Zum Inhalt springen
Zurück zur Themenübersicht

Elektrizitätslehre

Der Kondensator und seine Kapazität

Wie ein Kondensator Ladung speichert, wovon seine Kapazität abhängt und was beim Laden und Entladen geschieht.

Benötigte Grundlagen

Dieses Vorwissen brauchst du für das Kapitel. Schau kurz nach, wenn dir etwas davon nicht mehr präsent ist, sonst leg direkt los.

Einführung

Ein Kamerablitz braucht für einen Bruchteil einer Sekunde eine von mehreren Kilowatt. Die kleine Batterie darin kann das nie liefern.

Der Trick: Ein Kondensator sammelt die langsam über Sekunden ein und gibt sie in Millisekunden wieder ab. Er ist kein Energieerzeuger, sondern ein Zwischenspeicher, der eine kleine Leistung über lange Zeit in eine große Leistung über kurze Zeit verwandelt.

Dasselbe Bauteil steckt in jedem Netzteil, jedem Radio und jedem Defibrillator. Was es kann und warum, folgt vollständig aus dem, was du über das weißt.

Das kannst du nach diesem Kapitel

  • den Kondensator als Ladungsspeicher beschreiben.

  • die Kapazität C=QUC = \frac{Q}{U} definieren und deuten.

  • die Kapazität des Plattenkondensators aus AA, dd und εr\varepsilon_r berechnen.

  • die Wirkung eines Dielektrikums erklären.

  • Auf- und Entladevorgang beschreiben und die Kurven deuten.

  • Anwendungen des Kondensators begründen.

Aufbau und Wirkungsweise

Ein Kondensator besteht aus zwei leitenden Flächen, die durch einen Isolator getrennt sind. Legt man eine an, fließen Elektronen von einer Platte ab und sammeln sich auf der anderen. Eine Platte wird positiv, die andere negativ geladen.

🔴 Wichtig: Es fließt kein Strom durch den Kondensator, denn zwischen den Platten ist ein Isolator. Beim Laden fließt nur kurzzeitig Strom in der Zuleitung, bis die Kondensatorspannung der Quellenspannung entspricht.

Zwischen den Platten entsteht ein . In diesem Feld steckt die gespeicherte .

Zwei Platten, getrennte Ladung, ein Feld+−+−+−+−U+Q−QIsolatorQ = C · UDoppelte Spannung heißt doppelte gespeicherte Ladung

Beachte, was nicht passiert: Es kommt keine hinzu. Sie wird nur getrennt, deshalb trägt die eine Platte +Q+Q und die andere genau −Q-Q. Zwischen ihnen entsteht dabei ein Feld, und in ihm steckt später die gespeicherte .

Die Kapazität

Verdoppelt man die , verdoppelt sich die gespeicherte . Ladung und Spannung sind also zueinander proportional, und ihr Quotient ist eine Konstante des Bauteils:

C=QU\boxed{C = \frac{Q}{U}} [ C ]=1 CV=1 Farad=1 F[\,C\,] = 1\,\frac{\text{C}}{\text{V}} = 1\,\text{Farad} = 1\,\text{F}

Die Kapazität gibt an, wie viel Ladung ein Kondensator je Volt aufnehmen kann.

Das Farad ist eine sehr große Einheit; übliche Bauteile haben Werte von Picofarad bis Millifarad. Sogenannte Superkondensatoren erreichen einige hundert Farad.

🔴 Beachte, dass CC nicht von QQ oder UU abhängt, obwohl beide in der Formel stehen. Die Kapazität ist durch den Bau des Kondensators festgelegt; die Formel sagt nur, wie sich QQ und UU zueinander verhalten. Dasselbe Muster kennst du vom Widerstand R=UIR = \frac{U}{I}.

Wovon die Kapazität abhängt

Für den Plattenkondensator gilt:

C=ε0⋅εr⋅Ad\boxed{C = \varepsilon_0 \cdot \varepsilon_r \cdot \frac{A}{d}}

mit ε0=8,85⋅10−12 AsVm\varepsilon_0 = 8{,}85 \cdot 10^{-12}\,\frac{\text{As}}{\text{Vm}}, der Plattenfläche AA, dem Plattenabstand dd und der Permittivitätszahl εr\varepsilon_r des Isolators.

Die Formel ist plausibel:

  • Größere Fläche bedeutet mehr Platz für , also größere Kapazität.
  • Kleinerer Abstand bedeutet stärkere Anziehung zwischen den entgegengesetzten Ladungen auf beiden Platten. Sie halten sich gegenseitig fest, sodass bei gleicher mehr Ladung Platz findet.

