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Magnetismus / Elektromagnetismus

Die Lorentzkraft und Kreisbahnen im Magnetfeld

Warum bewegte Ladungen im Magnetfeld auf Kreisbahnen laufen und wieso diese Kraft niemals Arbeit verrichtet.

Benötigte Grundlagen

Dieses Vorwissen brauchst du für das Kapitel. Schau kurz nach, wenn dir etwas davon nicht mehr präsent ist, sonst leg direkt los.

Einführung

Das Polarlicht entsteht, weil geladene Teilchen der Sonne vom Erdmagnetfeld eingefangen werden. Sie kommen nicht geradewegs herein, sondern werden auf Schraubenbahnen zu den Polen geleitet und treffen erst dort auf die Atmosphäre.

Ohne diese Ablenkung gäbe es kein Leben an Land: Der Sonnenwind würde die Atmosphäre abtragen, wie er es beim Mars getan hat, der kein nennenswertes besitzt.

Verantwortlich ist eine mit einer sehr eigenwilligen Eigenschaft. Sie steht immer senkrecht auf der Bewegungsrichtung und kann deshalb niemals die ändern, sondern nur die Richtung.

Das kannst du nach diesem Kapitel

  • die Lorentzkraft auf eine bewegte berechnen.

  • ihre Richtung mit der Drei-Finger-Regel bestimmen.

  • begründen, warum sie keine verrichtet.

  • die und ihren Radius herleiten.

  • die Zyklotronfrequenz angeben und deuten.

  • Anwendungen wie Massenspektrometer und Polarlicht erklären.

Von der Leiterkraft zur Teilchenkraft

Auf einen stromdurchflossenen Leiter im wirkt F=BIℓF = B I \ell. Ein Strom ist aber nichts anderes als bewegte , also muss die in Wahrheit an den einzelnen Ladungsträgern angreifen.

Rechnet man das um (die Ladung qq durchläuft die Leiterlänge ℓ\ell in der Zeit tt, also I=qtI = \frac{q}{t} und ℓ=v⋅t\ell = v \cdot t), so folgt

F=B⋅qt⋅v t=B q vF = B \cdot \frac{q}{t} \cdot v \, t = B \, q \, v FL=q⋅v⋅B⋅sin⁡α\boxed{F_L = q \cdot v \cdot B \cdot \sin\alpha}

Diese Kraft heißt Lorentzkraft. Für α=90°\alpha = 90° (Bewegung senkrecht zum Feld) ist sie maximal, für α=0\alpha = 0 (Bewegung längs des Feldes) null.

🔴 Nur bewegte Ladungen erfahren eine Lorentzkraft. Eine ruhende Ladung spürt vom Magnetfeld nichts, egal wie stark es ist. Das ist ein grundlegender Unterschied zum .

Richtung: die Drei-Finger-Regel

Wie beim Leiter steht die senkrecht auf v⃗\vec{v} und auf B⃗\vec{B}.

Rechte Hand, technische Stromrichtung (also die Bewegungsrichtung positiver ):

  • Daumen: v⃗\vec{v}
  • Zeigefinger: B⃗\vec{B}
  • Mittelfinger: F⃗\vec{F}

🔴 Für Elektronen ist die Kraft entgegengesetzt, weil sie negativ geladen sind. Entweder man dreht das Ergebnis um oder man nimmt die linke Hand.

Warum diese Kraft keine Arbeit verrichtet

Die Lorentzkraft steht immer senkrecht auf der Bewegungsrichtung. Für die gilt aber

W=F⋅s⋅cos⁡αW = F \cdot s \cdot \cos\alpha

und bei α=90°\alpha = 90° ist cos⁡90°=0\cos 90° = 0.

Die Lorentzkraft verrichtet niemals Arbeit.

Daraus folgt unmittelbar:

  • Die kinetische eines Teilchens bleibt konstant.
  • Der Betrag der ändert sich nie.
  • Nur die Richtung ändert sich.

🔴 Ein kann Teilchen also lenken, aber nicht beschleunigen im Sinne von schneller machen. Genau deshalb braucht jeder Teilchenbeschleuniger für die Energiezufuhr und Magnetfelder nur für die Bahnführung.

Die Kreisbahn

Eine , die konstant im Betrag ist und stets senkrecht zur Bewegung steht, ist genau das, was eine gleichförmige verlangt. Also gilt: Ein Teilchen, das senkrecht in ein homogenes eintritt, läuft auf einem Kreis.

Setze Lorentzkraft gleich :

q v B=mv2rq \, v \, B = \frac{m v^2}{r} r=m vq B\boxed{r = \frac{m \, v}{q \, B}}

Der Radius wächst also mit und und sinkt mit und .

Senkrechte Kraft heißt KreisbahnB aus der Ebene heraus++++r = m · v / (q · B)schneller heißt weiter außenv: immer gleich großF: zum MittelpunktDie Lorentzkraft verrichtet keine Arbeit

Der Umlaufsinn ist hier nicht gewählt, sondern gerechnet: Bei einer positiven und einem Feld aus der Ebene heraus muss q v⃗×B⃗q\,\vec v \times \vec B zum Mittelpunkt zeigen, daraus folgt der Uhrzeigersinn. Ein Elektron liefe genau andersherum.

