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Elektrizitätslehre

Die Energie des geladenen Kondensators

Warum nur die halbe Ladungsarbeit gespeichert wird, wo die Energie wirklich steckt und wie man die Energiedichte bestimmt.

Benötigte Grundlagen

Dieses Vorwissen brauchst du für das Kapitel. Schau kurz nach, wenn dir etwas davon nicht mehr präsent ist, sonst leg direkt los.

Einführung

Ein geladener enthält , das ist unbestritten: Ein Defibrillator kann damit ein Herz wieder in Takt bringen.

Aber wo steckt sie? Auf den Platten sitzt , doch Ladung allein ist keine Energie. Faraday gab eine Antwort, die damals radikal klang und heute den Kern der Elektrodynamik bildet: Die Energie steckt im Feld selbst, also im scheinbar leeren Raum zwischen den Platten.

Diese Frage ist nicht bloß philosophisch. Aus der Antwort folgt, dass elektromagnetische Energie durch den leeren Raum tragen können, und damit jede Funkverbindung.

Das kannst du nach diesem Kapitel

  • die des geladenen Kondensators herleiten.

  • begründen, warum der Faktor 12\frac{1}{2} auftritt.

  • die drei Formen der Energieformel ineinander umrechnen.

  • die Energie als Feldenergie deuten.

  • die Energiedichte des berechnen.

  • Anwendungen der Energiespeicherung bewerten.

Die Energie beim Laden

Beim Laden wird gegen die bereits vorhandene auf die Platten gebracht. Für die gilt W=Q⋅UW = Q \cdot U, aber Vorsicht:

🔴 UU ist während des Ladens nicht konstant. Am Anfang ist der leer, seine Spannung null, und die erste Ladung lässt sich mühelos aufbringen. Je voller er wird, desto größer die Gegenspannung und desto mehr Arbeit kostet jede weitere Portion.

Die Spannung wächst dabei linear mit der Ladung, denn U=QCU = \frac{Q}{C}. Der Mittelwert der Spannung während des gesamten Vorgangs ist deshalb genau die halbe Endspannung:

U‾=0+U2=U2\overline{U} = \frac{0 + U}{2} = \frac{U}{2}

Damit folgt

W=Q⋅U‾=12QUW = Q \cdot \overline{U} = \frac{1}{2} Q U

Grafisch: Trägt man UU über QQ auf, ergibt sich eine Ursprungsgerade. Die Arbeit ist die Fläche darunter, also ein Dreieck mit der Fläche 12QU\frac{1}{2} Q U und nicht ein Rechteck Q⋅UQ \cdot U.

Woher der Faktor ½ kommtUQE = ½ · Q · UQ = C · UE = ½ · C · U² ist dasselbe, nur mit Q = C · U eingesetzt

Hier kommt der Faktor ½ her, den viele für einen Schreibfehler halten: Beim Laden steigt die erst von null an, die erste kostet also fast nichts und die letzte am meisten. Deshalb ist es die Dreiecksfläche und nicht das volle Rechteck Q⋅UQ \cdot U.

Die drei Formen der Energieformel

Mit Q=C⋅UQ = C \cdot U lässt sich der Ausdruck umschreiben:

E=12QU=12CU2=12⋅Q2C\boxed{E = \frac{1}{2} Q U = \frac{1}{2} C U^2 = \frac{1}{2} \cdot \frac{Q^2}{C}}

Welche Form man wählt, hängt davon ab, was gegeben ist:

GegebenPassende Form
QQ und UU12QU\frac{1}{2} QU
CC und UU (Quelle angeschlossen)12CU2\frac{1}{2} C U^2
QQ und CC (Quelle getrennt)12Q2C\frac{1}{2} \frac{Q^2}{C}

🔴 Beachte E∼U2E \sim U^2: Doppelte bedeutet vierfache . Deshalb arbeitet man in Energiespeichern mit möglichst hoher Spannung.

Wo steckt die Energie?

Auf den Platten sitzt , aber Ladung allein ist keine . Der entscheidende Hinweis: Zieht man die Platten eines von der Quelle getrennten Kondensators auseinander, muss man verrichten (die ungleichnamig geladenen Platten ziehen sich an). Danach ist mehr Energie gespeichert, obwohl sich die Ladung nicht geändert hat.

Verändert hat sich nur der Raum zwischen den Platten, nämlich sein Volumen. Damit liegt die Deutung nahe:

Die Energie ist im gespeichert, also im Raum zwischen den Platten.

