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Geometrie

Ähnlichkeit und Strahlensätze

Mit Verhältnissen messen, was man nicht erreichen kann: Bäume, Türme, Flussbreiten.

Benötigte Grundlagen

Diese Themen kommen in diesem Kapitel vor und wurden vorher schon erklärt. Wenn dir eines davon unsicher vorkommt, frisch es kurz auf, sonst leg direkt los.

Einführung

Wie hoch ist ein Baum, ohne hinaufzuklettern? Thales soll so sogar die Cheops-Pyramide vermessen haben, nur mit einem Stab und seinem Schatten! Das Geheimnis: ähnliche Figuren haben gleiche Verhältnisse. Die Strahlensätze machen daraus ein Rechenwerkzeug für alles Unerreichbare.

Das kannst du nach diesem Kapitel

  • erklären, wann Figuren ähnlich sind (zentrische Streckung, Streckfaktor kk).

  • wissen, wie sich Längen (⋅k\cdot k) und (⋅k2\cdot k^2) beim Strecken verhalten.

  • die Strahlensätze an V- und X-Figuren anwenden.

  • unzugängliche Höhen und Entfernungen über Verhältnisse berechnen.

Was „ähnlich“ in der Mathematik bedeutet

Im Alltag heißt „ähnlich" ungefähr „sieht fast gleich aus". In der Mathematik ist der Begriff präzise festgelegt:

Zwei Figuren sind ähnlich, wenn sie dieselbe Form haben, verschieden groß dürfen sie sein.

Ein Foto und derselbe Abzug im Doppelformat sind ähnlich, ein Modellauto und das echte Auto ebenfalls. Wichtig ist der Unterschied zur aus Klasse 7: Kongruente Figuren sind deckungsgleich, also gleiche Form und gleiche Größe. Ähnlichkeit fordert weniger, die Größe darf sich ändern.

Wie man eine ähnliche Figur erzeugt: zentrische Streckung

Wähle einen Punkt ZZ, das Zentrum, und eine Zahl kk, den Streckfaktor. Von ZZ aus ziehst du zu jedem Punkt der Figur einen Strahl und trägst darauf die kk-fache Entfernung ab. Bei k=2k = 2 ist anschließend jeder Punkt doppelt so weit von ZZ entfernt wie vorher.

Zwei Sprechweisen für dieselbe Sache. Der Streckfaktor ist genau das, was du aus Klasse 5 als kennst: „Maßstab 1:31 : 3" heißt, dass eine Strecke, die in der einen Figur 11 lang ist, in der anderen 33 lang ist, der Streckfaktor von der kleinen zur großen Figur ist also k=3k = 3. Und die Kongruenz ist der Sonderfall k=1k = 1: Wird gar nicht gestreckt, bleibt auch die Größe gleich. Kongruente Figuren sind deshalb immer auch ähnlich, umgekehrt nicht.

Beim Strecken verhalten sich zwei Größen unterschiedlich:

  • Alle Längen werden mit kk multipliziert, und zwar alle mit demselben kk.
  • Alle bleiben gleich.

Erst beides zusammen erhält die Form. Dass jede Länge denselben Faktor bekommt, verhindert, dass die Figur in eine Richtung gezerrt wird; dass die Winkel bleiben, verhindert, dass sie verkantet wird. Fehlt eines von beidem, ist es keine Ähnlichkeit mehr. (Dass die Winkel wirklich unverändert bleiben, machen wir uns hier nur an der Zeichnung klar: Die neuen Verbindungslinien verlaufen parallel zu den alten. Ein strenger Beweis dafür braucht die Strahlensätze, die wir gleich erst herleiten, wir würden uns also im drehen.)

Und die Flächen? Die wachsen quadratisch

Hier täuscht die Intuition. Verdoppelst du alle Längen, wird die nicht doppelt, sondern viermal so groß. Rechne es an einem nach: Aus den Seiten aa und bb werden k⋅ak \cdot a und k⋅bk \cdot b, also

Aneu=(k⋅a)⋅(k⋅b)=k2⋅(a⋅b)=k2⋅AaltA_{\text{neu}} = (k \cdot a) \cdot (k \cdot b) = k^2 \cdot (a \cdot b) = k^2 \cdot A_{\text{alt}}

Der Faktor kk steckt in beiden Seiten, deshalb erscheint er zweimal, also als k2k^2. Bei k=3k = 3 wird die Fläche 99-mal so groß. (Beim kommt eine dritte Richtung hinzu, dort ist es k3k^3. Genau deshalb ist ein doppelt so großes Tier nicht doppelt, sondern achtmal so schwer.)

