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Geometrie

Pyramide, Kegel und Kugel

Spitze und runde Körper: Volumen und Oberfläche der letzten großen Körperfamilie.

Benötigte Grundlagen

Diese Themen kommen in diesem Kapitel vor und wurden vorher schon erklärt. Wenn dir eines davon unsicher vorkommt, frisch es kurz auf, sonst leg direkt los.

Einführung

Cheops-Pyramide, Eistüte, Fußball, nach und fehlen noch die spitzen und ganz Körper. Ihr Geheimnis: Spitze Körper fassen genau ein Drittel ihres „geraden" Gegenstücks (probier's mit Wasser!), und die Kugel bricht alle Regeln mit r3r^3 und einer überraschend eleganten Oberflächenformel.

Das kannst du nach diesem Kapitel

  • und von Pyramiden berechnen (V=13GhV = \frac{1}{3} G h).

  • Volumen und Oberfläche von Kegeln berechnen, inkl. Mantellinie über .

  • Volumen und Oberfläche der Kugel berechnen.

  • zusammengesetzte Körper (Eistüte, Silo) in Teilkörper zerlegen.

  • Pyramide und Kegel im Zweitafelbild darstellen und daraus die Maße für Oberfläche und Volumen ablesen.

Warum bei spitzen Körpern ein Drittel herauskommt

Bis jetzt kennst du Körper, die oben genauso breit sind wie unten: , , . Bei ihnen gilt immer dieselbe Idee: Grundfläche mal Höhe, weil die Grundfläche einfach nach oben gestapelt wird:

VPrisma=G⋅hV_{\text{Prisma}} = G \cdot h

Jetzt kommen Körper dazu, die nach oben spitz zulaufen: Pyramide und Kegel. Hier kann die Formel nicht mehr stimmen, denn oben ist viel weniger Platz als unten. Die Frage ist nur: wie viel weniger?

Die erste Schätzung, und warum sie meist falsch ist

Viele tippen auf die Hälfte. Das klingt plausibel, ist aber zu großzügig. Der Grund: Die Grundfläche schrumpft auf dem Weg nach oben nicht gleichmäßig, sondern quadratisch. Genau das hast du beim Streckfaktor gesehen: Halbiert man alle Längen, wird die nur ein Viertel so groß. Auf halber Höhe der Pyramide hat der Querschnitt also nur noch ein Viertel der Grundfläche, nicht die Hälfte. Deshalb bleibt insgesamt weniger als die Hälfte übrig.

Das Experiment, das die Antwort liefert

Nimm ein Prisma und eine Pyramide mit genau derselben Grundfläche und derselben Höhe. Füll die Pyramide mit Wasser und schütte es in das Prisma. Dann noch einmal. Und noch einmal. Nach dem dritten Mal ist das Prisma exakt voll.

VPyramide=13⋅G⋅hV_{\text{Pyramide}} = \frac{1}{3} \cdot G \cdot h

Das ist keine Näherung, sondern exakt. Man kann es beweisen (in der Oberstufe mit Integralen). Und das Erstaunliche: Es gilt für jede Grundfläche, ganz egal ob , oder . Deshalb ist der Kegel kein neuer Fall, sondern derselbe: Er ist eine Pyramide mit Kreisgrundfläche, also setzt man einfach G=πr2G = \pi r^2 ein:

VKegel=13⋅πr2⋅hV_{\text{Kegel}} = \frac{1}{3} \cdot \pi r^2 \cdot h

Was du dir wirklich merken musst

Nicht zwei neue Formeln, sondern eine Idee: Spitze Körper haben ein Drittel des des „geraden" Körpers mit gleicher Grundfläche und Höhe.

Prisma/Zylinder: G⋅h⟶Pyramide/Kegel: 13⋅G⋅h\text{Prisma/Zylinder: } G \cdot h \qquad\longrightarrow\qquad \text{Pyramide/Kegel: } \tfrac{1}{3} \cdot G \cdot h

Typischer Fehler: Das 13\frac{1}{3} vergessen. Ein guter Reflex ist die Plausibilitätskontrolle, kommt für eine Pyramide mehr heraus als für den umgebenden Quader, ist etwas schiefgegangen.

Und noch eine Verwechslung: Die Höhe hh ist der senkrechte Abstand von der Spitze zur Grundfläche, nicht die schräge Seitenkante. Um das zu unterscheiden, hilft das Bild unten.

hhₛa

Die quadratische Pyramide mit Grundkante aa (grün), Körperhöhe hh (blau) und Seitenhöhe hsh_s (rot). Ihr ist ein Drittel des gleicher Grundfläche und Höhe: V=13GhV = \tfrac{1}{3} G h. Die Seitenhöhe findest du mit : hs=h2+(a2)2h_s = \sqrt{h^2 + (\tfrac{a}{2})^2}.

Die Oberfläche der Pyramide, und wo Pythagoras hilft

Beim ging es um den Inhalt. Jetzt geht es um die Außenhaut: Wie viel Material braucht man, um die Pyramide zu bauen?