Diesen Gedanken kann man quantitativ prüfen. Mit C=ε0εrAdC = \varepsilon_0 \varepsilon_r \frac{A}{d} und U=E⋅dU = E \cdot d folgt

W=12CU2=12⋅ε0εrAd⋅(Ed)2=12ε0εrE2⋅A⋅d⏟VolumenW = \frac{1}{2} C U^2 = \frac{1}{2} \cdot \varepsilon_0 \varepsilon_r \frac{A}{d} \cdot (E d)^2 = \frac{1}{2} \varepsilon_0 \varepsilon_r E^2 \cdot \underbrace{A \cdot d}_{\text{Volumen}}

Die Energie ist also dem Volumen des Feldraumes proportional. Teilt man durch das Volumen, erhält man die

Energiedichte ρE=WV=12ε0εrE2\boxed{\text{Energiedichte } \rho_E = \frac{W}{V} = \frac{1}{2} \varepsilon_0 \varepsilon_r E^2}

🔴 Das ist die eigentliche Pointe: In dieser Formel kommen weder Ladung noch Platten vor, sondern nur die am jeweiligen Ort. Die Energie ist damit im Raum verteilt, unabhängig davon, was sie erzeugt hat.

Genau deshalb kann eine elektromagnetische Energie durch den leeren Raum tragen, lange nachdem der Sender abgeschaltet wurde. Ohne Feldenergie wäre Funk unerklärlich.

Der Vergleich mit anderen Speichern

SpeicherEnergieformelgemeinsames Muster
Feder12Ds2\frac{1}{2} D s^212\frac{1}{2} mal Konstante mal Quadrat
Bewegung12mv2\frac{1}{2} m v^2 ebenso
12CU2\frac{1}{2} C U^2ebenso

In allen drei Fällen entsteht der Faktor 12\frac{1}{2} aus demselben Grund: Die „rücktreibende" Größe wächst linear mit der Auslenkung, und die ist die Dreiecksfläche darunter.

Grenzen der Speicherung

geben ihre sehr schnell ab und vertragen beliebig viele Lade- und Entladezyklen. Ihre gespeicherte Energiemenge ist im Vergleich zu Akkus aber klein.

SpeicherEnergie je Kilogramm
Superkondensatorrund 55 bis 10 Whkg10\,\frac{\text{Wh}}{\text{kg}}
Lithium-Ionen-Akkurund 150150 bis 250 Whkg250\,\frac{\text{Wh}}{\text{kg}}
Benzinrund 12000 Whkg12000\,\frac{\text{Wh}}{\text{kg}}

Deshalb ersetzen Kondensatoren keine Akkus. Sie ergänzen sie dort, wo es auf statt auf Energiemenge ankommt, etwa bei der Rückgewinnung von Bremsenergie in Straßenbahnen.

Die Grenze ist physikalisch: Ab einer bestimmten wird das Dielektrikum leitend (Durchschlag), und mehr Energie lässt sich in dem Volumen nicht unterbringen.

Energie berechnen

Ein Defibrillator arbeitet mit C=32 µFC = 32\,\text{µF} und U=4,5 kVU = 4{,}5\,\text{kV}.

a) Welche ist gespeichert?

b) Welche ist auf den Platten?

c) Die Entladung dauert 8 ms8\,\text{ms}. Welche mittlere wird abgegeben?

d) Wie ändert sich die Energie, wenn man die auf 9 kV9\,\text{kV} verdoppelt?

  1. 1

    a) Gegeben sind CC und UU, also passt die zweite Form:

    E=12CU2=12⋅32⋅10−6 F⋅(4500 V)2E = \frac{1}{2} C U^2 = \frac{1}{2} \cdot 32 \cdot 10^{-6}\,\text{F} \cdot (4500\,\text{V})^2 E=12⋅32⋅10−6⋅2,025⋅107 J=324 JE = \frac{1}{2} \cdot 32 \cdot 10^{-6} \cdot 2{,}025 \cdot 10^{7}\,\text{J} = 324\,\text{J}

    Das entspricht der typischen Energie eines Defibrillatorschocks.

  2. 2

    b) Q=C⋅U=32⋅10−6 F⋅4500 V=0,144 C=144 mCQ = C \cdot U = 32 \cdot 10^{-6}\,\text{F} \cdot 4500\,\text{V} = 0{,}144\,\text{C} = 144\,\text{mC}

    Kontrolle über die erste Formel:

    E=12QU=12⋅0,144 C⋅4500 V=324 J ✓E = \frac{1}{2} Q U = \frac{1}{2} \cdot 0{,}144\,\text{C} \cdot 4500\,\text{V} = 324\,\text{J} \ \checkmark
  3. 3

    c) P=Et=324 J0,008 s=40500 W≈40,5 kWP = \frac{E}{t} = \frac{324\,\text{J}}{0{,}008\,\text{s}} = 40500\,\text{W} \approx 40{,}5\,\text{kW}

    🔴 Über 4040 Kilowatt, also mehr als ein Kleinwagenmotor, aus einem Gerät, das an einem Akku hängt. Genau das ist die Leistung des Kondensators als Zwischenspeicher: geringe Energiemenge, aber in kürzester Zeit abgegeben.

