Der Photoeffekt und die Lichtquanten

a) $h = 4{,}136 \cdot 10^{-15}\,\text{eVs}$.

a) $E = hf = 4{,}136 \cdot 10^{-15}\,\text{eVs} \cdot 6{,}0 \cdot 10^{14}\,\text{Hz} \approx 2{,}5\,\text{eV}$

b) $f_g = \frac{W_A}{h} = \frac{2{,}3\,\text{eV}}{4{,}136 \cdot 10^{-15}\,\text{eVs}} \approx 5{,}6 \cdot 10^{14}\,\text{Hz}$

c) Es treten keine Elektronen aus, gleich wie hell das Licht ist.

Jedes Elektron nimmt genau ein Photon auf. Reicht dessen Energie nicht für die Austrittsarbeit, geschieht nichts. Helleres Licht liefert nur mehr Photonen, aber keine energiereicheren.

a) $E = \frac{1240\,\text{eV}\cdot\text{nm}}{\lambda}$.

a) Photonenenergie:

Da $2{,}25\,\text{eV} > 1{,}9\,\text{eV}$, werden Elektronen ausgelöst.

b) Weil ihre Austrittsarbeit klein ist (Cäsium $1{,}9\,\text{eV}$, Kalium $2{,}3\,\text{eV}$) und die Grenzfrequenz damit im sichtbaren Bereich liegt.

Bei Metallen mit größerer Austrittsarbeit (Zink $4{,}3\,\text{eV}$, Platin $5{,}6\,\text{eV}$) läge die Grenze im UV, und die Zelle wäre für sichtbares Licht unbrauchbar.

Der Grund für die kleine Austrittsarbeit: Alkalimetalle haben nur ein einzelnes, schwach gebundenes Außenelektron. Genau deshalb sind sie auch chemisch so reaktionsfreudig.

Der Preis dafür: Solche Kathoden sind empfindlich gegen Luft und Feuchtigkeit und müssen im Vakuum arbeiten.

c) Weil die Helligkeit die Anzahl der Photonen bestimmt, nicht ihre Energie.

Doppelte Helligkeit bedeutet doppelt so viele Photonen je Sekunde, also doppelt so viele ausgelöste Elektronen und damit doppelten Photostrom. Jedes einzelne Photon hat aber unverändert die Energie $hf$, also bleibt

unverändert.

🔴 Genau hier vertauscht die Wellentheorie die Rollen: Nach ihr müsste die Helligkeit die Energie steuern. Gemessen wird das Gegenteil.

Nachweis im Versuch: Erhöht man die Helligkeit, steigt der Photostrom, die Grenzspannung $U_0$ bleibt aber exakt gleich. Ändert man dagegen die Frequenz, verschiebt sich $U_0$, während der Strom sich kaum ändert.

d) Weil es allein auf die Frequenz ankommt, nicht auf die Helligkeit.

UV-Lampe: Photonen mit rund $5$ bis $6\,\text{eV}$, also mehr als die Austrittsarbeit von Zink ($4{,}3\,\text{eV}$). Elektronen treten aus, das negativ geladene Blech verliert Ladung und entlädt sich sofort.

Glühlampe: Selbst eine sehr helle Glühlampe liefert überwiegend sichtbares Licht und Infrarot, also Photonen mit höchstens rund $3\,\text{eV}$. Jedes einzelne ist zu schwach, und ihre große Zahl ändert daran nichts.

Die überzeugendste Ergänzung des Versuchs: Schiebt man eine Glasscheibe zwischen UV-Lampe und Blech, hört die Entladung sofort auf, obwohl das Blech weiterhin hell beleuchtet wird. Glas absorbiert UV, lässt sichtbares Licht aber durch.

Damit ist ausgeschlossen, dass es an der Helligkeit oder an Wärme liegt: Es liegt allein an der Frequenz.

🔴 Dieselbe Physik im Alltag: Man bekommt hinter Fensterglas keinen Sonnenbrand, obwohl es im Zimmer hell ist. Und man kann sich an einem diesigen Sommertag stärker verbrennen als an einem strahlenden Wintertag, weil der UV-Anteil und nicht die Helligkeit entscheidet.

b) Trage $U_0$ über $f$ auf.

a) 1. Grenzfrequenz. Unterhalb von $f_g$ treten keine Elektronen aus, gleich wie hell das Licht ist.

Widerspruch: Nach der Wellentheorie steckt die Energie in der Amplitude. Bei genügender Helligkeit müsste jede Farbe wirken.

2. Kein Zeitverzug. Elektronen treten in unter $10^{-9}\,\text{s}$ aus, auch bei schwächstem Licht.

Widerspruch: Die Wellentheorie sagt bei schwachem Licht Wartezeiten von Stunden voraus, bis genug Energie angesammelt ist. Der Unterschied beträgt rund dreizehn Zehnerpotenzen.

3. $E_{\text{kin,max}}$ hängt nur von $f$ ab. Hundertfache Helligkeit ändert sie nicht.