Umlaufdauer und Zyklotronfrequenz

Aus v=2πrTv = \frac{2\pi r}{T} und r=mvqBr = \frac{mv}{qB} folgt

T=2πmqB,f=qB2πmT = \frac{2\pi m}{q B}, \qquad f = \frac{q B}{2\pi m}

🔴 Bemerkenswert: Die fällt heraus. Ein schnelles Teilchen läuft auf einem größeren Kreis, braucht dafür aber genauso lange wie ein langsames auf dem kleinen. Die Umlaufdauer hängt nur von qm\frac{q}{m} und BB ab.

Genau darauf beruht das Zyklotron: Man kann Teilchen mit einer Wechselspannung fester immer wieder beschleunigen, obwohl ihre Bahn dabei immer größer wird.

Schraubenbahnen

Tritt ein Teilchen schräg ins Feld ein, zerlegt man die :

  • Der Anteil senkrecht zum Feld erzeugt die .
  • Der Anteil längs des Feldes bleibt unbeeinflusst (dort ist sin⁡α=0\sin\alpha = 0).

Beides zusammen ergibt eine Schraubenlinie. Genau so bewegen sich die Teilchen des Sonnenwindes entlang der Erdfeldlinien zu den Polen, wo sie in der Atmosphäre das Polarlicht auslösen.

Das Massenspektrometer

man Ionen erst durch die UU und lenkt sie dann im ab, folgt aus qU=12mv2qU = \frac{1}{2}mv^2 und r=mvqBr = \frac{mv}{qB}

r=1B2Umqr = \frac{1}{B}\sqrt{\frac{2 U m}{q}}

🔴 Der Radius hängt jetzt von mq\frac{m}{q} ab. Anders als im rein , wo sich alles herauskürzte, lassen sich Teilchen hier nach trennen.

Damit wurden die entdeckt, damit bestimmt man heute Molekülmassen in der Chemie, und damit weist man Dopingmittel und Umweltgifte nach.

Der Hall-Effekt

Fließt Strom durch ein Plättchen im , werden die Ladungsträger seitlich abgelenkt. Sie sammeln sich an einer Kante, bis das entstehende die Lorentzkraft ausgleicht. Zwischen den Kanten lässt sich eine Hall-Spannung messen, die zu BB proportional ist.

Hall-Sensoren sind deshalb die üblichen Magnetfeldmesser und stecken in Drehzahlgebern, Positionssensoren und in jedem Smartphone-Kompass.

Kreisbahn eines Elektrons

Ein Elektron wird durch U=800 VU = 800\,\text{V} und tritt dann senkrecht in ein mit B=1,2 mTB = 1{,}2\,\text{mT} ein.

a) Wie schnell ist es?

b) Wie groß ist der Bahnradius?

c) Wie groß sind Umlaufdauer und ?

d) Was ändert sich, wenn man die Beschleunigungsspannung vervierfacht?

  1. 1

    a) v=2eUm=2⋅1,6⋅10−19⋅8009,11⋅10−31 msv = \sqrt{\frac{2eU}{m}} = \sqrt{\frac{2 \cdot 1{,}6 \cdot 10^{-19} \cdot 800}{9{,}11 \cdot 10^{-31}}}\,\frac{\text{m}}{\text{s}}

    v=2,81⋅1014 ms≈1,68⋅107 msv = \sqrt{2{,}81 \cdot 10^{14}}\,\frac{\text{m}}{\text{s}} \approx 1{,}68 \cdot 10^{7}\,\frac{\text{m}}{\text{s}}
  2. 2

    b) r=mveB=9,11⋅10−31 kg⋅1,68⋅107 ms1,6⋅10−19 C⋅1,2⋅10−3 Tr = \frac{m v}{e B} = \frac{9{,}11 \cdot 10^{-31}\,\text{kg} \cdot 1{,}68 \cdot 10^{7}\,\frac{\text{m}}{\text{s}}}{1{,}6 \cdot 10^{-19}\,\text{C} \cdot 1{,}2 \cdot 10^{-3}\,\text{T}}

    r=1,53⋅10−231,92⋅10−22 m≈0,080 m=8,0 cmr = \frac{1{,}53 \cdot 10^{-23}}{1{,}92 \cdot 10^{-22}}\,\text{m} \approx 0{,}080\,\text{m} = 8{,}0\,\text{cm}

    Ein gut sichtbarer Kreis, wie man ihn im Fadenstrahlrohr im Unterricht beobachten kann.

