Galileis Fallrinne

Lässt man einen Stein fallen, ist alles in einem Augenblick vorbei: zu schnell für das Auge, zu schnell für jede Uhr des 17. Jahrhunderts. Trotzdem wollte Galileo Galilei wissen, nach welchem Gesetz ein fallender Körper schneller wird. Seine Lösung: Er ließ eine Kugel eine flach geneigte Rinne hinabrollen. Die Bewegung bleibt dieselbe Art von Bewegung, läuft aber so langsam ab, dass man sie vermessen kann. Das Ergebnis ist das Weg-Zeit-Gesetz $s \sim t^2$: In der doppelten Zeit legt die Kugel den vierfachen Weg zurück.

Vor Galilei galt die Fallbewegung als geklärt, und zwar durch Nachdenken statt durch Messen: Nach Aristoteles fallen schwere Körper schneller als leichte, jeder mit seiner ihm eigenen Geschwindigkeit. Galilei stellte dem eine andere Arbeitsweise entgegen. Er fragte nicht, warum Körper fallen, sondern wie, und er ließ die Antwort von einer Messung entscheiden. Dieses Experiment steht deshalb für mehr als ein Bewegungsgesetz: Es zeigt den Übergang von der Naturphilosophie zur experimentellen Physik, bei der eine Behauptung so lange nichts gilt, wie die Messung sie nicht trägt.

Eine Kugel startet aus der Ruhe auf einer geneigten Rinne (Länge $L = 2{,}00\ \mathrm{m}$, Überhöhung $h = 0{,}20\ \mathrm{m}$). Miss die Laufzeiten zu den Wegmarken $0{,}25$, $0{,}50$, $1{,}00$, $1{,}50$ und $2{,}00\ \mathrm{m}$ und prüfe, ob die Wege wie die Quadrate der Zeiten wachsen. Formuliere anschließend, was dieses Ergebnis über den freien Fall aussagt und was nicht.

Was erwarten wir, und warum? Wenn die Kugel gleichmäßig beschleunigt wird (die Kraft entlang der Rinne ist während der ganzen Fahrt dieselbe), wächst ihre Geschwindigkeit gleichmäßig mit der Zeit. Der Weg wächst dann schneller als die Zeit selbst, denn die Kugel ist in späteren Zeitabschnitten flotter unterwegs als in frühen.

Die Geräteliste des Grundaufbaus gilt vollständig. Entscheidend sind eine wirklich gerade Rinne (an der Tischkante entlang peilen), eine feste Unterlage, die während der ganzen Messreihe unverändert bleibt, und sauber geklebte Wegmarken.

Die Skizze zeigt die Rinne als geneigte Gerade: Startmarke oben, die fünf Wegmarken bei $0{,}25$, $0{,}50$, $1{,}00$, $1{,}50$ und $2{,}00\ \mathrm{m}$, am unteren Ende die Unterlage mit Überhöhung $h$. Eingezeichnet werden $L$, $h$ und die Rollrichtung der Kugel.

Der schulische Aufbau ist bewusst nah am historischen: eine gerade, glatte Rinne von etwa zwei Metern Länge (ein Kabelkanal oder ein Aluminium-Winkelprofil leisten das), an einem Ende einige Zentimeter unterlegt, dazu eine kleine Stahl- oder Glaskugel, ein Maßband und eine Stoppuhr. Entlang der Rinne werden Wegmarken geklebt, an denen die Zeit ab dem Start gemessen wird.

Die Neigung bleibt klein (im Beispiel 20 cm Überhöhung auf 2,00 m Länge). Das ist kein Zugeständnis, sondern der Kern der Methode: Je flacher die Rinne, desto langsamer läuft die Bewegung ab, und desto genauer lässt sie sich mit einfachen Uhren vermessen. Galilei nannte das sinngemäß ein Verdünnen der Schwere.

Schritt 1: Aufbau einrichten. Rinne gerade auflegen, ein Ende um $h = 0{,}20\ \mathrm{m}$ unterlegen, Wegmarken abmessen und bekleben. Neigung mit einer Probefahrt prüfen: Die Kugel soll zügig, aber gut verfolgbar rollen.

Schritt 2: Messreihe fahren. Die Kugel an der Startmarke festhalten und ohne Anschub loslassen; gleichzeitig die Stoppuhr starten und beim Passieren der Wegmarke stoppen. Je Wegmarke fünf Läufe, notiert wird jeder Einzelwert.

Schritt 3: Mitteln. Für jede Wegmarke den Mittelwert der fünf Zeiten bilden. Ausreißer (verstolperter Start, verpasste Marke) streichen und den Lauf wiederholen.

Die Kugel wird sichtbar gleichmäßig schneller: Am Anfang kriecht sie, unten läuft sie zügig. Schon ohne Rechnung fällt auf, dass sie für die zweite Hälfte der Rinne deutlich weniger Zeit braucht als für die erste.

