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Elektrizitätslehre

Das elektrische Feld und die Feldstärke

Warum Ladungen einander ohne Berührung beeinflussen, was ein Feld wirklich ist und wie man seine Stärke misst.

Benötigte Grundlagen

Dieses Vorwissen brauchst du für das Kapitel. Schau kurz nach, wenn dir etwas davon nicht mehr präsent ist, sonst leg direkt los.

Einführung

Zwei geladene Kugeln stoßen einander ab, ohne sich zu berühren. Zwischen ihnen ist nichts, und trotzdem wirkt eine .

Newton selbst nannte eine solche Fernwirkung „absurd" und wollte sie nicht glauben. Die Lösung fand Michael Faraday: Nicht die eine wirkt auf die andere, sondern jede Ladung verändert den Raum um sich herum. Diese Veränderung heißt Feld, und die zweite Ladung reagiert nur auf das, was unmittelbar an ihrem Ort ist.

Dieser Gedanke war eine der folgenreichsten Ideen der Physik. Er führt geradewegs zu Funk, Licht und Relativitätstheorie.

Das kannst du nach diesem Kapitel

  • das als Zustand des Raumes um beschreiben.

  • Feldlinienbilder zeichnen und interpretieren.

  • die elektrische Feldstärke E⃗\vec{E} definieren und ihre Richtung angeben.

  • homogene und inhomogene Felder unterscheiden.

  • die Feldstärke im aus UU und dd berechnen.

  • das Coulombgesetz anwenden und mit dem vergleichen.

Die Kraft zwischen zwei Ladungen

Zwischen zwei punktförmigen Q1Q_1 und Q2Q_2 im Abstand rr wirkt die Coulombkraft:

F=14πε0⋅Q1⋅Q2r2F = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \cdot \frac{Q_1 \cdot Q_2}{r^2}

mit der elektrischen Feldkonstante

ε0=8,85⋅10−12 AsVm,14πε0≈8,99⋅109 VmAs\varepsilon_0 = 8{,}85 \cdot 10^{-12}\,\frac{\text{As}}{\text{Vm}}, \qquad \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \approx 8{,}99 \cdot 10^{9}\,\frac{\text{Vm}}{\text{As}}

Gleichnamige Ladungen stoßen sich ab, ungleichnamige ziehen sich an.

🔴 Vergleiche mit dem F=G⋅m1m2r2F = G \cdot \frac{m_1 m_2}{r^2}: Beide haben denselben Bau, beide fallen mit 1r2\frac{1}{r^2}. Zwei Unterschiede sind entscheidend:

  • Die Gravitation kennt nur Anziehung, die elektrische beides.
  • Die elektrische Kraft ist unvorstellbar viel stärker. Zwischen Proton und Elektron im Wasserstoffatom ist sie rund 103910^{39}-mal größer als die Gravitation.

Warum spüren wir dann im Alltag die Gravitation und nicht die elektrische Kraft? Weil sich positive und negative Ladungen fast überall ausgleichen. dagegen lässt sich nicht kompensieren, und deshalb setzt sie sich über große Entfernungen durch.

Zwei Ladungen, zwei gleich große Kräftegleichnamigstoßen einander abungleichnamigziehen einander anF = (1 / 4πε₀) · q₁ · q₂ / r²Beide Pfeile sind gleich lang, auch bei ungleichen Ladungen

Vergleiche den Bau der Formel mit dem : zwei Größen im Zähler, das Quadrat des Abstands im Nenner. Der eine Unterschied ist folgenreich, diese kann auch abstoßen.

Der Feldbegriff

Die Formel beschreibt die , erklärt aber nicht, wie sie übertragen wird. Faradays Antwort:

Jede verändert den Raum in ihrer Umgebung. Diese Veränderung heißt . Eine zweite Ladung erfährt eine Kraft, weil sie sich in diesem Feld befindet.

Das Feld ist also kein Rechentrick, sondern ein eigenständiger physikalischer Gegenstand. Zwei Argumente dafür:

  1. Es hat . Ein geladener speichert Energie, und die steckt im Feld zwischen den Platten.
  2. Es braucht Zeit. Verschiebt man eine Ladung, ändert sich das Feld in großer Entfernung nicht sofort, sondern die Änderung breitet sich mit Lichtgeschwindigkeit aus. Genau das sind elektromagnetische .

Die elektrische Feldstärke

Um das Feld zu messen, bringt man eine kleine Probeladung qq hinein und misst die :

E⃗=F⃗q\vec{E} = \frac{\vec{F}}{q} [ E ]=1 NC=1 Vm[\,E\,] = 1\,\frac{\text{N}}{\text{C}} = 1\,\frac{\text{V}}{\text{m}}

🔴 Warum durch qq geteilt wird: Die gemessene Kraft hängt von der Probeladung ab, das Feld selbst aber nicht. Erst der Quotient beschreibt eine Eigenschaft des Ortes statt der Probeladung. Genau deshalb ist E⃗\vec{E} die sinnvolle Größe.

