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Mechanik

Kraft messen: das hookesche Gesetz

Warum eine Feder überhaupt als Messgerät taugt, wie man aus Messwerten das Kraftgesetz gewinnt und wo es aufhört zu gelten.

Benötigte Grundlagen

Dieses Vorwissen brauchst du für das Kapitel. Schau kurz nach, wenn dir etwas davon nicht mehr präsent ist, sonst leg direkt los.

Einführung

Wie misst man etwas, das man nicht sehen kann? Bei einer Länge ist es einfach: Man legt einen Maßstab daneben. Für eine gibt es keinen Kraftmaßstab zum Danebenhalten.

Der Ausweg ist ein Trick, den man in der ganzen Physik wiederfindet: Man misst nicht die Größe selbst, sondern eine Wirkung, die sich leicht messen lässt, und rechnet zurück. Bei der Kraft nimmt man dafür die Verformung einer Feder. Damit das funktioniert, muss zwischen Kraft und Dehnung allerdings ein verlässlicher Zusammenhang bestehen. Ob es den gibt, kann man nicht behaupten, sondern muss man messen.

Das kannst du nach diesem Kapitel

  • den Zusammenhang zwischen und Verlängerung einer Feder experimentell ermitteln.

  • Messwerte in ein Kraft-Verlängerungs-Diagramm eintragen und deuten.

  • das hookesche Gesetz F=D⋅sF = D \cdot s formulieren und begründen, woher es kommt.

  • die Federkonstante DD berechnen und ihre Bedeutung erklären.

  • erklären, warum ein Kraftmesser überhaupt funktioniert.

  • die Elastizitätsgrenze beschreiben und den Gültigkeitsbereich des Gesetzes angeben.

Der Versuch

Eine Schraubenfeder wird senkrecht aufgehängt und ihre Länge im unbelasteten Zustand notiert. Dann hängt man nacheinander Massestücke an und misst jedes Mal, um wie viel die Feder länger geworden ist. Diese Verlängerung heißt ss (manchmal auch Δl\Delta l).

Wichtig ist, dass man die Verlängerung misst und nicht die Gesamtlänge: Der Zusammenhang gilt für das, was zur Ausgangslänge dazukommt.

Eine typische Messreihe:

FF in N012345
ss in cm02,55,07,510,012,5
ohne Last11 N2 cm22 N4 cm33 N6 cmRuhelageDoppelte Kraft, doppelte Dehnung: s ist zu F proportional

Lies die Dehnungen ab, bevor du weiterliest: 2 cm, 4 cm, 6 cm bei 1 N, 2 N, 3 N. Die doppelte ergibt die doppelte Dehnung, die dreifache die dreifache. Das ist die Beobachtung, aus der gleich das Gesetz wird.

Was die Messwerte zeigen

Zwei Beobachtungen springen ins Auge:

  1. Doppelte ergibt doppelte Verlängerung, dreifache Kraft dreifache Verlängerung. Kraft und Verlängerung sind proportional.
  2. Ohne Kraft ist die Verlängerung null. Im Diagramm (FF nach oben, ss nach rechts) liegen die Punkte deshalb auf einer Ursprungsgeraden.

Proportionalität heißt: Der Quotient aus beiden Größen ist immer derselbe. Rechnen wir nach:

1 N2,5 cm=0,4 Ncm,3 N7,5 cm=0,4 Ncm,5 N12,5 cm=0,4 Ncm\frac{1\,\text{N}}{2{,}5\,\text{cm}} = 0{,}4\,\frac{\text{N}}{\text{cm}}, \qquad \frac{3\,\text{N}}{7{,}5\,\text{cm}} = 0{,}4\,\frac{\text{N}}{\text{cm}}, \qquad \frac{5\,\text{N}}{12{,}5\,\text{cm}} = 0{,}4\,\frac{\text{N}}{\text{cm}}

Tatsächlich immer 0,4 Ncm0{,}4\,\frac{\text{N}}{\text{cm}}.

s in cmF in N123456781234Δs = 4 cmΔF = 2 NSteigung = Federkonstante D = ΔF / Δs = 0,5 N/cm

Dieselben Messwerte als Diagramm. Zwei Dinge sind wichtig: Die Punkte liegen auf einer Geraden, und diese Gerade geht durch den Ursprung, ohne gibt es keine Dehnung. Ihre Steigung, hier über das Steigungsdreieck abgelesen, ist die Federkonstante D.

