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Analysis

Stammfunktionen und unbestimmtes Integral

Ableiten rückwärts: die Stammfunktion und die Integrationsregeln.

Benötigte Grundlagen

Diese Themen kommen in diesem Kapitel vor und wurden vorher schon erklärt. Wenn dir eines davon unsicher vorkommt, frisch es kurz auf, sonst leg direkt los.

Einführung

Du kennst die Geschwindigkeit, wie findest du den zurückgelegten Weg? Das ist rückwärts: die Suche nach der Stammfunktion. Diese Umkehrung des Differenzierens heißt und ist das zweite große Standbein der Analysis. Mit ihr rekonstruierst du Bestände aus Änderungsraten und berechnest bald unter Kurven.

Das kannst du nach diesem Kapitel

  • den Begriff Stammfunktion erklären (F′=fF' = f).

  • die Integrationskonstante CC und ihre Bedeutung verstehen.

  • Stammfunktionen mit der Potenzregel rückwärts bestimmen.

  • Stammfunktionen von exe^x, und angeben.

Ableiten rückwärts, die Frage hinter dem Integrieren

In Klasse 11 hast du aus einer Funktion ihre Änderungsrate gewonnen: Aus dem Weg s(t)s(t) wurde die Geschwindigkeit v(t)=s′(t)v(t) = s'(t).

Im Alltag ist es aber oft genau umgekehrt. Ein Tacho zeigt dir laufend die Geschwindigkeit, was dich interessiert, ist der Weg. Ein misst den momentanen Zufluss in ein Becken, du willst wissen, wie viel Wasser insgesamt drin ist.

Die Frage lautet also: Ich kenne die , wie komme ich zur Funktion zurück?

Das ist eine Umkehraufgabe, wie du sie schon kennst

Dieses Muster begleitet dich seit Klasse 5: Zu jeder Rechenart gehört eine Umkehrung.

BekanntGesuchtUmkehrung
7+5=127 + 5 = 12SummandSubtraktion
72=497^2 = 49Basis
2x=82^x = 8Exponent
F′(x)=2xF'(x) = 2xdie Funktion FF

Der Begriff

Eine Funktion FF heißt Stammfunktion von ff, wenn ihre Ableitung wieder ff ergibt: F′(x)=f(x)F'(x) = f(x)

Beispiel: F(x)=x2F(x) = x^2 ist eine Stammfunktion von f(x)=2xf(x) = 2x, denn F′(x)=2xF'(x) = 2x ✓

Wie man eine Stammfunktion findet, und prüft

Anfangs suchst du sie durch Rückwärtsdenken: „Welche Funktion ergibt abgeleitet 2x2x?" Dabei hilft die Erfahrung aus dem Ableiten.

Und die Kontrolle ist immer dieselbe und immer eindeutig: Leite dein Ergebnis ab. Kommt die Ausgangsfunktion heraus, stimmt es.

F(x)=x2  →  ableiten    2x=f(x)  ✓F(x) = x^2 \;\xrightarrow{\;\text{ableiten}\;}\; 2x = f(x) \;\checkmark

Das ist der große Vorteil dieses Kapitels: Du kannst jede Lösung selbst überprüfen, ohne das Ergebnis zu kennen. Nutze das bei jeder Aufgabe, es kostet Sekunden und findet jeden Fehler.

Zur Schreibweise: Die Stammfunktion schreibt man mit großem Buchstaben (FF zu ff). Das ist keine Kleinigkeit, ff und FF zu verwechseln ist die häufigste Fehlerquelle in Integralaufgaben.

F(x)=x² und ihre Ableitung f(x)=2x

xy-2-11-4-224F(x)=x²f(x)=2x

Die F(x)=x2F(x)=x^2 und die Gerade f(x)=2xf(x)=2x im selben : F ist eine Stammfunktion von f, denn an jeder Stelle entspricht die von F dem Funktionswert von f. Bei x=2x=2 hat FF die Steigung 44, genau f(2)=4f(2)=4.