  3. 3

    c) T=2πmeB=2π⋅9,11⋅10−311,6⋅10−19⋅1,2⋅10−3 s≈2,98⋅10−8 sT = \frac{2\pi m}{e B} = \frac{2\pi \cdot 9{,}11 \cdot 10^{-31}}{1{,}6 \cdot 10^{-19} \cdot 1{,}2 \cdot 10^{-3}}\,\text{s} \approx 2{,}98 \cdot 10^{-8}\,\text{s}

    f=1T≈3,4⋅107 Hz=34 MHzf = \frac{1}{T} \approx 3{,}4 \cdot 10^{7}\,\text{Hz} = 34\,\text{MHz}

    Kontrolle über die Bahn: T=2πrv=2π⋅0,0801,68⋅107 s≈3,0⋅10−8 sT = \frac{2\pi r}{v} = \frac{2\pi \cdot 0{,}080}{1{,}68 \cdot 10^{7}}\,\text{s} \approx 3{,}0 \cdot 10^{-8}\,\text{s} ✓

  4. 4

    d) Bei vierfacher :

    • : v∼Uv \sim \sqrt{U}, also verdoppelt sie sich auf 3,36⋅107 ms3{,}36 \cdot 10^{7}\,\frac{\text{m}}{\text{s}}.
    • Radius: r∼vr \sim v, also verdoppelt er sich auf 16 cm16\,\text{cm}.
    • Umlaufdauer: T=2πmeBT = \frac{2\pi m}{eB} enthält vv gar nicht, sie bleibt also unverändert bei 29,8 ns29{,}8\,\text{ns}.

    🔴 Das ist der bemerkenswerteste Punkt des Kapitels. Das schnellere Elektron läuft auf einem doppelt so großen Kreis, hat also den doppelten Weg, ist aber auch doppelt so schnell. Beides gleicht sich exakt aus.

    Praktische Folge: Genau darauf beruht das Zyklotron. Man beschleunigt Teilchen bei jedem Halbkreis erneut durch eine Wechselspannung. Ihre Bahn wird immer größer, aber weil die Umlaufdauer gleich bleibt, kann die Wechselspannung mit fester Frequenz arbeiten. Ohne diese Eigenschaft müsste man die Frequenz ständig nachführen, und die Anlage wäre erheblich komplizierter.

    (Bei sehr hohen gilt das nicht mehr, weil die relativistische Massenzunahme die Umlaufdauer verlängert. Deshalb baut man dort Synchrotrons, die Frequenz und Feld nachführen.)

a) 1,68⋅107 ms1{,}68 \cdot 10^{7}\,\frac{\text{m}}{\text{s}} b) 8,0 cm8{,}0\,\text{cm} c) T≈30 nsT \approx 30\,\text{ns}, f≈34 MHzf \approx 34\,\text{MHz} d) vv und rr verdoppeln sich, TT bleibt gleich.

Warum die Lorentzkraft keine Arbeit verrichtet

Ein Schüler fragt: „Wenn eine auf ein Teilchen wirkt und es sich dabei bewegt, muss doch verrichtet werden. Warum wird das Teilchen im nicht schneller?"

Beantworte die Frage und leite daraus die her.

  1. 1

    Der entscheidende Punkt: Arbeit verlangt eine Kraftkomponente längs des Weges.

    W=F⋅s⋅cos⁡αW = F \cdot s \cdot \cos\alpha

    Dabei ist α\alpha der Winkel zwischen Kraft und Weg. Nur wenn die Kraft eine Komponente in Bewegungsrichtung hat, wird Arbeit verrichtet.

    Die Lorentzkraft steht aber definitionsgemäß senkrecht auf v⃗\vec{v}, also auf der Bewegungsrichtung. Damit ist α=90°\alpha = 90° und

    W=F⋅s⋅cos⁡90°=0W = F \cdot s \cdot \cos 90° = 0

    Die Kraft wirkt zwar, aber sie wirkt in eine Richtung, in die sich das Teilchen gerade nicht bewegt.

  2. 2

    Ein Bild dazu. Beim Hammerwurf hält das Stahlseil die Kugel auf der Kreisbahn. Es zieht immer nach innen, während sich die Kugel entlang des Kreises bewegt, also senkrecht dazu.

    Das Seil macht die Kugel deshalb nicht schneller; es zwingt sie nur auf die Kreisbahn. Schneller wird sie allein dadurch, dass der Werfer sich mitdreht und zusätzlich in Bewegungsrichtung zieht.

    Genau diese zusätzliche Komponente fehlt der Lorentzkraft vollständig.

  3. 3

    Was daraus folgt.

    Ohne Arbeit ändert sich die kinetische nicht:

    Ekin=12mv2=konstant⟹∣v∣=konstantE_{\text{kin}} = \frac{1}{2} m v^2 = \text{konstant} \quad \Longrightarrow \quad |v| = \text{konstant}

    Der Betrag der bleibt also unverändert; nur ihre Richtung ändert sich fortlaufend.

    🔴 Ein Magnetfeld kann Teilchen deshalb lenken, aber nicht schneller machen. In jedem Teilchenbeschleuniger übernehmen die Energiezufuhr, Magnetfelder nur die Bahnführung. Wer glaubt, ein starkes Magnetfeld könne Teilchen beschleunigen, kann die Bauweise solcher Anlagen nicht verstehen.