Das Gesetz entsteht

Dieser gleichbleibende Quotient ist eine Eigenschaft dieser einen Feder. Man gibt ihm einen Namen, die Federkonstante DD (auch Federhärte genannt):

D=FsD = \frac{F}{s}

Stellt man um, steht das Gesetz da, das Robert Hooke 1678 veröffentlichte:

F=D⋅s\boxed{F = D \cdot s}

🔴 Wichtig zur Einordnung: Das ist kein Naturgesetz wie die Energieerhaltung, das überall und immer gilt. Es ist die zusammengefasste Beschreibung eines beobachteten Verhaltens, und zwar nur innerhalb eines bestimmten Bereichs (siehe unten). Man hat es nicht hergeleitet, man hat es gemessen.

Was die Federkonstante bedeutet

D=0,4 NcmD = 0{,}4\,\frac{\text{N}}{\text{cm}} liest man wörtlich: Für jeden Zentimeter Verlängerung braucht man 0,4 N0{,}4\,\text{N}.

  • Eine große Federkonstante bedeutet eine harte Feder (viel für wenig Dehnung), etwa eine Autofederung mit rund 30000 Nm30000\,\frac{\text{N}}{\text{m}}.
  • Eine kleine Federkonstante bedeutet eine weiche Feder, etwa ein Kugelschreiberfederchen.

Im Diagramm ist DD die Steilheit der Geraden: Je steiler, desto härter die Feder. Zwei Federn kann man so ohne Rechnung vergleichen.

Die SI-Einheit ist Nm\frac{\text{N}}{\text{m}}, im Schulversuch rechnet man oft bequemer in Ncm\frac{\text{N}}{\text{cm}}. Umrechnung: 1 Ncm=100 Nm1\,\frac{\text{N}}{\text{cm}} = 100\,\frac{\text{N}}{\text{m}}, weil ein Meter hundert Zentimeter hat.

Warum ein Kraftmesser funktioniert

Jetzt lässt sich die Ausgangsfrage beantworten. Ein Federkraftmesser ist nichts weiter als eine Feder mit bekanntem DD und einer Skala daneben. Weil die Verlängerung der proportional ist, sind die Skalenstriche gleichmäßig verteilt. Man liest die Verlängerung ab, das Gerät rechnet sie durch seine Beschriftung schon in Newton um.

Das erklärt auch zwei praktische Dinge:

  • Ein Kraftmesser muss vor der Messung auf null gestellt werden (Tara), sonst misst man die Dehnung durch das Eigengewicht des Hakens mit.
  • Ein Kraftmesser gilt nur für eine Richtung, nämlich längs der Feder. Zieht man schräg, misst man nicht die volle Kraft.

Wo das Gesetz aufhört zu gelten

Belastet man immer weiter, bleiben die Messpunkte irgendwann nicht mehr auf der Geraden. Ab einer bestimmten passieren zwei Dinge:

  • Die Verlängerung wächst stärker als proportional, die Kurve knickt ab.
  • Nach dem Entlasten kehrt die Feder nicht in ihre Ausgangslänge zurück, sie ist bleibend verformt.

Die Grenze heißt Elastizitätsgrenze. Unterhalb davon verhält sich die Feder elastisch (Verformung geht vollständig zurück), oberhalb plastisch (Verformung bleibt).

Deshalb steht auf jedem Kraftmesser ein Messbereich, zum Beispiel „00 bis 5 N5\,\text{N}". Wer ihn überschreitet, misst nicht nur falsch, sondern zerstört das Gerät dauerhaft: Nach dem Überdehnen zeigt es auch bei kleinen Kräften nie wieder richtig an.

sFProportionalitätsgrenzeF = D · s giltgilt nicht mehrJedes Gesetz hat einen Gültigkeitsbereich

Jenseits des gelben Punktes dehnt sich die Feder stärker, als das Gesetz vorhersagt. Die gestrichelte Linie zeigt, wo sie nach F = D · s liegen müsste. Kein Gesetz der Physik gilt ohne Bereich, in dem es gilt.

