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Atom- und Kernphysik

Zerfallsarten, Zerfallsgleichungen und Halbwertszeit

Alpha, Beta und Gamma im Vergleich, wie man Zerfallsgleichungen aufstellt und was die Halbwertszeit wirklich bedeutet.

Benötigte Grundlagen

Dieses Vorwissen brauchst du für das Kapitel. Schau kurz nach, wenn dir etwas davon nicht mehr präsent ist, sonst leg direkt los.

Einführung

Ein einzelner Uran-238-Kern kann in der nächsten Sekunde zerfallen oder in vier Milliarden Jahren. Niemand kann es vorhersagen, auch nicht im Prinzip.

Und trotzdem lässt sich für ein Stück Uran auf die Stunde genau angeben, wie viele Kerne bis morgen zerfallen sein werden. Diese Verbindung aus vollkommener Unvorhersagbarkeit im Einzelfall und strenger Gesetzmäßigkeit in der ist eine der bemerkenswertesten Eigenschaften der Natur. Sie steckt hinter der Halbwertszeit und macht die Altersbestimmung von Fossilien überhaupt erst möglich.

Das kannst du nach diesem Kapitel

  • Alpha-, Beta- und Gammastrahlung anhand ihrer Eigenschaften unterscheiden.

  • die Entstehung jeder Strahlungsart im Kern beschreiben.

  • Zerfallsgleichungen aufstellen und prüfen.

  • die Halbwertszeit definieren und richtig deuten.

  • die Zerfallskurve lesen und die Halbwertszeit daraus bestimmen.

  • erklären, warum der Zerfall ein Zufallsprozess mit statistischer Gesetzmäßigkeit ist.

Die drei Strahlungsarten

Lässt man Strahlung durch ein laufen, teilt sie sich in drei Anteile auf. Genau so wurden sie entdeckt:

Alpha (α\alpha)Beta (β−\beta^-)Gamma (γ\gamma)
Was ist es?Heliumkern 24He^{4}_{2}\text{He}Elektron −10e^{0}_{-1}eelektromagnetische
+2e+2e−e-ekeine
großkleinkeine (Ruhemasse)
rund 5 %5\,\% von ccbis 99 %99\,\% von cccc
Ablenkung im Magnetfeldschwachstark, entgegengesetztgar nicht
Reichweite in Luftwenige cmeinige msehr groß
AbschirmungBlatt Papiereinige mm Aluminiumdicke Blei- oder Betonschicht
Ionisierungsvermögensehr starkmittelschwach

🔴 Beachte den Zusammenhang der letzten beiden Zeilen: Je stärker die Ionisierung, desto kürzer die Reichweite. Alphastrahlung gibt ihre auf kurzer Strecke vollständig ab, Gammastrahlung verteilt sie über einen langen Weg.

Daraus folgt eine wichtige Unterscheidung:

  • Von außen ist Alphastrahlung fast harmlos, weil sie schon die Hornhaut nicht durchdringt.
  • Im Körper (eingeatmet oder verschluckt) ist sie mit Abstand am gefährlichsten, weil sie ihre gesamte Energie in wenigen Zellschichten abgibt.

Deshalb ist das Alphastrahler-Gas Radon die größte natürliche Strahlenbelastung, obwohl Alphastrahlung von außen nichts ausrichtet.

Wie weit die drei Strahlungsarten kommenDasselbe Präparat links, drei verschiedene Hindernisse.PräparatBlattPapier3 mmAluminium5 cmBleiαβγα: Heliumkerneβ: Elektronenγ: WelleGrößere Reichweite heißt schwächere Wirkung je Zentimeter

Dasselbe Präparat, drei verschiedene Hindernisse. Beachte den Gammapfeil: Er hört nirgends auf, sondern wird nur schwächer. Deshalb spricht man bei Gamma von einer Halbwertsdicke und nicht von einer Reichweite.

Warum ionisierende Strahlung überhaupt schadetJede Marke steht für ein herausgeschlagenes Elektron.α: kurzer Weg, sehr dichtEnde nach 4 cm Luftβ: langer Weg, dünn verteiltmehrere Meter Luft, ähnlich viele IonenpaareNicht die Reichweite zählt, sondern die Dichte der Treffer

Dieses Bild gehört unbedingt neben das vorige, sonst zieht man die falsche Folgerung. Alpha kommt am wenigsten weit und richtet auf diesem kurzen Weg gerade deshalb den größten Schaden an, weil es seine ganze auf wenige Zellschichten abgibt. Ein Blatt Papier hält Alphastrahlung auf; im Körper gibt es aber kein Blatt Papier. Getroffen wird dort meist Wasser, und erst dessen Bruchstücke greifen das Erbgut an.

Wie die Strahlung entsteht

Alphazerfall. Der Kern stößt einen Heliumkern aus, also zwei Protonen und zwei Neutronen:

ZAX⟶Z−2A−4Y+24He^{A}_{Z}\text{X} \longrightarrow ^{A-4}_{Z-2}\text{Y} + ^{4}_{2}\text{He}

Beispiel:

92238U⟶90234Th+24He^{238}_{92}\text{U} \longrightarrow ^{234}_{90}\text{Th} + ^{4}_{2}\text{He}

Der Kern wird dadurch deutlich leichter und verliert zwei Kernladungen. Diese Zerfallsart tritt vor allem bei sehr schweren Kernen auf.