  4. 4

    Die Kreisbahn folgt jetzt zwingend.

    Wir haben zwei Feststellungen:

    1. Der Betrag der Geschwindigkeit ist konstant.
    2. Die Kraft steht immer senkrecht auf der Bewegungsrichtung und hat wegen F=qvBF = qvB bei konstantem vv und BB auch einen konstanten Betrag.

    Genau das ist die Definition einer gleichförmigen Kreisbewegung: konstante Bahngeschwindigkeit und eine konstante, stets zum Mittelpunkt gerichtete Kraft.

    Radius bestimmen. Die Lorentzkraft übernimmt die Rolle der :

    qvB=mv2rq v B = \frac{m v^2}{r}

    Ein vv kürzen und nach rr auflösen:

    r=mvqBr = \frac{m v}{q B}

    Plausibilitätsprüfung der Formel:

    • Größere bedeutet mehr Trägheit, also größerer Kreis. ✓
    • Größere Geschwindigkeit bedeutet größerer Kreis. ✓
    • Stärkeres Feld oder mehr bedeutet mehr Kraft, also engerer Kreis. ✓

    Alle vier Abhängigkeiten entsprechen der Anschauung, was ein gutes Zeichen für eine richtig hergeleitete Formel ist.

Arbeit verlangt eine Kraftkomponente längs des Weges; die Lorentzkraft steht senkrecht dazu, also ist W=0W = 0. Der Betrag von vv bleibt konstant, die Richtung ändert sich stetig, und mit qvB=mv2rqvB = \frac{mv^2}{r} folgt r=mvqBr = \frac{mv}{qB}.

Typischer Fehler

„Ein starkes geladene Teilchen auf hohe ."

Ein Magnetfeld kann Teilchen lenken, aber niemals schneller machen.

Die Begründung in einer Zeile: Die Lorentzkraft steht immer senkrecht auf der Bewegungsrichtung, und wegen W=Fscos⁡90°=0W = F s \cos 90° = 0 verrichtet sie keine . Ohne Arbeit ändert sich die kinetische nicht, also bleibt der Betrag der Geschwindigkeit konstant.

Woher der Irrtum kommt: Aus der Alltagsbedeutung von „beschleunigen" als „schneller werden". Physikalisch bedeutet Beschleunigung aber jede Änderung des Geschwindigkeitsvektors, also auch eine reine Richtungsänderung. In diesem Sinn beschleunigt das Magnetfeld sehr wohl, nur eben ohne Energiezufuhr.

Der Bauplan jedes Teilchenbeschleunigers bestätigt das. Am CERN wechseln sich zwei Arten von Bauteilen ab:

  • Hohlraumresonatoren mit elektrischen Wechselfeldern liefern die Energie.
  • Supraleitende Magnete (rund 8 T8\,\text{T}) halten die Teilchen auf der Bahn.

Gäbe es Beschleunigung durch Magnetfelder, wäre die halbe Anlage überflüssig.

Zwei weitere Belege aus dem Alltag der Physik:

  • Im Fadenstrahlrohr läuft der Elektronenstrahl auf einem Kreis mit sichtbar konstanter Helligkeit. Würden die Elektronen schneller, änderte sich der Radius fortlaufend und es entstünde eine Spirale.
  • Beim Polarlicht treffen die Teilchen mit der Energie auf, die sie von der Sonne mitgebracht haben. Das Erdmagnetfeld hat sie nur umgelenkt.

Die richtige Kurzfassung: liefern Energie, magnetische Felder liefern Richtung.

Übung 1

leicht

a) Eine q=3 nCq = 3\,\text{nC} bewegt sich mit v=2⋅105 msv = 2 \cdot 10^{5}\,\frac{\text{m}}{\text{s}} senkrecht zu einem Feld mit B=0,5 TB = 0{,}5\,\text{T}. Wie groß ist die Lorentzkraft?

b) Wie groß ist sie, wenn sich die Ladung parallel zum Feld bewegt?

c) Warum verrichtet die Lorentzkraft keine ?

Tipp anzeigen

b) Welchen Wert hat sin⁡0°\sin 0°?

Lösung anzeigen

a) FL=qvB=3⋅10−9 C⋅2⋅105 ms⋅0,5 T=3⋅10−4 NF_L = q v B = 3 \cdot 10^{-9}\,\text{C} \cdot 2 \cdot 10^{5}\,\frac{\text{m}}{\text{s}} \cdot 0{,}5\,\text{T} = 3 \cdot 10^{-4}\,\text{N}

b) Null. Bei paralleler Bewegung ist α=0\alpha = 0 und damit sin⁡α=0\sin\alpha = 0.

c) Weil sie immer senkrecht auf der Bewegungsrichtung steht. Für die Arbeit gilt W=Fscos⁡αW = F s \cos\alpha, und mit α=90°\alpha = 90° ist cos⁡90°=0\cos 90° = 0.

Folge: Die kinetische bleibt konstant, nur die Richtung der ändert sich.

