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Atom- und Kernphysik

Zerfallsgesetz und Aktivität

Wie aus reinem Zufall ein exaktes Gesetz wird und wie man damit das Alter von Funden und Gesteinen bestimmt.

Benötigte Grundlagen

Dieses Vorwissen brauchst du für das Kapitel. Schau kurz nach, wenn dir etwas davon nicht mehr präsent ist, sonst leg direkt los.

Einführung

Kein einzelner verrät, wann er zerfallen wird. Er altert nicht, er hat kein Gedächtnis, und die Wahrscheinlichkeit, in der nächsten Sekunde zu zerfallen, ist für einen frisch entstandenen Kern genauso groß wie für einen, der seit einer Milliarde Jahren existiert.

Und doch lässt sich für ein Stück Uran auf die Stunde genau angeben, wie viele Kerne bis morgen zerfallen sein werden.

Aus dieser Verbindung von vollkommener Unvorhersagbarkeit im Einzelnen und strenger Gesetzmäßigkeit im Ganzen folgt das Zerfallsgesetz, und mit ihm eine Uhr, die das Alter von Fossilien, Gesteinen und der Erde selbst misst.

Das kannst du nach diesem Kapitel

  • das Zerfallsgesetz aufstellen und begründen.

  • die Zerfallskonstante und ihren Zusammenhang mit der angeben.

  • die Aktivität berechnen.

  • mit dem Gesetz Zeiten und Mengen bestimmen.

  • die Altersbestimmung durchführen und ihre Voraussetzungen nennen.

  • den statistischen Charakter des Zerfalls erklären.

Der Ausgangspunkt

Für einen einzelnen Kern gilt: Die Wahrscheinlichkeit, in einem kurzen Zeitraum zu zerfallen, ist konstant und hängt weder vom Alter des Kerns noch von seiner Umgebung ab.

Daraus folgt für viele Kerne: Die Zahl der Zerfälle in einer bestimmten Zeit ist der Zahl der noch vorhandenen Kerne proportional.

ΔNΔt=−λ⋅N\frac{\Delta N}{\Delta t} = -\lambda \cdot N

Die Zerfallskonstante λ\lambda gibt an, welcher Bruchteil der Kerne je Sekunde zerfällt. Das Minuszeichen steht für die Abnahme.

🔴 Genau dieses Muster kennst du schon: Beim war die Änderung der Restspannung proportional, bei der Abkühlung der Temperaturdifferenz. Alle drei führen auf dieselbe Kurvenform.

Das Zerfallsgesetz

N(t)=N0⋅e−λt\boxed{N(t) = N_0 \cdot e^{-\lambda t}}

oder gleichwertig mit der

N(t)=N0⋅(12)tT1/2N(t) = N_0 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{t}{T_{1/2}}}

Der Zusammenhang beider Formen: Setzt man t=T1/2t = T_{1/2} und N=N02N = \frac{N_0}{2}, folgt

λ=ln⁡2T1/2≈0,693T1/2\boxed{\lambda = \frac{\ln 2}{T_{1/2}} \approx \frac{0{,}693}{T_{1/2}}}

Beide Formen sind gleichwertig. Für Rechnungen in ganzen Halbwertszeiten ist die zweite bequemer, für beliebige Zeiten die erste.

Die Aktivität

A=λ⋅N,[ A ]=1 Becquerel=1 Bq=1s\boxed{A = \lambda \cdot N}, \qquad [\,A\,] = 1\,\text{Becquerel} = 1\,\text{Bq} = \frac{1}{\text{s}}

Sie gibt die Zahl der Zerfälle je Sekunde an. Da NN exponentiell abnimmt, gilt dasselbe für die Aktivität:

A(t)=A0⋅e−λtA(t) = A_0 \cdot e^{-\lambda t}

🔴 Wichtige Einsicht aus A=λNA = \lambda N: Bei gleicher Stoffmenge hat ein mit kurzer (großes λ\lambda) eine hohe Aktivität, eines mit langer eine niedrige.

IsotopT1/2T_{1/2}Aktivität von 1 g1\,\text{g}
Iod-13188 Tage4,6⋅1015 Bq4{,}6 \cdot 10^{15}\,\text{Bq}
Cäsium-1373030 Jahre3,2⋅1012 Bq3{,}2 \cdot 10^{12}\,\text{Bq}
Uran-2384,5⋅1094{,}5 \cdot 10^{9} Jahre1,2⋅104 Bq1{,}2 \cdot 10^{4}\,\text{Bq}

Der Unterschied beträgt elf Zehnerpotenzen. „Stark " und „lange radioaktiv" sind also Gegensätze, nicht dasselbe.

Die Aktivität sinkt mit derselben HalbwertszeitA = λ · N: weniger Kerne, desto seltener knackt es.1 Becquerel heißt: ein Zerfall je Sekunde.012341½A / A₀gleiche Kurvenform wie N(t)t in HalbwertszeitenStarke Strahlung und lange Strahlung schließen einander aus

Weil A = λ · N gilt und λ konstant ist, hat die Aktivität dieselbe Kurvenform wie die Kernzahl und damit auch dieselbe . Daraus folgt unmittelbar: Ein Präparat kann stark strahlen oder lange strahlen, aber nicht beides.

Altersbestimmung mit C-14

Das Prinzip. In der Atmosphäre entsteht durch kosmische Strahlung ständig 14C^{14}\text{C} und zerfällt zugleich. Dadurch stellt sich ein nahezu konstantes Verhältnis von 14C^{14}\text{C} zu 12C^{12}\text{C} ein.

