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Magnetismus / Elektromagnetismus

Magnetischer Fluss und das Induktionsgesetz

Warum nur Änderungen eine Spannung erzeugen, was der magnetische Fluss ist und wie daraus die gesamte Stromversorgung folgt.

Benötigte Grundlagen

Dieses Vorwissen brauchst du für das Kapitel. Schau kurz nach, wenn dir etwas davon nicht mehr präsent ist, sonst leg direkt los.

Einführung

Michael Faraday soll auf die Frage, wozu seine Entdeckung gut sei, geantwortet haben, man werde sie eines Tages besteuern können.

Er hatte recht in einem Ausmaß, das damals niemand ahnte. Jedes Kraftwerk, jeder , jedes Induktionskochfeld, jede Ladestation für Zahnbürsten und jeder Herzschrittmacher mit drahtloser beruhen auf dem, was er 1831 fand.

Der Kern ist ein einziger Satz, und er enthält ein Wort, auf das alles ankommt: Änderung. Ein ruhender Magnet in einer erzeugt nichts. Bewegt man ihn, entsteht .

Das kannst du nach diesem Kapitel

  • den magnetischen Fluss definieren und berechnen.

  • das Induktionsgesetz formulieren.

  • begründen, warum nur Änderungen eine erzeugen.

  • die beiden Wege der unterscheiden (Bewegung und Feldänderung).

  • die Induktionsspannung im Einzelfall berechnen.

  • und darauf zurückführen.

Der magnetische Fluss

Für die genügt es nicht, die BB zu kennen. Entscheidend ist, wie viel Feld durch eine Fläche hindurchgeht. Diese Größe heißt magnetischer Fluss:

Φ=B⋅A⋅cos⁡α\boxed{\Phi = B \cdot A \cdot \cos\alpha} [ Φ ]=1 T⋅m2=1 Weber=1 Wb=1 Vs[\,\Phi\,] = 1\,\text{T} \cdot \text{m}^2 = 1\,\text{Weber} = 1\,\text{Wb} = 1\,\text{Vs}

Dabei ist α\alpha der Winkel zwischen der Flächennormalen und der Feldrichtung.

  • Steht die Fläche senkrecht zum Feld (α=0\alpha = 0): Fluss maximal, Φ=B⋅A\Phi = B \cdot A.
  • Liegt die Fläche parallel zum Feld (α=90°\alpha = 90°): Fluss null, denn es gehen keine Feldlinien hindurch.

🔴 Anschaulich ist Φ\Phi die „Anzahl der Feldlinien durch die Fläche". Es gibt drei Möglichkeiten, ihn zu ändern: BB ändern, AA ändern oder die Fläche drehen. Jede davon erzeugt Induktion, und alle technischen Anwendungen benutzen eine dieser drei.

Das Induktionsgesetz

In einer Leiterschleife entsteht eine , wenn sich der magnetische Fluss durch sie ändert.

Uind=−N⋅ΔΦΔt\boxed{U_{\text{ind}} = -N \cdot \frac{\Delta\Phi}{\Delta t}}

NN ist die Windungszahl, denn jede Windung liefert denselben Beitrag.

🔴 Das Entscheidende steht in ΔΦ\Delta\Phi: Nicht der Fluss erzeugt Spannung, sondern seine Änderung. Ein ruhender Magnet in einer erzeugt dauerhaft einen großen Fluss und trotzdem keine Spannung. Bewegt man ihn, entsteht sofort eine.

Das Minuszeichen drückt die Lenzsche Regel aus (nächstes Kapitel): Die wirkt ihrer Ursache entgegen. Für Betragsrechnungen lässt man es weg.

Die beiden Wege zur Flussänderung

Weg 1: Bewegung. Ein Leiter der Länge ℓ\ell bewegt sich mit vv senkrecht durch ein Feld. In der Zeit Δt\Delta t überstreicht er die Fläche ΔA=ℓ⋅v⋅Δt\Delta A = \ell \cdot v \cdot \Delta t, also

Uind=B⋅ΔAΔt=B⋅ℓ⋅vU_{\text{ind}} = B \cdot \frac{\Delta A}{\Delta t} = B \cdot \ell \cdot v

Warum das plausibel ist: Die freien Elektronen im bewegten Leiter erfahren die und werden an ein Ende geschoben. Dort entsteht Elektronenüberschuss, am anderen Ende Mangel, also eine . Die durch Bewegung ist damit nichts Neues, sondern die Lorentzkraft aus einer anderen Perspektive.

Weg 2: Feldänderung. Bleibt die Anordnung in Ruhe und ändert sich stattdessen BB, so gilt

Uind=−N⋅A⋅ΔBΔtU_{\text{ind}} = -N \cdot A \cdot \frac{\Delta B}{\Delta t}

Genau so arbeitet der : Der Wechselstrom in der Primärspule erzeugt ein sich änderndes Feld, das in der Sekundärspule eine Spannung induziert, ohne dass sich irgendetwas bewegt.

🔴 Nur der zweite Weg ist wirklich neu. Er zeigt, dass ein sich änderndes ein erzeugt, auch ohne bewegte Leiter. Das ist eine der Maxwellschen Gleichungen und führt später zu den elektromagnetischen .

