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Mechanik

Kräfte zerlegen, geneigte Ebene und Radialkraft

Wie man Kräfte in Komponenten zerlegt, warum eine Rampe Kraft spart und welche Kraft einen Körper auf der Kreisbahn hält.

Benötigte Grundlagen

Dieses Vorwissen brauchst du für das Kapitel. Schau kurz nach, wenn dir etwas davon nicht mehr präsent ist, sonst leg direkt los.

Einführung

Ein Fass auf einer Rampe rollt langsam hinunter, ein Fass auf senkrechter Wand stürzt. Dieselbe , völlig verschiedene Wirkung.

Der Grund ist, dass eine auf einer schrägen Ebene nur teilweise „in Fahrtrichtung" wirkt. Um solche Fälle zu behandeln, braucht man ein Werkzeug: die Zerlegung einer Kraft in Komponenten. Dasselbe Werkzeug beantwortet dann auch die offene Frage aus dem Kreisbewegungs-Kapitel, nämlich welche Kraft einen Körper überhaupt auf der hält.

Das kannst du nach diesem Kapitel

  • zeichnerisch zusammensetzen und zerlegen.

  • die Kräfte an der geneigten Ebene bestimmen.

  • Hangabtriebskraft und Normalkraft berechnen.

  • die Radialkraft als Ursache der erklären.

  • Fr=mv2rF_r = \dfrac{m v^2}{r} anwenden.

  • begründen, warum es keine nach außen gerichtete „Fliehkraft" gibt.

Zusammensetzen und Zerlegen

längs einer Geraden werden addiert oder subtrahiert (Klasse 7). Greifen sie schräg zueinander an, geht das nicht mehr so einfach.

Zusammensetzen: Man zeichnet beide Kraftpfeile maßstäblich vom selben Punkt aus und ergänzt sie zu einem Parallelogramm. Die Diagonale ist die resultierende Kraft.

Zerlegen ist der umgekehrte Weg: Man gibt zwei Richtungen vor und sucht die beiden Teilkräfte, die zusammen die gegebene Kraft ergeben. Man zeichnet also das Parallelogramm rückwärts.

🔴 Zerlegen ist nur sinnvoll, wenn man die Richtungen vorgibt, und die ergeben sich aus der Aufgabe: bei der Rampe längs und senkrecht zur Fläche, bei der radial und tangential.

Stehen die beiden Richtungen senkrecht aufeinander (der übliche Fall), lässt sich die Rechnung mit Pythagoras und Winkelfunktionen führen.

Die geneigte Ebene

Ein Körper liegt auf einer um den Winkel α\alpha geneigten Fläche. Auf ihn wirkt die FGF_G senkrecht nach unten. Sie wird in zwei Richtungen zerlegt:

  • Hangabtriebskraft FHF_H längs der Ebene, hangabwärts. Sie treibt den Körper.
  • Normalkraft FNF_N senkrecht zur Ebene. Sie drückt den Körper auf die Fläche.
FH=FG⋅sin⁡αFN=FG⋅cos⁡αF_H = F_G \cdot \sin \alpha \qquad F_N = F_G \cdot \cos \alpha

Die Formeln muss man nicht auswendig lernen, wenn man die Grenzfälle prüft:

WinkelSituationFHF_HFNF_N
0°0°waagerecht00FGF_G (voll)
90°90°senkrechtFGF_G (voll)00
30°30°flache Rampe0,5 FG0{,}5 \, F_G0,87 FG0{,}87 \, F_G

Bei 0°0° muss die Hangabtriebskraft null sein (nichts rutscht auf einer ebenen Fläche), und sin⁡0°=0\sin 0° = 0. Bei 90°90° muss sie die volle Gewichtskraft sein (freier Fall an der Wand), und sin⁡90°=1\sin 90° = 1. Wer diese beiden Fälle im Kopf hat, verwechselt Sinus und Kosinus nicht.

Warum die Rampe spart: Um den Körper zu halten oder hinaufzuziehen, genügt eine Kraft von FHF_H statt FGF_G. Bei 30°30° ist das nur die Hälfte. Das ist die geneigte Ebene als kraftumformende Einrichtung, und der längere Weg ist der Preis dafür (Goldene Regel, Klasse 7).

Die hängt an der Normalkraft: Je flacher die Ebene, desto größer FNF_N, desto größer die Reibung. Ein Körper rutscht deshalb erst ab einem bestimmten Winkel los.