Die Antwort entsteht, indem du den Körper in seine zerlegst, genau wie beim Netz in Klasse 5. Eine quadratische Pyramide besteht aus:

  • der Grundfläche GG: ein mit der Seite aa, also G=a2G = a^2,
  • dem Mantel MM: vier gleichschenklige .
O=G+MO = G + M

Das Problem mit den Dreiecken

Für den Flächeninhalt eines Dreiecks brauchst du Grundseite und Höhe: A=12⋅g⋅hA = \frac{1}{2} \cdot g \cdot h. Die Grundseite ist aa. Das ist klar. Aber welche Höhe?

Nicht die Körperhöhe hh! Die verläuft im Inneren der Pyramide, senkrecht nach unten zur Mitte der Grundfläche. Die Seitendreiecke stehen aber schräg. Ihre Höhe ist die Strecke von der Spitze zur Mitte einer Grundkante, gemessen auf der schrägen Fläche. Sie heißt Seitenhöhe und wird hsh_s geschrieben (das ss steht für „Seite"). Sie ist immer länger als hh.

Wie du hsh_s berechnest

Hier kommt ins Spiel. Suche das rechtwinklige Dreieck: Es besteht aus

  • der Körperhöhe hh (senkrecht von der Spitze zur Mitte der Grundfläche),
  • der Strecke von der Mitte der Grundfläche zur Mitte einer Grundkante. Das ist genau die halbe Grundkante, also a2\frac{a}{2},
  • und der Seitenhöhe hsh_s als Verbindung von der Spitze zur Kantenmitte.

Die ersten beiden Strecken stehen senkrecht zueinander (die Höhe steht senkrecht auf der Grundfläche), hsh_s ist also die :

hs=h2+(a2)2h_s = \sqrt{h^2 + \left(\frac{a}{2}\right)^2}

Häufigster Fehler: aa statt a2\frac{a}{2} einsetzen. Denk an das Bild: Von der Mitte des Grundquadrats bis zur Kante ist es nur die halbe Seitenlänge.

Der Mantel

Ein Seitendreieck hat die Fläche 12⋅a⋅hs\frac{1}{2} \cdot a \cdot h_s. Bei vier gleichen Dreiecken:

M=4⋅12⋅a⋅hs=2⋅a⋅hs⇒O=a2+2⋅a⋅hsM = 4 \cdot \frac{1}{2} \cdot a \cdot h_s = 2 \cdot a \cdot h_s \qquad\Rightarrow\qquad O = a^2 + 2 \cdot a \cdot h_s

Du musst diese Formel nicht auswendig lernen, wenn du den Weg verstehst: Grundfläche plus vier Dreiecke, und für die Dreiecke brauchst du erst hsh_s über Pythagoras.

Der Kegel: dieselbe Idee, nur rund

Beim Kegel läuft alles parallel zur Pyramide, nur ist die Grundfläche ein und der Mantel eine gebogene .

Die Mantellinie

Was bei der Pyramide die Seitenhöhe war, ist beim Kegel die Mantellinie ss: die Strecke von der Spitze zum Rand des Grundkreises, gemessen an der Außenseite. Auch sie bekommst du über , und das rechtwinklige ist noch einfacher zu finden als bei der Pyramide:

  • die Höhe hh (senkrecht von der Spitze zum Kreismittelpunkt),
  • der rr (vom Mittelpunkt zum Kreisrand),
  • die Mantellinie ss als .
s=r2+h2s = \sqrt{r^2 + h^2}

Im Bild unten siehst du dieses Dreieck direkt, und im Zweitafelbild weiter unten sogar unverzerrt.

Merke den Unterschied: rr, hh und ss bilden das rechtwinklige Dreieck. ss ist die längste dieser drei Strecken, weil sie die Hypotenuse ist. Kommt bei dir s<hs < h heraus, hast du addiert und subtrahiert vertauscht.

Die Mantelfläche

Rollst du den Kegelmantel ab, entsteht kein (wie beim ), sondern ein Kreisausschnitt, ein „Tortenstück" mit dem Radius ss.

M=π⋅r⋅sM = \pi \cdot r \cdot s

Woher diese Formel kommt

Sie sieht überraschend aus, im Mantel steckt plötzlich der Grundkreisradius rr und die Mantellinie ss. Du kannst sie aber vollständig aus dem herleiten, was du über Kreisausschnitte aus Klasse 8 weißt.

Schritt 1: Welches „Tortenstück" ist es genau? Der abgerollte Mantel ist ein Ausschnitt aus einem Kreis mit dem Radius ss, denn jeder Punkt des Grundkreisrandes ist über die Mantellinie ss mit der Spitze verbunden, und beim Abrollen wird die Spitze zum Mittelpunkt.

Schritt 2: Wie groß ist der Anteil? Aus Klasse 8 weißt du: Ein Kreisausschnitt hat denselben Anteil an der wie sein Bogen am . Wir brauchen also beide Bogenlängen:

  • Der Bogen des Ausschnitts ist der abgerollte Rand des Grundkreises. Seine Länge ist deshalb der Grundkreisumfang:   2πr\;2\pi r.
  • Der volle Kreis mit Radius ss hat den   2πs\;2\pi s.