Woran du ähnliche Dreiecke erkennst

Bei genügt eine überraschend kleine Prüfung: Stimmen zwei Winkel überein, sind die Dreiecke ähnlich.

Warum reichen zwei? Der erste Schritt ist leicht: Weil die im Dreieck immer 180°180° beträgt, ist der dritte Winkel bereits festgelegt, sobald du zwei kennst. Er ist 180°180° minus die beiden anderen. Zwei gleiche Winkel bedeuten also automatisch drei gleiche Winkel.

Der zweite Schritt ist der eigentliche. Denn oben stand ausdrücklich: Zur Ähnlichkeit gehören gleiche Winkel und gleiche Längenverhältnisse. Drei gleiche Winkel sind also erst die halbe Miete, warum stimmen auch die Verhältnisse? So kannst du es einsehen:

Nimm das kleinere der beiden Dreiecke und strecke es zentrisch, bis eine seiner Seiten genau so lang ist wie die entsprechende Seite im größeren. Beim Strecken ändern sich die Winkel nicht. Jetzt haben die gestreckte Kopie und das große Dreieck eine gleich lange Seite und die beiden daran anliegenden Winkel gemeinsam, nach dem Kongruenzsatz WSW aus Klasse 7 sind sie damit deckungsgleich.

Das große Dreieck ist also die gestreckte Kopie des kleinen. Und in einer gestreckten Kopie ist jede Länge mit demselben kk multipliziert, genau das war gefragt.

Dieses Kriterium ist der Schlüssel zu den beiden Strahlensätzen in den nächsten Abschnitten.

Denk weiter: Das Winkelkriterium gilt ausdrücklich für Dreiecke. Findest du zwei Vierecke, die in allen Winkeln übereinstimmen und trotzdem nicht dieselbe Form haben?

Versuch es erst selbst, du brauchst nur zwei sehr gewöhnliche Figuren.

Nimm ein mit der Seite 44 und ein mit den Seiten 22 und 66. Beide haben vier rechte , stimmen also in allen Winkeln überein. Ähnlich sind sie trotzdem nicht:

42=2aber46=23\frac{4}{2} = 2 \qquad\text{aber}\qquad \frac{4}{6} = \frac{2}{3}

Die entsprechenden Seiten stehen in verschiedenen Verhältnissen. Es gibt kein kk, mit dem du das Quadrat zum Rechteck strecken könntest, beim Strecken müssten ja alle Längen mit demselben Faktor wachsen. (Ein langes, schmales Rechteck aus einem Quadrat zu machen, wäre kein Strecken, sondern ein Zerren in eine Richtung, und genau das verbietet die Ähnlichkeit.)

Warum geht das beim Dreieck nicht?

Weil ein durch seine Winkel schon festgehalten ist. Zeichne eine Seite und trage an ihren beiden Enden die vorgegebenen Winkel an: Die zwei Schenkel treffen sich in genau einem Punkt, das Dreieck ist fertig. Es bleibt kein Spielraum. Das ist derselbe Gedanke wie beim WSW aus Klasse 7, und genau er steckt in der Begründung oben.

Beim gibt es diesen Spielraum sehr wohl: Du kannst Länge und Breite unabhängig voneinander wählen, ohne einen einzigen Winkel anzufassen.

Was du daraus mitnimmst

Das Winkelkriterium ist ein Dreiecks-Kriterium. Bei jeder anderen Figur musst du zusätzlich die Seitenverhältnisse prüfen, deshalb nennt die Definition beides. Und deshalb zerlegt man in der Geometrie Vielecke am liebsten in Dreiecke: Erst dort tragen die Winkel allein.

Nebenbei erklärt das auch, warum es beim Fotodrucken „10×1510 \times 15" und „20×3020 \times 30" gibt, aber nicht „10×1510 \times 15" und „20×2520 \times 25": Nur im ersten Fall passt das Bild formatfüllend, weil nur dort beide Längen denselben Faktor haben.