Der Generator

Dreht sich eine Leiterschleife mit der Winkelgeschwindigkeit ω\omega im , ändert sich der Winkel fortlaufend:

Φ(t)=BAcos⁡(ωt)\Phi(t) = B A \cos(\omega t)

Der Fluss schwankt also sinusförmig, und damit auch die :

Uind(t)=NBAωsin⁡(ωt)U_{\text{ind}}(t) = N B A \omega \sin(\omega t) U^=N⋅B⋅A⋅ω\hat{U} = N \cdot B \cdot A \cdot \omega

🔴 Damit ist erklärt, warum aus Kraftwerken Wechselspannung kommt und nicht Gleichspannung: Eine gleichmäßig rotierende Schleife liefert zwangsläufig eine sinusförmige Spannung. Gleichspannung müsste erst durch zusätzliche Bauteile daraus gemacht werden.

Die Scheitelspannung wächst mit der Drehzahl. Deshalb liefert ein Fahrraddynamo bei schneller Fahrt hellere Beleuchtung, und deshalb müssen Kraftwerksgeneratoren ihre Drehzahl exakt bei 50 Hz50\,\text{Hz} halten.

Aus gleichmäßiger Drehung wird WechselspannungSchleife quer zum FeldSchleife längs zum FeldtUU = 0 (quer)U maximal (längs)Die Spannung wechselt regelmäßig ihr Vorzeichen

Der ist der Musterfall für die Flussänderung durch Drehung: Die Fläche bleibt gleich, das Feld bleibt gleich, nur ihr Winkel zueinander ändert sich. Die markierten Punkte zeigen, wo die Änderungsrate null und wo sie maximal ist.

Anwendungen im Überblick

AnwendungWas sich ändert
, FahrraddynamoWinkel (Drehung)
BB
InduktionskochfeldFeldstärke, Wirbelströme im Topfboden
Drahtloses LadenFeldstärke
Induktionsschleife an der AmpelInduktivität durch das Fahrzeug
Elektrische GitarreFeldstärke durch schwingende Stahlsaite
WirbelstrombremseFluss durch die bewegte Scheibe

Bei der elektrischen Gitarre magnetisiert ein kleiner Permanentmagnet die Stahlsaite. Ihre ändert den Fluss durch eine darunter, und die ist das Tonsignal. Deshalb funktionieren solche Tonabnehmer nur mit magnetisierbaren Saiten, nicht mit Nylonsaiten.

Induktionsspannung berechnen

Eine mit N=400N = 400 Windungen und der Querschnittsfläche A=25 cm2A = 25\,\text{cm}^2 steht senkrecht in einem .

a) Wie groß ist der Fluss bei B=0,3 TB = 0{,}3\,\text{T}?

b) Das Feld wird in 0,05 s0{,}05\,\text{s} gleichmäßig auf null abgebaut. Wie groß ist die ?

c) Wie groß wäre sie, wenn der Abbau zehnmal so lange dauerte?

d) Warum entsteht keine , solange das Feld konstant bei 0,3 T0{,}3\,\text{T} bleibt?

  1. 1

    a) Senkrecht bedeutet α=0\alpha = 0, also cos⁡α=1\cos\alpha = 1:

    Φ=B⋅A=0,3 T⋅25⋅10−4 m2=7,5⋅10−4 Wb\Phi = B \cdot A = 0{,}3\,\text{T} \cdot 25 \cdot 10^{-4}\,\text{m}^2 = 7{,}5 \cdot 10^{-4}\,\text{Wb}
  2. 2

    b) Die Flussänderung ist die gesamte Flussmenge, da auf null abgebaut wird:

    ∣ΔΦ∣=7,5⋅10−4 Wb|\Delta\Phi| = 7{,}5 \cdot 10^{-4}\,\text{Wb} ∣Uind∣=N⋅∣ΔΦ∣Δt=400⋅7,5⋅10−4 Wb0,05 s=6,0 V|U_{\text{ind}}| = N \cdot \frac{|\Delta\Phi|}{\Delta t} = 400 \cdot \frac{7{,}5 \cdot 10^{-4}\,\text{Wb}}{0{,}05\,\text{s}} = 6{,}0\,\text{V}

    Einheitenprobe: Wbs=Vss=V\frac{\text{Wb}}{\text{s}} = \frac{\text{Vs}}{\text{s}} = \text{V} ✓

  3. 3

    c) Bei zehnfacher Dauer wird die Spannung ein Zehntel:

    ∣Uind∣=6,0 V10=0,6 V|U_{\text{ind}}| = \frac{6{,}0\,\text{V}}{10} = 0{,}6\,\text{V}

    🔴 Die Spannung hängt nur von der der Änderung ab, nicht davon, wie groß der Fluss war. Genau deshalb erzeugen schnelle Schaltvorgänge in Spulen sehr hohe Spannungen, was etwa die Zündspule im Auto ausnutzt und was empfindliche Elektronik gefährdet.

  4. 4

    d) Weil dann ΔΦ=0\Delta\Phi = 0 ist.

