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Analysis

Das bestimmte Integral und der Hauptsatz

Flächen unter Kurven exakt berechnen, der Hauptsatz verbindet Ableiten und Integrieren.

Benötigte Grundlagen

Diese Themen kommen in diesem Kapitel vor und wurden vorher schon erklärt. Wenn dir eines davon unsicher vorkommt, frisch es kurz auf, sonst leg direkt los.

Einführung

Wie berechnet man die unter einer krummen Kurve, wenn keine Flächenformel passt? Man zerlegt sie in unendlich viele dünne Streifen. Das ist die Idee des bestimmten Integrals. Und der Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung liefert dafür ein verblüffend einfaches Rezept: einfach die an den Grenzen auswerten. Er ist der krönende Höhepunkt der Schulanalysis.

Das kannst du nach diesem Kapitel

  • das bestimmte Integral als Flächeninhaltsbilanz deuten.

  • den Hauptsatz anwenden: ∫abf(x) dx=F(b)−F(a)\int_a^b f(x)\,dx = F(b) - F(a).

  • bestimmte Integrale von Polynomen und speziellen Funktionen berechnen.

  • die Bedeutung negativer Integralwerte ( unter der x-Achse) verstehen.

Das bestimmte Integral: eine Fläche unter einer Kurve messen

von , und kannst du seit Jahren berechnen. Aber wie groß ist die Fläche unter einer krummen Kurve, etwa unter der Normalparabel zwischen 00 und 22? Dafür gibt es keine Formelsammlung.

Die Idee: mit Rechtecken annähern

Was du nicht direkt messen kannst, näherst du mit etwas an, das du messen kannst. Zerlege die Fläche in schmale Rechtecke der Breite Δx\Delta x:

  • Nimm für jedes Rechteck die Höhe f(x)f(x) an einer Stelle des Streifens.
  • Berechne jede Rechteckfläche als f(x)⋅Δxf(x) \cdot \Delta x.
  • Addiere alles.

Das Ergebnis ist noch nicht exakt, an den krummen Rändern bleibt etwas übrig oder steht etwas über.

Und jetzt der entscheidende Schritt

Mache die Streifen immer schmaler. Dann passen sich die Rechtecke der Kurve immer besser an, und der Fehler wird immer kleiner. Im Grenzwert Δx→0\Delta x \to 0 verschwindet er ganz.

Diesen Grenzwert nennt man das bestimmte Integral:

∫abf(x) dx\int_a^b f(x)\,dx

Erkennst du das Muster? Genau so ist in Klasse 11 die entstanden: erst eine Näherung (die Sekante), dann der Grenzübergang. Die gesamte Analysis beruht auf dieser einen Idee, annähern und den Grenzwert bilden.

Zur Schreibweise: Das Zeichen ∫\int ist ein stilisiertes „S" für Summe, es erinnert daran, dass hier unendlich viele schmale Streifen addiert werden. Das dxdx steht für die unendlich kleine Breite.

Was das Integral wirklich misst: eine Bilanz

Vorsicht bei der Deutung. Das Integral misst nicht einfach „Fläche", sondern eine Flächenbilanz:

  • Flächen über der xx-Achse zählen positiv.
  • Flächen unter der xx-Achse zählen negativ.

Der Grund liegt in der Rechnung: Unterhalb der Achse ist f(x)f(x) negativ, also wird auch das Produkt f(x)⋅Δxf(x) \cdot \Delta x negativ. Positive und negative Anteile können sich dadurch gegenseitig aufheben.

Praktisch heißt das: Ein Integralwert von 00 bedeutet nicht „keine Fläche", sondern „oberhalb und unterhalb gleich viel". Wie man daraus den echten Flächeninhalt gewinnt, ist Thema des nächsten Kapitels.

Die beiden Bilder unten zeigen die Annäherung: zuerst mit groben, dann mit feinen Streifen.