α = 25°F(G)F(H)F(N)Die Gewichtskraft in zwei Teile zerlegtJe flacher die Ebene, desto kleiner F(H)

Die wird in zwei Teile zerlegt, die zusammen genau sie ergeben (das gestrichelte Parallelogramm zeigt es). Der hangabwärts gerichtete Teil ist FH=FG⋅sin⁡αF_H = F_G \cdot \sin\alpha und zieht den Körper hinunter, der senkrechte Teil FN=FG⋅cos⁡αF_N = F_G \cdot \cos\alpha drückt ihn auf die Ebene. Bei kleinem Winkel ist FHF_H deutlich kleiner als die Gewichtskraft selbst.

Die Radialkraft

Im vorigen Kapitel blieb offen, welche einen Körper auf der hält. Jetzt lässt sich das beantworten.

Nach dem 1. würde ein Körper ohne Kraft geradeaus weiterfliegen. Damit er auf der Kreisbahn bleibt, muss ihn ständig etwas zur Mitte hin ablenken. Diese Kraft heißt Radialkraft (oder Zentripetalkraft) und zeigt immer zum Mittelpunkt.

Fr=m⋅v2r=m⋅ω2⋅r\boxed{F_r = \frac{m \cdot v^2}{r} = m \cdot \omega^2 \cdot r}

Man liest daraus drei Abhängigkeiten ab:

  • : doppelte Masse, doppelte Kraft.
  • : doppelte Geschwindigkeit, vierfache Kraft (Quadrat!).
  • Radius: doppelter Radius, halbe Kraft (bei gleichem vv).

🔴 Das Quadrat bei vv ist wieder der Grund für eine Alltagsregel: Wer eine Kurve doppelt so schnell durchfährt, braucht die vierfache Haltekraft. Genau deshalb sind Geschwindigkeitsbegrenzungen vor Kurven so wirksam.

Die Radialkraft ist keine neue Kraftart. Sie ist eine Rolle, die eine vorhandene Kraft übernimmt:

SituationWer liefert die Radialkraft?
Auto in der Kurve der Reifen
KarussellStange, Kette, Sitz
Mond um die Erde
Elektron im Atommodellelektrische Anziehung
Wäsche in der SchleuderTrommelwand
Achterbahn im LoopingSchiene und

Was passiert, wenn sie wegfällt: Der Körper fliegt tangential weiter, nicht nach außen. Reißt das Seil, fliegt der Stein geradeaus in Bahnrichtung.

Gleiches Tempo, ständig andere Richtungv: tangential, immer gleich langF(r): immer zum MittelpunktRichtungsänderung ist auch Beschleunigung

Die Radialkraft zeigt an jeder Stelle zum Mittelpunkt. Sie ist keine neue Kraftart, sondern immer eine gewöhnliche in dieser Rolle: die Seilkraft, die , die .

Die Sache mit der Fliehkraft

Im Alltag spricht man von einer „Fliehkraft", die einen in der Kurve nach außen drückt. Eine solche gibt es im ruhenden Bezugssystem nicht.

Was man tatsächlich spürt, ist die eigene Trägheit: Der Körper will geradeaus weiter, das Auto biegt aber ab. Deshalb nähert man sich der Außentür, und die Tür drückt einen nach innen auf die .

🔴 Die tatsächlich wirkende Kraft zeigt also nach innen, nicht nach außen. Wer im mitrotierenden Bezugssystem rechnet, führt eine Scheinkraft ein, die „Zentrifugalkraft"; sie ist ein Rechenhilfsmittel, kein Wechselwirkungspartner. In der Schulphysik rechnet man im ruhenden System, und dort gibt es sie nicht.

Der Test: Wenn eine Kraft nach außen zöge, müsste ein losgelassener Körper radial nach außen wegfliegen. Er fliegt aber tangential, wie jede Schleiffunke zeigt.

Die Schnur reißt: wohin fliegt der Körper?Handgerissenso: geradeaus, tangentialnicht soEs fehlt die Kraft nach innen, es wirkt keine nach außen

Der Prüfstein für die Fliehkraft: Reißt die Schnur, fliegt der Körper tangential geradeaus weiter, nicht nach außen. Gäbe es eine nach außen gerichtete , müsste er den gestrichelten grauen Weg nehmen, er tut es nicht.

