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Mechanik

Kraftstoß, Impuls und Impulserhaltung

Warum ein Airbag schützt, was beim Stoß erhalten bleibt und wie man elastische und unelastische Stöße berechnet.

Benötigte Grundlagen

Dieses Vorwissen brauchst du für das Kapitel. Schau kurz nach, wenn dir etwas davon nicht mehr präsent ist, sonst leg direkt los.

Einführung

Ein Airbag macht den Aufprall nicht sanfter, weil er weich ist. Er macht ihn sanfter, weil er ihn verlängert: aus wenigen Millisekunden werden einige Hundertstelsekunden.

Dahinter steckt eine Größe, die Newton „Bewegungsgröße" nannte und die heute Impuls heißt. Sie beantwortet Fragen, bei denen die allein nicht weiterhilft: Warum bleiben nach einem Zusammenstoß bestimmte Dinge gleich, obwohl sich alles ändert? Und warum ist es beim Aufprall entscheidend, wie lange eine wirkt?

Das kannst du nach diesem Kapitel

  • den Impuls als Größe charakterisieren und berechnen.

  • den Kraftstoß definieren und mit der Impulsänderung verknüpfen.

  • den Impulserhaltungssatz formulieren und anwenden.

  • elastische und unelastische Stöße unterscheiden.

  • unelastische Stöße rechnerisch behandeln.

  • Sicherheitstechnik (Airbag, Knautschzone, Gurt) physikalisch begründen.

Der Impuls

Ein voll beladener LKW bei 10 kmh10\,\frac{\text{km}}{\text{h}} und ein Motorrad bei 200 kmh200\,\frac{\text{km}}{\text{h}} sind beide „schwer zu stoppen", aber aus verschiedenen Gründen. Um das zu fassen, braucht es eine Größe, die und zugleich enthält:

p=m⋅v\boxed{p = m \cdot v}

Einheit: kg⋅ms\frac{\text{kg} \cdot \text{m}}{\text{s}} (auch N⋅s\text{N} \cdot \text{s}).

🔴 Der Impuls ist eine gerichtete Größe. Er zeigt in Bewegungsrichtung, und bei entgegengesetzten Bewegungen muss man Vorzeichen benutzen.

Unterschied zur kinetischen :

Impulskinetische Energie
Formelp=mvp = mvE=12mv2E = \frac{1}{2}mv^2
Artgerichtetungerichtet
vv geht einlinearquadratisch
bleibt beim Stoß erhaltenimmernur beim elastischen Stoß

Beide Größen beschreiben dieselbe Bewegung, beantworten aber verschiedene Fragen. Deshalb braucht man sie nebeneinander.

Drei Körper, ein Impuls1 kg · 12 m/s12 kg·m/s2 kg · 6 m/s12 kg·m/s4 kg · 3 m/s12 kg·m/sp = m · vDer Impuls hat eine Richtung, die Masse nicht

Drei Körper, bei denen kein einziger Wert übereinstimmt, und trotzdem sind alle drei Balken gleich lang. Weil p = m · v ein Produkt ist, kann ein schwerer langsamer Körper denselben Impuls haben wie ein leichter schneller.

Kraftstoß und Impulsänderung

Aus dem zweiten folgt ein Zusammenhang, der die ganze Sicherheitstechnik trägt. Mit F=m⋅aF = m \cdot a und a=ΔvΔta = \frac{\Delta v}{\Delta t}:

F=m⋅ΔvΔt⟹F⋅Δt=m⋅Δv=ΔpF = m \cdot \frac{\Delta v}{\Delta t} \quad \Longrightarrow \quad F \cdot \Delta t = m \cdot \Delta v = \Delta p F⋅Δt=Δp\boxed{F \cdot \Delta t = \Delta p}

Das Produkt F⋅ΔtF \cdot \Delta t heißt Kraftstoß. In Worten:

Die Impulsänderung ist gleich dem Kraftstoß.

🔴 Die entscheidende Folgerung: Ist die Impulsänderung vorgegeben (das Auto muss von 50 kmh50\,\frac{\text{km}}{\text{h}} auf null), so ist auch F⋅ΔtF \cdot \Delta t festgelegt. Man kann die nur verkleinern, indem man die Zeit verlängert.

Genau das leisten alle Schutzeinrichtungen:

EinrichtungWirkung
Airbagverlängert die Aufprallzeit von etwa 3 ms3\,\text{ms} auf 50 ms50\,\text{ms}
Knautschzoneverformt sich und streckt den Aufprall über einen längeren Weg
Gurtdehnt sich kontrolliert, verteilt die Kraft auf große Fläche
Fallmatte, Sprungkissenverlängern den Abbremsvorgang
Nachgeben beim Fangendieselbe Idee, von Hand ausgeführt

Deshalb fängt man einen harten Ball mit mitgehenden Händen und nicht mit starrem Arm.

