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Schwingungen und Wellen

Der elektromagnetische Schwingkreis

Wie Energie zwischen Kondensator und Spule hin und her pendelt und warum das genau dem Federschwinger entspricht.

Benötigte Grundlagen

Dieses Vorwissen brauchst du für das Kapitel. Schau kurz nach, wenn dir etwas davon nicht mehr präsent ist, sonst leg direkt los.

Einführung

Verbindet man einen geladenen mit einer , sollte man erwarten, dass er sich entlädt und danach Ruhe ist.

Stattdessen lädt er sich umgekehrt wieder auf, entlädt sich erneut, lädt sich wieder in der ursprünglichen Richtung auf und so fort. Es entsteht eine , ganz ohne bewegte Teile.

Das Bemerkenswerte daran: Diese Schwingung gehorcht genau denselben Gleichungen wie ein Gewicht an einer Feder. Die Spule spielt die Rolle der , der Kondensator die der Feder. Wer den einen Fall verstanden hat, versteht den anderen mit.

Das kannst du nach diesem Kapitel

  • den Schwingkreis und seinen Ablauf beschreiben.

  • den Energieaustausch zwischen den beiden Feldern erklären.

  • die Thomsonsche Gleichung anwenden.

  • die Analogie zum Federschwinger nutzen.

  • gedämpfte und ungedämpfte Schwingkreise unterscheiden.

  • Anwendungen wie Senderabstimmung erklären.

Der Aufbau

Ein Schwingkreis besteht aus einem (CC) und einer (LL), die zu einem geschlossenen Kreis verbunden sind. Mehr braucht es nicht.

Der Ablauf einer Periode

Der sei zu Beginn geladen.

PhaseKondensatorStrom
1 Startvoll geladennullkein Feldganz im E-Feld
2entlädt sichwächstFeld baut sich aufwandert
3leermaximalFeld maximalganz im B-Feld
4lädt sich umgekehrtsinktFeld baut sich abwandert zurück
5umgekehrt vollnullkein Feldganz im E-Feld

Danach läuft alles rückwärts, und nach einer vollen Periode ist der Ausgangszustand wieder erreicht.

🔴 Der entscheidende Punkt ist Phase 3 bis 4. Warum lädt sich der Kondensator überhaupt umgekehrt auf, statt einfach leer zu bleiben?

Weil die Spule den Strom nicht abrupt enden lässt. Nach der Lenzschen Regel wirkt sie jeder Stromänderung entgegen und treibt den Strom weiter, auch wenn der Kondensator schon leer ist. Dadurch fließt weiter auf die andere Platte, und der Kondensator lädt sich umgekehrt auf.

Die Spule ist also die Trägheit des Systems, genau wie eine , die über die Ruhelage hinausschießt.

Die Energie pendelt zwischen Kondensator und Spulet = 0C geladenkein Stromt = T/4C leerStrom maximalt = T/2C umgekehrt geladenkein Stromt = 3T/4C leerStrom zurückim elektrischen Feld (C)im magnetischen Feld (L)T = 2π · √(L · C)Nach T ist alles wieder wie am Anfang

Vergleiche die Höhe der vier Balken, nicht ihre Farbe: Sie ist überall gleich. Die pendelt zwischen dem des Kondensators und dem der , die Summe bleibt erhalten.

Die Analogie zum Federschwinger

FederschwingerSchwingkreis
mmInduktivität LL
DDKehrwert der 1C\frac{1}{C}
Auslenkung yy QQ
vv II
Spannenergie 12Dy2\frac{1}{2}Dy^2Feldenergie 12Q2C\frac{1}{2}\frac{Q^2}{C}
Bewegungsenergie 12mv2\frac{1}{2}mv^2Feldenergie 12LI2\frac{1}{2}LI^2
T=2πmDT = 2\pi\sqrt{\frac{m}{D}}T=2πLCT = 2\pi\sqrt{LC}

🔴 Die Entsprechung ist nicht bloß eine Merkhilfe. Die zugrunde liegenden Gleichungen sind mathematisch identisch. Deshalb gilt jede Aussage über den einen Oszillator unverändert für den anderen: die Sinusform, die Amplitudenunabhängigkeit der , das Verhalten bei Dämpfung, die .

Zweimal dieselbe SchwingungSchwingkreisFederschwingerAuslenkungLadung QOrt sGeschwindigkeitStromstärke IGeschwindigkeit vSpeicher 1Kondensator CFeder DSpeicher 2Spule LMasse mSchwingungsdauerT = 2π·√(L·C)T = 2π·√(m/D)Wer die eine kennt, muss die andere nicht neu lernen

Zeile für Zeile dieselbe : entspricht dem Ort, der , der , Induktivität der Masse. Auch die beiden Formeln haben denselben Bau, in beiden steht die Wurzel aus dem Produkt der zwei Speichergrößen. Wer die eine kennt, muss die andere nicht neu lernen.