Der 1. Strahlensatz, und warum er gilt

Nun die Situation, um die es in diesem Kapitel geht (siehe Bild unten): Von einem Punkt ZZ gehen zwei Strahlen aus. Sie werden von zwei parallelen Geraden geschnitten, die erste in AA und BB, die zweite weiter außen in A′A' und B′B'.

Dadurch entstehen zwei : das kleine ZABZAB und das große ZA′B′ZA'B'.

Der entscheidende Schritt: die beiden Dreiecke sind ähnlich

Das ist keine neue Regel, sondern folgt aus dem Kriterium von oben. Prüfen wir zwei :

  1. Den Winkel bei ZZ haben beide Dreiecke gemeinsam. Es ist derselbe Winkel.
  2. Der Winkel bei AA und der Winkel bei A′A' sind gleich groß. Denn hier werden zwei parallele Geraden von einem Strahl geschnitten, und an geschnittenen Parallelen sind die gleich groß (Klasse 6).

Zwei gleiche Winkel genügen, also sind ZABZAB und ZA′B′ZA'B' ähnlich. Und ähnlich heißt: Jede Länge im großen Dreieck ist das kk-fache der entsprechenden Länge im kleinen.

Daraus entsteht der Satz

Für die beiden Strahlen bedeutet das:

ZA′=k⋅ZAundZB′=k⋅ZBZA' = k \cdot ZA \qquad\text{und}\qquad ZB' = k \cdot ZB

Teile jede durch die kleinere Strecke:

ZA′ZA=kundZB′ZB=k\frac{ZA'}{ZA} = k \qquad\text{und}\qquad \frac{ZB'}{ZB} = k

Beide Verhältnisse sind gleich kk, also sind sie untereinander gleich. Das ist der 1. Strahlensatz:

ZA′ZA=ZB′ZB\frac{ZA'}{ZA} = \frac{ZB'}{ZB}

In Worten: Beide Strahlen werden im gleichen Verhältnis geteilt. Ist der eine Abschnitt doppelt so lang geworden, dann auch der andere. Der Satz ist damit keine willkürliche Formel, sondern nur eine andere Schreibweise für „die beiden Dreiecke haben dieselbe Form".

Die wichtigste Regel bei der Anwendung: Alle Strecken werden vom Zentrum ZZ aus gemessen, nicht von der Parallelen aus. Ist etwa ZA=4ZA = 4 und das Teilstück AA′=6AA' = 6, dann ist ZA′=4+6=10ZA' = 4 + 6 = 10 und nicht 66. Das ist der Fehler Nummer eins in diesem Kapitel.

ZAA'BB'

1. Strahlensatz: Zwei Strahlen aus ZZ, geschnitten von zwei Parallelen. Die Abschnitte auf einem Strahl stehen im gleichen Verhältnis wie auf dem anderen: ZA′ZA=ZB′ZB\dfrac{ZA'}{ZA} = \dfrac{ZB'}{ZB}.

Der 2. Strahlensatz: jetzt die Parallelen selbst

Der erste Strahlensatz vergleicht Strecken auf den Strahlen. Oft ist aber etwas anderes gesucht: die Länge der Parallelstrecke selbst, die Breite eines Flusses, die Höhe eines Baumes. Im Bild sind das die Strecken ABAB und A′B′A'B', nicht die Abschnitte auf den Strahlen.

Dafür brauchen wir keinen neuen Beweis. Die ZABZAB und ZA′B′ZA'B' sind ähnlich. Das haben wir gerade gezeigt. Ähnlich heißt: jede Länge im großen Dreieck ist das kk-fache der entsprechenden Länge im kleinen. Das gilt dann auch für die dritte Seite, die Parallelstrecke:

A′B′=k⋅AB⇒A′B′AB=kA'B' = k \cdot AB \qquad\Rightarrow\qquad \frac{A'B'}{AB} = k

Und weil kk auch das Verhältnis der Strahlabschnitte ist, dürfen wir beides gleichsetzen. Das ist der 2. Strahlensatz:

A′B′AB=ZA′ZA\frac{A'B'}{AB} = \frac{ZA'}{ZA}

Was daran wirklich neu ist: Der Satz verbindet eine Strecke, die man nicht erreichen kann (die weit entfernte Parallelstrecke), mit Strecken, die man messen kann. Genau das macht ihn zum Messwerkzeug für alles Unzugängliche.