  4. 4

    d) Die Energie vervierfacht sich auf 1296 J1296\,\text{J}.

    Begründung: In E=12CU2E = \frac{1}{2} C U^2 steht die Spannung im Quadrat. Doppelte Spannung bedeutet also den Faktor 22=42^2 = 4.

    Eneu=12⋅32⋅10−6⋅(9000)2 J=1296 J=4⋅324 J ✓E_{\text{neu}} = \frac{1}{2} \cdot 32 \cdot 10^{-6} \cdot (9000)^2\,\text{J} = 1296\,\text{J} = 4 \cdot 324\,\text{J} \ \checkmark

    Praktische Bedeutung: Deshalb lohnt es sich in Energiespeichern, mit möglichst hoher Spannung zu arbeiten. Die Grenze setzt der Durchschlag des Dielektrikums; jeder trägt deshalb eine maximale Betriebsspannung, die man nicht überschreiten darf.

    Und deshalb ist ein geladener Hochspannungskondensator gefährlich, auch wenn das Gerät längst ausgeschaltet ist. In Fernsehern und Netzteilen werden solche Kondensatoren mit Entladewiderständen versehen, damit sie sich nach dem Abschalten selbsttätig leeren.

a) 324 J324\,\text{J} b) 144 mC144\,\text{mC} c) rund 40,5 kW40{,}5\,\text{kW} d) sie vervierfacht sich auf 1296 J1296\,\text{J}, weil E∼U2E \sim U^2.

Warum der Faktor ein Halb auftritt

Ein Schüler rechnet: „Auf dem sitzt die QQ und es liegt die UU an. Nach W=Q⋅UW = Q \cdot U ist die gespeicherte also QUQU."

Erkläre, warum das falsch ist, und begründe den Faktor 12\frac{1}{2} auf zwei verschiedenen Wegen.

  1. 1

    Wo der Fehler liegt. Die Formel W=Q⋅UW = Q \cdot U gilt nur, wenn die Ladung QQ eine konstante Spannung UU durchläuft, etwa in einem mit fester Quellenspannung.

    Beim Laden eines Kondensators ist die Spannung aber nicht konstant. Sie beginnt bei null und wächst erst mit der aufgebrachten Ladung:

    U=QCU = \frac{Q}{C}

    Die erste Ladungsportion kostet praktisch keine , die letzte die volle. Wer mit der Endspannung rechnet, überschätzt die Arbeit systematisch.

  2. 2

    Weg 1: Über den Mittelwert.

    Da UU linear mit QQ wächst, ist der zeitliche Mittelwert der Spannung genau der Mittelwert von Anfangs- und Endwert:

    U‾=0+U2=U2\overline{U} = \frac{0 + U}{2} = \frac{U}{2}

    Damit ergibt sich

    W=Q⋅U‾=12QUW = Q \cdot \overline{U} = \frac{1}{2} Q U

    🔴 Wichtig ist, dass die Mittelwertbildung hier erlaubt ist, weil der Zusammenhang linear ist. Bei einem gekrümmten Verlauf würde dieses Vorgehen falsche Ergebnisse liefern.

  3. 3

    Weg 2: Über die Fläche im UU-QQ-Diagramm.

    Trägt man die Spannung über der Ladung auf, ergibt U=QCU = \frac{Q}{C} eine Ursprungsgerade. Die verrichtete Arbeit ist die Fläche unter dieser Kurve, denn jedes schmale Ladungsstückchen ΔQ\Delta Q trägt U⋅ΔQU \cdot \Delta Q bei.

    Die Fläche unter einer Ursprungsgeraden bis (Q ∣ U)(Q\,|\,U) ist ein Dreieck:

    W=12⋅Grundseite⋅Ho¨he=12QUW = \frac{1}{2} \cdot \text{Grundseite} \cdot \text{Höhe} = \frac{1}{2} Q U

    Der Fehler des Schülers besteht anschaulich darin, das Rechteck Q⋅UQ \cdot U statt des Dreiecks zu nehmen, also genau das Doppelte.

  4. 4

    Dasselbe Muster an zwei bekannten Stellen.

    • Feder: Die wächst linear mit der Dehnung (F=D⋅sF = D \cdot s), die Spannarbeit ist deshalb 12Ds2\frac{1}{2} D s^2 und nicht Ds⋅sD s \cdot s.
    • aus der Ruhe: Die wächst linear mit der Zeit, der Weg ist deshalb 12at2\frac{1}{2} a t^2 und nicht at⋅ta t \cdot t.

    🔴 Die verallgemeinerbare Regel: Immer wenn eine Größe von null aus linear anwächst, steht in der Energie- oder Wegformel ein Faktor 12\frac{1}{2}. Wer das erkennt, muss keine der drei Formeln auswendig lernen.