Riemann-Summe mit n=4 Rechtecken

xy121234f(x)=x²

Grobe Näherung mit n=4n=4 (Breite Δx=0,5\Delta x=0{,}5, linke Randwerte): Die Summe der Rechteckflächen weicht noch sichtbar von der echten unter der ab.

Riemann-Summe mit n=16 Rechtecken

xy121234f(x)=x²

Feinere Näherung mit n=16n=16 schmalen : Die Rechtecksumme nähert sich schon deutlich besser der exakten 83≈2,67\frac{8}{3}\approx 2{,}67 an. Je feiner die Zerlegung (n→∞n \to \infty), desto genauer wird sie. Das ist die Grundidee hinter dem bestimmten Integral.

Erkläre es selbst: Im ersten Bild entstehen die Rechtecke aus den linken Randwerten. Fällt die Rechtecksumme bei der steigenden Parabel zu groß oder zu klein aus, und warum?

Formuliere es erst selbst, ein Blick auf einen einzelnen Streifen genügt.

Zu klein. Die steigt auf [0;2][0; 2], in jedem Streifen ist der linke Randwert deshalb der kleinste Funktionswert. Jedes endet unterhalb der Kurve, und zwischen Rechteck-Oberkante und Kurve bleibt ein Stück unerfasst.

Nachrechnen kannst du es: Mit n=4n = 4 (Breite 0,50{,}5) ist die Summe

0,5⋅(0+0,25+1+2,25)=1,750{,}5 \cdot \left(0 + 0{,}25 + 1 + 2{,}25\right) = 1{,}75

Das liegt deutlich unter dem exakten Wert 83≈2,67\frac{8}{3} \approx 2{,}67.

Mit den rechten Randwerten wäre es umgekehrt: Jedes Rechteck ragt über die Kurve hinaus, die Summe wird zu groß (0,5⋅(0,25+1+2,25+4)=3,750{,}5 \cdot (0{,}25 + 1 + 2{,}25 + 4) = 3{,}75). Der wahre Wert liegt dazwischen, und je feiner die Streifen, desto enger schließt sich die Zange von beiden Seiten. Genau deshalb trifft der Grenzwert die Fläche exakt.

Deine Formulierung darf anders aussehen, entscheidend ist der Gedanke: Bei steigendem ff ist der linke Randwert der kleinste im Streifen.

Der Hauptsatz, und warum er funktioniert

Der Grenzwert unendlich vieler ist als Rechenverfahren unbrauchbar. Trotzdem lässt sich jedes bestimmte Integral in wenigen Zeilen ausrechnen. Das leistet der Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung (kurz HDI):

∫abf(x) dx=[F(x)]ab=F(b)−F(a)\int_a^b f(x)\,dx = \Big[F(x)\Big]_a^b = F(b) - F(a)

Dabei ist FF irgendeine von ff. Statt unendlich viele Streifen zu addieren, setzt du zwei Zahlen in eine Funktion ein und subtrahierst. Das ist so überraschend einfach, dass man wissen sollte, warum es stimmt.

Der Gedanke: die Flächenfunktion

Betrachte die unter der Kurve, aber lass den rechten Rand wandern. Nenne A(x)A(x) die Fläche vom festen Startpunkt aa bis zur Stelle xx. Damit ist AA selbst eine Funktion. Sie wächst, wenn xx nach rechts rückt.

Die Schlüsselfrage: Wie schnell wächst diese Flächenfunktion?

Verschiebe den rechten Rand um ein kleines Stück Δx\Delta x. Es kommt ein schmaler Streifen hinzu. Weil der Streifen sehr schmal ist, ist er näherungsweise ein Rechteck mit der Breite Δx\Delta x und der Höhe f(x)f(x):

ΔA≈f(x)⋅Δx\Delta A \approx f(x) \cdot \Delta x

Teile durch Δx\Delta x:

ΔAΔx≈f(x)\frac{\Delta A}{\Delta x} \approx f(x)

Links steht der von AA, und für Δx→0\Delta x \to 0 wird daraus die :

A′(x)=f(x)A'(x) = f(x)

Das ist die zentrale Entdeckung: Die Flächenfunktion ist eine Stammfunktion von ff. Fläche und Ableitung hängen zusammen, obwohl das eine ein geometrisches und das andere ein Änderungsproblem ist.

