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Geometrie

Sinussatz und Kosinussatz

Trigonometrie ohne rechten Winkel: Berechnungen in beliebigen Dreiecken.

Benötigte Grundlagen

Diese Themen kommen in diesem Kapitel vor und wurden vorher schon erklärt. Wenn dir eines davon unsicher vorkommt, frisch es kurz auf, sonst leg direkt los.

Einführung

, und funktionieren bisher nur mit rechtem , aber Vermessungsdreiecke im Gelände sind selten so höflich! Für beliebige gibt es zwei mächtige Verallgemeinerungen: den Sinussatz (Verhältnis-Eleganz) und den Kosinussatz ( mit Korrekturterm). Damit fällt jedes Dreieck.

Das kannst du nach diesem Kapitel

  • den Sinussatz anwenden (Seite–Gegenwinkel-Paare).

  • den Kosinussatz anwenden, vorwärts (Seite) und rückwärts ().

  • entscheiden, welcher Satz zu welchen gegebenen Stücken passt.

  • Vermessungsaufgaben in beliebigen lösen.

Der Sinussatz, hergeleitet über die Höhe

, und brauchten bisher zwingend einen rechten . im Gelände haben aber selten einen. Die Frage lautet also: Wie rettet man die Trigonometrie in beliebige Dreiecke?

Der Trick ist einfach und typisch für die Mathematik: Man erzeugt sich den rechten Winkel selbst, durch eine Höhe.

Die Herleitung

Zeichne in ein beliebiges Dreieck die Höhe hh auf die Seite cc. Sie steht senkrecht auf cc und zerlegt das Dreieck damit in zwei rechtwinklige Dreiecke. Und in denen darfst du den Sinus anwenden.

Im linken Teildreieck (mit dem Winkel α\alpha) ist hh die Gegenkathete und bb die :

sin⁡α=hb⇒h=b⋅sin⁡α\sin\alpha = \frac{h}{b} \qquad\Rightarrow\qquad h = b \cdot \sin\alpha

Im rechten Teildreieck (mit dem Winkel β\beta) ist hh ebenfalls die Gegenkathete, die Hypotenuse ist hier aa:

sin⁡β=ha⇒h=a⋅sin⁡β\sin\beta = \frac{h}{a} \qquad\Rightarrow\qquad h = a \cdot \sin\beta

Und jetzt der entscheidende Gedanke: Es ist dieselbe Höhe hh. Zwei Ausdrücke für dieselbe Größe müssen gleich sein:

b⋅sin⁡α=a⋅sin⁡βb \cdot \sin\alpha = a \cdot \sin\beta

Teile beide Seiten durch sin⁡α⋅sin⁡β\sin\alpha \cdot \sin\beta, und du erhältst:

bsin⁡β=asin⁡α\frac{b}{\sin\beta} = \frac{a}{\sin\alpha}

Zeichnest du die Höhe auf eine andere Seite, ergibt sich genauso das dritte Paar. Zusammen ist das der Sinussatz:

asin⁡α=bsin⁡β=csin⁡γ\frac{a}{\sin\alpha} = \frac{b}{\sin\beta} = \frac{c}{\sin\gamma}

Wie man ihn liest

Jeder besteht aus einer Seite und dem Sinus ihres Gegenwinkels, also des Winkels, der ihr gegenüberliegt (im Bild gleich gefärbt). In jedem Dreieck haben alle drei dieser Brüche denselben Wert.

Inhaltlich bedeutet das: Der größeren Seite liegt der größere Winkel gegenüber. Der Sinussatz macht diesen Zusammenhang rechenbar.

Wann du ihn einsetzt

Der Sinussatz verbindet immer zwei Paare aus Seite und Gegenwinkel. Um ihn zu benutzen, muss ein Paar vollständig bekannt sein, also eine Seite und der Winkel ihr gegenüber. Vom zweiten Paar kennst du dann eine Größe und berechnest die andere.

Das ist der Fall bei WSW (zwei Winkel und eine Seite; den dritten Winkel bekommst du über die 180°180°) und bei SsW.