Und die Stolperfalle: Rechts stehen wieder Strecken vom Zentrum aus. Es gilt also nicht A′B′AB=AA′ZA\frac{A'B'}{AB} = \frac{AA'}{ZA}, mit dem Teilstück AA′AA' statt der Gesamtstrecke ZA′ZA' wird das Ergebnis falsch. Prüfe bei jeder Verhältnisgleichung: Beginnt jede Strecke, die ich aufschreibe, wirklich bei ZZ?

ZAA'BB'

2. Strahlensatz: Die Parallelstrecken (grün innen ABAB, blau außen A′B′A'B') verhalten sich wie die zugehörigen Strahlabschnitte vom Zentrum aus: A′B′AB=ZA′ZA\dfrac{A'B'}{AB} = \dfrac{ZA'}{ZA}.

Das Messprinzip: Unerreichbares berechnen

Jetzt wird aus der Theorie ein Werkzeug. Immer wenn eine Länge nicht direkt messbar ist, Baumhöhe, Flussbreite, Turmhöhe, läuft es auf dieselben vier Schritte hinaus:

  1. Skizze anfertigen: Wo ist das Zentrum ZZ? Wo verlaufen die beiden Strahlen? Welche zwei Strecken sind parallel?
  2. Bekannte Strecken eintragen, die gesuchte mit xx benennen.
  3. Verhältnisgleichung aufstellen, und dabei konsequent vom Zentrum aus messen.
  4. Nach xx auflösen (über Kreuz multiplizieren) und das Ergebnis auf Plausibilität prüfen.

Warum das Schattenverfahren funktioniert

Der Klassiker ist die Baumhöhe: Du stellst einen Stab neben den Baum und misst beide Schatten. Aber warum darf man das rechnen?

Der entscheidende Punkt ist die Sonne. Sie ist so weit entfernt, dass ihre Strahlen bei uns praktisch parallel ankommen. Dadurch treffen sie Stab und Baum unter demselben . Stab und Baum stehen beide senkrecht, haben also ebenfalls gleiche Winkel zum Boden. Zwei gleiche Winkel, die beiden (Stab + Stabschatten, Baum + Baumschatten) sind ähnlich.

Und damit stehen ihre Längen im gleichen Verhältnis:

Baumho¨heStabho¨he=BaumschattenStabschatten\frac{\text{Baumhöhe}}{\text{Stabhöhe}} = \frac{\text{Baumschatten}}{\text{Stabschatten}}

Auf die achten: Links stehen zwei Höhen, rechts zwei Schatten, und oben jeweils der Baum, unten jeweils der Stab. Wer Höhe und Schatten mischt, erhält Unsinn. Eine gute Kontrolle ist die Größenordnung: Ist der Baumschatten sechsmal so lang wie der Stabschatten, muss der Baum sechsmal so hoch sein wie der Stab.

Dass das funktioniert, ist übrigens sehr alt: Thales von Milet soll auf genau diese Weise vor etwa 26002600 Jahren die Höhe der Cheops-Pyramide bestimmt haben, mit einem Stock und einem Maßband.

Baumhöhe per Schatten

Ein 1,50 m1{,}50\,\text{m} langer Stab wirft einen 2 m2\,\text{m} langen Schatten. Der Schatten des Baumes daneben ist 12 m12\,\text{m} lang. Wie hoch ist der Baum?

  1. 1

    Zuerst die Angaben sortieren. Es gibt zwei Objekte mit je zwei Maßen, und eines dieser vier Maße fehlt:

    HöheSchatten
    Stab1,50 m1{,}50\,\text{m}2 m2\,\text{m}
    Baumgesucht: hh12 m12\,\text{m}

    Gesucht ist die Baumhöhe hh, eine Länge, die man nicht direkt messen kann. Genau dafür ist dieses Kapitel da.

  2. 2

    Warum darf man hier überhaupt mit Verhältnissen rechnen? Diese Begründung gehört in jede Lösung, sie ist der eigentliche mathematische Kern:

    Die Sonne ist so weit entfernt, dass ihre Strahlen parallel ankommen. Sie treffen Stab und Baum deshalb unter demselben . Beide stehen außerdem senkrecht auf dem Boden, haben also auch dort gleiche Winkel.