Warum es unendlich viele Stammfunktionen gibt

F(x)=x2F(x) = x^2 ist eine Stammfunktion von f(x)=2xf(x) = 2x. Aber ist sie die einzige? Probiere aus:

(x2+5)′=2x(x2−3)′=2x(x2+100)′=2x\left(x^2 + 5\right)' = 2x \qquad \left(x^2 - 3\right)' = 2x \qquad \left(x^2 + 100\right)' = 2x

Alle drei funktionieren. Und der Grund ist bekannt: Beim fällt jede Konstante weg, weil sie die nicht verändert.

Die entscheidende Erkenntnis

Weil man beliebig viele Konstanten anhängen kann, gibt es unendlich viele Stammfunktionen. Und sie unterscheiden sich ausschließlich um eine Konstante, mehr Freiheit gibt es nicht.

Warum nicht mehr? Hätten zwei Funktionen FF und GG dieselbe Ableitung, dann hätte ihre Differenz die Ableitung null:

(F−G)′=F′−G′=f−f=0(F - G)' = F' - G' = f - f = 0

Eine Funktion mit der Ableitung null ist aber überall waagerecht, also konstant. Also ist F−GF - G eine Konstante, genau das war die Behauptung.

Geometrisch: eine ganze Kurvenfamilie

Alle Stammfunktionen sind parallel nach oben oder unten verschobene Kopien derselben Kurve (siehe Bild). An jeder Stelle haben sie dieselbe Steigung, nur die Höhe unterscheidet sich.

Die Schreibweise

Um alle auf einmal zu erfassen, schreibt man:

∫f(x) dx=F(x)+C\int f(x)\,dx = F(x) + C

Das heißt unbestimmtes ; das CC ist die Integrationskonstante. „Unbestimmt" heißt genau das: Die Konstante bleibt offen.

Das +C+C gehört zur Lösung. Wer es weglässt, gibt nur eine von unendlich vielen Stammfunktionen an, in Klassenarbeiten kostet das Punkte.

Wann wird CC konkret? Sobald eine Zusatzbedingung dazukommt. „Die Stammfunktion soll durch (0∣3)(0 \mid 3) gehen" legt CC eindeutig fest, genauso, wie du in der Physik den Anfangsort brauchst, um aus der Geschwindigkeit den Ort zu bestimmen.

Stammfunktionen mit Konstante C

xy-2-11-2246C=−2C=0C=2

Drei Stammfunktionen von f(x)=2xf(x)=2x, die sich nur um die Integrationskonstante CC unterscheiden: Alle drei sind vertikal verschobene Kopien von x2x^2, an jeder Stelle dieselbe 2x2x, nur die Höhe unterscheidet sich um CC.

Die Potenzregel rückwärts, selbst hergeleitet

Rückwärtsraten funktioniert bei 2x2x noch gut. Bei x7x^7 wird es mühsam. Also entwickeln wir eine Regel: und zwar aus dem, was du schon weißt.

Der Gedankengang

Gesucht ist eine Stammfunktion von xnx^n. Beim sinkt der Exponent um 11. Wenn wir das umkehren wollen, muss der Exponent also steigen:

Versuch: F(x)=xn+1\text{Versuch: } F(x) = x^{n+1}

Prüfen wir das durch Ableiten:

(xn+1)′=(n+1)⋅xn\left(x^{n+1}\right)' = (n+1) \cdot x^{n}

Fast richtig! Wir erhalten xnx^n, allerdings mit dem Störfaktor (n+1)(n+1) davor.

Den Störfaktor beseitigen

Ein konstanter Faktor bleibt beim Ableiten erhalten. Wenn wir also von Anfang an durch (n+1)(n+1) teilen, er sich genau weg:

F(x)=1n+1xn+1⇒F′(x)=1n+1⋅(n+1)⋅xn=xn  ✓F(x) = \frac{1}{n+1}x^{n+1} \qquad\Rightarrow\qquad F'(x) = \frac{1}{n+1} \cdot (n+1) \cdot x^n = x^n \;\checkmark

Damit ist die Regel hergeleitet:

∫xn dx=1n+1xn+1+C(n≠−1)\int x^n\,dx = \frac{1}{n+1}x^{n+1} + C \qquad (n \neq -1)

Das Rezept in Worten: Exponent um 11 erhöhen, dann durch den neuen Exponenten teilen.