Eine Warnung für später: Es gilt sin⁡α=sin⁡(180°−α)\sin\alpha = \sin(180° - \alpha), der Sinus unterscheidet also nicht zwischen einem spitzen und dem zugehörigen stumpfen Winkel. Wenn du mit dem Sinussatz einen Winkel berechnest, kann es deshalb zwei mögliche Lösungen geben. Prüfe dann an der Skizze, welche zur Aufgabe passt.

Sinussatz

cabαβγ

Im Sinussatz gehört jede Seite zu ihrem Gegenwinkel (gleiche Farbe): asin⁡α=bsin⁡β=csin⁡γ\dfrac{a}{\sin\alpha} = \dfrac{b}{\sin\beta} = \dfrac{c}{\sin\gamma}. Man braucht ein vollständig bekanntes Paar aus Seite und Gegenwinkel.

Der Kosinussatz: Pythagoras für schiefe Dreiecke

Der Sinussatz hat eine Lücke: Er braucht ein vollständiges Paar aus Seite und Gegenwinkel. Kennst du aber zwei Seiten und den zwischen ihnen (Fall SWS), gibt es kein solches Paar, der Sinussatz hilft nicht weiter.

Für diesen Fall gibt es den Kosinussatz:

c2=a2+b2−2ab⋅cos⁡γc^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cdot \cos\gamma

Dabei ist γ\gamma der Winkel gegenüber der gesuchten Seite cc, also genau der von aa und bb eingeschlossene Winkel.

Der beste Weg, ihn zu verstehen: Er ist der Satz des Pythagoras

Schau dir die Formel genau an. Vorne steht c2=a2+b2c^2 = a^2 + b^2. Das ist . Dahinter kommt ein Korrekturterm −2abcos⁡γ-2ab\cos\gamma.

Und jetzt setze γ=90°\gamma = 90° ein, also den rechtwinkligen Fall. Der von 90°90° ist null:

c2=a2+b2−2ab⋅cos⁡90°⏟= 0=a2+b2c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cdot \underbrace{\cos 90°}_{=\,0} = a^2 + b^2

Der Korrekturterm verschwindet vollständig, und übrig bleibt exakt der Satz des Pythagoras. Der Kosinussatz ist also kein neuer Satz, sondern die Verallgemeinerung des alten auf beliebige . Pythagoras ist der Spezialfall γ=90°\gamma = 90°.

Und woher kommt die Formel? Derselbe Trick wie beim Sinussatz

Diese Probe zeigt, dass die Formel zu Pythagoras passt, aber noch nicht, warum sie stimmt. Auch das kannst du mit deinen Werkzeugen nachrechnen: Höhe einzeichnen, zweimal in rechtwinkligen Dreiecken arbeiten. (Wir führen die Rechnung am spitzwinkligen Dreieck; mit der Einheitskreis-Definition trägt sie genauso für stumpfe Winkel.)

Fälle von BB aus die Höhe hh auf die Seite bb. Im rechtwinkligen Teildreieck bei CC gilt:

h=a⋅sin⁡γund der Fußpunkt liegt a⋅cos⁡γ von C entfernt.h = a \cdot \sin\gamma \qquad\text{und der Fußpunkt liegt } a \cdot \cos\gamma \text{ von } C \text{ entfernt.}

Von der Seite bb bleibt bis AA also das Stück b−acos⁡γb - a\cos\gamma übrig. Jetzt Pythagoras im Teildreieck bei AA ( cc):

c2=h2+(b−acos⁡γ)2=a2sin⁡2γ+b2−2abcos⁡γ+a2cos⁡2γc^2 = h^2 + (b - a\cos\gamma)^2 = a^2\sin^2\gamma + b^2 - 2ab\cos\gamma + a^2\cos^2\gamma

Fasse die beiden a2a^2- zusammen, und erkenne die Klammer wieder:

c2=a2⋅(sin⁡2γ+cos⁡2γ)⏟= 1+b2−2abcos⁡γ=a2+b2−2abcos⁡γc^2 = a^2 \cdot \underbrace{(\sin^2\gamma + \cos^2\gamma)}_{=\,1} + b^2 - 2ab\cos\gamma = a^2 + b^2 - 2ab\cos\gamma

Zwei alte Bekannte tragen also den ganzen Satz: der Höhen-Trick von oben und der trigonometrische Pythagoras sin⁡2γ+cos⁡2γ=1\sin^2\gamma + \cos^2\gamma = 1 aus dem Einheitskreis-Kapitel.

