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Geometrie

Flächeninhalte: Dreieck, Parallelogramm und Trapez

Von Rechteck zu allen Vielecken: Flächenformeln verstehen statt auswendig lernen.

Benötigte Grundlagen

Diese Themen kommen in diesem Kapitel vor und wurden vorher schon erklärt. Wenn dir eines davon unsicher vorkommt, frisch es kurz auf, sonst leg direkt los.

Einführung

Rechteck-Flächen kannst du seit Klasse 5, aber die Welt ist voller schiefer Formen: Giebel, Grundstücke, Verkehrsinseln. Die gute Nachricht: Jede dieser Formeln lässt sich aus dem herleiten, mit zwei Tricks, abschneiden-und-anlegen oder verdoppeln. Wer die Tricks kennt, muss nie wieder blind auswendig lernen.

Das kannst du nach diesem Kapitel

  • die Flächenformeln für , und anwenden und herleiten.

  • die zugehörige Höhe korrekt identifizieren (senkrecht zur Grundseite!).

  • zusammengesetzter Figuren durch Zerlegen und Ergänzen berechnen.

  • Formeln nach fehlenden Größen umstellen.

Parallelogramm: schneiden und anlegen

Schneide vom links ein rechtwinkliges ab und lege es rechts wieder an. Es entsteht ein mit denselben Maßen:

A=g⋅hA = g \cdot h

gg ist eine Grundseite (grün), hh die zugehörige Höhe (blau), der senkrechte Abstand zur Gegenseite. Achtung: hh ist meist kürzer als die schräge Seite!

gh

Schneide links das rechtwinklige ab und lege es rechts an. Es entsteht ein mit Grundseite gg (grün) und Höhe hh (blau). Deshalb A=g⋅hA = g \cdot h. Achtung: hh ist der senkrechte Abstand, meist kürzer als die schräge Seite.

Dreieck: verdoppeln

Zwei kongruente ergeben zusammen ein , leg dazu eine zweite Kopie um 180°180° gedreht an eine der Seiten. Grundseite und Höhe bleiben dabei dieselben. Ein Dreieck ist also ein halbes Parallelogramm:

A=g⋅h2A = \frac{g \cdot h}{2}

Jede der drei Seiten kann Grundseite sein, mit ihrer jeweiligen Höhe (senkrecht durch die Gegenecke).

gh

Zwei gleiche ergeben ein , ein Dreieck ist also ein halbes Parallelogramm: A=g⋅h2A = \tfrac{g \cdot h}{2}. Die Höhe hh (blau) steht senkrecht auf der Grundseite gg (grün) und trifft die Gegenecke.

Trapez: die Mittellinie

Beim (parallele Seiten aa und cc, Abstand hh) mittelt man die beiden Parallelseiten:

A=a+c2⋅hA = \frac{a + c}{2} \cdot h

a+c2\tfrac{a+c}{2} ist die Mittellinie, das Trapez zählt wie ein mit dieser mittleren Breite.

Warum die mittlere Breite genau passt

Das klingt nach einem Taschenspielertrick, ist aber leicht einzusehen.

Ein Trapez ist unten breiter (aa) als oben (cc). Auf halber Höhe hat es genau die Breite dazwischen, nämlich a+c2\frac{a+c}{2}.

Stell dir nun vor, du schneidest die überstehenden Ecken unten ab und klebst sie oben an die Lücken. Was unten zu viel ist, fehlt oben genau, die Figur wird zu einem Rechteck der Breite a+c2\frac{a+c}{2} und der Höhe hh.

Die hat sich dabei nicht geändert, es wurde nur umgelegt. Also:

ATrapez=a+c2⋅hA_{\text{Trapez}} = \frac{a+c}{2} \cdot h

Die Probe an bekannten Figuren

Eine gute Formel muss auch die Spezialfälle richtig treffen, prüfe das:

  • Ist a=ca = c, hast du ein . Die Formel liefert a+a2⋅h=a⋅h\frac{a+a}{2} \cdot h = a \cdot h ✓
  • Wird c=0c = 0, entartet das Trapez zum . Die Formel liefert a+02⋅h=a⋅h2\frac{a+0}{2} \cdot h = \frac{a \cdot h}{2} ✓

Die Trapezformel enthält also beide anderen als Sonderfälle. Wer sie kennt, kommt notfalls ohne die anderen aus.

ach

Das hat zwei parallele Seiten aa und cc (grün) im Abstand hh (blau). Man rechnet mit ihrem : A=a+c2⋅hA = \tfrac{a+c}{2}\cdot h. (Zwei um 180°180° gedrehte Trapeze ergeben ein mit Grundseite a+ca+c.)

