) 800 J800\,\text{J} bei nur 160 N160\,\text{N} Kraft c) 1000 J1000\,\text{J}, davon 200 J200\,\text{J} als verloren. Die Rampe spart Kraft, kostet aber wegen der Reibung mehr Gesamtarbeit.

Leistung im Treppenlauf

Ein Schüler (m=55 kgm = 55\,\text{kg}) läuft eine 12 m12\,\text{m} hohe Treppe in 20 s20\,\text{s} hinauf (g=10 Nkgg = 10\,\frac{\text{N}}{\text{kg}}).

a) Welche Hubarbeit verrichtet er?

b) Welche mittlere Leistung erbringt er?

c) Ein zweiter Schüler derselben schafft es in 12 s12\,\text{s}. Vergleiche Arbeit und Leistung.

d) Ordne die Werte ein: Ist das viel?

  1. 1

    a) W=m⋅g⋅h=55 kg⋅10 Nkg⋅12 m=6600 J=6,6 kJW = m \cdot g \cdot h = 55\,\text{kg} \cdot 10\,\frac{\text{N}}{\text{kg}} \cdot 12\,\text{m} = 6600\,\text{J} = 6{,}6\,\text{kJ}

  2. 2

    b) P=Wt=6600 J20 s=330 WP = \frac{W}{t} = \frac{6600\,\text{J}}{20\,\text{s}} = 330\,\text{W}

  3. 3

    c) Die Arbeit ist identisch, 6600 J6600\,\text{J}: dieselbe Masse, dieselbe Höhe. Die Zeit steht in der Arbeitsformel nicht.

    Die Leistung dagegen unterscheidet sich:

    P=6600 J12 s=550 WP = \frac{6600\,\text{J}}{12\,\text{s}} = 550\,\text{W}

    Der zweite Schüler leistet also rund 67 %67\,\% mehr, obwohl er genau dieselbe Arbeit verrichtet.

  4. 4

    d) Einordnung. Dauerhaft leistet ein Mensch etwa 100 W100\,\text{W}. Beide Werte liegen deutlich darüber, sind also nur kurzzeitig möglich. Deshalb ist man nach einem schnellen Treppenlauf außer Atem, nach einem langsamen nicht.

    Vergleich zur Alltagstechnik: 550 W550\,\text{W} entsprechen einem starken Mixer. Ein Kleinwagen mit 60 kW60\,\text{kW} leistet mehr als hundertmal so viel.

a) 6,6 kJ6{,}6\,\text{kJ} b) 330 W330\,\text{W} c) gleiche Arbeit, aber 550 W550\,\text{W} statt 330 W330\,\text{W} d) beides weit über der Dauerleistung eines Menschen von rund 100 W100\,\text{W}.

Typischer Fehler

„Ich habe die schwere Tasche zehn Minuten lang gehalten, das war viel Arbeit."

Anstrengend ja, physikalische Arbeit nein. In W=F⋅sW = F \cdot s steht der Weg, und beim Halten ist s=0s = 0. Also ist W=0 JW = 0\,\text{J}, egal wie lange und wie schwer.

Warum es sich trotzdem anstrengend anfühlt: Ein Muskel hält eine Last nicht wie eine starre Stütze. Er besteht aus Fasern, die sich ständig an- und entspannen, und jeder dieser Vorgänge verbraucht . Diese Energie wird im Muskel in umgesetzt, nicht auf die Tasche übertragen.

Der entscheidende Test: Was hat sich an der Tasche geändert? Sie ist danach gleich hoch, gleich schnell und gleich warm. Und genau das misst die physikalische Arbeit: die Änderung am Körper, nicht die Mühe der Person.

Der Beweis liegt daneben: Ein Tisch hält dieselbe Tasche tagelang und verbraucht dabei nichts. Wäre Halten Arbeit, müsste man den Tisch aufladen.

Dasselbe beim waagerechten Tragen: Hier gibt es zwar einen Weg, aber er verläuft quer zur Haltekraft. In W=F⋅sW = F \cdot s zählt nur die in Wegrichtung, und die ist null.