Kräfte an der Rampe

Ein Fass (m=80 kgm = 80\,\text{kg}) steht auf einer um 30°30° geneigten Rampe (g=10 Nkgg = 10\,\frac{\text{N}}{\text{kg}}).

a) Berechne , Hangabtriebskraft und Normalkraft.

b) Welche ist nötig, um es zu halten (reibungsfrei)?

c) Die beträgt 200 N200\,\text{N}. Rutscht das Fass von allein?

d) Wie ändern sich die Kräfte bei 60°60° Neigung?

  1. 1

    a) Gewichtskraft:

    FG=m⋅g=80 kg⋅10 Nkg=800 NF_G = m \cdot g = 80\,\text{kg} \cdot 10\,\frac{\text{N}}{\text{kg}} = 800\,\text{N}

    Zerlegen mit sin⁡30°=0,5\sin 30° = 0{,}5 und cos⁡30°≈0,866\cos 30° \approx 0{,}866:

    FH=800 N⋅0,5=400 NF_H = 800\,\text{N} \cdot 0{,}5 = 400\,\text{N} FN=800 N⋅0,866=693 NF_N = 800\,\text{N} \cdot 0{,}866 = 693\,\text{N}
  2. 2

    Kontrolle mit Pythagoras. Die beiden Komponenten müssen zusammen die Gewichtskraft ergeben:

    4002+6932 N=160000+480249≈800 N\sqrt{400^2 + 693^2}\,\text{N} = \sqrt{160000 + 480249} \approx 800\,\text{N}

    Stimmt. Diese Probe deckt jeden Zerlegungsfehler auf.

  3. 3

    b) Reibungsfrei muss die Haltekraft die Hangabtriebskraft ausgleichen:

    F=FH=400 NF = F_H = 400\,\text{N}

    Statt 800 N800\,\text{N} genügt also die Hälfte. Das ist die geneigte Ebene als kraftumformende Einrichtung; bezahlt wird mit dem doppelten Weg.

  4. 4

    c) Vergleich der beiden Kräfte längs der Ebene:

    FH=400 N>FHaft=200 NF_H = 400\,\text{N} > F_{\text{Haft}} = 200\,\text{N}

    Die Hangabtriebskraft überwiegt, das Fass rutscht von allein ab. Zum Halten fehlen 200 N200\,\text{N}, die man zusätzlich aufbringen muss.

  5. 5

    d) Bei 60°60° (sin⁡60°≈0,866\sin 60° \approx 0{,}866, cos⁡60°=0,5\cos 60° = 0{,}5):

    FH=800 N⋅0,866≈693 NF_H = 800\,\text{N} \cdot 0{,}866 \approx 693\,\text{N} FN=800 N⋅0,5=400 NF_N = 800\,\text{N} \cdot 0{,}5 = 400\,\text{N}

    Die beiden Werte haben sich vertauscht. Steiler bedeutet: mehr Hangabtrieb, weniger Anpressung und damit weniger Reibung. Beides wirkt in dieselbe Richtung, deshalb wird eine Rampe ab einem bestimmten Winkel plötzlich gefährlich.

a) FG=800 NF_G = 800\,\text{N}, FH=400 NF_H = 400\,\text{N}, FN=693 NF_N = 693\,\text{N} b) 400 N400\,\text{N} c) ja, es rutscht d) bei 60°60° vertauschen sich die Werte, FH≈693 NF_H \approx 693\,\text{N}.

Kurvenfahrt und Radialkraft

Ein Auto (m=1200 kgm = 1200\,\text{kg}) durchfährt eine Kurve mit r=50 mr = 50\,\text{m} bei 54 kmh54\,\frac{\text{km}}{\text{h}}.

a) Berechne die nötige Radialkraft.

b) Woher kommt diese ?

c) Wie groß wäre sie bei 108 kmh108\,\frac{\text{km}}{\text{h}}?

d) Die maximale beträgt 9000 N9000\,\text{N}. Bei welcher rutscht das Auto aus der Kurve?

  1. 1

    a) Erst umrechnen: v=54 kmh=15 msv = 54\,\frac{\text{km}}{\text{h}} = 15\,\frac{\text{m}}{\text{s}}.

    Fr=mv2r=1200 kg⋅(15 ms)250 m=1200⋅22550 N=5400 NF_r = \frac{m v^2}{r} = \frac{1200\,\text{kg} \cdot (15\,\frac{\text{m}}{\text{s}})^2}{50\,\text{m}} = \frac{1200 \cdot 225}{50}\,\text{N} = 5400\,\text{N}
  2. 2

    b) Von der Haftreibung zwischen Reifen und Fahrbahn. Sie ist die einzige Kraft, die waagerecht auf das Auto wirken und es zur Kurveninnenseite ablenken kann.