Gleiche Fläche, andere Formharter Aufprallt in sF in N4.000 N0,05 s4.000 N · 0,05 smit Airbagt in sF in N500 N0,4 s500 N · 0,4 sDer Airbag ändert nicht den Impuls, nur die Zeit

Beide Rechtecke haben denselben Flächeninhalt, nur eine andere Form. Der Airbag verkleinert nicht die Impulsänderung, die steht fest, sondern verteilt sie auf mehr Zeit. Und weil die Fläche gleich bleibt, muss die dabei kleiner werden.

Der Impulserhaltungssatz

In einem abgeschlossenen System bleibt die Summe aller Impulse konstant.

∑pvorher=∑pnachher\sum p_{\text{vorher}} = \sum p_{\text{nachher}}

Warum das gelten muss: Beim Stoß üben die Körper nach dem 3. gleich große, entgegengesetzte aufeinander aus, und zwar genau gleich lange. Die Kraftstöße sind deshalb ebenfalls gleich groß und entgegengesetzt:

Δp1=−Δp2\Delta p_1 = -\Delta p_2

Was der eine Körper an Impuls gewinnt, verliert der andere. Die Summe bleibt unverändert.

🔴 Der Impulserhaltungssatz ist damit keine neue Annahme, sondern eine direkte Folge des Wechselwirkungsprinzips.

Zusammen weiter: der unelastische Stoßvorher2 kg3 m/s1 kgsteht stillp = 6 kg·m/snachher2 kg1 kg2 m/sp = 6 kg·m/s2 kg · 3 m/s = 3 kg · 2 m/s, der Impuls bleibt

Rechne die Bilanz selbst nach: vorher 2 kg · 3 m/s = 6 kg·m/s, nachher 3 kg · 2 m/s = 6 kg·m/s. Der Impuls bleibt, obwohl die beiden Wagen danach aneinanderhängen und langsamer sind.

Zwei Arten von Stößen

Unelastischer Stoß: Die Körper bleiben aneinander hängen und bewegen sich gemeinsam weiter.

m1v1+m2v2=(m1+m2)⋅v′m_1 v_1 + m_2 v_2 = (m_1 + m_2) \cdot v'

Der Impuls bleibt erhalten, ein Teil der kinetischen wird jedoch in Verformung und umgewandelt.

Elastischer Stoß: Die Körper trennen sich wieder, es bleibt beides erhalten, Impuls und kinetische Energie. Beispiele: Billardkugeln (näherungsweise), Stahlkugeln, Gasteilchen.

Der Sonderfall gleicher ist besonders anschaulich: Beim zentralen elastischen Stoß tauschen die Körper ihre . Beim Kugelstoßpendel bleibt deshalb die getroffene Kugelreihe stehen, und nur die letzte fliegt weg.

🔴 Vollständig elastisch ist in der Alltagswelt nichts. Immer bleibt etwas Verformung, Schall und Wärme übrig. „Elastisch" ist ein Modellfall, dem manche Vorgänge nahekommen.

Gleiche Massen tauschen ihre Geschwindigkeitenvorher1 kg4 m/s1 kgsteht stillnachher1 kgsteht still1 kg4 m/sDeshalb das Kugelstoßpendel: eine rein, eine raus

Bei gleichen sieht es aus, als sei die Bewegung „durchgereicht“ worden. Hier bleibt zusätzlich zum Impuls auch die Bewegungsenergie erhalten, und genau deshalb funktioniert das Kugelstoßpendel so, wie es funktioniert.

Impuls in der Technik

Rückstoß. Stößt ein System einen Teil in eine Richtung aus, bewegt sich der Rest in die andere, denn der Gesamtimpuls muss null bleiben, wenn er vorher null war. Das erklärt Rakete, Gewehrrückstoß, Rasensprenger und den Rückstoß beim Abspringen von einem Boot.

Warum Rückstoß nicht dasselbe ist wie Abstoßen: Eine Rakete braucht kein Gegenüber. Sie stößt sich gegen die eigenen Gase ab, und deshalb funktioniert sie im Vakuum.

Warum der Airbag schützt

Ein Fahrer (m=75 kgm = 75\,\text{kg}) prallt aus 54 kmh54\,\frac{\text{km}}{\text{h}} auf.

a) Wie groß ist seine Impulsänderung bis zum Stillstand?

b) Welche wirkt beim Aufprall auf das Lenkrad (Δt=5 ms\Delta t = 5\,\text{ms})?

c) Welche Kraft wirkt mit Airbag (Δt=100 ms\Delta t = 100\,\text{ms})?

d) Vergleiche die Kräfte mit der des Fahrers.