Übung 1

leicht

Bei welchen Vorgängen wird physikalische Arbeit verrichtet? Begründe jeweils kurz.

a) Ein Koffer wird eine Treppe hochgetragen.

b) Ein Koffer wird auf einem Rollwagen waagerecht gezogen.

c) Ein Gewichtheber hält die Hantel über dem Kopf.

d) Eine Kerze brennt.

e) Ein Bogen wird gespannt.

Tipp anzeigen

Prüfe beide Bedingungen: vorhanden? Weg in Kraftrichtung?

Lösung anzeigen

a) Ja. Es wirkt die Hubkraft nach oben, und der Koffer bewegt sich nach oben. Es ist Hubarbeit, W=m⋅g⋅hW = m \cdot g \cdot h mit der Treppenhöhe.

b) Ja. Die Zugkraft wirkt nach vorn, der Wagen bewegt sich nach vorn. Es wird Reibungsarbeit gegen die verrichtet. (Hubarbeit dagegen nicht, weil die Höhe gleich bleibt.)

c) Nein. s=0s = 0, also W=0 JW = 0\,\text{J}. Anstrengend ist es trotzdem, aber die wird im Muskel umgesetzt, nicht an der Hantel.

d) Nein, jedenfalls keine mechanische Arbeit. Es wird chemische Energie in Licht und umgewandelt, aber kein Körper längs eines Weges bewegt.

e) Ja. Es wird Spannarbeit verrichtet, W=12Ds2W = \frac{1}{2} D s^2. Die Sehne wird gegen die wachsende Federkraft ein Stück zurückgezogen.

Detaillierte Schritterklärung anzeigen

Hier wird jeder Schritt einzeln erklärt, vor allem, warum er gemacht wird.

Erklärungstiefe

✦ Empfohlen: Standard – Die normale Erklärungstiefe passt zum Einstieg.

  1. 1

    Die zwei Bedingungen als Prüfliste

    Physikalische Arbeit wird nur verrichtet, wenn beides zutrifft: Es wirkt eine Kraft, und der Körper bewegt sich ein Stück in Richtung dieser Kraft. Fehlt eine der beiden Bedingungen, ist W=0 JW = 0\,\text{J}.

  2. 2

    a), b) und e): dreimal Ja, dreimal anders

    a) Hubkraft nach oben, Bewegung nach oben: Hubarbeit, W=m⋅g⋅hW = m \cdot g \cdot h. b) Zugkraft nach vorn, Bewegung nach vorn: Reibungsarbeit gegen die Rollreibung. e) Die Sehne wird gegen die wachsende Federkraft zurückgezogen: Spannarbeit.

  3. 3

    c) und d): zweimal Nein, aus verschiedenen Gründen

    c) Der Gewichtheber hält die Hantel: s=0s = 0, also W=0 JW = 0\,\text{J}, anstrengend ist es trotzdem. d) Die Kerze wandelt chemische Energie in Licht und Wärme um, bewegt aber keinen Körper längs eines Weges: keine mechanische Arbeit.

  4. 4

    Ergebnisse deuten: warum die Definition so eng ist

    Drei Vorgänge verrichten Arbeit (a, b, e), zwei nicht (c, d). Der Begriff ist eng gefasst, weil er genau eines messen soll: wie viel Energie von einem Körper auf einen anderen übertragen wurde.

Übung 2

mittel

Ein Aufzug hebt 88 Personen (je 75 kg75\,\text{kg}) und die Kabine (400 kg400\,\text{kg}) um 15 m15\,\text{m} in 12 s12\,\text{s}. (g=10 Nkgg = 10\,\frac{\text{N}}{\text{kg}})

a) Berechne die gesamte Hubarbeit.

b) Berechne die Leistung des Motors, wenn keine Verluste auftreten.

c) Der Motor hat tatsächlich 15 kW15\,\text{kW}. Wie erklärt sich der Unterschied?

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a) Vergiss die Kabine nicht.