Deshalb baut man Kondensatoren als aufgerollte Folien: große Fläche, winziger Abstand, kleines Volumen.

Wovon die Kapazität abhängtOben der Ausgangsfall, darunter jeweils EINE geänderte Größe.Ausgangsfall1-fachdoppelte Fläche2-fachhalber Abstand2-fachGlas statt Luft6-fachC = ε₀ · εr · A / dGroße Fläche, kleiner Abstand, guter Isolator

Drei Stellschrauben, jede einzeln geändert. Fläche und Abstand wirken gegenläufig, weil die eine im Zähler und der andere im Nenner steht. Ein Isolierstoff zwischen den Platten wirkt zusätzlich als Faktor.

Das Dielektrikum

Bringt man statt Luft einen Isolator zwischen die Platten, steigt die Kapazität um den Faktor εr\varepsilon_r:

Stoffεr\varepsilon_r
Vakuum1 (exakt)
Luftrund 1,0006
Papieretwa 2
Glas5 bis 10
Wasser81

Warum das so ist: Im richten sich die Moleküle des Isolators aus oder werden polarisiert. Ihre Ladungsverschiebung erzeugt ein Gegenfeld, das das ursprüngliche Feld teilweise aufhebt. Bei gleicher sinkt dadurch die , und nach C=QUC = \frac{Q}{U} steigt die Kapazität.

🔴 Anders als beim Leiter wird das Feld nicht vollständig aufgehoben, weil die Ladungen im Isolator nicht frei beweglich sind, sondern nur ein wenig verschoben werden können.

Ein Dielektrikum hat einen zweiten Nutzen: Es hält höhere Spannungen aus als Luft, bevor ein Durchschlag erfolgt.

Laden und Entladen

Laden. Im ersten Moment ist der Kondensator leer, seine null; der Strom ist deshalb maximal und nur durch den Widerstand begrenzt. Mit wachsender steigt die Gegenspannung, der Strom sinkt. Am Ende ist UCU_C gleich der Quellenspannung und der Strom null.

Entladen. Zu Beginn ist die Spannung maximal, also auch der Strom. Beide fallen gemeinsam ab.

Beide Vorgänge verlaufen exponentiell: Die Kurven nähern sich ihrem Endwert immer langsamer und erreichen ihn nie exakt.

Als Zeitmaß dient die Zeitkonstante

τ=R⋅C\tau = R \cdot C

Nach τ\tau ist der Vorgang zu rund 63 %63\,\% abgeschlossen, nach 5τ5\tau praktisch vollständig.

🔴 Der Grund für den exponentiellen Verlauf: Die Änderungsgeschwindigkeit ist stets dem noch verbleibenden Rest proportional. Dasselbe Muster kennst du vom Zerfall und von der Abkühlung eines heißen Körpers.

Laden und Entladen brauchen ZeitLadenτtU63 %EntladenτtU37 %Der Endwert wird theoretisch nie ganz erreicht

Beide Vorgänge brauchen Zeit, und beide werden immer langsamer. Nach einer Zeitkonstante τ=R⋅C\tau = R \cdot C sind 63 % erreicht, nach 5τ5\tau ist praktisch Schluss, den Endwert erreicht die Kurve theoretisch nie. Ein großer Widerstand oder eine große Kapazität machen den Verlauf entsprechend langsamer.

Anwendungen

AnwendungGenutzte Eigenschaft
Blitzlicht, Defibrillatorschnelle Abgabe großer
Glättung im Netzteilpuffert Spannungsschwankungen
Zeitglied, Blinkerdefinierte Ladezeit über τ=RC\tau = RC
speichert Energie im Wechsel mit einer
Sensoren (Touchscreen)Kapazitätsänderung durch Annäherung

Beim Touchscreen verändert der Finger als leitfähiger Körper die Kapazität an der Berührstelle. Das Gerät misst also nicht , sondern eine Kapazitätsänderung. Deshalb funktionieren solche Bildschirme mit Handschuhen nicht.

Kapazität und Ladung berechnen

Ein Plattenkondensator hat zwei Platten von je A=200 cm2A = 200\,\text{cm}^2 im Abstand d=0,5 mmd = 0{,}5\,\text{mm}, dazwischen Luft (εr≈1\varepsilon_r \approx 1).

a) Wie groß ist die Kapazität?

b) Welche speichert er bei U=12 VU = 12\,\text{V}?

c) Wie ändert sich CC, wenn man Papier (εr=2\varepsilon_r = 2) einschiebt?

d) Wie ändert sich die dabei, wenn der Kondensator vorher von der Quelle getrennt wurde?