Federkonstante aus einer Messreihe bestimmen

Eine Feder verlängert sich unter einer von 2,4 N2{,}4\,\text{N} um 6 cm6\,\text{cm}.

a) Berechne die Federkonstante in Ncm\frac{\text{N}}{\text{cm}} und in Nm\frac{\text{N}}{\text{m}}.

b) Wie weit dehnt sie sich unter 4 N4\,\text{N}?

c) Welche Kraft gehört zu einer Verlängerung von 15 cm15\,\text{cm}?

  1. 1

    a) Federkonstante berechnen. Sie ist der Quotient aus Kraft und Verlängerung:

    D=Fs=2,4 N6 cm=0,4 NcmD = \frac{F}{s} = \frac{2{,}4\,\text{N}}{6\,\text{cm}} = 0{,}4\,\frac{\text{N}}{\text{cm}}
  2. 2

    In die SI-Einheit umrechnen. Ein Meter hat hundert Zentimeter, also braucht man für einen Meter Dehnung das Hundertfache:

    D=0,4 Ncm=40 NmD = 0{,}4\,\frac{\text{N}}{\text{cm}} = 40\,\frac{\text{N}}{\text{m}}
  3. 3

    b) Nach ss umstellen und einsetzen:

    s=FD=4 N0,4 Ncm=10 cms = \frac{F}{D} = \frac{4\,\text{N}}{0{,}4\,\frac{\text{N}}{\text{cm}}} = 10\,\text{cm}

    Kontrolle über die Proportionalität: 4 N4\,\text{N} ist etwa das 1,671{,}67-fache von 2,4 N2{,}4\,\text{N}, und 10 cm10\,\text{cm} ist das 1,671{,}67-fache von 6 cm6\,\text{cm}. Passt.

  4. 4

    c) Direkt einsetzen:

    F=D⋅s=0,4 Ncm⋅15 cm=6 NF = D \cdot s = 0{,}4\,\frac{\text{N}}{\text{cm}} \cdot 15\,\text{cm} = 6\,\text{N}

    Die Einheit cm kürzt sich weg, übrig bleibt N. Wieder die eingebaute Kontrolle.

D=0,4 Ncm=40 NmD = 0{,}4\,\frac{\text{N}}{\text{cm}} = 40\,\frac{\text{N}}{\text{m}}; bei 4 N4\,\text{N} dehnt sie sich um 10 cm10\,\text{cm}, bei 15 cm15\,\text{cm} Dehnung wirken 6 N6\,\text{N}. Vorbehalt: Alle drei Ergebnisse gelten nur, solange die Elastizitätsgrenze nicht überschritten ist.

Eine Messreihe auswerten und die Grenze finden

Eine Gruppe misst an einer Feder:

FF in N123456
ss in cm1,63,24,86,48,611,5

Bestimme die Federkonstante und beurteile die Messreihe.

  1. 1

    Für jeden Messpunkt den Quotienten bilden. Nur wenn er gleich bleibt, liegt Proportionalität vor:

    FF in N123456
    ss in cm1,63,24,86,48,611,5
    F/sF/s in N/cm0,630,630,630,630,580,52
  2. 2

    Das Muster lesen. Bis 4 N4\,\text{N} ist der Quotient konstant 0,63 Ncm0{,}63\,\frac{\text{N}}{\text{cm}}. Ab 5 N5\,\text{N} sinkt er deutlich. Das heißt: Die Feder dehnt sich dort stärker, als das Gesetz vorhersagt.

  3. 3

    Die Grenze benennen. Genau dieses Abknicken ist das Kennzeichen der Elastizitätsgrenze. Sie liegt bei dieser Feder zwischen 4 N4\,\text{N} und 5 N5\,\text{N}.