Lösung anzeigen

a) Gesamtmasse: 8⋅75 kg+400 kg=600 kg+400 kg=1000 kg8 \cdot 75\,\text{kg} + 400\,\text{kg} = 600\,\text{kg} + 400\,\text{kg} = 1000\,\text{kg}

W=m⋅g⋅h=1000 kg⋅10 Nkg⋅15 m=150000 J=150 kJW = m \cdot g \cdot h = 1000\,\text{kg} \cdot 10\,\frac{\text{N}}{\text{kg}} \cdot 15\,\text{m} = 150000\,\text{J} = 150\,\text{kJ}

b) P=Wt=150000 J12 s=12500 W=12,5 kWP = \frac{W}{t} = \frac{150000\,\text{J}}{12\,\text{s}} = 12500\,\text{W} = 12{,}5\,\text{kW}

c) Die berechneten 12,5 kW12{,}5\,\text{kW} sind die Nutzleistung, also nur der Anteil, der wirklich zum Heben gebraucht wird. Der Motor muss zusätzlich aufbringen:

  • in Seilen, Führungen und Getriebe,
  • Verluste im Motor selbst ( in den Wicklungen),
  • eine Reserve für das Anfahren, bei dem die Kabine zusätzlich beschleunigt werden muss.

Der beträgt hier

η=12,5 kW15 kW≈0,83=83 %\eta = \frac{12{,}5\,\text{kW}}{15\,\text{kW}} \approx 0{,}83 = 83\,\%

Übrigens: Echte Aufzüge haben ein Gegengewicht, das etwa der Kabine plus halber Nutzlast entspricht. Dadurch sinkt die tatsächlich nötige Leistung erheblich, weil das Gegengewicht beim Aufwärtsfahren mithilft.

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Hier wird jeder Schritt einzeln erklärt, vor allem, warum er gemacht wird.

Erklärungstiefe

✦ Empfohlen: Standard – Die normale Erklärungstiefe passt zum Einstieg.

  1. 1

    Gegeben und Gesucht, die Kabine nicht vergessen

    Gegeben: 88 Personen zu je 75 kg75\,\text{kg}, Kabine 400 kg400\,\text{kg}, Höhe 15 m15\,\text{m}, Zeit 12 s12\,\text{s}, g=10 Nkgg = 10\,\frac{\text{N}}{\text{kg}}. Gesucht: a) die Hubarbeit, b) die Leistung, c) der Vergleich mit 15 kW15\,\text{kW}.

  2. 2

    a) Hubarbeit als Kraft mal Höhe

    Um eine Masse anzuheben, muss man ihre überwinden. Über die Höhe hh ergibt das W=FG⋅h=m⋅g⋅hW = F_G \cdot h = m \cdot g \cdot h.

  3. 3

    a) Gesamtmasse und Hubarbeit

    Erst die Massen addieren, dann mit Ortsfaktor und Höhe multiplizieren. Die Einheiten ergeben kg⋅Nkg⋅m=N m=J\text{kg} \cdot \frac{\text{N}}{\text{kg}} \cdot \text{m} = \text{N}\,\text{m} = \text{J}.

    m=8⋅75 kg+400 kg=1000 kgm = 8 \cdot 75\,\text{kg} + 400\,\text{kg} = 1000\,\text{kg}; W=1000 kg⋅10 Nkg⋅15 m=150000 JW = 1000\,\text{kg} \cdot 10\,\frac{\text{N}}{\text{kg}} \cdot 15\,\text{m} = 150000\,\text{J}

    Zwischenergebnis

    W=150 kJW = 150\,\text{kJ}

  4. 4

    b) Leistung als Arbeit je Zeit

    Die Leistung sagt, wie schnell die Arbeit verrichtet wird: P=WtP = \frac{W}{t}. Die Einheit Js\frac{\text{J}}{\text{s}} heißt Watt.

    P=Wt=150000 J12 s=12500 WP = \frac{W}{t} = \frac{150000\,\text{J}}{12\,\text{s}} = 12500\,\text{W}

    Zwischenergebnis

    P=12,5 kWP = 12{,}5\,\text{kW}

  5. 5

    c) Ergebnis deuten: warum der Motor stärker sein muss

    Die berechneten 12,5 kW12{,}5\,\text{kW} sind die Nutzleistung, nur der Anteil, der wirklich zum Heben gebraucht wird. Der Motor muss zusätzlich Reibung in Seilen, Führungen und Getriebe überwinden, eigene Wärmeverluste decken und eine Reserve fürs Anfahren bereitstellen.