    Deshalb ist eine Kurve auf Eis oder bei Aquaplaning so gefährlich: Die Haftreibung bricht weg, und ohne Radialkraft fährt das Auto nach dem 1. geradeaus weiter, also tangential aus der Kurve.

  3. 3

    c) Bei doppelter Geschwindigkeit (v=30 msv = 30\,\frac{\text{m}}{\text{s}}):

    Fr=1200⋅90050 N=21600 NF_r = \frac{1200 \cdot 900}{50}\,\text{N} = 21600\,\text{N}

    Das ist das Vierfache, weil vv im Quadrat steht. Genau das unterschätzen Fahrer regelmäßig: Etwas schneller in die Kurve bedeutet nicht etwas mehr Kraft, sondern deutlich mehr.

  4. 4

    d) Grenzfall: nötige Radialkraft gleich maximale Haftreibung.

    mv2r=FHaft⇒v=FHaft⋅rm\frac{m v^2}{r} = F_{\text{Haft}} \quad \Rightarrow \quad v = \sqrt{\frac{F_{\text{Haft}} \cdot r}{m}} v=9000 N⋅50 m1200 kg=375 ms≈19,4 ms≈70 kmhv = \sqrt{\frac{9000\,\text{N} \cdot 50\,\text{m}}{1200\,\text{kg}}} = \sqrt{375}\,\frac{\text{m}}{\text{s}} \approx 19{,}4\,\frac{\text{m}}{\text{s}} \approx 70\,\frac{\text{km}}{\text{h}}
  5. 5

    Was daran wichtig ist: Bei nasser oder vereister Fahrbahn sinkt die maximale Haftreibung erheblich, teils auf ein Fünftel. Da vv mit der Wurzel wächst, sinkt die Grenzgeschwindigkeit dann auf etwa 0,2≈45 %\sqrt{0{,}2} \approx 45\,\%, also auf rund 31 kmh31\,\frac{\text{km}}{\text{h}}.

    Die kürzt sich übrigens nicht heraus, weil die maximale Haftreibung selbst von der Anpresskraft und damit von der Masse abhängt. Rechnet man das mit ein, hebt sich die Masse tatsächlich weg, und die Grenzgeschwindigkeit hängt nur von Reibungszahl und Radius ab. Deshalb rutschen schwere und leichte Autos bei derselben Geschwindigkeit aus der Kurve.

a) 5400 N5400\,\text{N} b) Haftreibung der Reifen c) 21600 N21600\,\text{N}, also das Vierfache d) rund 70 kmh70\,\frac{\text{km}}{\text{h}}, auf nasser Straße deutlich weniger.

Typischer Fehler

„In der Kurve wirkt eine Fliehkraft, die einen nach außen drückt."

Im ruhenden Bezugssystem gibt es diese nicht. Die tatsächlich wirkende Kraft zeigt nach innen.

Was wirklich passiert: Nach dem 1. will dein Körper geradeaus weiter. Das Auto biegt aber ab. Dadurch näherst du dich der Außentür, bis sie dich berührt und nach innen drückt. Genau diese nach innen gerichtete Kraft hält dich auf der .

Das Gefühl, „nach außen gedrückt" zu werden, ist also die Wahrnehmung deiner eigenen Trägheit, nicht einer äußeren Kraft.

Der entscheidende Test: Gäbe es eine Kraft nach außen, müsste ein losgelassener Körper radial wegfliegen. Er fliegt aber tangential, also längs der Bahnrichtung. Das sieht man an Schleiffunken, an Wassertropfen vom drehenden Rad und am Hammerwerfer, dessen Gerät geradeaus in Wurfrichtung abgeht.

Woher der Begriff trotzdem kommt: Wer im mitrotierenden Bezugssystem rechnet (also aus Sicht des Mitfahrers), muss eine Scheinkraft einführen, damit die newtonschen Gesetze dort weiter gelten. Diese Zentrifugalkraft ist ein Rechenhilfsmittel und hat keinen Wechselwirkungspartner: Man kann nicht sagen, welcher Körper sie ausübt. In der Schulphysik rechnet man im ruhenden System, und dort tritt sie nicht auf.

Sauber formuliert: „Zur Kreisbewegung ist eine zum Mittelpunkt gerichtete Radialkraft nötig. Fällt sie weg, bewegt sich der Körper tangential geradlinig weiter."