  1. 1

    a) Einheiten umrechnen: A=200 cm2=200⋅10−4 m2=0,02 m2A = 200\,\text{cm}^2 = 200 \cdot 10^{-4}\,\text{m}^2 = 0{,}02\,\text{m}^2 und d=5⋅10−4 md = 5 \cdot 10^{-4}\,\text{m}.

    C=ε0⋅Ad=8,85⋅10−12 AsVm⋅0,02 m25⋅10−4 mC = \varepsilon_0 \cdot \frac{A}{d} = 8{,}85 \cdot 10^{-12}\,\frac{\text{As}}{\text{Vm}} \cdot \frac{0{,}02\,\text{m}^2}{5 \cdot 10^{-4}\,\text{m}} C=8,85⋅10−12⋅40 F=3,54⋅10−10 F=354 pFC = 8{,}85 \cdot 10^{-12} \cdot 40\,\text{F} = 3{,}54 \cdot 10^{-10}\,\text{F} = 354\,\text{pF}

    🔴 Beachte, wie klein der Wert ist, obwohl die Platten mit 200 cm2200\,\text{cm}^2 recht groß sind. Deshalb wickelt man in der Praxis Folien auf.

  2. 2

    b) Aus C=QUC = \frac{Q}{U} folgt Q=C⋅UQ = C \cdot U:

    Q=3,54⋅10−10 F⋅12 V=4,25⋅10−9 C≈4,2 nCQ = 3{,}54 \cdot 10^{-10}\,\text{F} \cdot 12\,\text{V} = 4{,}25 \cdot 10^{-9}\,\text{C} \approx 4{,}2\,\text{nC}
  3. 3

    c) Die Kapazität verdoppelt sich:

    Cneu=εr⋅C=2⋅354 pF=708 pFC_{\text{neu}} = \varepsilon_r \cdot C = 2 \cdot 354\,\text{pF} = 708\,\text{pF}

    Denn in C=ε0εrAdC = \varepsilon_0 \varepsilon_r \frac{A}{d} steht εr\varepsilon_r als Faktor.

  4. 4

    d) Die Spannung halbiert sich.

    Wurde der Kondensator von der Quelle getrennt, kann keine Ladung mehr zu- oder abfließen. QQ bleibt also konstant.

    Aus U=QCU = \frac{Q}{C} folgt bei konstantem QQ und verdoppeltem CC:

    Uneu=Q2C=U2=6 VU_{\text{neu}} = \frac{Q}{2C} = \frac{U}{2} = 6\,\text{V}

    Physikalisch: Die Moleküle des Papiers werden polarisiert und erzeugen ein Gegenfeld, das das Feld zwischen den Platten schwächt. Nach U=E⋅dU = E \cdot d sinkt damit auch die Spannung.

    🔴 Wichtige Fallunterscheidung, die häufig übersehen wird:

    • Von der Quelle getrennt: QQ bleibt fest, UU ändert sich.
    • An der Quelle angeschlossen: UU bleibt fest, QQ ändert sich (hier: verdoppelt sich).

    Prüfe bei jeder Aufgabe zuerst, welcher Fall vorliegt. Die Antworten sind entgegengesetzt.

a) 354 pF354\,\text{pF} b) rund 4,2 nC4{,}2\,\text{nC} c) 708 pF708\,\text{pF}, verdoppelt d) UU halbiert sich auf 6 V6\,\text{V}, weil QQ konstant bleibt.

Laden und Entladen deuten

Ein Kondensator mit C=100 µFC = 100\,\text{µF} wird über einen Widerstand R=10 kΩR = 10\,\text{k}\Omega an U0=9 VU_0 = 9\,\text{V} geladen.

a) Wie groß ist die Zeitkonstante?

b) Wie groß ist der Strom unmittelbar nach dem Einschalten, wie groß nach langer Zeit?

c) Skizziere den Verlauf von UCU_C und II in Worten.

d) Warum ist der Verlauf exponentiell und nicht linear?

  1. 1

    a) τ=R⋅C=104 Ω⋅100⋅10−6 F=1 s\tau = R \cdot C = 10^{4}\,\Omega \cdot 100 \cdot 10^{-6}\,\text{F} = 1\,\text{s}

    Nach etwa 1 s1\,\text{s} ist der Kondensator zu rund 63 %63\,\% geladen, nach 5 s5\,\text{s} praktisch vollständig.