    Zwei gleiche Winkel genügen: Die beiden Dreiecke (Stab mit Schatten, Baum mit Schatten) sind ähnlich. Und in ähnlichen Figuren stehen entsprechende Längen im gleichen Verhältnis.

  3. 3

    Die Verhältnisgleichung aufstellen. Wichtig ist, dass die konsequent bleibt: links zwei Höhen, rechts zwei Schatten, und oben jeweils der Baum, unten jeweils der Stab.

    h1,5=122\frac{h}{1{,}5} = \frac{12}{2}

    Ein häufiger Fehler ist, Höhe und Schatten zu mischen (h12=1,52\frac{h}{12} = \frac{1{,}5}{2} wäre auch richtig, aber h2=121,5\frac{h}{2} = \frac{12}{1{,}5} ist falsch). Prüfe die Struktur, bevor du rechnest.

  4. 4

    Zuerst die rechte Seite ausrechnen. Sie enthält nur bekannte Zahlen:

    122=6\frac{12}{2} = 6

    Diese 66 ist der Streckfaktor: Der Baumschatten ist sechsmal so lang wie der Stabschatten. Also muss auch der Baum sechsmal so hoch sein wie der Stab. Damit vereinfacht sich die zu

    h1,5=6\frac{h}{1{,}5} = 6
  5. 5

    Nach hh auflösen. Das hh steht in einem über der 1,51{,}5, wird also durch 1,51{,}5 geteilt. Das machen wir rückgängig, indem wir beide Seiten mit 1,51{,}5 multiplizieren:

    h1,5=6∣  ⋅1,5h=6⋅1,5=9\begin{aligned} \frac{h}{1{,}5} &= 6 &&|\; \cdot 1{,}5 \\ h &= 6 \cdot 1{,}5 = 9 \end{aligned}
  6. 6

    Einheit und Plausibilität. Die Stabhöhe war in Metern angegeben, und wir haben sie mit einer reinen Zahl (dem Streckfaktor) multipliziert, das Ergebnis ist also in Metern: h=9 mh = 9\,\text{m}.

    Ist das plausibel? Der Baum ist sechsmal so hoch wie ein 1,5 m1{,}5\,\text{m}-Stab. Neun Meter entsprechen etwa einem dreistöckigen Haus, für einen Baum völlig realistisch ✓

Der Baum ist 9 m9\,\text{m} hoch, bestimmt allein mit einem Stab und einem Maßband, ohne hinaufzuklettern.

Die Kernidee zum Mitnehmen: Zwei ähnliche , drei bekannte Längen, eine unbekannte, daraus wird immer eine Verhältnisgleichung.

Strahlensatz in der V-Figur

Von ZZ aus gilt: ZA=4 cmZA = 4\,\text{cm} und AA′=6 cmAA' = 6\,\text{cm}; auf dem zweiten Strahl ist ZB=6 cmZB = 6\,\text{cm}. Die Parallelen verlaufen durch A,BA, B bzw. A′,B′A', B'. Wie lang ist ZB′ZB'?

  1. 1

    Die Angaben sortieren, und dabei die entscheidende Falle entschärfen. Gegeben sind zwei Strecken auf dem ersten Strahl, aber unterschiedlich gemessen:

    • ZA=4 cmZA = 4\,\text{cm}, vom Zentrum bis zur ersten Parallelen,
    • AA′=6 cmAA' = 6\,\text{cm}, das Teilstück zwischen den beiden Parallelen.

    Für den Strahlensatz brauchen wir aber alle Strecken vom Zentrum aus. Also berechnen wir zuerst:

    ZA′=ZA+AA′=4+6=10 cmZA' = ZA + AA' = 4 + 6 = 10\,\text{cm}

    Dieser Zwischenschritt ist der wichtigste der ganzen Aufgabe. Wer mit 66 statt mit 1010 weiterrechnet, erhält ein falsches Ergebnis.

  2. 2

    Was ist gesucht? Die Strecke ZB′ZB', also auf dem zweiten Strahl, gemessen vom Zentrum bis zur äußeren Parallelen.

    Weil ZA′ZA' größer ist als ZAZA, liegt B′B' weiter außen als BB. Unser Ergebnis muss also größer als 6 cm6\,\text{cm} sein.