Von dort zur Formel

AA ist also eine Stammfunktion von ff, unterscheidet sich von einer beliebigen anderen Stammfunktion FF demnach nur um eine Konstante. Für die gesuchte Fläche von aa bis bb gilt:

∫abf(x) dx=A(b)−A(a)=F(b)−F(a)\int_a^b f(x)\,dx = A(b) - A(a) = F(b) - F(a)

Warum darf man AA durch FF ersetzen? Weil sich die Konstante bei der Differenz weghebt: (F(b)+C)−(F(a)+C)=F(b)−F(a)\left(F(b) + C\right) - \left(F(a) + C\right) = F(b) - F(a).

Deshalb braucht man beim bestimmten Integral kein +C+C, anders als beim unbestimmten. Das ist kein Vergessen, sondern eine Folge der Subtraktion.

Der Ablauf in vier Schritten

  1. Stammfunktion FF bestimmen (irgendeine, am einfachsten ohne CC).
  2. Obere Grenze einsetzen: F(b)F(b).
  3. Untere Grenze einsetzen: F(a)F(a).
  4. Subtrahieren: F(b)−F(a)F(b) - F(a).

Die eckige Klammer [F(x)]ab\big[F(x)\big]_a^b ist nur eine Notiz für Schritt 1: sie sagt: „Stammfunktion gefunden, Grenzen noch einzusetzen." Sie gehört in jede saubere Lösung.

Der häufigste Fehler: die Reihenfolge zu vertauschen. Es ist immer oben minus unten. Wer F(a)−F(b)F(a) - F(b) rechnet, erhält das richtige Ergebnis mit falschem Vorzeichen.

Beispiel: Fläche unter der Normalparabel

∫02x2 dx=[13x3]02=13⋅8−13⋅0=83\int_0^2 x^2\,dx = \left[\frac{1}{3}x^3\right]_0^2 = \frac{1}{3}\cdot 8 - \frac{1}{3}\cdot 0 = \frac{8}{3}

Die unter der Normalparabel von 0 bis 2 beträgt exakt 83\frac{8}{3} Flächeneinheiten.

Fläche unter x² über dem Hauptsatz

xy11234f(x)=x²a=0b=2

Die eingefärbte ist genau ∫02x2 dx=83\int_0^2 x^2\,dx = \frac{8}{3}, der Hauptsatz berechnet sie exakt, ohne zählen zu müssen: einfach F(2)−F(0)F(2)-F(0) auswerten. Die gestrichelten Linien markieren die Integrationsgrenzen aa und bb.

Was den Hauptsatz so bedeutend macht

Es lohnt sich, einen Moment innezuhalten und zu betrachten, was hier eigentlich passiert ist.

Zwei getrennte Welten treffen sich

Die Analysis hat zwei Zweige, die zunächst nichts miteinander zu tun haben:

  • Die Differentialrechnung untersucht Änderungen: , Geschwindigkeiten, Wachstumsraten.
  • Die Integralrechnung untersucht Ansammlungen: , Gesamtmengen, zurückgelegte Wege.

Der Hauptsatz zeigt: Es sind Umkehroperationen. Wer eine Fläche berechnen will, muss keine Streifen addieren. Er kann rückwärts . Ein geometrisches Problem wird durch ein algebraisches Rezept gelöst.

Genau deshalb gilt der Hauptsatz als einer der wichtigsten Sätze der gesamten Mathematik. Newton und Leibniz haben ihn im 17. Jahrhundert unabhängig voneinander gefunden, und damit die moderne Naturwissenschaft überhaupt erst möglich gemacht.

