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Atom- und Kernphysik

Atommodelle und Linienspektren

Warum jedes Element sein eigenes Lichtmuster hat und wie man daraus die Zusammensetzung von Sternen bestimmt.

Benötigte Grundlagen

Dieses Vorwissen brauchst du für das Kapitel. Schau kurz nach, wenn dir etwas davon nicht mehr präsent ist, sonst leg direkt los.

Einführung

Der französische Philosoph Auguste Comte nannte 1835 ein Beispiel für etwas, das der Mensch niemals wissen könne: die chemische Zusammensetzung der Sterne. Sie seien unerreichbar fern, und man werde nie eine Probe nehmen können.

Keine dreißig Jahre später wusste man es. Nicht durch Reisen, sondern durch Hinsehen: Jedes Element sendet Licht bei ganz bestimmten aus, wie einen Strichcode. 1868 fand man im Sonnenspektrum Linien, die zu keinem bekannten Element passten, und nannte das neue Element Helium, nach helios, der Sonne. Auf der Erde wurde es erst 1895 entdeckt.

Warum die Linien überhaupt scharf sind, war damals unerklärlich und führte geradewegs zur Quantenphysik.

Das kannst du nach diesem Kapitel

  • die Entwicklung der Atommodelle nachvollziehen.

  • das Bohrsche Modell und seine Grenzen beschreiben.

  • Linienspektren als Nachweis diskreter Energieniveaus deuten.

  • mit dem Energieniveauschema rechnen.

  • Emission und Absorption unterscheiden.

  • die Spektralanalyse und ihre Bedeutung erklären.

Die Entwicklung der Atommodelle

ModellJahrKernaussageWoran es scheitert
Dalton1808Atome sind unteilbare Kugelnerklärt keine Elektrizität
Thomson1897Elektronen in positiver verteiltStreuversuch widerlegt es
Rutherford1911winziger Kern, Elektronen außenAtome müssten sofort kollabieren
Bohr1913nur bestimmte Bahnen erlaubtPostulate unbegründet, nur für H
Orbitalmodellab 1926Aufenthaltswahrscheinlichkeiten(heutiger Stand)

Der Rutherfordsche Streuversuch (1911). Alphateilchen wurden auf eine dünne Goldfolie geschossen. Die meisten flogen fast ungehindert hindurch, wenige wurden aber stark abgelenkt, einzelne sogar zurückgeworfen.

Rutherford verglich das damit, eine Granate auf Seidenpapier zu schießen und sie zurückkommen zu sehen. Der Schluss: Die Masse und die positive sitzen in einem winzigen Kern, das Atom ist überwiegend leer.

🔴 Rutherfords Modell hatte aber ein tödliches Problem. Ein Elektron auf einer wird ständig , und beschleunigte Ladungen strahlen nach der Elektrodynamik ab. Das Elektron müsste in rund 10−11 s10^{-11}\,\text{s} in den Kern stürzen.

Atome sind aber stabil. Die klassische Physik konnte das nicht erklären.

Jedes Modell fiel über eine MessungDalton1803Thomson1897Rutherford1911Bohr1913heute1926Woran es scheiterte:Ladung · Streuversuch · Strahlungsverlust · nur WasserstoffDas heutige Modell gibt Aufenthaltswahrscheinlichkeiten an.Widerlegt zu werden treibt die Physik voran

Lies die Reihe nicht als „immer genauer“, sondern als Kette von Widerlegungen: Jedes Modell fiel über eine Messung, und diese Messung war der Grund für das nächste. Thomsons Kuchen scheiterte am Streuversuch, Rutherfords Bahnen an der Frage, warum das Atom nicht in Sekundenbruchteilen kollabiert, Bohrs Schalen daran, dass sie nur bei Wasserstoff stimmen. So arbeitet Physik.

Das Bohrsche Modell (1913)

Bohr löste das Problem, indem er zwei Postulate aufstellte, die der klassischen Physik widersprachen:

1. Postulat: Elektronen bewegen sich nur auf bestimmten, diskreten Bahnen. Auf diesen strahlen sie nicht.

2. Postulat: Beim Übergang zwischen zwei Bahnen wird ein ausgesandt oder aufgenommen:

hf=En−Em\boxed{h f = E_n - E_m}

Für Wasserstoff ergeben sich die Energieniveaus

En=−13,6 eVn2,n=1,2,3,…E_n = -\frac{13{,}6\,\text{eV}}{n^2}, \qquad n = 1, 2, 3, \dots
nnEnE_n
1 (Grundzustand)−13,6 eV-13{,}6\,\text{eV}
2−3,40 eV-3{,}40\,\text{eV}
3−1,51 eV-1{,}51\,\text{eV}
4−0,85 eV-0{,}85\,\text{eV}
∞\infty (ionisiert)00

🔴 Warum die negativ sind: Man setzt die Energie des freien Elektrons (unendlich weit entfernt) auf null. Ein gebundenes Elektron hat weniger Energie, also einen negativen Wert. Der Betrag gibt an, wie viel Energie zum Herauslösen nötig ist.

Für Wasserstoff im Grundzustand sind das 13,6 eV13{,}6\,\text{eV}, die Ionisierungsenergie.

Was Bohr leistete: Sein Modell sagt die des Wasserstoffspektrums exakt voraus, ein durchschlagender Erfolg.