Der Anteil ist damit

Bogenvoller Umfang=2πr2πs=rs\frac{\text{Bogen}}{\text{voller Umfang}} = \frac{2\pi r}{2\pi s} = \frac{r}{s}

Der Faktor 2π2\pi sich vollständig weg: übrig bleibt das schlichte Verhältnis der beiden Radien.

Schritt 3: Den Anteil auf die Fläche anwenden. Der volle Kreis mit Radius ss hat die Fläche πs2\pi s^2. Der Mantel ist genau der Anteil rs\frac{r}{s} davon:

M=rs⋅πs2=πrsM = \frac{r}{s} \cdot \pi s^2 = \pi r s

Ein ss kürzt sich gegen das s2s^2, und damit steht die Formel da, ohne dass etwas behauptet werden musste.

Die Kontrolle am Sonderfall: Wäre s=rs = r, entstünde beim Abrollen ein voller Kreis (Anteil rs=1\frac{r}{s} = 1), und die Formel lieferte M=πr2M = \pi r^2, genau die Kreisfläche ✓ Ein solcher Kegel wäre allerdings platt, denn nach Pythagoras bliebe für die Höhe h=0h = 0.

Damit ergibt sich die als Grundkreis plus Mantel:

O=πr2+πrsO = \pi r^2 + \pi r s

Wofür du welche Größe brauchst, die häufigste Verwechslung in Klassenarbeiten:

gesuchtFormelgebraucht wird
V=13πr2hV = \frac{1}{3}\pi r^2 hdie Höhe hh
OberflächeO=πr2+πrsO = \pi r^2 + \pi r sdie Mantellinie ss

Steht in der Aufgabe nur hh, du brauchst aber ss (oder umgekehrt), dann ist Pythagoras der Zwischenschritt. Genau darauf zielen die meisten Aufgaben zu diesem Thema ab.

hsr

Der Kegel mit rr (grün), Höhe hh (blau) und Mantellinie ss (rot). Auch hier gilt : s=r2+h2s = \sqrt{r^2 + h^2}. V=13πr2hV = \tfrac{1}{3}\pi r^2 h, Mantel M=πrsM = \pi r s.

Prüfe dich: Der abgerollte Kegelmantel ist ein Tortenstück aus einem Kreis mit Radius s. Welchen Anteil dieses Kreises bedeckt er, und wie folgt daraus die Mantelformel?

Versuch es erst aus dem Kopf, die Herleitung stand direkt über dem Bild.

Der Anteil ist rs\frac{r}{s}. Und so kommt er zustande: Ein Kreisausschnitt hat denselben Anteil an der wie sein Bogen am vollen (die Anteilsregel aus Klasse 8). Der Bogen des Tortenstücks ist der abgerollte Rand des Grundkreises, also 2πr2\pi r lang; der volle mit ss hat den Umfang 2πs2\pi s. Der Anteil ist deshalb

2πr2πs=rs\frac{2\pi r}{2\pi s} = \frac{r}{s}

Das 2π2\pi sich vollständig weg.

Daraus folgt die Mantelformel in einer Zeile: Der volle Kreis hat die πs2\pi s^2, der Mantel ist der Anteil rs\frac{r}{s} davon:

M=rs⋅πs2=πrsM = \frac{r}{s} \cdot \pi s^2 = \pi r s

Die Kontrolle am Sonderfall: Für s=rs = r wäre der Anteil 11, beim Abrollen entstünde ein voller Kreis mit M=πr2M = \pi r^2. Ein solcher „Kegel" wäre völlig platt, denn nach bliebe h=0h = 0. Passt.

Und die praktische Folge für Klassenarbeiten: In der Mantelformel steckt ss, nicht hh. Steht in der Aufgabe nur die Höhe, ist s=r2+h2s = \sqrt{r^2 + h^2} der Pflicht-Zwischenschritt, genau daran entscheiden sich die meisten Kegelaufgaben.

Die Kugel: der Sonderfall ohne Kanten

Die Kugel ist der einzige Körper hier, der keine ebene , keine Kante und keine Ecke hat. Sie ist vollständig durch eine einzige Zahl bestimmt: den rr. Ihre beiden Formeln lauten

V=43πr3O=4πr2V = \frac{4}{3} \pi r^3 \qquad\qquad O = 4 \pi r^2

Diese beiden Formeln kann man in Klasse 9 nicht herleiten, dafür braucht man Integralrechnung, die dir in Klasse 12 begegnet. Das ist kein Grund, sie blind zu übernehmen; du kannst sie trotzdem verstehen und prüfen.

Woran du erkennst, dass die Formeln stimmig sind

Die Einheiten müssen passen. Beim steht r3r^3, drei Längen multipliziert ergeben einen Rauminhalt (cm3\text{cm}^3). Bei der steht r2r^2, zwei Längen ergeben eine Fläche (cm2\text{cm}^2). Wer r2r^2 und r3r^3 vertauscht, erkennt das sofort an der falschen Einheit im Ergebnis.