Erkläre es selbst: Zieh ein Parallelogramm immer schiefer, ohne Grundseite und Höhe zu ändern. Warum bleibt die Fläche gleich, obwohl die schräge Seite immer länger wird?

Formuliere es erst selbst, am besten mit einer kleinen Skizze.

Der Schlüssel ist das Umlegen. Schneide links das rechtwinklige ab und lege es rechts wieder an: Dabei geht nichts verloren und kommt nichts dazu. Es ist dieselbe Pappe, nur anders angeordnet, deshalb hat das exakt die des entstehenden .

Und dieses Rechteck hat immer dieselben Maße: Grundseite gg, Höhe hh. Wie schief du das Parallelogramm ziehst, ändert an gg und hh nichts, also auch nicht an der Fläche.

Die Schrägseite kommt in der Formel überhaupt nicht vor. Sie wird beim Schieben immer länger, trägt zur Fläche aber nichts bei. Genau daraus entsteht der häufigste Fehler dieses Kapitels: Wer mit der Schrägseite statt der Höhe rechnet, bekommt zu viel heraus.

Rechne es an Zahlen nach: g=8 cmg = 8\,\text{cm}, h=4 cmh = 4\,\text{cm} ergibt A=32 cm2A = 32\,\text{cm}^2, ganz gleich, ob die schräge Seite 44 cm lang ist (dann ist es ein Rechteck), 55 cm oder 1010 cm.

Derselbe Gedanke trägt alle drei Formeln dieser Seite: Beim Dreieck legst du eine gedrehte Kopie an, beim schneidest du unten ab und klebst oben an. Jedes Mal wird nur umgelegt, deshalb darfst du am Ende immer mit dem Rechteck rechnen.

Und die Umkehrung gilt auch: Zwei Dreiecke mit gleicher Grundseite und gleicher Höhe sind immer flächengleich, selbst wenn das eine spitz und das andere weit nach außen gezogen ist.

Deine Erklärung darf anders klingen. Wichtig ist der Kern: Umlegen verändert die Fläche nicht, und in der Formel stehen nur gg und hh.

Zusammengesetzte Figuren

Komplizierte Formen behandelst du mit zwei Strategien:

  • Zerlegen: in , , aufteilen und addieren.
  • Ergänzen: zur einfachen Form auffüllen und das Zuviel abziehen.

Skizze machen, Teilflächen nummerieren, Teilergebnisse notieren. Dann geht nichts verloren.

Warum alle drei Formeln dieselbe Wurzel haben

Fällt dir auf, dass in jeder Formel „Grundseite mal Höhe" steckt? Das ist kein Zufall.

Alle drei Herleitungen führen dasselbe zurück auf das Rechteck, dessen Formel du seit Klasse 5 kennst:

FigurTrickFormel
Dreieck abschneiden und anlegen → Rechteckg⋅hg \cdot h
Dreieckverdoppeln → Parallelogrammg⋅h2\frac{g \cdot h}{2}
Trapezmittlere Breite bilden → Rechtecka+c2⋅h\frac{a+c}{2} \cdot h

Deshalb musst du dir nur eine Sache wirklich merken: == Breite mal Höhe. Der Rest sind Umbauten.

Und alle drei brauchen die Höhe, also den senkrechten Abstand, nicht die schräge Seite. Das ist die häufigste Fehlerquelle des Kapitels.

Die drei Formeln im Einsatz

Berechne die : a) mit g=8 cmg = 8\,\text{cm}, h=5 cmh = 5\,\text{cm} b) mit g=12 cmg = 12\,\text{cm}, h=7 cmh = 7\,\text{cm} c) mit a=10 cma = 10\,\text{cm}, c=6 cmc = 6\,\text{cm}, h=4 cmh = 4\,\text{cm}

  1. 1

    Was ist gesucht? Drei Flächeninhalte mit drei verschiedenen Formeln.

    Prüfe bei jeder Teilaufgabe zuerst: Welche Figur liegt vor, und welche Größen sind gegeben? Danach ergibt sich die Formel von selbst.