Warum n≠−1n \neq -1 ausgeschlossen ist

Für n=−1n = -1 stünde im n+1=0n + 1 = 0, und durch null darf man nicht teilen. Die Regel versagt also genau bei 1x\frac{1}{x}.

Das ist keine Lücke der Regel, sondern ein echter Sonderfall: Die Stammfunktion von 1x\frac{1}{x} ist keine , sondern der natürliche ln⁡∣x∣\ln|x|. Im Grundkurs brauchst du das nicht, aber du solltest wissen, warum die Einschränkung dasteht.

Beispiele mit Probe

∫x3 dx=14x4+CProbe: (14x4)′=x3  ✓\int x^3\,dx = \frac{1}{4}x^4 + C \qquad\text{Probe: } \left(\tfrac{1}{4}x^4\right)' = x^3 \;\checkmark ∫x dx=12x2+CProbe: (12x2)′=x  ✓\int x\,dx = \frac{1}{2}x^2 + C \qquad\text{Probe: } \left(\tfrac{1}{2}x^2\right)' = x \;\checkmark ∫1 dx=x+Cdenn 1=x0, also 11x1  ✓\int 1\,dx = x + C \qquad\text{denn } 1 = x^0, \text{ also } \tfrac{1}{1}x^1 \;\checkmark

Der letzte Fall wird oft vergessen: Auch eine Konstante hat eine Stammfunktion, aus 55 wird 5x5x. Prüfe es durch Ableiten.

Faktor- und Summenregel, warum man gliedweise arbeiten darf

Mit der Potenzregel kannst du einzelne . Echte Aufgaben enthalten aber Summen wie 6x2−4x+36x^2 - 4x + 3. Zwei Regeln erlauben, solche in kleine Häppchen zu zerlegen:

∫c⋅f(x) dx=c∫f(x) dx∫(f+g)dx=∫f dx+∫g dx\int c \cdot f(x)\,dx = c \int f(x)\,dx \qquad\qquad \int \left(f + g\right)dx = \int f\,dx + \int g\,dx

In Worten: Ein konstanter Faktor darf vor das Integral gezogen werden, und eine Summe wird gliedweise integriert.

Warum das gilt

Beide Regeln sind keine neuen Behauptungen. Sie sind die Rückseite der Ableitungsregeln aus Klasse 11.

Dort galt: (c⋅F)′=c⋅F′(c \cdot F)' = c \cdot F' und (F+G)′=F′+G′(F + G)' = F' + G'. Wenn also FF eine Stammfunktion von ff ist und GG eine von gg, dann prüfe nach:

(F+G)′=F′+G′=f+g  ✓(F + G)' = F' + G' = f + g \;\checkmark

F+GF + G ist damit eine Stammfunktion von f+gf + g, genau das behauptet die Summenregel. Für den Faktor läuft es identisch.

Und was NICHT geht

∫f(x)⋅g(x) dx  ≠  ∫f(x) dx⋅∫g(x) dx\int f(x) \cdot g(x)\,dx \;\neq\; \int f(x)\,dx \cdot \int g(x)\,dx

Für Produkte gibt es keine solche Regel: genauso wie beim , wo die nötig war. Prüfe es an einem Gegenbeispiel (die Konstanten CC lassen wir nur für diesen Vergleich weg): ∫x⋅x dx=∫x2dx=13x3\int x \cdot x\,dx = \int x^2 dx = \frac{1}{3}x^3, aber ∫x dx⋅∫x dx=12x2⋅12x2=14x4\int x\,dx \cdot \int x\,dx = \frac{1}{2}x^2 \cdot \frac{1}{2}x^2 = \frac{1}{4}x^4. Verschiedene Ergebnisse.

Merke: Summen und konstante Faktoren darfst du zerlegen. Produkte und Quotienten nicht. Das ist dasselbe Muster wie bei den - und , nur dort war es umgekehrt (Produkte ja, Summen nein).