Wo dir das begegnet

Der Zusammenhang „Änderungsrate ↔ Bestand" ist überall:

ÄnderungsrateBestand (Integral)
Geschwindigkeit v(t)v(t)zurückgelegter Weg
Zufluss (Liter/Minute)Wassermenge im Becken
Leistung (Watt)verbrauchte Energie
Neuinfektionen pro TagGesamtzahl der Fälle

Wer eine Rate gemessen hat und den Bestand braucht, integriert. Das ist die häufigste Anwendung der Oberstufenmathematik in Physik, Technik und Wirtschaft.

Die wichtigste Warnung zum Schluss

Ein negativer Integralwert bedeutet nicht „negative Fläche": Flächen sind immer positiv. Er bedeutet, dass der Graph (überwiegend) unterhalb der xx-Achse verläuft und die Bilanz negativ ausfällt.

Für den echten Flächeninhalt muss man deshalb die berücksichtigen und abschnittsweise rechnen. Genau darum geht es im nächsten Kapitel.

Bestimmtes Integral berechnen

Berechne ∫13(2x+1)dx\displaystyle\int_1^3 \left(2x + 1\right)dx.

  1. 1

    Was unterscheidet das von den letzten Aufgaben? Am Integralzeichen stehen Grenzen (11 und 33). Es ist also ein bestimmtes Integral, und das Ergebnis ist eine Zahl, keine Funktion.

    Konkret: Gesucht ist die Flächenbilanz zwischen dem Graphen von f(x)=2x+1f(x) = 2x + 1 und der xx-Achse im Bereich von x=1x = 1 bis x=3x = 3.

  2. 2

    Schritt 1: Stammfunktion bestimmen. Gliedweise mit der Potenzregel:

    ∫2x dx=2⋅12x2=x2∫1 dx=x\int 2x\,dx = 2 \cdot \frac{1}{2}x^2 = x^2 \qquad\qquad \int 1\,dx = x F(x)=x2+xF(x) = x^2 + x

    Das +C+C lassen wir weg: es würde sich bei der folgenden Differenz ohnehin weghebeln. Beim bestimmten Integral ist das kein Fehler, sondern üblich.

    Probe: F′(x)=2x+1F'(x) = 2x + 1 ✓

  3. 3

    Schritt 2: In der eckigen Klammer notieren. Diese Schreibweise gehört in jede saubere Lösung. Sie zeigt, dass die Stammfunktion gefunden ist und nur noch die Grenzen fehlen:

    ∫13(2x+1) dx=[x2+x]13\int_1^3 (2x+1)\,dx = \Big[x^2 + x\Big]_1^3
  4. 4

    Schritt 3: Obere Grenze einsetzen.

    F(3)=32+3=9+3=12F(3) = 3^2 + 3 = 9 + 3 = 12

    Schritt 4: Untere Grenze einsetzen.

    F(1)=12+1=1+1=2F(1) = 1^2 + 1 = 1 + 1 = 2
  5. 5

    Schritt 5: Subtrahieren, immer oben minus unten.

    ∫13(2x+1) dx=F(3)−F(1)=12−2=10\int_1^3 (2x+1)\,dx = F(3) - F(1) = 12 - 2 = 10

    Die Reihenfolge ist entscheidend. F(1)−F(3)F(1) - F(3) ergäbe −10-10, richtig gerechnet, aber mit falschem Vorzeichen.

  6. 6

    Kontrolle mit einer Flächenformel. Hier lohnt sich die Probe besonders, denn f(x)=2x+1f(x) = 2x+1 ist eine Gerade, die darunter ist ein , das du seit Klasse 8 berechnen kannst.

    Die Randhöhen sind f(1)=3f(1) = 3 und f(3)=7f(3) = 7, die Breite ist 22:

    ATrapez=3+72⋅2=10  ✓A_{\text{Trapez}} = \frac{3 + 7}{2} \cdot 2 = 10 \;\checkmark

    Beide Wege liefern 1010, der Hauptsatz stimmt mit der elementargeometrischen Formel überein. Bei einer krummen Kurve wäre diese Gegenprobe nicht möglich; genau deshalb braucht man das Integral.