Detaillierte Schritterklärung anzeigen

Hier wird jeder Schritt einzeln erklärt, vor allem, warum er gemacht wird.

Erklärungstiefe

✦ Empfohlen: Standard – Die normale Erklärungstiefe passt zum Einstieg.

  1. 1

    Gegeben und Gesucht bei der bewegten Ladung

    Gegeben: q=3 nCq = 3\,\text{nC}, v=2⋅105 msv = 2 \cdot 10^{5}\,\frac{\text{m}}{\text{s}} senkrecht zu B=0,5 TB = 0{,}5\,\text{T}. Gesucht: a) die Lorentzkraft, b) dieselbe bei paralleler Bewegung, c) eine Begründung zur Arbeit.

  2. 2

    Die Lorentzkraft und ihre Richtung

    Für eine Ladung, die sich senkrecht zum Feld bewegt, gilt FL=qvBF_L = q v B. Allgemein kommt der Faktor sin⁡α\sin\alpha hinzu, und die steht immer senkrecht auf Geschwindigkeit und Feld.

  3. 3

    a) und b) Kraft bei senkrechter und paralleler Bewegung

    a) Produkt aus Ladung, Geschwindigkeit und . b) Bei paralleler Bewegung ist α=0\alpha = 0 und damit sin⁡α=0\sin\alpha = 0.

    FL=3⋅10−9 C⋅2⋅105 ms⋅0,5 T=3⋅10−4 NF_L = 3 \cdot 10^{-9}\,\text{C} \cdot 2 \cdot 10^{5}\,\frac{\text{m}}{\text{s}} \cdot 0{,}5\,\text{T} = 3 \cdot 10^{-4}\,\text{N}

    Zwischenergebnis

    FL=3⋅10−4 NF_L = 3 \cdot 10^{-4}\,\text{N} senkrecht, 0 N0\,\text{N} parallel.

  4. 4

    c) Ergebnis deuten: eine Kraft, die keine Arbeit verrichtet

    Weil sie immer senkrecht auf der Bewegungsrichtung steht. Für die Arbeit gilt W=Fscos⁡αW = F s \cos\alpha, und mit α=90°\alpha = 90° ist cos⁡90°=0\cos 90° = 0. Folge: Die kinetische Energie bleibt konstant, nur die Richtung der Geschwindigkeit ändert sich.

Übung 2

mittel

a) Ein Proton (m=1,67⋅10−27 kgm = 1{,}67 \cdot 10^{-27}\,\text{kg}) fliegt mit v=5⋅106 msv = 5 \cdot 10^{6}\,\frac{\text{m}}{\text{s}} senkrecht in ein Feld mit B=0,8 TB = 0{,}8\,\text{T}. Wie groß ist der Bahnradius?

b) Wie groß ist die Umlaufdauer?

c) Warum entsteht beim schrägen Eintritt eine Schraubenbahn?

d) Wieso schützt uns das Erdmagnetfeld vor dem Sonnenwind?

Tipp anzeigen

c) Zerlege v⃗\vec{v} in zwei Anteile.

Lösung anzeigen

a) r=mvqB=1,67⋅10−27 kg⋅5⋅106 ms1,6⋅10−19 C⋅0,8 Tr = \frac{mv}{qB} = \frac{1{,}67 \cdot 10^{-27}\,\text{kg} \cdot 5 \cdot 10^{6}\,\frac{\text{m}}{\text{s}}}{1{,}6 \cdot 10^{-19}\,\text{C} \cdot 0{,}8\,\text{T}}

r=8,35⋅10−211,28⋅10−19 m≈0,065 m=6,5 cmr = \frac{8{,}35 \cdot 10^{-21}}{1{,}28 \cdot 10^{-19}}\,\text{m} \approx 0{,}065\,\text{m} = 6{,}5\,\text{cm}

b) T=2πmqB=2π⋅1,67⋅10−271,28⋅10−19 s≈8,2⋅10−8 sT = \frac{2\pi m}{qB} = \frac{2\pi \cdot 1{,}67 \cdot 10^{-27}}{1{,}28 \cdot 10^{-19}}\,\text{s} \approx 8{,}2 \cdot 10^{-8}\,\text{s}

c) Weil sich die in zwei Anteile zerlegen lässt, die sich unabhängig voneinander entwickeln:

  • Der Anteil senkrecht zum Feld erfährt die volle Lorentzkraft und erzeugt eine .
  • Der Anteil längs des Feldes erfährt wegen sin⁡0°=0\sin 0° = 0 keine und bleibt unverändert (gleichförmige Bewegung).

Überlagert man eine Kreisbewegung mit einer gleichförmigen Bewegung senkrecht zur Kreisebene, entsteht eine Schraubenlinie.

Der Radius folgt dabei aus dem senkrechten Anteil, die Ganghöhe aus dem parallelen Anteil mal der Umlaufdauer.

d) Weil der Sonnenwind aus geladenen Teilchen besteht (überwiegend Protonen und Elektronen), die im Erdmagnetfeld die Lorentzkraft erfahren.