Die speziellen Stammfunktionen, und die Vorzeichenfalle

Für exe^x, sin⁡\sin und cos⁡\cos brauchst du keine neuen Regeln. Du liest einfach die Ableitungstabelle aus Klasse 11 von rechts nach links.

Die e-Funktion

(ex)′=ex⟹∫ex dx=ex+C\left(e^x\right)' = e^x \qquad\Longrightarrow\qquad \int e^x\,dx = e^x + C

Sie bleibt sich auch beim selbst, wie schon beim teilen nur ihre c⋅exc \cdot e^x diese Eigenschaft mit ihr.

Sinus und Kosinus, hier lauert der häufigste Fehler

Die Ableitungen waren:

(sin⁡x)′=cos⁡x(cos⁡x)′=−sin⁡x(\sin x)' = \cos x \qquad\qquad (\cos x)' = -\sin x

Lies die erste Zeile rückwärts: Wenn Ableiten aus sin⁡\sin ein cos⁡\cos macht, dann führt Integrieren von cos⁡\cos zurück zu sin⁡\sin:

∫cos⁡x dx=sin⁡x+C  ✓\int \cos x\,dx = \sin x + C \;\checkmark

Bei der zweiten Zeile musst du aufpassen. Rückwärts gelesen: Die Stammfunktion von −sin⁡x-\sin x ist cos⁡x\cos x. Gesucht ist aber die von +sin⁡x+\sin x, also brauchst du das Gegenteil:

∫sin⁡x dx=−cos⁡x+C\int \sin x\,dx = -\cos x + C

Probe: (−cos⁡x)′=−(−sin⁡x)=+sin⁡x(-\cos x)' = -(-\sin x) = +\sin x ✓

Die Tabelle im Vergleich

f(x)f(x)Ableitung f′f'Stammfunktion FF
exe^xexe^xexe^x
sin⁡x\sin xcos⁡x\cos x−cos⁡x\boldsymbol{-}\cos x
cos⁡x\cos x−sin⁡x-\sin x+sin⁡x\boldsymbol{+}\sin x

Das Minus wandert: Beim Ableiten steht es beim , beim Integrieren beim . Genau diese Vertauschung erzeugt die meisten Vorzeichenfehler.

Verlass dich nicht auf das Gedächtnis, sondern auf die Probe. Leite deine Stammfunktion ab, bei einem falschen Vorzeichen fällt es sofort auf, weil das Ergebnis dann ein Minus zu viel oder zu wenig hat.

Denk weiter: Ein Fahrzeug startet bei null und hat nach t Sekunden die Geschwindigkeit 2 t Meter pro Sekunde. Wie weit ist es nach 3 Sekunden gefahren?

Rechne erst selbst. Es ist die Einstiegsfrage dieses Kapitels, jetzt mit Werkzeug.

Gesucht ist der Weg s(t)s(t), dessen die Geschwindigkeit ist: s′(t)=v(t)=2ts'(t) = v(t) = 2t. Also ist ss eine Stammfunktion von vv:

s(t)=∫2t dt=t2+Cs(t) = \int 2t\,dt = t^2 + C

Welches CC? Das sagt die Anfangsbedingung: Bei t=0t = 0 steht das Fahrzeug am Start, also s(0)=0s(0) = 0. Einsetzen: 0+C=00 + C = 0, folglich C=0C = 0 und s(t)=t2s(t) = t^2.

s(3)=9 Meters(3) = 9 \text{ Meter}

Genau dafür ist das CC da: Die Geschwindigkeit allein verrät nie, wo die Fahrt begann, erst der Anfangswert legt die eine richtige Stammfunktion fest. In Klasse 11 bist du diesen Weg vorwärts gegangen (vom Weg zur Geschwindigkeit); jetzt kannst du ihn rückwärts.

Polynom integrieren

Bestimme ∫(6x2−4x+3)dx\displaystyle\int \left(6x^2 - 4x + 3\right)dx.

  1. 1

    Was ist gesucht? Eine Funktion FF, deren der in der Klammer ist. Weil kein Intervall angegeben ist, handelt es sich um ein unbestimmtes , die Antwort ist also eine Funktion (mit +C+C), keine Zahl.