  4. 4

    Federkonstante nur aus dem gültigen Bereich bestimmen:

    D=4 N6,4 cm=0,63 Ncm=63 NmD = \frac{4\,\text{N}}{6{,}4\,\text{cm}} = 0{,}63\,\frac{\text{N}}{\text{cm}} = 63\,\frac{\text{N}}{\text{m}}

    Die Punkte bei 5 N5\,\text{N} und 6 N6\,\text{N} dürfen dafür nicht verwendet werden. Wer über alle sechs Punkte mittelt, mischt zwei verschiedene Verhaltensweisen und bekommt eine Zahl, die für keinen der beiden Bereiche stimmt.

  5. 5

    Praktische Folge. Die Feder wurde überdehnt und ist mit hoher Wahrscheinlichkeit bleibend verformt. Für weitere Messungen muss man ihre Federkonstante neu bestimmen oder sie austauschen.

D=0,63 NcmD = 0{,}63\,\frac{\text{N}}{\text{cm}}, gültig bis etwa 4 N4\,\text{N}. Die letzten beiden Messpunkte liegen jenseits der Elastizitätsgrenze und gehören nicht in die Auswertung. Sie sind aber trotzdem wertvoll, weil sie die Grenze überhaupt erst sichtbar machen.

Typischer Fehler

„Die Feder ist 20 cm20\,\text{cm} lang, wenn ich 3 N3\,\text{N} anhänge. Also ist D=3 N20 cm=0,15 NcmD = \frac{3\,\text{N}}{20\,\text{cm}} = 0{,}15\,\frac{\text{N}}{\text{cm}}."

Hier wird die Gesamtlänge statt der Verlängerung eingesetzt. Im hookeschen Gesetz steht ss für das, was durch die dazugekommen ist.

Der Denkfehler wird sichtbar, wenn man ihn zu Ende denkt: Ohne jede Kraft ist die Feder vielleicht 12 cm12\,\text{cm} lang. Nach dieser Rechnung müsste F=0,15 Ncm⋅12 cm=1,8 NF = 0{,}15\,\frac{\text{N}}{\text{cm}} \cdot 12\,\text{cm} = 1{,}8\,\text{N} an ihr ziehen, obwohl gar nichts dranhängt.

Richtig: Erst die unbelastete Länge l0l_0 messen, dann die belastete Länge ll, und

s=l−l0=20 cm−12 cm=8 cm⇒D=3 N8 cm=0,375 Ncms = l - l_0 = 20\,\text{cm} - 12\,\text{cm} = 8\,\text{cm} \quad\Rightarrow\quad D = \frac{3\,\text{N}}{8\,\text{cm}} = 0{,}375\,\frac{\text{N}}{\text{cm}}

Merkhilfe: Die Gerade im Diagramm geht durch den Ursprung. Ohne Kraft keine Verlängerung. Wer die Gesamtlänge nimmt, verschiebt die Gerade und macht aus der Proportionalität etwas anderes.

Übung 1

leicht

Eine Feder hat die Federkonstante D=25 NmD = 25\,\frac{\text{N}}{\text{m}}.

a) Wie weit dehnt sie sich unter einer von 5 N5\,\text{N}?

b) Welche Kraft gehört zu einer Dehnung von 12 cm12\,\text{cm}?

Tipp anzeigen

Achte auf die Einheiten: DD ist hier in Nm\frac{\text{N}}{\text{m}} angegeben.

Lösung anzeigen

a) s=FD=5 N25 Nm=0,2 m=20 cms = \dfrac{F}{D} = \dfrac{5\,\text{N}}{25\,\frac{\text{N}}{\text{m}}} = 0{,}2\,\text{m} = 20\,\text{cm}

b) Erst 12 cm=0,12 m12\,\text{cm} = 0{,}12\,\text{m} umrechnen, damit die Einheiten zusammenpassen:

F=D⋅s=25 Nm⋅0,12 m=3 NF = D \cdot s = 25\,\frac{\text{N}}{\text{m}} \cdot 0{,}12\,\text{m} = 3\,\text{N}
Detaillierte Schritterklärung anzeigen

Hier wird jeder Schritt einzeln erklärt, vor allem, warum er gemacht wird.

Erklärungstiefe

✦ Empfohlen: Standard – Die normale Erklärungstiefe passt zum Einstieg.