    Und wo bleibt die andere Hälfte? Lädt man einen Kondensator direkt an einer Spannungsquelle über einen Widerstand, liefert die Quelle tatsächlich die Arbeit QUQU. Die Hälfte davon wird im Widerstand in umgesetzt, und zwar unabhängig davon, wie groß er ist. Nur die andere Hälfte landet im Feld. Auch das bestätigt den Faktor 12\frac{1}{2}, von der Energiebilanz her.

W=QUW = Q U setzt konstante Spannung voraus, doch beim Laden wächst UU linear von null an. Der Mittelwert ist U2\frac{U}{2}, im Diagramm die Dreiecksfläche, also W=12QUW = \frac{1}{2} QU.

Typischer Fehler

„Die eines geladenen Kondensators sitzt in den auf den Platten."

Die Energie steckt im Feld zwischen den Platten, nicht in den Ladungen selbst.

Das entscheidende Argument. Trennt man einen geladenen von der Quelle und zieht dann die Platten auseinander, muss man verrichten, denn die ungleichnamig geladenen Platten ziehen sich an. Danach ist mehr Energie gespeichert.

Die Ladung hat sich dabei nicht geändert; sie kann nirgendwohin. Verändert hat sich nur das Volumen des Feldraumes. Also muss die zusätzliche Energie dort untergebracht sein.

Die Rechnung bestätigt es. Setzt man C=ε0εrAdC = \varepsilon_0 \varepsilon_r \frac{A}{d} und U=E⋅dU = E \cdot d in W=12CU2W = \frac{1}{2} C U^2 ein, erhält man

W=12ε0εrE2⋅(A⋅d)W = \frac{1}{2} \varepsilon_0 \varepsilon_r E^2 \cdot (A \cdot d)

Die Energie ist also dem Volumen proportional, und die Energiedichte

ρE=12ε0εrE2\rho_E = \frac{1}{2} \varepsilon_0 \varepsilon_r E^2

enthält weder Ladung noch Platten, sondern nur die am jeweiligen Ort.

Warum das weit über den Kondensator hinausreicht: Wenn Energie im Feld sitzt, kann sie sich mit dem Feld ausbreiten, auch ohne Ladungsträger. Genau das tun elektromagnetische . Sonnenlicht bringt Energie über 150150 Millionen Kilometer durch nahezu leeren Raum, und ein Funksignal erreicht uns, während der Sender längst abgeschaltet sein könnte. Ohne Feldenergie wäre beides unerklärlich.

Die richtige Vorstellung: Ladungen erzeugen das Feld, aber die Energie wohnt im Feld. Faraday und Maxwell haben mit diesem Perspektivwechsel die Elektrodynamik begründet.

Übung 1

leicht

a) Ein mit C=200 µFC = 200\,\text{µF} liegt an U=50 VU = 50\,\text{V}. Welche ist gespeichert?

b) Welche trägt er?

c) Wie groß wäre die Energie bei 100 V100\,\text{V}?

Tipp anzeigen

c) Wie geht EE mit UU?

Lösung anzeigen

a) E=12CU2=12⋅200⋅10−6 F⋅(50 V)2=12⋅200⋅10−6⋅2500 J=0,25 JE = \frac{1}{2} C U^2 = \frac{1}{2} \cdot 200 \cdot 10^{-6}\,\text{F} \cdot (50\,\text{V})^2 = \frac{1}{2} \cdot 200 \cdot 10^{-6} \cdot 2500\,\text{J} = 0{,}25\,\text{J}

b) Q=C⋅U=200⋅10−6 F⋅50 V=0,01 C=10 mCQ = C \cdot U = 200 \cdot 10^{-6}\,\text{F} \cdot 50\,\text{V} = 0{,}01\,\text{C} = 10\,\text{mC}

c) Da E∼U2E \sim U^2, bedeutet doppelte vierfache Energie:

E=4⋅0,25 J=1,0 JE = 4 \cdot 0{,}25\,\text{J} = 1{,}0\,\text{J}

Kontrolle: 12⋅200⋅10−6⋅(100)2 J=1,0 J\frac{1}{2} \cdot 200 \cdot 10^{-6} \cdot (100)^2\,\text{J} = 1{,}0\,\text{J} ✓

Detaillierte Schritterklärung anzeigen

Hier wird jeder Schritt einzeln erklärt, vor allem, warum er gemacht wird.

Erklärungstiefe

✦ Empfohlen: Standard – Die normale Erklärungstiefe passt zum Einstieg.

  1. 1

    Gegeben und Gesucht bei der gespeicherten Energie

    Gegeben: C=200 µFC = 200\,\text{µF} und U=50 VU = 50\,\text{V}; in c) stattdessen 100 V100\,\text{V}. Gesucht: die gespeicherte Energie, die Ladung und die Energie bei doppelter Spannung.