Die Probeladung muss so klein sein, dass sie das zu messende Feld nicht selbst merklich verändert.

Richtung: E⃗\vec{E} zeigt in die Richtung der Kraft auf eine positive Probeladung. Auf eine negative wirkt die Kraft dann entgegengesetzt.

Feldlinien

Feldlinien machen das Feld anschaulich. Es gelten vier Regeln:

  1. Sie beginnen an positiven und enden an negativen .
  2. Die Tangente an eine Feldlinie gibt die Richtung von E⃗\vec{E} an.
  3. Die der Linien entspricht dem Betrag von EE: eng bedeutet stark.
  4. Feldlinien schneiden sich nie, denn an jedem Ort hat das Feld genau eine Richtung.

Typische Bilder:

  • Einzelne Punktladung: Linien laufen radial nach außen (positiv) oder innen (negativ). Das Feld nimmt mit 1r2\frac{1}{r^2} ab.
  • Zwei ungleiche Ladungen (Dipol): Linien verlaufen gebogen von plus nach minus.
  • Zwei gleiche Ladungen: Linien weichen einander aus, dazwischen liegt ein feldfreier Punkt.
  • : im Inneren parallele, gleich dichte Linien.
Feldlinien zeigen immer von Plus nach Minuspositive Ladungnegative LadungDipolFeldlinien schneiden sich nie, die Richtung wäre sonst unklar

Drei Feldbilder mit Richtungspfeilen; sie gelten für eine kleine positive Probeladung. Zwei Regeln kannst du daran ablesen: Wo die Linien dichter liegen, ist das Feld stärker, und sie schneiden sich nie, sonst wäre die Feldrichtung an dieser Stelle nicht eindeutig.

Homogenes und inhomogenes Feld

Ein Feld heißt homogen, wenn E⃗\vec{E} überall denselben Betrag und dieselbe Richtung hat. Das ist im Inneren eines näherungsweise erfüllt, außer an den Rändern.

Alle anderen Felder sind inhomogen, insbesondere das Feld einer Punktladung.

Für den Plattenkondensator gilt:

E=Ud\boxed{E = \frac{U}{d}}

wobei UU die zwischen den Platten und dd ihr Abstand ist. Die Einheit Vm\frac{\text{V}}{\text{m}} wird damit unmittelbar verständlich.

Für eine Punktladung folgt aus E=FqE = \frac{F}{q} und dem Coulombgesetz:

E=14πε0⋅Qr2E = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \cdot \frac{Q}{r^2}
Das homogene Feld zwischen zwei Platten+−+−+−+−+−+−dE = U / dHomogen ist das Feld nur zwischen den Platten, nicht am Rand

Zwischen den Platten laufen die Linien parallel und in gleichem Abstand: gleiche Stärke an jeder Stelle. Nur dort gilt die einfache Beziehung E=U/dE = U/d. Am Rand wölben sich die Linien nach außen, dort ist das Feld nicht mehr homogen.

Leiter im elektrischen Feld

Bringt man einen Leiter in ein Feld, verschieben sich seine freien Elektronen so lange, bis das von ihnen erzeugte Feld das äußere im Inneren genau aufhebt (Influenz).

Daraus folgt:

  • Im Inneren eines Leiters ist E=0E = 0.
  • Feldlinien stehen außen senkrecht auf der Leiteroberfläche.

Das ist das Prinzip des faradayschen Käfigs: Im Auto oder Flugzeug ist man bei Blitzschlag geschützt, und empfindliche Geräte werden durch metallische Gehäuse abgeschirmt.

🔴 Beachte den Unterschied zur : lassen sich abschirmen, Gravitationsfelder nicht. Das liegt daran, dass es zwei Ladungsvorzeichen gibt, aber nur eine Sorte .

Ein Leiter im Feld: innen bleibt nichts übrig+−−+−+−+feldfreiIm Inneren eines Leiters ist das Feld null

Im Metall ist keine einzige Feldlinie eingezeichnet, und das ist kein Weglassen: Die verschobenen Elektronen wandern so lange, bis ihr eigenes Feld das äußere im Inneren genau aufhebt. Genau darauf beruht der faradaysche Käfig, zum Beispiel die Karosserie eines Autos.

Feldstärke berechnen

a) Ein hat d=5 mmd = 5\,\text{mm} Plattenabstand und liegt an U=200 VU = 200\,\text{V}. Wie groß ist EE?

b) Welche wirkt dort auf ein Elektron (e=1,6⋅10−19 Ce = 1{,}6 \cdot 10^{-19}\,\text{C})?

c) Wie groß ist die Feldstärke im Abstand r=3 cmr = 3\,\text{cm} von einer Punktladung Q=2 nCQ = 2\,\text{nC}?

d) In welche Richtung zeigt die Kraft auf das Elektron in b)?