Was es nicht leistet:

  • Die Postulate sind unbegründet; sie werden gesetzt, weil sie funktionieren.
  • Es gilt nur für Wasserstoff und wasserstoffähnliche Ionen.
  • Es erklärt nicht die Intensität der Linien und nicht ihre Aufspaltung im .
  • Es widerspricht der Unbestimmtheitsrelation: Ein Elektron kann keine Bahn haben.
Nur bestimmte Energien sind erlaubtWasserstoff, maßstäblich aufgetragen.0 eVn = 1-13,60 eVn = 2-3,40 eVn = 3-1,51 eVsichtbare LinienUVh · f = E(oben) − E(unten)Enger werdende Stufen, enger werdende Linien.Die Leiter erklärt das Linienspektrum

Die Stufen sind maßstäblich nach −13,6 eV/n² aufgetragen, und das ist der Punkt: Nach oben rücken sie immer enger zusammen. Ein Übergang sendet ein aus, dessen genau der Differenz entspricht, deshalb häufen sich auch die Linien einer Serie zum kurzwelligen Ende hin. Gleich weit gezeichnete Stufen würden diese Aussage zerstören.

Das heutige Modell

Nach der Quantenmechanik beschreibt man Elektronen nicht durch Bahnen, sondern durch Orbitale: räumliche Verteilungen der Aufenthaltswahrscheinlichkeit.

Die Energieniveaus bleiben aber bestehen und ergeben sich hier nicht aus einem Postulat, sondern aus der Theorie. Das Bohrsche Modell ist damit ein nützliches Zwischenmodell, kein Bild der Wirklichkeit.

🔴 Merke: Energieniveaus ja, Bahnen nein.

Linienspektren

Emissionsspektrum. Regt man ein Gas an (durch Erhitzen oder elektrische Entladung), so gehen Elektronen auf höhere Niveaus und fallen kurz darauf zurück. Dabei wird jeweils ein der hf=En−Emhf = E_n - E_m frei.

Da nur bestimmte Differenzen möglich sind, entstehen einzelne scharfe Linien statt eines durchgehenden Spektrums.

Absorptionsspektrum. Schickt man weißes Licht durch ein kaltes Gas, so werden genau dieselben herausgefiltert. Es entstehen dunkle Linien im kontinuierlichen Spektrum (Fraunhoferlinien).

🔴 Emissions- und Absorptionslinien liegen bei denselben Wellenlängen, weil es dieselben Energiedifferenzen sind. Genau daran erkennt man ein Element eindeutig.

Kontinuierliches Spektrum entsteht dagegen bei glühenden Festkörpern und Gasen, weil sich dort die Niveaus der vielen wechselwirkenden Atome zu Bändern verbreitern.

Zweimal dieselben StellenEmissionsspektrumleuchtendes GasAbsorptionsspektrumweißes Licht durch dasselbe GasJedes Element hat sein eigenes Muster.Aussenden und Verschlucken bei derselben Energie

Zwei Spektren derselben Atomsorte: oben leuchtet das Gas selbst, unten schickt man weißes Licht hindurch. Die gestrichelten Verbindungen zeigen, dass die Linien an genau denselben Stellen liegen. Der Grund ist einfach: Es sind dieselben Energiestufen, einmal beim Herunterfallen, einmal beim Hinaufspringen.

Die Spektralanalyse

Jedes Element hat ein charakteristisches Linienmuster, so eindeutig wie ein Fingerabdruck. Daraus folgt eine mächtige Methode:

  • Sternzusammensetzung. Aus den Fraunhoferlinien im Sternenlicht liest man ab, welche Elemente in der Sternatmosphäre vorkommen. So wurde 1868 Helium entdeckt, 27 Jahre bevor man es auf der Erde fand.
  • Elementnachweis im Labor (Flammenfärbung, Atomspektroskopie), etwa in der Umweltanalytik.
  • Temperaturbestimmung aus den relativen Linienintensitäten.
  • Geschwindigkeitsmessung über die Rotverschiebung. Da die Linien bekannt sind, verrät ihre Verschiebung die Radialgeschwindigkeit. So wies Hubble 1929 die Ausdehnung des Universums nach.

Alltag: Die Farben von Natriumdampflampen (gelb), Neonröhren (rot) und Quecksilberdampflampen entstehen genau so. Auch die Farben eines Feuerwerks beruhen auf den Spektrallinien zugesetzter Metallsalze.

Die Franck-Hertz-Bestätigung

1914 wiesen Franck und Hertz die Energieniveaus ohne Licht nach: Elektronen, die durch Quecksilberdampf werden, geben ihre nur in Portionen von 4,9 eV4{,}9\,\text{eV} ab. Der gemessene Strom zeigt bei dieser und ihren Vielfachen scharfe Einbrüche.

Das war der unmittelbare Beweis, dass Atome nur bestimmte Energiebeträge aufnehmen können.

Immer nach denselben 4,9 VoltStrom über der Beschleunigungsspannung.04,9 V9,8 V14,7 VSpannungGleiche Abstände heißen: immer dieselbe Portion.Der direkte Nachweis der Energiestufen

Der Strom bricht bei 4,9 V ein, dann wieder bei 9,8 V und bei 14,7 V, in gleichen Abständen. Genau darin liegt der Beweis: Ein Elektron gibt seine nicht nach und nach ab, sondern erst dann, wenn es 4,9 eV zusammenhat, und dann die ganze Portion auf einmal. Danach beginnt es von vorn. Das ist die Energiestufe direkt gemessen, ohne Umweg über das Licht.

Mit dem Energieniveauschema rechnen

Für Wasserstoff gilt En=−13,6 eVn2E_n = -\frac{13{,}6\,\text{eV}}{n^2}.

a) Welche hat das beim Übergang von n=3n = 3 nach n=2n = 2?

b) Welche und welche Farbe hat es?

c) Welche Energie ist nötig, um ein Wasserstoffatom aus dem Grundzustand zu ionisieren?

d) Kann ein Photon mit 10 eV10\,\text{eV} ein Wasserstoffatom im Grundzustand anregen?