Die Oberfläche hat eine schöne Deutung: O=4πr2O = 4\pi r^2 ist genau viermal die Fläche des mit demselben Radius (πr2\pi r^2), also viermal die Fläche des „Schattens", den die Kugel wirft. Diesen Zusammenhang hat Archimedes vor über 22002200 Jahren gefunden, und er war so stolz darauf, dass er sich eine Kugel auf den Grabstein wünschte.

Vorsicht beim Vergrößern

doppelter Radius  ⇒  23=8-faches Volumen\text{doppelter Radius} \;\Rightarrow\; 2^3 = 8\text{-faches Volumen}

Eine Kugel mit doppeltem Radius hat also nicht doppelt, sondern achtmal so viel Inhalt. Das ist derselbe Gedanke wie beim Streckfaktor: Längen wachsen mit kk, Flächen mit k2k^2, Volumina mit k3k^3. Deshalb ist eine Kugel Eis mit doppeltem nicht doppelt so viel Eis, sondern achtmal so viel.

r

Die Kugel mit rr: V=43πr3V = \tfrac{4}{3}\pi r^3 (Raum → rr hoch 33) und O=4πr2O = 4\pi r^2, genau viermal die ihres Schattenkreises. Doppelter Radius bedeutet 23=82^3 = 8-faches !

Pyramide und Kegel im Zweitafelbild

Für und hast du das Zweitafelbild bereits kennengelernt: Aufriss (Blick von vorn) über Grundriss (Blick von oben), beide senkrecht ausgerichtet an der Rissachse, und der entscheidende Vorteil gegenüber dem Schrägbild ist, dass jede Strecke, die parallel zur jeweiligen Tafel liegt, in wahrer Größe erscheint.

(Ganz wörtlich „jede Länge" wäre zu viel versprochen: Eine Seitenkante der Pyramide läuft schräg in die Tiefe und erscheint deshalb in beiden Rissen verkürzt, im Grundriss siehst du sie nur als halbe Diagonale. Aber die Längen, mit denen du hier rechnest, aa, hh, rr, ss und hsh_s, liegen alle tafelparallel und sind darum echt.)

Bei spitzen Körpern ist das besonders nützlich, denn hier brauchst du für die zusätzliche Längen (hsh_s bzw. ss), die du im Schrägbild nicht messen könntest.

Was du in welchem Riss siehst:

KörperGrundriss (von oben)Aufriss (von vorn)
quadratische Pyramide mit Seite aa, dazu die Diagonalen als Seitenkanten mit der Höhe hh
Kegel mit rrgleichschenkliges Dreieck, Breite 2r2r, Höhe hh

Vergleiche die Bilder unten mit den Schrägbildern von oben. Beim Kegel siehst du im Aufriss sogar direkt, warum s=r2+h2s = \sqrt{r^2 + h^2} gilt: Die halbe Grundlinie (rr), die Höhe (hh) und die Schrägseite (ss) bilden dort ein rechtwinkliges Dreieck, genau die Figur, auf die du anwendest.

RissachseAufriss (von vorn)Grundriss (von oben)ha

Quadratische Pyramide im Zweitafelbild. Von oben (Grundriss) siehst du das Grundquadrat mit der Seite aa in wahrer Größe; die beiden Diagonalen sind die vier Seitenkanten, die von oben betrachtet zur Spitze in der Mitte laufen. Von vorn (Aufriss) misst du die Höhe hh, im Schrägbild wäre keine dieser Längen echt.

RissachseAufriss (von vorn)Grundriss (von oben)hr

Kegel im Zweitafelbild: von oben ein mit rr, von vorn ein gleichschenkliges der Breite 2r2r und der Höhe hh. Die Schrägseite dieses Dreiecks ist genau die Mantellinie ss, hier siehst du unmittelbar, warum rr, hh und ss ein rechtwinkliges Dreieck bilden und s=r2+h2s = \sqrt{r^2 + h^2} gilt.

Quadratische Pyramide

Eine quadratische Pyramide hat die Grundkante a=6 ma = 6\,\text{m} und die Höhe h=4 mh = 4\,\text{m}. Berechne und .

  1. 1

    Angaben sortieren. Gegeben sind die Grundkante a=6 ma = 6\,\text{m} und die Körperhöhe h=4 mh = 4\,\text{m}. „Quadratisch" bedeutet: Die Grundfläche ist ein mit der Seite 6 m6\,\text{m}.

    Gesucht sind zwei Größen, das Volumen (Rauminhalt, Einheit m3\text{m}^3) und die Oberfläche (Außenhaut, Einheit m2\text{m}^2). Wir bearbeiten sie nacheinander.

  2. 2

    Teil 1: welche Formel passt fürs Volumen? Die Pyramide läuft spitz zu, also gilt das Drittel-Prinzip:

    V=13⋅G⋅hV = \frac{1}{3} \cdot G \cdot h

    Zuerst brauchen wir die Grundfläche GG. Sie ist ein Quadrat:

    G=a2=62=36 m2G = a^2 = 6^2 = 36\,\text{m}^2
  3. 3

    Einsetzen und ausrechnen.