Ein lebender Organismus tauscht ständig Kohlenstoff mit der Umgebung aus und hat deshalb dasselbe Verhältnis. Mit dem Tod endet der Austausch, und der 14C^{14}\text{C}-Anteil sinkt mit T1/2=5730T_{1/2} = 5730 Jahren.

Die Rechnung. Aus dem gemessenen Verhältnis folgt

t=T1/2ln⁡2⋅ln⁡N0Nt = \frac{T_{1/2}}{\ln 2} \cdot \ln\frac{N_0}{N}

Reichweite: rund 50 00050\,000 Jahre. Danach ist zu wenig 14C^{14}\text{C} übrig.

Voraussetzungen, die man kennen muss:

  1. Der atmosphärische 14C^{14}\text{C}-Gehalt zur Lebenszeit muss bekannt sein. Er war nicht exakt konstant, weshalb man mit Kalibrierkurven aus Baumringen arbeitet.
  2. Die Probe darf nach dem Tod keinen Kohlenstoff ausgetauscht haben; Verunreinigung mit frischem Kohlenstoff lässt sie zu jung erscheinen.

🔴 Zwei menschgemachte Störungen sind bemerkenswert: Die Verbrennung fossiler Brennstoffe verdünnte den 14C^{14}\text{C}-Anteil (Suess-Effekt), die Kernwaffentests der 1950er Jahre verdoppelten ihn kurzzeitig.

Der Fund trägt seine eigene UhrZu Lebzeiten kommt C-14 nach, danach nie wieder.Halbwertszeit von C-14: 5730 Jahre.05 73011 46017 19022 920100 %50 %25 %C-14-AnteilFund: noch 25 %→ 11 460 Jahre altt in JahrenJede Uhr passt nur zu ihrem Zeitraum

So läuft die Altersbestimmung praktisch ab: Gemessen wird der C-14-Anteil, abgelesen wird die Zeit. Bei 25 % ist die Antwort ohne Taschenrechner ablesbar. Das sind genau zwei . Jenseits von rund 50 000 Jahren ist zu wenig C-14 übrig; dann braucht man andere Uhren.

Andere Uhren für größere Zeiträume

VerfahrenT1/2T_{1/2}Anwendung
C-1457305730 aOrganisches bis 50 00050\,000 a
Kalium-Argon1,25⋅1091{,}25 \cdot 10^{9} aGesteine, Vulkanausbrüche
Uran-Blei4,5⋅1094{,}5 \cdot 10^{9} aälteste Gesteine, Erdalter

Mit der Uran-Blei-Methode wurde das Alter der Erde zu 4,544{,}54 Milliarden Jahren bestimmt, mit einer Unsicherheit von nur rund einem Prozent.

Der statistische Charakter

🔴 Der Zerfall ist ein Zufallsprozess. Ein Kern altert nicht; seine Zerfallswahrscheinlichkeit ist immer dieselbe.

Trotzdem gilt für viele Kerne ein exaktes Gesetz, genau wie beim Würfeln: Ein einzelner Wurf ist unvorhersagbar, bei einer Million Würfen liegt der Anteil der Sechsen sehr genau bei einem Sechstel.

Praktische Folge: Die Zählrate eines Messgeräts schwankt. Bei NN gezählten Ereignissen beträgt die typische Schwankung etwa N\sqrt{N}, die relative Unsicherheit also 1N\frac{1}{\sqrt{N}}.

Deshalb misst man bei kleinen Aktivitäten lange: Vervierfacht man die Messzeit, halbiert sich der relative Fehler.

Mit dem Zerfallsgesetz rechnen

Cäsium-137 hat T1/2=30,2T_{1/2} = 30{,}2 Jahre. Eine Probe enthält zu Beginn N0=2,0⋅1020N_0 = 2{,}0 \cdot 10^{20} Kerne.

a) Wie groß ist die Zerfallskonstante?

b) Wie groß ist die Anfangsaktivität?

c) Wie viele Kerne sind nach 5050 Jahren übrig?

d) Nach welcher Zeit ist die Aktivität auf 1 %1\,\% gesunken?

  1. 1

    a) in Sekunden:

    T1/2=30,2⋅3,156⋅107 s≈9,53⋅108 sT_{1/2} = 30{,}2 \cdot 3{,}156 \cdot 10^{7}\,\text{s} \approx 9{,}53 \cdot 10^{8}\,\text{s} λ=ln⁡2T1/2=0,6939,53⋅108 s≈7,27⋅10−10 1s\lambda = \frac{\ln 2}{T_{1/2}} = \frac{0{,}693}{9{,}53 \cdot 10^{8}\,\text{s}} \approx 7{,}27 \cdot 10^{-10}\,\frac{1}{\text{s}}

    Je Sekunde zerfällt also nur etwa ein Kern von 1,41{,}4 Milliarden.

  2. 2

    b) A0=λN0=7,27⋅10−10 1s⋅2,0⋅1020≈1,45⋅1011 BqA_0 = \lambda N_0 = 7{,}27 \cdot 10^{-10}\,\frac{1}{\text{s}} \cdot 2{,}0 \cdot 10^{20} \approx 1{,}45 \cdot 10^{11}\,\text{Bq}

    Also rund 145145 Gigabecquerel. Trotz der winzigen Zerfallswahrscheinlichkeit ergibt die riesige Kernzahl eine hohe Aktivität.