  1. 1

    a) umrechnen und Impulsänderung bestimmen:

    v=54 kmh=15 msv = 54\,\frac{\text{km}}{\text{h}} = 15\,\frac{\text{m}}{\text{s}} Δp=m⋅Δv=75 kg⋅15 ms=1125 kg⋅ms\Delta p = m \cdot \Delta v = 75\,\text{kg} \cdot 15\,\frac{\text{m}}{\text{s}} = 1125\,\frac{\text{kg} \cdot \text{m}}{\text{s}}

    🔴 Diese Zahl ist festgelegt. Sie hängt nur davon ab, wie schwer und wie schnell der Fahrer war, nicht davon, worauf er trifft.

  2. 2

    b) Ohne Airbag, sehr kurze Aufprallzeit:

    F=ΔpΔt=1125 kg ms0,005 s=225000 N=225 kNF = \frac{\Delta p}{\Delta t} = \frac{1125\,\frac{\text{kg}\,\text{m}}{\text{s}}}{0{,}005\,\text{s}} = 225000\,\text{N} = 225\,\text{kN}
  3. 3

    c) Mit Airbag, zwanzigfache Zeit:

    F=11250,1 N=11250 N≈11,3 kNF = \frac{1125}{0{,}1}\,\text{N} = 11250\,\text{N} \approx 11{,}3\,\text{kN}

    Zwanzigfache Zeit bedeutet ein Zwanzigstel der Kraft.

  4. 4

    d) Vergleich mit der Gewichtskraft (FG=75⋅10=750 NF_G = 75 \cdot 10 = 750\,\text{N}):

    ohne Airbag: 225000750=300-faches Ko¨rpergewicht\text{ohne Airbag: } \frac{225000}{750} = 300\text{-faches Körpergewicht} mit Airbag: 11250750=15-faches Ko¨rpergewicht\text{mit Airbag: } \frac{11250}{750} = 15\text{-faches Körpergewicht}

    300 g300\,g ist absolut tödlich; der menschliche Körper hält kurzzeitig etwa 50 g50\,g aus. 15 g15\,g sind unangenehm, aber überlebbar.

    Die entscheidende Einsicht: Der Airbag verringert nicht die Impulsänderung. Die ist durch und Geschwindigkeit vorgegeben und lässt sich nicht wegzaubern. Er verlängert nur die Zeit, über die sie stattfindet, und genau das senkt die Kraft.

    Deshalb wirken Airbag, Knautschzone und Gurt zusammen: Jeder verlängert den Vorgang ein Stück weiter.

a) 1125 kg ms1125\,\frac{\text{kg}\,\text{m}}{\text{s}} b) 225 kN225\,\text{kN} (rund 300 g300\,g) c) 11,3 kN11{,}3\,\text{kN} (rund 15 g15\,g) d) Der Airbag senkt die Kraft auf ein Zwanzigstel, allein durch die längere Zeit.

Unelastischer Stoß berechnen

Ein Güterwagen (m1=20 tm_1 = 20\,\text{t}) rollt mit 3 ms3\,\frac{\text{m}}{\text{s}} auf einen stehenden Wagen (m2=30 tm_2 = 30\,\text{t}) und kuppelt an.

a) Mit welcher fahren beide weiter?

b) Vergleiche die kinetische vorher und nachher.

c) Wohin ist die Differenz gegangen?

d) Was wäre, wenn der zweite Wagen mit 1 ms1\,\frac{\text{m}}{\text{s}} entgegenkäme?

  1. 1

    a) Impulserhaltung ansetzen. Vorher bewegt sich nur Wagen 1:

    m1v1+m2v2=(m1+m2)v′m_1 v_1 + m_2 v_2 = (m_1 + m_2) v' 20000⋅3+30000⋅0=50000⋅v′20000 \cdot 3 + 30000 \cdot 0 = 50000 \cdot v' 60000=50000⋅v′⇒v′=1,2 ms60000 = 50000 \cdot v' \quad \Rightarrow \quad v' = 1{,}2\,\frac{\text{m}}{\text{s}}
  2. 2

    b) Energien vergleichen:

    Evorher=12⋅20000⋅32 J=90000 J=90 kJE_{\text{vorher}} = \frac{1}{2} \cdot 20000 \cdot 3^2\,\text{J} = 90000\,\text{J} = 90\,\text{kJ} Enachher=12⋅50000⋅1,22 J=36000 J=36 kJE_{\text{nachher}} = \frac{1}{2} \cdot 50000 \cdot 1{,}2^2\,\text{J} = 36000\,\text{J} = 36\,\text{kJ}

    Es fehlen 54 kJ54\,\text{kJ}, also 60 %60\,\% der ursprünglichen Energie.