Betazerfall. Im Kern wandelt sich ein Neutron in ein Proton um; das dabei entstehende Elektron verlässt den Kern:

n⟶p+e−n \longrightarrow p + e^- ZAX⟶Z+1  AY+−1  0e^{A}_{Z}\text{X} \longrightarrow ^{\ \ A}_{Z+1}\text{Y} + ^{\ \ 0}_{-1}e

Beispiel:

614C⟶714N+−1  0e^{14}_{6}\text{C} \longrightarrow ^{14}_{7}\text{N} + ^{\ \ 0}_{-1}e

🔴 Das Elektron stammt nicht aus der Hülle, sondern entsteht im Augenblick der Umwandlung im Kern. Die Massenzahl bleibt gleich, die Kernladungszahl steigt um eins.

Diese Zerfallsart tritt bei Neutronenüberschuss auf, weil der Kern dadurch sein Verhältnis verbessert.

(Zusätzlich entsteht ein Antineutrino, das im vorigen Kapitel bereits erwähnte Teilchen, das die fehlende forträgt.)

Gammazerfall. Nach einem Alpha- oder Betazerfall bleibt der Tochterkern oft in einem angeregten Zustand zurück. Er gibt die überschüssige Energie als elektromagnetische Strahlung ab:

ZAY∗⟶ZAY+γ^{A}_{Z}\text{Y}^{*} \longrightarrow ^{A}_{Z}\text{Y} + \gamma

🔴 Beim Gammazerfall ändert sich der Kern nicht, weder AA noch ZZ. Es entsteht kein neues Element, nur ein energieärmerer Zustand desselben Kerns. Deshalb tritt Gammastrahlung fast immer zusätzlich zu einem anderen Zerfall auf, nie allein.

Was im Kern passiert, und was dabei erhalten bleibtRechts steht jedes Mal die Probe: Die Zahlen müssen aufgehen.α-Zerfall²³⁸₉₂U²³⁴₉₀Th + ⁴₂HeDer Kern gibt 2 Protonen und 2 Neutronen ab.A: 238 = 234 + 4 · Z: 92 = 90 + 2β⁻-Zerfall¹⁴₆C¹⁴₇N + e⁻Ein Neutron wird zum Proton, das Elektron fliegt weg.A: 14 = 14 + 0 · Z: 6 = 7 − 1γ-Zerfall⁶⁰Ni*⁶⁰Ni + γDer Kern behält alle Bausteine und gibt nur Energie ab.A und Z bleiben gleichGenau daran prüfst du jede Zerfallsgleichung

Drei Vorgänge, drei Gleichungen, dreimal dieselbe Probe: Die Summe der oberen Zahlen und die der unteren stimmen immer überein. Achte auf den Gammazerfall unten. Dort ändert sich nichts an der Zusammensetzung, nur die . Ein neues Element entsteht dabei nie.

Zerfallsgleichungen aufstellen und prüfen

Zwei Größen müssen auf beiden Seiten übereinstimmen:

  1. Die Summe der Massenzahlen (oben).
  2. Die Summe der Kernladungszahlen (unten).

Damit lässt sich jede Zerfallsgleichung prüfen und jedes fehlende Teilchen bestimmen.

Probe am Beispiel 88226Ra→86222Rn+24He^{226}_{88}\text{Ra} \to ^{222}_{86}\text{Rn} + ^{4}_{2}\text{He}:

  • oben: 226=222+4226 = 222 + 4 ✓
  • unten: 88=86+288 = 86 + 2 ✓
Das Magnetfeld sortiert die drei ArtenFeld senkrecht in die Zeichenebene hinein.B in die EbenePräparatαpositivβnegativγneutralDie Ablenkung verrät die Ladung

Genau so hat man die drei Arten überhaupt erst unterschieden: Ihre verrät sich an der Ablenkrichtung. Beta biegt dabei viel stärker ab als Alpha, denn ein Elektron ist rund 7300-mal leichter. Die Krümmungen zeigen Richtung und Rangfolge, sie sind aber nicht maßstäblich, sonst wäre die Betabahn ein enger Kreis und die Alphabahn fast gerade.

Die Halbwertszeit

Die Halbwertszeit T1/2T_{1/2} ist die Zeit, nach der die Hälfte der ursprünglich vorhandenen Kerne zerfallen ist.

Nach jeder weiteren Halbwertszeit halbiert sich der Rest erneut:

Zeitverbliebener Anteil
00100 %100\,\%
1⋅T1/21 \cdot T_{1/2}50 %50\,\%
2⋅T1/22 \cdot T_{1/2}25 %25\,\%
3⋅T1/23 \cdot T_{1/2}12,5 %12{,}5\,\%
n⋅T1/2n \cdot T_{1/2}(12)n\left(\frac{1}{2}\right)^n
N(t)=N0⋅(12)tT1/2N(t) = N_0 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{t}{T_{1/2}}}

🔴 Nach zwei Halbwertszeiten ist nicht alles zerfallen, sondern ein Viertel übrig. Das ist der häufigste Fehler des Kapitels.