Übung 1

leicht

Ein Körper (FG=500 NF_G = 500\,\text{N}) liegt auf einer 20°20°-Rampe (sin⁡20°≈0,342\sin 20° \approx 0{,}342, cos⁡20°≈0,940\cos 20° \approx 0{,}940).

a) Berechne Hangabtriebskraft und Normalkraft.

b) Welche hält ihn reibungsfrei?

c) Ein Körper (m=2 kgm = 2\,\text{kg}) läuft mit 3 ms3\,\frac{\text{m}}{\text{s}} auf einem Kreis mit r=1,5 mr = 1{,}5\,\text{m}. Berechne die Radialkraft.

Tipp anzeigen

c) Fr=mv2rF_r = \frac{m v^2}{r}.

Lösung anzeigen

a) FH=500 N⋅0,342=171 NF_H = 500\,\text{N} \cdot 0{,}342 = 171\,\text{N}

FN=500 N⋅0,940=470 NF_N = 500\,\text{N} \cdot 0{,}940 = 470\,\text{N}

b) Reibungsfrei genügt F=FH=171 NF = F_H = 171\,\text{N}.

c) Fr=mv2r=2 kg⋅(3 ms)21,5 m=2⋅91,5 N=12 NF_r = \frac{m v^2}{r} = \frac{2\,\text{kg} \cdot (3\,\frac{\text{m}}{\text{s}})^2}{1{,}5\,\text{m}} = \frac{2 \cdot 9}{1{,}5}\,\text{N} = 12\,\text{N}

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Hier wird jeder Schritt einzeln erklärt, vor allem, warum er gemacht wird.

Erklärungstiefe

✦ Empfohlen: Standard – Die normale Erklärungstiefe passt zum Einstieg.

  1. 1

    Gegeben und Gesucht auf Rampe und Kreisbahn

    a) und b): FG=500 NF_G = 500\,\text{N} auf einer 20°20°-Rampe mit sin⁡20°≈0,342\sin 20° \approx 0{,}342 und cos⁡20°≈0,940\cos 20° \approx 0{,}940. c): m=2 kgm = 2\,\text{kg}, v=3 msv = 3\,\frac{\text{m}}{\text{s}}, r=1,5 mr = 1{,}5\,\text{m}; gesucht die Radialkraft.

  2. 2

    a) Die Zerlegung der Gewichtskraft an der schiefen Ebene

    Die zeigt senkrecht nach unten und wird in zwei Komponenten zerlegt: die Hangabtriebskraft FH=FG⋅sin⁡αF_H = F_G \cdot \sin \alpha längs der Rampe und die Normalkraft FN=FG⋅cos⁡αF_N = F_G \cdot \cos \alpha senkrecht dazu.

  3. 3

    a) und b) Hangabtriebskraft, Normalkraft und Haltekraft

    Gewichtskraft mal Sinus beziehungsweise Kosinus; reibungsfrei genügt als Haltekraft genau die Hangabtriebskraft.

    FH=500 N⋅0,342=171 NF_H = 500\,\text{N} \cdot 0{,}342 = 171\,\text{N}; FN=500 N⋅0,940=470 NF_N = 500\,\text{N} \cdot 0{,}940 = 470\,\text{N}

    Zwischenergebnis

    FH=171 NF_H = 171\,\text{N}, FN=470 NF_N = 470\,\text{N}

  4. 4

    c) Die Radialkraft auf der Kreisbahn

    Für die gilt Fr=mv2rF_r = \frac{m v^2}{r}, die steht im Quadrat, der Radius im Nenner.

    Fr=mv2r=2 kg⋅(3 ms)21,5 m=12 NF_r = \frac{m v^2}{r} = \frac{2\,\text{kg} \cdot (3\,\frac{\text{m}}{\text{s}})^2}{1{,}5\,\text{m}} = 12\,\text{N}

    Zwischenergebnis

    Fr=12 NF_r = 12\,\text{N}

  5. 5

    Ergebnisse deuten: zwei Zerlegungen, dieselbe Denkweise

    Bei der Rampe wird eine gegebene Kraft in zwei Richtungen zerlegt; bei der Kreisbahn wird eine benötigte Kraft berechnet, die irgendein Bauteil liefern muss. Beide Male geht es darum, Kräfte nach Richtungen zu ordnen.