    Einheitenprobe: Ω⋅F=VA⋅AsV=s\Omega \cdot \text{F} = \frac{\text{V}}{\text{A}} \cdot \frac{\text{As}}{\text{V}} = \text{s} ✓

  2. 2

    b) Unmittelbar nach dem Einschalten ist der Kondensator leer, seine also null. Die gesamte Quellenspannung liegt am Widerstand:

    I0=U0R=9 V104 Ω=0,9 mAI_0 = \frac{U_0}{R} = \frac{9\,\text{V}}{10^{4}\,\Omega} = 0{,}9\,\text{mA}

    Nach langer Zeit ist UC=U0U_C = U_0. Über dem Widerstand fällt keine Spannung mehr ab:

    I=0I = 0

    🔴 Der leere Kondensator verhält sich im ersten Moment wie ein Kurzschluss, der volle wie eine Unterbrechung. Mit diesen beiden Merksätzen lassen sich Anfangs- und Endwerte jeder Schaltung ohne Rechnung angeben.

  3. 3

    c) Spannung UCU_C: startet bei null, steigt zunächst steil, dann immer flacher und nähert sich 9 V9\,\text{V} an, ohne den Wert exakt zu erreichen.

    Strom II: startet bei 0,9 mA0{,}9\,\text{mA}, fällt zunächst steil, dann immer flacher gegen null.

    Beide Kurven sind Exponentialkurven, gespiegelt zueinander. Ihre Summe ergibt in jedem Augenblick die Quellenspannung: UC+UR=U0U_C + U_R = U_0.

    Beim Entladen starten beide beim Maximalwert und fallen gemeinsam gegen null.

  4. 4

    d) Weil die Änderungsgeschwindigkeit vom Zustand selbst abhängt.

    Der Ladestrom bestimmt, wie schnell zufließt. Er ergibt sich aus der Spannung, die noch über dem Widerstand liegt:

    I=U0−UCRI = \frac{U_0 - U_C}{R}

    Je voller der Kondensator, desto kleiner die Restspannung U0−UCU_0 - U_C, desto kleiner der Strom, desto langsamer der weitere Anstieg.

    Der Vorgang bremst sich also selbst. Genau das ist die Bedingung für exponentielles Verhalten: Die Änderung ist dem noch verbleibenden Rest proportional.

    Bei einem linearen Anstieg müsste der Strom konstant bleiben, was einen Kondensator voraussetzte, dessen Gegenspannung nicht wächst. Das widerspräche U=QCU = \frac{Q}{C}.

    🔴 Dasselbe Muster kennst du bereits:

    VorgangÄnderung proportional zu
    ZerfallAnzahl noch vorhandener Kerne
    AbkühlungTemperaturdifferenz zur Umgebung
    KondensatorRestspannung

    Alle drei führen auf dieselbe Kurvenform und auf ein charakteristisches Zeitmaß ( bzw. Zeitkonstante).

a) τ=1 s\tau = 1\,\text{s} b) 0,9 mA0{,}9\,\text{mA} zu Beginn, null am Ende c) UCU_C steigt exponentiell, II fällt exponentiell d) die Änderung ist dem Rest proportional.

Typischer Fehler

„Die Kapazität wird größer, wenn man mehr anlegt, denn dann passt mehr hinein."

Bei höherer Spannung passt tatsächlich mehr Ladung hinein, die Kapazität bleibt aber unverändert.

Der Grund: QQ und UU wachsen im gleichen Verhältnis. Verdoppelt man UU, verdoppelt sich QQ, und der Quotient bleibt gleich:

C=2Q2U=QUC = \frac{2Q}{2U} = \frac{Q}{U}

Die Kapazität ist eine Bauteileigenschaft, festgelegt durch Fläche, Abstand und Dielektrikum:

C=ε0εrAdC = \varepsilon_0 \varepsilon_r \frac{A}{d}

In dieser Formel kommt weder QQ noch UU vor. Genau daran erkennt man, dass die Kapazität von beiden unabhängig ist.

Dasselbe Muster kennst du vom Widerstand: R=UIR = \frac{U}{I} enthält Spannung und Strom, aber der Widerstand eines Drahtes hängt nur von Material, Länge und Querschnitt ab. Die Formel beschreibt einen Zusammenhang, keine Abhängigkeit.

Warum die Verwechslung so nahe liegt: Die Definitionsformel und die Bauformel sehen beide wie „Formeln für CC" aus. Sie leisten aber Verschiedenes:

  • C=QUC = \frac{Q}{U} misst die Kapazität und beschreibt, wie QQ und UU zusammenhängen.
  • C=ε0εrAdC = \varepsilon_0 \varepsilon_r \frac{A}{d} erklärt, wodurch sie zustande kommt.

Eine ehrliche Grenze: Bei zu hoher Spannung schlägt der Kondensator durch, das Dielektrikum wird leitend und das Bauteil zerstört. Deshalb steht auf jedem Kondensator eine maximale Spannung. Das ist aber kein Anwachsen der Kapazität, sondern ihr Ende.