Die Zerfallskurve ist deshalb keine Gerade, sondern nähert sich der Zeitachse immer weiter an, ohne sie je zu erreichen. Sie heißt Exponentialkurve.

Halbwertszeiten reichen über unvorstellbare Bereiche:

Halbwertszeit
Polonium-2140,00016 s0{,}00016\,\text{s}
Iod-13188 Tage
Cäsium-1373030 Jahre
Radium-22616001600 Jahre
Kohlenstoff-1457305730 Jahre
Plutonium-2392400024000 Jahre
Uran-2384,54{,}5 Milliarden Jahre
Jede Halbwertszeit halbiert den Rest, nicht den AnfangAnteil der noch nicht zerfallenen Kerne über der Zeit.0123451½¼N / N₀die Hälfteein Viertelein Achtelt in HalbwertszeitenN = N₀ · 2⁻ᵗ/ᵀ, die Kurve erreicht die Achse nie

Verfolge die Treppe: Nach jeder Halbwertszeit halbiert sich der Rest, nicht der Anfangsbestand. Deshalb kommt die Kurve der Achse zwar beliebig nahe, erreicht sie aber nie, nach zwei Halbwertszeiten ist ein Viertel übrig, nicht nichts, und selbst nach zehn ist es noch rund ein Tausendstel.

Zufall und Gesetzmäßigkeit

Für einen einzelnen Kern lässt sich der Zerfallszeitpunkt grundsätzlich nicht vorhersagen. Er hat kein Alter, altert nicht und „weiß" nicht, wie lange er schon existiert: Die Wahrscheinlichkeit, im nächsten Moment zu zerfallen, ist immer dieselbe.

Bei sehr vielen Kernen wird daraus jedoch eine strenge Gesetzmäßigkeit. Genau wie beim Würfeln: Ein einzelner Wurf ist unvorhersagbar, aber bei einer Million Würfen liegt der Anteil der Sechsen sehr genau bei einem Sechstel.

🔴 Diese Kombination aus Zufall im Einzelnen und Sicherheit im Ganzen ist kein Mangel an Wissen, sondern eine grundlegende Eigenschaft der Quantenphysik. Mehr dazu in Klasse 12.

Das erklärt auch, warum die Zählrate eines Geiger-Zählers schwankt: Man hört einzelne Zufallsereignisse, deren mittlere Rate festliegt.

Einzeln reiner Zufall, in Menge ein sicheres Gesetz600 Würfel, wer eine Sechs zeigt, wird herausgenommen.600 übrigam Anfang500 übrignach 1 Wurf417 übrignach 2 WürfenJeder Würfel: unvorhersagbar. Der Anteil: immer ein Sechstel.Der Würfel zeigt das Zufallsprinzip, nicht die Halbierung.Deshalb gilt die Halbwertszeit nur für große Zahlen

Der Würfelvergleich zeigt das Prinzip, nicht die Halbierung: Welcher Würfel fällt, ist unvorhersagbar, aber der Anteil ist jedes Mal derselbe. Genauso weiß niemand, welcher Kern als Nächstes zerfällt, ein Kern hat kein Alter und keine Erinnerung. Und trotzdem ist die Halbwertszeit auf viele Stellen genau bekannt.

Zerfallsgleichungen aufstellen

a) 88226Ra^{226}_{88}\text{Ra} zerfällt unter Aussendung eines Alphateilchens. Stelle die Gleichung auf.

b) 55137Cs^{137}_{55}\text{Cs} ist ein Betastrahler. Welches Element entsteht?

c) Ein Kern ZAX^{A}_{Z}\text{X} sendet nacheinander ein Alpha- und zwei Betateilchen aus. Wie ändern sich AA und ZZ?

d) Prüfe: Kann 614C→714N+α^{14}_{6}\text{C} \to ^{14}_{7}\text{N} + \alpha stimmen?

  1. 1

    a) Alphazerfall: AA sinkt um 44, ZZ um 22.

    88226Ra⟶86222Rn+24He^{226}_{88}\text{Ra} \longrightarrow ^{222}_{86}\text{Rn} + ^{4}_{2}\text{He}

    Probe: oben 226=222+4226 = 222 + 4 ✓, unten 88=86+288 = 86 + 2 ✓

    Das entstehende Element mit Z=86Z = 86 ist Radon, das Gas, das für den größten Teil der natürlichen Strahlenbelastung verantwortlich ist.

  2. 2

    b) Betazerfall: AA bleibt, ZZ steigt um 11.

    55137Cs⟶56137Ba+−1  0e^{137}_{55}\text{Cs} \longrightarrow ^{137}_{56}\text{Ba} + ^{\ \ 0}_{-1}e

    Probe: oben 137=137+0137 = 137 + 0 ✓, unten 55=56+(−1)55 = 56 + (-1) ✓

    Z=56Z = 56 ist Barium. Cäsium-137 mit seiner Halbwertszeit von 3030 Jahren ist eines der Hauptprobleme nach Reaktorunfällen, weil es sich chemisch wie Kalium verhält und deshalb in den Stoffwechsel gelangt.