  1. 1

    a) Homogenes Feld:

    E=Ud=200 V0,005 m=40000 Vm=4⋅104 VmE = \frac{U}{d} = \frac{200\,\text{V}}{0{,}005\,\text{m}} = 40000\,\frac{\text{V}}{\text{m}} = 4 \cdot 10^{4}\,\frac{\text{V}}{\text{m}}

    Beachte die Umrechnung von Millimeter in Meter; das ist die häufigste Fehlerquelle bei dieser Formel.

  2. 2

    b) Aus der Definition E=FqE = \frac{F}{q} folgt F=q⋅EF = q \cdot E:

    F=1,6⋅10−19 C⋅4⋅104 Vm=6,4⋅10−15 NF = 1{,}6 \cdot 10^{-19}\,\text{C} \cdot 4 \cdot 10^{4}\,\frac{\text{V}}{\text{m}} = 6{,}4 \cdot 10^{-15}\,\text{N}

    Das klingt winzig, ist aber für ein Elektron enorm: Seine beträgt nur 8,9⋅10−30 N8{,}9 \cdot 10^{-30}\,\text{N}, also rund 101510^{15}-mal weniger. Deshalb darf man die Schwerkraft bei geladenen Elementarteilchen in solchen Aufgaben immer vernachlässigen.

  3. 3

    c) Punktladung, also inhomogenes Feld:

    E=14πε0⋅Qr2=8,99⋅109 VmAs⋅2⋅10−9 C(0,03 m)2E = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \cdot \frac{Q}{r^2} = 8{,}99 \cdot 10^{9}\,\frac{\text{Vm}}{\text{As}} \cdot \frac{2 \cdot 10^{-9}\,\text{C}}{(0{,}03\,\text{m})^2} E=8,99⋅109⋅2⋅10−99⋅10−4 Vm≈2,0⋅104 VmE = 8{,}99 \cdot 10^{9} \cdot \frac{2 \cdot 10^{-9}}{9 \cdot 10^{-4}}\,\frac{\text{V}}{\text{m}} \approx 2{,}0 \cdot 10^{4}\,\frac{\text{V}}{\text{m}}
  4. 4

    d) Zur positiven Platte hin, also entgegen der Feldrichtung.

    Begründung: E⃗\vec{E} ist definiert als Kraft auf eine positive und zeigt deshalb von der positiven zur negativen Platte. Das Elektron ist negativ geladen, also wirkt die Kraft F⃗=q⋅E⃗\vec{F} = q \cdot \vec{E} mit negativem qq entgegengesetzt zu E⃗\vec{E}.

    🔴 Das ist der Grund, warum sich in einer Elektronenröhre die Elektronen von der Glühkathode zur positiven Anode bewegen, und warum die technische Stromrichtung der tatsächlichen Elektronenbewegung entgegengesetzt ist.

a) 4⋅104 Vm4 \cdot 10^{4}\,\frac{\text{V}}{\text{m}} b) 6,4⋅10−15 N6{,}4 \cdot 10^{-15}\,\text{N} c) etwa 2,0⋅104 Vm2{,}0 \cdot 10^{4}\,\frac{\text{V}}{\text{m}} d) entgegen E⃗\vec{E}, zur positiven Platte.

Warum die Gravitation im Alltag gewinnt

Vergleiche im Wasserstoffatom (r=5,3⋅10−11 mr = 5{,}3 \cdot 10^{-11}\,\text{m}) die elektrische Anziehung zwischen Proton und Elektron mit ihrer Gravitationsanziehung.

Gegeben: mp=1,67⋅10−27 kgm_p = 1{,}67 \cdot 10^{-27}\,\text{kg}, me=9,11⋅10−31 kgm_e = 9{,}11 \cdot 10^{-31}\,\text{kg}, G=6,67⋅10−11 Nm2kg2G = 6{,}67 \cdot 10^{-11}\,\frac{\text{Nm}^2}{\text{kg}^2}.

Erkläre anschließend, warum wir im Alltag trotzdem die spüren.

  1. 1

    Elektrische :

    Fel=8,99⋅109⋅(1,6⋅10−19)2(5,3⋅10−11)2 NF_{\text{el}} = 8{,}99 \cdot 10^{9} \cdot \frac{(1{,}6 \cdot 10^{-19})^2}{(5{,}3 \cdot 10^{-11})^2}\,\text{N} Fel=8,99⋅109⋅2,56⋅10−382,81⋅10−21 N≈8,2⋅10−8 NF_{\text{el}} = 8{,}99 \cdot 10^{9} \cdot \frac{2{,}56 \cdot 10^{-38}}{2{,}81 \cdot 10^{-21}}\,\text{N} \approx 8{,}2 \cdot 10^{-8}\,\text{N}
  2. 2

    Gravitationskraft:

    Fgrav=6,67⋅10−11⋅1,67⋅10−27⋅9,11⋅10−312,81⋅10−21 NF_{\text{grav}} = 6{,}67 \cdot 10^{-11} \cdot \frac{1{,}67 \cdot 10^{-27} \cdot 9{,}11 \cdot 10^{-31}}{2{,}81 \cdot 10^{-21}}\,\text{N} Fgrav≈3,6⋅10−47 NF_{\text{grav}} \approx 3{,}6 \cdot 10^{-47}\,\text{N}
  3. 3

    Verhältnis:

    FelFgrav=8,2⋅10−83,6⋅10−47≈2,3⋅1039\frac{F_{\text{el}}}{F_{\text{grav}}} = \frac{8{,}2 \cdot 10^{-8}}{3{,}6 \cdot 10^{-47}} \approx 2{,}3 \cdot 10^{39}

    Die elektrische Kraft ist also rund 103910^{39}-mal stärker. Diese Zahl ist so groß, dass jeder Vergleich versagt: Sie ist größer als das Verhältnis vom Durchmesser des beobachtbaren Universums zum Durchmesser eines .

    🔴 Beachte, dass sich der Abstand herauskürzt, weil beide Gesetze mit 1r2\frac{1}{r^2} gehen. Das Verhältnis ist deshalb unabhängig vom Abstand.

  4. 4

    Warum wir trotzdem die Gravitation spüren.

    Der Grund liegt nicht in der Stärke, sondern in der Kompensation:

    • Es gibt zwei elektrische Ladungsvorzeichen, und in gewöhnlicher Materie liegen sie in fast exakt gleicher Menge vor. Nach außen ist ein Körper deshalb praktisch neutral, und die riesigen Kräfte heben einander auf.
    • Es gibt nur eine Sorte Masse. Nichts kann Gravitation aufheben; sie summiert sich über jedes einzelne Teilchen eines Körpers.

    Die Erde zieht uns also mit der aufsummierten Wirkung von rund 105010^{50} Teilchen an, während ihre elektrische Wirkung auf uns null ist.

    Wie leicht das Gleichgewicht kippt, zeigt eine Abschätzung: Nähme man nur einem von 101210^{12} Atomen zweier Menschen ein Elektron weg, wäre die Abstoßung zwischen ihnen bereits mit ihrem Gewicht vergleichbar. Genau deshalb sind statische Aufladungen, bei denen minimale Ladungsmengen getrennt werden, mit bloßen Fingern spürbar.

    Und deshalb hält Materie zusammen: Der feste Zusammenhalt von Festkörpern, die Undurchdringlichkeit von Gegenständen und jede chemische Bindung sind elektrische Wirkungen. Die Gravitation spielt in der Alltagsmaterie strukturell keine Rolle; sie beherrscht dafür das Weltall, wo sich Ladungen ausgleichen, Massen aber nicht.

Fel≈8,2⋅10−8 NF_{\text{el}} \approx 8{,}2 \cdot 10^{-8}\,\text{N} gegen Fgrav≈3,6⋅10−47 NF_{\text{grav}} \approx 3{,}6 \cdot 10^{-47}\,\text{N}, ein Verhältnis von rund 103910^{39}. Im Alltag gewinnt die Gravitation, weil sich ausgleichen, aber nie.

Typischer Fehler

„Die Feldstärke hängt davon ab, wie groß die Probeladung ist, die man hineinbringt."

Sie hängt gerade nicht davon ab, und genau deshalb wird durch qq geteilt.

Der Gedankengang: Bringt man eine doppelt so große Probeladung in denselben Punkt, wirkt auf sie die doppelte . Der Quotient Fq\frac{F}{q} bleibt dabei unverändert:

2F2q=Fq\frac{2F}{2q} = \frac{F}{q}

Die Feldstärke beschreibt also eine Eigenschaft des Ortes, unabhängig davon, was man dort hineinbringt oder ob man überhaupt etwas hineinbringt. Genau darin liegt der Wert des Feldbegriffs: Er trennt die Ursache (das erzeugende Feld) von der Wirkung (die Kraft auf eine bestimmte ).

Dasselbe Muster kennst du bereits:

  • Die ρ=mV\rho = \frac{m}{V} hängt nicht von der Stoffmenge ab.
  • Die Ortsfaktor g=FGmg = \frac{F_G}{m} hängt nicht von der ab, die man aufhängt.

In allen drei Fällen macht erst der Quotient aus einer Messung an einem Probekörper eine Aussage über die Umgebung.

Eine ehrliche Einschränkung: Die Probeladung muss klein genug sein, denn eine große Probeladung verschiebt ihrerseits Ladungen in der Umgebung und verändert damit das Feld, das sie messen soll. Das ist aber ein messtechnisches Problem, kein Widerspruch zur Definition. Deshalb spricht man ausdrücklich von einer kleinen Probeladung.

Praktische Prüffrage: Wenn in einer Aufgabe die Feldstärke gefragt ist, darf die Antwort die Probeladung nicht mehr enthalten. Steht sie noch drin, wurde nicht zu Ende gerechnet.