Statt geradewegs auf die Atmosphäre zu treffen, werden sie auf Schraubenbahnen um die Feldlinien gezwungen und zu den Polen geleitet, wo die Feldlinien in die Erde eintreten. Nur dort treffen sie auf die Atmosphäre, regen Sauerstoff- und Stickstoffatome an und erzeugen das Polarlicht.

🔴 Wie wichtig das ist, zeigt der Vergleich mit dem Mars. Er besitzt kein nennenswertes globales . Der Sonnenwind trifft dort ungebremst auf die Hochatmosphäre und hat sie über Milliarden Jahre weitgehend abgetragen. Der heutige Atmosphärendruck beträgt weniger als ein Prozent des irdischen.

Das Erdmagnetfeld ist damit eine Voraussetzung für Leben an Land, obwohl es mit rund 50 µT50\,\text{µT} sehr schwach ist. Entscheidend ist nicht seine Stärke, sondern dass es den gesamten Planeten umgibt.

Praktische Folge heute: Bei starken Sonnenstürmen kann das Feld die Teilchen nicht vollständig fernhalten. Dann sind Satelliten, Stromnetze und Funkverkehr gefährdet, und Polarlichter sind bis in mittlere Breiten sichtbar.

Detaillierte Schritterklärung anzeigen

Hier wird jeder Schritt einzeln erklärt, vor allem, warum er gemacht wird.

Erklärungstiefe

✦ Empfohlen: Standard – Die normale Erklärungstiefe passt zum Einstieg.

  1. 1

    Gegeben und Gesucht beim Proton im Magnetfeld

    Gegeben: m=1,67⋅10−27 kgm = 1{,}67 \cdot 10^{-27}\,\text{kg}, v=5⋅106 msv = 5 \cdot 10^{6}\,\frac{\text{m}}{\text{s}} senkrecht zu B=0,8 TB = 0{,}8\,\text{T}. Gesucht: Bahnradius, Umlaufdauer sowie zwei Erklärungen zu Schraubenbahn und Sonnenwind.

  2. 2

    Die Lorentzkraft als Radialkraft

    Weil die Lorentzkraft stets senkrecht auf der Bewegung steht und konstanten Betrag hat, wirkt sie als einer gleichförmigen Kreisbewegung: qvB=mv2rq v B = \frac{m v^2}{r}. Daraus folgt r=mvqBr = \frac{mv}{qB} und T=2πmqBT = \frac{2\pi m}{qB}.

  3. 3

    a) und b) Bahnradius und Umlaufdauer

    Erst der Radius aus , Geschwindigkeit, Ladung und ; dann die Umlaufdauer, in der die Geschwindigkeit nicht mehr vorkommt.

    r=1,67⋅10−27⋅5⋅1061,6⋅10−19⋅0,8 m≈0,065 mr = \frac{1{,}67 \cdot 10^{-27} \cdot 5 \cdot 10^{6}}{1{,}6 \cdot 10^{-19} \cdot 0{,}8}\,\text{m} \approx 0{,}065\,\text{m}; T=2π⋅1,67⋅10−271,28⋅10−19 s≈8,2⋅10−8 sT = \frac{2\pi \cdot 1{,}67 \cdot 10^{-27}}{1{,}28 \cdot 10^{-19}}\,\text{s} \approx 8{,}2 \cdot 10^{-8}\,\text{s}

    Zwischenergebnis

    r≈6,5 cmr \approx 6{,}5\,\text{cm}, T≈8,2⋅10−8 sT \approx 8{,}2 \cdot 10^{-8}\,\text{s}

  4. 4

    c) Warum beim schrägen Eintritt eine Schraubenbahn entsteht

    Weil sich die Geschwindigkeit in zwei Anteile zerlegen lässt, die sich unabhängig entwickeln: Der Anteil senkrecht zum Feld erfährt die volle Lorentzkraft und erzeugt eine Kreisbewegung; der Anteil längs des Feldes erfährt wegen sin⁡0°=0\sin 0° = 0 keine Kraft und bleibt unverändert.

  5. 5

    d) Ergebnis deuten: das Erdmagnetfeld als Schutzschild

    Der Sonnenwind besteht aus geladenen Teilchen, die im Erdmagnetfeld die Lorentzkraft erfahren. Statt geradewegs auf die Atmosphäre zu treffen, werden sie auf Schraubenbahnen um die Feldlinien gezwungen und zu den Polen geleitet, dort erzeugen sie das Polarlicht.

Übung 3

schwer

a) Leite den Bahnradius her und begründe jede Abhängigkeit anschaulich.

b) Zeige, dass die Umlaufdauer von der unabhängig ist, und erkläre, warum das für das Zyklotron entscheidend ist.

c) Ein Massenspektrometer trennt 12C^{12}\text{C} und 13C^{13}\text{C} (beide einfach geladen, gleiche Beschleunigungsspannung). Welches wird stärker abgelenkt? Um welchen Faktor unterscheiden sich die Radien?

d) Warum lassen sich im rein keine trennen, im magnetischen aber schon?