Widerspruch: Nach der Wellentheorie müsste helleres Licht schnellere Elektronen liefern.

4. Die Anzahl hängt von der Helligkeit ab, nicht von der Frequenz.

Widerspruch: Die Wellentheorie kann nicht erklären, warum gerade die Anzahl und nicht die Energie an der Helligkeit hängt.

🔴 Der Kern: Wellentheorie und Beobachtung vertauschen die Rollen von Frequenz und Helligkeit vollständig. Das ist kein Messfehler, sondern verlangt eine neue Vorstellung.

b) Verfahren (Gegenfeldmethode):

Schritt 1: Bestrahle die Photokathode mit einfarbigem Licht bekannter Frequenz $f$ (verschiedene Farbfilter oder Spektrallampen).

Schritt 2: Lege eine Gegenspannung an, die die ausgelösten Elektronen abbremst, und erhöhe sie, bis der Photostrom gerade auf null sinkt. Diese Grenzspannung $U_0$ wird notiert.

Schritt 3: Wiederhole das für mehrere Frequenzen.

Schritt 4: Trage $U_0$ über $f$ auf. Aus

folgt eine Gerade.

Schritt 5: Auswertung.

• Steigung $m = \frac{h}{e}$, also $h = m \cdot e$.
• Achsenabschnitt $-\frac{W_A}{e}$ liefert die Austrittsarbeit.
• Nullstelle ist die Grenzfrequenz $f_g$.

Warum die Auswertung über die Steigung besser ist als eine Einzelmessung: Zufällige Messfehler mitteln sich bei der Geradenanpassung heraus, und systematische Fehler bei $W_A$ (etwa durch Oberflächenverunreinigung) beeinflussen nur den Achsenabschnitt, nicht die Steigung.

Genau so bestimmte Millikan 1916 $h$ mit hoher Genauigkeit, obwohl er die Lichtquantenhypothese für falsch hielt und sie eigentlich widerlegen wollte.

c) Weil $h$ und $e$ Naturkonstanten sind, die nichts mit dem Material zu tun haben:

Das Material geht nur über die Austrittsarbeit $W_A$ ein, und die steht im Achsenabschnitt:

Misst man verschiedene Metalle, erhält man deshalb parallele Geraden, die gegeneinander verschoben sind.

🔴 Was daraus folgt, ist der eigentliche Gehalt des Versuchs:

Wäre die Erscheinung eine Materialeigenschaft, gäbe es keinen Grund für gleiche Steigungen. Dass sie für Cäsium, Zink und Platin identisch ist, zeigt: $h$ ist eine Eigenschaft des Lichts, nicht des Metalls.

Damit ist die Lichtquantenhypothese nicht nur eine mögliche Erklärung, sondern quantitativ bestätigt. Und $h$ erweist sich als fundamentale Naturkonstante, die später überall wieder auftaucht: bei Materiewellen, bei Atommodellen, in der Unschärferelation.

Seit 2019 ist $h$ sogar exakt festgelegt und dient zur Definition des Kilogramms.

d) Weil Photonen unterhalb einer Mindestenergie gar nichts beitragen und der Überschuss bei energiereichen Photonen verloren geht.

In einer Solarzelle muss ein Photon ein Elektron über die Bandlücke des Halbleiters heben. Daraus folgen zwei prinzipielle Verluste:

1. Zu schwache Photonen bleiben ungenutzt. Bei Silizium beträgt die Bandlücke rund $1{,}1\,\text{eV}$, entsprechend $\lambda \approx 1100\,\text{nm}$. Alles langwelligere Licht (ein erheblicher Teil des Infrarot im Sonnenspektrum) trägt nichts bei und erwärmt die Zelle nur.

2. Zu starke Photonen verschenken ihren Überschuss. Ein blaues Photon mit $3\,\text{eV}$ hebt ebenfalls nur ein Elektron über die Bandlücke. Die überschüssigen $1{,}9\,\text{eV}$ werden als Wärme abgegeben, nicht als Strom.

Ein Zielkonflikt ohne Ausweg:

• Kleine Bandlücke bedeutet, dass viele Photonen genutzt werden, aber jedes wenig Spannung liefert.
• Große Bandlücke bedeutet mehr Spannung je Photon, aber ein großer Teil des Spektrums bleibt ungenutzt.

Daraus folgt für eine einfache Silizium-Zelle eine theoretische Obergrenze von rund 33 Prozent (Shockley-Queisser-Grenze). Handelsübliche Zellen erreichen $20$ bis $23\,\%$.

🔴 Das ist keine technische, sondern eine quantenphysikalische Grenze. Bessere Fertigung kann sie nicht überwinden.

Wie man sie dennoch übertrifft: Mit Mehrfachsolarzellen, die mehrere Halbleiterschichten mit verschiedenen Bandlücken übereinander stapeln. Jede Schicht nutzt einen anderen Teil des Spektrums. Damit erreicht man im Labor über $47\,\%$, allerdings zu erheblichen Kosten, weshalb solche Zellen vor allem in der Raumfahrt eingesetzt werden.