  2. 2

    Die Energie eines geladenen Kondensators

    Es gilt W=12CU2W = \frac{1}{2} C U^2 und Q=C⋅UQ = C \cdot U. Die Spannung geht quadratisch ein, die Kapazität nur linear.

  3. 3

    a) bis c) Energie, Ladung und die Verdopplung

    Erst die Energie mit dem Quadrat der Spannung, dann die Ladung, dann die Energie bei doppelter Spannung über den Faktor 44.

    W=12⋅200⋅10−6 F⋅2500 V2=0,25 JW = \frac{1}{2} \cdot 200 \cdot 10^{-6}\,\text{F} \cdot 2500\,\text{V}^2 = 0{,}25\,\text{J}; Q=200⋅10−6⋅50 C=0,01 CQ = 200 \cdot 10^{-6} \cdot 50\,\text{C} = 0{,}01\,\text{C}

    Zwischenergebnis

    W=0,25 JW = 0{,}25\,\text{J}, Q=10 mCQ = 10\,\text{mC}, bei 100 V100\,\text{V}: W=1,0 JW = 1{,}0\,\text{J}

  4. 4

    c) Ergebnis deuten: das Quadrat in der Energieformel

    Doppelte Spannung bedeutet vierfache Energie, weil W∼U2W \sim U^2. Die Ladung verdoppelt sich dagegen nur, weil Q∼UQ \sim U.

Übung 2

mittel

a) Begründe den Faktor 12\frac{1}{2} in der Energieformel.

b) Ein (C=1 FC = 1\,\text{F}, U=2,7 VU = 2{,}7\,\text{V}) sitzt in einem Superkondensator-Modul. Wie viel speichert er, und wie lange könnte er eine 11-Watt-Lampe betreiben?

c) Warum ersetzen Kondensatoren keine Akkus?

d) Warum sind geladene Kondensatoren in ausgeschalteten Geräten gefährlich?

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b) P=EtP = \frac{E}{t} nach tt umstellen.

Lösung anzeigen

a) Beim Laden ist die nicht konstant: Sie beginnt bei null und wächst nach U=QCU = \frac{Q}{C} linear mit der aufgebrachten .

Der Mittelwert der Spannung während des gesamten Vorgangs ist deshalb U‾=U2\overline{U} = \frac{U}{2}, und damit

W=Q⋅U‾=12QUW = Q \cdot \overline{U} = \frac{1}{2} Q U

Grafisch: Im UU-QQ-Diagramm ist U=QCU = \frac{Q}{C} eine Ursprungsgerade, und die ist die Fläche darunter, also ein Dreieck mit der Fläche 12QU\frac{1}{2} QU, nicht das Rechteck QUQU.

b) E=12CU2=12⋅1 F⋅(2,7 V)2=3,645 JE = \frac{1}{2} C U^2 = \frac{1}{2} \cdot 1\,\text{F} \cdot (2{,}7\,\text{V})^2 = 3{,}645\,\text{J}

t=EP=3,645 J1 W≈3,6 st = \frac{E}{P} = \frac{3{,}645\,\text{J}}{1\,\text{W}} \approx 3{,}6\,\text{s}

Ein Farad klingt nach viel, reicht aber nur für gut drei Sekunden Leuchten. Das zeigt, wie klein die speicherbaren Energiemengen sind.

(In der Praxis noch weniger, weil die Spannung beim Entladen sinkt und die Lampe irgendwann nicht mehr arbeitet.)

c) Weil ihre Energiedichte um ein bis zwei Größenordnungen kleiner ist:

SpeicherEnergie je Kilogramm
Superkondensatorrund 55 bis 10 Whkg10\,\frac{\text{Wh}}{\text{kg}}
Lithium-Ionen-Akkurund 150150 bis 250 Whkg250\,\frac{\text{Wh}}{\text{kg}}

Ein Auto mit Kondensatoren statt Akku bräuchte für dieselbe Reichweite die zwanzig- bis fünfzigfache Speichermasse.

Wo Kondensatoren dennoch überlegen sind: sehr hohe (Laden und Entladen in Sekunden), sehr viele Zyklen (Hunderttausende statt einiger Tausend) und Unempfindlichkeit gegen Kälte.

Deshalb setzt man sie dort ein, wo es auf Leistung statt auf Energiemenge ankommt: Rückgewinnung von Bremsenergie in Straßenbahnen und Bussen, Anfahrhilfe, Puffer in Windkraftanlagen. Häufig in Kombination mit einem Akku, der die Energiemenge liefert, während der Kondensator die Leistungsspitzen abfängt.

d) Weil die gespeicherte Energie nicht verschwindet, wenn der Strom abgeschaltet wird. Ein Kondensator ist kein Verbraucher, sondern ein Speicher: Solange die Ladung nicht abfließen kann, bleibt sie erhalten, unter Umständen über Stunden.

Wie viel das sein kann: Der Zwischenkreiskondensator eines Netzteils kann einige hundert Volt bei einigen hundert Joule halten, also mehr als ein Defibrillatorschock.