  3. 3

    c) Über die Halbwertszeitform:

    N=N0(12)5030,2=2,0⋅1020⋅(12)1,656N = N_0 \left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{50}{30{,}2}} = 2{,}0 \cdot 10^{20} \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{1{,}656} (12)1,656≈0,317\left(\frac{1}{2}\right)^{1{,}656} \approx 0{,}317 N≈6,3⋅1019N \approx 6{,}3 \cdot 10^{19}

    Kontrolle über die Exponentialform:

    50 a=1,578⋅109 s,λt=7,27⋅10−10⋅1,578⋅109≈1,14750\,\text{a} = 1{,}578 \cdot 10^{9}\,\text{s}, \qquad \lambda t = 7{,}27 \cdot 10^{-10} \cdot 1{,}578 \cdot 10^{9} \approx 1{,}147

    N=2,0⋅1020⋅e−1,147≈2,0⋅1020⋅0,318≈6,4⋅1019N = 2{,}0 \cdot 10^{20} \cdot e^{-1{,}147} \approx 2{,}0 \cdot 10^{20} \cdot 0{,}318 \approx 6{,}4 \cdot 10^{19} ✓

    Nach 5050 Jahren sind also noch rund 32 %32\,\% vorhanden.

  4. 4

    d) Gesucht ist tt mit AA0=0,01\frac{A}{A_0} = 0{,}01.

    Da A∼NA \sim N, gilt dieselbe Gleichung:

    0,01=e−λt⟹ln⁡(0,01)=−λt0{,}01 = e^{-\lambda t} \quad \Longrightarrow \quad \ln(0{,}01) = -\lambda t t=−ln⁡(0,01)λ=4,605λt = \frac{-\ln(0{,}01)}{\lambda} = \frac{4{,}605}{\lambda}

    Bequemer in Halbwertszeiten: Mit λ=ln⁡2T1/2\lambda = \frac{\ln 2}{T_{1/2}} folgt

    t=4,605ln⁡2⋅T1/2=6,64⋅T1/2=6,64⋅30,2 a≈201 Jahret = \frac{4{,}605}{\ln 2} \cdot T_{1/2} = 6{,}64 \cdot T_{1/2} = 6{,}64 \cdot 30{,}2\,\text{a} \approx 201\,\text{Jahre}

    🔴 Merke die allgemeine Regel: Auf 1 %1\,\% sinkt die Aktivität nach rund sieben Halbwertszeiten, auf 0,1 %0{,}1\,\% nach zehn.

    Das ist die Grundlage der Faustregel aus der Klasse 10: Nach etwa zehn Halbwertszeiten gilt ein Stoff als abgeklungen.

    Praktische Bedeutung für Cäsium-137: Nach dem Reaktorunfall von Tschernobyl 1986 sind bis heute (rund 4040 Jahre, also gut eine Halbwertszeit) erst etwa 60 %60\,\% zerfallen. Bis auf ein Prozent dauert es noch rund 160160 Jahre.

    Genau deshalb wird in Teilen Bayerns weiterhin Wildfleisch gemessen: Cäsium reichert sich über Pilze in Wildschweinen an.

a) 7,27⋅10−10 1s7{,}27 \cdot 10^{-10}\,\frac{1}{\text{s}} b) rund 1,45⋅1011 Bq1{,}45 \cdot 10^{11}\,\text{Bq} c) rund 6,3⋅10196{,}3 \cdot 10^{19} (etwa 32 %32\,\%) d) rund 201201 Jahre (etwa sieben Halbwertszeiten).

Altersbestimmung mit C-14

An einem Holzfund misst man eine C-14-Aktivität von 8,58{,}5 Zerfällen je Minute und Gramm Kohlenstoff. Bei lebendem Material sind es 13,613{,}6.

a) Wie alt ist der Fund (T1/2=5730T_{1/2} = 5730 a)?

b) Warum funktioniert die Methode nur bei organischem Material?

c) Welche zwei Voraussetzungen müssen erfüllt sein?

d) Warum reicht die Methode nur rund 50 00050\,000 Jahre zurück?

  1. 1

    a) Verhältnis bilden:

    AA0=8,513,6=0,625\frac{A}{A_0} = \frac{8{,}5}{13{,}6} = 0{,}625

    Nach der Zeit auflösen:

    0,625=e−λt⟹t=ln⁡(1/0,625)λ=0,470λ0{,}625 = e^{-\lambda t} \quad \Longrightarrow \quad t = \frac{\ln(1/0{,}625)}{\lambda} = \frac{0{,}470}{\lambda}

    Mit λ=ln⁡25730 a\lambda = \frac{\ln 2}{5730\,\text{a}}:

    t=0,4700,693⋅5730 a≈0,678⋅5730 a≈3890 Jahret = \frac{0{,}470}{0{,}693} \cdot 5730\,\text{a} \approx 0{,}678 \cdot 5730\,\text{a} \approx 3890\,\text{Jahre}

    Der Fund stammt also aus der Zeit um 19001900 vor unserer Zeitrechnung.

  2. 2

    b) Weil nur lebende Organismen ständig Kohlenstoff austauschen.

    Pflanzen nehmen Kohlendioxid aus der Luft auf, Tiere fressen Pflanzen. Solange ein Organismus lebt, hält er dadurch dasselbe 14C^{14}\text{C}-Verhältnis wie die Atmosphäre.

    Mit dem Tod endet der Austausch. Von da an zerfällt das vorhandene 14C^{14}\text{C} ohne Nachschub, und die Uhr läuft.

    🔴 Bei Gestein gibt es keinen solchen Startpunkt: Es hat nie am Kohlenstoffkreislauf teilgenommen. Deshalb braucht man dort andere Verfahren, etwa Kalium-Argon oder Uran-Blei.

    Was die Methode also datiert, ist genau der Todeszeitpunkt des Organismus, nicht etwa die Herstellung eines Gegenstands. Ein Holzbalken datiert auf das Fälljahr des Baumes, was bei wiederverwendetem Holz zu Fehlschlüssen führen kann.