    V=13⋅36⋅4V = \frac{1}{3} \cdot 36 \cdot 4

    Rechne der Reihe nach: 13⋅36=12\frac{1}{3} \cdot 36 = 12, dann 12⋅4=4812 \cdot 4 = 48.

    V=48 m3V = 48\,\text{m}^3

    Warum m3\text{m}^3? Weil drei Längen multipliziert wurden, ein Rauminhalt hat immer eine Kubikeinheit.

    Plausibilität: Ein mit derselben Grundfläche und Höhe hätte 36⋅4=144 m336 \cdot 4 = 144\,\text{m}^3. Unser Ergebnis ist genau ein Drittel davon ✓

  4. 4

    Teil 2: die Oberfläche. Sie besteht aus der Grundfläche und den vier Seitendreiecken:

    O=G+MO = G + M

    Für die brauchen wir ihre Höhe, und das ist nicht die Körperhöhe h=4 mh = 4\,\text{m}, sondern die schräg verlaufende Seitenhöhe hsh_s. Die müssen wir zuerst berechnen.

  5. 5

    Die Seitenhöhe mit . Das rechtwinklige Dreieck besteht aus:

    • der Körperhöhe h=4 mh = 4\,\text{m},
    • der halben Grundkante a2=62=3 m\frac{a}{2} = \frac{6}{2} = 3\,\text{m} (von der Mitte des Quadrats bis zur Kantenmitte),
    • der Seitenhöhe hsh_s als .
    hs=h2+(a2)2=42+32=16+9=25=5 mh_s = \sqrt{h^2 + \left(\frac{a}{2}\right)^2} = \sqrt{4^2 + 3^2} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5\,\text{m}

    Die häufigste Fehlerquelle: hier 66 statt 33 einzusetzen. Es ist die halbe Grundkante, schau dir dazu den Grundriss im Zweitafelbild an.

  6. 6

    Den Mantel berechnen. Ein Seitendreieck hat die Grundseite a=6 ma = 6\,\text{m} und die Höhe hs=5 mh_s = 5\,\text{m}:

    ADreieck=12⋅6⋅5=15 m2A_{\text{Dreieck}} = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 5 = 15\,\text{m}^2

    Davon gibt es vier gleiche:

    M=4⋅15=60 m2M = 4 \cdot 15 = 60\,\text{m}^2
  7. 7

    Alles zusammensetzen.

    O=G+M=36+60=96 m2O = G + M = 36 + 60 = 96\,\text{m}^2

    Warum m2\text{m}^2? Wir haben addiert, das Ergebnis ist eine Fläche. Und Flächen darf man nur addieren, wenn sie dieselbe Einheit haben, was hier der Fall ist.

V=48 m3V = 48\,\text{m}^3 und O=96 m2O = 96\,\text{m}^2

Beachte den Unterschied der Einheiten: Das Volumen sagt, wie viel hineinpasst (m3\text{m}^3), die Oberfläche, wie viel Material die Außenhaut braucht (m2\text{m}^2). Kommen bei dir gleiche Einheiten heraus, hast du eine Formel verwechselt.

Kegel (Eistüte)

Eine Eistüte hat den r=3 cmr = 3\,\text{cm} und die Höhe h=12 cmh = 12\,\text{cm}. Berechne das und die Mantelfläche ().

  1. 1

    Angaben und Ziel. Gegeben sind r=3 cmr = 3\,\text{cm} und h=12 cmh = 12\,\text{cm}. Gesucht sind das Volumen (wie viel Eis passt hinein?) und die Mantelfläche (wie viel Waffel wird gebraucht?).

    Merke dir schon jetzt die Faustregel dieses Kapitels: Fürs Volumen brauchst du hh, für die brauchst du ss. Die Mantellinie ss ist hier nicht gegeben. Wir werden sie also noch berechnen müssen.

  2. 2

    Teil 1: Volumen. Der Kegel ist eine Pyramide mit Kreisgrundfläche, also gilt wieder das Drittel-Prinzip mit G=πr2G = \pi r^2:

    V=13⋅πr2⋅h=13⋅π⋅32⋅12V = \frac{1}{3} \cdot \pi r^2 \cdot h = \frac{1}{3} \cdot \pi \cdot 3^2 \cdot 12
  3. 3

    Schrittweise ausrechnen. Zuerst das , dann die Zahlen zusammenfassen:

    32=9⇒V=13⋅π⋅9⋅12=13⋅108⋅π=36π3^2 = 9 \qquad\Rightarrow\qquad V = \frac{1}{3} \cdot \pi \cdot 9 \cdot 12 = \frac{1}{3} \cdot 108 \cdot \pi = 36\pi V=36π≈113,1 cm3V = 36\pi \approx 113{,}1\,\text{cm}^3

    Tipp: Rechne so lange wie möglich mit π\pi als Symbol und runde erst ganz am Ende, das vermeidet Rundungsfehler. Und 113 cm3113\,\text{cm}^3 sind gut 0,10{,}1 Liter Eis, das klingt realistisch ✓