Übung 1

leicht

a) Ein Kondensator speichert bei 20 V20\,\text{V} eine von 60 µC60\,\text{µC}. Wie groß ist CC?

b) Welche Ladung speichert er bei 50 V50\,\text{V}?

c) Wie ändert sich die Kapazität, wenn man den Plattenabstand halbiert?

Tipp anzeigen

c) Wie steht dd in der Formel?

Lösung anzeigen

a) C=QU=60⋅10−6 C20 V=3⋅10−6 F=3 µFC = \frac{Q}{U} = \frac{60 \cdot 10^{-6}\,\text{C}}{20\,\text{V}} = 3 \cdot 10^{-6}\,\text{F} = 3\,\text{µF}

b) Q=C⋅U=3⋅10−6 F⋅50 V=1,5⋅10−4 C=150 µCQ = C \cdot U = 3 \cdot 10^{-6}\,\text{F} \cdot 50\,\text{V} = 1{,}5 \cdot 10^{-4}\,\text{C} = 150\,\text{µC}

c) In C=ε0εrAdC = \varepsilon_0 \varepsilon_r \frac{A}{d} steht dd im Nenner. Halbiert man dd, verdoppelt sich die Kapazität.

Anschaulich: Bei kleinerem Abstand ziehen sich die entgegengesetzten Ladungen der beiden Platten stärker an und halten einander fest, sodass bei gleicher mehr Ladung Platz findet.

Detaillierte Schritterklärung anzeigen

Hier wird jeder Schritt einzeln erklärt, vor allem, warum er gemacht wird.

Erklärungstiefe

✦ Empfohlen: Standard – Die normale Erklärungstiefe passt zum Einstieg.

  1. 1

    Gegeben und Gesucht am Kondensator

    Gegeben: Q=60 µCQ = 60\,\text{µC} bei U=20 VU = 20\,\text{V}. Gesucht: a) die Kapazität, b) die Ladung bei 50 V50\,\text{V}, c) die Wirkung eines halbierten Plattenabstands.

  2. 2

    Kapazität als Ladung je Spannung

    Die Kapazität gibt an, wie viel Ladung ein Kondensator je Volt aufnimmt: C=QUC = \frac{Q}{U}. Sie hängt nur vom Bau ab: C=ε0εrAdC = \varepsilon_0 \varepsilon_r \frac{A}{d}.

  3. 3

    a) und b) Kapazität und neue Ladung

    Erst Ladung durch Spannung, dann mit der gefundenen Kapazität die neue Ladung.

    C=60⋅10−6 C20 V=3⋅10−6 FC = \frac{60 \cdot 10^{-6}\,\text{C}}{20\,\text{V}} = 3 \cdot 10^{-6}\,\text{F}; Q=3⋅10−6 F⋅50 V=1,5⋅10−4 CQ = 3 \cdot 10^{-6}\,\text{F} \cdot 50\,\text{V} = 1{,}5 \cdot 10^{-4}\,\text{C}

    Zwischenergebnis

    C=3 µFC = 3\,\text{µF}, Q=150 µCQ = 150\,\text{µC}

  4. 4

    c) Ergebnis deuten: halber Abstand, doppelte Kapazität

    In C=ε0εrAdC = \varepsilon_0\varepsilon_r\frac{A}{d} steht dd im Nenner, halbiert man dd, verdoppelt sich die Kapazität.

Übung 2

mittel

a) Erkläre, warum ein Dielektrikum die Kapazität erhöht.

b) Warum wird das Feld im Dielektrikum nur geschwächt, im Leiter aber vollständig aufgehoben?

c) Ein Kondensator (C=470 µFC = 470\,\text{µF}) wird über R=2,2 kΩR = 2{,}2\,\text{k}\Omega entladen. Nach welcher Zeit ist er praktisch leer?

d) Warum funktioniert ein Touchscreen nicht mit Wollhandschuhen?

Tipp anzeigen

c) Faustregel mit τ\tau.

Lösung anzeigen

a) Im werden die Moleküle des Isolators polarisiert oder richten sich aus. Die dadurch verschobenen erzeugen ein Gegenfeld, das dem äußeren Feld entgegenwirkt.

Das resultierende Feld zwischen den Platten wird dadurch schwächer, und nach U=E⋅dU = E \cdot d sinkt bei gleicher Ladung die .

Aus C=QUC = \frac{Q}{U} folgt: kleineres UU bei gleichem QQ bedeutet größeres CC. Genau um den Faktor εr\varepsilon_r.

b) Weil die Ladungen verschieden beweglich sind.