  3. 3

    c) Erstens: Der ursprüngliche 14C^{14}\text{C}-Gehalt muss bekannt sein.

    14C^{14}\text{C} entsteht laufend durch kosmische Strahlung und zerfällt zugleich. Sein Anteil war aber nicht exakt konstant, weil die kosmische Strahlung und das Erdmagnetfeld schwankten.

    Deshalb arbeitet man mit Kalibrierkurven, die über Jahresringe von Bäumen (Dendrochronologie) bis rund 14 00014\,000 Jahre zurückreichen. Erst damit werden die Ergebnisse genau.

    Zwei menschgemachte Störungen: Die Verbrennung fossiler Brennstoffe (die kein 14C^{14}\text{C} mehr enthalten) hat den Anteil verdünnt; die Kernwaffentests der 1950er Jahre haben ihn kurzzeitig fast verdoppelt.

    Zweitens: Die Probe darf keinen Kohlenstoff ausgetauscht haben.

    Verunreinigung mit frischem Kohlenstoff (Wurzeln, Konservierungsmittel, Berührung) lässt den Fund zu jung erscheinen. Schon ein Prozent moderner Kohlenstoff verfälscht ein 20 00020\,000 Jahre altes Ergebnis erheblich.

    Deshalb werden Proben aufwendig gereinigt, und man datiert möglichst mehrere unabhängige Proben.

  4. 4

    d) Weil nach rund 50 00050\,000 Jahren zu wenig 14C^{14}\text{C} übrig ist.

    50 0005730≈8,7 Halbwertszeiten\frac{50\,000}{5730} \approx 8{,}7 \text{ Halbwertszeiten} (12)8,7≈0,0024\left(\frac{1}{2}\right)^{8{,}7} \approx 0{,}0024

    Es sind also nur noch rund zwei Promille des ursprünglichen Gehalts vorhanden.

    Warum das die Grenze setzt: Die verbleibende Aktivität ist so gering, dass sie im natürlichen Untergrund untergeht. Zudem würde schon eine winzige Verunreinigung mit frischem Kohlenstoff das Ergebnis vollständig verfälschen.

    🔴 Für ältere Funde nimmt man mit längerer :

    VerfahrenT1/2T_{1/2}Reichweite
    C-1457305730 abis 50 00050\,000 a
    Kalium-Argon1,25⋅1091{,}25 \cdot 10^{9} aab 100 000100\,000 a
    Uran-Blei4,5⋅1094{,}5 \cdot 10^{9} aMilliarden Jahre

    Die allgemeine Regel: Ein Verfahren eignet sich für Zeiträume in der Größenordnung seiner Halbwertszeit. Ist die Halbwertszeit zu kurz, ist nichts mehr messbar; ist sie zu lang, hat sich noch zu wenig verändert.

    Deshalb wäre Uran-Blei für einen 40004000 Jahre alten Holzfund unbrauchbar, und C-14 für ein Gestein.

    Mit Uran-Blei wurde das Alter der Erde bestimmt: 4,544{,}54 Milliarden Jahre, mit einer Unsicherheit von rund einem Prozent. Diese Zahl beruht auf demselben Zerfallsgesetz wie unsere Rechnung.

a) rund 38903890 Jahre b) nur Lebendes tauscht Kohlenstoff aus, der Tod startet die Uhr c) bekannter Ausgangsgehalt und kein späterer Austausch d) nach 50 00050\,000 a sind nur noch zwei Promille übrig.

Typischer Fehler

„Ein Stoff mit sehr langer ist besonders gefährlich, weil er so stark strahlt."

Es ist genau umgekehrt: Lange Halbwertszeit bedeutet geringe Aktivität.

Das folgt unmittelbar aus

A=λNmitλ=ln⁡2T1/2A = \lambda N \qquad \text{mit} \qquad \lambda = \frac{\ln 2}{T_{1/2}}

Je größer T1/2T_{1/2}, desto kleiner λ\lambda und damit die Aktivität. Bei gleicher Stoffmenge:

T1/2T_{1/2}Aktivität von 1 g1\,\text{g}
Iod-13188 Tage4,6⋅1015 Bq4{,}6 \cdot 10^{15}\,\text{Bq}
Cäsium-1373030 Jahre3,2⋅1012 Bq3{,}2 \cdot 10^{12}\,\text{Bq}
Uran-2384,54{,}5 Mrd. Jahre1,2⋅104 Bq1{,}2 \cdot 10^{4}\,\text{Bq}

Iod-131 ist also elf Zehnerpotenzen aktiver als Uran-238.

Anschaulich: Ein Vorrat, der schnell aufgebraucht wird, gibt viel je Zeit ab. Einer, der Milliarden Jahre reicht, gibt entsprechend wenig ab. Man kann nicht beides haben.

Warum Uran dennoch problematisch ist: nicht wegen seiner Strahlung, sondern wegen seiner chemischen Giftigkeit (es ist ein Schwermetall) und weil aus ihm über die Zerfallsreihe kurzlebige und damit stark strahlende Töchter entstehen, etwa Radium und Radon.

Was wirklich gefährlich ist, hängt von mehreren Größen ab:

FrageBedeutung
Wie aktiv?kurze Halbwertszeit bedeutet viel Strahlung jetzt
Wie lange?lange Halbwertszeit bedeutet dauerhaftes Problem
Welche Strahlenart?Alpha im Körper besonders schädlich
Im Körper?Iod in der Schilddrüse, Strontium im Knochen

Zwei Beispiele, die den Unterschied zeigen:

  • Iod-131 ist kurzfristig gefährlich (hohe Aktivität, Anreicherung in der Schilddrüse), nach drei Monaten aber praktisch verschwunden. Deshalb Iodtabletten nach Unfällen.
  • Plutonium-239 strahlt vergleichsweise schwach, bleibt aber 24 00024\,000 Jahre und ist als Alphastrahler eingeatmet hochgefährlich. Es ist ein Entsorgungsproblem, keine akute Gefahr.