  1. 1

    a) Niveaus bestimmen:

    E3=−13,69 eV=−1,51 eV,E2=−13,64 eV=−3,40 eVE_3 = -\frac{13{,}6}{9}\,\text{eV} = -1{,}51\,\text{eV}, \qquad E_2 = -\frac{13{,}6}{4}\,\text{eV} = -3{,}40\,\text{eV}

    Differenz:

    hf=E3−E2=−1,51−(−3,40)=1,89 eVhf = E_3 - E_2 = -1{,}51 - (-3{,}40) = 1{,}89\,\text{eV}
  2. 2

    b) λ=1240 eV⋅nm1,89 eV≈656 nm\lambda = \frac{1240\,\text{eV}\cdot\text{nm}}{1{,}89\,\text{eV}} \approx 656\,\text{nm}

    Das ist rotes Licht.

    🔴 Diese Linie heißt H-alpha und ist die auffälligste Linie des Wasserstoffs. Sie verleiht Wasserstoff-Gasentladungsröhren ihre rosarote Farbe und macht Wasserstoffnebel im Weltall rot erscheinen, etwa den Orionnebel.

    Astronomen fotografieren gezielt mit H-alpha-Filtern, um Wasserstoffwolken sichtbar zu machen.

  3. 3

    c) Ionisieren bedeutet, das Elektron von n=1n = 1 nach n=∞n = \infty zu bringen:

    Eion=E∞−E1=0−(−13,6 eV)=13,6 eVE_{\text{ion}} = E_\infty - E_1 = 0 - (-13{,}6\,\text{eV}) = 13{,}6\,\text{eV}

    Genau deshalb steht in der Formel die Zahl 13,613{,}6: Sie ist die Ionisierungsenergie des Wasserstoffs.

  4. 4

    d) Nein, es wird nicht absorbiert.

    Die möglichen Übergänge aus dem Grundzustand:

    ÜbergangEnergie
    1→21 \to 2−3,40−(−13,6)=10,2 eV-3{,}40 - (-13{,}6) = 10{,}2\,\text{eV}
    1→31 \to 3−1,51−(−13,6)=12,1 eV-1{,}51 - (-13{,}6) = 12{,}1\,\text{eV}
    1→41 \to 412,75 eV12{,}75\,\text{eV}
    1→∞1 \to \infty13,6 eV13{,}6\,\text{eV}

    Ein Photon mit 10 eV10\,\text{eV} passt zu keinem dieser Werte. Es ist zu schwach für den ersten Übergang (10,2 eV10{,}2\,\text{eV}).

    🔴 Entscheidend ist: Das Atom nimmt nicht einen Teil der Energie auf. Es ist ein Alles-oder-nichts-Vorgang. Das Photon fliegt unverändert weiter.

    Genau das erklärt die Absorptionslinien: Schickt man weißes Licht durch Wasserstoffgas, werden nur die passenden Wellenlängen herausgefiltert. Alle anderen laufen ungehindert hindurch, weshalb dunkle Linien in einem sonst durchgehenden Spektrum entstehen.

    Und deshalb sind Gase durchsichtig: Sichtbares Licht hat meist nicht die passenden Energien und wird deshalb nicht absorbiert.

    Ein oberhalb der Ionisierungsenergie liegendes Photon (>13,6 eV> 13{,}6\,\text{eV}) wird dagegen immer absorbiert, denn das freigesetzte Elektron kann jeden beliebigen Energieüberschuss als kinetische Energie mitnehmen. Oberhalb der Ionisierungsgrenze ist das Spektrum deshalb kontinuierlich.

a) 1,89 eV1{,}89\,\text{eV} b) 656 nm656\,\text{nm}, rot (H-alpha) c) 13,6 eV13{,}6\,\text{eV} d) nein, es passt zu keinem Übergang und wird nicht absorbiert.

Was Linienspektren beweisen

Erkläre, warum das Auftreten scharfer Linien in einem Spektrum beweist, dass die in Atomen gequantelt ist, und wie daraus die Zusammensetzung von Sternen folgt.

  1. 1

    Was die klassische Physik erwarten ließe.

    Nach der Elektrodynamik kann ein Elektron auf jeder beliebigen Bahn kreisen und dabei jede beliebige Energie haben. Beim Abstrahlen könnte es jeden beliebigen Energiebetrag abgeben.

    Ein angeregtes Gas müsste deshalb ein kontinuierliches Spektrum liefern, in dem alle Farben vorkommen.

    Beobachtet werden aber einzelne, sehr scharfe Linien an genau reproduzierbaren Stellen.

  2. 2

    Der Schluss.

    Wenn nur bestimmte Photonenenergien auftreten und E=hfE = hf gilt, kann das Atom nur bestimmte Energiedifferenzen abgeben. Das ist nur möglich, wenn es selbst nur bestimmte Energiezustände einnehmen kann.

    hf=En−Emhf = E_n - E_m

    🔴 Aus einer Beobachtung über Licht folgt damit eine Aussage über den inneren Aufbau des Atoms: Seine Energie ist gequantelt.

    Das ist die eigentliche Bedeutung der Linienspektren, und sie waren jahrzehntelang unerklärlich, bevor Bohr 1913 das Modell dazu lieferte.

  3. 3

    Die unabhängige Bestätigung ohne Licht.