Was der Korrekturterm bewirkt

Er misst, wie stark das Dreieck vom rechten Winkel abweicht:

  • γ<90°\gamma < 90° (spitz): cos⁡γ\cos\gamma ist positiv, also wird etwas abgezogen → cc ist kürzer, als Pythagoras vorhersagen würde. Das leuchtet ein: Ein kleinerer Winkel zieht die beiden Endpunkte näher zusammen.
  • γ>90°\gamma > 90° (stumpf): cos⁡γ\cos\gamma ist negativ, minus mal minus ergibt plus. Es wird also etwas addiert → cc ist länger. Auch das passt: Ein weiter geöffneter Winkel drückt die Endpunkte auseinander.

Diese Überlegung ist zugleich deine Kontrolle: Kommt bei einem stumpfen Winkel eine kürzere Seite heraus als bei 90°90°, hast du dich verrechnet.

Die Rückwärtsform: Winkel aus drei Seiten

Sind alle drei Seiten bekannt (Fall SSS), kannst du daraus jeden Winkel berechnen. Stelle die Formel dazu nach cos⁡γ\cos\gamma um. Das ist reines Gleichungsumstellen wie in Klasse 7:

c2=a2+b2−2abcos⁡γ∣  −a2−b2c2−a2−b2=−2abcos⁡γ∣  :(−2ab)cos⁡γ=a2+b2−c22ab\begin{aligned} c^2 &= a^2 + b^2 - 2ab\cos\gamma &&|\; -a^2 - b^2 \\ c^2 - a^2 - b^2 &= -2ab\cos\gamma &&|\; : (-2ab) \\ \cos\gamma &= \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab} \end{aligned}

(Im letzten Schritt wurden und mit −1-1 multipliziert, damit die Vorzeichen freundlicher aussehen.)

Ein praktischer Nebeneffekt: Am Vorzeichen des Ergebnisses erkennst du sofort die Art des Winkels. Kommt ein negativer Kosinuswert heraus, ist der Winkel stumpf, noch bevor du die Umkehrfunktion bemühst.

Kosinussatz

cabγ

Der Kosinussatz c2=a2+b2−2abcos⁡γc^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos\gamma verbindet die zwei Seiten aa, bb (die „Zange" um den ) und den eingeschlossenen Winkel γ\gamma mit der Gegenseite cc. Für γ=90°\gamma = 90° wird daraus der .

Welcher Satz wann? Die Entscheidung in zwei Schritten

Jetzt hast du zwei Werkzeuge, und die eigentliche Schwierigkeit in Klassenarbeiten ist, das richtige auszuwählen. Dafür brauchst du keine Intuition, sondern nur eine Frage.

Die eine Frage, die alles entscheidet

Gibt es ein vollständiges Paar aus Seite und Gegenwinkel?

Also: Kennst du irgendeine Seite zusammen mit dem , der ihr gegenüberliegt?

  • Ja → nimm den Sinussatz. Er verbindet ja genau solche Paare miteinander.
  • Nein → nimm den Kosinussatz. Er ist für alle übrigen Fälle da.

Das ist die ganze Entscheidung. Alles Weitere folgt daraus.

Die Fälle im Einzelnen

GegebenPaar vorhanden?Satz
WSW (zwei Winkel, eine Seite)ja, bzw. über die herstellbarSinussatz
SsW (zwei Seiten, Gegenwinkel einer davon)jaSinussatz
SWS (zwei Seiten, Winkel dazwischen)nein, der Winkel liegt ja zwischen den SeitenKosinussatz
SSS (drei Seiten)nein. Es ist gar kein Winkel bekanntKosinussatz rückwärts

Kleiner Kniff bei WSW: Sind zwei Winkel gegeben, kennst du über die Winkelsumme 180°180° automatisch auch den dritten. Damit hast du garantiert den Gegenwinkel zur gegebenen Seite, der Sinussatz ist immer anwendbar.

Als Bild: Der Sinussatz braucht ein Pärchen (Seite mit ihrem Gegenwinkel), der Kosinussatz eine Zange (zwei Seiten, die einen Winkel einschließen).