    Das Induktionsgesetz Uind=−NΔΦΔtU_{\text{ind}} = -N\frac{\Delta\Phi}{\Delta t} enthält die Änderung des Flusses, nicht den Fluss selbst. Bleibt BB konstant, ändert sich nichts, und der Zähler ist null.

    Der Fluss selbst spielt keine Rolle, gleich wie groß er ist. Ein sehr starker Magnet, der ruhig in einer Spule liegt, erzeugt dauerhaft einen großen Fluss und trotzdem keinerlei Spannung.

    Probe an der Anschauung: Ein Fahrraddynamo liefert nur Strom, solange sich das Rad dreht. Beim Anhalten wird es sofort dunkel, obwohl der Magnet weiterhin da ist.

    Ebenso beim : Er arbeitet nur mit Wechselstrom. Schließt man ihn an eine Batterie an, entsteht nur im Moment des Ein- und Ausschaltens eine kurze Spannung, danach nichts mehr. Wer das übersieht, versteht nicht, warum die gesamte Stromversorgung mit Wechselspannung arbeitet.

a) 7,5⋅10−4 Wb7{,}5 \cdot 10^{-4}\,\text{Wb} b) 6,0 V6{,}0\,\text{V} c) 0,6 V0{,}6\,\text{V} d) weil ΔΦ=0\Delta\Phi = 0 und nur Änderungen zählen.

Der bewegte Leiter

Ein gerader Leiter (ℓ=30 cm\ell = 30\,\text{cm}) bewegt sich mit v=4 msv = 4\,\frac{\text{m}}{\text{s}} senkrecht durch ein Feld mit B=0,25 TB = 0{,}25\,\text{T}.

a) Wie groß ist die ?

b) Leite die Formel U=BℓvU = B\ell v aus dem Induktionsgesetz her.

c) Erkläre denselben Vorgang über die .

d) Was passiert, wenn sich der Leiter parallel zu den Feldlinien bewegt?

  1. 1

    a) Uind=B⋅ℓ⋅v=0,25 T⋅0,3 m⋅4 ms=0,3 VU_{\text{ind}} = B \cdot \ell \cdot v = 0{,}25\,\text{T} \cdot 0{,}3\,\text{m} \cdot 4\,\frac{\text{m}}{\text{s}} = 0{,}3\,\text{V}

    Einheitenprobe: T⋅m⋅ms=Vsm2⋅m2s=V\text{T} \cdot \text{m} \cdot \frac{\text{m}}{\text{s}} = \frac{\text{Vs}}{\text{m}^2} \cdot \frac{\text{m}^2}{\text{s}} = \text{V} ✓

  2. 2

    b) Herleitung über die überstrichene Fläche.

    Bewegt sich der Leiter in der Zeit Δt\Delta t um die Strecke s=v⋅Δts = v \cdot \Delta t, überstreicht er die Fläche

    ΔA=ℓ⋅s=ℓ⋅v⋅Δt\Delta A = \ell \cdot s = \ell \cdot v \cdot \Delta t

    Die Flussänderung beträgt damit

    ΔΦ=B⋅ΔA=B⋅ℓ⋅v⋅Δt\Delta\Phi = B \cdot \Delta A = B \cdot \ell \cdot v \cdot \Delta t

    Eingesetzt ins Induktionsgesetz (mit N=1N = 1):

    ∣Uind∣=ΔΦΔt=Bℓv ΔtΔt=B ℓ v|U_{\text{ind}}| = \frac{\Delta\Phi}{\Delta t} = \frac{B \ell v \, \Delta t}{\Delta t} = B \, \ell \, v

    Die Zeit kürzt sich heraus, es bleibt eine reine Beziehung zwischen Feld, Länge und .

  3. 3

    c) Über die Lorentzkraft, ganz ohne Induktionsgesetz.

    Im Leiter befinden sich frei bewegliche Elektronen. Bewegt sich der Leiter mit vv durch das Feld, bewegen sich auch die Elektronen mit, und auf jede bewegte Ladung wirkt die Lorentzkraft

    FL=e⋅v⋅BF_L = e \cdot v \cdot B

    Diese steht senkrecht auf vv und BB, zeigt also längs des Leiters. Die Elektronen werden dadurch an ein Ende geschoben.

    Dort entsteht Elektronenüberschuss (Minuspol), am anderen Ende Elektronenmangel (Pluspol). Damit ist eine Spannung entstanden.

    Der Vorgang endet im Gleichgewicht: Die getrennten Ladungen bauen ein auf, das die Elektronen zurücktreibt. Sobald die elektrische Kraft die Lorentzkraft ausgleicht, hört die Verschiebung auf:

    eE=evB⟹E=vBe E = e v B \quad \Longrightarrow \quad E = v B

    Mit U=E⋅ℓU = E \cdot \ell folgt

    U=B ℓ vU = B \, \ell \, v

    🔴 Dasselbe Ergebnis auf zwei völlig verschiedenen Wegen. Das ist kein Zufall: Die Induktion durch Bewegung ist die Lorentzkraft aus einer anderen Perspektive. Beide Beschreibungen sind gleichwertig.