  1. 1

    Gegeben und Gesucht mit Blick auf die Einheiten

    Gegeben: D=25 NmD = 25\,\frac{\text{N}}{\text{m}}. Gesucht: a) die Dehnung ss bei F=5 NF = 5\,\text{N}, b) die Kraft FF bei s=12 cms = 12\,\text{cm}. Die Federkonstante ist hier je Meter angegeben. Das ist die entscheidende Beobachtung für Teil b).

  2. 2

    Das hookesche Gesetz und was es voraussetzt

    Im elastischen Bereich ist die Dehnung der Kraft proportional: doppelte Kraft, doppelte Dehnung. In Formeln F=D⋅sF = D \cdot s, wobei DD angibt, wie viel Kraft je Meter Dehnung nötig ist.

  3. 3

    a) Nach der Dehnung umstellen

    Gesucht ist ss, gegeben sind FF und DD. Aus F=D⋅sF = D \cdot s wird durch Teilen durch DD: s=FDs = \frac{F}{D}.

  4. 4

    a) Dehnung berechnen

    Kraft durch Federkonstante teilen; das Ergebnis kommt in Metern heraus und lässt sich anschaulich in Zentimeter umschreiben.

    s=FD=5 N25 Nm=0,2 ms = \frac{F}{D} = \frac{5\,\text{N}}{25\,\frac{\text{N}}{\text{m}}} = 0{,}2\,\text{m}

    Zwischenergebnis

    s=0,2 m=20 cms = 0{,}2\,\text{m} = 20\,\text{cm}

  5. 5

    b) Erst die Länge angleichen

    DD ist je Meter angegeben, die Dehnung steht in Zentimetern. Vor dem Einsetzen wird deshalb umgerechnet: 12 cm=0,12 m12\,\text{cm} = 0{,}12\,\text{m}.

    12 cm=12⋅0,01 m=0,12 m12\,\text{cm} = 12 \cdot 0{,}01\,\text{m} = 0{,}12\,\text{m}

    Zwischenergebnis

    s=0,12 ms = 0{,}12\,\text{m}

  6. 6

    b) Kraft berechnen

    Jetzt lässt sich F=D⋅sF = D \cdot s direkt anwenden; die Meter kürzen sich weg und es bleibt Newton.

    F=D⋅s=25 Nm⋅0,12 m=3 NF = D \cdot s = 25\,\frac{\text{N}}{\text{m}} \cdot 0{,}12\,\text{m} = 3\,\text{N}

    Zwischenergebnis

    F=3 NF = 3\,\text{N}

  7. 7

    Beide Teilergebnisse gegeneinander prüfen

    5 N5\,\text{N} dehnen die Feder um 20 cm20\,\text{cm}, 3 N3\,\text{N} um 12 cm12\,\text{cm}. Beide Wertepaare liegen im selben Verhältnis, die Proportionalität zeigt sich also in den eigenen Ergebnissen.

Übung 2

mittel

Eine unbelastete Feder ist 14 cm14\,\text{cm} lang. Mit einem angehängten Körper misst man 22,5 cm22{,}5\,\text{cm}. Die Federkonstante beträgt D=0,6 NcmD = 0{,}6\,\frac{\text{N}}{\text{cm}}.

a) Wie groß ist die , mit der der Körper an der Feder zieht?

b) Welche hat der Körper ungefähr (1 kg1\,\text{kg} entspricht etwa 10 N10\,\text{N})?

c) Wie lang wäre die Feder mit einem Körper doppelter Masse?

Tipp anzeigen

a) Zuerst die Verlängerung ausrechnen, nicht die Gesamtlänge einsetzen.

Lösung anzeigen

a) Verlängerung: s=22,5 cm−14 cm=8,5 cms = 22{,}5\,\text{cm} - 14\,\text{cm} = 8{,}5\,\text{cm}

F=D⋅s=0,6 Ncm⋅8,5 cm=5,1 NF = D \cdot s = 0{,}6\,\frac{\text{N}}{\text{cm}} \cdot 8{,}5\,\text{cm} = 5{,}1\,\text{N}

b) m=5,1 N10 Nkg=0,51 kg≈510 gm = \dfrac{5{,}1\,\text{N}}{10\,\frac{\text{N}}{\text{kg}}} = 0{,}51\,\text{kg} \approx 510\,\text{g}

c) Doppelte Masse bedeutet doppelte Kraft, also F=10,2 NF = 10{,}2\,\text{N}:

s=10,2 N0,6 Ncm=17 cms = \frac{10{,}2\,\text{N}}{0{,}6\,\frac{\text{N}}{\text{cm}}} = 17\,\text{cm}

Gesamtlänge: 14 cm+17 cm=31 cm14\,\text{cm} + 17\,\text{cm} = 31\,\text{cm}.