Übung 1

leicht

a) Ein mit d=2 cmd = 2\,\text{cm} liegt an U=600 VU = 600\,\text{V}. Wie groß ist EE?

b) Welche wirkt auf eine von 4 nC4\,\text{nC} in diesem Feld?

c) Nenne drei Regeln für Feldlinienbilder.

Tipp anzeigen

a) Abstand in Meter umrechnen.

Lösung anzeigen

a) E=Ud=600 V0,02 m=30000 Vm=3⋅104 VmE = \frac{U}{d} = \frac{600\,\text{V}}{0{,}02\,\text{m}} = 30000\,\frac{\text{V}}{\text{m}} = 3 \cdot 10^{4}\,\frac{\text{V}}{\text{m}}

b) F=q⋅E=4⋅10−9 C⋅3⋅104 Vm=1,2⋅10−4 NF = q \cdot E = 4 \cdot 10^{-9}\,\text{C} \cdot 3 \cdot 10^{4}\,\frac{\text{V}}{\text{m}} = 1{,}2 \cdot 10^{-4}\,\text{N}

c) Drei Regeln (aus vier möglichen):

  • Feldlinien beginnen an positiven und enden an negativen Ladungen.
  • Die der Linien gibt den Betrag der Feldstärke an (eng bedeutet stark).
  • Feldlinien schneiden sich nie, weil das Feld an jedem Ort genau eine Richtung hat.
  • Die Tangente an eine Feldlinie gibt die Richtung von E⃗\vec{E} an.
Detaillierte Schritterklärung anzeigen

Hier wird jeder Schritt einzeln erklärt, vor allem, warum er gemacht wird.

Erklärungstiefe

✦ Empfohlen: Standard – Die normale Erklärungstiefe passt zum Einstieg.

  1. 1

    Gegeben und Gesucht im Plattenkondensator

    Gegeben: Plattenabstand d=2 cmd = 2\,\text{cm} und U=600 VU = 600\,\text{V}; in b) zusätzlich q=4 nCq = 4\,\text{nC}. Gesucht: a) die Feldstärke, b) die Kraft auf die Ladung, c) drei Regeln für Feldlinienbilder.

  2. 2

    Plattenabstand in Meter, Ladung in Coulomb

    2 cm=0,02 m2\,\text{cm} = 0{,}02\,\text{m} und 4 nC=4⋅10−9 C4\,\text{nC} = 4 \cdot 10^{-9}\,\text{C}, jetzt passen beide zu den SI-Einheiten der Formeln.

    d=2 cm=0,02 md = 2\,\text{cm} = 0{,}02\,\text{m}; q=4 nC=4⋅10−9 Cq = 4\,\text{nC} = 4 \cdot 10^{-9}\,\text{C}

    Zwischenergebnis

    d=0,02 md = 0{,}02\,\text{m}, q=4⋅10−9 Cq = 4 \cdot 10^{-9}\,\text{C}

  3. 3

    Feldstärke im homogenen Feld und Kraft auf eine Ladung

    Im Plattenkondensator ist das Feld homogen, dort gilt E=UdE = \frac{U}{d}. Und die Feldstärke ist über die Kraft je Ladung definiert, also F=q⋅EF = q \cdot E.

  4. 4

    a) und b) Feldstärke und Kraft berechnen

    Erst Spannung durch Abstand, dann Ladung mal Feldstärke.

    E=600 V0,02 m=3⋅104 VmE = \frac{600\,\text{V}}{0{,}02\,\text{m}} = 3 \cdot 10^{4}\,\frac{\text{V}}{\text{m}}; F=4⋅10−9 C⋅3⋅104 Vm=1,2⋅10−4 NF = 4 \cdot 10^{-9}\,\text{C} \cdot 3 \cdot 10^{4}\,\frac{\text{V}}{\text{m}} = 1{,}2 \cdot 10^{-4}\,\text{N}

    Zwischenergebnis

    E=3⋅104 VmE = 3 \cdot 10^{4}\,\frac{\text{V}}{\text{m}}, F=1,2⋅10−4 NF = 1{,}2 \cdot 10^{-4}\,\text{N}

  5. 5

    c) Ergebnis deuten: was Feldlinien darstellen und was nicht

    Feldlinien beginnen an positiven und enden an negativen Ladungen. Ihre Dichte gibt den Betrag der Feldstärke an. Sie schneiden sich nie, weil das Feld an jedem Ort genau eine Richtung hat. Und die Tangente gibt die Richtung von E⃗\vec{E} an.

Übung 2

mittel

a) Wie groß ist die Feldstärke 2 cm2\,\text{cm} von einer Punktladung Q=−5 nCQ = -5\,\text{nC} entfernt, und wohin zeigt sie?

b) Wie verändert sich die Feldstärke einer Punktladung, wenn man den Abstand verdreifacht?

c) Warum ist man im Auto bei einem Blitzschlag geschützt?

d) Warum lassen sich abschirmen, Gravitationsfelder aber nicht?