Im Leiter gibt es frei bewegliche Elektronen. Sie verschieben sich so lange, bis ihr Gegenfeld das äußere Feld exakt kompensiert; dann wirkt keine mehr auf sie und die Verschiebung endet. Ergebnis: E=0E = 0 im Inneren.

Im Isolator sind die Ladungen an ihre Moleküle gebunden. Sie können sich nur ein Stück weit verschieben oder die Moleküle können sich drehen. Das erzeugt ein Gegenfeld, das aber begrenzt ist und deshalb nur einen Teil des äußeren Feldes aufhebt.

🔴 Deshalb ist εr\varepsilon_r endlich (etwa 22 bis 8181), während ein Leiter formal einem unendlichen εr\varepsilon_r entspräche. Und deshalb kann man ein Dielektrikum verwenden, einen Leiter aber nicht: Der würde die Platten kurzschließen.

c) τ=R⋅C=2200 Ω⋅470⋅10−6 F≈1,03 s\tau = R \cdot C = 2200\,\Omega \cdot 470 \cdot 10^{-6}\,\text{F} \approx 1{,}03\,\text{s}

Nach der Faustregel ist der Vorgang nach etwa 5τ5\tau praktisch abgeschlossen:

t≈5⋅1,03 s≈5,2 st \approx 5 \cdot 1{,}03\,\text{s} \approx 5{,}2\,\text{s}

Streng genommen wird der Kondensator nie vollständig leer, weil die Kurve exponentiell verläuft. Nach 5τ5\tau sind aber weniger als 1 %1\,\% der Ladung übrig.

d) Weil ein kapazitiver Touchscreen keinen misst, sondern eine Kapazitätsänderung.

Das Display erzeugt an seiner Oberfläche ein feines elektrisches Feld. Nähert sich ein leitfähiger Körper, verändert er die Kapazität an dieser Stelle messbar, und die Elektronik berechnet daraus den Berührpunkt.

Der menschliche Finger ist wegen seines Wassergehalts und der gelösten Salze leitfähig genug. Wolle ist dagegen ein Isolator und verändert die Kapazität kaum; zusätzlich vergrößert der Handschuh den Abstand, was die Wirkung nach C∼1dC \sim \frac{1}{d} weiter verkleinert.

Deshalb gibt es Handschuhe mit eingewebten leitfähigen Fäden an den Fingerkuppen: Sie stellen die Verbindung zur Hand her und machen den Finger für den Bildschirm wieder sichtbar.

(Ältere resistive Touchscreens maßen tatsächlich Druck und funktionierten mit jedem Gegenstand, dafür aber ungenauer und ohne Mehrfingerbedienung.)

Detaillierte Schritterklärung anzeigen

Hier wird jeder Schritt einzeln erklärt, vor allem, warum er gemacht wird.

Erklärungstiefe

✦ Empfohlen: Standard – Die normale Erklärungstiefe passt zum Einstieg.

  1. 1

    Gegeben und Gesucht: Dielektrikum, Entladung und Touchscreen

    a), b) und d) verlangen Begründungen. c) gibt C=470 µFC = 470\,\text{µF} und R=2,2 kΩR = 2{,}2\,\text{k}\Omega; gesucht ist die Zeit bis zur praktisch vollständigen Entladung.

  2. 2

    a) Warum ein Dielektrikum die Kapazität erhöht

    Im Feld werden die Moleküle des Isolators polarisiert oder richten sich aus. Die verschobenen Ladungen erzeugen ein Gegenfeld, das resultierende Feld wird schwächer, und nach U=E⋅dU = E \cdot d sinkt bei gleicher Ladung die Spannung. Aus C=QUC = \frac{Q}{U} folgt: kleineres UU bei gleichem QQ bedeutet größeres CC.

  3. 3

    b) Warum der Leiter das Feld ganz aufhebt, der Isolator nur teilweise

    Weil die Ladungen verschieden beweglich sind. Im Leiter verschieben sich freie Elektronen so lange, bis ihr Gegenfeld das äußere exakt kompensiert. Dann wirkt keine Kraft mehr auf sie. Im Isolator sind die Ladungen an ihre Moleküle gebunden und können sich nur ein Stück weit verschieben.

  4. 4

    c) Die Entladezeit über die Zeitkonstante

    Die Zeitkonstante ist τ=R⋅C\tau = R \cdot C; nach der Faustregel ist der Vorgang nach etwa 5τ5\tau praktisch abgeschlossen.