    Man könnte einwenden, dass es vielleicht am Licht liegt und nicht am Atom. Franck und Hertz schlossen das 1914 aus:

    Sie beschleunigten Elektronen durch Quecksilberdampf und maßen den Strom. Bei 4,9 V4{,}9\,\text{V} brach er ein, dann wieder bei 9,8 V9{,}8\,\text{V} und 14,7 V14{,}7\,\text{V}.

    Deutung: Erst ab 4,9 eV4{,}9\,\text{eV} kann ein Elektron ein Quecksilberatom anregen; unterhalb dieser Energie stößt es elastisch und verliert nichts. Bei der doppelten schafft es zwei solche Anregungen.

    Damit war ohne jede Beteiligung von Licht bewiesen, dass Atome nur bestimmte Energiebeträge aufnehmen. Nobelpreis 1925.

  4. 4

    Wie daraus die Sternzusammensetzung folgt.

    Schritt 1: Jedes Element hat ein anderes Niveauschema und damit ein anderes Linienmuster, so eindeutig wie ein Fingerabdruck. Man misst es im Labor.

    Schritt 2: Im Inneren eines Sterns entsteht ein kontinuierliches Spektrum, weil dort , heiße Materie strahlt.

    Schritt 3: Auf dem Weg nach außen durchläuft dieses Licht die kühlere Sternatmosphäre. Die dortigen Atome absorbieren genau die , die zu ihren Energiedifferenzen passen.

    Schritt 4: Uns erreicht ein kontinuierliches Spektrum mit dunklen Linien (Fraunhoferlinien). Ihr Muster verrät, welche Elemente vorhanden sind.

    🔴 Der historische Höhepunkt: 1868 fand man im Sonnenspektrum Linien, die zu keinem bekannten Element passten. Man schloss auf ein neues Element und nannte es Helium. Auf der Erde wurde es erst 1895 nachgewiesen, siebenundzwanzig Jahre später.

    Was man heute alles aus Spektren liest:

    GrößeWoraus
    ElementeLinienmuster
    relative Linienintensitäten
    RadialgeschwindigkeitVerschiebung der Linien (Doppler)
    Aufspaltung der Linien
    und DichteVerbreiterung der Linien

    Und die folgenreichste Anwendung: Da die Ruhewellenlängen bekannt sind, verrät ihre Rotverschiebung die Fluchtgeschwindigkeit ferner Galaxien. Hubble wies damit 1929 die Ausdehnung des Universums nach.

    Comtes Behauptung von 1835, die Zusammensetzung der Sterne sei prinzipiell unerkennbar, war damit gründlich widerlegt, und zwar nicht durch Reisen, sondern durch genaues Hinsehen.

Scharfe Linien bedeuten, dass nur bestimmte Energiedifferenzen auftreten, also nur bestimmte Energiezustände existieren. Da jedes Element ein eigenes Muster hat, verraten Absorptionslinien im Sternenlicht dessen Zusammensetzung.

Typischer Fehler

„Elektronen kreisen wie Planeten auf festen Bahnen um den ."

Dieses Bild stammt aus dem Bohrschen Modell von 1913 und ist falsch, auch wenn es in vielen Darstellungen noch auftaucht.

Warum es nicht stimmen kann: Eine Bahn setzt voraus, dass zu jedem Zeitpunkt Ort und gleichzeitig festliegen. Genau das schließt die Unbestimmtheitsrelation aus:

Δx⋅Δp≥h4π\Delta x \cdot \Delta p \ge \frac{h}{4\pi}

Lokalisiert man ein Elektron auf Atomgröße (10−10 m10^{-10}\,\text{m}), beträgt die Geschwindigkeitsunbestimmtheit rund 580 kms580\,\frac{\text{km}}{\text{s}}, also so viel wie die Geschwindigkeit selbst. Von einer definierten Bahn kann keine Rede sein.

Was stattdessen gilt: Elektronen werden durch Orbitale beschrieben, also durch räumliche Verteilungen der Aufenthaltswahrscheinlichkeit. Ein Orbital sagt, wo man das Elektron mit welcher Wahrscheinlichkeit findet, nicht wo es gerade ist.

Manche Orbitale sind kugelförmig, andere hantelförmig; keines ist ein Ring.

Was am Bohrschen Modell dennoch richtig ist: Die Energieniveaus. Sie existieren tatsächlich, und die Formel En=−13,6 eVn2E_n = -\frac{13{,}6\,\text{eV}}{n^2} liefert für Wasserstoff die richtigen Werte. Nur die Begründung über Bahnen ist falsch.

🔴 Merke: Energieniveaus ja, Bahnen nein.

Warum das Bild sich hält: Es ist anschaulich, es funktioniert für Wasserstoff, und es ist als Logo weit verbreitet. Für ein erstes Verständnis der Spektrallinien ist es brauchbar, solange man weiß, dass es ein Zwischenmodell ist.

Woran das Modell außerdem scheitert: Es gilt nur für Wasserstoff, erklärt die Intensität der Linien nicht, versagt bei der Aufspaltung im und begründet seine eigenen Postulate nicht. Bohr selbst betrachtete es als vorläufig.

Ein bemerkenswerter Nebenpunkt: Erst die Quantenmechanik erklärt auch, warum Atome überhaupt stabil sind. Stürzte das Elektron in den Kern, wäre es extrem lokalisiert, und die Unbestimmtheitsrelation erzwänge eine enorme kinetische . Genau das hält es auf Abstand.

Übung 1

leicht

a) Welche hat das Niveau n=4n = 4 im Wasserstoffatom?

b) Welche Photonenenergie gehört zum Übergang n=4→n=2n = 4 \to n = 2?

c) Warum entstehen Linienspektren statt kontinuierlicher Spektren?