    Bemerkenswert ist, dass das für die zweite Art der Induktion (ruhende Anordnung, sich änderndes Feld) nicht gilt. Dort gibt es keine bewegten Ladungen, auf die eine Lorentzkraft wirken könnte, und das Induktionsgesetz sagt trotzdem eine Spannung voraus, die auch gemessen wird. Das war einer der Ausgangspunkte für Einsteins spezielle Relativitätstheorie.

  4. 4

    d) Dann wird keine Spannung induziert.

    Bewegt sich der Leiter längs der Feldlinien, überstreicht er keine zusätzlichen Feldlinien; der Fluss durch die Leiterschleife ändert sich nicht, also ist ΔΦ=0\Delta\Phi = 0.

    Über die Lorentzkraft gesehen: Bei v⃗\vec{v} parallel zu B⃗\vec{B} ist sin⁡α=0\sin\alpha = 0, es wirkt also gar keine Kraft auf die Elektronen.

    🔴 Allgemein gilt: Nur die Bewegungskomponente senkrecht zu den Feldlinien trägt zur Induktion bei. Bei schräger Bewegung setzt man den entsprechenden Anteil ein.

    Praktische Bedeutung: Beim Fahrraddynamo und beim achtet man auf eine Anordnung, bei der die Leiterstücke möglichst senkrecht durch das Feld laufen. Die Verbindungsstücke an den Stirnseiten laufen längs des Feldes und tragen nichts bei.

a) 0,3 V0{,}3\,\text{V} b) über ΔA=ℓvΔt\Delta A = \ell v \Delta t, die Zeit kürzt sich c) Lorentzkraft trennt die bis zum Gleichgewicht, gleiches Ergebnis d) keine Spannung, da ΔΦ=0\Delta\Phi = 0.

Typischer Fehler

„Je stärker das in der , desto größer die ."

Entscheidend ist nicht die Stärke des Feldes, sondern die seiner Änderung.

Uind=−N⋅ΔΦΔtU_{\text{ind}} = -N \cdot \frac{\Delta\Phi}{\Delta t}

Im Zähler steht ΔΦ\Delta\Phi, also die Änderung. Ein noch so starkes, aber konstantes Feld liefert null.

Der klassische Versuch dazu: Ein kräftiger Magnet liegt ruhig in einer Spule. Das Voltmeter zeigt nichts an, obwohl der Fluss groß ist. Zieht man den Magneten heraus, schlägt der Zeiger sofort aus. Schiebt man ihn langsam hinein, ist der Ausschlag klein; stößt man ihn schnell hinein, ist er groß.

Was wirklich zählt, ist also die Rate. Deshalb kann ein schwaches Feld, das sich sehr schnell ändert, eine höhere Spannung erzeugen als ein starkes, das sich langsam ändert.

Zwei Belege aus der Technik:

  • Die Zündspule im Auto erzeugt aus 12 V12\,\text{V} mehrere zehntausend Volt, nicht durch ein starkes Feld, sondern durch sehr schnelles Abschalten des Stromes. Das Δt\Delta t im Nenner wird winzig.
  • Ein an einer Batterie liefert dauerhaft nichts, obwohl das Feld stark ist. Nur beim Ein- und Ausschalten zuckt der Zeiger. Deshalb arbeitet die gesamte Stromversorgung mit Wechselspannung.

Die gefährliche Kehrseite: Beim Abschalten einer Spule entsteht durch das plötzliche Zusammenbrechen des Feldes eine sehr hohe Selbstinduktionsspannung. Sie kann Schalter verschmoren und zerstören. Deshalb baut man Freilaufdioden parallel zu Relaisspulen.

Merksatz: Nicht das Feld induziert, sondern seine Änderung.

Übung 1

leicht

a) Eine Fläche A=50 cm2A = 50\,\text{cm}^2 steht senkrecht in einem Feld mit B=0,4 TB = 0{,}4\,\text{T}. Wie groß ist der Fluss?

b) Wie groß ist er, wenn die Fläche parallel zu den Feldlinien liegt?

c) Ein Leiter (ℓ=20 cm\ell = 20\,\text{cm}) bewegt sich mit 3 ms3\,\frac{\text{m}}{\text{s}} senkrecht durch ein Feld mit B=0,5 TB = 0{,}5\,\text{T}. Wie groß ist UindU_{\text{ind}}?

Tipp anzeigen

b) Welchen Wert hat cos⁡90°\cos 90°?

Lösung anzeigen

a) Φ=B⋅A=0,4 T⋅50⋅10−4 m2=2⋅10−3 Wb\Phi = B \cdot A = 0{,}4\,\text{T} \cdot 50 \cdot 10^{-4}\,\text{m}^2 = 2 \cdot 10^{-3}\,\text{Wb}

b) Null. Bei paralleler Lage ist α=90°\alpha = 90° und cos⁡90°=0\cos 90° = 0. Es gehen keine Feldlinien durch die Fläche hindurch.

c) Uind=Bℓv=0,5 T⋅0,2 m⋅3 ms=0,3 VU_{\text{ind}} = B \ell v = 0{,}5\,\text{T} \cdot 0{,}2\,\text{m} \cdot 3\,\frac{\text{m}}{\text{s}} = 0{,}3\,\text{V}

Detaillierte Schritterklärung anzeigen

Hier wird jeder Schritt einzeln erklärt, vor allem, warum er gemacht wird.