  3. 3

    Welcher Satz passt, und warum dieser? Es geht ausschließlich um Strecken auf den Strahlen (nicht um die Parallelstrecken selbst). Das ist genau der 1. Strahlensatz:

    ZA′ZA=ZB′ZB\frac{ZA'}{ZA} = \frac{ZB'}{ZB}

    Er gilt, weil die beiden ZABZAB und ZA′B′ZA'B' ähnlich sind, die Parallelen erzeugen gleiche .

  4. 4

    Einsetzen. Wir ersetzen die drei bekannten Strecken:

    104=ZB′6\frac{10}{4} = \frac{ZB'}{6}
  5. 5

    Nach ZB′ZB' auflösen. Das Gesuchte steht im des rechten , geteilt durch 66. Also multiplizieren wir beide Seiten mit 66:

    104=ZB′6∣  ⋅6ZB′=104⋅6=604=15\begin{aligned} \frac{10}{4} &= \frac{ZB'}{6} &&|\; \cdot 6 \\ ZB' &= \frac{10}{4} \cdot 6 = \frac{60}{4} = 15 \end{aligned}

    (Das ist dasselbe wie „über Kreuz multiplizieren": 10⋅6=4⋅ZB′10 \cdot 6 = 4 \cdot ZB'.)

  6. 6

    Einheit und Kontrolle. Alle Angaben waren in Zentimetern, also ist ZB′=15 cmZB' = 15\,\text{cm}.

    Prüfen wir das Verhältnis: Auf dem ersten Strahl ist 104=2,5\frac{10}{4} = 2{,}5. Auf dem zweiten 156=2,5\frac{15}{6} = 2{,}5 ✓ Beide Strahlen sind im gleichen Verhältnis geteilt, genau das behauptet der Strahlensatz. Und 15>615 > 6, wie vorhergesagt.

ZB′=15 cmZB' = 15\,\text{cm}

Die Lehre: Bevor du einsetzt, prüfe bei jeder Strecke: Beginnt sie beim Zentrum ZZ? Teilstücke wie AA′AA' müssen erst zur Gesamtstrecke addiert werden.

Flächen wachsen quadratisch

Ein Foto im Format 10 cm×15 cm10\,\text{cm} \times 15\,\text{cm} wird auf das Dreifache gestreckt (k=3k = 3). Wie ändern sich und ?

  1. 1

    Was ist gegeben? Die beiden Seiten 10 cm10\,\text{cm} und 15 cm15\,\text{cm} und der Streckfaktor k=3k = 3. Gesucht ist, wie sich zwei verschiedene Größen ändern: Umfang und Fläche. Genau darin liegt die Pointe der Aufgabe: Sie ändern sich nicht gleich.

  2. 2

    Zuerst die neuen Seitenlängen. Bei einer zentrischen Streckung wird jede Länge mit kk multipliziert:

    10 cm⋅3=30 cm15 cm⋅3=45 cm10\,\text{cm} \cdot 3 = 30\,\text{cm} \qquad\qquad 15\,\text{cm} \cdot 3 = 45\,\text{cm}

    Das neue Format ist also 30 cm×45 cm30\,\text{cm} \times 45\,\text{cm}.

  3. 3

    Der Umfang. Er ist eine Länge (die Summe aller Seiten), also verhält er sich wie jede Länge.

    ualt=2⋅(10+15)=50 cmuneu=2⋅(30+45)=150 cmu_{\text{alt}} = 2 \cdot (10 + 15) = 50\,\text{cm} \qquad\qquad u_{\text{neu}} = 2 \cdot (30 + 45) = 150\,\text{cm} 15050=3⇒Umfang mal k\frac{150}{50} = 3 \qquad\Rightarrow\qquad \text{Umfang mal } k

    Das ist einleuchtend: Werden alle Seiten dreimal so lang, ist auch der Weg außen herum dreimal so lang.

  4. 4

    Die Fläche, und hier passiert das Unerwartete.

    Aalt=10⋅15=150 cm2Aneu=30⋅45=1 350 cm2A_{\text{alt}} = 10 \cdot 15 = 150\,\text{cm}^2 \qquad\qquad A_{\text{neu}} = 30 \cdot 45 = 1\,350\,\text{cm}^2 1 350150=9⇒Fla¨che mal 9\frac{1\,350}{150} = 9 \qquad\Rightarrow\qquad \text{Fläche mal } 9

    Nicht dreimal, sondern neunmal so groß.