Zwei Fallen bei stumpfen Winkeln

Beim Kosinussatz, unproblematisch. Für Winkel über 90°90° ist cos⁡γ\cos\gamma negativ, und der Taschenrechner liefert bei cos⁡−1\cos^{-1} eines negativen Werts automatisch den richtigen stumpfen Winkel. Du musst nichts beachten.

Beim Sinussatz: Vorsicht. Hier gilt sin⁡α=sin⁡(180°−α)\sin\alpha = \sin(180° - \alpha): Der von 30°30° und der von 150°150° sind identisch. Berechnest du also einen Winkel mit dem Sinussatz, liefert der Taschenrechner nur den spitzen Wert, der stumpfe wäre genauso möglich.

Wie du entscheidest: In jedem kann höchstens ein Winkel stumpf sein, und zwar der größte. Er liegt der längsten Seite gegenüber. Prüfe also: Berechnest du den Winkel zur längsten Seite? Dann kommt der stumpfe Fall infrage. Zu einer kürzeren Seite gehört immer der spitze.

Ein praktischer Rat: Wenn du die Wahl hast, berechne unbekannte Winkel lieber mit dem Kosinussatz. Dort gibt es diese Doppeldeutigkeit nicht.

Erkläre es selbst: Der Taschenrechner sagt sin 30 Grad = sin 150 Grad = 0,5. Begründe das am Einheitskreis, und warum trifft dieselbe Falle den Kosinus nicht?

Versuch es erst selbst, du brauchst nur die Einheitskreis-Definition aus dem letzten Kapitel.

Es ist 150°=180°−30°150° = 180° - 30°. Zeichne beide Punkte auf den Einheitskreis: Der 30°30°-Punkt liegt rechts oben, der 150°150°-Punkt links oben, und zwar genau spiegelbildlich zur senkrechten Achse.

Was macht die Spiegelung mit den Koordinaten? Die Höhe der beiden Punkte ist gleich, und die yy-Koordinate ist der :

sin⁡150°=sin⁡30°=0,5\sin 150° = \sin 30° = 0{,}5

Die waagerechte Lage kehrt dagegen ihr Vorzeichen um, und die xx-Koordinate ist der :

cos⁡150°=−cos⁡30°≈−0,866\cos 150° = -\cos 30° \approx -0{,}866

Damit ist beides beantwortet. Der Sinus kann einen spitzen nicht von seinem stumpfen Spiegel-Partner unterscheiden, beide liefern denselben Wert. Der Kosinus dagegen unterscheidet sie am Vorzeichen: Zwischen 0°0° und 180°180° fällt er durchgehend von 11 auf −1-1, jeder Wert kommt genau einmal vor. Deshalb liefert cos⁡−1\cos^{-1} immer eindeutig den richtigen Winkel, während sin⁡−1\sin^{-1} nur den spitzen Kandidaten nennt.

Genau daher kommen die beiden Regeln aus dem Abschnitt oben: die Warnung beim Sinussatz (der stumpfe Zwilling wäre genauso möglich, prüfe an der längsten Seite) und der praktische Rat, Winkel lieber mit dem Kosinussatz zu berechnen. Beides ist keine Willkür, sondern Kreisgeometrie.

Sinussatz: Seite berechnen

In einem sind α=48°\alpha = 48°, β=65°\beta = 65° und die Seite a=12 cma = 12\,\text{cm} gegeben. Berechne die Seite bb.

  1. 1

    Angaben sortieren, und zwar paarweise. Bei jeder Aufgabe zu diesem Kapitel lautet die erste Frage: Gibt es ein vollständiges Paar aus Seite und Gegenwinkel?

    • a=12 cma = 12\,\text{cm} und α=48°\alpha = 48° → das ist ein vollständiges Paar ✓ (α\alpha liegt der Seite aa gegenüber)
    • β=65°\beta = 65° → von diesem Paar kennen wir nur den , die Seite bb ist gesucht.

    Genau diese Konstellation bedient der Sinussatz: Er verbindet zwei solche Paare. Der Kosinussatz wäre hier unnötig kompliziert.