  4. 4

    Teil 2: zuerst die Mantellinie. Für die Mantelfläche brauchen wir ss, und die bekommen wir über Pythagoras. Das rechtwinklige besteht aus rr, hh und ss, wobei ss die ist:

    s=r2+h2=32+122=9+144=153≈12,37 cms = \sqrt{r^2 + h^2} = \sqrt{3^2 + 12^2} = \sqrt{9 + 144} = \sqrt{153} \approx 12{,}37\,\text{cm}

    Kontrolle: ss muss größer sein als h=12h = 12, weil die Hypotenuse die längste Seite ist ✓

  5. 5

    Jetzt die Mantelfläche. Der abgerollte Kegelmantel ist ein Kreisausschnitt mit der

    M=π⋅r⋅s=π⋅3⋅12,37≈116,6 cm2M = \pi \cdot r \cdot s = \pi \cdot 3 \cdot 12{,}37 \approx 116{,}6\,\text{cm}^2

    Warum cm2\text{cm}^2? Es ist eine Fläche, zwei Längen sind multipliziert worden.

V=36π≈113 cm3V = 36\pi \approx 113\,\text{cm}^3 und M≈117 cm2M \approx 117\,\text{cm}^2

Der typische Stolperstein bei Kegelaufgaben: hh und ss zu verwechseln. Prüfe bei jeder Teilaufgabe zuerst, welche der beiden Größen die Formel verlangt, und rechne die fehlende notfalls mit aus.

Kugel

Ein Fußball hat den 22 cm22\,\text{cm}. Berechne und ().

  1. 1

    Erst lesen, dann rechnen. Gegeben ist der Durchmesser d=22 cmd = 22\,\text{cm}, aber in beiden Kugelformeln steht der rr. Dieser Unterschied ist die häufigste Fehlerquelle bei Kugelaufgaben.

    Der Radius ist der halbe Durchmesser:

    r=d2=222=11 cmr = \frac{d}{2} = \frac{22}{2} = 11\,\text{cm}

    Merke: Immer zuerst prüfen, ob rr oder dd gegeben ist. Wer mit 2222 weiterrechnet, erhält das achtfache Volumen.

  2. 2

    Teil 1: Volumen. Die Formel lautet

    V=43πr3V = \frac{4}{3} \pi r^3

    Zuerst die , denn Potenzen kommen vor Punktrechnung:

    r3=113=11⋅11⋅11=1 331r^3 = 11^3 = 11 \cdot 11 \cdot 11 = 1\,331
  3. 3

    Einsetzen und ausrechnen.

    V=43⋅π⋅1 331≈5 575 cm3V = \frac{4}{3} \cdot \pi \cdot 1\,331 \approx 5\,575\,\text{cm}^3

    Einheit: r3r^3 bedeutet drei Längen multipliziert, also cm3\text{cm}^3, ein Rauminhalt.

    Plausibilität: 5 575 cm35\,575\,\text{cm}^3 sind etwa 5,65{,}6 Liter. Für einen Fußball ist das eine sinnvolle Größenordnung ✓

  4. 4

    Teil 2: Oberfläche.

    O=4πr2=4⋅π⋅112=4⋅π⋅121≈1 521 cm2O = 4 \pi r^2 = 4 \cdot \pi \cdot 11^2 = 4 \cdot \pi \cdot 121 \approx 1\,521\,\text{cm}^2

    Einheit: Hier steht r2r^2, also zwei Längen, eine in cm2\text{cm}^2. Das ist die Menge Leder, die für den Ball gebraucht wird.

  5. 5

    Eine Kontrolle, die die Formel verständlich macht. Die Kugeloberfläche ist genau viermal die Fläche des mit demselben Radius:

    πr2=π⋅121≈380 cm2⇒4⋅380=1 520 cm2  ✓\pi r^2 = \pi \cdot 121 \approx 380\,\text{cm}^2 \qquad\Rightarrow\qquad 4 \cdot 380 = 1\,520\,\text{cm}^2 \;\checkmark

    Wenn du also O=4πr2O = 4\pi r^2 vergessen hast, kannst du dir merken: viermal der „Schattenkreis" des Balls.

V≈5 575 cm3V \approx 5\,575\,\text{cm}^3 (etwa 5,65{,}6 Liter) und O≈1 521 cm2O \approx 1\,521\,\text{cm}^2

Die zwei Fallen dieser Aufgabe: erstens dd statt rr einsetzen, zweitens r2r^2 und r3r^3 vertauschen. Gegen beides hilft der Blick auf die Einheit des Ergebnisses.

Typischer Fehler

Kegel: „M=πrhM = \pi r h: Mantel ist mal Höhe mal ."

Im Kegelmantel steckt die Mantellinie ss, nicht die Höhe: M=πrsM = \pi r s! Die Höhe steht senkrecht im Inneren, die Mantellinie läuft außen schräg zur Spitze. Sie ist immer länger (s=r2+h2s = \sqrt{r^2 + h^2}). Gleiches Muster bei der Pyramide: Für den Mantel brauchst du die Seitenhöhe hsh_s, nicht die Körperhöhe.