  2. 2

    Welche Regeln brauchen wir? Der Term ist eine Summe aus drei Gliedern mit Vorfaktoren. Zwei Regeln erlauben, ihn zu zerlegen:

    • Summenregel: gliedweise integrieren
    • Faktorregel: konstante Faktoren bleiben stehen

    Dadurch reduziert sich alles auf drei kleine Aufgaben mit der Potenzregel.

  3. 3

    Erstes Glied: 6x26x^2. Exponent um 11 erhöhen (2→32 \to 3), dann durch den neuen Exponenten teilen:

    ∫6x2 dx=6⋅13x3=2x3\int 6x^2\,dx = 6 \cdot \frac{1}{3}x^3 = 2x^3

    Rechne den Faktor sofort aus: 6⋅13=26 \cdot \frac{1}{3} = 2. Wer 63x3\frac{6}{3}x^3 stehen lässt, schleppt unnötige mit.

  4. 4

    Zweites Glied: −4x-4x. Hier ist x=x1x = x^1, der neue Exponent also 22:

    ∫−4x dx=−4⋅12x2=−2x2\int -4x\,dx = -4 \cdot \frac{1}{2}x^2 = -2x^2

    Das Vorzeichen wird mitgenommen. Es gehört zum Faktor.

  5. 5

    Drittes Glied: die Konstante 33. Schreibe 3=3x03 = 3x^0, dann liefert die Potenzregel den Exponenten 11:

    ∫3 dx=3x\int 3\,dx = 3x

    Das ist der am häufigsten vergessene Schritt. Konstanten verschwinden beim Ableiten, beim Integrieren entsteht aus ihnen ein Term mit xx.

  6. 6

    Zusammensetzen, und das +C+C nicht vergessen.

    ∫(6x2−4x+3)dx=2x3−2x2+3x+C\int \left(6x^2 - 4x + 3\right)dx = 2x^3 - 2x^2 + 3x + C
  7. 7

    Die Probe durch Ableiten. Das ist bei Integralen die zuverlässigste Kontrolle:

    (2x3−2x2+3x+C)′=6x2−4x+3  ✓\left(2x^3 - 2x^2 + 3x + C\right)' = 6x^2 - 4x + 3 \;\checkmark

    Der Ausgangsterm kommt exakt heraus, die Stammfunktion ist richtig. (Das CC fällt beim Ableiten weg, wie es sein muss.)

∫(6x2−4x+3)dx=2x3−2x2+3x+C\displaystyle\int \left(6x^2 - 4x + 3\right)dx = 2x^3 - 2x^2 + 3x + C

Das Vorgehen bei jedem Polynom: gliedweise vorgehen → Exponent +1+1 → durch den neuen Exponenten teilen → Faktoren sofort ausrechnen → +C+C ergänzen → durch Ableiten prüfen.

Wurzeln und Brüche integrieren

Bestimme: a) ∫x dx\displaystyle\int \sqrt{x}\,dx b) ∫1x2 dx\displaystyle\int \frac{1}{x^2}\,dx

  1. 1

    Das gemeinsame Problem. Die Potenzregel braucht eine . und musst du deshalb zuerst umschreiben, genau wie beim in Klasse 11:

    x=x121xn=x−n\sqrt{x} = x^{\frac{1}{2}} \qquad\qquad \frac{1}{x^n} = x^{-n}

    Die Reihenfolge ist immer: umschreiben, , zurückschreiben.

  2. 2

    a) Umschreiben und die Regel anwenden.

    ∫x dx=∫x12 dx\int \sqrt{x}\,dx = \int x^{\frac{1}{2}}\,dx

    Exponent um 11 erhöhen: 12+1=32\frac{1}{2} + 1 = \frac{3}{2}. Dann durch den neuen Exponenten teilen:

    =132⋅x32+C= \frac{1}{\frac{3}{2}} \cdot x^{\frac{3}{2}} + C

    Der Bruch im Bruch: Durch 32\frac{3}{2} teilen heißt mit dem 23\frac{2}{3} multiplizieren.