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b) Wie geht EE mit rr?

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a) E=8,99⋅109⋅5⋅10−9(0,02)2 Vm=8,99⋅109⋅5⋅10−94⋅10−4 Vm≈1,1⋅105 VmE = 8{,}99 \cdot 10^{9} \cdot \frac{5 \cdot 10^{-9}}{(0{,}02)^2}\,\frac{\text{V}}{\text{m}} = 8{,}99 \cdot 10^{9} \cdot \frac{5 \cdot 10^{-9}}{4 \cdot 10^{-4}}\,\frac{\text{V}}{\text{m}} \approx 1{,}1 \cdot 10^{5}\,\frac{\text{V}}{\text{m}}

Die Feldstärke zeigt zur hin, denn E⃗\vec{E} ist als auf eine positive Probeladung definiert, und diese würde von der negativen Ladung angezogen.

b) EE ist proportional zu 1r2\frac{1}{r^2}. Bei dreifachem Abstand:

Eneu=E32=E9E_{\text{neu}} = \frac{E}{3^2} = \frac{E}{9}

Die Feldstärke sinkt also auf ein Neuntel.

c) Weil die Karosserie ein faradayscher Käfig ist.

Trifft der Blitz das Auto, verschieben sich die freien Elektronen der Metallhülle so lange, bis das von ihnen erzeugte Feld das äußere im Inneren genau aufhebt. Im Innenraum bleibt E=0E = 0.

Der Strom fließt außen über die Karosserie zur Erde ab. Entscheidend ist also die Metallhülle, nicht die gummibereiften Räder, wie oft angenommen wird. Bei mehreren Millionen Volt würden ein paar Zentimeter Gummi ohnehin nicht isolieren.

d) Weil es zwei Ladungsvorzeichen gibt, aber nur eine Sorte .

Zur Abschirmung braucht man Ladungsträger, die sich so anordnen können, dass ihr eigenes Feld das äußere aufhebt. Genau das leisten die frei beweglichen Elektronen in einem Leiter.

Bei der gäbe es dafür kein Gegenstück: Man bräuchte „negative Masse", die abstoßend wirkt und das Feld kompensiert. So etwas ist nie beobachtet worden.

🔴 Genau deshalb dominiert die Gravitation trotz ihrer Schwäche das Weltall: Sie lässt sich nicht neutralisieren und summiert sich über alle Massen.

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Hier wird jeder Schritt einzeln erklärt, vor allem, warum er gemacht wird.

Erklärungstiefe

✦ Empfohlen: Standard – Die normale Erklärungstiefe passt zum Einstieg.

  1. 1

    Gegeben und Gesucht bei der Punktladung

    a) r=2 cmr = 2\,\text{cm} von einer Punktladung Q=−5 nCQ = -5\,\text{nC}; gesucht Betrag und Richtung der Feldstärke. b) bis d) verlangen drei Begründungen zu Abstand, Käfig und Abschirmbarkeit.

  2. 2

    Das Feld einer Punktladung nimmt quadratisch ab

    Für eine Punktladung gilt E=14πε0⋅Qr2E = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \cdot \frac{Q}{r^2} mit 14πε0≈8,99⋅109\frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \approx 8{,}99 \cdot 10^{9}. Der Abstand steht im Quadrat und im Nenner.

  3. 3

    a) Betrag und Richtung der Feldstärke

    Abstand in Meter, dann einsetzen. Die Richtung folgt aus der Definition der Feldstärke als Kraft auf eine positive Probeladung.

    E=8,99⋅109⋅5⋅10−9(0,02)2 Vm≈1,1⋅105 VmE = 8{,}99 \cdot 10^{9} \cdot \frac{5 \cdot 10^{-9}}{(0{,}02)^2}\,\frac{\text{V}}{\text{m}} \approx 1{,}1 \cdot 10^{5}\,\frac{\text{V}}{\text{m}}

    Zwischenergebnis

    E≈1,1⋅105 VmE \approx 1{,}1 \cdot 10^{5}\,\frac{\text{V}}{\text{m}}, zur Ladung hin gerichtet.

  4. 4

    b) und c) Dreifacher Abstand und der faradaysche Käfig

    b) Weil E∼1r2E \sim \frac{1}{r^2}, sinkt die Feldstärke bei dreifachem Abstand auf ein Neuntel. c) Im Auto verschieben sich die freien Elektronen der Metallhülle so lange, bis ihr Feld das äußere im Inneren genau aufhebt. Dort bleibt E=0E = 0.

  5. 5

    d) Ergebnis deuten: warum Gravitation nicht abschirmbar ist

    Weil es zwei Ladungsvorzeichen gibt, aber nur eine Sorte Masse. Zur Abschirmung braucht man Ladungsträger, die sich so anordnen, dass ihr eigenes Feld das äußere aufhebt, bei der Gravitation bräuchte man „negative Masse", die abstoßend wirkt. So etwas ist nie beobachtet worden.