∫13(2x+1)dx=10\displaystyle\int_1^3 \left(2x + 1\right)dx = 10

Der Ablauf jedes bestimmten Integrals: → eckige Klammer mit Grenzen → obere Grenze einsetzen → untere Grenze einsetzen → subtrahieren (oben minus unten). Kein +C+C nötig.

Integral mit negativem Wert

Berechne ∫−10x2−1 dx\displaystyle\int_{-1}^{0} x^2 - 1 \,dx und deute das Ergebnis.

  1. 1

    Vorüberlegung. Die lohnt sich hier. Wo verläuft der Graph von f(x)=x2−1f(x) = x^2 - 1 im Bereich von −1-1 bis 00?

    Die liegen bei x=±1x = \pm 1; zwischen ihnen ist x2<1x^2 < 1, also f(x)<0f(x) < 0. Zum Beispiel f(−0,5)=0,25−1=−0,75f(-0{,}5) = 0{,}25 - 1 = -0{,}75.

    Der Graph liegt in diesem Bereich also vollständig unter der xx-Achse. Damit ist schon klar: Das Integral wird negativ herauskommen. Wenn nicht, haben wir uns verrechnet.

  2. 2

    Schritt 1: .

    F(x)=13x3−xF(x) = \frac{1}{3}x^3 - x

    Probe: F′(x)=x2−1F'(x) = x^2 - 1 ✓ (Die Konstante −1-1 wird zu −x-x, dieser Schritt wird oft vergessen.)

  3. 3

    Schritt 2: Grenzen einsetzen.

    ∫−10(x2−1) dx=[13x3−x]−10\int_{-1}^{0} (x^2-1)\,dx = \Big[\tfrac{1}{3}x^3 - x\Big]_{-1}^{0}

    Obere Grenze:

    F(0)=13⋅0−0=0F(0) = \frac{1}{3} \cdot 0 - 0 = 0
  4. 4

    Untere Grenze, hier sorgfältig mit den Vorzeichen.

    F(−1)=13⋅(−1)3−(−1)=−13+1=23F(-1) = \frac{1}{3} \cdot (-1)^3 - (-1) = -\frac{1}{3} + 1 = \frac{2}{3}

    Zwei Fallen in einer Zeile: (−1)3=−1(-1)^3 = -1 (ungerader Exponent behält das Minus), und −(−1)=+1-(-1) = +1 (doppeltes Minus).

  5. 5

    Schritt 3: Subtrahieren.

    ∫−10(x2−1) dx=F(0)−F(−1)=0−23=−23\int_{-1}^{0} (x^2-1)\,dx = F(0) - F(-1) = 0 - \frac{2}{3} = -\frac{2}{3}

    Das Vorzeichen ist negativ, genau wie in der Vorüberlegung erwartet ✓

  6. 6

    Das Ergebnis deuten, darum geht es in dieser Aufgabe. Der Wert −23-\frac{2}{3} ist keine negative Fläche (die gibt es nicht). Er bedeutet:

    Die Fläche zwischen Graph und xx-Achse liegt unterhalb der Achse und beträgt 23\frac{2}{3} Flächeneinheiten. Das Minuszeichen ist die Lageinformation, nicht Teil der Größe.

    Für den Flächeninhalt nimmst du deshalb den Betrag:

    A=∣−23∣=23A = \left|-\frac{2}{3}\right| = \frac{2}{3}

    In Klassenarbeiten wird genau das geprüft: Wer als Flächeninhalt −23-\frac{2}{3} angibt, hat die Bedeutung des Vorzeichens nicht verstanden.