  2. 2

    Den Satz passend aufschreiben. Der Sinussatz verknüpft alle drei Paare:

    asin⁡α=bsin⁡β=csin⁡γ\frac{a}{\sin\alpha} = \frac{b}{\sin\beta} = \frac{c}{\sin\gamma}

    Wir brauchen nur die beiden , in denen unsere Größen vorkommen, und schreiben den gesuchten Wert nach oben links, damit das Umstellen leichter wird:

    bsin⁡β=asin⁡α\frac{b}{\sin\beta} = \frac{a}{\sin\alpha}
  3. 3

    Werte einsetzen.

    bsin⁡65°=12sin⁡48°\frac{b}{\sin 65°} = \frac{12}{\sin 48°}

    Prüfe die , bevor du weiterrechnest: Oben steht jeweils eine Seite, unten der ihres Gegenwinkels. Wer bb mit sin⁡48°\sin 48° kombiniert, hat die Paare vertauscht und rechnet falsch.

  4. 4

    Nach bb auflösen. Das bb wird durch sin⁡65°\sin 65° geteilt. Das machen wir rückgängig, indem wir beide Seiten damit multiplizieren:

    b=12⋅sin⁡65°sin⁡48°b = \frac{12 \cdot \sin 65°}{\sin 48°}
  5. 5

    Die Sinuswerte bestimmen (Taschenrechner im DEG-Modus):

    sin⁡65°≈0,9063sin⁡48°≈0,7431\sin 65° \approx 0{,}9063 \qquad\qquad \sin 48° \approx 0{,}7431 b≈12⋅0,90630,7431=10,8760,7431≈14,6b \approx \frac{12 \cdot 0{,}9063}{0{,}7431} = \frac{10{,}876}{0{,}7431} \approx 14{,}6
  6. 6

    Einheit und Plausibilität. Die gegebene Seite war in Zentimetern, also ist auch bb in Zentimetern: b≈14,6 cmb \approx 14{,}6\,\text{cm}.

    Die entscheidende Kontrolle: β=65°\beta = 65° ist größer als α=48°\alpha = 48°. Dem größeren Winkel liegt die größere Seite gegenüber, also muss b>a=12 cmb > a = 12\,\text{cm} sein. Mit 14,6 cm14{,}6\,\text{cm} passt das ✓

    Wäre bei dir ein Wert unter 1212 herausgekommen, hättest du vermutlich die Sinuswerte vertauscht.

Die Seite bb ist etwa 14,6 cm14{,}6\,\text{cm} lang.

Das Vorgehen: Vollständiges Paar suchen → Sinussatz mit genau diesen zwei Paaren ansetzen → nach der gesuchten Größe umstellen → mit der Winkelgröße plausibilisieren.

Kosinussatz: Seite aus SWS

Von einem Beobachtungspunkt aus steht ein Kran a=7 ma = 7\,\text{m} entfernt, ein zweiter b=9 mb = 9\,\text{m}. Zwischen den beiden Blickrichtungen liegt der γ=52°\gamma = 52°. Wie weit sind die Kräne voneinander entfernt?

  1. 1

    Skizze und Angaben. Vom Beobachtungspunkt gehen zwei Strecken aus (7 m7\,\text{m} und 9 m9\,\text{m}), zwischen ihnen liegt der Winkel 52°52°. Gesucht ist die Verbindung der beiden Kranstandorte, die dritte Dreiecksseite.

    Welcher Fall ist das? Zwei Seiten und der Winkel zwischen ihnen: der Fall SWS.

  2. 2

    Warum hier der Kosinussatz nötig ist. Prüfen wir die Sinussatz-Frage: Gibt es ein vollständiges Paar aus Seite und Gegenwinkel?

    Der einzige bekannte Winkel ist γ\gamma, und ihm gegenüber liegt die gesuchte Seite cc. Von den bekannten Seiten aa und bb kennen wir die Gegenwinkel nicht. Kein vollständiges Paar, der Sinussatz scheidet aus.

    Also der Kosinussatz:

    c2=a2+b2−2ab⋅cos⁡γc^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cdot \cos\gamma

    Achte darauf, dass γ\gamma tatsächlich der Winkel gegenüber der gesuchten Seite cc ist. Das ist die Voraussetzung der Formel, und hier ist sie erfüllt.