Die Thomsonsche Gleichung

T=2πL⋅Cbzw.f=12πLC\boxed{T = 2\pi\sqrt{L \cdot C}} \qquad \text{bzw.} \qquad f = \frac{1}{2\pi\sqrt{LC}}

Was darin steht:

  • Größere Induktivität bedeutet mehr Trägheit, also langsamere .
  • Größere bedeutet mehr bei gleicher , also langsamere Schwingung. (Entspricht einer weicheren Feder.)

Einheitenprobe:

H⋅F=VsA⋅AsV=s2=s ✓\sqrt{\text{H} \cdot \text{F}} = \sqrt{\frac{\text{Vs}}{\text{A}} \cdot \frac{\text{As}}{\text{V}}} = \sqrt{\text{s}^2} = \text{s} \ \checkmark

Dämpfung

Jeder reale Schwingkreis enthält einen (Drahtwiderstand, Zuleitungen). Dort wird bei jedem Durchgang in umgesetzt, und die nimmt exponentiell ab.

Der Widerstand spielt also die Rolle der . Wie beim mechanischen Schwinger bleibt die dabei nahezu unverändert.

Ist der Widerstand zu groß, kommt gar keine zustande; die fließt einfach ab (Kriechfall).

Ungedämpfte Schwingungen erhält man durch eine Rückkopplung: Eine Schaltung führt bei jeder Periode genau die verlorene Energie nach. Genau das leistet ein Oszillator in jedem Sender.

Anwendungen

Senderabstimmung. Ein Radio enthält einen Schwingkreis mit veränderbarer . Stimmt seine Eigenfrequenz mit der eines Senders überein, entsteht , und nur dieses Signal wird verstärkt. Das Drehen am Senderknopf verändert also die Kapazität.

Schwingquarz. In Uhren und Rechnern erzeugt ein Quarzkristall sehr stabile . Er verhält sich wie ein Schwingkreis mit außergewöhnlich geringer Dämpfung, weshalb Quarzuhren so genau gehen.

Sender. Ein Schwingkreis mit angeschlossener Antenne strahlt elektromagnetische ab. Der Übergang vom geschlossenen zum offenen Schwingkreis führt direkt zum nächsten Kapitel.

Induktive Ladegeräte, RFID, Metalldetektoren nutzen ebenfalls abgestimmte Schwingkreise.

Größenordnungen

Anwendung
Netzfrequenz50 Hz50\,\text{Hz}
Mittelwellerund 1 MHz1\,\text{MHz}
UKWrund 100 MHz100\,\text{MHz}
WLAN2,42{,}4 und 5 GHz5\,\text{GHz}

Für hohe Frequenzen braucht man nach f=12πLCf = \frac{1}{2\pi\sqrt{LC}} sehr kleine LL und CC. Deshalb sind Bauteile in Hochfrequenzgeräten so winzig, und deshalb genügen dort bereits die von Leiterbahnen.

Frequenz eines Schwingkreises

Ein Schwingkreis enthält L=2,5 mHL = 2{,}5\,\text{mH} und C=100 nFC = 100\,\text{nF}.

a) Wie groß sind und ?

b) Welche wäre für f=1 MHzf = 1\,\text{MHz} nötig?

c) Wie ändert sich die Frequenz, wenn man die Kapazität vervierfacht?

d) In welchem Bauteil steckt die , wenn der Strom maximal ist?

  1. 1

    a) T=2πLC=2π2,5⋅10−3 H⋅100⋅10−9 FT = 2\pi\sqrt{LC} = 2\pi\sqrt{2{,}5 \cdot 10^{-3}\,\text{H} \cdot 100 \cdot 10^{-9}\,\text{F}}

    T=2π2,5⋅10−10 s=2π⋅1,58⋅10−5 s≈9,93⋅10−5 sT = 2\pi\sqrt{2{,}5 \cdot 10^{-10}}\,\text{s} = 2\pi \cdot 1{,}58 \cdot 10^{-5}\,\text{s} \approx 9{,}93 \cdot 10^{-5}\,\text{s} f=1T≈1,0⋅104 Hz=10 kHzf = \frac{1}{T} \approx 1{,}0 \cdot 10^{4}\,\text{Hz} = 10\,\text{kHz}
  2. 2

    b) Nach CC umstellen:

    f=12πLC⇒C=14π2f2Lf = \frac{1}{2\pi\sqrt{LC}} \quad \Rightarrow \quad C = \frac{1}{4\pi^2 f^2 L} C=14π2⋅(106 Hz)2⋅2,5⋅10−3 H=19,87⋅1010 FC = \frac{1}{4\pi^2 \cdot (10^{6}\,\text{Hz})^2 \cdot 2{,}5 \cdot 10^{-3}\,\text{H}} = \frac{1}{9{,}87 \cdot 10^{10}}\,\text{F} C≈1,01⋅10−11 F≈10 pFC \approx 1{,}01 \cdot 10^{-11}\,\text{F} \approx 10\,\text{pF}

    🔴 Nur zehn Pikofarad. Deshalb sind Bauteile in Hochfrequenzgeräten so winzig, und deshalb spielt bei solchen Frequenzen bereits die Kapazität der Leiterbahnen eine Rolle.