Tipp anzeigen

c) r=1B2Umqr = \frac{1}{B}\sqrt{\frac{2Um}{q}}.

Lösung anzeigen

a) Herleitung. Die Lorentzkraft steht stets senkrecht auf der Bewegung und hat konstanten Betrag, wirkt also als einer gleichförmigen :

qvB=mv2rq v B = \frac{m v^2}{r}

Ein vv kürzen:

qB=mvr⟹r=mvqBq B = \frac{m v}{r} \quad \Longrightarrow \quad r = \frac{m v}{q B}

Anschauliche Deutung der vier Abhängigkeiten:

  • r∼mr \sim m: Ein schwereres Teilchen ist träger und lässt sich schlechter aus der Bahn drücken, der Kreis wird größer.
  • r∼vr \sim v: Ein schnelleres Teilchen legt in derselben Zeit mehr Weg zurück, bevor es merklich abgelenkt wird.
  • r∼1qr \sim \frac{1}{q}: Mehr bedeutet mehr bei gleicher Geschwindigkeit, also stärkere Krümmung.
  • r∼1Br \sim \frac{1}{B}: Ein stärkeres Feld übt mehr Kraft aus, der Kreis wird enger.

b) Nachweis. Mit v=2πrTv = \frac{2\pi r}{T} und r=mvqBr = \frac{mv}{qB}:

T=2πrv=2πv⋅mvqB=2πmqBT = \frac{2\pi r}{v} = \frac{2\pi}{v} \cdot \frac{m v}{q B} = \frac{2\pi m}{q B}

Die Geschwindigkeit kürzt sich vollständig heraus. TT hängt nur von mq\frac{m}{q} und BB ab.

Anschaulich: Ein doppelt so schnelles Teilchen läuft auf einem doppelt so großen Kreis, hat also den doppelten Weg, ist aber auch doppelt so schnell. Beides gleicht sich exakt aus.

Warum das für das Zyklotron entscheidend ist. Ein Zyklotron besteht aus zwei halbkreisförmigen Elektroden in einem . Zwischen ihnen liegt eine Wechselspannung, die die Teilchen bei jedem Durchgang . Ihre Bahn wird dabei immer größer, sie laufen spiralförmig nach außen.

Weil die Umlaufdauer aber konstant bleibt, kommen die Teilchen immer im richtigen Moment am Spalt an. Die Wechselspannung kann deshalb mit fester arbeiten, nämlich der Zyklotronfrequenz f=qB2πmf = \frac{qB}{2\pi m}.

Ohne diese Eigenschaft müsste die Frequenz während des Beschleunigens ständig nachgeführt werden, und der einfache Aufbau wäre unmöglich. Ernest Lawrence erhielt 1939 den Nobelpreis für diese Erkenntnis.

🔴 Ehrliche Grenze: Bei sehr hohen nimmt die relativistisch zu, und die Umlaufdauer wächst. Dann versagt das klassische Zyklotron, und man baut Synchrotrons, die Frequenz und Magnetfeld synchron nachführen.

c) 12C^{12}\text{C} wird stärker abgelenkt, weil es leichter ist und deshalb den kleineren Radius hat.

r=1B2Umq⟹r∼mr = \frac{1}{B}\sqrt{\frac{2 U m}{q}} \quad \Longrightarrow \quad r \sim \sqrt{m} r13r12=1312=1,0833≈1,041\frac{r_{13}}{r_{12}} = \sqrt{\frac{13}{12}} = \sqrt{1{,}0833} \approx 1{,}041

Die Radien unterscheiden sich also um rund 4,1 Prozent. Bei einem Radius von etwa 20 cm20\,\text{cm} sind das gut 8 mm8\,\text{mm}, ein technisch leicht messbarer Abstand.

🔴 Genau so wurden 1913 von J. J. Thomson die ersten Isotope nachgewiesen: Bei Neon fand er zwei Spuren statt einer, obwohl chemisch nur ein Element vorlag. Damit war klar, dass es Atome desselben Elements mit verschiedener Masse gibt.

Heute nutzt man dasselbe Prinzip zur Bestimmung von Molekülmassen, zum Nachweis von Dopingmitteln, in der Altersbestimmung und in der Umweltanalytik.

d) Im elektrischen Feld kürzen sich Ladung und Masse vollständig heraus:

y1=UA ℓ24 UB dy_1 = \frac{U_A \, \ell^2}{4 \, U_B \, d}

Der Grund: Ein schwereres Teilchen wird schwächer abgelenkt, tritt aber auch langsamer ein und bleibt länger im Feld. Beide Effekte kompensieren sich exakt. Alle Teilchen werden deshalb gleich weit abgelenkt, und eine Trennung ist unmöglich.