  5. 5

    Warum ausgerechnet 99? Weil bei der Fläche zwei Längen multipliziert werden, und beide sind mit 33 gestreckt worden:

    Aneu=(3⋅10)⋅(3⋅15)=3⋅3⋅(10⋅15)=9⋅AaltA_{\text{neu}} = (3 \cdot 10) \cdot (3 \cdot 15) = 3 \cdot 3 \cdot (10 \cdot 15) = 9 \cdot A_{\text{alt}}

    Der Faktor 33 erscheint zweimal, also als 32=93^2 = 9. Allgemein gilt daher: Längen mal kk, Flächen mal k2k^2.

    Die Einheiten verraten es übrigens auch: cm\text{cm} hat eine Länge (ein Faktor kk), cm2\text{cm}^2 hat zwei (also k2k^2). Beim mit cm3\text{cm}^3 wären es entsprechend k3k^3, hier also 2727.

Der Umfang verdreifacht sich (50→150 cm50 \to 150\,\text{cm}), der Flächeninhalt verneunfacht sich (150→1 350 cm2150 \to 1\,350\,\text{cm}^2).

Merke: Längen wachsen linear mit kk, Flächen quadratisch mit k2k^2, Volumina mit k3k^3. Deshalb ist doppelt so groß nie doppelt so viel.

Typischer Fehler

ZAAA′=ZBBB′\frac{ZA}{AA'} = \frac{ZB}{BB'}… „ich nehme einfach die Teilstücke."

Der Strahlensatz vergleicht Strecken vom Zentrum aus (ZAZA mit ZA′ZA'), oder konsequent Teilstück zu Teilstück (ZAAA′=ZBBB′\frac{ZA}{AA'} = \frac{ZB}{BB'} stimmt tatsächlich auch, aber nur in dieser Paarung!). Was nie geht: Zentrum-Strecke mit Teilstück mischen (ZA′AA′\frac{ZA'}{AA'}-Chaos). Sicherster Weg: immer vom Zentrum aus messen und die Skizze farbig markieren.

Übung 1

leicht

Zwei ähnliche haben den Streckfaktor k=2,5k = 2{,}5. Das kleine hat die Seite 4 cm4\,\text{cm} und den 6 cm26\,\text{cm}^2. Bestimme die entsprechende Seite und die Fläche des großen.

Tipp anzeigen

Längen mal kk, Flächen mal k2k^2.

Lösung anzeigen

Seite: 4⋅2,5=10 cm4 \cdot 2{,}5 = 10\,\text{cm}

Fläche: 6⋅2,52=6⋅6,25=37,5 cm26 \cdot 2{,}5^2 = 6 \cdot 6{,}25 = 37{,}5\,\text{cm}^2

Detaillierte Schritterklärung anzeigen

Hier wird jeder Schritt einzeln erklärt, vor allem, warum er gemacht wird.

Erklärungstiefe

✦ Empfohlen: Standard – Die normale Erklärungstiefe passt zum Einstieg.

  1. 1

    Seite: Längen wachsen mit k

    Der Streckfaktor wirkt auf jede Länge direkt: 4⋅2,5=104 \cdot 2{,}5 = 10 cm.

  2. 2

    Fläche: wächst mit k²

    Flächen wachsen mit dem des Faktors: 6⋅2,52=6⋅6,25=37,5 cm26 \cdot 2{,}5^2 = 6 \cdot 6{,}25 = 37{,}5\,\text{cm}^2.

    6⋅2,52=37,56 \cdot 2{,}5^2 = 37{,}5

  3. 3

    Plausibilität prüfen

    Kontrolle: Mit Seite 1010 statt 44 ist alles 2,52{,}5-mal so lang; die Fläche 37,537{,}5 ist 6,256{,}25-mal so groß wie 66 ✓, genau 2,522{,}5^2.

Übung 2

mittel

Strahlensatz-Figur: ZA=5ZA = 5, ZA′=8ZA' = 8, AB=4AB = 4 (Parallelstrecke innen). Wie lang ist A′B′A'B' (Parallelstrecke außen)?