  3. 3

    c) Schrittweise verfolgen:

    • Alphazerfall: A−4A - 4, Z−2Z - 2
    • erster Betazerfall: AA unverändert, Z+1Z + 1
    • zweiter Betazerfall: AA unverändert, Z+1Z + 1

    Bilanz: AA um 44 kleiner, ZZ unverändert (−2+1+1=0-2 + 1 + 1 = 0).

    Es entsteht also ein des Ausgangselements, um vier Masseneinheiten leichter. Genau diese Kombination kommt in den natürlichen Zerfallsreihen häufig vor.

  4. 4

    d) Prüfen mit den beiden Summen:

    • oben: 1414 links, rechts 14+4=1814 + 4 = 18 ✗
    • unten: 66 links, rechts 7+2=97 + 2 = 9 ✗

    Beide stimmen nicht, die Gleichung ist falsch. 14C^{14}\text{C} ist ein Betastrahler:

    614C⟶714N+−1  0e^{14}_{6}\text{C} \longrightarrow ^{14}_{7}\text{N} + ^{\ \ 0}_{-1}e

    Jetzt stimmt es: oben 14=14+014 = 14 + 0, unten 6=7−16 = 7 - 1.

    🔴 Die Probe ist der schnellste Weg, eine falsche Zerfallsgleichung zu erkennen, und sie funktioniert immer.

a) 86222Rn^{222}_{86}\text{Rn} + Alpha b) 56137Ba^{137}_{56}\text{Ba}, also Barium c) AA um 44 kleiner, ZZ unverändert d) falsch, es ist ein Betazerfall.

Mit der Halbwertszeit rechnen

Eine Probe enthält zu Beginn 8 g8\,\text{g} Iod-131 (T1/2=8T_{1/2} = 8 Tage).

a) Wie viel ist nach 88, 1616 und 2424 Tagen übrig?

b) Nach welcher Zeit sind noch 0,5 g0{,}5\,\text{g} vorhanden?

c) Warum wird die Menge nie exakt null?

d) Nach Reaktorunfällen wird Iod-131 gefürchtet, Cäsium-137 (T1/2=30T_{1/2} = 30 Jahre) aber langfristig mehr. Erkläre.

  1. 1

    a) Jede Halbwertszeit halbiert den Rest:

    ZeitHalbwertszeitenMenge
    00008 g8\,\text{g}
    8 d8\,\text{d}114 g4\,\text{g}
    16 d16\,\text{d}222 g2\,\text{g}
    24 d24\,\text{d}331 g1\,\text{g}

    🔴 Nach zwei Halbwertszeiten sind nicht alle Kerne zerfallen, sondern ein Viertel ist übrig.

  2. 2

    b) Weiterhalbieren, bis 0,5 g0{,}5\,\text{g} erreicht sind:

    8→4→2→1→0,58 \to 4 \to 2 \to 1 \to 0{,}5

    Das sind vier Halbierungen, also

    t=4⋅8 d=32 Taget = 4 \cdot 8\,\text{d} = 32\,\text{Tage}

    Kontrolle mit der Formel:

    N=8 g⋅(12)328=8⋅(12)4=8⋅116=0,5 gN = 8\,\text{g} \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{32}{8}} = 8 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^4 = 8 \cdot \frac{1}{16} = 0{,}5\,\text{g}
  3. 3

    c) Weil bei jeder Halbwertszeit immer nur die Hälfte des Restes zerfällt. Aus einer positiven Zahl wird durch Halbieren nie null.

    Mathematisch nähert sich die Kurve der Zeitachse beliebig an, erreicht sie aber nie; sie ist asymptotisch.

    Physikalisch hat das eine Grenze: Irgendwann ist nur noch ein einzelner Kern übrig, und der zerfällt zu einem bestimmten Zeitpunkt vollständig. Die Formel beschreibt einen statistischen Mittelwert und gilt nur, solange sehr viele Kerne beteiligt sind.

    Praktische Faustregel: Nach etwa zehn Halbwertszeiten ist weniger als ein Tausendstel übrig ((12)10≈0,001\left(\frac{1}{2}\right)^{10} \approx 0{,}001); das gilt meist als „abgeklungen".

  4. 4

    d) Kurzfristig ist Iod-131 gefährlicher, langfristig Cäsium-137.

    Iod-131 hat eine kurze Halbwertszeit von 88 Tagen. Das bedeutet: Sehr viele Kerne zerfallen in kurzer Zeit, die Aktivität ist also hoch. Zudem reichert der Körper Iod gezielt in der Schilddrüse an. Deshalb gibt man nach Unfällen Iodtabletten: Sie sättigen die Schilddrüse mit ungefährlichem Iod, sodass das nicht aufgenommen wird.

    Nach etwa drei Monaten ist Iod-131 praktisch verschwunden.

    Cäsium-137 hat mit 3030 Jahren eine viel längere Halbwertszeit, also eine kleinere Aktivität, dafür bleibt es über Jahrzehnte. Es verhält sich chemisch ähnlich wie Kalium und gelangt deshalb über Pflanzen und Pilze in die Nahrungskette.