Erklärungstiefe

✦ Empfohlen: Standard – Die normale Erklärungstiefe passt zum Einstieg.

  1. 1

    Gegeben und Gesucht bei Fluss und bewegtem Leiter

    a) A=50 cm2A = 50\,\text{cm}^2 senkrecht in B=0,4 TB = 0{,}4\,\text{T}; gesucht der Fluss. b) dieselbe Fläche parallel zu den Feldlinien. c) Leiter mit ℓ=20 cm\ell = 20\,\text{cm} bewegt sich mit 3 ms3\,\frac{\text{m}}{\text{s}} durch B=0,5 TB = 0{,}5\,\text{T}; gesucht UindU_{\text{ind}}.

  2. 2

    Magnetischer Fluss und Induktion im bewegten Leiter

    Der magnetische Fluss ist Φ=B⋅A⋅cos⁡α\Phi = B \cdot A \cdot \cos\alpha, wobei α\alpha der Winkel zwischen Flächennormale und Feld ist. Für einen quer bewegten Leiter gilt Uind=BℓvU_{\text{ind}} = B \ell v.

  3. 3

    a) bis c) Fluss, Grenzfall und Induktionsspannung

    a) Fläche in m2\text{m}^2, dann mal . b) Bei paralleler Lage ist α=90°\alpha = 90° und cos⁡90°=0\cos 90° = 0. c) Produkt aus Flussdichte, Leiterlänge und .

    Φ=0,4 T⋅50⋅10−4 m2=2⋅10−3 Wb\Phi = 0{,}4\,\text{T} \cdot 50 \cdot 10^{-4}\,\text{m}^2 = 2 \cdot 10^{-3}\,\text{Wb}; Uind=0,5 T⋅0,2 m⋅3 ms=0,3 VU_{\text{ind}} = 0{,}5\,\text{T} \cdot 0{,}2\,\text{m} \cdot 3\,\frac{\text{m}}{\text{s}} = 0{,}3\,\text{V}

    Zwischenergebnis

    Φ=2 mWb\Phi = 2\,\text{mWb}, parallel 0 Wb0\,\text{Wb}, Uind=0,3 VU_{\text{ind}} = 0{,}3\,\text{V}

  4. 4

    Ergebnisse deuten: der Fluss als Zwischengröße

    Der Fluss selbst ist nicht messbar, messbar ist die Spannung, die bei seiner Änderung entsteht. Er ist eine Rechengröße, die drei Einflüsse (, Fläche, Winkel) zu einer einzigen Zahl zusammenfasst.

Übung 2

mittel

a) Eine (N=250N = 250, A=40 cm2A = 40\,\text{cm}^2) befindet sich in einem Feld, das in 0,02 s0{,}02\,\text{s} gleichmäßig von 0,5 T0{,}5\,\text{T} auf 0,1 T0{,}1\,\text{T} sinkt. Wie groß ist UindU_{\text{ind}}?

b) Warum liefert ein an einer Batterie keine Dauerspannung?

c) Warum kommt aus Kraftwerken Wechselspannung?

d) Wie funktioniert der Tonabnehmer einer elektrischen Gitarre?

Tipp anzeigen

a) ΔB=0,4 T\Delta B = 0{,}4\,\text{T}.

Lösung anzeigen

a) ∣ΔΦ∣=∣ΔB∣⋅A=0,4 T⋅40⋅10−4 m2=1,6⋅10−3 Wb|\Delta\Phi| = |\Delta B| \cdot A = 0{,}4\,\text{T} \cdot 40 \cdot 10^{-4}\,\text{m}^2 = 1{,}6 \cdot 10^{-3}\,\text{Wb}

∣Uind∣=N⋅∣ΔΦ∣Δt=250⋅1,6⋅10−3 Wb0,02 s=20 V|U_{\text{ind}}| = N \cdot \frac{|\Delta\Phi|}{\Delta t} = 250 \cdot \frac{1{,}6 \cdot 10^{-3}\,\text{Wb}}{0{,}02\,\text{s}} = 20\,\text{V}

b) Weil eine Batterie Gleichspannung liefert, also einen konstanten Strom in der Primärspule und damit ein konstantes .

Bei konstantem Feld ist ΔΦ=0\Delta\Phi = 0, und nach Uind=−NΔΦΔtU_{\text{ind}} = -N\frac{\Delta\Phi}{\Delta t} entsteht keine .

Nur im Moment des Einschaltens (Feld baut sich auf) und des Ausschaltens (Feld bricht zusammen) ändert sich der Fluss, und dann zuckt der Zeiger kurz aus.

🔴 Genau das ist der Grund, warum Transformatoren nur mit Wechselstrom arbeiten und warum die Stromversorgung nicht mit Gleichspannung aufgebaut wurde.

c) Weil ein aus einer rotierenden Leiterschleife im Magnetfeld besteht. Der Winkel zwischen Schleifenfläche und Feld ändert sich dabei fortlaufend:

Φ(t)=BAcos⁡(ωt)\Phi(t) = B A \cos(\omega t)

Die Änderungsrate dieses Ausdrucks ist sinusförmig, also ist auch die Spannung sinusförmig:

Uind(t)=NBAωsin⁡(ωt)U_{\text{ind}}(t) = N B A \omega \sin(\omega t)

Wechselspannung ist damit nicht gewählt, sondern die natürliche Folge einer Drehbewegung. Gleichspannung müsste erst durch Kommutator oder Gleichrichter daraus gemacht werden, was zusätzlichen Aufwand bedeutet.