  2. 2

    Teil a): Parallelogramm.

    A=g⋅h=8 cm⋅5 cm=40 cm2A = g \cdot h = 8\,\text{cm} \cdot 5\,\text{cm} = 40\,\text{cm}^2

    Warum einfach mal? Weil das Parallelogramm durch Abschneiden und Anlegen zu einem mit genau diesen Maßen wird. Es ist also flächengleich mit einem 8×58 \times 5-Rechteck.

  3. 3

    Teil b): Dreieck.

    A=g⋅h2=12 cm⋅7 cm2A = \frac{g \cdot h}{2} = \frac{12\,\text{cm} \cdot 7\,\text{cm}}{2}

    Rechne den zuerst:

    =84 cm22=42 cm2= \frac{84\,\text{cm}^2}{2} = 42\,\text{cm}^2

    Warum durch zwei? Zwei gleiche Dreiecke ergeben zusammen ein Parallelogramm, ein Dreieck ist also dessen Hälfte.

  4. 4

    Teil c): Trapez.

    A=a+c2⋅h=10 cm+6 cm2⋅4 cmA = \frac{a+c}{2} \cdot h = \frac{10\,\text{cm} + 6\,\text{cm}}{2} \cdot 4\,\text{cm}

    Zuerst die Klammer, also die mittlere Breite:

    162=8\frac{16}{2} = 8 A=8 cm⋅4 cm=32 cm2A = 8\,\text{cm} \cdot 4\,\text{cm} = 32\,\text{cm}^2
  5. 5

    Schritt 5: Das Trapez-Ergebnis verstehen.

    Die 8 cm8\,\text{cm} sind die Mittellinie, die Breite genau in halber Höhe.

    Das Trapez zählt also wie ein Rechteck mit dieser mittleren Breite: Was oben fehlt, kommt unten dazu.

  6. 6

    Schritt 6: Alle Ergebnisse prüfen.

    Alle drei Einheiten sind cm2\text{cm}^2 ✓, bei jeder Formel wurden zwei Längen multipliziert.

    Plausibilität: Das Dreieck (4242) ist größer als das Parallelogramm (4040), obwohl halbiert wurde. Der Grund liegt darin, dass beim Dreieck beide Maße größer sind: 12⋅7=8412 \cdot 7 = 84 gegen 8⋅5=408 \cdot 5 = 40, mehr als das Doppelte, und das holt das Halbieren nicht wieder ein. (Die größere Grundseite allein würde nicht reichen: 12⋅52=30\tfrac{12 \cdot 5}{2} = 30 wäre kleiner als 4040.) Ein kurzer Blick, der grobe Fehler ausschließt.

a) 40 cm240\,\text{cm}^2 · b) 42 cm242\,\text{cm}^2 · c) 32 cm232\,\text{cm}^2

Formel umstellen

Ein hat den A=54 cm2A = 54\,\text{cm}^2 und die Grundseite g=12 cmg = 12\,\text{cm}. Wie lang ist die zugehörige Höhe?

  1. 1

    Was ist gegeben, was ist gesucht?

    Gegeben: A=54 cm2A = 54\,\text{cm}^2 und g=12 cmg = 12\,\text{cm}. Gesucht: die Höhe hh.

    Das Ergebnis der Formel ist also bekannt, eine Eingangsgröße gesucht, eine Umkehraufgabe.

  2. 2

    Schritt 1: Die Formel hinschreiben.

    A=g⋅h2A = \frac{g \cdot h}{2}

    Das hh steckt im eines und wird zusätzlich mit gg multipliziert. Beides muss weg.

  3. 3

    Schritt 2: Den Bruch beseitigen.

    Multipliziere beide Seiten mit 22:

    A=g⋅h2∣  ⋅22A=g⋅h\begin{aligned} A &= \frac{g \cdot h}{2} &&|\; \cdot 2 \\[2pt] 2A &= g \cdot h \end{aligned}
  4. 4

    Schritt 3: Nach hh auflösen.

    Jetzt steht nur noch gg als Faktor bei hh, also durch gg teilen:

    2A=g⋅h∣  :gh=2Ag\begin{aligned} 2A &= g \cdot h &&|\; :g \\[2pt] h &= \frac{2A}{g} \end{aligned}

    Erlaubt ist das, weil eine Grundseite nie 00 sein kann.