    Deshalb sind Böden in einigen Regionen Jahrzehnte nach Tschernobyl noch belastet, und in Teilen Bayerns wird Wildfleisch weiterhin gemessen.

    🔴 Die Merkregel dahinter: Kurze Halbwertszeit bedeutet hohe Aktivität, aber kurze Dauer. Lange Halbwertszeit bedeutet geringe Aktivität, aber lange Dauer. Gefährlich ist beides, nur auf verschiedene Weise.

a) 4 g4\,\text{g}, 2 g2\,\text{g}, 1 g1\,\text{g} b) nach 3232 Tagen c) Halbieren führt nie auf null; Grenze ist der letzte Kern d) Iod kurzfristig aktiv, Cäsium langfristig persistent.

Typischer Fehler

„Nach zwei Halbwertszeiten ist der Stoff vollständig zerfallen."

Nach zwei Halbwertszeiten ist ein Viertel übrig, nicht null.

Der Denkfehler entsteht durch falsches Addieren: Man rechnet „50 %50\,\% plus 50 %50\,\% gleich 100 %100\,\%". Tatsächlich halbiert sich aber jedes Mal der Rest, nicht die Ausgangsmenge:

Zeitzerfallenübrig
1⋅T1/21 \cdot T_{1/2}50 %50\,\%50 %50\,\%
2⋅T1/22 \cdot T_{1/2}75 %75\,\%25 %25\,\%
3⋅T1/23 \cdot T_{1/2}87,5 %87{,}5\,\%12,5 %12{,}5\,\%
10⋅T1/210 \cdot T_{1/2}99,9 %99{,}9\,\%0,1 %0{,}1\,\%

Ein Bild dazu: Du isst jeden Tag die Hälfte des restlichen Kuchens. Am zweiten Tag ist er nicht weg, sondern ein Viertel ist noch da. Und am dritten Tag ist immer noch etwas übrig.

Warum das praktisch wichtig ist: Bei der Lagerung Abfälle rechnet man mit etwa zehn Halbwertszeiten, bis die Aktivität auf ein Tausendstel gefallen ist. Bei Plutonium-239 (2400024000 Jahre) sind das rund 240000 Jahre. Wer mit zwei Halbwertszeiten rechnet, unterschätzt den Zeitraum um mehr als das Hundertfache.

Merksatz: Halbwertszeit heißt Halbierung des Restes, nicht Verbrauch eines Anteils.

Übung 1

leicht

a) Woraus besteht Alphastrahlung, woraus Betastrahlung?

b) Womit schirmt man Alpha-, Beta- und Gammastrahlung jeweils ab?

c) Eine Probe enthält 64 g64\,\text{g} eines mit T1/2=5T_{1/2} = 5 Jahren. Wie viel ist nach 2020 Jahren übrig?

Tipp anzeigen

c) Wie viele Halbwertszeiten sind 2020 Jahre?

Lösung anzeigen

a) Alphastrahlung besteht aus Heliumkernen (24He^{4}_{2}\text{He}), also aus zwei Protonen und zwei Neutronen.

Betastrahlung besteht aus Elektronen, die im Kern bei der Umwandlung eines Neutrons in ein Proton entstehen (nicht aus der Hülle stammen).

b) Alpha: ein Blatt Papier oder wenige Zentimeter Luft

Beta: einige Millimeter Aluminium

Gamma: dicke Schichten Blei oder Beton (vollständig lässt sie sich nie abschirmen, nur abschwächen)

c) 2020 Jahre sind 205=4\frac{20}{5} = 4 Halbwertszeiten:

64→32→16→8→464 \to 32 \to 16 \to 8 \to 4

Es sind 4 g4\,\text{g} übrig.

Mit der Formel: N=64 g⋅(12)4=6416 g=4 gN = 64\,\text{g} \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^4 = \frac{64}{16}\,\text{g} = 4\,\text{g}.

Detaillierte Schritterklärung anzeigen

Hier wird jeder Schritt einzeln erklärt, vor allem, warum er gemacht wird.

Erklärungstiefe

✦ Empfohlen: Standard – Die normale Erklärungstiefe passt zum Einstieg.

  1. 1

    Gegeben und Gesucht, zwei Begriffsfragen und eine Rechnung

    a) und b) fragen nach Zusammensetzung und Abschirmung der Strahlungsarten. c) gibt 64 g64\,\text{g} eines Isotops mit T1/2=5T_{1/2} = 5 Jahren; gesucht ist der Rest nach 2020 Jahren.

  2. 2

    a) und b) Woraus die Strahlungsarten bestehen und was sie aufhält

    Alphastrahlung besteht aus Heliumkernen (24He^{4}_{2}\text{He}), also zwei Protonen und zwei Neutronen; sie wird von einem Blatt Papier oder wenigen Zentimetern Luft gestoppt. Betastrahlung besteht aus Elektronen, die im Kern entstehen; einige Millimeter Aluminium halten sie auf. Gamma braucht dicke Schichten Blei oder Beton.

  3. 3

    c) Was eine Halbwertszeit bedeutet

    Nach jeder Halbwertszeit ist noch die Hälfte der ursprünglichen Kerne vorhanden, unabhängig davon, wie viele es zu Beginn waren. Nach nn Halbwertszeiten bleibt also der Anteil (12)n\left(\frac{1}{2}\right)^n.