  3. 3

    c) Da f∼1Cf \sim \frac{1}{\sqrt{C}}, bedeutet vierfache Kapazität

    fneu=f4=f2f_{\text{neu}} = \frac{f}{\sqrt{4}} = \frac{f}{2}

    Die Frequenz halbiert sich also, sie viertelt sich nicht. Die Wurzel dämpft die Wirkung ab.

  4. 4

    d) Vollständig im Magnetfeld der Spule.

    Maximaler Strom bedeutet, dass der Kondensator gerade leer ist. Ohne gibt es kein zwischen seinen Platten und damit dort keine Energie:

    EC=12Q2C=0E_C = \frac{1}{2}\frac{Q^2}{C} = 0

    Die gesamte Energie steckt im Magnetfeld:

    EL=12LImax⁡2=EgesE_L = \frac{1}{2}L I_{\max}^2 = E_{\text{ges}}

    🔴 Der Vergleich mit dem Federschwinger: Das entspricht dem Durchgang durch die Ruhelage. Dort ist die Feder entspannt (keine Spannenergie), die aber maximal (gesamte Energie als Bewegungsenergie).

    Die Entsprechung I↔vI \leftrightarrow v und Q↔yQ \leftrightarrow y macht das unmittelbar einsichtig: Strom ist die Geschwindigkeit der Ladung.

    Umgekehrt ist beim vollen Kondensator der Strom null und die gesamte Energie im elektrischen Feld, entsprechend dem Umkehrpunkt des Federschwingers.

a) T≈99 µsT \approx 99\,\text{µs}, f≈10 kHzf \approx 10\,\text{kHz} b) rund 10 pF10\,\text{pF} c) sie halbiert sich d) vollständig im der .

Warum der Kondensator sich umgekehrt auflädt

Ein geladener wird mit einer verbunden. Man würde erwarten, dass er sich entlädt und danach alles zur Ruhe kommt. Stattdessen lädt er sich umgekehrt wieder auf.

Erkläre, warum, und begründe damit die Analogie zum Federschwinger.

  1. 1

    Phase 1: Der Kondensator entlädt sich.

    Die fließt über die Spule ab, der Strom steigt an. Dabei baut die Spule ein auf, in dem gespeichert wird:

    EL=12LI2E_L = \frac{1}{2}L I^2

    Der Strom steigt nicht sprunghaft, sondern allmählich, weil die Spule nach der Lenzschen Regel jeder Stromänderung entgegenwirkt.

  2. 2

    Phase 2: Der kritische Moment.

    Ist der Kondensator leer, ist seine null. Nun fließt der Strom aber maximal, und im Magnetfeld der Spule steckt die gesamte Energie des Systems.

    Diese Energie kann nicht verschwinden. Sie muss irgendwohin.

  3. 3

    Phase 3: Die Spule treibt den Strom weiter.

    Würde der Strom jetzt abrupt enden, wäre ΔIΔt\frac{\Delta I}{\Delta t} riesig, und die Spule erzeugte nach U=−LΔIΔtU = -L\frac{\Delta I}{\Delta t} eine sehr große Gegenspannung. Genau das verhindert sie: Nach der Lenzschen Regel wirkt sie jeder Änderung entgegen und hält den Strom aufrecht.

    Der Strom fließt also in derselben Richtung weiter, obwohl ihn niemand mehr treibt. Dabei baut sich das Magnetfeld ab und liefert die Energie dafür.

    Die Ladung fließt weiter auf die inzwischen leere Platte, und der Kondensator lädt sich umgekehrt auf, bis das Magnetfeld vollständig abgebaut ist.

  4. 4

    Phase 4: Der Vorgang läuft rückwärts.

    Jetzt ist der Kondensator umgekehrt geladen, der Strom null, die gesamte Energie wieder im . Der Ausgangszustand ist erreicht, nur mit umgekehrtem Vorzeichen.

    Also beginnt alles von vorn, in umgekehrter Richtung. Nach einer vollen Periode ist der ursprüngliche Zustand wiederhergestellt.

    🔴 Der Kern: Die Spule ist die Trägheit des Systems. Genau wie eine an einer Feder nicht in der Ruhelage stehenbleibt, sondern hinausschießt, lässt die Spule den Strom nicht enden, sondern treibt ihn über den Nullpunkt der Ladung hinaus.

  5. 5

    Die Analogie im Einzelnen.

    FederschwingerSchwingkreis
    Feder gespannt, Körper in RuheKondensator voll, kein Strom
    Körper wird Strom steigt an
    Ruhelage: vv maximal, Feder entspanntKondensator leer, II maximal
    Trägheit treibt darüber hinausSpule treibt den Strom weiter
    Feder wird umgekehrt gespanntKondensator lädt sich umgekehrt

    Was die Analogie besonders macht: Sie ist nicht nur bildhaft, sondern mathematisch exakt. Die Gleichung, die die Ladung im Schwingkreis beschreibt, ist formal identisch mit der für die Auslenkung am Federschwinger. Nur die Buchstaben heißen anders.