    =23x32+C= \frac{2}{3}x^{\frac{3}{2}} + C
  3. 3

    a) Zurückschreiben und prüfen. In Wurzelform:

    23x32=23x3=23xx\frac{2}{3}x^{\frac{3}{2}} = \frac{2}{3}\sqrt{x^3} = \frac{2}{3}x\sqrt{x}

    Probe durch Ableiten:

    (23x32)′=23⋅32x12=x12=x  ✓\left(\frac{2}{3}x^{\frac{3}{2}}\right)' = \frac{2}{3} \cdot \frac{3}{2}x^{\frac{1}{2}} = x^{\frac{1}{2}} = \sqrt{x} \;\checkmark

    Die Faktoren 23\frac{2}{3} und 32\frac{3}{2} sich weg: genau das war der Zweck des in der Regel.

  4. 4

    b) Umschreiben.

    ∫1x2 dx=∫x−2 dx\int \frac{1}{x^2}\,dx = \int x^{-2}\,dx

    Exponent um 11 erhöhen: −2+1=−1-2 + 1 = -1. Achte auf das Rechnen mit negativen Zahlen. Es wird addiert, der Exponent wird also größer.

    =1−1x−1+C=−x−1+C= \frac{1}{-1}x^{-1} + C = -x^{-1} + C
  5. 5

    b) Zurückschreiben und prüfen.

    −x−1+C=−1x+C-x^{-1} + C = -\frac{1}{x} + C

    Probe:

    (−x−1)′=−(−1)⋅x−2=x−2=1x2  ✓\left(-x^{-1}\right)' = -(-1) \cdot x^{-2} = x^{-2} = \frac{1}{x^2} \;\checkmark

    Das Minuszeichen ist kein Versehen. Es entsteht durch den Nenner n+1=−1n+1 = -1 in der Regel. Wer es weglässt, erhält beim Ableiten das falsche Vorzeichen.

  6. 6

    Ein Hinweis zur Abgrenzung: Bei b) war n=−2n = -2, und die Regel war anwendbar. Nur der Fall n=−1n = -1, also ∫1x dx\int \frac{1}{x}\,dx, ist ausgeschlossen, dort wäre der Nenner null. Prüfe deshalb vor dem Rechnen kurz, ob der Exponent −1-1 ist.

a) ∫x dx=23x32+C=23xx+C\displaystyle\int \sqrt{x}\,dx = \frac{2}{3}x^{\frac{3}{2}} + C = \frac{2}{3}x\sqrt{x} + C · b) ∫1x2 dx=−1x+C\displaystyle\int \frac{1}{x^2}\,dx = -\frac{1}{x} + C

Merke: erst in Potenzschreibweise bringen, dann die Potenzregel, dann zurückschreiben, und immer durch Ableiten gegenprüfen.

Spezielle Funktionen

Bestimme ∫(2ex+3sin⁡x)dx\displaystyle\int \left(2e^x + 3\sin x\right)dx.

  1. 1

    Aufbau erkennen. Zwei Summanden, jeder mit einem konstanten Faktor. Also wieder gliedweise vorgehen (Summenregel) und die Faktoren stehen lassen (Faktorregel).

    Neu ist nur, dass hier keine stehen, sondern die speziellen Funktionen exe^x und sin⁡x\sin x.

  2. 2

    Erstes Glied: 2ex2e^x. Die e-Funktion bleibt beim Integrieren sich selbst:

    ∫2ex dx=2ex\int 2e^x\,dx = 2e^x

    Kein neuer Exponent, kein . Das ist der bequemste Fall überhaupt.

  3. 3

    Zweites Glied: 3sin⁡x3\sin x, hier die Vorzeichenfalle. Die Stammfunktion von sin⁡x\sin x ist −cos⁡x\boldsymbol{-}\cos x:

    ∫3sin⁡x dx=3⋅(−cos⁡x)=−3cos⁡x\int 3\sin x\,dx = 3 \cdot (-\cos x) = -3\cos x

    Woher das Minus kommt: Beim Ableiten von cos⁡\cos entsteht ein Minus. Damit die Ableitung unserer Stammfunktion ein positives sin⁡\sin ergibt, muss davor schon ein Minus stehen.

  4. 4

    Zusammensetzen.