Tipp anzeigen

a) En=−13,6 eVn2E_n = -\frac{13{,}6\,\text{eV}}{n^2}.

Lösung anzeigen

a) E4=−13,6 eV16=−0,85 eVE_4 = -\frac{13{,}6\,\text{eV}}{16} = -0{,}85\,\text{eV}

b) hf=E4−E2=−0,85−(−3,40)=2,55 eVhf = E_4 - E_2 = -0{,}85 - (-3{,}40) = 2{,}55\,\text{eV}

Das entspricht λ=12402,55 nm≈486 nm\lambda = \frac{1240}{2{,}55}\,\text{nm} \approx 486\,\text{nm}, also blaugrünem Licht (H-beta-Linie).

c) Weil die Elektronen im Atom nur bestimmte, diskrete Energiewerte annehmen können.

Bei einem Übergang wird deshalb nur eine ganz bestimmte Energiedifferenz frei, und wegen E=hfE = hf gehört dazu genau eine . Es entstehen einzelne scharfe Linien statt eines durchgehenden Bereichs.

Detaillierte Schritterklärung anzeigen

Hier wird jeder Schritt einzeln erklärt, vor allem, warum er gemacht wird.

Erklärungstiefe

✦ Empfohlen: Standard – Die normale Erklärungstiefe passt zum Einstieg.

  1. 1

    Gegeben und Gesucht bei den Energieniveaus

    a) fragt nach der Energie des Niveaus n=4n = 4 im Wasserstoffatom, b) nach der Photonenenergie beim Übergang n=4→n=2n = 4 \to n = 2, c) nach dem Grund für Linienspektren.

  2. 2

    Niveauformel und Übergangsbedingung

    Für Wasserstoff gilt En=−13,6 eVn2E_n = -\frac{13{,}6\,\text{eV}}{n^2}. Bei einem Übergang von nn nach mm wird genau die Energiedifferenz als frei: hf=En−Emhf = E_n - E_m.

  3. 3

    a) und b) Niveauenergie und Photonenenergie

    Erst 13,613{,}6 durch n2n^2, dann die Differenz der beiden Niveaus bilden.

    E4=−13,6 eV16=−0,85 eVE_4 = -\frac{13{,}6\,\text{eV}}{16} = -0{,}85\,\text{eV}; hf=E4−E2=−0,85 eV−(−3,40 eV)=2,55 eVhf = E_4 - E_2 = -0{,}85\,\text{eV} - (-3{,}40\,\text{eV}) = 2{,}55\,\text{eV}

    Zwischenergebnis

    E4=−0,85 eVE_4 = -0{,}85\,\text{eV}, hf=2,55 eVhf = 2{,}55\,\text{eV} (λ≈486 nm\lambda \approx 486\,\text{nm})

  4. 4

    c) Ergebnis deuten: warum Spektren aus Linien bestehen

    Weil die Elektronen im Atom nur bestimmte, diskrete Energiewerte annehmen können. Bei einem Übergang wird deshalb nur eine ganz bestimmte Energiedifferenz frei, und wegen E=hfE = hf gehört dazu genau eine Frequenz.

Übung 2

mittel

a) Warum liegen Emissions- und Absorptionslinien eines Elements bei denselben ?

b) Warum strahlt eine Glühlampe kontinuierlich, eine Neonröhre aber in Linien?

c) Was war das Problem des Rutherfordschen Modells?

d) Wie wurde Helium entdeckt?

Tipp anzeigen

a) Welche Größe bestimmt beides?

Lösung anzeigen

a) Weil in beiden Fällen dieselben Energiedifferenzen beteiligt sind.

Emission: Ein Elektron fällt von EnE_n nach EmE_m und gibt ein der En−EmE_n - E_m ab.

Absorption: Ein Elektron steigt von EmE_m nach EnE_n und nimmt dafür ein Photon derselben Energie auf.

Da die Niveaus dieselben sind, sind auch die Differenzen dieselben und damit die Wellenlängen.

🔴 Genau darauf beruht die Spektralanalyse: Man misst das Emissionsspektrum eines Elements im Labor und erkennt dasselbe Muster als Absorptionslinien im Licht ferner Sterne wieder.

b) Glühlampe (kontinuierlich): Der glühende Wolframdraht ist ein Festkörper. Dort sitzen die Atome so dicht, dass ihre Energieniveaus miteinander wechselwirken und sich zu breiten Bändern verschmieren. Möglich sind deshalb nahezu alle Energiedifferenzen, und es entsteht ein durchgehendes Spektrum.

Neonröhre (Linien): Hier strahlt ein verdünntes Gas. Die Atome sind weit voneinander entfernt und stören einander kaum. Ihre Niveaus bleiben scharf, und es treten nur bestimmte Übergänge auf.

Merkregel: Feste und Körper strahlen kontinuierlich, verdünnte Gase in Linien.

Praktische Bedeutung: Deshalb hat eine Glühlampe eine natürliche Farbwiedergabe, während Gasentladungslampen (Neon, Natriumdampf, ältere Energiesparlampen) Farben verfälschen können: Was ihr Spektrum nicht enthält, kann ein Gegenstand nicht reflektieren.

c) Nach der klassischen Elektrodynamik müsste jedes Atom in Sekundenbruchteilen kollabieren.

Ein Elektron auf einer wird ständig (die Richtung ändert sich). Beschleunigte strahlen aber elektromagnetische Wellen ab und verlieren dadurch Energie.

Das Elektron müsste also spiralförmig in den Kern stürzen, und zwar nach Rechnung in etwa 10−11 s10^{-11}\,\text{s}.