Schutzmaßnahmen in der Praxis:

  • Entladewiderstände parallel zum Kondensator entladen ihn nach dem Abschalten selbsttätig innerhalb von Sekunden bis Minuten.
  • Warnhinweise und Wartezeiten in Servicehandbüchern.
  • Fachkräfte entladen Kondensatoren vor Arbeiten gezielt über einen Widerstand und messen anschließend nach.

🔴 Praktische Konsequenz: Netzteile, Mikrowellen und Röhrenfernseher gehören nicht in Laienhand geöffnet, auch nicht nach dem Ziehen des Steckers. Der ausgeschaltete Zustand des Gerätes sagt nichts über den Ladezustand seiner Kondensatoren aus.

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Hier wird jeder Schritt einzeln erklärt, vor allem, warum er gemacht wird.

Erklärungstiefe

✦ Empfohlen: Standard – Die normale Erklärungstiefe passt zum Einstieg.

  1. 1

    Gegeben und Gesucht beim Superkondensator

    b) gibt C=1 FC = 1\,\text{F} und U=2,7 VU = 2{,}7\,\text{V} sowie eine 11-Watt-Lampe; gesucht sind Energie und Betriebsdauer. a), c) und d) verlangen Begründungen zum Faktor 12\frac{1}{2}, zum Vergleich mit Akkus und zur Gefahr.

  2. 2

    a) Woher der Faktor ein Halb kommt

    Beim Laden ist die Spannung nicht konstant: Sie beginnt bei null und wächst nach U=QCU = \frac{Q}{C} linear mit der aufgebrachten Ladung. Der Mittelwert ist deshalb U‾=U2\overline{U} = \frac{U}{2}, und damit W=Q⋅U‾=12QUW = Q \cdot \overline{U} = \frac{1}{2} Q U.

  3. 3

    b) Energie und Leuchtdauer

    Erst die Energie mit dem Quadrat der Spannung, dann die Zeit über t=EPt = \frac{E}{P}.

    W=12⋅1 F⋅(2,7 V)2=3,645 JW = \frac{1}{2} \cdot 1\,\text{F} \cdot (2{,}7\,\text{V})^2 = 3{,}645\,\text{J}; t=3,645 J1 W≈3,6 st = \frac{3{,}645\,\text{J}}{1\,\text{W}} \approx 3{,}6\,\text{s}

    Zwischenergebnis

    W=3,645 JW = 3{,}645\,\text{J}, Leuchtdauer rund 3,6 s3{,}6\,\text{s}

  4. 4

    c) Warum Kondensatoren keine Akkus ersetzen

    Weil ihre Energiedichte um ein bis zwei Größenordnungen kleiner ist: Superkondensatoren speichern rund 55 bis 10 Whkg10\,\frac{\text{Wh}}{\text{kg}}, Lithium-Ionen-Akkus rund 150150 bis 250 Whkg250\,\frac{\text{Wh}}{\text{kg}}.

  5. 5

    d) Ergebnis deuten: warum ausgeschaltet nicht ungeladen heißt

    Weil die gespeicherte Energie nicht verschwindet, wenn der Strom abgeschaltet wird. Ein Kondensator ist kein Verbraucher, sondern ein Speicher, solange die Ladung nicht abfließen kann, bleibt sie erhalten, unter Umständen über Stunden.

Übung 3

schwer

a) Leite die Energiedichte ρE=12ε0εrE2\rho_E = \frac{1}{2}\varepsilon_0\varepsilon_r E^2 her.

b) Begründe damit, warum die im Feld und nicht in den steckt.

c) Ein mit A=0,05 m2A = 0{,}05\,\text{m}^2 und d=1 mmd = 1\,\text{mm} liegt an U=500 VU = 500\,\text{V} (Luft). Berechne , Energiedichte und Gesamtenergie und prüfe das Ergebnis mit 12CU2\frac{1}{2}CU^2.

d) Welche Bedeutung hat die Feldenergie für die Ausbreitung elektromagnetischer ?

Tipp anzeigen

a) Setze C=ε0εrAdC = \varepsilon_0\varepsilon_r\frac{A}{d} und U=EdU = Ed in 12CU2\frac{1}{2}CU^2 ein.