∫−10(x2−1) dx=−23\displaystyle\int_{-1}^{0} (x^2 - 1)\,dx = -\frac{2}{3}, der Graph verläuft dort unter der xx-Achse; der beträgt 23\frac{2}{3} Flächeneinheiten.

Merke: Integralwert und Flächeninhalt sind nicht dasselbe. Ein Vorzeichen im Ergebnis ist eine Aussage über die Lage, nicht über die Größe.

Integral einer speziellen Funktion

Berechne ∫0πsin⁡x dx\displaystyle\int_0^{\pi} \sin x \,dx.

  1. 1

    Vorüberlegung. Zwischen 00 und π\pi macht der seinen ganzen „Bogen" nach oben: Er startet bei 00, erreicht bei π2\frac{\pi}{2} den Höchstwert 11 und kommt bei π\pi zurück auf 00.

    Der Graph liegt also vollständig oberhalb der xx-Achse, das Ergebnis muss positiv sein. Und weil der Bogen in ein der Breite π≈3,14\pi \approx 3{,}14 und der Höhe 11 passt, muss es kleiner als 3,143{,}14 sein.

  2. 2

    Schritt 1: Stammfunktion, hier die Vorzeichenfalle. Die Stammfunktion von sin⁡x\sin x ist −cos⁡x\boldsymbol{-}\cos x:

    F(x)=−cos⁡xF(x) = -\cos x

    Probe: (−cos⁡x)′=−(−sin⁡x)=sin⁡x(-\cos x)' = -(-\sin x) = \sin x ✓

    Wer hier +cos⁡x+\cos x nimmt, erhält am Ende −2-2 statt +2+2, also das falsche Vorzeichen bei einer , die sichtbar oberhalb der Achse liegt.

  3. 3

    Schritt 2: Grenzen einsetzen. Rechne im Bogenmaß, die Grenzen sind 00 und π\pi, also reine Zahlen.

    ∫0πsin⁡x dx=[−cos⁡x]0π\int_0^{\pi} \sin x\,dx = \Big[-\cos x\Big]_0^{\pi}

    Obere Grenze:

    F(π)=−cos⁡(π)=−(−1)=+1F(\pi) = -\cos(\pi) = -(-1) = +1

    Warum cos⁡(π)=−1\cos(\pi) = -1? Bei einer halben Drehung steht der Punkt am Einheitskreis links, seine xx-Koordinate ist −1-1.

  4. 4

    Untere Grenze.

    F(0)=−cos⁡(0)=−1F(0) = -\cos(0) = -1

    Denn bei x=0x=0 steht der Punkt rechts, mit der xx-Koordinate +1+1.

  5. 5

    Schritt 3: Subtrahieren.

    ∫0πsin⁡x dx=F(π)−F(0)=1−(−1)=1+1=2\int_0^{\pi} \sin x\,dx = F(\pi) - F(0) = 1 - (-1) = 1 + 1 = 2

    Achte auf das doppelte Minus. Es macht aus der Differenz eine Summe. Das ist die häufigste Fehlerstelle bei dieser Aufgabe.

  6. 6

    Kontrolle gegen die Vorüberlegung. Das Ergebnis 22 ist positiv ✓ und kleiner als π≈3,14\pi \approx 3{,}14 ✓, beides wie vorhergesagt.

    Ein bemerkenswertes Ergebnis: Die Fläche unter dem Sinusbogen ist genau 22, eine glatte Zahl, obwohl π\pi in den Grenzen steht. Solche überraschend einfachen Werte sind typisch für die Integralrechnung.

∫0πsin⁡x dx=2\displaystyle\int_0^{\pi} \sin x \,dx = 2

Zwei Dinge zum Mitnehmen: Die von sin⁡\sin ist −cos⁡-\cos (Minus!), und bei den Kosinuswerten cos⁡0=1\cos 0 = 1, cos⁡π=−1\cos \pi = -1 entstehen doppelte Minuszeichen, beides sorgfältig ausrechnen.