🔴 Atome sind aber stabil, seit Milliarden Jahren. Zudem müsste beim Hineinspiralen ein kontinuierliches Spektrum entstehen, während man Linien beobachtet.

Die klassische Physik scheiterte hier vollständig. Bohr löste das Problem 1913, indem er die Strahlungsfreiheit bestimmter Bahnen einfach postulierte, also der klassischen Elektrodynamik widersprach, ohne zu erklären warum.

Erst die Quantenmechanik lieferte die Begründung: Es gibt keine Bahnen, sondern stationäre Zustände, und der Grundzustand kann nicht weiter zerfallen, weil es darunter kein Niveau gibt.

d) Durch Spektralanalyse des Sonnenlichts, 27 Jahre bevor man es auf der Erde fand.

1868 beobachteten Pierre Janssen und Norman Lockyer während einer Sonnenfinsternis das Spektrum der Sonnenkorona. Sie fanden eine gelbe Linie bei 587,6 nm587{,}6\,\text{nm}, die zu keinem bekannten Element passte, insbesondere nicht zu Natrium, dessen Linien in der Nähe liegen.

Lockyer schloss auf ein bisher unbekanntes Element und nannte es Helium, nach dem griechischen helios (Sonne).

Die Reaktion war zunächst skeptisch. Ein Element allein aufgrund einer Spektrallinie zu postulieren, noch dazu aus einem Objekt in 150150 Millionen Kilometern Entfernung, galt vielen als unseriös.

1895 isolierte William Ramsay Helium aus dem Uranmineral Cleveit und stellte fest, dass sein Spektrum genau die gesuchte Linie zeigte. Die Vorhersage war bestätigt.

🔴 Warum das so bemerkenswert ist: Auguste Comte hatte 1835 die chemische Zusammensetzung der Sterne als Beispiel für prinzipiell unerreichbares Wissen genannt. Keine dreißig Jahre später entdeckte man dort ein Element, das auf der Erde noch unbekannt war.

Nachbemerkung: Helium ist heute technisch wichtig (Kühlmittel für supraleitende Magnete in MRT-Geräten und Beschleunigern, Schutzgas beim Schweißen) und wird knapp, weil es aus der Atmosphäre entweicht und nur aus Erdgasvorkommen gewonnen werden kann.

Detaillierte Schritterklärung anzeigen

Hier wird jeder Schritt einzeln erklärt, vor allem, warum er gemacht wird.

Erklärungstiefe

✦ Empfohlen: Standard – Die normale Erklärungstiefe passt zum Einstieg.

  1. 1

    Gegeben und Gesucht, vier Fragen zur Spektralanalyse

    Diese Aufgabe rechnet nicht: Sie fragt, warum Emissions- und Absorptionslinien zusammenfallen, warum Glühlampe und Neonröhre verschieden strahlen, woran das Rutherfordsche Modell scheiterte und wie Helium entdeckt wurde.

  2. 2

    a) Warum Emission und Absorption bei denselben Wellenlängen liegen

    Weil in beiden Fällen dieselben Energiedifferenzen beteiligt sind. Emission: Ein Elektron fällt von EnE_n nach EmE_m und gibt ein Photon der Energie En−EmE_n - E_m ab. Absorption: Ein Elektron steigt von EmE_m nach EnE_n und nimmt ein Photon derselben Energie auf.

  3. 3

    b) Glühlampe gegen Neonröhre

    Glühlampe (kontinuierlich): Der glühende Wolframdraht ist ein Festkörper; die Atome sitzen so dicht, dass ihre Niveaus miteinander wechselwirken und sich zu breiten Bändern verschmieren. Neonröhre (Linien): Hier strahlt ein verdünntes Gas, dessen Atome einander kaum stören, die Niveaus bleiben scharf.

  4. 4

    c) Das Problem des Rutherfordschen Modells

    Nach der klassischen Elektrodynamik müsste jedes Atom in Sekundenbruchteilen kollabieren. Ein Elektron auf einer Kreisbahn wird ständig beschleunigt (die Richtung ändert sich), beschleunigte Ladungen strahlen aber elektromagnetische Wellen ab und verlieren Energie, nach Rechnung stürzte das Elektron in rund 10−11 s10^{-11}\,\text{s} in den Kern.

  5. 5

    d) Ergebnis deuten: wie Helium in der Sonne gefunden wurde

    Durch Spektralanalyse des Sonnenlichts, 27 Jahre bevor man es auf der Erde fand. 1868 fanden Janssen und Lockyer während einer Sonnenfinsternis eine gelbe Linie bei 587,6 nm587{,}6\,\text{nm}, die zu keinem bekannten Element passte. Lockyer schloss auf ein neues Element und nannte es Helium (griechisch helios, Sonne). 1895 isolierte Ramsay es aus dem Uranmineral Cleveit, mit genau dieser Linie.

Übung 3

schwer

a) Warum sind die Energieniveaus negativ, und was bedeutet der Wert null?

b) Warum ist das Bohrsche Modell trotz seines Erfolgs falsch?

c) Ein mit 12,5 eV12{,}5\,\text{eV} trifft auf Wasserstoff im Grundzustand. Was passiert?

d) Erkläre, wie man aus Sternspektren die Fluchtgeschwindigkeit von Galaxien bestimmt.

Tipp anzeigen

c) Prüfe alle möglichen Übergänge.

Lösung anzeigen

a) Der Nullpunkt ist frei wählbar, und man setzt ihn beim freien Elektron an, also unendlich weit vom Kern entfernt und in Ruhe.