  5. 5

    Schritt 4: Einsetzen und ausrechnen.

    h=2⋅54 cm212 cm=10812 cm=9 cmh = \frac{2 \cdot 54\,\text{cm}^2}{12\,\text{cm}} = \frac{108}{12}\,\text{cm} = 9\,\text{cm}

    Beachte die Einheiten: cm2\text{cm}^2 geteilt durch cm\text{cm} ergibt cm\text{cm}, also wirklich eine Länge ✓

  6. 6

    Schritt 5: Probe.

    Setze h=9 cmh = 9\,\text{cm} in die ursprüngliche Formel ein:

    12⋅92=1082=54 cm2  ✓\frac{12 \cdot 9}{2} = \frac{108}{2} = 54\,\text{cm}^2 \; ✓

    Der Alternativweg: Du hättest auch erst Zahlen einsetzen und dann lösen können (54=12h2=6h54 = \frac{12h}{2} = 6h, also h=9h = 9). Beide Wege sind richtig, das Umstellen lohnt sich, wenn du mehrere Dreiecke nacheinander berechnest.

Die Höhe beträgt h=9 cmh = 9\,\text{cm}.

Zusammengesetzte Figur

Ein „Haus-Fünfeck": 8 m8\,\text{m} breit und 5 m5\,\text{m} hoch, darüber ein Giebeldreieck mit Höhe 3 m3\,\text{m}. Berechne die Gesamtfläche.

  1. 1

    Zerlegen: Rechteck + (Grundseite des Dreiecks = Rechteckbreite 8 m).

  2. 2

    Rechteck: 8⋅5=40 m28 \cdot 5 = 40\,\text{m}^2

  3. 3

    Giebeldreieck: 8⋅32=12 m2\frac{8 \cdot 3}{2} = 12\,\text{m}^2

  4. 4

    Summe: 40+12=52 m240 + 12 = 52\,\text{m}^2

Die Hausfassade misst 52 m252\,\text{m}^2.

Typischer Fehler

mit den Seiten 8 cm8\,\text{cm} und 5 cm5\,\text{cm}: „A=8⋅5=40 cm2A = 8 \cdot 5 = 40\,\text{cm}^2."

Die schräge Seite ist nicht die Höhe! In A=g⋅hA = g \cdot h ist hh der senkrechte Abstand, beim schiefen Parallelogramm ist er kürzer als die Schrägseite (z. B. h=4h = 4 statt 5, also A=32 cm2A = 32\,\text{cm}^2). Nur beim fallen Seite und Höhe zusammen. Suche in Skizzen immer das Rechte-Winkel-Zeichen an der Höhe.

Übung 1

leicht

Berechne: a) mit g=9 cmg = 9\,\text{cm}, h=6 cmh = 6\,\text{cm} b) mit g=7 mg = 7\,\text{m}, h=4,5 mh = 4{,}5\,\text{m}

Tipp anzeigen

Dreieck: halbieren nicht vergessen.

Lösung anzeigen

a) A=9⋅62=27 cm2A = \frac{9 \cdot 6}{2} = 27\,\text{cm}^2

b) A=7⋅4,5=31,5 m2A = 7 \cdot 4{,}5 = 31{,}5\,\text{m}^2

Detaillierte Schritterklärung anzeigen

Hier wird jeder Schritt einzeln erklärt, vor allem, warum er gemacht wird.

Erklärungstiefe

✦ Empfohlen: Standard – Die normale Erklärungstiefe passt zum Einstieg.

  1. 1

    a) Dreiecksfläche: halbes Rechteck

    A=g⋅h2=9⋅62=542=27 cm2A = \frac{g \cdot h}{2} = \frac{9 \cdot 6}{2} = \frac{54}{2} = 27\,\text{cm}^2.

  2. 2

    b) Parallelogramm: Grundseite mal Höhe

    A=g⋅h=7⋅4,5=31,5 m2A = g \cdot h = 7 \cdot 4{,}5 = 31{,}5\,\text{m}^2.

  3. 3

    Einheiten und Größenordnung prüfen

    Ergebnisse in Flächeneinheiten: 27 cm227\,\text{cm}^2 und 31,5 m231{,}5\,\text{m}^2 ✓. : 9⋅6=549 \cdot 6 = 54, die Hälfte 2727 ✓; 7⋅4,5≈7⋅4=287 \cdot 4{,}5 \approx 7 \cdot 4 = 28, plus 3,53{,}5 ✓.