🔴 Merksatz: Kurze Halbwertszeit bedeutet ein heftiges, aber kurzes Problem; lange Halbwertszeit ein schwaches, aber sehr langes. Gefährlich ist beides, nur auf verschiedene Weise.

Übung 1

leicht

a) Ein hat T1/2=10T_{1/2} = 10 Tage. Wie groß ist λ\lambda in 1Tag\frac{1}{\text{Tag}}?

b) Wie viel Prozent sind nach 3030 Tagen übrig?

c) Was gibt die Aktivität an?

Tipp anzeigen

b) 3030 Tage sind drei .

Lösung anzeigen

a) λ=ln⁡2T1/2=0,69310 d≈0,0693 1d\lambda = \frac{\ln 2}{T_{1/2}} = \frac{0{,}693}{10\,\text{d}} \approx 0{,}0693\,\frac{1}{\text{d}}

Je Tag zerfallen also rund 6,9 %6{,}9\,\% der jeweils noch vorhandenen Kerne.

b) 3030 Tage sind drei Halbwertszeiten:

(12)3=18=12,5 %\left(\frac{1}{2}\right)^3 = \frac{1}{8} = 12{,}5\,\%

c) Die Anzahl der Kernzerfälle je Sekunde:

A=λ⋅N,[ A ]=1 Becquerel=1sA = \lambda \cdot N, \qquad [\,A\,] = 1\,\text{Becquerel} = \frac{1}{\text{s}}

Sie beschreibt die Quelle, sagt aber nichts über die Wirkung auf den Menschen aus; dafür braucht man die Äquivalentdosis in Sievert.

Detaillierte Schritterklärung anzeigen

Hier wird jeder Schritt einzeln erklärt, vor allem, warum er gemacht wird.

Erklärungstiefe

✦ Empfohlen: Standard – Die normale Erklärungstiefe passt zum Einstieg.

  1. 1

    Gegeben und Gesucht beim Zerfallsgesetz

    a) gibt eine Halbwertszeit von T1/2=10T_{1/2} = 10 Tagen; gesucht ist die Zerfallskonstante je Tag. b) fragt nach dem Restanteil nach 3030 Tagen, c) nach der Bedeutung der Aktivität.

  2. 2

    Zerfallskonstante, Halbwertszeit und Aktivität

    Es gilt λ=ln⁡2T1/2\lambda = \frac{\ln 2}{T_{1/2}} und N(t)=N0⋅(12)t/T1/2N(t) = N_0 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{t/T_{1/2}}. Die Aktivität ist A=λ⋅NA = \lambda \cdot N, gemessen in Becquerel (1 Bq=1s1\,\text{Bq} = \frac{1}{\text{s}}).

  3. 3

    a) und b) Zerfallskonstante und Restanteil

    Erst ln⁡2\ln 2 durch die Halbwertszeit, dann die drei Halbwertszeiten als Potenz von einhalb.

    λ=ln⁡2T1/2=0,69310 d≈0,0693 1d\lambda = \frac{\ln 2}{T_{1/2}} = \frac{0{,}693}{10\,\text{d}} \approx 0{,}0693\,\frac{1}{\text{d}}; 3010=3\frac{30}{10} = 3, also (12)3=18\left(\frac{1}{2}\right)^3 = \frac{1}{8}

    Zwischenergebnis

    λ≈0,0693 1d\lambda \approx 0{,}0693\,\frac{1}{\text{d}}; Rest 12,5 %12{,}5\,\%

  4. 4

    c) Ergebnis deuten: was die Aktivität sagt und was nicht

    Die Aktivität gibt die Anzahl der Kernzerfälle je Sekunde an: A=λ⋅NA = \lambda \cdot N, gemessen in Becquerel. Sie beschreibt die Quelle, sagt aber nichts über die Wirkung auf den Menschen aus, dafür braucht man die Äquivalentdosis in Sievert.

Übung 2

mittel

a) Eine Probe hat A0=5000 BqA_0 = 5000\,\text{Bq} und T1/2=6T_{1/2} = 6 Stunden. Wie groß ist AA nach 1515 Stunden?

b) Nach welcher Zeit ist die Aktivität auf 10 %10\,\% gesunken?

c) Warum hat ein mit kurzer eine hohe Aktivität?

d) Warum schwankt die Anzeige eines Geiger-Zählers?

Tipp anzeigen

a) 1515 Stunden sind 2,52{,}5 Halbwertszeiten.

Lösung anzeigen

a) tT1/2=156=2,5\frac{t}{T_{1/2}} = \frac{15}{6} = 2{,}5

A=5000 Bq⋅(12)2,5=5000⋅0,177 Bq≈884 BqA = 5000\,\text{Bq} \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{2{,}5} = 5000 \cdot 0{,}177\,\text{Bq} \approx 884\,\text{Bq}

b) 0,10=(12)t/T1/2⟹tT1/2=ln⁡10ln⁡2=2,3030,693≈3,320{,}10 = \left(\frac{1}{2}\right)^{t/T_{1/2}} \quad \Longrightarrow \quad \frac{t}{T_{1/2}} = \frac{\ln 10}{\ln 2} = \frac{2{,}303}{0{,}693} \approx 3{,}32

t=3,32⋅6 h≈19,9 h≈20 Stundent = 3{,}32 \cdot 6\,\text{h} \approx 19{,}9\,\text{h} \approx 20\,\text{Stunden}

🔴 Merke: Auf ein Zehntel sinkt es nach rund 3,33{,}3 Halbwertszeiten, auf ein Hundertstel nach rund 6,66{,}6, auf ein Tausendstel nach rund 1010.

c) Weil die Aktivität nach A=λNA = \lambda N von der Zerfallskonstante abhängt und

λ=ln⁡2T1/2\lambda = \frac{\ln 2}{T_{1/2}}

bei kurzer Halbwertszeit groß ist.