    Deshalb überträgt sich jede Aussage:

    • Der Verlauf ist sinusförmig.
    • Die hängt nicht von der ab.
    • Dämpfung verkleinert die Amplitude, kaum die Frequenz.
    • tritt bei Übereinstimmung mit der Erregerfrequenz auf.

    🔴 Diese Übertragbarkeit ist eine der stärksten Ideen der Physik. Ein einziges mathematisches Modell beschreibt Pendel, Schwingkreise, Schallwellen, Molekülschwingungen und Lichtwellen. Wer einen dieser Fälle wirklich verstanden hat, versteht die anderen mit.

Die Spule wirkt nach der Lenzschen Regel jeder Stromänderung entgegen und treibt den Strom über den leeren Kondensator hinaus, sodass er sich umgekehrt auflädt. Sie ist damit die Trägheit des Systems, genau wie die Masse beim Federschwinger.

Typischer Fehler

„Wenn der leer ist, ist die aufgebraucht und die endet."

Die Energie ist nicht weg, sondern vollständig in das der gewandert.

Die Bilanz zu jedem Zeitpunkt:

Eges=12Q2C⏟elektrisch+12LI2⏟magnetisch=konstantE_{\text{ges}} = \underbrace{\frac{1}{2}\frac{Q^2}{C}}_{\text{elektrisch}} + \underbrace{\frac{1}{2}L I^2}_{\text{magnetisch}} = \text{konstant}

Ist der Kondensator leer (Q=0Q = 0), ist der erste Summand null, dafür ist der Strom maximal und der zweite Summand trägt die gesamte Energie.

Der Denkfehler besteht darin, nur den Kondensator zu betrachten. Man übersieht, dass die Spule ebenfalls ein Energiespeicher ist, und zwar einer, der gerade dann voll ist, wenn der Kondensator leer ist.

Der Vergleich zum Federschwinger macht es sofort klar: Beim Durchgang durch die Ruhelage ist die Feder entspannt. Niemand würde daraus schließen, dass die Schwingung dort endet, denn der Körper ist offensichtlich in voller Fahrt.

Genau dasselbe gilt hier: Der leere Kondensator entspricht der entspannten Feder, der maximale Strom der maximalen .

Woher die Fehlvorstellung kommt: Aus der Erfahrung mit dem Entladen über einen Widerstand. Dort ist der Vorgang tatsächlich nach kurzer Zeit beendet, weil die Energie als verlorengeht. Ein Widerstand speichert nichts, eine Spule schon.

Die richtige Vorstellung: Der Schwingkreis besitzt zwei Energiespeicher, die abwechselnd voll sind. Die Energie pendelt zwischen ihnen hin und her und nimmt nur durch den unvermeidlichen langsam ab.

Merksatz: Kondensator leer bedeutet Spule voll, nicht Ende.

Übung 1

leicht

a) Ein Schwingkreis hat L=10 mHL = 10\,\text{mH} und C=1 µFC = 1\,\text{µF}. Wie groß sind TT und ff?

b) Welche Rolle spielt die in der Analogie zum Federschwinger?

c) Wo steckt die , wenn der voll geladen ist?

Tipp anzeigen

a) T=2πLCT = 2\pi\sqrt{LC}.

Lösung anzeigen

a) T=2π10−2 H⋅10−6 F=2π10−8 s=2π⋅10−4 s≈6,28⋅10−4 sT = 2\pi\sqrt{10^{-2}\,\text{H} \cdot 10^{-6}\,\text{F}} = 2\pi\sqrt{10^{-8}}\,\text{s} = 2\pi \cdot 10^{-4}\,\text{s} \approx 6{,}28 \cdot 10^{-4}\,\text{s}

f=1T≈1592 Hz≈1,6 kHzf = \frac{1}{T} \approx 1592\,\text{Hz} \approx 1{,}6\,\text{kHz}

b) Die Spule spielt die Rolle der , also der Trägheit. Sie wirkt nach der Lenzschen Regel jeder Stromänderung entgegen und lässt den Strom nicht abrupt enden, so wie eine Masse nicht abrupt zum Stehen kommt.

Genau deshalb schießt das System über den Nullpunkt hinaus und der Kondensator lädt sich umgekehrt auf.

c) Vollständig im des Kondensators. Der Strom ist dann null, im der Spule steckt also keine Energie.

Das entspricht dem Umkehrpunkt des Federschwingers: Feder maximal gespannt, null.

Detaillierte Schritterklärung anzeigen

Hier wird jeder Schritt einzeln erklärt, vor allem, warum er gemacht wird.

Erklärungstiefe

✦ Empfohlen: Standard – Die normale Erklärungstiefe passt zum Einstieg.

  1. 1

    Gegeben und Gesucht beim LC-Kreis

    Gegeben: L=10 mHL = 10\,\text{mH} und C=1 µFC = 1\,\text{µF}. Gesucht: a) und , b) die Rolle der Spule in der Analogie, c) der Ort der Energie bei vollem Kondensator.