Übung 1

leicht

Berechne das : a) Pyramide mit G=30 cm2G = 30\,\text{cm}^2, h=9 cmh = 9\,\text{cm} b) Kegel mit r=5 cmr = 5\,\text{cm}, h=6 cmh = 6\,\text{cm} (mit π≈3,14\pi \approx 3{,}14)

Tipp anzeigen

Ein Drittel nicht vergessen!

Lösung anzeigen

a) V=13⋅30⋅9=90 cm3V = \frac{1}{3} \cdot 30 \cdot 9 = 90\,\text{cm}^3

b) V=13⋅3,14⋅25⋅6=157 cm3V = \frac{1}{3} \cdot 3{,}14 \cdot 25 \cdot 6 = 157\,\text{cm}^3

Detaillierte Schritterklärung anzeigen

Hier wird jeder Schritt einzeln erklärt, vor allem, warum er gemacht wird.

Erklärungstiefe

✦ Empfohlen: Standard – Die normale Erklärungstiefe passt zum Einstieg.

  1. 1

    a) Pyramide: ein Drittel des Prismas

    V=13⋅G⋅h=13⋅30⋅9=90 cm3V = \frac{1}{3} \cdot G \cdot h = \frac{1}{3} \cdot 30 \cdot 9 = 90\,\text{cm}^3.

  2. 2

    b) Kegel: gleiche Formel, Kreis als Grundfläche

    V=13⋅πr2⋅h=13⋅3,14⋅25⋅6=157 cm3V = \frac{1}{3} \cdot \pi r^2 \cdot h = \frac{1}{3} \cdot 3{,}14 \cdot 25 \cdot 6 = 157\,\text{cm}^3.

    13⋅3,14⋅25⋅6=157\frac{1}{3} \cdot 3{,}14 \cdot 25 \cdot 6 = 157

  3. 3

    Ergebnisse einordnen

    Beide in cm3\text{cm}^3 ✓. Vergleich mit den vollen Körpern: Prisma 30⋅9=27030 \cdot 9 = 270, Zylinder ≈471\approx 471, die spitzen Körper fassen genau ein Drittel davon.

Übung 2

mittel

Eine Kugel hat den r=6 cmr = 6\,\text{cm}. Berechne und (exakt mit π\pi und ).

Tipp anzeigen

63=2166^3 = 216.

Lösung anzeigen

V=43π⋅216=288π≈904,8 cm3V = \frac{4}{3}\pi \cdot 216 = 288\pi \approx 904{,}8\,\text{cm}^3

O=4π⋅36=144π≈452,4 cm2O = 4\pi \cdot 36 = 144\pi \approx 452{,}4\,\text{cm}^2

Detaillierte Schritterklärung anzeigen

Hier wird jeder Schritt einzeln erklärt, vor allem, warum er gemacht wird.

Erklärungstiefe

✦ Empfohlen: Standard – Die normale Erklärungstiefe passt zum Einstieg.

  1. 1

    Volumen: die r³-Formel

    V=43πr3=43π⋅216=288π≈904,8 cm3V = \frac{4}{3}\pi r^3 = \frac{4}{3}\pi \cdot 216 = 288\pi \approx 904{,}8\,\text{cm}^3.

    43π⋅216=288π\frac{4}{3}\pi \cdot 216 = 288\pi

    Zwischenergebnis

    V=288π cm3V = 288\pi\,\text{cm}^3

  2. 2

    Oberfläche: die r²-Formel

    O=4πr2=4π⋅36=144π≈452,4 cm2O = 4\pi r^2 = 4\pi \cdot 36 = 144\pi \approx 452{,}4\,\text{cm}^2.

    4π⋅36=144π4\pi \cdot 36 = 144\pi

  3. 3

    Exakt und gerundet angeben

    Exakt: V=288π cm3V = 288\pi\,\text{cm}^3, O=144π cm2O = 144\pi\,\text{cm}^2; gerundet 904,8 cm3904{,}8\,\text{cm}^3 und 452,4 cm2452{,}4\,\text{cm}^2.

Übung 3

schwer

Ein Getreidesilo besteht aus einem (r=2 mr = 2\,\text{m}, h=5 mh = 5\,\text{m}) mit aufgesetztem Kegeldach (r=2 mr = 2\,\text{m}, h=1,5 mh = 1{,}5\,\text{m}). a) Wie viel m³ fasst das Silo insgesamt? b) Wie viel des steckt im Kegeldach?

Tipp anzeigen

Teilvolumina addieren.

Lösung anzeigen

a) Zylinder: π⋅4⋅5=20π\pi \cdot 4 \cdot 5 = 20\pi; Kegel: 13π⋅4⋅1,5=2π\frac{1}{3}\pi \cdot 4 \cdot 1{,}5 = 2\pi

Gesamt: 22π≈69,1 m322\pi \approx 69{,}1\,\text{m}^3

b) 2π22π=111≈9,1 %\frac{2\pi}{22\pi} = \frac{1}{11} \approx 9{,}1\,\%

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Hier wird jeder Schritt einzeln erklärt, vor allem, warum er gemacht wird.