Anschaulich: Eine kurze Halbwertszeit bedeutet, dass ein großer Anteil der Kerne je Zeiteinheit zerfällt. Bei gleicher Stoffmenge finden dann viel mehr Zerfälle je Sekunde statt.

Zahlenbeispiel für 1 g1\,\text{g}:

IsotopT1/2T_{1/2}Aktivität
Iod-13188 d4,6⋅1015 Bq4{,}6 \cdot 10^{15}\,\text{Bq}
Uran-2384,5⋅1094{,}5 \cdot 10^{9} a1,2⋅104 Bq1{,}2 \cdot 10^{4}\,\text{Bq}

Elf Zehnerpotenzen Unterschied.

🔴 Daraus folgt eine wichtige Einsicht: „Stark " und „lange radioaktiv" schließen einander aus. Ein Vorrat, der schnell verbraucht wird, gibt viel je Zeit ab; einer, der Milliarden Jahre reicht, entsprechend wenig.

d) Weil der radioaktive Zerfall ein Zufallsprozess ist.

Für jeden einzelnen Kern lässt sich der Zerfallszeitpunkt nicht vorhersagen; es gibt nur eine Wahrscheinlichkeit. Die Anzahl der Zerfälle in einem festen Zeitintervall schwankt deshalb um einen Mittelwert.

Quantitativ: Bei NN gezählten Ereignissen beträgt die typische Schwankung etwa N\sqrt{N}, die relative Unsicherheit also

NN=1N\frac{\sqrt{N}}{N} = \frac{1}{\sqrt{N}}

Zahlenbeispiel:

gezählte Ereignisserelative Unsicherheit
10010010 %10\,\%
1 0001\,0003,2 %3{,}2\,\%
10 00010\,0001 %1\,\%

Praktische Folge: Bei kleinen Aktivitäten misst man lange. Vervierfacht man die Messzeit, verdoppelt sich die Zahl der Ereignisse nicht, sondern vervierfacht sich, und der relative Fehler halbiert sich.

🔴 Genau deshalb dauern Messungen in der Umweltanalytik oder bei der C-14-Datierung oft Stunden oder Tage. Es geht nicht um die Empfindlichkeit des Geräts, sondern um Statistik.

Dasselbe Prinzip gilt in der Astronomie (lange Belichtungszeiten) und in der Teilchenphysik (jahrelange Datennahme für seltene Ereignisse).

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Hier wird jeder Schritt einzeln erklärt, vor allem, warum er gemacht wird.

Erklärungstiefe

✦ Empfohlen: Standard – Die normale Erklärungstiefe passt zum Einstieg.

  1. 1

    Gegeben und Gesucht bei der Aktivitätsabnahme

    a) gibt A0=5000 BqA_0 = 5000\,\text{Bq} und T1/2=6T_{1/2} = 6 Stunden; gesucht ist die Aktivität nach 1515 Stunden. b) fragt nach der Zeit bis auf 10 %10\,\%. c) und d) verlangen Begründungen zu kurzer Halbwertszeit und zur schwankenden Anzeige.

  2. 2

    Das Zerfallsgesetz in Halbwertszeiten

    Es gilt A=A0⋅(12)t/T1/2A = A_0 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{t/T_{1/2}}. Für die Umkehrung, gegeben der Restanteil, gesucht die Zeit, logarithmiert man: tT1/2=ln⁡(A0/A)ln⁡2\frac{t}{T_{1/2}} = \frac{\ln(A_0/A)}{\ln 2}.

  3. 3

    a) und b) Aktivität nach 15 Stunden und Zeit bis auf 10 Prozent

    Erst den Exponenten als Verhältnis bilden, dann für b) logarithmieren.

    156=2,5\frac{15}{6} = 2{,}5, also A=5000 Bq⋅(12)2,5=5000⋅0,177 Bq≈884 BqA = 5000\,\text{Bq} \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{2{,}5} = 5000 \cdot 0{,}177\,\text{Bq} \approx 884\,\text{Bq}; tT1/2=ln⁡10ln⁡2≈3,32\frac{t}{T_{1/2}} = \frac{\ln 10}{\ln 2} \approx 3{,}32, also t=3,32⋅6 h≈19,9 ht = 3{,}32 \cdot 6\,\text{h} \approx 19{,}9\,\text{h}

    Zwischenergebnis

    A≈884 BqA \approx 884\,\text{Bq}; t≈20 ht \approx 20\,\text{h}

  4. 4

    c) Warum kurze Halbwertszeit hohe Aktivität bedeutet

    Weil die Aktivität nach A=λNA = \lambda N von der Zerfallskonstante abhängt und λ=ln⁡2T1/2\lambda = \frac{\ln 2}{T_{1/2}} bei kurzer Halbwertszeit groß ist. Anschaulich: Eine kurze Halbwertszeit bedeutet, dass ein großer Anteil der Kerne je Zeiteinheit zerfällt, bei gleicher Stoffmenge finden dann viel mehr Zerfälle je Sekunde statt.