Vorbehalt: Das gilt nur, wenn 10,2 N10{,}2\,\text{N} noch unter der Elastizitätsgrenze liegen. Die Aufgabe sagt darüber nichts; in der Praxis müsste man das prüfen, bevor man die Antwort ernst nimmt.

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Hier wird jeder Schritt einzeln erklärt, vor allem, warum er gemacht wird.

Erklärungstiefe

✦ Empfohlen: Standard – Die normale Erklärungstiefe passt zum Einstieg.

  1. 1

    Gegeben und Gesucht, zwei Längen, aber nur eine Dehnung

    Gegeben: Ruhelänge l0=14 cml_0 = 14\,\text{cm}, belastete Länge l=22,5 cml = 22{,}5\,\text{cm} und D=0,6 NcmD = 0{,}6\,\frac{\text{N}}{\text{cm}}. Gesucht: a) die Kraft, b) die Masse, c) die Länge bei doppelter Masse. Die Dehnung steht nicht da. Sie ist die Differenz der beiden Längen.

  2. 2

    a) Das hookesche Gesetz mit der Verlängerung

    Es gilt F=D⋅sF = D \cdot s, wobei s=l−l0s = l - l_0 die Verlängerung gegenüber der unbelasteten Feder ist. Hier ist DD je Zentimeter angegeben, die Längen liegen also schon passend vor.

  3. 3

    a) Verlängerung und Kraft

    Zuerst die Differenz der Längen, dann mit der Federkonstanten multiplizieren.

    s=22,5 cm−14 cm=8,5 cms = 22{,}5\,\text{cm} - 14\,\text{cm} = 8{,}5\,\text{cm}; F=0,6 Ncm⋅8,5 cm=5,1 NF = 0{,}6\,\frac{\text{N}}{\text{cm}} \cdot 8{,}5\,\text{cm} = 5{,}1\,\text{N}

    Zwischenergebnis

    F=5,1 NF = 5{,}1\,\text{N}

  4. 4

    b) Von der Kraft zur Masse

    Der Körper zieht mit seiner , also F=m⋅gF = m \cdot g. Gesucht ist die Masse, deshalb wird nach mm umgestellt: m=Fgm = \frac{F}{g}.

  5. 5

    b) Masse berechnen

    Kraft durch Ortsfaktor teilen; die Newton kürzen sich, übrig bleiben Kilogramm.

    m=Fg=5,1 N10 Nkg=0,51 kgm = \frac{F}{g} = \frac{5{,}1\,\text{N}}{10\,\frac{\text{N}}{\text{kg}}} = 0{,}51\,\text{kg}

    Zwischenergebnis

    m≈510 gm \approx 510\,\text{g}

  6. 6

    c) Doppelte Masse: erst die Dehnung, dann die Gesamtlänge

    Doppelte Masse bedeutet doppelte Gewichtskraft, also F=10,2 NF = 10{,}2\,\text{N}. Daraus folgt die Dehnung, und erst die Ruhelänge dazu ergibt die Gesamtlänge.

    s=10,2 N0,6 Ncm=17 cms = \frac{10{,}2\,\text{N}}{0{,}6\,\frac{\text{N}}{\text{cm}}} = 17\,\text{cm}; l=14 cm+17 cm=31 cml = 14\,\text{cm} + 17\,\text{cm} = 31\,\text{cm}

    Zwischenergebnis

    l=31 cml = 31\,\text{cm}

  7. 7

    Ergebnis prüfen und deuten: ein Vorbehalt gehört dazu

    31 cm31\,\text{cm} gelten nur, wenn 10,2 N10{,}2\,\text{N} noch unter der Elastizitätsgrenze dieser Feder liegen. Die Aufgabe sagt darüber nichts, die Antwort ist also eine Rechnung unter Vorbehalt, keine Voraussage.