  3. 3

    c) In Verformung, Wärme und Schall. Die Kupplung wird gestaucht, Puffer und Federn verformen sich, es entsteht Reibungswärme und das laute Geräusch beim Ankuppeln.

    🔴 Beachte den Unterschied: Der Impuls bleibt vollständig erhalten (60000 kg ms60000\,\frac{\text{kg}\,\text{m}}{\text{s}} vorher wie nachher), die kinetische Energie nicht. Genau das kennzeichnet den unelastischen Stoß.

    Die Gesamtenergie bleibt natürlich ebenfalls erhalten; sie liegt nur teilweise als Wärme vor.

  4. 4

    d) Mit Gegenverkehr muss man Vorzeichen benutzen. Der zweite Wagen bewegt sich in die negative Richtung:

    20000⋅3+30000⋅(−1)=50000⋅v′20000 \cdot 3 + 30000 \cdot (-1) = 50000 \cdot v' 60000−30000=50000⋅v′⇒v′=0,6 ms60000 - 30000 = 50000 \cdot v' \quad \Rightarrow \quad v' = 0{,}6\,\frac{\text{m}}{\text{s}}

    Beide fahren gemeinsam mit 0,6 ms0{,}6\,\frac{\text{m}}{\text{s}} in Richtung des ersten Wagens weiter, weil dessen Impuls größer war.

    Kontrolle: Das Vorzeichen ist positiv, also stimmt die Richtung. Wäre der zweite Impuls größer gewesen, käme ein negativer Wert heraus, und beide führen in die andere Richtung.

a) 1,2 ms1{,}2\,\frac{\text{m}}{\text{s}} b) 90 kJ90\,\text{kJ} gegen 36 kJ36\,\text{kJ} c) 54 kJ54\,\text{kJ} in Verformung, und Schall d) 0,6 ms0{,}6\,\frac{\text{m}}{\text{s}} in Richtung des ersten Wagens.

Typischer Fehler

„Beim Stoß bleibt die erhalten, also kann ich damit immer rechnen."

Die Gesamtenergie bleibt immer erhalten, die kinetische Energie aber nur beim elastischen Stoß.

Beim unelastischen Stoß wird ein Teil der Bewegungsenergie in Verformung, und Schall umgewandelt. Rechnet man trotzdem mit Ekin,vorher=Ekin,nachherE_{\text{kin,vorher}} = E_{\text{kin,nachher}}, bekommt man ein falsches Ergebnis.

Was dagegen immer gilt, ist die Impulserhaltung. Sie ist die zuverlässigere Gleichung, weil sie unabhängig davon ist, wie viel Energie in Wärme übergeht.

Die praktische Regel:

StoßartImpulskinetische Energie
elastischerhaltenerhalten
unelastischerhaltennicht erhalten

Vorgehen bei Aufgaben:

  1. Immer mit der Impulserhaltung beginnen. Sie liefert die nach dem Stoß.
  2. Erst danach, falls gefragt, die Energien vorher und nachher getrennt ausrechnen und vergleichen.
  3. Niemals beide Erhaltungssätze gleichzeitig ansetzen, ohne geprüft zu haben, ob der Stoß elastisch ist.

Woran man den Stoßtyp erkennt: Bleiben die Körper zusammen (Ankuppeln, Einschlagen, Steckenbleiben), ist er unelastisch. Trennen sie sich wieder und federn zurück (Stahlkugeln, Billard), ist er näherungsweise elastisch.

Und dazu gehört die Ehrlichkeit: Vollständig elastisch ist in der Alltagswelt kein Stoß. Immer bleibt ein wenig Schall und Wärme.

Übung 1

leicht

a) Berechne den Impuls eines Autos (1200 kg1200\,\text{kg}) bei 25 ms25\,\frac{\text{m}}{\text{s}}.

b) Ein Ball (0,4 kg0{,}4\,\text{kg}) wird in 0,02 s0{,}02\,\text{s} von 00 auf 20 ms20\,\frac{\text{m}}{\text{s}} . Wie groß ist die mittlere ?

c) Warum fängt man einen harten Ball mit mitgehenden Händen?

Tipp anzeigen

b) F=ΔpΔtF = \frac{\Delta p}{\Delta t}.