  5. 5

    d) Ergebnis deuten: warum der Zähler schwankt

    Weil der radioaktive Zerfall ein Zufallsprozess ist: Für jeden einzelnen Kern lässt sich der Zerfallszeitpunkt nicht vorhersagen, es gibt nur eine Wahrscheinlichkeit. Die Zahl der Zerfälle in einem festen Intervall schwankt deshalb um einen Mittelwert, bei NN gezählten Ereignissen typisch um N\sqrt{N}, relativ also um 1N\frac{1}{\sqrt{N}}.

Übung 3

schwer

a) Begründe, warum der Zerfall exponentiell verläuft.

b) Leite λ=ln⁡2T1/2\lambda = \frac{\ln 2}{T_{1/2}} her.

c) Ein Fund zeigt noch 30 %30\,\% des ursprünglichen C-14-Gehalts. Wie alt ist er?

d) Warum kann man mit C-14 keine Gesteine und mit Uran-Blei keine Holzfunde datieren?

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b) Setze t=T1/2t = T_{1/2} und N=N02N = \frac{N_0}{2}.

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a) Ausgangspunkt: Für jeden einzelnen Kern ist die Zerfallswahrscheinlichkeit je Zeiteinheit konstant und unabhängig von seinem Alter. Kerne altern nicht.

Daraus folgt für viele Kerne: Die Zahl der Zerfälle in einem Zeitraum ist der Zahl der noch vorhandenen Kerne proportional:

ΔNΔt=−λN\frac{\Delta N}{\Delta t} = -\lambda N

Was das bedeutet: Die Abnahmegeschwindigkeit ist selbst dem noch Vorhandenen proportional. Je weniger übrig ist, desto langsamer geht es weiter. Der Vorgang bremst sich selbst.

Genau das ist die Bedingung für exponentielles Verhalten und führt auf

N(t)=N0e−λtN(t) = N_0 e^{-\lambda t}

🔴 Dasselbe Muster kennst du bereits:

VorgangÄnderung proportional zu
ZerfallKernzahl
KondensatorentladungRestspannung
AbkühlungTemperaturdifferenz

Alle drei führen auf dieselbe Kurvenform und auf ein charakteristisches Zeitmaß ( bzw. Zeitkonstante). Es ist eines der wiederkehrenden Muster der Physik.

b) Definition der Halbwertszeit einsetzen. Nach der Zeit T1/2T_{1/2} ist die Hälfte übrig:

N02=N0⋅e−λT1/2\frac{N_0}{2} = N_0 \cdot e^{-\lambda T_{1/2}}

Durch N0N_0 teilen:

12=e−λT1/2\frac{1}{2} = e^{-\lambda T_{1/2}}

Logarithmieren:

ln⁡12=−λT1/2⟹−ln⁡2=−λT1/2\ln\frac{1}{2} = -\lambda T_{1/2} \quad \Longrightarrow \quad -\ln 2 = -\lambda T_{1/2} λ=ln⁡2T1/2≈0,693T1/2\lambda = \frac{\ln 2}{T_{1/2}} \approx \frac{0{,}693}{T_{1/2}}

Was die Formel aussagt: λ\lambda und T1/2T_{1/2} beschreiben dieselbe Eigenschaft, nur anders ausgedrückt. λ\lambda gibt den zerfallenden Bruchteil je Sekunde an, T1/2T_{1/2} die Zeit bis zur Halbierung.

Nützliche Kontrolle: Die Einheiten müssen zueinander passen. Ist T1/2T_{1/2} in Jahren gegeben, hat λ\lambda die Einheit 1a\frac{1}{\text{a}}, und tt muss ebenfalls in Jahren eingesetzt werden.

c) NN0=0,30\frac{N}{N_0} = 0{,}30

0,30=e−λt⟹t=ln⁡(1/0,30)λ=1,204λ0{,}30 = e^{-\lambda t} \quad \Longrightarrow \quad t = \frac{\ln(1/0{,}30)}{\lambda} = \frac{1{,}204}{\lambda}

Mit λ=ln⁡25730 a\lambda = \frac{\ln 2}{5730\,\text{a}}:

t=1,2040,693⋅5730 a≈1,737⋅5730 a≈9950 Jahret = \frac{1{,}204}{0{,}693} \cdot 5730\,\text{a} \approx 1{,}737 \cdot 5730\,\text{a} \approx 9950\,\text{Jahre}

Kontrolle über Halbwertszeiten: 30 %30\,\% liegen zwischen 50 %50\,\% (eine Halbwertszeit) und 25 %25\,\% (zwei), das Ergebnis muss also zwischen 57305730 und 11 46011\,460 Jahren liegen. ✓

Der Fund stammt damit aus der Zeit um 80008000 vor unserer Zeitrechnung, also aus der frühen Jungsteinzeit.

d) Weil ein Verfahren nur für Zeiträume in der Größenordnung seiner Halbwertszeit taugt.

C-14 an Gestein: zwei Gründe.

Erstens hat Gestein nie am Kohlenstoffkreislauf teilgenommen. Es gibt keinen definierten Startpunkt, an dem der Austausch endete. Die Methode misst den Todeszeitpunkt eines Organismus, und ein Stein ist nie lebendig gewesen.

Zweitens ist Gestein meist Millionen bis Milliarden Jahre alt. Selbst wenn es Kohlenstoff enthielte, wäre nach 50 00050\,000 Jahren (rund neun Halbwertszeiten) praktisch kein 14C^{14}\text{C} mehr messbar.

Uran-Blei an Holz: umgekehrtes Problem.