Typischer Fehler

∫13(2x+1) dx=F(1)−F(3)=2−12=−10\int_1^3 (2x+1)\,dx = F(1) - F(3) = 2 - 12 = -10

Die Grenzen sind vertauscht! Der Hauptsatz lautet F(b)−F(a)F(b) - F(a) = obere minus untere Grenze: F(3)−F(1)=12−2=10F(3) - F(1) = 12 - 2 = 10. Wer F(a)−F(b)F(a) - F(b) rechnet, bekommt das falsche Vorzeichen. Merke: Die obere Grenze kommt zuerst (positiv), die untere wird abgezogen. (Es gilt tatsächlich ∫ba=−∫ab\int_b^a = -\int_a^b: Vertauschen kehrt das Vorzeichen um.)

Übung 1

leicht

Berechne: a) ∫02x dx\int_0^2 x\,dx b) ∫142 dx\int_1^4 2\,dx

Tipp anzeigen

bilden, Grenzen einsetzen.

Lösung anzeigen

a) [12x2]02=2−0=2\left[\frac{1}{2}x^2\right]_0^2 = 2 - 0 = 2

b) [2x]14=8−2=6\left[2x\right]_1^4 = 8 - 2 = 6

Detaillierte Schritterklärung anzeigen

Hier wird jeder Schritt einzeln erklärt, vor allem, warum er gemacht wird.

Erklärungstiefe

✦ Empfohlen: Standard – Die normale Erklärungstiefe passt zum Einstieg.

  1. 1

    a) Hauptsatz: Stammfunktion an den Grenzen

    Stammfunktion von xx ist 12x2\frac{1}{2}x^2. Hauptsatz: ∫02x dx=[12x2]02=12⋅4−0=2\int_0^2 x\,dx = \left[\frac{1}{2}x^2\right]_0^2 = \frac{1}{2} \cdot 4 - 0 = 2.

  2. 2

    b) Konstante Funktion integrieren

    ∫142 dx=[2x]14=8−2=6\int_1^4 2\,dx = \left[2x\right]_1^4 = 8 - 2 = 6.

    2⋅4−2⋅1=62 \cdot 4 - 2 \cdot 1 = 6

  3. 3

    Das Muster festhalten

    Beide Male derselbe Dreischritt: Stammfunktion finden → obere Grenze einsetzen → untere Grenze einsetzen und abziehen.

Übung 2

mittel

Berechne: a) ∫03(x2−2x) dx\int_0^3 (x^2 - 2x)\,dx b) ∫0π/2cos⁡x dx\int_0^{\pi/2} \cos x\,dx

Tipp anzeigen

b) ∫cos⁡=sin⁡\int\cos = \sin; sin⁡π2=1\sin\frac{\pi}{2} = 1.

Lösung anzeigen

a) [13x3−x2]03=(9−9)−0=0\left[\frac{1}{3}x^3 - x^2\right]_0^3 = (9 - 9) - 0 = 0 (positive und negative Flächenanteile heben sich auf!)

b) [sin⁡x]0π/2=1−0=1\left[\sin x\right]_0^{\pi/2} = 1 - 0 = 1

Detaillierte Schritterklärung anzeigen

Hier wird jeder Schritt einzeln erklärt, vor allem, warum er gemacht wird.

Erklärungstiefe

✦ Empfohlen: Standard – Die normale Erklärungstiefe passt zum Einstieg.

  1. 1

    a) Summandenweise integrieren

    ∫03(x2−2x) dx=[13x3−x2]03=(9−9)−0=0\int_0^3 (x^2 - 2x)\,dx = \left[\frac{1}{3}x^3 - x^2\right]_0^3 = (9 - 9) - 0 = 0.

  2. 2

    a) Das Ergebnis 0 verstehen

    Null, obwohl „ da ist": f(x)=x(x−2)f(x) = x(x - 2) ist auf [0;2][0;2] negativ und auf [2;3][2;3] positiv, das Integral verrechnet beide Anteile mit Vorzeichen, und sie heben sich hier exakt auf.