  4. 4

    c) Der Rest nach vier Halbwertszeiten

    2020 Jahre sind 205=4\frac{20}{5} = 4 Halbwertszeiten. Viermal halbieren: 64→32→16→8→464 \to 32 \to 16 \to 8 \to 4.

    N=64 g⋅(12)4=6416 g=4 gN = 64\,\text{g} \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^4 = \frac{64}{16}\,\text{g} = 4\,\text{g}

    Zwischenergebnis

    N=4 gN = 4\,\text{g}

  5. 5

    c) Ergebnis deuten: was aus den übrigen 60 Gramm wurde

    Von 64 g64\,\text{g} sind 4 g4\,\text{g} des ursprünglichen Isotops übrig. Die anderen 60 g60\,\text{g} sind nicht verschwunden, sondern in andere Kerne umgewandelt, die Masse bleibt im Wesentlichen erhalten, nur die Zusammensetzung hat sich geändert.

Übung 2

mittel

a) 84210Po^{210}_{84}\text{Po} ist ein Alphastrahler. Stelle die Zerfallsgleichung auf.

b) 3890Sr^{90}_{38}\text{Sr} ist ein Betastrahler. Stelle die Gleichung auf.

c) Warum ist Alphastrahlung von außen wenig gefährlich, eingeatmet aber besonders gefährlich?

d) Ein Geiger-Zähler zeigt schwankende Werte, obwohl sich nichts ändert. Erkläre.

Tipp anzeigen

c) Denke an Reichweite und Ionisierungsvermögen.

Lösung anzeigen

a) 84210Po⟶82206Pb+24He^{210}_{84}\text{Po} \longrightarrow ^{206}_{82}\text{Pb} + ^{4}_{2}\text{He}

Probe: oben 210=206+4210 = 206 + 4 ✓, unten 84=82+284 = 82 + 2 ✓

Es entsteht Blei, das Endprodukt vieler Zerfallsreihen.

b) 3890Sr⟶3990Y+−1  0e^{90}_{38}\text{Sr} \longrightarrow ^{90}_{39}\text{Y} + ^{\ \ 0}_{-1}e

Probe: oben 90=90+090 = 90 + 0 ✓, unten 38=39−138 = 39 - 1 ✓

Es entsteht Yttrium. Strontium-90 ist besonders problematisch, weil es sich chemisch wie Calcium verhält und deshalb in die Knochen eingebaut wird.

c) Von außen: Alphateilchen haben in Luft nur wenige Zentimeter Reichweite und werden bereits von der abgestorbenen Hornhautschicht der Haut vollständig gestoppt. Sie erreichen kein lebendes Gewebe.

Eingeatmet oder verschluckt: Jetzt liegt die Quelle unmittelbar an lebenden Zellen. Alphastrahlung ionisiert sehr stark und gibt ihre gesamte in wenigen Zellschichten ab. Die Schädigung ist dadurch örtlich extrem konzentriert.

Genau deshalb ist Radon, ein alphastrahlendes Edelgas aus dem Boden, die größte natürliche Strahlenbelastung und nach dem Rauchen die zweithäufigste Ursache für Lungenkrebs. Es wird eingeatmet und zerfällt in der Lunge.

d) Weil der Zerfall ein Zufallsprozess ist. Für jeden einzelnen Kern lässt sich der Zerfallszeitpunkt nicht vorhersagen; man kennt nur die Wahrscheinlichkeit.

Die Anzahl der Zerfälle in einem bestimmten Zeitintervall schwankt deshalb um einen Mittelwert, genau wie die Zahl der Sechsen bei mehrmaligem Würfeln.

Praktische Folge: Je länger man misst, desto genauer wird der Mittelwert. Bei kleinen Zählraten misst man deshalb minutenlang statt sekundenweise. Die relative Schwankung nimmt mit steigender Zahl der Ereignisse ab.

Das Knacken eines Geiger-Zählers ist damit hörbarer Zufall, und die Regelmäßigkeit entsteht erst im Mittel.

Detaillierte Schritterklärung anzeigen

Hier wird jeder Schritt einzeln erklärt, vor allem, warum er gemacht wird.

Erklärungstiefe

✦ Empfohlen: Standard – Die normale Erklärungstiefe passt zum Einstieg.

  1. 1

    Gegeben und Gesucht bei den Zerfallsgleichungen

    a) 84210Po^{210}_{84}\text{Po} als Alphastrahler, b) 3890Sr^{90}_{38}\text{Sr} als Betastrahler, gesucht sind die Zerfallsgleichungen. c) und d) verlangen Begründungen zu Gefährlichkeit und Messschwankungen.

  2. 2

    Was Alpha- und Betazerfall mit den beiden Zahlen machen

    Beim Alphazerfall verlässt ein Heliumkern (24He^{4}_{2}\text{He}) den Kern: AA sinkt um 44, ZZ um 22. Beim Betazerfall wandelt sich ein Neutron in ein Proton um: AA bleibt gleich, ZZ steigt um 11.