Ein zweiter, ebenso wichtiger Grund: Nur Wechselspannung lässt sich mit einem Transformator verlustarm hoch- und heruntersetzen. Für den Transport über große Entfernungen braucht man hohe Spannungen (kleiner Strom bedeutet kleine Verluste), im Haushalt kleine. Mit Gleichspannung wäre das im 19. Jahrhundert unmöglich gewesen, und genau darum ging der historische „Stromkrieg" zwischen Edison und , den die Wechselspannung gewann.

d) Unter jeder Saite sitzt ein kleiner Permanentmagnet, umgeben von einer Spule mit vielen tausend Windungen.

Schritt 1: Der Magnet magnetisiert den Abschnitt der Stahlsaite direkt darüber.

Schritt 2: Wird die Saite angeschlagen, dieser magnetisierte Abschnitt auf und ab. Dadurch ändert sich der magnetische Fluss durch die Spule fortlaufend.

Schritt 3: Nach dem Induktionsgesetz entsteht eine Spannung, die genau dem Schwingungsverlauf der Saite folgt. Diese Spannung ist das Tonsignal und wird verstärkt.

🔴 Deshalb funktionieren solche Tonabnehmer nur mit magnetisierbaren Saiten. Nylonsaiten einer Konzertgitarre erzeugen keinerlei Signal, weil sie den Fluss nicht ändern. Für sie braucht man Mikrofone oder piezoelektrische Abnehmer.

Und deshalb brummen sie manchmal: Die Spule nimmt auch Flussänderungen aus der Umgebung auf, etwa das 5050-Hertz-Feld von Netzleitungen und Netzteilen. Dagegen baut man Doppelspulen (Humbucker), deren gegensinnige Wicklung das Störsignal aufhebt, das Nutzsignal aber nicht.

Detaillierte Schritterklärung anzeigen

Hier wird jeder Schritt einzeln erklärt, vor allem, warum er gemacht wird.

Erklärungstiefe

✦ Empfohlen: Standard – Die normale Erklärungstiefe passt zum Einstieg.

  1. 1

    Gegeben und Gesucht bei der Spule im sinkenden Feld

    Gegeben: N=250N = 250, A=40 cm2A = 40\,\text{cm}^2, Feldänderung von 0,5 T0{,}5\,\text{T} auf 0,1 T0{,}1\,\text{T} in Δt=0,02 s\Delta t = 0{,}02\,\text{s}. Gesucht: die Induktionsspannung sowie drei Erklärungen zu Batterie, Kraftwerk und Tonabnehmer.

  2. 2

    Das Induktionsgesetz für eine Spule

    Es gilt ∣Uind∣=N⋅∣ΔΦ∣Δt|U_{\text{ind}}| = N \cdot \frac{|\Delta\Phi|}{\Delta t}: Die Spannung wächst mit der Windungszahl und mit der der Flussänderung.

  3. 3

    a) Die Induktionsspannung berechnen

    Erst die Flussänderung aus Feldänderung und Fläche, dann durch die Zeit und mal Windungszahl.

    ∣ΔΦ∣=0,4 T⋅40⋅10−4 m2=1,6⋅10−3 Wb|\Delta\Phi| = 0{,}4\,\text{T} \cdot 40 \cdot 10^{-4}\,\text{m}^2 = 1{,}6 \cdot 10^{-3}\,\text{Wb}; ∣Uind∣=250⋅1,6⋅10−30,02 V=20 V|U_{\text{ind}}| = 250 \cdot \frac{1{,}6 \cdot 10^{-3}}{0{,}02}\,\text{V} = 20\,\text{V}

    Zwischenergebnis

    ∣Uind∣=20 V|U_{\text{ind}}| = 20\,\text{V}

  4. 4

    b) und c) Batterie am Trafo und Wechselspannung im Kraftwerk

    b) Eine Batterie liefert Gleichspannung, also konstanten Strom und konstantes Feld, bei ΔΦ=0\Delta\Phi = 0 entsteht keine Spannung. Nur beim Ein- und Ausschalten zuckt der Zeiger. c) Ein Generator besteht aus einer rotierenden Schleife; der Winkel ändert sich fortlaufend, Φ(t)=BAcos⁡(ωt)\Phi(t) = BA\cos(\omega t), und die Änderungsrate ist sinusförmig.

  5. 5

    d) Ergebnis deuten: der Tonabnehmer einer E-Gitarre

    Unter jeder Saite sitzt ein Permanentmagnet mit einer Spule. Er magnetisiert den Abschnitt der Stahlsaite darüber; schwingt dieser, ändert sich der Fluss durch die Spule fortlaufend, und nach dem Induktionsgesetz entsteht eine Spannung, die dem Schwingungsverlauf folgt.