Lösung anzeigen

a) p=m⋅v=1200 kg⋅25 ms=30000 kg⋅msp = m \cdot v = 1200\,\text{kg} \cdot 25\,\frac{\text{m}}{\text{s}} = 30000\,\frac{\text{kg} \cdot \text{m}}{\text{s}}

b) Δp=0,4 kg⋅20 ms=8 kg ms\Delta p = 0{,}4\,\text{kg} \cdot 20\,\frac{\text{m}}{\text{s}} = 8\,\frac{\text{kg}\,\text{m}}{\text{s}}

F=ΔpΔt=80,02 N=400 NF = \frac{\Delta p}{\Delta t} = \frac{8}{0{,}02}\,\text{N} = 400\,\text{N}

c) Weil die Impulsänderung festliegt (der Ball muss von seiner auf null gebracht werden), aber die Zeit beeinflussbar ist.

Mitgehende Hände verlängern Δt\Delta t. Da F=ΔpΔtF = \frac{\Delta p}{\Delta t} gilt, sinkt die Kraft entsprechend. Mit starrem Arm ist die Zeit sehr kurz und die Kraft entsprechend groß, was schmerzt und die Finger verletzen kann.

Es ist genau dasselbe Prinzip wie beim Airbag, nur von Hand ausgeführt.

Detaillierte Schritterklärung anzeigen

Hier wird jeder Schritt einzeln erklärt, vor allem, warum er gemacht wird.

Erklärungstiefe

✦ Empfohlen: Standard – Die normale Erklärungstiefe passt zum Einstieg.

  1. 1

    Gegeben und Gesucht bei Impuls und Kraftstoß

    a) m=1200 kgm = 1200\,\text{kg} bei v=25 msv = 25\,\frac{\text{m}}{\text{s}}, gesucht der Impuls. b) Ball mit 0,4 kg0{,}4\,\text{kg}, in 0,02 s0{,}02\,\text{s} von 00 auf 20 ms20\,\frac{\text{m}}{\text{s}}, gesucht die mittlere Kraft. c) eine Begründung zum Fangen.

  2. 2

    Impuls und Kraftstoß

    Der Impuls ist p=m⋅vp = m \cdot v. Eine Kraft ändert ihn: F=ΔpΔtF = \frac{\Delta p}{\Delta t}, die Kraft ist also die Impulsänderung je Zeit.

  3. 3

    a) und b) Impuls und mittlere Kraft

    Erst Masse mal Geschwindigkeit, dann die Impulsänderung geteilt durch die Stoßdauer.

    p=1200 kg⋅25 ms=30000 kg msp = 1200\,\text{kg} \cdot 25\,\frac{\text{m}}{\text{s}} = 30000\,\frac{\text{kg}\,\text{m}}{\text{s}}; Δp=0,4⋅20=8 kg ms\Delta p = 0{,}4 \cdot 20 = 8\,\frac{\text{kg}\,\text{m}}{\text{s}}; F=80,02 N=400 NF = \frac{8}{0{,}02}\,\text{N} = 400\,\text{N}

    Zwischenergebnis

    p=30000 kg msp = 30000\,\frac{\text{kg}\,\text{m}}{\text{s}}, F=400 NF = 400\,\text{N}

  4. 4

    c) Ergebnis deuten: warum man mit mitgehenden Händen fängt

    Weil die Impulsänderung festliegt, der Ball muss von seiner Geschwindigkeit auf null gebracht werden, aber die Zeit beeinflussbar ist. Mitgehende Hände verlängern Δt\Delta t, und nach F=ΔpΔtF = \frac{\Delta p}{\Delta t} sinkt die Kraft entsprechend.

Übung 2

mittel

Ein Eisläufer (m1=60 kgm_1 = 60\,\text{kg}) und eine Eisläuferin (m2=45 kgm_2 = 45\,\text{kg}) stehen still auf dem Eis und stoßen sich voneinander ab. Der Läufer bewegt sich danach mit 1,5 ms1{,}5\,\frac{\text{m}}{\text{s}} nach rechts.

a) Wie schnell und in welche Richtung bewegt sich die Läuferin?

b) Wie groß ist der Gesamtimpuls vorher und nachher?

c) Woher kommt die Bewegungsenergie beider?

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a) Der Gesamtimpuls war vorher null.