Übung 3

schwer

Zwei Federn werden vermessen:

FF in N0,51,01,52,0
s1s_1 in cm (Feder A)2,04,06,08,0
s2s_2 in cm (Feder B)0,51,01,52,0

a) Bestimme DAD_A und DBD_B.

b) Welche Feder ist härter? Woran erkennt man das im Diagramm?

c) Beide Federn werden hintereinander gehängt (erst A, unten dran B) und mit 1 N1\,\text{N} belastet. Wie groß ist die Gesamtverlängerung?

d) Berechne daraus die Federkonstante der Kombination und vergleiche sie mit DAD_A und DBD_B.

Tipp anzeigen

c) Durch beide Federn zieht dieselbe von 1 N1\,\text{N}. Warum?

Lösung anzeigen

a) DA=2,0 N8,0 cm=0,25 NcmD_A = \dfrac{2{,}0\,\text{N}}{8{,}0\,\text{cm}} = 0{,}25\,\frac{\text{N}}{\text{cm}} und DB=2,0 N2,0 cm=1,0 NcmD_B = \dfrac{2{,}0\,\text{N}}{2{,}0\,\text{cm}} = 1{,}0\,\frac{\text{N}}{\text{cm}}

(Man kann jeden Messpunkt nehmen, alle liefern denselben Wert. Genau das belegt die Proportionalität.)

b) Feder B ist härter, ihre Federkonstante ist viermal so groß. Im Diagramm erkennt man das an der steileren Geraden: Für dieselbe Dehnung braucht man mehr Kraft.

c) Hängt B unter A, so trägt A das gesamte angehängte Gewicht, und B ebenfalls. Durch beide Federn zieht also dieselbe Kraft 1 N1\,\text{N}. (Anders gesagt: Die Kraft wird längs der Kette weitergegeben, nicht aufgeteilt.) Damit dehnt sich jede Feder so, als hinge sie allein:

sA=1 N0,25 Ncm=4 cm,sB=1 N1,0 Ncm=1 cms_A = \frac{1\,\text{N}}{0{,}25\,\frac{\text{N}}{\text{cm}}} = 4\,\text{cm}, \qquad s_B = \frac{1\,\text{N}}{1{,}0\,\frac{\text{N}}{\text{cm}}} = 1\,\text{cm} sges=4 cm+1 cm=5 cms_{\text{ges}} = 4\,\text{cm} + 1\,\text{cm} = 5\,\text{cm}

d) Dges=1 N5 cm=0,2 NcmD_{\text{ges}} = \dfrac{1\,\text{N}}{5\,\text{cm}} = 0{,}2\,\frac{\text{N}}{\text{cm}}

Die Kombination ist weicher als jede Einzelfeder. Das klingt zunächst überraschend, ist aber logisch: Beide Dehnungen addieren sich, während die Kraft dieselbe bleibt. Bei einer größeren Dehnung für dieselbe Kraft muss die Federkonstante kleiner sein.

Wer mag, prüft die allgemeine Regel nach: 1Dges=1DA+1DB=4+1=5 cmN\frac{1}{D_{\text{ges}}} = \frac{1}{D_A} + \frac{1}{D_B} = 4 + 1 = 5\,\frac{\text{cm}}{\text{N}}, also Dges=0,2 NcmD_{\text{ges}} = 0{,}2\,\frac{\text{N}}{\text{cm}}. Dieselbe Struktur trifft man in Klasse 8 bei parallel geschalteten elektrischen Widerständen wieder.

Detaillierte Schritterklärung anzeigen

Hier wird jeder Schritt einzeln erklärt, vor allem, warum er gemacht wird.

Erklärungstiefe

✦ Empfohlen: Standard – Die normale Erklärungstiefe passt zum Einstieg.

  1. 1

    Die Messtabelle lesen

    Zu jeder Kraft gehören zwei Dehnungen: Feder A dehnt sich bei 2,0 N2{,}0\,\text{N} um 8,0 cm8{,}0\,\text{cm}, Feder B nur um 2,0 cm2{,}0\,\text{cm}. Gesucht sind DAD_A und DBD_B, ein Härtevergleich und die Kombination beider Federn.