  2. 2

    Die Thomsonsche Schwingungsformel

    Für den ungedämpften Schwingkreis gilt T=2πLCT = 2\pi\sqrt{LC} und damit f=12πLCf = \frac{1}{2\pi\sqrt{LC}}. Die Formel entspricht T=2πmDT = 2\pi\sqrt{\frac{m}{D}} des Federschwingers mit LL als Masse und 1C\frac{1}{C} als .

  3. 3

    a) Schwingungsdauer und Frequenz

    Produkt bilden, Wurzel ziehen, mit 2π2\pi multiplizieren; die Frequenz ist der Kehrwert.

    T=2π10−2 H⋅10−6 F=2π⋅10−4 s≈6,28⋅10−4 sT = 2\pi\sqrt{10^{-2}\,\text{H} \cdot 10^{-6}\,\text{F}} = 2\pi \cdot 10^{-4}\,\text{s} \approx 6{,}28 \cdot 10^{-4}\,\text{s}; f=1T≈1592 Hzf = \frac{1}{T} \approx 1592\,\text{Hz}

    Zwischenergebnis

    T≈0,63 msT \approx 0{,}63\,\text{ms}, f≈1,6 kHzf \approx 1{,}6\,\text{kHz}

  4. 4

    b) und c) Ergebnis deuten: Spule als Trägheit, Energie im E-Feld

    b) Die Spule spielt die Rolle der Masse, also der Trägheit: Sie wirkt nach Lenz jeder Stromänderung entgegen und lässt den Strom nicht abrupt enden. c) Bei vollem Kondensator steckt die Energie vollständig im elektrischen Feld; der Strom ist null, im Magnetfeld also keine Energie.

Übung 2

mittel

a) Ein Radio soll auf 99,5 MHz99{,}5\,\text{MHz} abgestimmt werden. Bei L=0,2 µHL = 0{,}2\,\text{µH}: Welche ist nötig?

b) Wie ändert sich die , wenn man die Induktivität neunfacht?

c) Welche Rolle spielt der im Schwingkreis?

d) Wie funktioniert die Senderabstimmung eines Radios?

Tipp anzeigen

a) Nach CC umstellen.

Lösung anzeigen

a) C=14π2f2L=14π2⋅(9,95⋅107)2⋅2⋅10−7 FC = \frac{1}{4\pi^2 f^2 L} = \frac{1}{4\pi^2 \cdot (9{,}95 \cdot 10^{7})^2 \cdot 2 \cdot 10^{-7}}\,\text{F}

C=14π2⋅9,90⋅1015⋅2⋅10−7 F=17,82⋅1010 F≈1,28⋅10−11 FC = \frac{1}{4\pi^2 \cdot 9{,}90 \cdot 10^{15} \cdot 2 \cdot 10^{-7}}\,\text{F} = \frac{1}{7{,}82 \cdot 10^{10}}\,\text{F} \approx 1{,}28 \cdot 10^{-11}\,\text{F}

Also rund 12,8 pF12{,}8\,\text{pF}, ein sehr kleiner Wert, wie er für UKW typisch ist.

b) Da f∼1Lf \sim \frac{1}{\sqrt{L}}:

fneu=f9=f3f_{\text{neu}} = \frac{f}{\sqrt{9}} = \frac{f}{3}

Die Frequenz sinkt also auf ein Drittel.

c) Er spielt die Rolle der .

In ihm wird bei jedem Stromdurchgang elektrische in umgesetzt. Die im Kreis verbleibende Energie nimmt dadurch ab, und die sinkt exponentiell: Die ist gedämpft.

Wie beim mechanischen Schwinger bleibt die Frequenz dabei nahezu unverändert, weil sie von LL und CC bestimmt wird und nicht von RR.

Ist der Widerstand zu groß, kommt gar keine Schwingung zustande. Die fließt einfach ab, ohne dass sich der Kondensator umgekehrt auflädt (Kriechfall). Das entspricht einem Pendel in zähem Öl.

Abhilfe für Dauerbetrieb: Eine Rückkopplungsschaltung führt bei jeder Periode genau die verlorene Energie nach. So arbeitet jeder Oszillator in einem Sender, und so hält auch die Hemmung einer Pendeluhr das Pendel in Gang.

d) Durch .

Die Antenne empfängt gleichzeitig die Signale aller Sender, deren sie erreichen. Das Gerät muss daraus eines auswählen.

Dazu enthält es einen Schwingkreis mit veränderbarer Kapazität (früher ein Drehkondensator, heute eine spannungsgesteuerte Kapazitätsdiode).

Stimmt seine Eigenfrequenz

f=12πLCf = \frac{1}{2\pi\sqrt{LC}}

mit der Trägerfrequenz eines Senders überein, tritt Resonanz ein: Dieses Signal regt den Kreis stark an und erzeugt eine große Amplitude. Alle anderen Frequenzen bleiben dagegen schwach.

Das Drehen am Senderknopf verändert also die Kapazität und damit die Eigenfrequenz des Kreises.