  3. 3

    Einsetzen.

    c2=72+92−2⋅7⋅9⋅cos⁡52°c^2 = 7^2 + 9^2 - 2 \cdot 7 \cdot 9 \cdot \cos 52°
  4. 4

    Schrittweise vereinfachen. Zuerst die und das Produkt vorn:

    72=4992=812⋅7⋅9=1267^2 = 49 \qquad 9^2 = 81 \qquad 2 \cdot 7 \cdot 9 = 126 c2=49+81−126⋅cos⁡52°=130−126⋅cos⁡52°c^2 = 49 + 81 - 126 \cdot \cos 52°= 130 - 126 \cdot \cos 52°

    Rechenreihenfolge beachten: Erst 126⋅cos⁡52°126 \cdot \cos 52° ausrechnen, dann subtrahieren. Wer zuerst 130−126130 - 126 rechnet, bekommt ein völlig falsches Ergebnis.

  5. 5

    Den Kosinuswert einsetzen (cos⁡52°≈0,6157\cos 52° \approx 0{,}6157):

    c2≈130−126⋅0,6157=130−77,58=52,42c^2 \approx 130 - 126 \cdot 0{,}6157 = 130 - 77{,}58 = 52{,}42
  6. 6

    Die Wurzel ziehen, der Schritt, der gern vergessen wird. Bis hier haben wir c2c^2, gesucht war cc:

    c=52,42≈7,24c = \sqrt{52{,}42} \approx 7{,}24

    Die negative Wurzel entfällt, weil cc eine Länge ist.

  7. 7

    Einheit und Kontrolle. Alle Angaben waren in Metern: c≈7,2 mc \approx 7{,}2\,\text{m}.

    Ist das plausibel? Zwei Prüfungen:

    1. Dreiecksungleichung: cc muss kleiner sein als a+b=16 ma + b = 16\,\text{m} ✓ und größer als die Differenz 9−7=2 m9 - 7 = 2\,\text{m} ✓
    2. Der Winkel ist spitz (52°<90°52° < 90°), also zieht er die beiden Endpunkte näher zusammen, cc muss kleiner sein als bei einem rechten Winkel. Dort wäre c=130≈11,4 mc = \sqrt{130} \approx 11{,}4\,\text{m}, und 7,2<11,47{,}2 < 11{,}4 ✓

Die beiden Kräne stehen etwa 7,2 m7{,}2\,\text{m} voneinander entfernt.

Merke für SWS-Aufgaben: Der Kosinussatz liefert immer zuerst c2c^2, die am Ende nicht vergessen. Und der Korrekturterm wird bei spitzem Winkel abgezogen, bei stumpfem addiert.

Winkel aus drei Seiten

Ein hat die Seiten a=5a = 5, b=8b = 8 und c=11c = 11. Berechne den größten .

  1. 1

    Welcher Winkel ist der größte, ohne zu rechnen? In jedem Dreieck liegt der größte Winkel der längsten Seite gegenüber. Die längste Seite ist c=11c = 11, also ist der gesuchte Winkel γ\gamma.

    Diese Überlegung spart Arbeit: Du musst nur einen Winkel berechnen statt aller drei.

  2. 2

    Welcher Satz? Gegeben sind drei Seiten und kein Winkel, der Fall SSS. Damit gibt es kein Paar für den Sinussatz; es bleibt der Kosinussatz, und zwar in seiner nach cos⁡γ\cos\gamma umgestellten Form:

    cos⁡γ=a2+b2−c22ab\cos\gamma = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab}

    Achte auf die : Im wird das der Seite abgezogen, die dem gesuchten Winkel gegenüber liegt, hier also c2c^2.

  3. 3

    Einsetzen und den Zähler berechnen.

    cos⁡γ=52+82−1122⋅5⋅8=25+64−12180\cos\gamma = \frac{5^2 + 8^2 - 11^2}{2 \cdot 5 \cdot 8} = \frac{25 + 64 - 121}{80} 25+64=8989−121=−3225 + 64 = 89 \qquad 89 - 121 = -32 cos⁡γ=−3280=−0,4\cos\gamma = \frac{-32}{80} = -0{,}4
  4. 4

    Das Vorzeichen deuten, bevor du weiterrechnest. Der Kosinuswert ist negativ. Aus dem Einheitskreis weißt du: Negative Kosinuswerte gehören zu Winkeln über 90°90°.