Übung 3

schwer

a) Begründe, warum die Feldstärke als Quotient Fq\frac{F}{q} definiert ist und nicht einfach als .

b) Zwei gleiche positive befinden sich im Abstand 2a2a. Wo ist die Feldstärke null? Begründe.

c) Nenne zwei Argumente dafür, dass das Feld mehr ist als eine Rechenhilfe.

d) Ein Öltröpfchen (m=3,2⋅10−15 kgm = 3{,}2 \cdot 10^{-15}\,\text{kg}) schwebt in einem Kondensatorfeld mit E=2,0⋅105 VmE = 2{,}0 \cdot 10^{5}\,\frac{\text{V}}{\text{m}}. Wie groß ist seine Ladung, und wie viele Elementarladungen sind das?

Tipp anzeigen

d) Welche zwei Kräfte halten sich die Waage?

Lösung anzeigen

a) Weil die gemessene Kraft von der Probeladung abhängt, das Feld selbst aber nicht.

Bringt man die doppelte Probeladung an denselben Ort, wirkt die doppelte Kraft. Der Quotient bleibt unverändert:

2F2q=Fq\frac{2F}{2q} = \frac{F}{q}

Erst dieser Quotient beschreibt eine Eigenschaft des Ortes, unabhängig davon, ob und was man dort hineinbringt. Die Kraft allein wäre keine Eigenschaft des Feldes, sondern eine Eigenschaft der Kombination aus Feld und Probeladung.

Dasselbe Prinzip steckt hinter ρ=mV\rho = \frac{m}{V} und g=FGmg = \frac{F_G}{m}: Der Quotient macht aus einer Messung an einem Probekörper eine Aussage über den Stoff bzw. den Ort.

b) Genau in der Mitte, also im Abstand aa von jeder Ladung.

Begründung: Beide Ladungen sind gleich groß und der Punkt hat von beiden denselben Abstand. Nach E=14πε0⋅Qr2E = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\cdot\frac{Q}{r^2} sind beide Beiträge dem Betrag nach gleich.

Die Richtungen sind aber entgegengesetzt: Jede positive Ladung drückt eine positive Probeladung von sich weg, also die linke nach rechts und die rechte nach links. Die vektorielle Summe ist damit null.

E⃗ges=E⃗1+E⃗2=0⃗\vec{E}_{\text{ges}} = \vec{E}_1 + \vec{E}_2 = \vec{0}

Im Feldlinienbild erkennt man diesen Punkt daran, dass die Linien einander ausweichen und dort keine Linie hindurchläuft.

🔴 Wichtig: Feldstärke null bedeutet nicht, dass dort kein Feld erzeugt wird; beide Ladungen wirken sehr wohl. Ihre Wirkungen heben sich nur auf. Verschiebt man eine Ladung, verschwindet der Punkt sofort.

(Bei ungleichnamigen Ladungen gibt es keinen solchen Punkt zwischen ihnen, weil sich die Beiträge dort addieren statt aufheben.)

c) Erstens: Das Feld trägt . Ein geladener speichert Energie, und diese Energie ist nicht „in den Ladungen", sondern im Raum zwischen den Platten. Man kann sie dort entnehmen. Etwas, das Energie enthält, ist mehr als eine Rechenhilfe.

Zweitens: Das Feld braucht Zeit. Verschiebt man eine Ladung, ändert sich das Feld in großer Entfernung nicht sofort, sondern die Änderung breitet sich mit Lichtgeschwindigkeit aus. Für eine bloße Fernwirkungsformel wäre das unerklärlich: Zwischen dem Verschieben und dem Ankommen der Wirkung existiert die Störung nur „im Feld".

Genau darauf beruhen elektromagnetische und damit Funk, Licht und Röntgenstrahlung. Ein Radiosignal erreicht uns von einem Sender, der in der Zwischenzeit abgeschaltet werden könnte; die Energie ist unterwegs im Feld.

d) Das Tröpfchen schwebt, also halten sich und elektrische Kraft die Waage:

q⋅E=m⋅gq \cdot E = m \cdot g q=m⋅gE=3,2⋅10−15 kg⋅9,81 ms22,0⋅105 Vm≈1,57⋅10−19 Cq = \frac{m \cdot g}{E} = \frac{3{,}2 \cdot 10^{-15}\,\text{kg} \cdot 9{,}81\,\frac{\text{m}}{\text{s}^2}}{2{,}0 \cdot 10^{5}\,\frac{\text{V}}{\text{m}}} \approx 1{,}57 \cdot 10^{-19}\,\text{C}

In Elementarladungen:

n=1,57⋅10−19 C1,6⋅10−19 C≈1n = \frac{1{,}57 \cdot 10^{-19}\,\text{C}}{1{,}6 \cdot 10^{-19}\,\text{C}} \approx 1

Das Tröpfchen trägt also eine Elementarladung.