🔴 Die Güte des Kreises entscheidet über die Trennschärfe. Ein Kreis mit geringer Dämpfung reagiert nur auf einen sehr schmalen Frequenzbereich und trennt benachbarte Sender sauber. Ein stark gedämpfter Kreis ist unschärfer, und man hört den Nachbarsender mit.

Dasselbe Prinzip steckt hinter der Frequenzauswahl in Mobiltelefonen, WLAN-Geräten und Fernbedienungen.

Detaillierte Schritterklärung anzeigen

Hier wird jeder Schritt einzeln erklärt, vor allem, warum er gemacht wird.

Erklärungstiefe

✦ Empfohlen: Standard – Die normale Erklärungstiefe passt zum Einstieg.

  1. 1

    Gegeben und Gesucht bei der Radioabstimmung

    a) gibt f=99,5 MHzf = 99{,}5\,\text{MHz} und L=0,2 µHL = 0{,}2\,\text{µH}; gesucht ist die Kapazität. b) fragt nach neunfacher Induktivität, c) nach der Rolle des Widerstands, d) nach der Senderabstimmung.

  2. 2

    a) Die Eigenfrequenz bestimmt, welcher Sender ankommt

    Ein Schwingkreis hat die Eigenfrequenz f=12πLCf = \frac{1}{2\pi\sqrt{LC}}. Soll er auf einen bestimmten Sender abgestimmt werden, muss diese Eigenfrequenz mit dessen Trägerfrequenz übereinstimmen, daraus ergibt sich die nötige Kapazität.

  3. 3

    a) Die Schwingungsformel nach der Kapazität umstellen

    Aus f=12πLCf = \frac{1}{2\pi\sqrt{LC}} folgt durch Quadrieren und Umstellen C=14π2f2LC = \frac{1}{4\pi^2 f^2 L}.

  4. 4

    a) und b) Kapazität und die Wirkung neunfacher Induktivität

    Vorsätze auflösen, dann einsetzen; in b) genügt die Wurzel aus dem Faktor.

    C=14π2⋅(9,95⋅107)2⋅2⋅10−7 F≈1,28⋅10−11 FC = \frac{1}{4\pi^2 \cdot (9{,}95 \cdot 10^{7})^2 \cdot 2 \cdot 10^{-7}}\,\text{F} \approx 1{,}28 \cdot 10^{-11}\,\text{F}; fneu=f9=f3f_{\text{neu}} = \frac{f}{\sqrt{9}} = \frac{f}{3}

    Zwischenergebnis

    C≈12,8 pFC \approx 12{,}8\,\text{pF}; ff sinkt auf ein Drittel.

  5. 5

    c) Der ohmsche Widerstand als Reibung

    Er spielt die Rolle der Reibung: In ihm wird bei jedem Stromdurchgang elektrische Energie in Wärme umgesetzt, die Amplitude sinkt exponentiell, die Schwingung ist gedämpft. Wie beim mechanischen Schwinger bleibt die Frequenz dabei nahezu unverändert, weil sie von LL und CC bestimmt wird.

  6. 6

    d) Ergebnis deuten: Senderwahl durch Resonanz

    Die Antenne empfängt gleichzeitig die Signale aller Sender. Ein Schwingkreis mit veränderbarer Kapazität wählt einen aus: Stimmt seine Eigenfrequenz mit der Trägerfrequenz überein, tritt Resonanz ein und dieses Signal regt den Kreis stark an, während alle anderen schwach bleiben.

Übung 3

schwer

a) Beschreibe eine volle Periode mit Angabe von , Strom und Energieverteilung.

b) Stelle die vollständige Analogie zum Federschwinger auf und erkläre, warum sie mehr als eine Merkhilfe ist.

c) Warum lädt sich der umgekehrt auf, statt leer zu bleiben?

d) Warum braucht man für hohe sehr kleine Bauteile? Belege mit einer Rechnung.

Tipp anzeigen

d) Setze eine typische UKW-Frequenz ein.

Lösung anzeigen

a) Eine volle Periode (Start: Kondensator geladen):

ZeitpunktLadung QQStrom II
00maximal00ganz im E-Feld
T8\frac{T}{8}fälltsteigtverteilt
T4\frac{T}{4}00maximalganz im B-Feld
3T8\frac{3T}{8}steigt umgekehrtfälltverteilt
T2\frac{T}{2}maximal umgekehrt00ganz im E-Feld
3T4\frac{3T}{4}00maximal rückwärtsganz im B-Feld
TTmaximal wie zu Beginn00ganz im E-Feld

Zu jedem Zeitpunkt gilt

12Q2C+12LI2=Eges=konstant\frac{1}{2}\frac{Q^2}{C} + \frac{1}{2}LI^2 = E_{\text{ges}} = \text{konstant}

Beachte, dass die Energie zweimal je Periode vollständig in der steckt, nämlich bei T4\frac{T}{4} und 3T4\frac{3T}{4}. Der Energieaustausch läuft also mit der doppelten Frequenz.

b) Die vollständige Entsprechung:

FederschwingerSchwingkreisBedeutung
mmInduktivität LLTrägheit
DD1C\frac{1}{C}Rückstellung
Auslenkung yyLadung QQ„Zustand"
vv IIÄnderungsrate
FF UUAntrieb
12Dy2\frac{1}{2}Dy^212Q2C\frac{1}{2}\frac{Q^2}{C}potentielle Energie
12mv2\frac{1}{2}mv^212LI2\frac{1}{2}LI^2kinetische Energie
Widerstand RRDämpfung
T=2πmDT = 2\pi\sqrt{\frac{m}{D}}T=2πLCT = 2\pi\sqrt{LC}

Warum das mehr als eine Merkhilfe ist: Die beiden Systeme werden durch mathematisch identische Gleichungen beschrieben. Setzt man die Entsprechungen ein, geht die eine Gleichung wörtlich in die andere über.

Daraus folgt, dass jede Aussage übertragbar ist:

  • sinusförmiger Verlauf,
  • Frequenz unabhängig von der ,
  • Dämpfung senkt die Amplitude, kaum die Frequenz,
  • bei Übereinstimmung mit der Erregerfrequenz,
  • Kriechfall bei zu starker Dämpfung.

🔴 Der allgemeine Gedanke dahinter: Physikalisch völlig verschiedene Systeme können durch dasselbe mathematische Modell beschrieben werden. Wer den harmonischen Oszillator einmal gründlich verstanden hat, versteht damit Pendel, Schwingkreise, Schallwellen, Molekülschwingungen und Lichtwellen.

Das ist einer der Gründe, warum Mathematik in der Physik so wirksam ist: Sie erkennt Gleichheit dort, wo die Anschauung nur Verschiedenheit sieht.

c) Wegen der Trägheit der Spule, also der Lenzschen Regel.

Ist der Kondensator leer, fließt der Strom maximal, und im der Spule steckt die gesamte Energie des Systems:

E=12LImax⁡2E = \frac{1}{2}LI_{\max}^2

Diese Energie kann nicht verschwinden. Würde der Strom jetzt abrupt enden, wäre ΔIΔt\frac{\Delta I}{\Delta t} sehr groß, und die Spule erzeugte nach U=−LΔIΔtU = -L\frac{\Delta I}{\Delta t} eine hohe Gegenspannung, die genau das verhindert.

Die Spule treibt den Strom also weiter, in unveränderter Richtung, obwohl ihn nichts mehr antreibt. Dabei baut sich das Magnetfeld ab und liefert die Energie dafür.

Die weiter fließende Ladung sammelt sich auf der gegenüberliegenden Platte, und der Kondensator lädt sich umgekehrt auf, bis das Magnetfeld vollständig abgebaut ist.

Der Vergleich: Eine Masse an einer Feder bleibt in der Ruhelage auch nicht stehen, sondern schießt hinaus, weil ihre Bewegungsenergie irgendwohin muss. Sie spannt die Feder auf der anderen Seite. Genau dasselbe geschieht hier.

d) Weil die Frequenz mit der Wurzel aus LL und CC zusammenhängt:

f=12πLCf = \frac{1}{2\pi\sqrt{LC}}

Für eine große Frequenz muss das Produkt LCLC sehr klein sein.

Rechnung für UKW (f=100 MHzf = 100\,\text{MHz}):

LC=14π2f2=14π2⋅1016≈2,53⋅10−18 s2LC = \frac{1}{4\pi^2 f^2} = \frac{1}{4\pi^2 \cdot 10^{16}} \approx 2{,}53 \cdot 10^{-18}\,\text{s}^2

Wählt man L=0,2 µHL = 0{,}2\,\text{µH} (eine Spule mit wenigen Windungen), folgt

C=2,53⋅10−182⋅10−7 F≈1,3⋅10−11 F=13 pFC = \frac{2{,}53 \cdot 10^{-18}}{2 \cdot 10^{-7}}\,\text{F} \approx 1{,}3 \cdot 10^{-11}\,\text{F} = 13\,\text{pF}

Zum Vergleich für die Netzfrequenz (50 Hz50\,\text{Hz}) bräuchte man bei derselben Spule

C=14π2⋅2500⋅2⋅10−7 F≈51 FC = \frac{1}{4\pi^2 \cdot 2500 \cdot 2 \cdot 10^{-7}}\,\text{F} \approx 51\,\text{F}

also ein Bauteil von der Größe eines Superkondensator-Moduls statt eines Stecknadelkopfes.

🔴 Praktische Folgen dieser Größenordnungen:

  • Hochfrequenzschaltungen sind extrem kompakt; oft genügen wenige Windungen Draht als Spule.
  • Bei einigen Gigahertz übernehmen Leiterbahnen selbst die Rolle von Spulen und Kondensatoren. Ihre Länge und ihr Abstand werden Teil der Schaltung.
  • Deshalb lassen sich Hochfrequenzschaltungen nicht beliebig umbauen: Schon das Verlegen eines Drahtes kann die Frequenz verstimmen.
  • Und deshalb sind WLAN-Antennen so klein: Bei 2,4 GHz2{,}4\,\text{GHz} beträgt die nur rund 12 cm12\,\text{cm}, eine Viertelwellenlängenantenne also etwa 3 cm3\,\text{cm}.
Detaillierte Schritterklärung anzeigen

Hier wird jeder Schritt einzeln erklärt, vor allem, warum er gemacht wird.