Tipp anzeigen
  1. Strahlensatz: A′B′AB=ZA′ZA\frac{A'B'}{AB} = \frac{ZA'}{ZA}.
Lösung anzeigen

A′B′4=85⇒A′B′=325=6,4\frac{A'B'}{4} = \frac{8}{5} \Rightarrow A'B' = \frac{32}{5} = 6{,}4

Detaillierte Schritterklärung anzeigen

Hier wird jeder Schritt einzeln erklärt, vor allem, warum er gemacht wird.

Erklärungstiefe

✦ Empfohlen: Standard – Die normale Erklärungstiefe passt zum Einstieg.

  1. 1

    Die Figur lesen: was entspricht was?

    Vom Zentrum ZZ aus: ZA=5ZA = 5 und ZA′=8ZA' = 8 liegen auf demselben Strahl, ABAB (innen) und A′B′A'B' (außen) sind die parallelen Querstrecken.

  2. 2

    Verhältnisgleichung aufstellen

    Zweiter Strahlensatz: Parallelstrecke zu Parallelstrecke wie Zentrumsabschnitt zu Zentrumsabschnitt: A′B′AB=ZA′ZA\frac{A'B'}{AB} = \frac{ZA'}{ZA}, also A′B′4=85\frac{A'B'}{4} = \frac{8}{5}.

  3. 3

    Auflösen und prüfen

    A′B′=4⋅85=325=6,4A'B' = 4 \cdot \frac{8}{5} = \frac{32}{5} = 6{,}4.

    A′B′=4⋅85=6,4A'B' = \frac{4 \cdot 8}{5} = 6{,}4

Übung 3

schwer

Um die Breite eines Flusses zu bestimmen, peilt Ali von Punkt ZZ am Ufer einen Baum BB am anderen Ufer an. Er markiert auf seiner Uferseite: ZA=3 mZA = 3\,\text{m} Richtung Fluss… Vereinfachte Figur: Der Strahlensatz liefert x3=244\frac{x}{3} = \frac{24}{4}, wobei 24 m und 4 m gemessene Uferstrecken sind. a) Berechne die Flussbreite xx. b) Warum funktioniert das Verfahren nur, wenn die Peillinien wirklich parallel geschnitten werden?

Tipp anzeigen

a) Über Kreuz. b) Voraussetzung der Strahlensätze.

Lösung anzeigen

a) x=3⋅244=18 mx = \frac{3 \cdot 24}{4} = 18\,\text{m}

b) Die Strahlensätze gelten nur bei parallelen Querlinien, sonst sind die nicht ähnlich und die Verhältnisse stimmen nicht. In der Praxis sichert man die Parallelität z. B. mit rechten zum Ufer.

Detaillierte Schritterklärung anzeigen

Hier wird jeder Schritt einzeln erklärt, vor allem, warum er gemacht wird.

Erklärungstiefe

✦ Empfohlen: Standard – Die normale Erklärungstiefe passt zum Einstieg.

  1. 1

    a) Die Messidee verstehen

    Die unzugängliche Flussbreite xx wird in eine Strahlensatzfigur eingebaut: Die Peillinie zum Baum und die Uferstrecken bilden zwei ähnliche Dreiecke, mit lauter MESSBAREN Strecken auf der eigenen Uferseite.

  2. 2

    a) Verhältnisgleichung lösen

    x3=244=6⇒x=3⋅6=18\frac{x}{3} = \frac{24}{4} = 6 \Rightarrow x = 3 \cdot 6 = 18 m.

    x3=244⇒x=18\frac{x}{3} = \frac{24}{4} \Rightarrow x = 18

    Zwischenergebnis

    x=18x = 18 m

  3. 3

    b) Warum Parallelität unverzichtbar ist

    Die Strahlensätze folgen aus der ÄHNLICHKEIT der beiden Dreiecke und ähnlich sind sie nur, wenn die Querlinien parallel sind (gleiche ). Ohne Parallelität stimmen die Verhältnisse nicht.

Zusammenfassung

Ähnliche Figuren teilen Form und Verhältnisse: Längen skalieren mit kk, mit k2k^2. Die Strahlensätze übersetzen Parallelen-Figuren in Verhältnisgleichungen, konsequent vom Zentrum aus gemessen. Damit vermisst du Bäume, Türme und Flüsse, ohne sie zu berühren: Mathematik als Fernrohr.