Lösung anzeigen

a) Ausgangspunkt:

W=12CU2W = \frac{1}{2} C U^2

Kapazität einsetzen:

W=12⋅ε0εrAd⋅U2W = \frac{1}{2} \cdot \varepsilon_0 \varepsilon_r \frac{A}{d} \cdot U^2

durch die Feldstärke ausdrücken (U=E⋅dU = E \cdot d):

W=12⋅ε0εrAd⋅E2d2=12ε0εrE2⋅A⋅dW = \frac{1}{2} \cdot \varepsilon_0 \varepsilon_r \frac{A}{d} \cdot E^2 d^2 = \frac{1}{2} \varepsilon_0 \varepsilon_r E^2 \cdot A \cdot d

Der Ausdruck A⋅dA \cdot d ist gerade das Volumen des Raumes zwischen den Platten. Also:

ρE=WV=12ε0εrE2\rho_E = \frac{W}{V} = \frac{1}{2} \varepsilon_0 \varepsilon_r E^2

b) Zwei Argumente:

Erstens, formal: In der hergeleiteten Formel kommen weder QQ noch AA noch dd einzeln vor, sondern nur die Feldstärke und das Volumen. Die Energie ist also gleichmäßig über den Feldraum verteilt und nicht an die Platten gebunden.

Zweitens, experimentell: Trennt man einen geladenen Kondensator von der Quelle und zieht die Platten auseinander, muss man verrichten, weil sich die Platten anziehen. Die gespeicherte Energie steigt dabei nachweisbar (aus E=12Q2CE = \frac{1}{2}\frac{Q^2}{C} bei konstantem QQ und sinkendem CC).

Die Ladung hat sich nicht geändert, sie kann nirgendwohin. Das Einzige, was sich geändert hat, ist das Volumen des Feldraumes. Also muss die zusätzliche Energie dort sitzen.

c) Feldstärke:

E=Ud=500 V10−3 m=5⋅105 VmE = \frac{U}{d} = \frac{500\,\text{V}}{10^{-3}\,\text{m}} = 5 \cdot 10^{5}\,\frac{\text{V}}{\text{m}}

Energiedichte (Luft, εr≈1\varepsilon_r \approx 1):

ρE=12⋅8,85⋅10−12 AsVm⋅(5⋅105)2 V2m2\rho_E = \frac{1}{2} \cdot 8{,}85 \cdot 10^{-12}\,\frac{\text{As}}{\text{Vm}} \cdot (5 \cdot 10^{5})^2\,\frac{\text{V}^2}{\text{m}^2} ρE=12⋅8,85⋅10−12⋅2,5⋅1011 Jm3≈1,11 Jm3\rho_E = \frac{1}{2} \cdot 8{,}85 \cdot 10^{-12} \cdot 2{,}5 \cdot 10^{11}\,\frac{\text{J}}{\text{m}^3} \approx 1{,}11\,\frac{\text{J}}{\text{m}^3}

Volumen:

V=A⋅d=0,05 m2⋅10−3 m=5⋅10−5 m3V = A \cdot d = 0{,}05\,\text{m}^2 \cdot 10^{-3}\,\text{m} = 5 \cdot 10^{-5}\,\text{m}^3

Gesamtenergie:

W=ρE⋅V=1,11 Jm3⋅5⋅10−5 m3≈5,5⋅10−5 JW = \rho_E \cdot V = 1{,}11\,\frac{\text{J}}{\text{m}^3} \cdot 5 \cdot 10^{-5}\,\text{m}^3 \approx 5{,}5 \cdot 10^{-5}\,\text{J}

Probe über die Kapazität:

C=8,85⋅10−12⋅0,0510−3 F=4,43⋅10−10 FC = 8{,}85 \cdot 10^{-12} \cdot \frac{0{,}05}{10^{-3}}\,\text{F} = 4{,}43 \cdot 10^{-10}\,\text{F} W=12CU2=12⋅4,43⋅10−10⋅2,5⋅105 J≈5,5⋅10−5 J ✓W = \frac{1}{2} C U^2 = \frac{1}{2} \cdot 4{,}43 \cdot 10^{-10} \cdot 2{,}5 \cdot 10^{5}\,\text{J} \approx 5{,}5 \cdot 10^{-5}\,\text{J} \ \checkmark

Beide Wege liefern dasselbe, wie es sein muss.

d) Ohne Feldenergie wäre eine elektromagnetische Welle unmöglich.

Eine solche Welle besteht aus schwingenden elektrischen und magnetischen Feldern, die sich gegenseitig erzeugen und durch den Raum laufen. Sie transportiert nachweislich Energie: Sonnenlicht wärmt die Haut, eine Antenne empfängt Signale, ein Laser schneidet Metall.

Ohne die Vorstellung von Feldenergie stünde man vor einem Widerspruch: Zwischen Sender und Empfänger ist nahezu leerer Raum. Dort gibt es keine Ladungen, in denen die Energie „unterwegs" sitzen könnte. Der Sender könnte längst abgeschaltet sein, während das Signal noch fliegt.

Erst die Erkenntnis, dass das Feld selbst Energie trägt, löst das auf: Die Energie steckt nicht in Materie, sondern im Raum, mit der ρE=12ε0E2\rho_E = \frac{1}{2}\varepsilon_0 E^2 (und einem entsprechenden magnetischen Anteil).