Ein gebundenes Elektron hat weniger als ein freies, denn man müsste Energie zuführen, um es loszureißen. Deshalb sind alle gebundenen Zustände negativ.

En=−13,6 eVn2E_n = -\frac{13{,}6\,\text{eV}}{n^2}

Was der Betrag bedeutet: Er gibt an, wie viel Energie nötig ist, um das Elektron von diesem Niveau aus zu befreien. Im Grundzustand (n=1n=1) sind das 13,6 eV13{,}6\,\text{eV}, die Ionisierungsenergie.

Was E=0E = 0 bedeutet: Das Elektron ist gerade eben frei, aber ohne kinetische Energie. Alles darüber (E>0E > 0) bedeutet ein freies Elektron mit Bewegungsenergie.

🔴 Eine wichtige Folge: Oberhalb von E=0E = 0 gibt es keine Quantelung mehr. Ein freies Elektron kann jede beliebige Energie haben. Deshalb ist das Spektrum oberhalb der Ionisierungsgrenze kontinuierlich, während es darunter aus Linien besteht.

Man erkennt das in gemessenen Spektren als „Seriengrenze": Die Linien rücken zu höheren Energien hin immer dichter zusammen und gehen dann in ein Kontinuum über.

b) Was es leistet: Es sagt die des Wasserstoffspektrums exakt voraus. Das war 1913 ein durchschlagender Erfolg und machte das Modell sofort berühmt.

Warum es dennoch falsch ist:

1. Es widerspricht der Unbestimmtheitsrelation. Eine Bahn verlangt gleichzeitig scharfen Ort und , was ausgeschlossen ist. Elektronen haben keine Bahnen.

2. Die Postulate sind unbegründet. Bohr setzt einfach, dass bestimmte Bahnen strahlungsfrei sind, im Widerspruch zur Elektrodynamik, ohne dafür einen Grund anzugeben.

3. Es gilt nur für Wasserstoff und wasserstoffähnliche Ionen mit einem einzigen Elektron. Schon bei Helium versagt es.

4. Es erklärt die Intensitäten nicht. Warum manche Linien hell und andere schwach sind, folgt nicht aus dem Modell.

5. Es erklärt Aufspaltungen nicht, etwa im (Zeeman-Effekt) oder die Feinstruktur.

🔴 Was übrig bleibt und richtig ist: die Energieniveaus. Sie existieren, und die Formel liefert für Wasserstoff die richtigen Werte. Die Quantenmechanik leitet sie ab 1926 aus der Theorie ab, ohne Postulate und ohne Bahnen.

Die Einordnung: Das Bohrsche Modell ist ein nützliches Zwischenmodell. Es zeigt, wie man mit Energieniveaus rechnet, und macht Spektrallinien verständlich. Man darf es nur nicht für ein Bild der Wirklichkeit halten.

c) Das Photon wird absorbiert und regt das Atom von n=1n=1 nach n=3n=3 an.

Prüfung aller Möglichkeiten aus dem Grundzustand:

Übergangbenötigte Energie
1→21 \to 210,2 eV10{,}2\,\text{eV}
1→31 \to 312,09 eV12{,}09\,\text{eV}
1→41 \to 412,75 eV12{,}75\,\text{eV}
Ionisation13,6 eV13{,}6\,\text{eV}

Der Wert 12,5 eV12{,}5\,\text{eV} passt zu keinem dieser Übergänge exakt. Er liegt zwischen 1→31 \to 3 und 1→41 \to 4.

Streng genommen wird das Photon also nicht absorbiert und fliegt unverändert weiter.

🔴 Wichtige Einschränkung, ehrlich benannt: Spektrallinien haben eine natürliche Breite, weil angeregte Zustände endlich lange leben (ΔEΔt≥h4π\Delta E \Delta t \ge \frac{h}{4\pi}). Zusätzlich verbreitern (Doppler) und die Linien.

In der Praxis würde ein Photon mit 12,5 eV12{,}5\,\text{eV} also mit geringer Wahrscheinlichkeit doch absorbiert, wenn es in den Flügel der 12,0912{,}09-eV-Linie fällt. Für die Schulrechnung gilt aber: Nur passende Energien werden absorbiert.

Wäre die Energie größer als 13,6 eV13{,}6\,\text{eV}, würde das Photon immer absorbiert und das Atom ionisiert; der Überschuss ginge als kinetische Energie an das freie Elektron. Oberhalb der Ionisierungsgrenze gibt es keine Lücken mehr.

d) Über die Rotverschiebung der Spektrallinien.

Schritt 1: Bekannte Ruhewellenlängen. Jedes Element hat im Labor gemessene, sehr genau bekannte Linienwellenlängen, etwa die H-alpha-Linie bei 656,3 nm656{,}3\,\text{nm}.

Schritt 2: Messung im Galaxienspektrum. Im Licht einer fernen Galaxie findet man dasselbe Muster von Linien, aber als Ganzes zu größeren Wellenlängen verschoben. Das Muster ist unverwechselbar, deshalb ist die Zuordnung eindeutig.

Schritt 3: Dopplerformel. Für weit unter cc gilt

Δλλ0=vc\frac{\Delta\lambda}{\lambda_0} = \frac{v}{c}

Aus der gemessenen Verschiebung folgt also unmittelbar die Radialgeschwindigkeit.

Beispiel: Ist die H-alpha-Linie um 6,6 nm6{,}6\,\text{nm} zu größeren Wellenlängen verschoben, so folgt

v=c⋅6,6656,3≈0,01 c≈3000 kmsv = c \cdot \frac{6{,}6}{656{,}3} \approx 0{,}01 \, c \approx 3000\,\frac{\text{km}}{\text{s}}

Die Galaxie entfernt sich also mit rund 3000 kms3000\,\frac{\text{km}}{\text{s}}.