Übung 3

schwer

Eine Feder mit D=200 NmD = 200\,\frac{\text{N}}{\text{m}} wird um 30 cm30\,\text{cm} gespannt.

a) Wie groß ist die am Ende des Spannvorgangs?

b) Berechne die Spannarbeit.

c) Warum ist das Ergebnis nicht Fmax⋅sF_{\text{max}} \cdot s? Erkläre mit dem FF-ss-Diagramm.

d) Die Feder schleudert eine Kugel senkrecht nach oben. Wie hoch fliegt eine Kugel mit m=50 gm = 50\,\text{g}, wenn keine Verluste auftreten? (g=10 Nkgg = 10\,\frac{\text{N}}{\text{kg}})

Tipp anzeigen

d) Die Spannarbeit wird vollständig zur Hubarbeit.

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a) s=30 cm=0,3 ms = 30\,\text{cm} = 0{,}3\,\text{m}

F=D⋅s=200 Nm⋅0,3 m=60 NF = D \cdot s = 200\,\frac{\text{N}}{\text{m}} \cdot 0{,}3\,\text{m} = 60\,\text{N}

b) W=12⋅D⋅s2=12⋅200 Nm⋅(0,3 m)2=12⋅200⋅0,09 J=9 JW = \frac{1}{2} \cdot D \cdot s^2 = \frac{1}{2} \cdot 200\,\frac{\text{N}}{\text{m}} \cdot (0{,}3\,\text{m})^2 = \frac{1}{2} \cdot 200 \cdot 0{,}09\,\text{J} = 9\,\text{J}

c) Fmax⋅s=60 N⋅0,3 m=18 JF_{\text{max}} \cdot s = 60\,\text{N} \cdot 0{,}3\,\text{m} = 18\,\text{J} wäre doppelt so viel. Der Fehler liegt darin, dass die Kraft während des Spannens nicht konstant ist: Sie beginnt bei 0 N0\,\text{N} und wächst gleichmäßig bis 60 N60\,\text{N}.

Im FF-ss-Diagramm ist die Arbeit die Fläche unter dem Graphen. Bei konstanter Kraft wäre das ein Rechteck; bei der Feder ist es wegen der Ursprungsgeraden ein Dreieck, und ein Dreieck hat die halbe Fläche des umschließenden Rechtecks. Daher der Faktor 12\frac{1}{2}.

Gleichwertig gerechnet mit der mittleren Kraft: F‾=0+602 N=30 N\overline{F} = \frac{0 + 60}{2}\,\text{N} = 30\,\text{N}, also W=30 N⋅0,3 m=9 JW = 30\,\text{N} \cdot 0{,}3\,\text{m} = 9\,\text{J}.

d) Die Spannarbeit wird vollständig in Hubarbeit umgesetzt:

WSpann=m⋅g⋅hW_{\text{Spann}} = m \cdot g \cdot h 9 J=0,05 kg⋅10 Nkg⋅h=0,5 N1⋅h9\,\text{J} = 0{,}05\,\text{kg} \cdot 10\,\frac{\text{N}}{\text{kg}} \cdot h = 0{,}5\,\frac{\text{N}}{1} \cdot h h=9 J0,5 N=18 mh = \frac{9\,\text{J}}{0{,}5\,\text{N}} = 18\,\text{m}

Vorbehalt: In Wirklichkeit fliegt die Kugel deutlich niedriger, weil Luftwiderstand und entziehen und die Feder selbst mitbeschleunigt wird. Der berechnete Wert ist eine obere Grenze.

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Erklärungstiefe

✦ Empfohlen: Standard – Die normale Erklärungstiefe passt zum Einstieg.

  1. 1

    Gegeben und Gesucht beim Spannvorgang

    Gegeben: D=200 NmD = 200\,\frac{\text{N}}{\text{m}}, Spannweg 30 cm30\,\text{cm}, in d) zusätzlich m=50 gm = 50\,\text{g} und g=10 Nkgg = 10\,\frac{\text{N}}{\text{kg}}. Gesucht: Endkraft, Spannarbeit, eine Begründung und die Steighöhe.