    Damit steht schon fest: Der Winkel ist stumpf. Diese Vorabinformation ist eine gute Kontrolle für das gleich folgende Ergebnis.

  5. 5

    Die Umkehrfunktion anwenden.

    γ=cos⁡−1(−0,4)≈113,6°\gamma = \cos^{-1}(-0{,}4) \approx 113{,}6°

    Der Taschenrechner liefert hier automatisch den stumpfen Winkel, beim gibt es keine Doppeldeutigkeit, anders als beim .

  6. 6

    Kontrolle. Zwei Prüfungen:

    1. Das Ergebnis ist größer als 90°90°, genau wie das negative Vorzeichen angekündigt hat ✓
    2. Ein Dreieck kann höchstens einen stumpfen Winkel haben. Die beiden übrigen müssen zusammen 180°−113,6°=66,4°180° - 113{,}6° = 66{,}4° ergeben, sind also beide spitz ✓ Das passt zu den deutlich kürzeren Seiten 55 und 88.

Der größte Winkel beträgt γ≈113,6°\gamma \approx 113{,}6°, das Dreieck ist stumpfwinklig.

Zwei Dinge zum Mitnehmen: Der größte Winkel liegt immer der längsten Seite gegenüber. Und ein negativer Kosinuswert verrät schon vor dem Rechnen, dass der Winkel stumpf ist.

Typischer Fehler

c2=a2+b2−2abcos⁡γc^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos\gamma … „das −2abcos⁡γ-2ab\cos\gamma lasse ich weg, ist ja fast ."

Der Korrekturterm ist der ganze Witz des Kosinussatzes! Ohne ihn gilt die Formel nur für γ=90°\gamma = 90°. Bei spitzem γ\gamma ist cc kürzer, bei stumpfem länger als der Pythagoras-Wert, genau das leistet −2abcos⁡γ-2ab\cos\gamma. Auch beliebt: Vorzeichenfehler beim Einsetzen negativer Kosinus-Werte: Klammern setzen!

Übung 1

leicht

Welcher Satz passt? a) b,c,αb, c, \alpha gegeben (α\alpha zwischen bb und cc) b) a,α,βa, \alpha, \beta gegeben c) a,b,ca, b, c gegeben

Tipp anzeigen

Zange oder Pärchen?

Lösung anzeigen

a) Kosinussatz (SWS)

b) Sinussatz (Paar aa–α\alpha komplett)

c) Kosinussatz rückwärts (SSS)

Detaillierte Schritterklärung anzeigen

Hier wird jeder Schritt einzeln erklärt, vor allem, warum er gemacht wird.

Erklärungstiefe

✦ Empfohlen: Standard – Die normale Erklärungstiefe passt zum Einstieg.

  1. 1

    Die Entscheidungsfrage: Was ist gegeben?

    Sinussatz braucht ein KOMPLETTES Paar (Seite + GEGENÜBERliegender ); Kosinussatz arbeitet ohne so ein Paar, typisch bei SWS und SSS.

  2. 2

    a) und c): Kosinussatz-Fälle

    a) b,c,αb, c, \alpha mit α\alpha ZWISCHEN den Seiten (SWS): kein Paar komplett → Kosinussatz. c) a,b,ca, b, c (SSS): gar kein Winkel bekannt → Kosinussatz rückwärts nach dem Winkel auflösen.

  3. 3

    b): Sinussatz-Fall

    b) a,α,βa, \alpha, \beta: Das Paar aa–α\alpha ist komplett → Sinussatz, etwa bsin⁡β=asin⁡α\frac{b}{\sin\beta} = \frac{a}{\sin\alpha}.

Übung 2

mittel

Im : a=10a = 10, α=40°\alpha = 40°, γ=75°\gamma = 75°. Berechne cc.

Tipp anzeigen

Sinussatz mit dem Paar aa–α\alpha.

Lösung anzeigen

csin⁡75°=10sin⁡40°\frac{c}{\sin 75°} = \frac{10}{\sin 40°}

c=10⋅0,96590,6428≈15,0c = \frac{10 \cdot 0{,}9659}{0{,}6428} \approx 15{,}0

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Hier wird jeder Schritt einzeln erklärt, vor allem, warum er gemacht wird.