  2. 2

    a) Die Federkonstante als Kraft je Zentimeter

    DD gibt an, wie viel Kraft für einen Zentimeter Dehnung nötig ist. Aus F=D⋅sF = D \cdot s folgt deshalb D=FsD = \frac{F}{s}. Man darf jedes Wertepaar der Tabelle nehmen.

  3. 3

    a) Beide Federkonstanten

    Kraft durch Dehnung, für jede Feder getrennt.

    DA=2,0 N8,0 cm=0,25 NcmD_A = \frac{2{,}0\,\text{N}}{8{,}0\,\text{cm}} = 0{,}25\,\frac{\text{N}}{\text{cm}}; DB=2,0 N2,0 cm=1,0 NcmD_B = \frac{2{,}0\,\text{N}}{2{,}0\,\text{cm}} = 1{,}0\,\frac{\text{N}}{\text{cm}}

    Zwischenergebnis

    DA=0,25 NcmD_A = 0{,}25\,\frac{\text{N}}{\text{cm}}, DB=1,0 NcmD_B = 1{,}0\,\frac{\text{N}}{\text{cm}}

  4. 4

    b) Welche Feder ist härter?

    Feder B: Ihre Federkonstante ist viermal so groß, für dieselbe Dehnung braucht man viermal so viel Kraft. Im Diagramm erkennt man das an der steileren Geraden.

  5. 5

    c) Hintereinander: dieselbe Kraft in beiden Federn

    Hängt B unter A, so trägt A das ganze angehängte Gewicht und B ebenfalls, die Kraft wird längs der Kette weitergegeben, nicht aufgeteilt. Jede Feder dehnt sich also so, als hinge sie allein.

    sA=1 N0,25 Ncm=4 cms_A = \frac{1\,\text{N}}{0{,}25\,\frac{\text{N}}{\text{cm}}} = 4\,\text{cm}; sB=1 N1,0 Ncm=1 cms_B = \frac{1\,\text{N}}{1{,}0\,\frac{\text{N}}{\text{cm}}} = 1\,\text{cm}

    Zwischenergebnis

    sges=4 cm+1 cm=5 cms_{\text{ges}} = 4\,\text{cm} + 1\,\text{cm} = 5\,\text{cm}

  6. 6

    d) Die Federkonstante der Kombination

    Die Kombination wird wie eine einzige Feder behandelt: 1 N1\,\text{N} erzeugt 5 cm5\,\text{cm} Dehnung.

    Dges=1 N5 cm=0,2 NcmD_{\text{ges}} = \frac{1\,\text{N}}{5\,\text{cm}} = 0{,}2\,\frac{\text{N}}{\text{cm}}

    Zwischenergebnis

    Dges=0,2 NcmD_{\text{ges}} = 0{,}2\,\frac{\text{N}}{\text{cm}}

  7. 7

    Ergebnis deuten: eine Struktur, die wiederkommt

    Reihenschaltung von Federn macht das Ganze weicher, obwohl man zwei Federn statt einer benutzt. Der Grund ist immer derselbe: gleiche Kraft, addierte Wege.

Zusammenfassung

misst man über eine Wirkung, die sich leicht ablesen lässt: die Verlängerung einer Feder. Der Versuch zeigt, dass diese Verlängerung der Kraft proportional ist, dass also der Quotient F/sF/s konstant bleibt. Dieser Quotient ist die Federkonstante DD, und mit ihr lautet der Zusammenhang F=D⋅sF = D \cdot s. Ein großes DD gehört zu einer harten Feder und zeigt sich als steile Ursprungsgerade im Diagramm. Genau auf dieser Proportionalität beruht der Federkraftmesser mit seiner gleichmäßigen Skala. Das Gesetz ist allerdings kein Naturgesetz, sondern die Beschreibung eines gemessenen Verhaltens, und es endet an der Elastizitätsgrenze: Darüber dehnt sich die Feder stärker als vorhergesagt und bleibt bleibend verformt.