🔴 Historische Bedeutung. Genau dieser Perspektivwechsel von Faraday und Maxwell führte 1865 zur Vorhersage elektromagnetischer Wellen und zu der Erkenntnis, dass Licht selbst eine solche Welle ist. Heinrich Hertz wies sie 1886 experimentell nach, und daraus entstanden Funk, Fernsehen, Mobilfunk und Radar.

Ein scheinbar abstrakter Gedanke über den Ort der Energie in einem Kondensator steht damit am Anfang der gesamten drahtlosen Nachrichtentechnik.

Detaillierte Schritterklärung anzeigen

Hier wird jeder Schritt einzeln erklärt, vor allem, warum er gemacht wird.

Erklärungstiefe

✦ Empfohlen: Standard – Die normale Erklärungstiefe passt zum Einstieg.

  1. 1

    Gegeben und Gesucht bei der Energiedichte

    c) gibt A=0,05 m2A = 0{,}05\,\text{m}^2, d=1 mmd = 1\,\text{mm}, U=500 VU = 500\,\text{V} und Luft (εr≈1\varepsilon_r \approx 1); gesucht sind Feldstärke, Energiedichte und Gesamtenergie samt Probe. a), b) und d) verlangen Herleitung und Deutung.

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    a) Die Energiedichte herleiten

    Aus W=12CU2W = \frac{1}{2} C U^2 mit C=ε0εrAdC = \varepsilon_0\varepsilon_r\frac{A}{d} und U=E⋅dU = E \cdot d folgt W=12ε0εrE2⋅A⋅dW = \frac{1}{2}\varepsilon_0\varepsilon_r E^2 \cdot A \cdot d. Weil A⋅dA \cdot d gerade das Volumen zwischen den Platten ist, ergibt sich ρE=WV=12ε0εrE2\rho_E = \frac{W}{V} = \frac{1}{2}\varepsilon_0\varepsilon_r E^2.

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    b) Warum die Energie im Feld sitzt und nicht in den Ladungen

    Formal: In der hergeleiteten Formel kommen weder QQ noch AA noch dd einzeln vor, sondern nur die Feldstärke und das Volumen, die Energie ist also über den Feldraum verteilt. Experimentell: Zieht man die Platten eines getrennten Kondensators auseinander, steigt die gespeicherte Energie nachweisbar, obwohl sich die Ladung nicht geändert hat.

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    c) Feldstärke, Energiedichte, Gesamtenergie und Probe

    Erst E=UdE = \frac{U}{d}, dann die Energiedichte, dann mal Volumen und zur Kontrolle derselbe Wert über 12CU2\frac{1}{2}CU^2.

    E=500 V10−3 m=5⋅105 VmE = \frac{500\,\text{V}}{10^{-3}\,\text{m}} = 5 \cdot 10^{5}\,\frac{\text{V}}{\text{m}}; ρE=12⋅8,85⋅10−12⋅2,5⋅1011 Jm3≈1,11 Jm3\rho_E = \frac{1}{2} \cdot 8{,}85 \cdot 10^{-12} \cdot 2{,}5 \cdot 10^{11}\,\frac{\text{J}}{\text{m}^3} \approx 1{,}11\,\frac{\text{J}}{\text{m}^3}; W=ρE⋅5⋅10−5 m3≈5,5⋅10−5 JW = \rho_E \cdot 5 \cdot 10^{-5}\,\text{m}^3 \approx 5{,}5 \cdot 10^{-5}\,\text{J}

    Zwischenergebnis

    W≈5,5⋅10−5 JW \approx 5{,}5 \cdot 10^{-5}\,\text{J} auf beiden Wegen.

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    d) Ergebnis deuten: ohne Feldenergie keine Funkwelle

    Eine elektromagnetische Welle transportiert nachweislich Energie: Sonnenlicht wärmt die Haut, eine Antenne empfängt Signale. Zwischen Sender und Empfänger ist aber nahezu leerer Raum ohne Ladungen, in denen die Energie „unterwegs" sitzen könnte.

Zusammenfassung

Beim Laden eines Kondensators wächst die linear von null an, weshalb die gespeicherte nur die Hälfte des Produkts aus und Endspannung beträgt; im Spannungs-Ladungs-Diagramm ist sie die Fläche eines Dreiecks. Aus der Grundform lassen sich zwei weitere gewinnen, und da die Spannung quadratisch eingeht, bedeutet doppelte Spannung vierfache Energie. Zieht man die Platten eines von der Quelle getrennten Kondensators auseinander, steigt die Energie, obwohl die Ladung unverändert bleibt; verändert hat sich allein das Volumen des Feldraumes. Die Herleitung der Energiedichte bestätigt das, denn in ihr kommt nur noch die am jeweiligen Ort vor. Die Energie sitzt also im Feld und nicht in den Ladungen, und genau deshalb können elektromagnetische Energie durch den leeren Raum tragen.