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a) Vorher ruhen beide, der Gesamtimpuls ist also null. Nach der Impulserhaltung muss er auch nachher null sein:

m1v1+m2v2=0m_1 v_1 + m_2 v_2 = 0 60 kg⋅1,5 ms+45 kg⋅v2=060\,\text{kg} \cdot 1{,}5\,\frac{\text{m}}{\text{s}} + 45\,\text{kg} \cdot v_2 = 0 90+45v2=0⇒v2=−2 ms90 + 45 v_2 = 0 \quad \Rightarrow \quad v_2 = -2\,\frac{\text{m}}{\text{s}}

Die Läuferin bewegt sich mit 2 ms2\,\frac{\text{m}}{\text{s}} nach links, also entgegengesetzt. Sie ist leichter und deshalb schneller.

b) Vorher: 0 kg ms0\,\frac{\text{kg}\,\text{m}}{\text{s}}

Nachher: 90+(−90)=0 kg ms90 + (-90) = 0\,\frac{\text{kg}\,\text{m}}{\text{s}}

Der Gesamtimpuls ist erhalten, obwohl sich beide bewegen. Die Einzelimpulse sind gleich groß und entgegengesetzt.

c) Aus der Muskelarbeit beim Abstoßen, also aus chemischer in den Muskeln.

E=12⋅60⋅1,52+12⋅45⋅22=67,5+90=157,5 JE = \frac{1}{2} \cdot 60 \cdot 1{,}5^2 + \frac{1}{2} \cdot 45 \cdot 2^2 = 67{,}5 + 90 = 157{,}5\,\text{J}

Bemerkenswert: Der Impuls war vorher null und ist es nachher, die Energie war vorher null und ist es nachher nicht. Das ist kein Widerspruch: Energie wurde von außen zugeführt (aus den Muskeln), Impuls nicht, weil sich die inneren paarweise aufheben.

Genau deshalb braucht man beide Erhaltungssätze nebeneinander.

Detaillierte Schritterklärung anzeigen

Hier wird jeder Schritt einzeln erklärt, vor allem, warum er gemacht wird.

Erklärungstiefe

✦ Empfohlen: Standard – Die normale Erklärungstiefe passt zum Einstieg.

  1. 1

    Gegeben und Gesucht beim Abstoßen auf dem Eis

    Gegeben: m1=60 kgm_1 = 60\,\text{kg}, m2=45 kgm_2 = 45\,\text{kg}, beide vorher in Ruhe; nachher v1=1,5 msv_1 = 1{,}5\,\frac{\text{m}}{\text{s}} nach rechts. Gesucht: und Richtung der Läuferin, der Gesamtimpuls vorher und nachher, die Herkunft der Energie.

  2. 2

    a) Der Impulserhaltungssatz mit Vorzeichen

    Ohne äußere Kräfte bleibt der Gesamtimpuls erhalten. Vorher ist er null, also gilt auch nachher m1v1+m2v2=0m_1 v_1 + m_2 v_2 = 0. Weil der Impuls eine gerichtete Größe ist, tragen die beiden Geschwindigkeiten entgegengesetzte Vorzeichen.

  3. 3

    a) und b) Geschwindigkeit der Läuferin und Impulsbilanz

    Die Gleichung nach v2v_2 auflösen; anschließend beide Einzelimpulse addieren.

    60⋅1,5+45⋅v2=0⇒90+45v2=0⇒v2=−2 ms60 \cdot 1{,}5 + 45 \cdot v_2 = 0 \Rightarrow 90 + 45 v_2 = 0 \Rightarrow v_2 = -2\,\frac{\text{m}}{\text{s}}

    Zwischenergebnis

    v2=2 msv_2 = 2\,\frac{\text{m}}{\text{s}} nach links; Gesamtimpuls 0 kg ms0\,\frac{\text{kg}\,\text{m}}{\text{s}}

  4. 4

    c) Ergebnis deuten: Impuls erhalten, Energie nicht

    Die Bewegungsenergie stammt aus der Muskelarbeit beim Abstoßen, also aus chemischer Energie: E=12⋅60⋅1,52+12⋅45⋅22=67,5+90=157,5 JE = \frac{1}{2} \cdot 60 \cdot 1{,}5^2 + \frac{1}{2} \cdot 45 \cdot 2^2 = 67{,}5 + 90 = 157{,}5\,\text{J}.

Übung 3

schwer

a) Leite den Impulserhaltungssatz aus dem 3. her.

b) Ein Geschoss (20 g20\,\text{g}) trifft mit 400 ms400\,\frac{\text{m}}{\text{s}} einen ruhenden Holzklotz (4 kg4\,\text{kg}) und bleibt stecken. Berechne die gemeinsame und den Energieverlust.

c) Warum ist die Knautschzone eines Autos ein Fortschritt, obwohl das Auto dabei zerstört wird?

d) Zwei gleich schwere Kugeln stoßen zentral und elastisch zusammen, eine ruht. Beschreibe das Ergebnis und begründe mit beiden Erhaltungssätzen.