🔴 Das ist der Millikan-Versuch. Robert Millikan maß ab 1909 an vielen Tröpfchen die Ladung und stellte fest, dass alle Werte ganzzahlige Vielfache desselben kleinsten Betrages waren. Damit war bewiesen, dass elektrische Ladung nicht beliebig teilbar ist, sondern in festen Portionen auftritt.

Bemerkenswert an der Methode: Sie misst eine Eigenschaft eines einzelnen Elektrons, ohne je ein Elektron zu sehen, allein durch die Beobachtung eines schwebenden Öltröpfchens im Mikroskop.

Detaillierte Schritterklärung anzeigen

Hier wird jeder Schritt einzeln erklärt, vor allem, warum er gemacht wird.

Erklärungstiefe

✦ Empfohlen: Standard – Die normale Erklärungstiefe passt zum Einstieg.

  1. 1

    Gegeben und Gesucht beim schwebenden Öltröpfchen

    a) bis c) verlangen Begründungen. d) gibt m=3,2⋅10−15 kgm = 3{,}2 \cdot 10^{-15}\,\text{kg} und E=2,0⋅105 VmE = 2{,}0 \cdot 10^{5}\,\frac{\text{V}}{\text{m}}; gesucht sind Ladung und Zahl der Elementarladungen.

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    a) Warum die Feldstärke als Quotient definiert ist

    Weil die gemessene Kraft von der Probeladung abhängt, das Feld selbst aber nicht. Bringt man die doppelte Probeladung an denselben Ort, wirkt die doppelte Kraft, der Quotient bleibt unverändert: 2F2q=Fq\frac{2F}{2q} = \frac{F}{q}.

  3. 3

    b) Wo zwischen zwei gleichen Ladungen die Feldstärke null ist

    Genau in der Mitte, im Abstand aa von jeder Ladung. Beide Beiträge sind dem Betrag nach gleich (gleiche Ladung, gleicher Abstand), aber entgegengesetzt gerichtet: Jede positive Ladung drückt eine positive Probeladung von sich weg. Die vektorielle Summe ist null.

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    c) Zwei Gründe, warum das Feld mehr als eine Rechenhilfe ist

    Erstens trägt es Energie: Ein geladener Kondensator speichert Energie im Raum zwischen den Platten, und man kann sie dort entnehmen. Zweitens braucht es Zeit: Verschiebt man eine Ladung, breitet sich die Änderung mit Lichtgeschwindigkeit aus statt sofort zu wirken.

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    d) Die Ladung des Tröpfchens und ihre Deutung

    Aus dem Kräftegleichgewicht q⋅E=m⋅gq \cdot E = m \cdot g folgt q=mgEq = \frac{m g}{E}. Danach wird durch die Elementarladung geteilt.

    q=3,2⋅10−15 kg⋅9,81 ms22,0⋅105 Vm≈1,57⋅10−19 Cq = \frac{3{,}2 \cdot 10^{-15}\,\text{kg} \cdot 9{,}81\,\frac{\text{m}}{\text{s}^2}}{2{,}0 \cdot 10^{5}\,\frac{\text{V}}{\text{m}}} \approx 1{,}57 \cdot 10^{-19}\,\text{C}; n=1,57⋅10−191,6⋅10−19≈1n = \frac{1{,}57 \cdot 10^{-19}}{1{,}6 \cdot 10^{-19}} \approx 1

    Zwischenergebnis

    q≈1,57⋅10−19 Cq \approx 1{,}57 \cdot 10^{-19}\,\text{C}, also eine Elementarladung.

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    d) Ergebnis deuten: der Millikan-Versuch

    Das Tröpfchen trägt eine Elementarladung. Robert Millikan maß ab 1909 an vielen Tröpfchen die Ladung und stellte fest, dass alle Werte ganzzahlige Vielfache desselben kleinsten Betrages waren.

Zusammenfassung

Zwischen zwei wirkt nach dem Coulombgesetz eine , die wie die mit dem Quadrat des Abstands abnimmt, aber um viele Zehnerpotenzen stärker ist und beide Vorzeichen haben kann. Übertragen wird sie nicht als Fernwirkung, sondern über das , den durch die Ladung veränderten Zustand des Raumes, der trägt und sich nur mit Lichtgeschwindigkeit ändert. Die elektrische Feldstärke ist als Quotient aus Kraft und Probeladung definiert und beschreibt damit den Ort statt der Probeladung; sie zeigt in Richtung der Kraft auf eine positive Ladung. Feldlinien machen das Feld anschaulich, wobei ihre den Betrag angibt und sie einander nie schneiden. Im homogenen Feld des Plattenkondensators gilt die einfache Beziehung E=UdE = \frac{U}{d}, während das Feld einer Punktladung mit dem Quadrat des Abstands abnimmt und im Inneren jedes Leiters vollständig verschwindet.