Übung 3

schwer

a) Nenne die drei Möglichkeiten, den Fluss zu ändern, und je ein technisches Beispiel.

b) Erkläre die im bewegten Leiter über die und begründe, warum das bei ruhender Anordnung nicht funktioniert.

c) Ein (N=200N = 200, A=300 cm2A = 300\,\text{cm}^2, B=0,4 TB = 0{,}4\,\text{T}) dreht mit 50 Hz50\,\text{Hz}. Wie groß ist die Scheitelspannung?

d) Warum entstehen beim Abschalten einer sehr hohe , und welche Folgen hat das?

Tipp anzeigen

c) ω=2πf\omega = 2\pi f.

Lösung anzeigen

a) Drei Möglichkeiten, entsprechend den drei Faktoren in Φ=BAcos⁡α\Phi = BA\cos\alpha:

1. Die BB ändern. Beispiel: . Der Wechselstrom in der Primärspule erzeugt ein sich änderndes Feld im Eisenkern, das in der Sekundärspule eine Spannung induziert. Nichts bewegt sich.

2. Die Fläche AA ändern. Beispiel: bewegter Leiter auf zwei Schienen (Stabgenerator, Wirbelstrombremse). Die von der Leiterschleife umschlossene Fläche wächst oder schrumpft.

3. Den Winkel α\alpha ändern. Beispiel: Generator, Fahrraddynamo. Die Schleife rotiert, der Winkel zum Feld ändert sich fortlaufend, der Fluss schwankt sinusförmig.

b) Im bewegten Leiter. Die freien Elektronen bewegen sich mit dem Leiter durch das Feld. Auf jede bewegte wirkt die Lorentzkraft FL=evBF_L = evB, gerichtet längs des Leiters. Die Elektronen werden an ein Ende geschoben, dort entsteht Überschuss, am anderen Ende Mangel, also eine Spannung.

Das Gleichgewicht stellt sich ein, wenn die elektrische Rückstellkraft die Lorentzkraft ausgleicht:

eE=evB⇒E=vB⇒U=Eℓ=BℓveE = evB \quad \Rightarrow \quad E = vB \quad \Rightarrow \quad U = E\ell = B\ell v

Dasselbe Ergebnis wie aus dem Induktionsgesetz.

Warum das bei ruhender Anordnung nicht funktioniert. Ändert sich nur das Feld, während Spule und Leiter still stehen, sind die Ladungsträger nicht in Bewegung. Ohne gibt es nach FL=qvBF_L = qvB keine Lorentzkraft.

Trotzdem wird eine Spannung gemessen, genau wie vom Induktionsgesetz vorhergesagt.

🔴 Die Erklärung: Ein sich änderndes erzeugt unmittelbar ein , das die Ladungen antreibt. Das ist ein eigenständiges Naturgesetz (eine der Maxwellschen Gleichungen) und nicht auf die Lorentzkraft zurückführbar.

Bemerkenswert ist, dass beide Fälle physikalisch dasselbe Ergebnis liefern, obwohl sie ganz verschieden erklärt werden, und dass es nur auf die Relativbewegung ankommt: Ob man den Magneten oder die Spule bewegt, ist gleichgültig. Genau diese Asymmetrie in der Erklärung bei gleicher Beobachtung nennt Einstein im ersten Absatz seiner zur speziellen Relativitätstheorie von 1905 als Ausgangspunkt.

c) ω=2πf=2π⋅50 Hz≈314 1s\omega = 2\pi f = 2\pi \cdot 50\,\text{Hz} \approx 314\,\frac{1}{\text{s}}

U^=NBAω=200⋅0,4 T⋅300⋅10−4 m2⋅314 1s\hat{U} = N B A \omega = 200 \cdot 0{,}4\,\text{T} \cdot 300 \cdot 10^{-4}\,\text{m}^2 \cdot 314\,\frac{1}{\text{s}} U^=200⋅0,4⋅0,03⋅314 V≈754 V\hat{U} = 200 \cdot 0{,}4 \cdot 0{,}03 \cdot 314\,\text{V} \approx 754\,\text{V}

Der Effektivwert beträgt Ueff=U^2≈533 VU_{\text{eff}} = \frac{\hat{U}}{\sqrt{2}} \approx 533\,\text{V}.

d) Ursache: ein sehr kleines Δt\Delta t.

Beim Abschalten bricht das Magnetfeld der Spule sehr schnell zusammen. Die Flussänderung ΔΦ\Delta\Phi ist dabei so groß wie der gesamte vorher vorhandene Fluss, und Δt\Delta t ist sehr klein, weil der Schalter in Millisekunden oder schneller öffnet.

Uind=−NΔΦΔtU_{\text{ind}} = -N\frac{\Delta\Phi}{\Delta t}

Ein großer Zähler geteilt durch einen winzigen Nenner ergibt eine sehr hohe Spannung, oft ein Vielfaches der Betriebsspannung.

Genutzte Anwendung: Die Zündspule im Auto macht daraus aus 12 V12\,\text{V} mehrere zehntausend Volt, genug für den Zündfunken. Das ist keine Energieerzeugung, sondern dieselbe in sehr kurzer Zeit, also dasselbe Prinzip wie beim Blitzkondensator.