Schritt 1: Die Prüfgröße bilden. Gilt $s = \tfrac{a}{2}t^2$, muss $s/t^2$ für alle Zeilen denselben Wert haben:

(alle Werte in $\mathrm{m/s^2}$, gerundet; die Einzelwerte streuen zwischen $0{,}346$ und $0{,}353$). Der Quotient ist im Rahmen der Messgenauigkeit konstant: Die Wege wachsen wie die Quadrate der Zeiten.

Schritt 2: Gegenprobe mit Verhältnissen, wie Galilei sie führte. Vom Weg $0{,}50\ \mathrm{m}$ zum Weg $2{,}00\ \mathrm{m}$ vervierfacht sich die Strecke; die Zeit wächst von $1{,}19\ \mathrm{s}$ auf $2{,}39\ \mathrm{s}$, also auf das $2{,}0$-fache. Vierfacher Weg, doppelte Zeit: genau das Quadratmuster.

Schritt 3: Die Beschleunigung dieser Rinne.

Die Messreihe bestätigt Galileis Fallgesetz: $s/t^2$ ist über alle Wegmarken konstant, die Wege wachsen wie die Quadrate der Zeiten, und die Kugel bewegt sich auf der Rinne gleichmäßig beschleunigt mit $a \approx 0{,}70\ \mathrm{m/s^2}$. Da die Neigung nur die Stärke der Beschleunigung ändert, nicht die Form des Gesetzes, trägt das Ergebnis bis zum senkrechten Grenzfall: Auch der freie Fall ist eine gleichmäßig beschleunigte Bewegung. Was die Rinne nicht liefert, ist der Zahlenwert von $g$; dafür ist die Rollbewegung verantwortlich, nicht die Messgenauigkeit.

Die Fehlerquellen dieser Messung liegen fast vollständig bei der Zeitmessung von Hand und an der Geometrie der Rinne. Sie verschieben die Zeiten in charakteristischer Weise, und einige davon fallen bei der Verhältnisprüfung heraus, andere nicht.

Die Bedeutung liegt auf drei Ebenen:

1. Das erste quantitative Bewegungsgesetz. $s \sim t^2$ ist die früheste durch Messung geprüfte mathematische Beschreibung einer Bewegung. Sie gilt unverändert; heute schreibt man $s = \tfrac{a}{2}\, t^2$.
2. Eine neue Arbeitsweise. Verlangsamen, messen, Verhältnisse prüfen, wiederholen: Die Rinne führte vor, wie man eine unhandliche Naturerscheinung durch einen klugen Aufbau messbar macht. Diese Methode, nicht ein einzelnes Ergebnis, machte die experimentelle Physik aus.
3. Das Fundament für Newton. Die gleichmäßig beschleunigte Fallbewegung wurde ein halbes Jahrhundert später zum Prüfstein von Newtons Mechanik: Das zweite newtonsche Gesetz erklärt, warum der Fall so abläuft, wie Galilei gemessen hatte.

Nach Galilei wurde aus der Formfrage eine Präzisionsfrage. Christiaan Huygens vermaß mit Pendeln die Stärke der Schwere und baute darauf 1656 die Pendeluhr. George Atwood entwickelte 1784 die nach ihm benannte Fallmaschine, die den Fall wie die Rinne verlangsamt, aber ohne Rollbewegung auskommt und darum auch den Zahlenwert der Fallbeschleunigung zugänglich macht. Mit elektrischen Uhren, Lichtschranken und schließlich Fallversuchen im Vakuum wurde $g$ immer genauer; heute messen Absolutgravimeter den freien Fall eines Spiegels im Vakuum interferometrisch auf neun Stellen.

Aus heutiger Sicht kommen zwei Einordnungen hinzu, die Galilei nicht kennen konnte:

• Die rollende Kugel ist langsamer als der gleitende Körper. Ein Teil der zugeführten Energie steckt in der Drehung der Kugel. Für eine massive Kugel gilt $a = \tfrac{5}{7}\, g \sin\alpha$ statt $g \sin\alpha$. An den Verhältnissen, die Galilei prüfte, ändert dieser konstante Faktor nichts; sein Quadratgesetz blieb davon unberührt. Wer aber aus Rinnenmessungen $g$ berechnen wollte, erhielte systematisch einen um den Faktor $\tfrac{5}{7}$ zu kleinen Wert. Dass Galilei nur die Gesetzesform behauptete und keinen Zahlenwert, erweist sich damit nachträglich als genau richtig dosierte Vorsicht.
• Das Fallgesetz wurde zum Prüfstein der Physik überhaupt. Die Massenunabhängigkeit des Falls, bei Galilei ein Messbefund, ist in Einsteins allgemeiner Relativitätstheorie zum Grundprinzip erhoben (Äquivalenzprinzip) und wird bis heute mit wachsender Genauigkeit getestet, zuletzt durch die Satellitenmission MICROSCOPE (Ergebnis 2022: bestätigt auf etwa $10^{-15}$).