Übung 2

mittel

Ein Kettenkarussell: Ein Sitz mit Kind (m=40 kgm = 40\,\text{kg}) bewegt sich auf einem Kreis mit r=6 mr = 6\,\text{m} und braucht 5 s5\,\text{s} für einen Umlauf.

a) Berechne Bahngeschwindigkeit und Radialkraft.

b) Woher kommt die Radialkraft?

c) Warum stehen die Ketten schräg und nicht senkrecht?

d) Was passiert mit der Radialkraft, wenn sich das Karussell doppelt so schnell dreht?

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c) Zerlege die Kettenkraft in zwei Richtungen.

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a) v=2πrT=2π⋅6 m5 s≈7,54 msv = \frac{2\pi r}{T} = \frac{2\pi \cdot 6\,\text{m}}{5\,\text{s}} \approx 7{,}54\,\frac{\text{m}}{\text{s}}

Fr=mv2r=40⋅56,86 N≈379 NF_r = \frac{m v^2}{r} = \frac{40 \cdot 56{,}8}{6}\,\text{N} \approx 379\,\text{N}

b) Von der Kette, genauer von deren waagerechter Komponente. Die Kette zieht den Sitz schräg nach oben und innen.

c) Weil die Kette zwei Aufgaben gleichzeitig erfüllen muss:

  • Sie muss den Sitz tragen, also die von 400 N400\,\text{N} ausgleichen. Dafür braucht sie eine senkrechte Komponente nach oben.
  • Sie muss die Radialkraft von 379 N379\,\text{N} liefern, also eine waagerechte Komponente nach innen.

Nur eine schräg stehende Kette hat beide Komponenten. Stünde sie senkrecht, gäbe es keine waagerechte Komponente und damit keine Radialkraft; der Sitz könnte sich nicht auf der halten.

Der Neigungswinkel stellt sich dabei von selbst so ein, dass beide Bedingungen erfüllt sind: tan⁡α=FrFG=379400≈0,95\tan \alpha = \frac{F_r}{F_G} = \frac{379}{400} \approx 0{,}95, also rund 43,5°43,5° zur Senkrechten.

d) Doppelte Drehzahl bedeutet doppelte Bahngeschwindigkeit, und wegen des Quadrats vierfache Radialkraft:

Fr≈4⋅379 N≈1516 NF_r \approx 4 \cdot 379\,\text{N} \approx 1516\,\text{N}

Die Ketten stehen dann viel flacher, weil die waagerechte Komponente stark wächst, während die senkrechte gleich bleibt. Genau das sieht man an jedem Kettenkarussell beim Hochfahren.

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Erklärungstiefe

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  1. 1

    Gegeben und Gesucht am Kettenkarussell

    Gegeben: m=40 kgm = 40\,\text{kg}, r=6 mr = 6\,\text{m}, Umlaufzeit T=5 sT = 5\,\text{s}. Gesucht: a) Bahngeschwindigkeit und Radialkraft, b) die Herkunft der Radialkraft, c) die Schrägstellung, d) die Folge doppelter Drehzahl.

  2. 2

    Zwei Formeln: Umfang je Umlauf und Radialkraft

    In einer Umlaufzeit wird der Umfang zurückgelegt: v=2πrTv = \frac{2\pi r}{T}. Für die Kreisbahn ist die Radialkraft Fr=mv2rF_r = \frac{m v^2}{r} nötig.

  3. 3

    a) Bahngeschwindigkeit und Radialkraft

    Erst der Umfang durch die Umlaufzeit, dann die Radialkraft mit dem Quadrat der Geschwindigkeit.

    v=2π⋅6 m5 s≈7,54 msv = \frac{2\pi \cdot 6\,\text{m}}{5\,\text{s}} \approx 7{,}54\,\frac{\text{m}}{\text{s}}; Fr=40 kg⋅56,8 m2s26 m≈379 NF_r = \frac{40\,\text{kg} \cdot 56{,}8\,\frac{\text{m}^2}{\text{s}^2}}{6\,\text{m}} \approx 379\,\text{N}

    Zwischenergebnis

    v≈7,54 msv \approx 7{,}54\,\frac{\text{m}}{\text{s}}, Fr≈379 NF_r \approx 379\,\text{N}

  4. 4

    b) und c) Woher die Radialkraft kommt und warum die Kette schräg steht

    Von der Kette, genauer von ihrer waagerechten Komponente. Die Kette muss zwei Aufgaben gleichzeitig erfüllen: den Sitz tragen (senkrechte Komponente gegen 400 N400\,\text{N} Gewichtskraft) und die Radialkraft von 379 N379\,\text{N} nach innen liefern.