Im magnetischen Feld bleibt dagegen eine Abhängigkeit bestehen:

r=1B2Umqr = \frac{1}{B}\sqrt{\frac{2 U m}{q}}

Warum der Unterschied? Die elektrische Kraft F=qEF = qE hängt nur von der Ladung ab. Die Lorentzkraft F=qvBF = qvB hängt zusätzlich von der Geschwindigkeit ab, und die ist ihrerseits massenabhängig (v=2qUmv = \sqrt{\frac{2qU}{m}}).

Diese zusätzliche Massenabhängigkeit ist genau der Grund, warum die Kompensation hier nicht vollständig gelingt und ein Rest übrig bleibt, der die Trennung ermöglicht.

Verallgemeinert: Zur Trennung nach mq\frac{m}{q} braucht man eine Kraft, die von der Geschwindigkeit abhängt. Das leistet nur das Magnetfeld. Deshalb enthält jedes Massenspektrometer beide Feldarten: ein elektrisches zum Beschleunigen und ein magnetisches zum Trennen.

Detaillierte Schritterklärung anzeigen

Hier wird jeder Schritt einzeln erklärt, vor allem, warum er gemacht wird.

Erklärungstiefe

✦ Empfohlen: Standard – Die normale Erklärungstiefe passt zum Einstieg.

  1. 1

    Gegeben und Gesucht: Herleitung, Zyklotron und Isotopentrennung

    a) und b) verlangen Herleitungen zu Bahnradius und Umlaufdauer. c) gibt 12C^{12}\text{C} und 13C^{13}\text{C}, beide einfach geladen und durch dieselbe beschleunigt; gesucht ist das Verhältnis der Radien. d) fragt nach dem Unterschied zum elektrischen Feld.

  2. 2

    a) Den Bahnradius herleiten und jede Abhängigkeit deuten

    Aus qvB=mv2rq v B = \frac{m v^2}{r} kürzt sich ein vv heraus, es bleibt r=mvqBr = \frac{mv}{qB}. Anschaulich: r∼mr \sim m, ein schwereres Teilchen ist träger; r∼vr \sim v, ein schnelleres legt mehr Weg zurück, bevor es merklich abgelenkt wird; r∼1qr \sim \frac{1}{q} und r∼1Br \sim \frac{1}{B}, mehr Ladung oder mehr Feld bedeuten mehr Kraft und engere Krümmung.

  3. 3

    b) Warum die Umlaufdauer von der Geschwindigkeit unabhängig ist

    Mit v=2πrTv = \frac{2\pi r}{T} und r=mvqBr = \frac{mv}{qB} folgt T=2πrv=2πmqBT = \frac{2\pi r}{v} = \frac{2\pi m}{qB}, die Geschwindigkeit kürzt sich vollständig heraus. Anschaulich: Ein doppelt so schnelles Teilchen läuft auf einem doppelt so großen Kreis, hat also den doppelten Weg, ist aber auch doppelt so schnell.

  4. 4

    c) Welches Kohlenstoffisotop stärker abgelenkt wird

    Bei gleicher Beschleunigungsspannung gilt r=1B2Umqr = \frac{1}{B}\sqrt{\frac{2Um}{q}}, also r∼mr \sim \sqrt{m}. Das leichtere 12C^{12}\text{C} hat deshalb den kleineren Radius und wird stärker abgelenkt.

    r13r12=1312=1,0833≈1,041\frac{r_{13}}{r_{12}} = \sqrt{\frac{13}{12}} = \sqrt{1{,}0833} \approx 1{,}041

    Zwischenergebnis

    12C^{12}\text{C} wird stärker abgelenkt; die Radien unterscheiden sich um rund 4,1 %4{,}1\,\%.

  5. 5

    d) Ergebnis deuten: warum nur das Magnetfeld trennt

    Im elektrischen Feld kürzen sich Ladung und Masse vollständig heraus, alle Teilchen werden gleich weit abgelenkt. Im magnetischen Feld bleibt dagegen r=1B2Umqr = \frac{1}{B}\sqrt{\frac{2Um}{q}} übrig.

Zusammenfassung

Auf eine bewegte im wirkt die Lorentzkraft, die mit Ladung, und wächst und für Bewegung längs des Feldes verschwindet; ruhende Ladungen spüren vom Magnetfeld nichts. Da diese stets senkrecht auf der Bewegungsrichtung steht, verrichtet sie niemals , weshalb sich der Betrag der Geschwindigkeit nie ändert, sondern nur ihre Richtung. Eine konstante Kraft senkrecht zur Bewegung ist genau das, was eine gleichförmige Kreisbewegung verlangt, und aus dem Gleichsetzen mit der Radialkraft folgt der Bahnradius. Die Umlaufdauer ist dabei von der Geschwindigkeit unabhängig, weil ein schnelleres Teilchen zwar einen größeren Kreis durchläuft, ihn aber entsprechend schneller schafft; darauf beruht das Zyklotron. Weil der Radius von Masse und Ladung abhängt, lassen sich im Magnetfeld anders als im elektrischen Feld Isotope trennen, und geladene Teilchen des Sonnenwindes werden auf Schraubenbahnen zu den Polen geführt.