Die Halbwertszeit von 238U^{238}\text{U} beträgt 4,54{,}5 Milliarden Jahre. In 40004000 Jahren zerfällt davon der Bruchteil

1−e−λt≈λt=0,693⋅40004,5⋅109≈6⋅10−71 - e^{-\lambda t} \approx \lambda t = \frac{0{,}693 \cdot 4000}{4{,}5 \cdot 10^{9}} \approx 6 \cdot 10^{-7}

also weniger als ein Millionstel. Diese Änderung ist nicht messbar; das Ergebnis ginge vollständig im Messfehler unter.

(Hinzu kommt, dass Holz kein nennenswertes Uran enthält.)

🔴 Die allgemeine Regel: Eine radioaktive Uhr eignet sich für Zeiträume, die grob zwischen einem Zehntel und dem Zehnfachen ihrer Halbwertszeit liegen.

VerfahrenT1/2T_{1/2}sinnvoller Bereich
C-1457305730 a500500 bis 50 00050\,000 a
Kalium-Argon1,25⋅1091{,}25 \cdot 10^{9} aab 100 000100\,000 a
Uran-Blei4,5⋅1094{,}5 \cdot 10^{9} aMillionen bis Milliarden a

Das ist wie bei Messgeräten: Man misst eine Haarbreite nicht mit dem Maßband und die Länge einer Straße nicht mit der Mikrometerschraube. Man wählt das Verfahren nach der erwarteten Größenordnung.

Mit Uran-Blei bestimmte Clair Patterson 1956 das Alter der Erde zu 4,554{,}55 Milliarden Jahren, ein Wert, der bis heute Bestand hat.

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Hier wird jeder Schritt einzeln erklärt, vor allem, warum er gemacht wird.

Erklärungstiefe

✦ Empfohlen: Standard – Die normale Erklärungstiefe passt zum Einstieg.

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    Gegeben und Gesucht: Herleitung, Datierung und Verfahrensgrenzen

    c) gibt einen Fund mit noch 30 %30\,\% des ursprünglichen C-14-Gehalts; gesucht ist sein Alter (mit T1/2=5730T_{1/2} = 5730 Jahre). a), b) und d) fragen nach dem exponentiellen Verlauf, nach der Herleitung von λ\lambda und nach den Grenzen der Datierungsverfahren.

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    b) Den Zusammenhang von Zerfallskonstante und Halbwertszeit herleiten

    Definition einsetzen: Nach der Zeit T1/2T_{1/2} ist die Hälfte übrig, also N02=N0e−λT1/2\frac{N_0}{2} = N_0 e^{-\lambda T_{1/2}}. Durch N0N_0 teilen: 12=e−λT1/2\frac{1}{2} = e^{-\lambda T_{1/2}}. Logarithmieren: −ln⁡2=−λT1/2-\ln 2 = -\lambda T_{1/2}, also λ=ln⁡2T1/2≈0,693T1/2\lambda = \frac{\ln 2}{T_{1/2}} \approx \frac{0{,}693}{T_{1/2}}.

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    a) Warum der Zerfall exponentiell verläuft

    Ausgangspunkt: Für jeden einzelnen Kern ist die Zerfallswahrscheinlichkeit je Zeiteinheit konstant und unabhängig von seinem Alter: Kerne altern nicht. Daraus folgt für viele Kerne: ΔNΔt=−λN\frac{\Delta N}{\Delta t} = -\lambda N, die Abnahmegeschwindigkeit ist dem noch Vorhandenen proportional, der Vorgang bremst sich selbst.

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    c) Das Alter des Fundes

    Restanteil einsetzen, logarithmieren, mit der Halbwertszeit multiplizieren.

    0,30=e−λt0{,}30 = e^{-\lambda t}, also t=ln⁡(1/0,30)λ=1,2040,693⋅5730 a≈1,737⋅5730 at = \frac{\ln(1/0{,}30)}{\lambda} = \frac{1{,}204}{0{,}693} \cdot 5730\,\text{a} \approx 1{,}737 \cdot 5730\,\text{a}

    Zwischenergebnis

    t≈9950 Jahret \approx 9950\,\text{Jahre}

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    d) Ergebnis deuten: jede radioaktive Uhr hat ihren Messbereich

    Weil ein Verfahren nur für Zeiträume in der Größenordnung seiner Halbwertszeit taugt. C-14 an Gestein: Gestein hat nie am Kohlenstoffkreislauf teilgenommen. Es gibt keinen Startpunkt; zudem wäre nach 50 00050\,000 Jahren praktisch kein 14C^{14}\text{C} mehr messbar. Uran-Blei an Holz: In 40004000 Jahren zerfällt weniger als ein Millionstel des Urans, was im Messfehler untergeht.

Zusammenfassung

Da für jeden Kern die Zerfallswahrscheinlichkeit unabhängig von seinem Alter konstant ist, ist die Zahl der Zerfälle je Zeit der Zahl der noch vorhandenen Kerne proportional, und daraus folgt der exponentielle Verlauf des Zerfallsgesetzes. Die Zerfallskonstante hängt über den natürlichen Logarithmus von zwei mit der zusammen, und beide Schreibweisen des Gesetzes sind gleichwertig. Die Aktivität als Zahl der Zerfälle je Sekunde folgt aus Zerfallskonstante und Kernzahl, weshalb eine kurze Halbwertszeit eine hohe Aktivität bedeutet und ein lange strahlender Stoff gerade schwach strahlt. Aus dem Gesetz gewinnt man Uhren für sehr verschiedene Zeiträume, von der Kohlenstoffmethode für organische Funde bis zur Uran-Blei-Methode, mit der das Alter der Erde bestimmt wurde. Weil der Zerfall ein Zufallsprozess ist, schwanken Messwerte, und die relative Unsicherheit sinkt nur mit der Wurzel aus der Zahl der gezählten Ereignisse.