  5. 5

    d) Ergebnis deuten: doppelte Drehzahl, vierfache Radialkraft

    Doppelte Drehzahl bedeutet doppelte Bahngeschwindigkeit und wegen des Quadrats vierfache Radialkraft: rund 1516 N1516\,\text{N}. Die Ketten stehen dann viel flacher, weil die waagerechte Komponente stark wächst, während die senkrechte gleich bleibt.

Übung 3

schwer

a) Erkläre, warum es keine nach außen gerichtete Fliehkraft gibt, und nenne einen Beleg.

b) Ein Stein an einer Schnur wird im Kreis geschleudert. Die Schnur reißt. Beschreibe die Bahn und begründe.

c) Warum sind Kurven in Rennstrecken und bei Eisenbahnen überhöht?

d) Ein Eimer Wasser wird senkrecht im Kreis geschwungen, ohne dass Wasser herausläuft. Erkläre und berechne die Mindestgeschwindigkeit am höchsten Punkt (r=0,8 mr = 0{,}8\,\text{m}, g=10 ms2g = 10\,\frac{\text{m}}{\text{s}^2}).

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d) Am höchsten Punkt zeigt die zum Mittelpunkt.

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a) Die tatsächlich wirkende zeigt zum Mittelpunkt, denn ohne sie flöge der Körper nach dem 1. geradeaus weiter. Was man als „nach außen gedrückt" empfindet, ist die eigene Trägheit: Der Körper will geradeaus, die Bahn krümmt sich, deshalb entsteht Kontakt zur Außenwand, die dann nach innen drückt.

Beleg: Fällt die Radialkraft weg, fliegt der Körper tangential weiter, nicht radial nach außen. Sichtbar an Schleiffunken, an Wassertropfen eines drehenden Rades und an der Bahn eines Hammerwerfergeräts.

(Im mitrotierenden Bezugssystem führt man eine Scheinkraft ein, die Zentrifugalkraft. Sie hat keinen Wechselwirkungspartner und ist ein reines Rechenhilfsmittel.)

b) Der Stein fliegt geradlinig und tangential in der Richtung weiter, die er im Augenblick des Reißens hatte. Zusätzlich fällt er unter dem Einfluss der Gewichtskraft, sodass die Bahn eine Wurfparabel wird.

Begründung: Mit dem Reißen entfällt die einzige Kraft, die ihn auf der hielt. Nach dem 1. newtonschen Gesetz behält er die bei, die er hatte, und die war tangential.

c) Um die Radialkraft nicht allein der zu überlassen.

Bei einer überhöhten Kurve steht die Fahrbahn schräg. Die Normalkraft steht senkrecht auf ihr und hat deshalb eine waagerechte Komponente zur Kurveninnenseite. Diese Komponente liefert einen Teil der Radialkraft, ohne dass Reibung nötig ist.

Vorteile:

  • Höhere Kurvengeschwindigkeiten sind möglich.
  • Die Kurve bleibt auch bei Nässe oder Eis befahrbar, wo die Reibung wegbricht.
  • Bei der Eisenbahn werden die Spurkränze entlastet, was Verschleiß und Lärm verringert und den Fahrkomfort erhöht.

Die Überhöhung wird für eine bestimmte Geschwindigkeit ausgelegt; bei genau dieser wird gar keine Reibung gebraucht.

d) Warum kein Wasser herausläuft: Am höchsten Punkt zeigt die Gewichtskraft nach unten, und das ist dort genau die Richtung zum Mittelpunkt. Sie kann deshalb die Rolle der Radialkraft übernehmen.

Solange die nötige Radialkraft mindestens so groß ist wie die Gewichtskraft, wird das Wasser auf der Kreisbahn gehalten und fällt nicht heraus. Es „fällt" tatsächlich die ganze Zeit, aber der Eimer fällt genauso schnell mit.

Grenzfall: Die Gewichtskraft allein liefert gerade die Radialkraft.

mg=mv2rm g = \frac{m v^2}{r}

Die kürzt sich heraus (das Ergebnis gilt also unabhängig von der Wassermenge):

v=g⋅r=10 ms2⋅0,8 m=8 ms≈2,83 msv = \sqrt{g \cdot r} = \sqrt{10\,\frac{\text{m}}{\text{s}^2} \cdot 0{,}8\,\text{m}} = \sqrt{8}\,\frac{\text{m}}{\text{s}} \approx 2{,}83\,\frac{\text{m}}{\text{s}}

Langsamer darf man nicht schwingen, sonst reicht die Bahnkrümmung nicht aus und das Wasser verlässt den Eimer.