🔴 Warum das Verfahren so mächtig ist: Es misst eine Geschwindigkeit über Millionen Lichtjahre hinweg, allein aus der Lage von Linien. Voraussetzung ist nur, dass die Naturgesetze überall dieselben sind, was sich gerade daran zeigt, dass das Linienmuster unverändert bleibt.

Die historische Folge: Edwin Hubble stellte 1929 fest, dass die Fluchtgeschwindigkeit proportional zur Entfernung wächst. Das ließ sich nur so deuten, dass sich der Raum selbst ausdehnt, und wurde zur Grundlage der Urknalltheorie.

Ehrliche Präzisierung: Bei sehr fernen Galaxien beruht die Rotverschiebung nicht auf einer Bewegung durch den Raum, sondern auf der Ausdehnung des Raumes während der Laufzeit des Lichts. Die einfache Dopplerformel gilt dort nur noch näherungsweise.

Dieselbe Methode im Kleinen: Über die Verschiebung von Sternspektren entdeckt man Exoplaneten. Ein umlaufender Planet zieht seinen Stern periodisch hin und her, was sich als winzige, regelmäßige Verschiebung der Linien zeigt (Radialgeschwindigkeitsmethode).

Detaillierte Schritterklärung anzeigen

Hier wird jeder Schritt einzeln erklärt, vor allem, warum er gemacht wird.

Erklärungstiefe

✦ Empfohlen: Standard – Die normale Erklärungstiefe passt zum Einstieg.

  1. 1

    Gegeben und Gesucht: Vorzeichen, Modellkritik, ein Photon und die Rotverschiebung

    c) gibt ein Photon mit 12,5 eV12{,}5\,\text{eV}, das auf Wasserstoff im Grundzustand trifft; gesucht ist, was geschieht. a), b) und d) fragen nach dem Vorzeichen der Niveaus, nach der Kritik am Bohrschen Modell und nach der Bestimmung von Fluchtgeschwindigkeiten.

  2. 2

    Die Niveauformel und die erlaubten Übergänge aus dem Grundzustand

    Mit En=−13,6 eVn2E_n = -\frac{13{,}6\,\text{eV}}{n^2} ergeben sich aus n=1n = 1 die Übergänge 1→21 \to 2 (10,2 eV10{,}2\,\text{eV}), 1→31 \to 3 (12,09 eV12{,}09\,\text{eV}), 1→41 \to 4 (12,75 eV12{,}75\,\text{eV}) und die Ionisation (13,6 eV13{,}6\,\text{eV}). Absorbiert wird nur ein Photon, dessen Energie genau zu einem dieser Werte passt.

  3. 3

    c) Passt 12,5 eV zu einem Übergang?

    Den gegebenen Wert mit allen erlaubten Übergängen vergleichen.

    12,09 eV<12,5 eV<12,75 eV12{,}09\,\text{eV} < 12{,}5\,\text{eV} < 12{,}75\,\text{eV}

    Zwischenergebnis

    Keine Absorption, das Photon fliegt unverändert weiter.

  4. 4

    a) und b) Der Wert null und die Grenzen des Bohrschen Modells

    a) E=0E = 0 bedeutet: Das Elektron ist gerade eben frei, aber ohne kinetische Energie; alles darüber ist ein freies Elektron mit Bewegungsenergie. b) Das Bohrsche Modell sagt die Wasserstoffwellenlängen exakt voraus, ist aber falsch: Es widerspricht der Unbestimmtheitsrelation, seine Postulate sind unbegründet, es gilt nur für ein einziges Elektron, und es erklärt weder Intensitäten noch Aufspaltungen.

  5. 5

    d) Ergebnis deuten: Fluchtgeschwindigkeiten aus Sternspektren

    Über die Rotverschiebung. 1. Ruhewellenlängen sind im Labor sehr genau bekannt (H-alpha bei 656,3 nm656{,}3\,\text{nm}). 2. Im Galaxienspektrum findet man dasselbe unverwechselbare Muster, als Ganzes verschoben. 3. Für v≪cv \ll c gilt Δλλ0=vc\frac{\Delta\lambda}{\lambda_0} = \frac{v}{c}, eine Verschiebung um 6,6 nm6{,}6\,\text{nm} ergibt rund 3000 kms3000\,\frac{\text{km}}{\text{s}}.

Zusammenfassung

Nach Rutherfords Streuversuch war klar, dass Atome einen winzigen Kern besitzen und überwiegend leer sind, doch klassisch hätten die Elektronen sofort hineinstürzen müssen. Bohr löste das 1913 durch zwei Postulate über diskrete, strahlungsfreie Bahnen und erklärte damit das Wasserstoffspektrum exakt, obwohl seine Begründung unbegründet blieb und dem Bahnbild die Unbestimmtheitsrelation entgegensteht. Was blieb, sind die Energieniveaus: Elektronen können nur bestimmte Energiewerte annehmen, weshalb bei Übergängen nur bestimmte Photonenenergien auftreten und scharfe Linienspektren statt durchgehender Spektren entstehen. Da Emission und Absorption dieselben Energiedifferenzen betreffen, liegen ihre Linien bei denselben , und weil jedes Element ein eigenes Muster besitzt, lässt sich daraus die Zusammensetzung ferner Sterne bestimmen. Auf diesem Weg wurde Helium 1868 im Sonnenspektrum entdeckt, und die Verschiebung bekannter Linien verriet später die Ausdehnung des Universums.