Übung 2

mittel

Ein hat die Parallelseiten a=14 cma = 14\,\text{cm} und c=8 cmc = 8\,\text{cm} und den A=77 cm2A = 77\,\text{cm}^2. Berechne die Höhe.

Tipp anzeigen

h=Aa+c2h = \frac{A}{\frac{a+c}{2}}

Lösung anzeigen

Mittellinie: 14+82=11 cm\frac{14 + 8}{2} = 11\,\text{cm}

h=7711=7 cmh = \frac{77}{11} = 7\,\text{cm}: Probe: 11⋅7=7711 \cdot 7 = 77 ✓

Detaillierte Schritterklärung anzeigen

Hier wird jeder Schritt einzeln erklärt, vor allem, warum er gemacht wird.

Erklärungstiefe

✦ Empfohlen: Standard – Die normale Erklärungstiefe passt zum Einstieg.

  1. 1

    Die Trapezformel rückwärts lesen

    A=a+c2⋅hA = \frac{a+c}{2} \cdot h: Fläche und Parallelseiten sind gegeben, die Höhe ist gesucht: eine Umstellaufgabe.

  2. 2

    Mittellinie berechnen

    m=14+82=222=11m = \frac{14 + 8}{2} = \frac{22}{2} = 11 cm.

    14+82=11\frac{14+8}{2} = 11

    Zwischenergebnis

    m=11m = 11 cm

  3. 3

    Höhe bestimmen und prüfen

    h=Am=7711=7h = \frac{A}{m} = \frac{77}{11} = 7 cm. Probe: 11⋅7=7711 \cdot 7 = 77 ✓.

Übung 3

schwer

Ein Grundstück hat die Form eines (a=30 ma = 30\,\text{m}, c=22 mc = 22\,\text{m}, h=16 mh = 16\,\text{m}). Darauf steht ein rechteckiges Haus (12 m×9 m12\,\text{m} \times 9\,\text{m}). a) Wie groß ist die Gartenfläche? b) Der Rasen (die gesamte Gartenfläche) soll gedüngt werden; eine Packung reicht für 75 m275\,\text{m}^2. Wie viele Packungen braucht man?

Tipp anzeigen

Garten = Trapez − Haus.

Lösung anzeigen

a) Trapez: 30+222⋅16=26⋅16=416 m2\frac{30+22}{2} \cdot 16 = 26 \cdot 16 = 416\,\text{m}^2; Haus: 12⋅9=108 m212 \cdot 9 = 108\,\text{m}^2

Garten: 416−108=308 m2416 - 108 = 308\,\text{m}^2

b) 308:75≈4,1308 : 75 \approx 4{,}1 → 5 Packungen (4 reichen nicht ganz).

Detaillierte Schritterklärung anzeigen

Hier wird jeder Schritt einzeln erklärt, vor allem, warum er gemacht wird.

Erklärungstiefe

✦ Empfohlen: Standard – Die normale Erklärungstiefe passt zum Einstieg.

  1. 1

    a) Trapezgrundstück berechnen

    A=30+222⋅16=26⋅16=416 m2A = \frac{30 + 22}{2} \cdot 16 = 26 \cdot 16 = 416\,\text{m}^2.

    26⋅16=41626 \cdot 16 = 416

    Zwischenergebnis

    416 m2416\,\text{m}^2

  2. 2

    a) Hausfläche abziehen

    Haus: 12⋅9=108 m212 \cdot 9 = 108\,\text{m}^2. Garten: 416−108=308 m2416 - 108 = 308\,\text{m}^2.

  3. 3

    b) Packungen: aufrunden statt runden

    308:75≈4,1308 : 75 \approx 4{,}1, vier Packungen decken nur 300 m2300\,\text{m}^2. Es braucht 55 Packungen.

Zusammenfassung

Alle Flächenformeln stammen vom ab: Das wird durch Umlegen eines zum Rechteck (g⋅hg \cdot h), das Dreieck ist ein halbes Parallelogramm (g⋅h2\frac{g \cdot h}{2}), das ein Rechteck mit gemittelter Breite (a+c2⋅h\frac{a+c}{2} \cdot h). Die Höhe steht immer senkrecht, und zusammengesetzte Figuren fallen durch Zerlegen oder Ergänzen.