Erklärungstiefe

✦ Empfohlen: Standard – Die normale Erklärungstiefe passt zum Einstieg.

  1. 1

    Gegeben und Gesucht: Periodenverlauf, Analogie und eine Abschätzung

    a) bis c) verlangen Beschreibung und Begründungen zum Schwingungsverlauf. d) fragt nach der Bauteilgröße bei hohen Frequenzen und verlangt eine Rechnung, für die man eine typische UKW-Frequenz von rund 100 MHz100\,\text{MHz} ansetzt.

  2. 2

    a) Eine volle Periode in sieben Zeitpunkten

    Start bei vollem Kondensator: QQ maximal, I=0I = 0, Energie ganz im E-Feld. Nach T4\frac{T}{4}: Q=0Q = 0, II maximal, Energie ganz im B-Feld. Nach T2\frac{T}{2}: QQ maximal umgekehrt, I=0I = 0. Nach 3T4\frac{3T}{4}: II maximal rückwärts. Nach TT: Ausgangszustand.

  3. 3

    b) Die vollständige Analogie und warum sie trägt

    Masse ↔ Induktivität, Federkonstante ↔ 1C\frac{1}{C}, Auslenkung ↔ Ladung, Geschwindigkeit ↔ Stromstärke, Kraft ↔ Spannung, Reibung ↔ Widerstand und T=2πmDT = 2\pi\sqrt{\frac{m}{D}} ↔ T=2πLCT = 2\pi\sqrt{LC}.

  4. 4

    c) Warum sich der Kondensator umgekehrt auflädt

    Wegen der Trägheit der Spule. Ist der Kondensator leer, fließt der Strom maximal, und im Magnetfeld steckt die gesamte Energie: E=12LImax⁡2E = \frac{1}{2}LI_{\max}^2. Diese Energie kann nicht verschwinden, würde der Strom abrupt enden, erzeugte die Spule nach U=−LΔIΔtU = -L\frac{\Delta I}{\Delta t} eine hohe Gegenspannung, die genau das verhindert.

  5. 5

    d) Warum hohe Frequenzen winzige Bauteile brauchen

    Aus f=12πLCf = \frac{1}{2\pi\sqrt{LC}} folgt LC=14π2f2LC = \frac{1}{4\pi^2 f^2}. Für UKW (100 MHz100\,\text{MHz}) ergibt das LC≈2,53⋅10−18 s2LC \approx 2{,}53 \cdot 10^{-18}\,\text{s}^2; mit L=0,2 µHL = 0{,}2\,\text{µH} folgt C≈13 pFC \approx 13\,\text{pF}.

    LC=14π2⋅1016≈2,53⋅10−18 s2LC = \frac{1}{4\pi^2 \cdot 10^{16}} \approx 2{,}53 \cdot 10^{-18}\,\text{s}^2; C=2,53⋅10−182⋅10−7 F≈1,3⋅10−11 FC = \frac{2{,}53 \cdot 10^{-18}}{2 \cdot 10^{-7}}\,\text{F} \approx 1{,}3 \cdot 10^{-11}\,\text{F}

    Zwischenergebnis

    C≈13 pFC \approx 13\,\text{pF} für UKW; rund 51 F51\,\text{F} für 50 Hz50\,\text{Hz}.

  6. 6

    d) Ergebnis deuten: Folgen für den Bau von Hochfrequenzschaltungen

    Hochfrequenzschaltungen sind deshalb extrem kompakt; oft genügen wenige Windungen Draht als Spule. Bei einigen Gigahertz übernehmen Leiterbahnen selbst die Rolle von Spulen und Kondensatoren, ihre Länge und ihr Abstand werden Teil der Schaltung.

Zusammenfassung

Ein Schwingkreis aus und führt eine aus, bei der die zwischen dem des Kondensators und dem der Spule hin und her pendelt, ohne dass sich etwas bewegt. Dass der Kondensator sich nach dem Entladen umgekehrt auflädt, liegt an der Spule, die nach der Lenzschen Regel jeder Stromänderung entgegenwirkt und den Strom über den Nullpunkt hinaustreibt; sie ist damit die Trägheit des Systems. Die Schwingungsdauer folgt aus der Thomsonschen Gleichung und hat dieselbe Bauform wie beim Federschwinger, was kein Zufall ist, denn beide Systeme werden durch mathematisch identische Gleichungen beschrieben. Deshalb überträgt sich jede Aussage über den einen Oszillator unverändert auf den anderen, von der Sinusform über die Amplitudenunabhängigkeit der Frequenz bis zur Resonanz. Ein ohmscher Widerstand wirkt als Reibung und dämpft die Schwingung, während eine Rückkopplung sie dauerhaft aufrechterhält, was die Grundlage jedes Senders bildet.