  3. 3

    a) und b) Beide Zerfallsgleichungen aufstellen und prüfen

    Die Zahlen nach den Regeln anpassen und beide Bilanzen kontrollieren.

    84210Po⟶82206Pb+24He^{210}_{84}\text{Po} \longrightarrow ^{206}_{82}\text{Pb} + ^{4}_{2}\text{He}; 3890Sr⟶3990Y+−1  0e^{90}_{38}\text{Sr} \longrightarrow ^{90}_{39}\text{Y} + ^{\ \ 0}_{-1}e

    Zwischenergebnis

    Beide Bilanzen stimmen oben und unten.

  4. 4

    c) Warum Alphastrahlung erst eingeatmet gefährlich wird

    Von außen: Alphateilchen haben in Luft nur wenige Zentimeter Reichweite und werden bereits von der abgestorbenen Hornhautschicht der Haut vollständig gestoppt, sie erreichen kein lebendes Gewebe. Eingeatmet: Jetzt liegt die Quelle unmittelbar an lebenden Zellen, und Alphastrahlung ionisiert sehr stark.

  5. 5

    d) Ergebnis deuten: Zerfall ist Zufall

    Weil der radioaktive Zerfall ein Zufallsprozess ist: Für jeden einzelnen Kern lässt sich der Zerfallszeitpunkt nicht vorhersagen, man kennt nur die Wahrscheinlichkeit. Die Anzahl der Zerfälle in einem Zeitintervall schwankt deshalb um einen Mittelwert.

Übung 3

schwer

a) Erkläre, warum beim Betazerfall ein Elektron aus dem Kern kommt, obwohl dort keine Elektronen sitzen.

b) Warum ändert Gammastrahlung weder AA noch ZZ?

c) Bei der C-14-Methode misst man an einem Fund noch 25 %25\,\% des ursprünglichen 14C^{14}\text{C}-Anteils. Wie alt ist er (T1/2=5730T_{1/2} = 5730 Jahre)? Nenne zwei Voraussetzungen der Methode.

d) Erkläre den Unterschied zwischen „hoher Aktivität" und „langer Halbwertszeit" und warum beides gefährlich sein kann.

Tipp anzeigen

a) Was passiert mit dem Neutron?

Lösung anzeigen

a) Das Elektron ist vorher nicht vorhanden, sondern entsteht im Augenblick des Zerfalls.

Im Kern wandelt sich ein Neutron in ein Proton um:

n⟶p+e−+ν‾en \longrightarrow p + e^- + \overline{\nu}_e

Dabei entstehen ein Elektron und ein Antineutrino neu. Das Elektron verlässt den Kern sofort und bildet die Betastrahlung.

Die Ladungsbilanz stimmt: Vorher war das Neutron ungeladen, nachher stehen +e+e (Proton) und −e-e (Elektron) nebeneinander, in der Summe wieder null.

Deshalb bleibt die Massenzahl gleich (aus einem Nukleon wird ein Nukleon) und die Kernladungszahl steigt um eins.

Es ist also ausdrücklich kein Elektron aus der Atomhülle. Das ist der häufigste Irrtum bei dieser Zerfallsart.

b) Weil beim Gammazerfall kein Nukleon den Kern verlässt. Der Kern befindet sich nach einem vorangegangenen Alpha- oder Betazerfall in einem angeregten Zustand, seine Nukleonen sind gewissermaßen ungünstig angeordnet.

Beim Übergang in den Grundzustand gibt er die überschüssige als elektromagnetische ab. Ein Photon hat weder noch , also ändern sich weder AA noch ZZ.

Es entsteht deshalb kein neues Element, sondern derselbe Kern in einem energieärmeren Zustand. Aus demselben Grund tritt Gammastrahlung fast nie allein auf, sondern begleitet einen anderen Zerfall.

(Der Vorgang ist das Kern-Gegenstück zum Leuchten eines angeregten Atoms, nur mit millionenfach größerer Energie.)

c) 25 %25\,\% entsprechen zwei Halbwertszeiten (100→50→25100 \to 50 \to 25):

t=2⋅5730 a=11460 Jahret = 2 \cdot 5730\,\text{a} = 11460\,\text{Jahre}

Zwei Voraussetzungen der Methode:

  1. Der 14C^{14}\text{C}-Gehalt der Atmosphäre war zur Lebenszeit bekannt. 14C^{14}\text{C} entsteht laufend durch kosmische Strahlung und zerfällt zugleich; sein Anteil war über die Jahrtausende nicht exakt konstant. Deshalb muss man mit Kalibrierkurven arbeiten, die über Baumringe gewonnen wurden.
  2. Der Fund war ein Lebewesen und hat nach dem Tod keinen Kohlenstoff mehr ausgetauscht. Solange ein Organismus lebt, nimmt er ständig Kohlenstoff auf und hält das Verhältnis konstant. Erst mit dem Tod beginnt die Uhr zu laufen. Eine spätere Verunreinigung mit frischem Kohlenstoff würde den Fund zu jung erscheinen lassen.