  2. 2

    Spannweg in Meter, Kugelmasse in Kilogramm

    30 cm=0,3 m30\,\text{cm} = 0{,}3\,\text{m} passt zur Federkonstanten in Nm\frac{\text{N}}{\text{m}}. Und 50 g=0,05 kg50\,\text{g} = 0{,}05\,\text{kg} passt zum Ortsfaktor in Nkg\frac{\text{N}}{\text{kg}}.

    30 cm=0,3 m30\,\text{cm} = 0{,}3\,\text{m}; 50 g=0,05 kg50\,\text{g} = 0{,}05\,\text{kg}

    Zwischenergebnis

    s=0,3 ms = 0{,}3\,\text{m}, m=0,05 kgm = 0{,}05\,\text{kg}

  3. 3

    a) und b) Zwei verschiedene Formeln für Kraft und Arbeit

    Für die Kraft am Ende gilt das hookesche Gesetz F=D⋅sF = D \cdot s. Für die Spannarbeit gilt dagegen W=12⋅D⋅s2W = \frac{1}{2} \cdot D \cdot s^2, mit dem Faktor 12\frac{1}{2}, weil die Kraft während des Spannens nicht konstant ist.

  4. 4

    a) und b) Endkraft und Spannarbeit

    Erst die Kraft am Ende des Spannwegs, dann die Arbeit mit dem Faktor 12\frac{1}{2} und dem Quadrat des Wegs.

    F=200 Nm⋅0,3 m=60 NF = 200\,\frac{\text{N}}{\text{m}} \cdot 0{,}3\,\text{m} = 60\,\text{N}; W=12⋅200 Nm⋅(0,3 m)2=9 JW = \frac{1}{2} \cdot 200\,\frac{\text{N}}{\text{m}} \cdot (0{,}3\,\text{m})^2 = 9\,\text{J}

    Zwischenergebnis

    F=60 NF = 60\,\text{N}, W=9 JW = 9\,\text{J}

  5. 5

    c) Warum nicht Maximalkraft mal Weg: die Fläche im Diagramm

    60 N⋅0,3 m=18 J60\,\text{N} \cdot 0{,}3\,\text{m} = 18\,\text{J} wäre doppelt so viel. Der Fehler liegt darin, dass die Kraft beim Spannen bei 0 N0\,\text{N} beginnt und gleichmäßig bis 60 N60\,\text{N} wächst. Man darf also nicht mit dem Endwert rechnen.

  6. 6

    d) Ergebnis deuten: Steighöhe als obere Grenze

    Die Spannarbeit wird vollständig zur Hubarbeit: 9 J=m⋅g⋅h9\,\text{J} = m \cdot g \cdot h. Mit m⋅g=0,5 Nm \cdot g = 0{,}5\,\text{N} folgt h=9 J0,5 N=18 mh = \frac{9\,\text{J}}{0{,}5\,\text{N}} = 18\,\text{m}.

Zusammenfassung

Mechanische Arbeit wird nur dann verrichtet, wenn eine wirkt und sich der Körper in Richtung dieser Kraft bewegt: W=F⋅sW = F \cdot s, gemessen in Joule. Deshalb ist Halten physikalisch keine Arbeit, so anstrengend es auch ist, denn am gehaltenen Körper ändert sich nichts. Je nach Ursache spricht man von Hub-, Reibungs- oder Spannarbeit, wobei bei der Feder der Faktor 12\frac{1}{2} daher rührt, dass die Kraft bei null beginnt. Die Leistung P=WtP = \frac{W}{t} sagt, wie schnell die Arbeit verrichtet wird; zwei Menschen können dieselbe Arbeit leisten und dabei sehr verschiedene Leistungen erbringen. Weil bei jeder kraftumformenden Einrichtung Kraft und Weg gegenläufig verändert werden, bleibt ihr Produkt gleich, und genau deshalb spart keine Maschine Arbeit.