    ∫(2ex+3sin⁡x)dx=2ex−3cos⁡x+C\int \left(2e^x + 3\sin x\right)dx = 2e^x - 3\cos x + C

    Beachte den Vorzeichenwechsel: Im Ausgangsterm stand ein Plus vor dem Sinus, in der Stammfunktion steht ein Minus vor dem Kosinus.

  5. 5

    Die Probe, hier besonders wichtig.

    (2ex−3cos⁡x+C)′=2ex−3⋅(−sin⁡x)=2ex+3sin⁡x  ✓\left(2e^x - 3\cos x + C\right)' = 2e^x - 3 \cdot (-\sin x) = 2e^x + 3\sin x \;\checkmark

    Das doppelte Minus wird zum Plus, und wir landen genau beim Ausgangsterm.

    Wenn du dir beim Vorzeichen unsicher bist: Schreib die Stammfunktion hin und leite sie ab. Kommt das Vorzeichen falsch heraus, dreh es in der Stammfunktion um. Das ist schneller als langes Grübeln.

∫(2ex+3sin⁡x)dx=2ex−3cos⁡x+C\displaystyle\int \left(2e^x + 3\sin x\right)dx = 2e^x - 3\cos x + C

Die drei Grundfälle: ∫exdx=ex\int e^x dx = e^x · ∫cos⁡x dx=+sin⁡x\int \cos x\,dx = +\sin x · ∫sin⁡x dx=−cos⁡x\int \sin x\,dx = -\cos x. Beim sitzt das Minus beim , beim beim .

Typischer Fehler

∫x3 dx=3x2+C\int x^3\,dx = 3x^2 + C

Das ist statt integriert! Beim wird der Exponent erhöht: ∫x3dx=14x4+C\int x^3 dx = \frac{1}{4}x^4 + C. Kontrolle durch Ableiten: (14x4)′=x3\left(\frac{1}{4}x^4\right)' = x^3 ✓, dagegen (3x2)′=6x≠x3(3x^2)' = 6x \neq x^3. Merke die Richtung: Ableiten senkt, Integrieren hebt den Exponenten. Und das +C+C fehlt bei der falschen Version sowieso.

Übung 1

leicht

Bestimme: a) ∫x5 dx\int x^5\,dx b) ∫6x dx\int 6x\,dx c) ∫4 dx\int 4\,dx

Tipp anzeigen

Exponent +1, teilen, +C+C.

Lösung anzeigen

a) 16x6+C\frac{1}{6}x^6 + C

b) 3x2+C3x^2 + C

c) 4x+C4x + C

Detaillierte Schritterklärung anzeigen

Hier wird jeder Schritt einzeln erklärt, vor allem, warum er gemacht wird.

Erklärungstiefe

✦ Empfohlen: Standard – Die normale Erklärungstiefe passt zum Einstieg.

  1. 1

    a) Potenzregel rückwärts

    ∫x5 dx=16x6+C\int x^5\,dx = \frac{1}{6}x^6 + C: Exponent um 1 ERHÖHEN, durch den neuen Exponenten teilen.

  2. 2

    b) Mit Vorfaktor

    ∫6x dx=6⋅12x2+C=3x2+C\int 6x\,dx = 6 \cdot \frac{1}{2}x^2 + C = 3x^2 + C.

    (3x2)′=6x(3x^2)' = 6x ✓

  3. 3

    c) Konstante integrieren und das +C verstehen

    ∫4 dx=4x+C\int 4\,dx = 4x + C (denn (4x)′=4(4x)' = 4).

Übung 2

mittel

Bestimme: a) ∫(x3−2x+1) dx\int (x^3 - 2x + 1)\,dx b) ∫(3cos⁡x−ex) dx\int (3\cos x - e^x)\,dx

Tipp anzeigen

b) ∫cos⁡=sin⁡\int\cos = \sin, Minus beim exe^x-Faktor beachten.

Lösung anzeigen

a) 14x4−x2+x+C\frac{1}{4}x^4 - x^2 + x + C

b) 3sin⁡x−ex+C3\sin x - e^x + C

Detaillierte Schritterklärung anzeigen

Hier wird jeder Schritt einzeln erklärt, vor allem, warum er gemacht wird.