  3. 3

    b) Trigonometrisch integrieren

    ∫0π/2cos⁡x dx=[sin⁡x]0π/2=sin⁡π2−sin⁡0=1−0=1\int_0^{\pi/2} \cos x\,dx = \left[\sin x\right]_0^{\pi/2} = \sin\frac{\pi}{2} - \sin 0 = 1 - 0 = 1.

    sin⁡π2−sin⁡0=1\sin\tfrac{\pi}{2} - \sin 0 = 1

Übung 3

schwer

Gegeben f(x)=3x2−6xf(x) = 3x^2 - 6x. a) Berechne ∫02f(x) dx\int_0^2 f(x)\,dx. b) Erkläre das Vorzeichen anhand des Graphverlaufs. c) Für welche obere Grenze b>0b > 0 ist ∫0bf(x) dx=0\int_0^b f(x)\,dx = 0?

Tipp anzeigen

c) F(b)−F(0)=0F(b) - F(0) = 0 mit F(x)=x3−3x2F(x) = x^3 - 3x^2.

Lösung anzeigen

a) F(x)=x3−3x2F(x) = x^3 - 3x^2; ∫02f dx=F(2)−F(0)=(8−12)−0=−4\int_0^2 f\,dx = F(2) - F(0) = (8 - 12) - 0 = -4.

b) Auf [0;2][0;2] ist f(x)=3x(x−2)<0f(x) = 3x(x-2) < 0, der Graph liegt unter der x-Achse, daher negatives Integral.

c) F(b)=b3−3b2=b2(b−3)=0⇒b=3F(b) = b^3 - 3b^2 = b^2(b-3) = 0 \Rightarrow b = 3 (für b>0b > 0). Von 0 bis 3 heben sich die unter und über der Achse genau auf.

Detaillierte Schritterklärung anzeigen

Hier wird jeder Schritt einzeln erklärt, vor allem, warum er gemacht wird.

Erklärungstiefe

✦ Empfohlen: Standard – Die normale Erklärungstiefe passt zum Einstieg.

  1. 1

    a) Integral berechnen

    F(x)=x3−3x2F(x) = x^3 - 3x^2: ∫02(3x2−6x) dx=F(2)−F(0)=(8−12)−0=−4\int_0^2 (3x^2 - 6x)\,dx = F(2) - F(0) = (8 - 12) - 0 = -4.

    (8−12)−0=−4(8 - 12) - 0 = -4

    Zwischenergebnis

    ∫02f dx=−4\int_0^2 f\,dx = -4

  2. 2

    b) Das Vorzeichen am Graphen erklären

    f(x)=3x(x−2)f(x) = 3x(x - 2) hat bei 00 und 22; dazwischen ist f<0f < 0 (Testwert: f(1)=−3f(1) = -3). Der Graph liegt auf ganz [0;2][0;2] unter der Achse → negatives Integral.

  3. 3

    c) Obere Grenze mit Integralwert 0 finden

    ∫0bf dx=F(b)=b3−3b2=b2(b−3)=0⇒b=3\int_0^b f\,dx = F(b) = b^3 - 3b^2 = b^2(b - 3) = 0 \Rightarrow b = 3 (da b>0b > 0). Von 0 bis 3 gleichen sich die Anteile unter und über der Achse exakt aus.

    b3−3b2=0⇒b=3b^3 - 3b^2 = 0 \Rightarrow b = 3

Zusammenfassung

Das bestimmte Integral ∫abf dx\int_a^b f\,dx ist die Flächenbilanz zwischen Graph und x-Achse (oben +, unten −). Der Hauptsatz macht es berechenbar: F(b)−F(a)F(b) - F(a) mit einer beliebigen FF, das +C+C hebt sich weg. Damit verbindet er und Integrieren als Umkehroperationen. Reihenfolge: obere minus untere Grenze; negative Werte zeigen unterhalb der Achse.