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a) Betrachte die Kraftstöße auf beide Körper.

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a) Beim Stoß üben die Körper nach dem 3. newtonschen Gesetz gleich große, entgegengesetzt gerichtete aufeinander aus:

F1=−F2F_1 = -F_2

Der Stoß dauert für beide genau gleich lange (Δt\Delta t ist dasselbe). Also sind auch die Kraftstöße gleich groß und entgegengesetzt:

F1⋅Δt=−F2⋅ΔtF_1 \cdot \Delta t = -F_2 \cdot \Delta t

Da der Kraftstoß gleich der Impulsänderung ist:

Δp1=−Δp2⟹Δp1+Δp2=0\Delta p_1 = -\Delta p_2 \quad \Longrightarrow \quad \Delta p_1 + \Delta p_2 = 0

Die Summe der Impulsänderungen ist null, also bleibt die Summe der Impulse konstant. Der Impulserhaltungssatz ist damit keine zusätzliche Annahme, sondern eine Folge des Wechselwirkungsprinzips.

b) m1=0,02 kgm_1 = 0{,}02\,\text{kg}, v1=400 msv_1 = 400\,\frac{\text{m}}{\text{s}}, m2=4 kgm_2 = 4\,\text{kg}, v2=0v_2 = 0

0,02⋅400=(0,02+4)⋅v′⇒8=4,02⋅v′⇒v′≈1,99 ms0{,}02 \cdot 400 = (0{,}02 + 4) \cdot v' \quad \Rightarrow \quad 8 = 4{,}02 \cdot v' \quad \Rightarrow \quad v' \approx 1{,}99\,\frac{\text{m}}{\text{s}}

:

Evorher=12⋅0,02⋅4002=1600 JE_{\text{vorher}} = \frac{1}{2} \cdot 0{,}02 \cdot 400^2 = 1600\,\text{J} Enachher=12⋅4,02⋅1,992≈8 JE_{\text{nachher}} = \frac{1}{2} \cdot 4{,}02 \cdot 1{,}99^2 \approx 8\,\text{J}

Verlust: rund 1592 J1592\,\text{J}, also über 99,5 %99{,}5\,\%. Fast die gesamte Energie steckt in Verformung und des Holzes; das Einschussloch ist heiß.

Der Impuls bleibt dagegen vollständig erhalten (8 kg ms8\,\frac{\text{kg}\,\text{m}}{\text{s}} vorher wie nachher).

c) Weil die Impulsänderung des Insassen festliegt und sich nur die Zeit beeinflussen lässt.

Eine starre Karosserie würde bei einem Aufprall kaum nachgeben; das Fahrzeug käme in wenigen Millisekunden zum Stehen, und die Kraft auf die Insassen wäre entsprechend gewaltig.

Die Knautschzone verformt sich gezielt und verlängert den Bremsvorgang um mehrere Zehntelsekunden. Nach F=ΔpΔtF = \frac{\Delta p}{\Delta t} sinkt die Kraft auf die Insassen dadurch erheblich.

Das zerstörte Blech ist der Preis, nicht der Schaden. Die Verformungsarbeit entzieht dem Vorgang zusätzlich Energie, die sonst im Innenraum ankäme. Die Fahrgastzelle ist deshalb umgekehrt besonders steif gebaut: Sie soll gerade nicht nachgeben.

Ein Auto, das nach dem Unfall unbeschädigt aussieht, hat seine Insassen schlechter geschützt.

d) Ergebnis: Die stoßende Kugel bleibt stehen, die getroffene fliegt mit derselben Geschwindigkeit weiter. Die Geschwindigkeiten werden vertauscht.

Begründung mit beiden Sätzen ( gleich, deshalb kürzen sie sich):

Impuls: v1=v1′+v2′v_1 = v_1' + v_2'

Energie: v12=v1′2+v2′2v_1^2 = v_1'^2 + v_2'^2

Quadriert man die erste Gleichung, folgt v12=v1′2+2v1′v2′+v2′2v_1^2 = v_1'^2 + 2v_1'v_2' + v_2'^2. Vergleich mit der zweiten ergibt

2v1′v2′=02 v_1' v_2' = 0

Also ist v1′=0v_1' = 0 oder v2′=0v_2' = 0. Die zweite Möglichkeit scheidet aus (dann wäre nichts passiert), also bleibt v1′=0v_1' = 0 und v2′=v1v_2' = v_1.