(Die Methode reicht wegen der Halbwertszeit nur etwa 5000050000 Jahre zurück; danach ist zu wenig 14C^{14}\text{C} übrig. Für ältere Proben nimmt man andere Isotopenpaare.)

d) Aktivität ist die Anzahl der Zerfälle je Sekunde. Sie ist hoch, wenn viele Kerne in kurzer Zeit zerfallen, also bei kurzer Halbwertszeit.

Lange Halbwertszeit bedeutet umgekehrt, dass nur wenige Kerne je Sekunde zerfallen, die Aktivität also klein ist.

Beides ist gefährlich, aber auf verschiedene Weise:

kurze Halbwertszeitlange Halbwertszeit
Aktivitäthochniedrig
Dauerkurzsehr lang
Gefahrintensive Bestrahlung sofortdauerhafte Belastung über Generationen
BeispielIod-131 (8 d8\,\text{d})Plutonium-239 (24000 a24000\,\text{a})

Praktische Folge: Kurzlebige sind nach Wochen bis Monaten kein Problem mehr, man muss nur die akute Phase überstehen (Iodtabletten, Evakuierung). Langlebige Isotope erfordern eine sichere Lagerung über Zeiträume, die jede menschliche Institution übersteigen.

🔴 Die verbreitete Annahme „lange Halbwertszeit bedeutet besonders gefährlich" greift also zu kurz. Ein Stoff mit sehr langer Halbwertszeit strahlt gerade schwach; gefährlich macht ihn, dass er nicht verschwindet.

Detaillierte Schritterklärung anzeigen

Hier wird jeder Schritt einzeln erklärt, vor allem, warum er gemacht wird.

Erklärungstiefe

✦ Empfohlen: Standard – Die normale Erklärungstiefe passt zum Einstieg.

  1. 1

    Gegeben und Gesucht, zwei Zerfallsarten, eine Datierung, ein Vergleich

    a) und b) verlangen Erklärungen zu Beta- und Gammazerfall. c) gibt 25 %25\,\% Restanteil und T1/2=5730T_{1/2} = 5730 Jahre; gesucht sind Alter und zwei Voraussetzungen. d) fragt nach Aktivität und Halbwertszeit.

  2. 2

    a) Woher das Elektron beim Betazerfall kommt

    Das Elektron ist vorher nicht vorhanden, sondern entsteht im Augenblick des Zerfalls. Im Kern wandelt sich ein Neutron in ein Proton um: n⟶p+e−+ν‾en \longrightarrow p + e^- + \overline{\nu}_e. Dabei entstehen Elektron und Antineutrino neu.

  3. 3

    b) Warum Gammastrahlung weder A noch Z ändert

    Weil beim Gammazerfall kein Nukleon den Kern verlässt. Der Kern ist nach einem vorangegangenen Alpha- oder Betazerfall in einem angeregten Zustand und gibt beim Übergang in den Grundzustand die überschüssige Energie als elektromagnetische Welle ab. Ein Photon hat weder Masse noch Ladung.

  4. 4

    c) Warum der C-14-Gehalt als Uhr taugt

    14C^{14}\text{C} entsteht laufend durch kosmische Strahlung und zerfällt zugleich; in einem lebenden Organismus stellt sich dadurch ein festes Verhältnis ein. Mit dem Tod hört der Austausch auf, und von da an sinkt der Anteil nach dem Zerfallsgesetz, die Uhr beginnt zu laufen.

  5. 5

    c) Das Alter des Fundes

    25 %25\,\% entsprechen zwei Halbwertszeiten, also t=2⋅5730 at = 2 \cdot 5730\,\text{a}.

    t=2⋅5730 a=11460t = 2 \cdot 5730\,\text{a} = 11460 Jahre

    Zwischenergebnis

    t=11460 Jahret = 11460\,\text{Jahre}

  6. 6

    d) Ergebnis deuten: hohe Aktivität und lange Halbwertszeit

    Aktivität ist die Anzahl der Zerfälle je Sekunde. Sie ist hoch bei kurzer Halbwertszeit. Lange Halbwertszeit bedeutet umgekehrt, dass nur wenige Kerne je Sekunde zerfallen, die Aktivität also klein ist. Beides ist gefährlich, aber auf verschiedene Weise.

Zusammenfassung

Strahlung tritt in drei Arten auf: Alphastrahlung als Heliumkerne mit kurzer Reichweite und starker Ionisierung, Betastrahlung als Elektronen, die im Kern durch Umwandlung eines Neutrons entstehen, und Gammastrahlung als elektromagnetische , die den Kern selbst nicht verändert. Reichweite und Ionisierungsvermögen sind dabei gegenläufig, weshalb Alphastrahlung von außen kaum gefährlich, im Körper aber besonders schädlich ist. Zerfallsgleichungen lassen sich zuverlässig prüfen, indem man Massenzahlen und Kernladungszahlen auf beiden Seiten vergleicht. Die Halbwertszeit gibt an, nach welcher Zeit die Hälfte der Kerne zerfallen ist, wobei sich immer nur der Rest halbiert, sodass nach zwei Halbwertszeiten ein Viertel übrig bleibt. Für einen einzelnen Kern ist der Zerfallszeitpunkt grundsätzlich unvorhersagbar, für viele Kerne entsteht daraus eine strenge statistische Gesetzmäßigkeit.