Dasselbe Prinzip hält Achterbahnwagen im Looping und Satelliten auf ihrer Umlaufbahn: Ein Satellit fällt ständig zur Erde, verfehlt sie aber, weil er sich gleichzeitig schnell genug seitwärts bewegt.

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Hier wird jeder Schritt einzeln erklärt, vor allem, warum er gemacht wird.

Erklärungstiefe

✦ Empfohlen: Standard – Die normale Erklärungstiefe passt zum Einstieg.

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    Gegeben und Gesucht, drei Begründungen und ein Grenzfall

    a) bis c) verlangen Begründungen. d) gibt r=0,8 mr = 0{,}8\,\text{m} und g=10 ms2g = 10\,\frac{\text{m}}{\text{s}^2}; gesucht ist die Mindestgeschwindigkeit am höchsten Punkt.

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    a) Warum es keine nach außen gerichtete Fliehkraft gibt

    Die tatsächlich wirkende Kraft zeigt zum Mittelpunkt, ohne sie flöge der Körper nach dem 1. newtonschen Gesetz geradeaus weiter. Was man als „nach außen gedrückt" empfindet, ist die eigene Trägheit: Der Körper will geradeaus, die Bahn krümmt sich, deshalb entsteht Kontakt zur Außenwand, die dann nach innen drückt.

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    b) und c) Reißende Schnur und überhöhte Kurven

    b) Der Stein fliegt geradlinig und tangential weiter und fällt dabei unter dem Einfluss der Gewichtskraft, die Bahn wird eine Wurfparabel. c) Bei einer überhöhten Kurve steht die Fahrbahn schräg; die Normalkraft hat dadurch eine waagerechte Komponente zur Kurveninnenseite, die einen Teil der Radialkraft liefert.

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    d) Der Grenzfall am höchsten Punkt

    Am höchsten Punkt zeigt die Gewichtskraft nach unten, und das ist dort genau die Richtung zum Mittelpunkt. Sie kann deshalb die Rolle der Radialkraft übernehmen. Der Grenzfall ist erreicht, wenn sie allein gerade die nötige Radialkraft liefert: mg=mv2rm g = \frac{m v^2}{r}.

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    d) Die Mindestgeschwindigkeit berechnen

    In mg=mv2rm g = \frac{m v^2}{r} kürzt sich die Masse heraus; übrig bleibt v=g⋅rv = \sqrt{g \cdot r}.

    v=g⋅r=10 ms2⋅0,8 m≈2,83 msv = \sqrt{g \cdot r} = \sqrt{10\,\frac{\text{m}}{\text{s}^2} \cdot 0{,}8\,\text{m}} \approx 2{,}83\,\frac{\text{m}}{\text{s}}

    Zwischenergebnis

    vmin⁡≈2,83 msv_{\min} \approx 2{,}83\,\frac{\text{m}}{\text{s}}

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    d) Ergebnis deuten: dasselbe Prinzip im Looping und im Orbit

    Langsamer darf man nicht schwingen, sonst reicht die Bahnkrümmung nicht aus und das Wasser verlässt den Eimer. Dasselbe Prinzip hält Achterbahnwagen im Looping und Satelliten auf ihrer Umlaufbahn.

Zusammenfassung

, die schräg zueinander stehen, setzt man über das Parallelogramm zusammen und zerlegt sie umgekehrt in zwei vorgegebene Richtungen. An der geneigten Ebene sind das die Hangabtriebskraft längs der Fläche und die Normalkraft senkrecht dazu; die Grenzfälle bei null und neunzig Grad zeigen sofort, welche Winkelfunktion wohin gehört, und erklären zugleich, warum eine flache Rampe Kraft spart und mehr liefert. Dasselbe Werkzeug beantwortet die offene Frage der : Damit ein Körper nicht geradeaus weiterfliegt, braucht es eine zum Mittelpunkt gerichtete Radialkraft Fr=mv2rF_r = \frac{mv^2}{r}, die keine eigene Kraftart ist, sondern von Reibung, Seil oder übernommen wird. Weil die darin im Quadrat steht, erfordert doppeltes Tempo die vierfache Kraft. Eine nach außen gerichtete Fliehkraft gibt es dabei nicht; was man spürt, ist die eigene Trägheit, und ein losgelassener Körper fliegt tangential weiter.