Beobachtbar am Kugelstoßpendel: Lässt man eine Kugel los, fliegt am anderen Ende genau eine weg, bei zwei Kugeln genau zwei. Nur diese Aufteilung erfüllt beide Erhaltungssätze gleichzeitig.

Detaillierte Schritterklärung anzeigen

Hier wird jeder Schritt einzeln erklärt, vor allem, warum er gemacht wird.

Erklärungstiefe

✦ Empfohlen: Standard – Die normale Erklärungstiefe passt zum Einstieg.

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    Gegeben und Gesucht: Herleitung, Geschoss und zwei Stöße

    a) verlangt eine Herleitung. b) gibt Geschoss 20 g20\,\text{g} mit 400 ms400\,\frac{\text{m}}{\text{s}} und ruhenden Klotz 4 kg4\,\text{kg}; gesucht sind gemeinsame Geschwindigkeit und Energieverlust. c) und d) verlangen Begründungen.

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    a) Den Impulserhaltungssatz aus dem 3. Gesetz herleiten

    Beim Stoß üben die Körper nach dem 3. newtonschen Gesetz gleich große, entgegengesetzte Kräfte aufeinander aus: F1=−F2F_1 = -F_2. Der Stoß dauert für beide genau gleich lange, also sind auch die Kraftstöße gleich groß und entgegengesetzt und weil der Kraftstoß die Impulsänderung ist, folgt Δp1+Δp2=0\Delta p_1 + \Delta p_2 = 0.

  3. 3

    b) Die Geschossmasse in Kilogramm

    20 g=0,02 kg20\,\text{g} = 0{,}02\,\text{kg}, jetzt passen beide Massen zueinander und zur Energieformel.

    20 g=0,02 kg20\,\text{g} = 0{,}02\,\text{kg}

    Zwischenergebnis

    m1=0,02 kgm_1 = 0{,}02\,\text{kg}, m2=4 kgm_2 = 4\,\text{kg}

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    b) Gemeinsame Geschwindigkeit und Energieverlust

    Impulserhaltung: Der Impuls des Geschosses verteilt sich auf die Gesamtmasse. Danach beide Energien vergleichen.

    0,02⋅400=(0,02+4)⋅v′⇒v′≈1,99 ms0{,}02 \cdot 400 = (0{,}02 + 4) \cdot v' \Rightarrow v' \approx 1{,}99\,\frac{\text{m}}{\text{s}}; Evor=1600 JE_{\text{vor}} = 1600\,\text{J}, Enach≈8 JE_{\text{nach}} \approx 8\,\text{J}

    Zwischenergebnis

    v′≈1,99 msv' \approx 1{,}99\,\frac{\text{m}}{\text{s}}; Verlust ≈1592 J\approx 1592\,\text{J}

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    c) Warum die Knautschzone ein Fortschritt ist

    Weil die Impulsänderung des Insassen festliegt und sich nur die Zeit beeinflussen lässt. Eine starre Karosserie käme in wenigen Millisekunden zum Stehen, die Kraft auf die Insassen wäre entsprechend gewaltig. Die Knautschzone verformt sich gezielt und verlängert den Bremsvorgang um mehrere Zehntelsekunden.

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    d) Ergebnis deuten: der elastische Stoß gleicher Massen

    Die stoßende Kugel bleibt stehen, die getroffene fliegt mit derselben Geschwindigkeit weiter, die Geschwindigkeiten werden vertauscht. Aus Impuls (v1=v1′+v2′v_1 = v_1' + v_2') und Energie (v12=v1′2+v2′2v_1^2 = v_1'^2 + v_2'^2) folgt durch Quadrieren der ersten Gleichung 2v1′v2′=02 v_1' v_2' = 0, also v1′=0v_1' = 0.

Zusammenfassung

Der Impuls p=m⋅vp = m \cdot v fasst und zu einer gerichteten Größe zusammen und beantwortet Fragen, für die die allein nicht genügt. Aus dem zweiten folgt, dass der Kraftstoß F⋅ΔtF \cdot \Delta t genau die Impulsänderung bewirkt; weil diese bei einem Aufprall festliegt, lässt sich die nur durch eine längere Zeit verringern, und genau das leisten Airbag, Knautschzone und Gurt. Der Impulserhaltungssatz folgt unmittelbar aus dem Wechselwirkungsprinzip und gilt in einem abgeschlossenen System ausnahmslos, auch dann, wenn Energie in Verformung und übergeht. Beim unelastischen Stoß bleiben die Körper zusammen und ein Teil der kinetischen Energie geht verloren; beim elastischen bleiben beide Größen erhalten, weshalb gleich schwere Kugeln dort ihre Geschwindigkeiten tauschen.