    τ=2200 Ω⋅470⋅10−6 F≈1,03 s\tau = 2200\,\Omega \cdot 470 \cdot 10^{-6}\,\text{F} \approx 1{,}03\,\text{s}; t≈5⋅1,03 s≈5,2 st \approx 5 \cdot 1{,}03\,\text{s} \approx 5{,}2\,\text{s}

    Zwischenergebnis

    t≈5,2 st \approx 5{,}2\,\text{s}

  5. 5

    d) Ergebnis deuten: warum Wollhandschuhe am Touchscreen scheitern

    Weil ein kapazitiver Touchscreen keinen Druck misst, sondern eine Kapazitätsänderung. Nähert sich ein leitfähiger Körper, verändert er die Kapazität an dieser Stelle messbar. Der Finger ist wegen Wassergehalt und gelöster Salze leitfähig genug: Wolle ist ein Isolator.

Übung 3

schwer

a) Ein geladener Kondensator wird von der Quelle getrennt, dann wird der Plattenabstand verdoppelt. Was passiert mit QQ, CC, UU und EE?

b) Dasselbe, aber der Kondensator bleibt an der Quelle angeschlossen. Vergleiche.

c) Begründe, warum der Ladevorgang exponentiell verläuft.

d) Warum kann ein Kamerablitz eine liefern, die die Batterie nie erreicht?

Tipp anzeigen

a) Welche Größe kann sich nicht ändern, wenn nichts abfließen kann?

Lösung anzeigen

a) Getrennt von der Quelle: QQ bleibt konstant, denn es gibt keinen Weg für .

GrößeÄnderungBegründung
QQbleibtkein Ladungstransport möglich
CChalbiertC∼1dC \sim \frac{1}{d}, doppelter Abstand
UUverdoppeltU=QCU = \frac{Q}{C} bei festem QQ
EEbleibtE=UdE = \frac{U}{d}, beide verdoppelt

Bemerkenswert ist das letzte Ergebnis: Die bleibt unverändert. Das ist auch physikalisch zwingend, denn die Feldstärke wird von den Ladungen auf den Platten erzeugt, und die haben sich nicht verändert.

Das Auseinanderziehen erfordert übrigens , weil sich die ungleichnamig geladenen Platten anziehen. Diese Arbeit erhöht die im Feld gespeicherte , und genau das zeigt sich in der gestiegenen .

b) An der Quelle angeschlossen: UU bleibt konstant, denn die Quelle hält sie fest.

GrößeÄnderungBegründung
UUbleibtvon der Quelle vorgegeben
CChalbiertC∼1dC \sim \frac{1}{d}
QQhalbiertQ=C⋅UQ = C \cdot U bei festem UU
EEhalbiertE=UdE = \frac{U}{d}, UU fest, dd doppelt

Vergleich: In beiden Fällen halbiert sich die Kapazität, denn sie hängt nur vom Bau ab. Alles andere verhält sich entgegengesetzt: einmal bleibt QQ und UU steigt, einmal bleibt UU und QQ sinkt.

🔴 Das ist die wichtigste Fallunterscheidung des Kapitels. Die erste Frage bei jeder Kondensatoraufgabe lautet deshalb: Ist die Quelle noch angeschlossen?

c) Der Ladestrom bestimmt, wie schnell die Ladung wächst. Er ist durch die noch verbleibende Spannung über dem Widerstand bestimmt:

I=U0−UCRI = \frac{U_0 - U_C}{R}

Am Anfang ist UC=0U_C = 0, der Strom also maximal und der Anstieg steil. Mit wachsender Ladung steigt UCU_C, die Differenz U0−UCU_0 - U_C wird kleiner, der Strom sinkt, und damit auch die Anstiegsgeschwindigkeit.

Der Vorgang bremst sich selbst, und zwar umso stärker, je weiter er fortgeschritten ist. Formal: Die Änderungsrate ist dem noch fehlenden Rest proportional. Genau das ist die Bedingung für exponentielles Verhalten.

Ein linearer Verlauf wäre widersprüchlich: Er verlangte einen konstanten Strom, also eine konstante Spannungsdifferenz über dem Widerstand, obwohl UCU_C wächst. Das widerspräche der Maschenregel.

Dasselbe Muster steckt hinter dem Zerfall (Änderung proportional zur Kernzahl) und hinter der Abkühlung (Änderung proportional zur Temperaturdifferenz). Die Zeitkonstante τ=RC\tau = RC spielt dabei die Rolle der .

d) Weil der Kondensator die Energie langsam sammelt und schnell abgibt. Er erzeugt keine Energie, sondern verändert die Leistung, mit der sie fließt.