Erklärungstiefe

✦ Empfohlen: Standard – Die normale Erklärungstiefe passt zum Einstieg.

  1. 1

    Werkzeugwahl: Paar komplett?

    Gegeben a=10a = 10 mit Gegenwinkel α=40°\alpha = 40°, ein komplettes Paar! Gesucht cc mit bekanntem Gegenwinkel γ=75°\gamma = 75° → Sinussatz.

  2. 2

    Verhältnisgleichung aufstellen

    csin⁡75°=10sin⁡40°\frac{c}{\sin 75°} = \frac{10}{\sin 40°}.

  3. 3

    Nach c auflösen und ausrechnen

    c=10⋅sin⁡75°sin⁡40°=10⋅0,96590,6428≈15,0c = \frac{10 \cdot \sin 75°}{\sin 40°} = \frac{10 \cdot 0{,}9659}{0{,}6428} \approx 15{,}0.

    c=10⋅sin⁡75°sin⁡40°≈15,0c = \frac{10 \cdot \sin 75°}{\sin 40°} \approx 15{,}0

    Zwischenergebnis

    c≈15,0c \approx 15{,}0

Übung 3

schwer

Zwei Wanderwege gehen von einer Hütte aus: 3 km zum See, 4 km zum Gipfel; der zwischen den Wegen beträgt 120°120°. a) Wie weit sind See und Gipfel (Luftlinie) voneinander entfernt? b) Kontrolliere: Warum muss das Ergebnis größer sein als 32+42=5\sqrt{3^2+4^2} = 5?

Tipp anzeigen

cos⁡120°=−0,5\cos 120° = -0{,}5.

Lösung anzeigen

a) c2=9+16−2⋅3⋅4⋅(−0,5)=25+12=37c^2 = 9 + 16 - 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot (-0{,}5) = 25 + 12 = 37

c=37≈6,1 kmc = \sqrt{37} \approx 6{,}1\,\text{km}

b) Bei stumpfem Winkel ist cos⁡γ<0\cos\gamma < 0, der Korrekturterm addiert: Das ist „aufgespreizt", die Gegenseite länger als beim rechten Winkel (5 km).

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Hier wird jeder Schritt einzeln erklärt, vor allem, warum er gemacht wird.

Erklärungstiefe

✦ Empfohlen: Standard – Die normale Erklärungstiefe passt zum Einstieg.

  1. 1

    a) Situation als SWS-Dreieck erkennen

    Hütte, See, Gipfel bilden ein Dreieck: zwei Seiten (33 km, 44 km) und der EINGESCHLOSSENE Winkel (120°120°), klassischer Kosinussatz-Fall.

  2. 2

    a) Kosinussatz mit stumpfem Winkel

    c2=9+16−2⋅3⋅4⋅cos⁡120°=25−24⋅(−0,5)=25+12=37c^2 = 9 + 16 - 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot \cos 120° = 25 - 24 \cdot (-0{,}5) = 25 + 12 = 37; c=37≈6,1c = \sqrt{37} \approx 6{,}1 km.

    c2=25−24⋅(−0,5)=37c^2 = 25 - 24 \cdot (-0{,}5) = 37

    Zwischenergebnis

    c=37≈6,1c = \sqrt{37} \approx 6{,}1 km

  3. 3

    b) Vergleich mit dem rechten Winkel

    Bei γ=90°\gamma = 90° wäre cos⁡γ=0\cos\gamma = 0 und c=25=5c = \sqrt{25} = 5 km (). Bei 120°>90°120° > 90° ist das Dreieck weiter „aufgespreizt", die Gegenseite MUSS länger sein: 6,1>56{,}1 > 5 ✓.

Zusammenfassung

Ohne rechten übernehmen zwei Sätze: Der Sinussatz koppelt Seite-Gegenwinkel-Paare, der Kosinussatz um den −2abcos⁡γ-2ab\cos\gamma und beherrscht SWS und SSS. Die Wahl trifft der Blick auf die gegebenen Stücke, und plus „größte Seite gegenüber größtem Winkel" kontrollieren jedes Ergebnis.