Erklärungstiefe

✦ Empfohlen: Standard – Die normale Erklärungstiefe passt zum Einstieg.

  1. 1

    a) Polynom summandenweise integrieren

    ∫(x3−2x+1) dx=14x4−x2+x+C\int (x^3 - 2x + 1)\,dx = \frac{1}{4}x^4 - x^2 + x + C.

    (14x4−x2+x)′=x3−2x+1\left(\tfrac{1}{4}x^4 - x^2 + x\right)' = x^3 - 2x + 1 ✓

  2. 2

    b) Die Grundintegrale von cos und e^x

    ∫(3cos⁡x−ex) dx=3sin⁡x−ex+C\int (3\cos x - e^x)\,dx = 3\sin x - e^x + C.

  3. 3

    Die Werkzeugkiste sortieren

    Bausteine bis hier: (1n+1xn+1\frac{1}{n+1}x^{n+1}), Konstanten (cxcx), cos⁡→sin⁡\cos \to \sin, sin⁡→−cos⁡\sin \to -\cos, ex→exe^x \to e^x, plus Summen- und Faktorregel.

Übung 3

schwer

a) Bestimme die Stammfunktion FF von f(x)=x2−4f(x) = x^2 - 4, die durch den Punkt (3∣1)(3 \mid 1) geht. b) Wie viele Stammfunktionen erfüllen diese Punktbedingung?

Tipp anzeigen

a) Erst allgemein , dann CC aus der Bedingung.

Lösung anzeigen

a) F(x)=13x3−4x+CF(x) = \frac{1}{3}x^3 - 4x + C. Bedingung F(3)=1F(3) = 1: 13⋅27−12+C=1⇒9−12+C=1⇒C=4\frac{1}{3} \cdot 27 - 12 + C = 1 \Rightarrow 9 - 12 + C = 1 \Rightarrow C = 4.

F(x)=13x3−4x+4F(x) = \frac{1}{3}x^3 - 4x + 4

b) Genau eine, die Punktbedingung legt CC eindeutig fest.

Detaillierte Schritterklärung anzeigen

Hier wird jeder Schritt einzeln erklärt, vor allem, warum er gemacht wird.

Erklärungstiefe

✦ Empfohlen: Standard – Die normale Erklärungstiefe passt zum Einstieg.

  1. 1

    a) Die allgemeine Stammfunktion

    F(x)=13x3−4x+CF(x) = \frac{1}{3}x^3 - 4x + C, die ganze Familie der Stammfunktionen von f(x)=x2−4f(x) = x^2 - 4.

  2. 2

    a) C aus der Punktbedingung

    F(3)=1F(3) = 1: 13⋅27−12+C=1⇒9−12+C=1⇒C=4\frac{1}{3} \cdot 27 - 12 + C = 1 \Rightarrow 9 - 12 + C = 1 \Rightarrow C = 4. Also F(x)=13x3−4x+4F(x) = \frac{1}{3}x^3 - 4x + 4.

    F(3)=9−12+C=1⇒C=4F(3) = 9 - 12 + C = 1 \Rightarrow C = 4

    Zwischenergebnis

    F(x)=13x3−4x+4F(x) = \tfrac{1}{3}x^3 - 4x + 4

  3. 3

    b) Wie viele Lösungen gibt es?

    Genau EINE: Die Punktbedingung ist eine in CC mit eindeutiger Lösung, jede senkrechte Verschiebung trifft den Punkt entweder oder nicht.

Zusammenfassung

ist rückwärts: FF ist Stammfunktion von ff, wenn F′=fF' = f. Da Konstanten beim Ableiten wegfallen, gibt es unendlich viele, daher das +C+C im unbestimmten Integral. Die Potenzregel rückwärts (Exponent +1, dann teilen) sowie ∫ex=ex\int e^x = e^x, ∫sin⁡=−cos⁡\int\sin = -\cos, ∫cos⁡=sin⁡\int\cos = \sin decken die Grundkurs-Funktionen ab. Die Probe durch Ableiten ist immer möglich.