Zahlenbeispiel: Ein Blitzkondensator speichert etwa 10 J10\,\text{J}. Die Batterie lädt ihn über rund 5 s5\,\text{s} auf und liefert dabei nur

P=10 J5 s=2 WP = \frac{10\,\text{J}}{5\,\text{s}} = 2\,\text{W}

Die Entladung dauert dagegen etwa 1 ms1\,\text{ms}:

P=10 J0,001 s=10000 W=10 kWP = \frac{10\,\text{J}}{0{,}001\,\text{s}} = 10000\,\text{W} = 10\,\text{kW}

Dieselbe Energie, aber die fünftausendfache Leistung.

🔴 Der Kern: Leistung ist Energie je Zeit. Wer die Zeit verkürzt, erhöht die Leistung, ohne mehr Energie zu brauchen. Der Energiesatz wird dabei nicht verletzt; es wird nichts erzeugt, nur umverteilt.

Genau darauf beruhen auch Defibrillator (rund 300 J300\,\text{J} in wenigen Millisekunden), Blitzlichtanlagen und die Zündanlage im Auto. Der Preis dafür ist, dass man zwischen zwei Blitzen warten muss, bis der Kondensator wieder geladen ist, was jede Kamerabenutzerin kennt.

Detaillierte Schritterklärung anzeigen

Hier wird jeder Schritt einzeln erklärt, vor allem, warum er gemacht wird.

Erklärungstiefe

✦ Empfohlen: Standard – Die normale Erklärungstiefe passt zum Einstieg.

  1. 1

    Die entscheidende Vorfrage: hängt die Quelle noch dran?

    In a) wird der Kondensator von der Quelle getrennt, in b) bleibt er angeschlossen. In beiden Fällen wird der Plattenabstand verdoppelt; gesucht ist die Wirkung auf QQ, CC, UU und EE.

  2. 2

    a) Getrennt von der Quelle: die Ladung bleibt

    Ohne Verbindung gibt es keinen Weg für Ladung, also bleibt QQ konstant. Die Kapazität halbiert sich (C∼1dC \sim \frac{1}{d}), damit verdoppelt sich U=QCU = \frac{Q}{C}, und E=UdE = \frac{U}{d} bleibt, weil sich Zähler und Nenner beide verdoppeln.

  3. 3

    b) An der Quelle: die Spannung bleibt

    Die Quelle hält UU fest. Die Kapazität halbiert sich wie zuvor, damit halbiert sich Q=C⋅UQ = C \cdot U, und E=UdE = \frac{U}{d} halbiert sich ebenfalls, weil UU fest bleibt und dd sich verdoppelt.

  4. 4

    c) Warum der Ladevorgang exponentiell verläuft

    Der Ladestrom ist durch die noch verbleibende Spannung bestimmt: I=U0−UCRI = \frac{U_0 - U_C}{R}. Am Anfang ist UC=0U_C = 0, der Strom maximal. Mit wachsender Ladung steigt UCU_C, die Differenz wird kleiner, der Strom sinkt, der Vorgang bremst sich selbst.

  5. 5

    d) Ergebnis deuten: warum ein Blitz mehr Leistung liefert als die Batterie

    Weil der Kondensator die Energie langsam sammelt und schnell abgibt. Ein Blitzkondensator speichert etwa 10 J10\,\text{J}; beim Laden über 5 s5\,\text{s} liefert die Batterie nur P=10 J5 s=2 WP = \frac{10\,\text{J}}{5\,\text{s}} = 2\,\text{W}, bei der Entladung in 1 ms1\,\text{ms} dagegen P=10 J0,001 s=10 kWP = \frac{10\,\text{J}}{0{,}001\,\text{s}} = 10\,\text{kW}.

Zusammenfassung

Ein Kondensator besteht aus zwei durch einen Isolator getrennten Leiterflächen und speichert , wobei niemals Strom durch ihn hindurchfließt. Seine Kapazität ist als Quotient aus Ladung und definiert, hängt aber nicht von diesen beiden ab, sondern allein vom Bau, nämlich von Plattenfläche, Plattenabstand und dem Dielektrikum zwischen den Platten. Ein eingebrachter Isolator erhöht die Kapazität, weil seine polarisierten Moleküle ein Gegenfeld erzeugen, das das Feld schwächt und damit die Spannung bei gleicher Ladung senkt. Beim Laden und Entladen verlaufen Spannung und Strom exponentiell, weil die Änderungsgeschwindigkeit stets dem noch verbleibenden Rest proportional ist; als Zeitmaß dient die Zeitkonstante aus Widerstand mal Kapazität. Bei jeder Aufgabe ist zuerst zu klären, ob die Quelle noch angeschlossen ist, denn davon hängt ab, ob Ladung oder Spannung konstant bleibt.