Erklärungstiefe

✦ Empfohlen: Standard – Die normale Erklärungstiefe passt zum Einstieg.

  1. 1

    a) Das Silo in Teilkörper zerlegen

    Zylinder: V=πr2h=π⋅4⋅5=20πV = \pi r^2 h = \pi \cdot 4 \cdot 5 = 20\pi. Kegeldach: V=13πr2h=13π⋅4⋅1,5=2πV = \frac{1}{3}\pi r^2 h = \frac{1}{3}\pi \cdot 4 \cdot 1{,}5 = 2\pi.

    π⋅4⋅5=20π,13π⋅4⋅1,5=2π\pi \cdot 4 \cdot 5 = 20\pi, \quad \tfrac{1}{3}\pi \cdot 4 \cdot 1{,}5 = 2\pi

  2. 2

    a) Gesamtvolumen

    V=20π+2π=22π≈69,1 m3V = 20\pi + 2\pi = 22\pi \approx 69{,}1\,\text{m}^3.

    Zwischenergebnis

    V=22π m3V = 22\pi\,\text{m}^3

  3. 3

    b) Anteil des Kegeldachs

    2π22π=222=111≈9,1 %\frac{2\pi}{22\pi} = \frac{2}{22} = \frac{1}{11} \approx 9{,}1\,\%.

Übung: Kegel im Zweitafelbild

mittel

Ein Kegel hat r=3 cmr = 3\,\text{cm} und h=4 cmh = 4\,\text{cm}. a) Beschreibe Grundriss und Aufriss mit ihren Maßen. b) Welche Länge ist im Aufriss die Schrägseite, und wie lang ist sie? c) Berechne damit den . d) Warum wäre ein Schrägbild für diese Aufgabe die schlechtere Zeichnung?

Tipp anzeigen

Zeichne zuerst den Aufriss und suche darin das rechtwinklige mit rr, hh und ss.

Lösung anzeigen

a) Grundriss: mit r=3 cmr = 3\,\text{cm}. Aufriss: gleichschenkliges Dreieck, Breite 2r=6 cm2r = 6\,\text{cm}, Höhe 4 cm4\,\text{cm}.

b) Die Schrägseite ist die Mantellinie ss. Halbe Grundlinie, Höhe und Mantellinie bilden ein rechtwinkliges Dreieck: s=r2+h2=9+16=25=5 cms = \sqrt{r^2 + h^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5\,\text{cm}.

c) O=πr2+πrs=π⋅9+π⋅3⋅5=9π+15π=24π≈75,4 cm2O = \pi r^2 + \pi r s = \pi \cdot 9 + \pi \cdot 3 \cdot 5 = 9\pi + 15\pi = 24\pi \approx 75{,}4\,\text{cm}^2

d) Im Schrägbild erscheint der Grundkreis als Ellipse und die Tiefenkanten sind verkürzt, dort ließe sich weder rr noch ss messen. Im Aufriss steht das rechtwinklige Dreieck aus rr, hh und ss dagegen unverzerrt vor dir.

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Hier wird jeder Schritt einzeln erklärt, vor allem, warum er gemacht wird.

Erklärungstiefe

✦ Empfohlen: Standard – Die normale Erklärungstiefe passt zum Einstieg.

  1. 1

    a) Grundriss und Aufriss des Kegels

    Grundriss (von oben): Kreis mit r=3r = 3 cm. Aufriss (von vorn): gleichschenkliges Dreieck, Breite 2r=62r = 6 cm, Höhe 44 cm.

  2. 2

    b) Die Mantellinie mit Pythagoras

    Die Schrägseite des Aufriss-Dreiecks ist die Mantellinie ss. , Höhe und ss bilden ein rechtwinkliges Dreieck: s=r2+h2=9+16=25=5s = \sqrt{r^2 + h^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5 cm.

    s=9+16=5s = \sqrt{9 + 16} = 5

    Zwischenergebnis

    s=5s = 5 cm

  3. 3

    c) Oberfläche aus Grundkreis und Mantel

    O=πr2+πrs=9π+15π=24π≈75,4 cm2O = \pi r^2 + \pi r s = 9\pi + 15\pi = 24\pi \approx 75{,}4\,\text{cm}^2.

  4. 4

    d) Warum das Schrägbild hier versagt

    Im Schrägbild erscheint der Grundkreis als Ellipse und die Tiefen sind verkürzt, weder rr noch ss ließe sich dort messen. Im Aufriss steht das rr-hh-ss-Dreieck unverzerrt da.

Zusammenfassung

Spitze Körper folgen dem Drittel-Prinzip (V=13GhV = \frac{1}{3} G h), ihre Mäntel brauchen die schrägen Längen (Seitenhöhe, Mantellinie) aus . Die Kugel krönt die Körperwelt mit V=43πr3V = \frac{4}{3}\pi r^3 und O=4πr2O = 4\pi r^2, und erinnert daran, dass Volumina mit der dritten wachsen. Zusammengesetzte Körper? Zerlegen und addieren.