Unerwünschte Folgen:

  • Schaltfunken an mechanischen Kontakten. Sie brennen die Kontakte ab und verkürzen die Lebensdauer von Relais und Schaltern.
  • Zerstörung von . Transistoren, die Spulen schalten (Relais, Ventile, Motoren), werden durch die Spannungsspitze durchschlagen.
  • Störungen in benachbarter Elektronik durch die abgestrahlten .

Schutzmaßnahmen: Eine Freilaufdiode parallel zur Spule bietet dem Strom nach dem Abschalten einen Weg, sodass das Feld langsam abklingt statt schlagartig. Damit wird Δt\Delta t groß und die Spannungsspitze klein. Ebenso wirken RC-Glieder (Snubber) und Varistoren.

🔴 Die Lehre: Dieselbe Physik, die die Zündspule nützlich macht, zerstört ungeschützte Elektronik. Ob ein Effekt Nutzen oder Schaden bringt, entscheidet allein die Bauweise.

Detaillierte Schritterklärung anzeigen

Hier wird jeder Schritt einzeln erklärt, vor allem, warum er gemacht wird.

Erklärungstiefe

✦ Empfohlen: Standard – Die normale Erklärungstiefe passt zum Einstieg.

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    Gegeben und Gesucht, drei Wege, eine Rechnung, eine Warnung

    c) gibt einen Generator mit N=200N = 200, A=300 cm2A = 300\,\text{cm}^2, B=0,4 TB = 0{,}4\,\text{T} bei 50 Hz50\,\text{Hz}; gesucht ist die Scheitelspannung. a), b) und d) verlangen Begründungen zu Flussänderung, Lorentzkraft und Abschaltspitzen.

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    a) Drei Möglichkeiten, den Fluss zu ändern

    Entsprechend den drei Faktoren in Φ=BAcos⁡α\Phi = BA\cos\alpha: 1. BB ändern: Beispiel Transformator, wo nichts sich bewegt. 2. AA ändern: Beispiel bewegter Leiter auf Schienen, wo die umschlossene Fläche wächst. 3. α\alpha ändern: Beispiel Generator und Fahrraddynamo, wo die Schleife rotiert.

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    b) Induktion über die Lorentzkraft, und wo diese Erklärung endet

    Im bewegten Leiter bewegen sich die freien Elektronen mit und erfahren die Lorentzkraft FL=evBF_L = evB längs des Leiters; sie werden an ein Ende geschoben, es entsteht eine Spannung. Das Gleichgewicht liefert eE=evBeE = evB, also U=BℓvU = B\ell v, dasselbe Ergebnis wie aus dem Induktionsgesetz.

  4. 4

    c) Die Scheitelspannung des Generators

    Erst die Kreisfrequenz ω=2πf\omega = 2\pi f, dann U^=NBAω\hat{U} = N B A \omega; der Effektivwert folgt durch Teilen durch 2\sqrt{2}.

    ω=2π⋅50 Hz≈314 1s\omega = 2\pi \cdot 50\,\text{Hz} \approx 314\,\frac{1}{\text{s}}; U^=200⋅0,4 T⋅0,03 m2⋅314 1s≈754 V\hat{U} = 200 \cdot 0{,}4\,\text{T} \cdot 0{,}03\,\text{m}^2 \cdot 314\,\frac{1}{\text{s}} \approx 754\,\text{V}

    Zwischenergebnis

    U^≈754 V\hat{U} \approx 754\,\text{V}, Ueff≈533 VU_{\text{eff}} \approx 533\,\text{V}

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    d) Ergebnis deuten: warum das Abschalten gefährlich ist

    Beim Abschalten bricht das Feld sehr schnell zusammen: Die Flussänderung ist so groß wie der gesamte vorher vorhandene Fluss, und Δt\Delta t ist winzig, weil der Schalter in Millisekunden öffnet. Ein großer Zähler geteilt durch einen winzigen Nenner ergibt eine sehr hohe Spannung.

Zusammenfassung

Der magnetische Fluss beschreibt, wie viel Feld durch eine Fläche hindurchgeht, und hängt von , Flächengröße und Winkel ab; er wird in Weber gemessen, was einer Voltsekunde entspricht. Nach dem Induktionsgesetz entsteht eine genau dann, wenn sich dieser Fluss ändert, wobei die Windungszahl als einfacher Faktor eingeht und das Minuszeichen die Lenzsche Regel ausdrückt. Entscheidend ist allein die der Änderung, denn ein noch so starkes, aber konstantes Feld liefert nichts, weshalb ein an einer Batterie stumm bleibt. Ändern lässt sich der Fluss auf drei Wegen, nämlich über die , die Fläche oder den Winkel, und jede technische Anwendung nutzt einen davon. Beim bewegten Leiter lässt sich die auch als Lorentzkraft auf die Elektronen verstehen, während bei ruhender Anordnung ein sich änderndes Magnetfeld unmittelbar ein elektrisches Feld erzeugt, und aus der Drehbewegung eines Generators folgt zwangsläufig die sinusförmige Wechselspannung unserer Stromversorgung.